NON-EXHAUSTIVE SEARCH DENGAN TAIL-SCANPADA ESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL

BERBASIS REKONSTRUKSI SPARSE

LAPORAN KEMAJUAN 3

OlehKOREDIANTO USMAN

NIM: 33213002(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNGDesember 2015

NON-EXHAUSTIVE SEARCH DENGAN TAIL-SCAN PADAESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL BERBASIS

REKONSTRUKSI SPARSE

OlehKoredianto Usman

NIM: 33213002(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

Institut Teknologi Bandung

MenyetujuiTim Pembimbing

Tanggal : 10 Desember 2015

Ketua,

(Prof. Andriyan Bayu Suksmono, Ph.D)

Anggota,

(Prof. Hendra Gunawan, Ph.D)

i

ABSTRAK

Estimasi arah kedatangan sinyal adalah teknik estimasi sudut kedatangan objekyang dideteksi dengan peralatan radar atau sonar. Teknik klasik untuk estimasiarah kedatangan antara lain adalah MVDR, MUSIC, dan ESPRIT. Peran dariCompressive Sensing (CS) adalah pengurangan jumlah sampel akuisisi pada sisipenerima. Pengurangan ini memberi dampak pada kecilnya data rate, sehinggadimungkinkan membangun sistem radar terdistribusi yang saling mengirimkan datauntuk memantau daerah yang luas. Teknik terkini dalam estimasi arah kedatangansinyal dengan compressive sensing adalah dengan metoda sparsitas sudut. Teknik inimengasumsikan sinyal datang berasal dari beberapa sumber berbeda yang berjumlahterbatas. Teknik yang telah dikembangkan peneliti untuk skema ini adalah denganmenggunakan sensing matrix A yang tersusun atas steering vector yang berasal darisemua sudut yang dipindai (-900 sampai 900). Teknik pindai pada semua sudut inidisebut sebagai exhaustive search. Teknik exhaustive search ini memiliki permasalahanpada besarnya matrik sensing A, sehingga proses rekonstruksi CS menjadi berat.Kemungkinan pemindaian pada rentang sudut yang lebih kecil (non-exhaustive search),yaitu pada sudut-sudut yang diduga mengandung sumber sinyal diusulkan padapenelitian ini. Pengujian yang dilakukan pada penelitian ini menunjukkan bahwateknik ini memiliki tingkat keberhasilan yang baik. Masih terdapat masalah tambahanyang harus diselesaikan pada teknik non-exhaustive search yaitu rekonstruksi CS tidakkonvergen jika rentang sudut pindai terlalu sempit. Penambahan pemindaian di luararea pemindaian utama (tail-scan) untuk mengatasi masalah ini juga dilakukan padalaporan ini. Di samping penelitian pada teknik tail-scan, pada Kemajuan Tahap 3 inijuga dilakukan teknik alternatif penyelesaian permasalahan rekonstruksi CS denganalgoritma baru yang disebut dengan metode titik berat. Teknik metode titik berat inijuga dibahas dalam laporan ini.

Kata kunci : compressive sensing, estimasi arah kedatangan sinyal, sparsitas,exhaustive search, non-exhaustive search, tail scan.

ii

DAFTAR ISI

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viBAB I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 State of The Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Premis dan Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.4 Perbandingan Kemajuan 3 dengan Kemajuan sebelumnya . . . . 5I.5 Publikasi terkait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.6 Kontribusi dan Kebaruan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

BAB II Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.1 Model matematis sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.2 Compressive Sensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.3 Compressive sensing pada estimasi DoA . . . . . . . . . . . . . . 11II.4 CS solver dengan CVX Programming . . . . . . . . . . . . . . . 14

BAB III Metode yang diusulkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III.1 Teknik Non-Exhaustive Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III.2 Teknik Tail-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17III.3 Metode Titik Berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

BAB IV Hasil kemajuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28IV.1 Hal yang telah dilakukan pada semester berjalan . . . . . . . . . 28

IV.1.1 Hasil simulasi teknik non-exhaustive search dengan tail scan 28IV.2 Perbandingan akurasi regular dan random tail-scan tanpa

interpolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29IV.3 Perbandingan akurasi regular dan random tail-scan dengan

interpolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30IV.4 Perbandingan kegagalan konvergensi pada tail-scan . . . . . . . . 30IV.5 Perbandingan waktu komputasi pada skema tail-scan . . . . . . . 31

BAB V Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33BAB Lampiran A : Faktorisasi QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1 Faktorisasi QR untuk Over determined system . . . . . . . . . . 38BAB Penyelesaian Persamaan Underdetermined dengan faktorisai QR . . . 40

2 QR Faktorisasi dengan Transformasi Householder . . . . . . . . . 422.1 Prinsip: Membuat elemen nol pada vektor . . . . . . . . . 422.2 Pemaktoran Matrik ke komponen Q dan R . . . . . . . . 462.3 Contoh Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4 QR dekomposisi dengan Column Pivoting . . . . . . . . . 502.5 Penyelesaian masalah sistem persamaan linier

Underdetermined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii

DAFTAR GAMBAR

I.1 Perbandingan pekerjaan penelitian yang dilakukan pada SeminarKemajuan I, II, dan III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2 Publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakan . . . . . . . . 7

II.1 Antennas arrangement in ULA with distance d between element . . . 8II.2 Ilustrasi skema sparsitas sudut. Sensing matrix A disusun dari steering

vector sudut-sudut yang dipindai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III.1 Ilustrasi exhaustive search. Algoritma memindai pada semua arahuntuk memperoleh arah sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.2 Blok diagram skema non-exhaustive search dengan fungsi pemindaiankasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III.3 Ilustrasi non-exhaustive search. (a) Skema dalam diagram arah/sudutdalam koordinat polar (b). dalam koordinat kartesian . . . . . . . . . 17

III.4 Ilustrasi tracking object dengan teknik non-exhaustive search sertaupdate scanning window pada setiap waktu. (a),(b), dan (c)pergerakan objek beserta update scanning window yang bersesuaian.(d). ilustrasi pergeseran scanning window pada setiap waktu; W1, W2,W3 adalah scanning window berturut-turut pada t1, t2 dan t3 . . . . 18

III.5 Ilustrasi detail tentang proses update scanning window denganmenggunakan median dari posisi objek. (a) hasil scanning kasardengan algoritma klasik pada semua sudut,(b) penerapan scanningwindow pada sudut yang dianggap memiliki objek, (c) objek bergeraksehingga puncak scanning bergeser menuju batas window. (d). updatescanning window, sehingga puncak scanning berada di tengah scanningwindow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

