Nonlinier Differential Equation- Cunning Hum

8/2/2019 Nonlinier Differential Equation- Cunning Hum

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A NONLINEAR DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATION OFGROWTH

BY W. J . CUNNINGHAMYALE UNIVERSITY, NEW HAVEN, CONNECTICUT

C o m m u n i c a t e d b y G . E . H u t c h i n s o n , J u n e 2 0 , 1 9 5 4T h e n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c e e q u a t i o n

d x t )d x t ) = [ a -bx(t - ) ] x ( t ) ( 1 )h a s b e e n s u g g e s t e d ' a s a m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f a f l u c t u a t i n g p o p u l a t i o n o fo r g a n i s m s u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s . I n t h i s e q u a t i o n , a , b , a n d T a r e p o s i t i v e r e a lc o n s t a n t s , w h i l e x ( t ) a n d x ( t - r ) a r e t h e p o p u l a t i o n s a t t i m e s ( t ) a n d (t-- ) ,r e s p e c t i v e l y . T h e q u a n t i t y i n b r a c k e t s r e p r e s e n t s t h e r a t e o f g r o w t h a t a n y i n s t a n t ,a n d i t d e p e n d s i n p a r t u p o n t h e p o p u l a t i o n a t a n e a r l i e r i n s t a n t i n t i m e .T h e e q u a t i o n may a p p l y t o o t h e r t h a n b i o l o g i c a l s i t u a t i o n s a l s o . I n p a r t i c u l a r ,i t m i g h t d e s c r i b e t h e o p e r a t i o n o f a c o n t r o l s y s t e m w o r k i n g w i t h a p o t e n t i a l l y e x p l o -s i v e c h e m i c a l r e a c t i o n , p r o v i d e d a f i x e d t i m e d e l a y e x i s t s i n t h e s e n s i n g e l e m e n t o ft h e c o n t r o l . T h e e q u a t i o n a l s o i s q u i t e s i m i l a r t o e q u a t i o n s t h a t a r i s e i n e c o n o m i cs t u d i e s o f t h e b u s i n e s s c y c l e , w h e r e t i m e d e l a y s e x i s t i n v a r i o u s s t e p s o f b u s i n e s so p e r a t i o n s . 2

M e t h o d s o f f i n d i n g e x a c t s o l u t i o n s f o r e q u a t i o n s o f t h i s t y p e s e e m t o b e u n k n o w n . 3Q u a l i t a t i v e l y , i t i s e v i d e n t t h a t - i f x ( t ) e v e r v a n i s h e s , t h e v a l u e o f d x ( t ) / d t a l s o m u s tv a n i s h , a n d x ( t ) c a n n e v e r b e c o m e d i f f e r e n t f r o m z e r o a g a i n . T h u s , i f x ( t ) i s n o tz e r o , i t m u s t a l w a y s r e t a i n t h e s a m e a l g e b r a i c s i g n , a n d t h e s i g n s o f x ( t ) a n dx ( t -- r ) m u s t b e i d e n t i c a l . O n l y t h e c a s e o f x ( t ) p o s i t i v e i s c o n s i d e r e d h e r e . I fx ( t ) i s p o s i t i v e , t h e s i g n o f d x ( t ) / d t c a n b e e i t h e r p o s i t i v e o r n e g a t i v e , d e p e n d i n gu p o n t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t e r m s i n e q u a t i o n ( 1 ) . T h u s o s c i l l a t i o n i s a l l o w e dw i t h x ( t ) p o s i t i v e . I f x ( t ) i s n e g a t i v e , t h e s i g n o f d x ( t ) / d t i s a l w a y s n e g a t i v e , a n dt h e s o l u t i o n c a n o n l y g o t o n e g a t i v e i n f i n i t y .When t h e c o m b i n a t i o n o f p a r a m e t e r s i s s u c h t h a t a p e r i o d i c o s c i l l a t i o n o c c u r s ,t h e mean v a l u e o f x i s a c o n s t a n t ,

aa =b ( 2 )T h i s r e s u l t c a n b e o b t a i n e d b y d i v i d i n g b o t h s i d e s o f e q u a t i o n ( 1 ) b y x ( t ) , a v e r a g i n go v e r a p e r i o d , a n d t a k i n g a c c o u n t o f t h e p e r i o d i c i t y .A d e g e n e r a t e c a s e o f e q u a t i o n ( 1 ) o c c u r s i f d e l a y t i m e r i s z e r o , g i v i n g t h eV e r h u l s t - P e a r l e q u a t i o n . I t i s a n e x a m p l e o f a B e r n o u l l i e q u a t i o n a n d h a s t h ee x a c t s o l u t i o n

x = [ b + - e x p ( - a t ) ] 1 , ( 3 )w h e r e x = x o a t t = 0 .An e q u a t i o n s i m i l a r t o e q u a t i o n ( 1 ) , b u t s i m p l e r t o a n a l y z e , r e s u l t s i f t h e t e r m

7 0 8


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MATHEMATICS: W. J . CUNNINGHAMw i t h t h e d e l a y t i m e i s r e p l a c e d b y t h e T a y l o r ' s s e r i e s

x~t-T) x ~ t ) - ( T ) d x ( t ) + 2 d 2 X ( t )P r o v i d e d t h a t t h e d e l a y t i m e T i s s u f f i c i e n t l y s m a l l a n d t h e h i g h e r - o r d e r d e r i v a t i v e sa r e n o t t o o l a r g e , o n l y t h e f i r s t f e w t e r m s o f t h i s i n f i n i t e s e r i e s may r e p r e s e n t i tf a i r l y a c c u r a t e l y . S u b s t i t u t i o n o f t h e f i r s t t h r e e t e r m s g i v e s

X-rtx +-2 X =2 1 3 , ( 5 )b xw h e r e a 2 2 / T 2 X a / b . T h i s s e c o n d - o r d e r e q u a t i o n i s n o n l i n e a r b u t h a s a l lt e r m s e v a l u a t e d a t t h e s a m e i n s t a n t . I n many c a s e s o f i n t e r e s t , i t s s o l u t i o n ss h o u l d b e s i m i l a r t o t h o s e o f e q u a t i o n ( 1 ) . A c t u a l l y , e q u a t i o n ( 1 ) i s e q u i v a l e n t t oa n i n f i n i t e - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h i c h m i g h t h a v e a n i n f i n i t y o f m o d e s 3o f o s c i l l a t i o n , w h i l e e q u a t i o n ( 5 ) c a n T- ( i f - )h a v e o n l y a s i n g l e s u c h m o d e . a C T - aT h e t h i r d t e r m o f e q u a t i o n ( 5 ) i s n o n -l i n e a r a n d r e p r e s e n t s p o s i t i v e d a m p i n g 2s o l o n g a s x i s p o s i t i v e . T h e s e c o n dt e r m r e p r e s e n t s n e g a t i v e d a m p i n g . F o r /c e r t a i n c o m b i n a t i o n s o f t h e p a r a m e t e r s , u n s t a b l et h i s n o n l i n e a r t o t a l d a m p i n g m i g h t b e /focuse x p e c t e d t o l e a d t o an o s c i l l a t o r y s o l u - / ' t a bt i o n h a v i n g a l i m i t c y c l e . B e c a u s e t h e s t a b l ep o s i t i v e d a m p i n g o c c u r s a s y m m e t r i c a l l y nd u r i n g t h e c y c l e , t h e s o l u t i o n s h o u l d 0,// , - / 'h a v e a n a s y m m e t r i c w a v e f o r m . Th e T 3w e l l k n o w n v a n d e r P o l e q u a t i o n 5 l e a d selnownan der Pol equation5 leads F I G . L . - S t a b i l i t y d i a g r a m f o r s o l u t i o n s o ft o s u c h a l i m i t c y c l e , b u t t h e r e p o s i t i v e e q . ( 5 ) n e a r t h e s i n g u l a r p o i n t , x , = z tz 8 =d a m p i n g i s s y m m e t r i c a l , a s i s t h e w a v e T X , = 0 .f o r m .