III.6 Hasil simulasi: perbandingan skema exhaustive search terhadap . . . . 20III.7 Non-exhaustive search dengan tail-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . 20III.8 Non exhaustive search dengan tail scan. (a) uniform tail scan, (b)

random tail scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III.9 Solusi persamaan Ax=y terletak pada garis (A). Solusi dari Norm-L1

(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III.10 (a). Iterasi awal dengan k0 yang cukup besar sehingga kurva Ax = y

dan ‖x‖1 = k0 berpotongan di P1 dan P2. Titik tengah M1 dipilihsebagai iterasi berikutnya. (b). Norm di M1 dipilih sebagai nilai kberikutnya. Proses ini diulangi sehingga diperoleh titik yang konvergen. 22

III.11 (a). Kasus dimensi 3, ‖x‖1 = k0 membentuk oktahedron. Solusi dariAx = y dengan matrik A 1x3 adalah suatu bidang. Jika k0 cukupbesar, ‖x‖1 = k0 akan memotong Ax = y. (b). Bidang perpotongandengan titik sudut P1 sampai P5. Titik M1 dipilih sebagai kombinasikonveks dari titik-titik P1 sampai P5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iv

DAFTAR GAMBAR

III.12 Faktorisasi QR Householder dengan pivot kolom (a). Pivot kolomdengan urutan L2-norm dari yang terbesar ke yang terkecil (b). Pivotkolom dengan urutan L2-norm dari yang terkecil ke yang terbesar . . 25

III.13 Perpotongan antara oktahedron norm L1 dengan solusi dari fungsiobjektif yang berupa garis. Titik potong bidang dan garis dinotasikandengan P1 dan P2. Titik M1 yang merupakan kombinasi konveks dariP1 dan P2 diilustrasikan pada gambar kanan . . . . . . . . . . . . . . 26

1 Tahap pengubahan suatu matrik X sebarang ke matrik segitiga atas . 46

v

DAFTAR TABEL

I.1 Perbandingan Referensi State of The Art . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Premis dan Hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian . . . . . . . . 5

IV.1 Parameter simulasi exhaustive dan non exhaustive search . . . . . . . . 28

vi

BAB I Pendahuluan

I.1 Latar Belakang

Teknik compressive sensing untuk estimasi arah kedatangan sinyal memperolehperhatian yang besar pada dekade saat ini. Meski pun CS mulai dianggap sebagaibidang ilmu yang cukup matang pada pertengahan tahun 2000an (Donoho (2006),Candes dan Wakin (2008), Baraniuk (2007)), teknik yang mendasarinya telahberkembang lebih dahulu, seperti matching pursuit (Mallat dan Zhang (1993)), basispursuit Chen dkk. (2001), algoritma greedy (Tropp (2004)) maupun wavelet. Penerapanteknik CS telah dilakukan pada berbagai bidang, antara lain: kompresi data (Candesdan Wakin (2008), Wahidah dan Suksmono (2010)), channel coding (Candes dan Wakin(2008)), MRI imaging (Swastika dan Haneishi (2012)), wireless channel estimation(Hayasi dkk. (2013)).

Saat ini, teknik CS telah pula diterapkan pada bidang radar. Secara umum radarmemiliki tiga fungsi, yaitu: estimasi arah kedatangan, estimasi jarak, dan estimasikecepatan. Pada bidang estimasi arah kedatangan sinyal, teknik Compressive Seningditujukan untuk mengurangi jumlah sampel yang harus diakuisisi oleh penerima.Jumlah sampel yang sedikit akan memberikan keuntungan pada kebutuhan bandwidthtelekomunikasi yang rendah. Dengan demikian, skema distributed radar system dapatdiimplementasikan lebih mudah untuk menjangkau wilayah yang luas.

Secara perkembangan, teknik estimasi arah kedatangan sinyal sendiri telahberkembang sejak era analog, sampai dengan era digital. Pada era digital, teknikestimasi arah kedatangan sinyal dipelopori antara lain oleh algoritma Capon atauMVDR (Dmochowski dkk. (2007)). Dengan memanfaatkan kovariansi matrik sinyalpenerima, serta steering vector pada arayh yang dipindai, algoritma ini berhasilmemperoleh estimasi arah kedatangan sinyal dengan spektrum puncak yang cukuptajam. Schmidt melakukan terobosan pada bidang estimasi DoA ini denganmengusulkan algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification, Schmidt (1986)).Algoritma ini membuka dimensi baru dengan penggunaan teknik sub-space yangberasal dari dekomposisi nilai eigen dari matrik kovariansi. Roy dkk. (1986) jugamenggunakan teknik sub-space untuk melakukan estimasi arah kedatangan sinyal.Teknik ini berbeda dengan MUSIC karena teknik ini tidak melakukan estimasi arahkedatangan sinyal dengan memindai semua arah, namun ia memanfaatkan strukturdari susunan antena penerima. Estimasi arah kedatangan diperoleh dengan manipulasimatematis dari susunan ini. Teknik ini populer dengan istilah ESPRIT (Estimation

1

of Signal Parameters via Rotational Invariant Techniques). Veen dan Buckley (1988)mengajukan skema yang sederhana dibandingkan dengan MUSIC dan ESPRIT, yaituskema delay and sum (DAS). Skema ini memiliki prinsip estimasi arah kedatangandengan mendelay fasa dengan suatu mekanisme pada setiap elemen antena. Pada nilaifasa tertentu, diperoleh sinyal terima terkuat. Sudut yang berkorespondensi dengandelay tersebut diambil sebagai estimasi arah kedatangan sinyal.

Teknik klasik pada umumnya bersandar pada teorema sampling klasikShannon-Nyquist dalam mengakuisisi data. Akuisisi data dilakukan dengan kecepatansampling sekurang-kurangnya dua kali frekuensi tertinggi sinyal informasi. Akibatdari adanya skema akuisisi ini, data yang diolah oleh algoritma klasik adalah sangatbesar. Teknik distributed radar system yang bersandar pada komunikasi antar unit(seperti wireless sensor network) akan memiliki masalah jika harus mentransmisikandata besar setiap saat. Oleh karena itu teknik CS untuk DoA sangat diperlukan padakondisi tersebut.