T h e q u a l i t a t i v e n a t u r e o f s o l u t i o n s f o r e q u a t i o n ( 5 ) c a n b e d e t e r m i n e d b y s t u d y -i n g t h e s i n g u l a r p o i n t s 6 o f t h e f i r s t - o r d e r e q u a t i o n r e s u l t i n g f r o m t h e s u b s t i t u t i o nT X = z , s o t h a t r 2 g = z d z / d x . T h i s e q u a t i o n i s

d z 2 [ ( 1 - 1 / b T X ) z - x + ] ( 6 )d x z

I t s s o l u t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d o n a p h a s e p l a n e h a v i n g a s a x e s t h e c o - o r d i n a t e s xa n d z . S i n g u l a r p o i n t s a r e l o c a t e d w h e r e b o t h n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r o fe q u a t i o n ( 6 ) v a n i s h s i m u l t a n e o u s l y . T h e o n l y s i m p l e s i n g u l a r i t y , f o u n d t h i s w a y ,i s l o c a t e d a t x , = , 3 , z , = 0 . A m o r e c o m p l i c a t e d s i n g u l a r i t y e x i s t s a t t h e o r i g i n .T h e n a t u r e o f t h e s o l u t i o n n e a r t h e f i r s t s i n g u l a r i t y c a n b e f o u n d b y r e p l a c i n g xw i t h ( x , + u ) a n d z w i t h ( z , + v ) , w h e r e u a n d v a r e s m a l l . I f o n l y l i n e a r t e r m s a r er e t a i n e d , i n c r e m e n t u i s g i v e n b y

u-a2 T- I ) j + a 2 U = 0 , ( 7 )

V O L . 4 0 , 1 9 5 4 7 0 9


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MATHEMATICS: W. J . CUNNINGHAMw h i c h h a s c h a r a c t e r i s t i c r o o t s

( X 1 , X 2 ) = (aT2 1{(ar - 1 ) 1 [ ( a -1)2 -2a22]1/'}. ( 8 )A s t a b i l i t y d i a g r a m f o r s o l u t i o n s n e a r t h e s i n g u l a r p o i n t ( x , z , ) c a n b e d r a w n a s i nF i g u r e 1 , m a k i n g u s e o f i n f o r m a t i o n i n e q u a t i o n ( 8 ) . Th e t e r m " f o c u s " d e s c r i b e sa n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n ; " n o d e " d e s c r i b e s a s o l u t i o n a p p r o a c h i n g a f i n a l v a l u e m o n o -t o n i c a l l y . An u n s t a b l e s o l u t i o n h a s a p o s i t i v e v a l u e f o r t h e r e a l p a r t o f a t l e a s t o n er o o t . S o l u t i o n c u r v e s f o r e q u a -z w - I t i o n ( 5 ) c a n b e f o u n d g r a p h -I/2 i c a l l y b y a c o n s t r u c t i o n0 | a / ' b a s e d o n e q u a t i o n ( 6 ) , w h i c h1 0

0 c a n b e c o n s i d e r e d t o g i v e4 Mao t h e s l o p e o f a s o l u t i o n curveI - - ' " , 2 |'atn y p o i n t i n t h e p h a s et'S9 i ' p l a n e . I f t h i s s l o p e i sA L I L o ' i , a s s i g n e d a c o n s t a n t v a l u e ,

s a y m , t h e e q u a t i o n f o r a n2V--:',\"aA l ls o c i n e c u r v e ' i s10.-4. 0 I - zbx(8- x) [1+brx-~~~~.~~~~~4~~~~~(9)-~~..:~~~~Alls o c l i n e c u r v e s p a s s

m ' w O-/ 1 s- AIi t h r o u g h t h e s i n g u l a r p o i n t s,/X2 , , \ ' } a ( X 8 , z S ) a n d t h e o r i g i n . A t,/4h e o r i g i n t h e s l o p e o f a l l, L t , { / , , \i s o c l i n e s i s t h e s a m e , d z / d x4,-j1 m \ } An e x a m p l e o f s u c h a

c o n s t r u c t i o n i s s h o w n i nIsi g u r e 2 , w h e r e t h e i s o -z 4 c d i n e s a r e d o t t e d a n d c a r r yl i n e s e g m e n t s w i t h t h e a p -F I G . 2 . - I s o c l i n e c o n s t r u c t i o n f o r s o l v i n g e q . ( 5 ) , w i t h l i n e e g m e n t h e r a pn u m e r i c a l v a l u e s f = 1 , b T = 1 , a= 1 . p r o p r i a t e s l o p e . S e v e r a ls o l u t i o n c u r v e s a r e s k e t c h e d

a s s o l i d l i n e s , w i t h t i m e i n c r e a s i n g i n t h e d i r e c t i o n o f t h e a r r o w s . T h e p a r a m e t e r sf o r t h i s f i g u r e l e a d t o a n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n a b o u t ( x , , z , ) , a s i n d i c a t e d b y t h e s p i r a lc u r v e c o n v e r g i n g t o w a r d t h i s p o i n t . I f x i s n e g a t i v e , s o l u t i o n c u r v e s may g ot h r o u g h l a r g e n e g a t i v e v a l u e s o f x b u t u l t i m a t e l y r e t u r n t o p o s i t i v e x , p a s s i n gt h r o u g h i n f i n i t e v a l u e s o f z o n t h e w a y .T h e s i n g u l a r i t y a t t h e o r i g i n i s e v i d e n t l y u n s t a b l e i n t h i s e x a m p l e . F o r p o s i t i v ex , i t i s l i k e a s a d d l e p o i n t ; f o r n e g a t i v e x , i t i s l i k e a n u n s t a b l e n o d a l p o i n t .A p p r o x i m a t e s o l u t i o n s f o r e q u a t i o n ( 5 ) , v a l i d n e a r ( x 8 , z , ) , c a n b e f o u n d a n a l y t i -c a l l y b y t w o m e t h o d s . I n e a c h c a s e t h e g e n e r a t i n g s o l u t i o n

7 1 0 P R O C . N . A . S .

X =# + A s i n ( a t + 0 ) ( 1 0 )


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MATHEMATICS: W. J . CUNNINGHAMi s u s e d , w h e r e A i s t h e a m p l i t u d e a n d 0 i s t h e p h a s e a n g l e o f t h e o s c i l l a t o r y s o l u t i o n .By a p p l y i n g t h e m e t h o d o f v a r i a t i o n o f p a r a m e t e r s , 8 t h e a m p l i t u d e i s f o u n d t ov a r y w i t h t i m e a s

A = pA - q A 3 , ( 1 1 )w h e r e p = ( a r - 1 ) ( a 2)1 a n d q b 2 / 4 a 3 T 2 I t i s a s s u m e d h e r e t h a t A / # < 1a n d t h a t t h e r e l a t i v e c h a n g e i n A p e r c y c l e o f o s c i l l a t i o n i s s m a l l . T h i s l a s t r e -q u i r e m e n t i s e q u i v a l e n t t o t h e s t a t e m e n t

4 / 5 < ( a T ) < 5 / 4 .E q u a t i o n ( 1 1 ) h a s t h e s o l u t i o n

A = A ( t ) = + (A02- e x p ( - 2 p t ) ] ' / ' , ( 1 2 )w h e r e A = A o a t t 0 . I f p i s p o s i t i v e , A a l w a y s a p p r o a c h e s t h e v a l u e

A s ( 2 ) ' / ' - 2 , 3 ( a r - 1 ) ' / 2 . ( 1 3 )I f p i s n e g a t i v e , A a p p r o a c h e s z e r o . I n a s i m i l a r w a y , i t c a n b e s h o w n t h a t o n t h ea v e r a g e 0 d o e s n o t v a r y w i t h t i m e . T h u s a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n i s

x= + A ( t ) s i n [ ( \ ) t + 0 0 , ( 1 4 )w h e r e A ( t ) i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 2 ) a n d A O a n d 0 o d e p e n d u p o n i n i t i a l c o n d i t i o n s .By a p p l y i n g a p e r t u r b a t i o n m e t h o d , 9 a n o t h e r a p p r o x i m a t e s o l u t i o n i s f o u n d t o b e

x = j 3 + A s i n a t - ( a A 2 / 6 b 1 3 2 ) s i n 2 a t . . ( 1 5 )T h i s i s a s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n v a l i d f o r