Secara umum, terdapat tiga kategori besar dalam pemanfaatan compressive sensinguntuk estimasi arah kedatangan sinyal: skema sparsitas waktu, skema sparsitas ruang,dan skema sparsitas sudut. Sparsitas waktu mengambil asumsi bahwa sinyal yangditerima sensor bersifat sparse secara sampel per sampel. Mengambil asumsi ini, makapengurangan sampel dilakukan dalam ranah waktu. Penelitian yang memanfaatkanskema ini antara lain adalah Wang dkk. (2009). Di sisi lain, skema sparsitas ruangmengambil asumsi bahwa sinyal yang diterima suatu sensor adalah sama dengan sinyalyang diterima oleh sensor yang lain dengan perbedaan pada fasa. Dengan asumsi ini,maka jumlah sensor dapat dikurangi sampai menjadi sebanyak sinyal yang diterima.Pengurangan jumlah sensor berarti juga mengurangi jumlah sampel yang diterima.Penelitian yang memanfaatkan skema ini antara lain adalah Gurbuz dan McClellan(2008), dan Jouny (2011). Skema sparsitas sudut mengambil asumsi bahwa sinyalyang datang hanya pada sudut-sudut tertentu. Dengan asumsi ini, maka algoritmaestimasi arah kedatangan dilakukan dengan mencari spektral tak nol pada matriksinyal penerima yang disusun terdiri dari semua sudut arah kedatangan yang dipindai.Penelitian yang menggunakan skema ini antara lain adalah Gorodnitsky dan Rao(1997) dan Stoica dkk. (2011).

Skema sparsitas sudut memiliki keuntungan utama dari pada skema sparsitas waktudan sparsitas sensor yaitu pada jumlah sampel yang sedikit. Penelitian Gorodnitskydan Rao (1997) mengusulkan penggunaan satu sampel untuk estimasi arah kedatangan.Untuk keperluan rekonstruksi, Gorodnitsky dan Rao menggunakan algoritma FocalUnderdetermined System Solver (FOCUSS). Dalam lingkungan dengan derau yangrendah, hasil estimasi arah kedatangan yang dilaporkan oleh Gorodnitsky dan Raotersebut memiliki resolusi yang tajam. Meski keuntungan ini, algoritma FOCUSS

2

yang ditawarkan mengalami masalah pada lingkungan dengan derau tinggi (Usmandkk. (2014)). Teknik multi sampel yang dilakukan oleh Stoica dkk. (2011) memperbaikiperforma yang lebih baik, namun proses komputasi yang lebih tinggi. Proses komputasiyang lebih tinggi ini disebabkan antara lain oleh jumlah sampel yang lebih banyakdan basis perhitungan pada bilangan kompleks. Permasalahan yang juga perludiatasi pada skema sparsitas sudut adalah pemindaian yang dilakukan pada semuaarah menyebabkan sensing matrix A memiliki dimensi yang sangat besar. Hal inimenyebabkan proses rekonstruksi CS berjalan lambat. Penelitian yang dilakukan iniadalah untuk menjawab permasalahan tersebut.

I.2 State of The Art

Pada bagian ini, dipilih tiga referensi yang dijadikan sebagai state of the art. Pemilihantiga referensi ini dikarenakan karena ketiga referensi ini adalah referensi langsung yangterkait pada upaya penyelesaian masalah yang diusulkan. Ketiga referensi ini adalahGorodnitsky dan Rao (1997), Stoica dkk. (2011), dan Dai dkk. (2013). Detail dariketiga referensi tersebut adalah sebagai berikut :

1. Gorodnitsky dan Rao (1997): Sparse Signal Reconstruction form Limited dataUsing FOCUSS: a re-weighted minimum norm algorithm, Publikasi : IEEETransaction on Signal Processing, Vol. 45, No.3 (Referensi #1)

2. Stoica, Babu, dan Li (2011): SPICE: A sparse covariance-based estimationmethod for array processing, Publikasi : IEEE Transaction of Signal Processing,Vol.59, No.2 (Referensi #2)

3. Dai, Xu, dan Zhao (2013): Direction-of-Arrival Estimation Via Real-ValuedSparse Representation, Publikasi : IEEE Antennas and Wireless PropagationLetters (Referensi #3)

Referensi #1 menjadi referensi utama dari skema sparsitas sudut. Sejauh yangpenulis teliti, Referensi #1 dapat dianggap sebagai karya seminal dari teknik sparsitassudut. Hal yang menarik dikaji adalah bahwa teknik ini dapat bekerja denganmenggunakan satu sampel sinyal saja. Referensi #2 membahas tentang teknikrekonstruksi dengan metode covariance-based. Teknik ini memperbaiki hasil dariReferensi #1 dalam hal ketahanan dalam lingkungan derau tinggi. Teknik inimengakomodasi penggunaan multi sampel. Referensi #3 membahas tentang teknikpenyederhaan perhitungan rekonstruksi compressive sensing dengan cara mengubahnilai-nilai kompleks menjadi nilai-nilai riil. Pengubahan ini diklaim oleh parapenulisnya dapat mempercepat komputasi menjadi 4 kali. Dalam kerangka tiga

3

referensi ini penelitian ini dilakukan dan dikembangkan. Tabel I.1 memperlihatkanperbandingan tekniks dari ketiga referensi ini.

Tabel I.1. Perbandingan Referensi State of The Art

Perihal Referensi #1 Referensi #2 Referensi #3Aplikasi Estimasi arah

kedatangan sinyaldengan algoritmaFOCUSS

Estimasi arahkedatangan sinyaldengan algoritmaSPICE

Estimasi arahkedatangan dengancompressive sensingdengan nilai riil

Tujuan Menunjukkan bahwateknik CS dengansatu sampel dapatmenghasilkan estimasiarah yang baik danresolusi tinggi

Teknik estimasi arahkedatangan beberapasampel sekaligus

Mempercepatperhitungan compressivesensing dengantransformasi unitaryuntuk memperoleh nilaimatrik riil

Skema Jumlah sumber : 3(pada sudut -44, -33,56); Jumlah sensor :8; Jumlah sampel 1; Algoritma InisialisasiMVDR

Jumlah sumber :3 (pada sudut 10,40 dan 55 derajat);Jumlah sensor : 10 ;Jumlah sample : 200; Algoritma inisialisasiSPICE

2 sumber (pada sudut-2.5 dan 3.5 derajat) ;Jumlah sensor : 10 ;Jumlah sampel : 100; Algoritma inisialisasi :MUSIC

Kekurangan Tidak robust padalingkungan denganderau tinggi

Kompleksitas tinggikarena melakukanexhaustive search padasemua arah

kompleksitas tinggi:teknik Singular ValueDecomposition (SVD)diterapkan pada matrikbesar serta perhitungandekomposisi memerlukanwaktu yang besar

Kelebihan Hanya menggunakansatu sampel, sangatefisien bandwidth jikaditransmisikan

Mengakomodasimulti-sample sehinggalebih robust padalingkungan denganderau tinggi

komputasi yang lebihringan dibandingkan

I.3 Premis dan Hipotesis

Pada Kemajuan I telah disampaikan premis yang mendasari penelitian ini, yaitu : 1).Skema sparsitas sudut memiliki kelemahan pada lingkungan dengan derau tinggi, 2).Skema sparsitas sudut memiliki kompleksitas rekonstruksi yang tinggi. Kedua premistersebut telah dibuktikan dengan simulasi komputer yang dilakukan. Hasil pembuktiantersebut telah dipublikasikan sebagai publikasi awal dari penelitian ini (Usman dkk.(2014)).

4

Pada Kemajuan II dilakukan simulasi lanjutan yaitu perbaikan skema yang adadengan teknik non-exhaustive search. Dari percobaan-percobaan yang dilakukan, makadiperoleh premis-premis lanjutan, yaitu: 3). Skema sparsitas sudut dapat bekerjadengan sudut pindai yang lebih sempit (non-exhaustive search).

Pada Kemajuan III ini, dilakukan percobaan yang lebih intensif pada teknik tail-scanserta pengembangan teknik rekonstruksi CS dengan dengan teknik titik berat (weightpoint) untuk memperoleh solusi yang dijamin kekonvergenannya. Premis-premis yangdiajukan untuk tahap ini adalah: 4). teknik tail-scan memiliki kinerja yang lebih baikdari pada tanpa tail-scan, 5). Tail-scan uniform secara statistik memiliki kinerja yanglebih baik dari pada tail-scan random, 6). Rekonstruksi CS dengan menggunakan titikberat dari bidang perpotongan norm L1 dan fungsi objektif memberikan solusi CS yangdijamin kekonvergenannya.

Tabel I.2. Premis dan Hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian

Premis HipotesisSkema sparsitas sudut memilikiakurasi yang buruk padalingkungan derau tinggi

Akurasi pada lingkungan derau tinggidapat ditingkatkan dengan teknik yangmengolah beberapa sampel sekaligus

Skema sparsitas sudut memilikikompleksitas rekonstruksi yangtinggi

Pengurangan kompleksitas dapatdilakukan dengan pra-pemindaian danpemindaian pada arah tertentu sajanon-exhaustive search

Metode teknik scanningnon-exhaustive memilikipermasalahan pada konvergensi,khususnya jika menggunakanteknik rekonstruksi CS denganpemrograman convex

Perbaikan dilakukan denganmemberikan scanning tambahandi luar arah utama atau tail-scanuntuk memberikan basis scanningpada semua arah agar konvergensidapat dijamin

Teknik pemrograman convexyang berdasarkan metodeinterior point method daniterasi Newton menimbulkanpermasalahan pada nilai awalyang dapat menyebabkanketidakkonvergenan

Penggunakaan metode titik beratdapat memperbaiki masalahkekonvergenan tersebut

I.4 Perbandingan Kemajuan 3 dengan Kemajuan sebelumnya

Pada Kemajuan I, penelitian diarahkan pada teknik sparsitas sudut yang dipeloporioleh Goronitsky dan Rao Gorodnitsky dan Rao (1997). Perbaikan dilakukan denganmenggunakan teknik transformasi unitary untuk mempercepat proses perhitungan dari

5

algoritma tersebut. Pada Kemajuan I ini, belum dilakukan upaya untuk mempercepatperhitungan dengan mengurangi lebar sudut pindai. Pengurangan lebar sudut pindaidilakukan pada Kemajuan II. Proses yang dilakukan adalah memindai pada semuasudut untuk memperoleh arah kedatangan sinyal, setelah itu, pada proses berikutnya(proses update), pemindaian dilakukan pada arah tertentu saja (non-exhaustive search)pada arah yang diidentifikasi terdapat objek. Pada Kemajuan III permasalahanketidakkonvergenan diatasi dengan dua cara yaitu dengan teknik tail-scan (uniformdan random) dan dengan teknik rekonstruksi CS baru yang dikembangkan sendirimenggunakan metode titik berat dari bidang perpotongan norm L1 dan fungsi objektifrekonstruksi. Penggunaan metoda titik berat ini dilakukan sebagai alternatif darimetoda iterasi Newton dengan kelebihan pada jaminan konvergensi. Gambar I.1memperlihatkan skema penelitian yang dilakukan pada setiap kemajuan ini.

Direction of ArrivalEstimation

Classical

Time Sparsity

Angle Sparsity

Compressive Sensing

Spatial Sparsity

Unitary Transf.

Non-Exhaustive

SearchPre-Scanning

Teknik

Tail Scan

SK I

SK IIL1-Solver

Weight PointAlgorithm SK III

Gambar I.1. Perbandingan pekerjaan penelitian yang dilakukan pada SeminarKemajuan I, II, dan III.

6

I.5 Publikasi terkait

Gambar I.2 memperlihatkan publikasi yang telah dan yang direncanakan pada setiapkemajuan.

Angle Sparsity

Unitary Transf.

Non-Exhaustive

SearchPre-Scanning

Teknik

Tail Scan

SK II

L1-SolverWeight PointAlgorithm

SK III

Peningkatan Kinerja Skema

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal

dengan Compressive SensingSparsitas Sudut dan sampel Multisnap

2014 — Jurnal Nasional INKOM LIPI

Multiple Measurement Vector

for Improving FOCUSS algorithm

in Direction of Arrival Estimation

2014 — ICoDSEInternational Conference

Uniform Non-ExhaustiveSearch on SparseReconstruction for Directionof Arrival Estimation

International Conference

2015 — APWIMob

Journal of Computational2015 — to be SUBMITTED

L1 Sparse Reconstruction using

Iterative Weight Point Method

and Applied MathematicsElsevier

Direction of Arrival EstimationEstimation using CompressiveSensing : a Survey

2015 — to be SUBMITTED

Indonesian Journal of

Electrical Engineering

SK IV

Direction of Arrival Estimation

IEICE/IEEE2016 / 2017

Gambar I.2. Publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakan

I.6 Kontribusi dan Kebaruan

Kontribusi dan kebaruan yang diperoleh pada tahapan-tahapan penelitian yang telahdilakukan adalah:

• Teknik Non-Exhaustive Search

• Teknik Tail-Scan (uniform dan random)