I < ( a r ) < 5 / 4 .I n e q u a t i o n ( 1 5 ) , A h a s t h e v a l u e o f e q u a t i o n ( 1 3 ) , a n d t h e p r e s e n c e o f a s e c o n d -h a r m o n i c c o m p o n e n t i s i n d i c a t e d . I t s p h a s e i s s u c h a s t o r e d u c e t h e r a t e o f r i s eo f x f r o m s m a l l v a l u e s a n d t o s t e e p e n i t s d r o p f r o m l a r g e v a l u e s .T h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s , g i v e n i n e q u a t i o n s ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) , a p p l y d i r e c t l y t oe q u a t i o n ( 5 ) a n d m i g h t b e e x p e c t e d t o a p p l y r e a s o n a b l y w e l l t o e q u a t i o n ( 1 ) , a l s o .A s m e n t i o n e d e a r l i e r , e q u a t i o n ( 1 ) i s e q u i v a l e n t t o a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f i n f i n i t eo r d e r a n d m i g h t h a v e a n i n f i n i t y o f m o d e s o f o s c i l l a t i o n . T h e - m o d e w i t h t h el o n g e s t p e r i o d i s f o u n d i n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 1 5 ) . T h i s p e r i o di s T = 2 " 1 ' w r r , a n d t h e r a t i o r / T i s i n t h e o r d e r o f 1 / 4 . P r o v i d e d t h a t t h e p r o d u c ta r i s l a r g e e n o u g h , m o d e s w i t h s h o r t e r p e r i o d s may e x i s t f o r w h i c h t h e r a t i o r / Tw o u l d b e o f t h e o r d e r o f 5 / 4 , 9 / 4 ,.n a n y p h y s i c a l s i t u a t i o n d e s c r i b e d b ye q u a t i o n ( 1 ) , i t i s l i k e l y t h a t o n l y t h e mode w i t h l o n g e s t p e r i o d w o u l d b e f o u n d .An e l e c t r o n i c a n a l o g u e c o m p u t e r w a s u s e d t o f i n d s o l u t i o n s f o r b o t h e q u a t i o n s

V O L . 4 0 , 1 9 5 4 7 1 1


5/6

MATHEMATICS: W. J . CUNNINGHAM( 1 ) a n d ( 5 ) , w i t h s p e c i f i c v a l u e s f o r t h e n u m e r i c a l p a r a m e t e r s . I n F i g u r e 3 a r es h o w n s o l u t i o n s f o r t h e p u r e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , e q u a t i o n ( 5 ) . T h e mean v a l u e

1 0 t / tF I G . 3 . - S o l u t i o n s f o r e q . ( 5 ) f o u n d w i t h a n a l o g u e c o m p u t e r . A t t = 0 ,x o = 0 / 4 , o = 0 .

o f t h e s o l u t i o n i s 3 , a n d t h i s v a l u e i s a p p r o a c h e d m o n o t o n i c a l l y i f a r < 0 . 4 , a p p r o x i -m a t e l y . S u s t a i n e d o s c i l l a t i o n s o c c u r i f a T > 1 . 0 , a p p r o x i m a t e l y . A s a T i s m a d el a r g e r , t h e o s c i l l a t i o n s b e c o m e m o r e v i o l e n t i n n a t u r e . G o o d a g r e e m e n t e x i s t s w i t ht h e s o l u t i o n s f o u n d a n a l y t i c a l l y . I n F i g u r e 4 a r e s h o w n s o l u t i o n s f o r t h e d i f f e r e n -

t / t t 0F I G . 4 . - S o l u t i o n s f o r e q . ( 1 ) f o u n d w i t h a n a l o g u e c o m p u t e r . F o r t h e i n t e r v a l-*r < t


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MATHEMATICS: M . S . FRANKs u s t a i n e d o s c i l l a t i o n s d o n o t o c c u r u n l e s s a r > 1 . 8 , a p p r o x i m a t e l y . A s x r i s e s f r o ma n i n i t i a l s m a l l p o s i t i v e v a l u e , x o , t h e c u r v e o f x v e r s u s t m u s t f a l l b e t w e e n b o u n d i n gc u r v e s g i v e n b y e q u a t i o n ( 3 ) f o r r = 0 a n d b y x 0 e x p ( a t ) f o r r a o .