• Algoritma baru untuk rekonstruksi CS : metode Iterative Weight Point

7

BAB II Landasan Teori

II.1 Model matematis sistem

Untuk keperluan simulasi, maka model matematis dari sistem yang ditinjau perludijabarkan terlebih dahulu. Tinjau susunan antena (antenna array) yang terdiri dariM buah elemen antena. Elemen antena ini disusun sehingga terletak pada satu garis,dengan jarak antar antena konstan. Susunan ini disebut sebagai uniform linear array/ ULA. Misalkan bahwa sumber sinyal datang pada jarak yang jauh dengan sudutkedatangan sebesar θ relatif terhadap garis normal susunan antena (Gbr. II.1). Jikajarak sistem antena ke sumber jauh lebih besar dari pada dimensi susunan antena,maka berkas yang sampai ke masing-masing antena dapat dianggap sejajar.

d

d

θ

l1

l2

l3

lM

∆

2∆

(M − 1)∆

R

x1(t)

x2(t)

x3(t)

xM(t)

Gambar II.1. Antennas arrangement in ULA with distance d between element

Dengan menggunakan antena paling atas sebagai referensi, serta jarak antar elemenantena adalah d, maka perbedaan jarak tempuh pada masing-masing antena (∆) dapatditulis sebagai

∆ = d · sin(θ). (II.1)

Perbedaan jarak ini berkorespondensi dengan delay fasa sebesar :

φ= 2πλ·d · sin(θ) (II.2)

Dengan mengumpulkan sinyal yang diterima oleh masing-masing antena pada suatuvektor x, maka persamaan sinyal terima pada keluaran array adalah :

8

x= a · s+n (II.3)

Pada pers.II.3, s adalah sinyal pada masukan antena (dengan dimensi p kali Nsnaps;p adalah jumlah objek), x menotasikan sinyal pada keluaran antena (dengan dimensiM kali Nsnaps), n dalah white gaussian noise, dan a adalah array steering vectoratau array manifold. Steering vector a dapat dinyatakan sebagai :

a=[1 e−jψ e−j(M−1)ψ

]T(II.4)

Sebagai penerima, steering vector menyatakan bobot pada antena yangberkorespondensi dengan arah penerimaan maksimum dari sinyal datang (main beam).

II.2 Compressive Sensing

Compressive Sampling/Sensing (CS), adalah pendekatan baru yang menyatukanantara proses sampling dan kompresi. Dengan kekhususan bahwa sinyal yangdisampling bersifat sparse (mayoritas sinyal adalah nol dan sedikit sisanya tak nol).Dengan asumsi ini, maka teknik CS dapat digunakan untuk mensampling sinyaldengan rate yang jauh lebih kecil dari pada sampling rate klasik Nyquist. Padasampling rate yang rendah ini, CS tetap masih mampu untuk merekonstruksi sinyalsemula. Kemampuan ini membuka peluang CS dapat menggantikan peralatan yangada saat ini dengan peralatan yang bekerja berdasarkan prinsip CS yang efisien. Secaraprinsip, pensamplingan dengan CS dilakukan dengan mengumpulkan secara randomdari sampel lengkap.

Pada teknik sampling klasik Nyquist, proses sampling dan rekonstruksi secaraprinsip adalah sederhana dibandingkan dengan sampling dan rekonstruksi pada CS.Proses sampling pada teknik sampling klasik dilakukan dengan melakukan pencuplikanpada sinyal analog dengan jarak antar sampel yang sama/konstan. Pada bagianrekonstruksi, sinyal hasil sampling difilter dengan filter Nyquist untuk memperolehkembali sinyal semula.

Pada teknik CS, sebelum proses sampling dapat dilaksanakan, pertama harusditentukan terlebih dahulu basis dua basis, yaitu basis sparsitas Ψ dan basis projeksiΦ. Keberhasilan teknik CS tergantung pada keberhasilan menentukan kedua basistersebut. Dengan demikian proses modifikasi dari sinyal pada sisi penerima perludilakukan. Ini berarti bahwa perangkat CS akan lebih kompleks dibandingkan denganperalatan sampling klasik. Pada sisi rekonstruksi, solusi dari teknik CS tidaklahunik/tunggal. Dengan kata lain, setelah set solusi ditemukan, maka diperlukanoptimasi dengan suatu kriteria (biasanya adalah norm orde-n) dari set solusi yangada untuk memperoleh satu solusi terbaik sesuai kriteria tersebut. Solusi terbaik

9

diharapkan (secara statistik) sama atau mendekati sinyal asal.Beberapa peralatan telah dikembangkan dengan prinsip CS ini. Antara lain adalah

kamera-satu-piksel (Baraniuk (2007)), sparse MRI (Swastika dan Haneishi (2012)),spectra-denoising (Mingxia dkk. (2013)) dan sebagainya.

Formulasi matematika dari compressive sensing. Ada banyak cara untukmenjelaskan prinsip kerja dari compressive sensing. Tapi yang akan dibahas di siniadalah dengan menggunakan prinsip ketidakpastian (uncertainty principle atau UP).Prinsip ini menyatakan bahwa suatu sinyal tidak mungkin secara bersamaan dapatdilokalisasi dengan baik pada ranah waktu dan frekuensi. Dengan kata lain, jika suatusinyal terlokalisasi pada ranah waktu, maka sinyal tersebut tidak terlokalisasi padaranah frekuensi. Sebaliknya jika suatu sinyal terlokalisasi pada ranah frekuensi, makaia tidak terlokalisasi pada ranah waktu.

Jika suatu sinyal f tidak terlokalisasi pada suatu ranah, maka akan selalu dapatdicari suatu transformasi Ψ pada f untuk menghasilkan suatu sinyal textbfF yangbersifat sparse. Dengan kata lain:

F = Ψf (II.5)

Pada sinyal sparse F tersebut, CS dapat dilakukan dengan mengalikan di awal(pre-multiplying) dengan suatu pencuplik Φ yang merupakan suatu matrik CS.

g = ΦF = ΦΨf (II.6)

Jika sinyal asal, f dan hasil transformasinya, F memiliki panjang N , maka sinyal f,dapat direkonstruksi kembali dari sinyal g dengan panjang M (M<<N), dengan syaratM lebih besar dari suatu nilai yang diberikan oleh persamaan

M ≥ C ·µ2(Φ,Ψ) ·K · log(N) (II.7)

dimana K menyatakan tingkat sparsitas dari sinyal f, C adalah suatu konstanta(sekitar 2), dan µ(Φ,Psi) menyatakan fungsi pengukur tingkat koherensi dari Φ danΨ. Tingkat koherensi ini diberikan oleh

µ(Φ,Ψ) = maxφ3Φ,ψ3Ψ

|〈φ,ψ〉| (II.8)

Perkalian antara fungsi sparsitas Ψ dan fungsi sampling Φ dalam bentuk matriktersebut dapat dinyatakan sebagai matrik sensing A :

A= ΨΦ (II.9)

10

Dengan demikian

g = ΨΦf = Af (II.10)

Proses rekonstruksi secara matematis dilakukan menyelesaikan II.10 dalam f.Namun, oleh karena f memiliki N nilai yang tidak diketahui, sedangkan II.10 memilikiM buah persamaan (M <<N), maka penyelesaian II.10 membelikan banyak alternatifsolusi bagi f. Kondisi ini disebut sebagai ill-posed problem.

Agar solusi menjadi unik dan sama atau mendekati dari sinyal semula, makadilakukan optimasi dari solusi yang diperoleh. Optimasi yang umum dilakukan adalahdengan menggunakan optimisasi norm orde-n. Orde yang lazim dipakai dengan asumsisinyal f bersifat sparse adalah norm- orde 1.

Proses rekonstruksi CS ini secara umum dapat dituliskan sebagai

min |f |1 s.t. A ·f = g (II.11)

Minimisasi |f |1 berarti mencari solusi f yang paling sparse.Pada lingkungan yang memiliki derau atau noise, maka sinyal terima akan

memasukkan faktor derau ini, sehingga permasalahan CS seperti pada II.10 menjadi :

g = Af +n (II.12)

Proses rekonstruksi CS dengan demikian dimodifikasi menjadi:

min |f |1 s.t. A ·f −g ≤ ε (II.13)

Dengan ε adalah suatu bilangan kecil.

II.3 Compressive sensing pada estimasi DoA

Pada bidang radar yang ditinjau, khususnya pada algoritma estimasi arah kedatangansinyal (Direction of Arrival Estimation - DoA), terdapat beberapa skema CS yang telahdilakukan pada penelitian terdahulu. Penerapan CS pada estimasi DoA secara umumterbagi ke dalam tiga skema : sparsitas waktu (Gurbuz dan McClellan (2008), Kimdkk. (2012)), sparsitas ruang (Wang dkk. (2009), Wang dkk. (2010)), and sparsitassudut (Gorodnitsky dan Rao (1997), Stoica dkk. (2011), Usman dkk. (2014)).

Sparsitas waktu mengambil asumsi bahwa sinyal yang dikirim adalah sinusoidal, olehkarena itu, sinyal terima bersifat sparse dalam waktu (atau frekuensi). Sinyal terimax yang dikumpulkan oleh M buah antena N dilakukan sampling pada ranah waktudengan teknik sampling klasik sebanyak N buah sampel untuk menghasilkan blok sinyalterima sebesar M kali N sinyal masukan. Dengan menggunakan pemrosesan blok,

11

setial blok sinyal terima ini dikalikan-sebelum (pre-multiplied) dengan sensing matrixA (berukuran M kali k, dengan k << N) untuk memperoleh sinyal keluaran y yangberdimensi M kali k, jauh lebih kecil dari pada ukuran sinyal masukkan semula x.Untuk proses estimasi arah kedatangan, sinyal yang telah dikompres ini kemudiandikembalikan ke sinyal semula sebelum algoritma DoA diterapkan.

Sparsitas ruang memiliki prinsip kerja yang mirip dengan sparsitas waktu. Jikasparsitas waktu mengasumsikan bahwa sinyal tersebut sparse dalam waktu, makasparsitas ruang mengasumsikan bahwa masing-masing antena pada susunan antenapenerima sebenarnya menerima sinyal yang sama dengan perbedaan hanya pada waktukedatangan (delay). Dengan demikian, sinyal terima diasumsikan bersifat sparse padaarah antena, atau ruang. Sinyal yang dikumpulkan oleh M buah antena, sepertihalnya pada sparsitas waktu, memiliki dimensi M kali N . Proses sensing dilakukandengan dengan mengalikan sinyal terima dengan sensing matrix A yang berdimensik kali N . Seperti halnya sparsitas waktu, sinyal semula perlu direkonstruksi ulangdengan sebelum estimasi arah kedatangan dapat dilakukan. Dibandingkan dengansparsitas waktu, skema sparsitas ruang memiliki kekurangan yaitu tingkat kompresiyang rendah, sedangkan kelebihannya adalah ketahanan sinyal terhadap derau lebihbaik, serta lebih mudah direalisasikan dalam bentuk perangkat keras, karena matriksensing A telah secara langsung memberikan arah panduan pada pembuatan perangkatkerasnya. Skema sistem penerima dengan sparsitas ruang dapat dilihat pada Wang dkk.(2009) dan Wang dkk. (2010).

Sparsitas sudut memiliki pendekatan yang berbeda dibandingkan dengan sparsitaswaktu dan sparsitas ruang sebelumnya. Skema sparsitas sudut tidak melakukankompresi pada arah waktu dan ruang. Skema ini mengasumsikan bahwa sinyal yangditerima berasal dari sejumlah sumber sinyal yang terbatas. Beberapa sumber sinyalini datang pada sudut-sudut yang berbeda. Berdasarkan pada anggapan ini, makakonstruksi permasalahan CS dilakukan dengan menggunakan sensing matrik A yangtersusun atas steering vector dari sinyal datang. Deskripsi matematis yang lebih rincidiberikan pada sub-bab berikutnya. CS formulasi dilakukan dengan menggabungkansensing matrix A, sparse vektor s, dan snapshot dari sinyal terima x. RekonstruksiCS tersebut dituliskan sebagai

A · s= x (II.14)

Jika terdapat derau AWGN, maka Rekonstruksi CS tersebut dimodifikasi menjadi(analogi dengan Persamaan II.12):

A · s= x+n. (II.15)

Dengan menggunakan pendekatan ini, maka sparsitas sudut memiliki keuntungan

12

signifikan dibandingkan dengan skema sparsitas waktu dan sparsitas ruang, karenaskema ini memerlukan sangat sedikit sinyal terima, serta proses estimasi DoA dilakukanbersamaan dengan rekonstruksi CS. Dengan kata lain, penyelesaian CS pada sparsematrik s sekaligus juga adalah penyelesaian masalah estimasi arah kedatangan.Estimasi arah kedatangan sinyal diperoleh berdasarkan posisi element tak nol daridari matrik solusi sparse s (Gorodnitsky dan Rao (1997)).