I f p r o d u c t a r i s made v e r y l a r g e , t h e s o l u t i o n b e c o m e s a r e l a x a t i o n o s c i l l a t i o na b o u t t h e m e a n v a l u e f , g o i n g t o a l a r g e p o s i t i v e v a l u e , X m a x a n d d r o p p i n g s u d d e n l yv e r y c l o s e t o z e r o . A r a t h e r c r u d e s i m p l i f i c a t i o n o f t h e w a x e f o r m l e a d s t o r o u g he s t i m a t e s o f x m a x a n d t h e p e r i o d T , f o r a r v e r y l a r g e :X M a x = ( 1 + a T ) O , ( 1 6 )T = + . ( 1 7 )

T h e w o r k d e s c r i b e d h e r e w a s d o n e i n p a r t u n d e r r e s e a r c h c o n t r a c t N o n r 4 3 3 ( 0 0 )b e t w e e n t h e O f f i c e o f N a v a l R e s e a r c h a n d Y a l e U n i v e r s i t y . 1 0 T h e a u t h o r i si n d e b t e d t o P r o f e s s o r G . E . H u t c h i n s o n f o r i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n s c o n c e r n i n g t h ep r o b l e m .

I G . E . H u t c h i n s o n , A n n . N . Y . A c a d . S c i . , 5 0 , 2 2 1 , 1 9 4 8 .2 R . M . G o o d w i n , E c o n o m e t r i c a , 1 9 , 1 , 1 9 5 1 .3 R . B e l l m a n a n d J . M. D a n s k i n , P r o c e e d i n g s o f t h e S y m p o s i u m o n N o n l i n e a r C i r c u i t A n a l y s i s(New Y o r k : P o l y t e c h n i c I n s t i t u t e o f B r o o k l y n , 1 9 5 3 ) , p . 1 0 7 . A l o n g b i b l i o g r a p h y i s i n c l u d e d' h e r e .4 A . J . L o t k a , E l e m e n t s o f P h y s i c a l B i o l o g y ( B a l t i m o r e : W i l l i a m s & W i l k i n s C o . , 1 9 2 5 ) , p . 6 4 .6 N . M i n o r s k y , N o n l i n e a r M e c h a n c i s ( A n n . A r b o r , M i c h . : J . W . E d w a r d s , 1 9 4 7 ) , p . 1 1 3 .' b i d . , c h a p . i i i .7 I b i d . , p . 2 0 .8 I b i d . , c h a p . x .9 I b i d . , c h a p . v i i i .1 0 W. J . C u n n i n g h a m , "A N o n l i n e a r D i f f e r e n t i a l - D i f f e r e n c e E q u a t i o n o f G r o w t h " ( C o n t r a c tN o n r - 4 3 3 [ 0 0 1 , Y a l e U n i v e r s i t y , Ne w H a v e n , M ay 1 , 1 9 5 4 ) .

A NEW CLASS OF SIMPLE L I E ALGEBRASBY MARGUERITE S T R A U S FRANKUNIVERSITY OF CHICAGO

C o m m u n i c a t e d b y A . A . A l b e r t , A p r i l 3 0 , 1 9 5 41 . T h e J a c o b s o n - W i t t A l g e b r a . - I n t h i s n o t e we s h a l l d e f i n e a c l a s s o f L i e a l g e b r a sZ , o f c h a r a c t e r i s t i c p . T h e y w i l l b e s u b a l g e b r a s o f t h e w e l l - k n o w n J a c o b s o n - W i t ta l g e b r a s . W e s h a l l p r o v e t h a t t h e a l g e b r a s Z , , a r e s i m p l e f o r e v e r y n > 2 a n d t h a tt h e y h a v e d i m e n s i o n ( n - 1 ) ( p f - 1 ) . S i n c e t h i s i s , i n g e n e r a l , a n e w d i m e n s i o n ,

t h e a l g e b r a s f o r m a new c l a s s o f s i m p l e L i e a l g e b r a s o f c h a r a c t e r i s t i c p .L e t j b e a n y f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c p , E , = [ x 1 , . . . , X n ] b e t h e a l g e b r a o f a l lp o l y n o m i a l s i n x i , . . . , x n s u b j e c t o n l y t o t h e c o n d i t i o n t h a t x i = . . . =Xn0 . T h e n t h e d i m e n s i o n o v e r a o f Q 3 n i s p f l I t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e a l g e b r a G . ,o f a l l d e r i v a t i o n s o v e r a o f E O n i s t h e s e t o f a l l t r a n s f o r m a t i o n s

V O L . 4 0 , 1 9 5 4 7 1 3

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