Gambar II.2 mengilustrasikan proses penyusunan konstruksi CS teknik sparsitassudut.

a11

a21

aM1

a12

a22

aM2

a1p

a2p

aMp

As1

s2

s3

sp

x1i

x2i

x3i

xMi

s x

a(θ1) a(θ2) a(θM)

steering vectorat angle θi

Gambar II.2. Ilustrasi skema sparsitas sudut. Sensing matrix A disusun dari steeringvector sudut-sudut yang dipindai

Meski pun memiliki keuntungan ini, skema sparsitas sudut memiliki kelemahan,yaitu kurang tahan terhadap derau lingkungan. Hal ini diverifikasi oleh Usmandkk. (2014). Pada penelitian tersebut, Usman dkk. (2014) mengusulkan peningkatanperforma sinyal dengan menggunakan teknik multi-snaps CS. Skema multi-snaps CSini dilakukan dengan memperluas vektor sinyal terima x menjadi beberapa snap-shots.Solusi sparse s dengan demikian akan mengikuti perluasan ini. Dengan kata lain,vektor s terdiri dari beberapa kolom, yang masing-masing kolom berkorespondensidengan hasil estimasi arah kedatangan pada setiap snap-shots. Estimasi DoAdilakukan dengan merata-ratakan nilai estimasi pada setiap snap-shots. Dengandemikian estimasi yang diperoleh menjadi lebih robust dibandingkan dengan hanyamenggunakan satu snap-shot.

Upaya untuk melakukan perbaikan skema sparsitas sudut dilakukan pula oleh Stoicadkk. (2011) secara terpisah. Skema yang diusulkan oleh Stoica dkk. (2011) diistilahkandengan independently covariance-based estimation technique (SPICE). Skema Stoicadkk. (2011) juga mengakomodasi kemampuan multi-snaps untuk meningkatkanketahanan terhadap noise.

13

Permasalahan lainnya dari sparsitas sudut adalah besarnya sensing matrix A.Sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya, sensing matrix A disusun berdasarkansteering vector dari arah kedatangan yang dipindai. Pemindaian yang dilakukan padasemua arah kedatangan sinyal (dari−900 sampai 900) disebut dengan exhaustive search.Bab selanjutnya membahas dengan terperinci tentang exhaustive search tersebut sertaskema peningkatan yang diusulkan.

II.4 CS solver dengan CVX Programming

Ada beberapa CS solver yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahanestimasi sudut dengan rekonstruksi sparse. Dua solver yang umum dipakaiadalah CVX-programming dan l1-magic. CVX-programming dikembangkan olehBoyd (2014), sedangkan l1-magic dikembangkan oleh oleh Candes dan Romberg(2005). CVX-programming bersifat umum dengan kemampuan melakukan optimasipada berbagai permasalahan pemrograman linier (Linear Programming - LP).CVX-programming juga dapat mengoptimasi pilihan solusi dengan konstrain norm.Dengan demikian, CVX-programming bersifat sangat fleksibel. Engine solver yangdigunakan pada CVX-programming antara lain adalah SDPT3 and SeDumi. Terdapatpula solver lain yang berlisensi yang dapat digunakan pada cvx seperti Gurobi danMOSEK (Boyd (2014)). Untuk menyelesaikan persamaan CS seperti yang terdapatpada persamaan ??, pada CVX-programming, dapat kita tuliskan seperti contohberikut:

begin cvxvariable s(n) complex;minimize(norm(s,1));subject to

norm(A*s-x,2) < epsilon;end cvx.

14

BAB III Metode yang diusulkan

III.1 Teknik Non-Exhaustive Search

Sebelum dibahas tentang teknik non-exhaustive search, terlebih dahulu akan dibahastentang metode Exhaustive search. Exhaustive search adalah upaya untuk menemukanarah kedatangan sinyal dengan melakukan pemindaian pada semua arah kedatangansinyal yang mungkin. Peneliti sebelumnya melakukan pemindaian secara exhaustiveini. Pada makalahnya, Gorodnitsky dan Rao (1997) melakukan pemindaian padasemua sudut antara −900 sampai 900. Stoica dkk. (2011) melakukan pemindaian dari−900 sampai 900 dengan resolusi 0.10, dengan demikian terdapat 1800 arah pindaiyang berkorespondensi dengan matriks sensing A yang berdimensi M kali 1800. Halyang sama dilakukan oleh Usman dkk. (2014).

Gambar III.1 menunjukkan ilustrasi pemindaian dengan teknik exhaustive search.

objek

arahpemindaian

objek

-900900

00

Gambar III.1. Ilustrasi exhaustive search. Algoritma memindai pada semua arah untukmemperoleh arah sumber sinyal

Permasalahan yang dihadapi oleh teknik exhaustive search, seperti yang telahdikemukakan sebelumnya, adalah besarnya sensing matrix A. Sensing matriks yangbesar memerlukan proses komputasi rekonstruksi CS yang besar, sumber daya yangtinggi, serta waktu yang lama. Penyelesaian permasalahan ini diusulkan pada sub-babberikutnya yang membahas tentang pemindaian non-exhaustive search.

Kemajuan yang dicapai pada penelitian ini berkisar pada eksplorasi tekniknon-exhaustive search. Teknik ini adalah perbaikan dari teknik exhaustive searchberupa pengurangan rentang pemindaian dari semua sudut yang mungkin (tipikalpada −900 sampai 900), ke dalam rentang yang lebih sempit. Tentu pemindaian pada

15

rentang yang lebih sempit ini dimungkinkan jika telah ada gambaran tentang arahsumber sinyal.

Untuk keperluan memperoleh gambaran tentang arah sumber sinyal tersebut,maka diperlukan suatu pemindaian kasar, misalnya dengan menggunakan estimasiDoA klasik (DAS, MVDR, MUSIC, atau ESPRIT). Setelah gambaran kasar arahkedatangan sinyal ini diperoleh, maka proses DoA selanjutnya dilanjutkan denganteknik CS dengan rentang sudut sempit, yang diperbarui setiap saat, sesuai denganarah gerakan objek. Skema pemindaian kasar sebelum teknik CS disebut dengan istilahpra-pemindaian.

Skema non-exhaustive search dengan pra-pemindaian selengkapnya diberikan padaGambar III.2.

Akuisisi

Pemindaian KasarPengaturan

CS

CS Solver

Snapshot Konstruksi

DoA

Sinyal

terima

JendelaPemindaian

Gambar III.2. Blok diagram skema non-exhaustive search dengan fungsi pemindaiankasar

Pada Gambar III.2 tersebut, sinyal mula-mula diakuisisi oleh sistem antenapenerima. Pada awal operasi, sinyal dimasukkan ke blok pemindaian kasar. Prosespada blok pemindaian kasar ini bertujuan untuk memperoleh gambaran umum tentangposisi sinyal. Blok pemindaian kasar ini dapat menggunakan salah satu algoritmaklasik, seperti DAS, MVDR, MUSIC, dan ESPRIT. Pada proses kemajuan ini II ini,digunakan teknik MVDR. Teknik ini sederhana serta memiliki resolusi yang tinggi.Skema MUSIC dan ESPRIT memerlukan komputasi yang lebih tinggi, sedangkan DASmemiliki resolusi yang rendah.

Gambar III.3 menunjukkan ilustrasi skema non-exhaustive search. Pada gambartersebut, rentang sudut pemindaian dinyatakan sebagai jendela pindai (scanningwindow).

Tracking objek pada skema CS-DoA. Keuntungan utama pada skema yangditawarkan ini adalah penambahan kemampuan tracking terhadap gerakan objekmudah untuk dilaksanakan. Hal ini dikarenakan sampling objek dapat dilakukan

16

objek

objek

Scanning Window

θ1 θ2

Scanning Window

θ

Objek

(a) (b)

Gambar III.3. Ilustrasi non-exhaustive search. (a) Skema dalam diagram arah/sudutdalam koordinat polar (b). dalam koordinat kartesian

pada interval tertentu, dan pengambilan sampel sinyal yang sedikit setiap kalipengambilan. Jendela pemindaian (scanning window) dapat digeser-geser pada setiapiterasi menyesuaikan dengan dengan posisi objek.

Untuk melakukan update scanning window ini, maka diperlukan suatu skemaupdate. Pada penelitian ini, skema update dilakukan dengan terlebih dahulumenetapkan lebar scanning window (konstan). Pada setiap scanning, titik tengahdari scanning window diupdate sehingga berimpit atau mendekati lokasi dari posisiobjek (Gbr III.5).

Proses update dengan menjadikan lokasi objek sebagai median dari jendela pindaidapat dinyatakan dengan :

θPmax =med([θmin, θmax]) (III.1)

Pada Pers.III.1, θPmax menyatakan sudut estimasi objek, θmin dan θmax

berturut-turut menyatakan batas kiri dan batas kanan dari jendela pindai.

III.2 Teknik Tail-scan

Skema non-exhaustive search dilakukan dengan pembatasan wilayah sudut pindaihanya pada arah-arah tertentu saja. Namun pembatasan ini ternyata memberikanmasalah baru pada proses rekonstruksi CS, yaitu CS Solver yang dalam hal ini adalahcvx-programming, tidak berhasil memperoleh solusi yang konvergen. Fenomena initidak diperkirakan sebelumnya, karena dengan asumsi bahwa titik optimal dari CSsolver terletak pada lokasi sudut keberadaan sinyal, sedangkan sudut ini sendiri beradapada cakupan sudut yang dipindai. Namun ternyata, cvx-programming tidak berhasilmemperoleh solusi yang konvergen.

Gambar III.6 mengilustrasikan permasalahan ini.

17

(b)

objek

(a)

objek

(c)

objek

W1W2

W3

θ

t1 t2 t3

(d)

objek objek objekP

Gambar III.4. Ilustrasi tracking object dengan teknik non-exhaustive search sertaupdate scanning window pada setiap waktu. (a),(b), dan (c) pergerakanobjek beserta update scanning window yang bersesuaian. (d). ilustrasipergeseran scanning window pada setiap waktu; W1, W2, W3 adalahscanning window berturut-turut pada t1, t2 dan t3

Pada gambar III.6 tersebut, terdapat tiga macam skema yang digunakan. Skematersebut adalah skema exhaustive search (lebar jendela pindai adalah−900 sampai 900),skema non-exhaustive search dengan lebar jendela −300 sampai dengan 900, dan skematerakhir adalah non-exhaustive search dengan lebar jendela 00 sampai dengan 900.Sebagai pembanding, posisi aktual dari objek diberikan. Objek tersebut bergerak darisudut 300 sampai dengan 900 dengan kecepatan 1,40 per detik. Sumbu datar adalahwaktu (dalam detik), dan sumbu tegak adalah sudut (dalam derajat). Pada gambarIII.6 tersebut skema exhaustive search dan skema non-exhaustive search dengan sudutpindai lebar (−300 sampai dengan 900) berhasil mengikuti pergerakan objek denganbaik. Namun untuk lebar jendela pindai yang terlalu kecil (00 sampai dengan 900),cvx-programming gagal memberikan hasil konvergen. Hasil yang diperoleh, iterasicvx-programming terjebak pada solusi semu di 50 dan 650.

Untuk mengatasi permasalahan ini, maka area pemindaian diperluas mencakup padaarah selain dari arah utama. Arah tambahan ini disebut dengan tail scanning. GambarIII.7 memperlihatkan ilustrasi tail-scanning.

Sifat dari tail scan adalah :

1. jumlahnya lebih sedikit dibandingkan dengan pemindaian pada arah utama

18

P

θθx1

P

θθx1

P

θθx2

P

θθx2

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar III.5. Ilustrasi detail tentang proses update scanning window denganmenggunakan median dari posisi objek. (a) hasil scanning kasar denganalgoritma klasik pada semua sudut,(b) penerapan scanning windowpada sudut yang dianggap memiliki objek, (c) objek bergerak sehinggapuncak scanning bergeser menuju batas window. (d). update scanningwindow, sehingga puncak scanning berada di tengah scanning window

(main-scan)

2. mengarah pada sudut yang tidak terdapat objek

3. berfungsi mencegah algoritma cvx-programming tidak konvergen atau terjebakpada solusi semu

Pada penelitian ini, diusulkan dua macam tipe tail scan yaitu uniform tail scan danrandom tail scan. Uniform tail scan adalah tail scan yang terpisah pada jarak yangseragam, sedangkan random tail scan adalah tail scan yang jarak antar pemindaiansatu dan lainnya terpisah. Gambar III.8 menunjukkan ilustrasi uniform tail scan danrandom tail scan.

19

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

angl

e (

de

gre

e)

time(second)

w 0 to 90

w -30 to 90

w -90 to 90

Actual

Gambar III.6. Hasil simulasi: perbandingan skema exhaustive search terhadap

objek

-900900

00

Tail scan

Gambar III.7. Non-exhaustive search dengan tail-scan

III.3 Metode Titik Berat

Metode titik berat dikembangkan pada tahap Kemajuan III ini sebagai jawabanatas permasalahan konvergensi yang dialami oleh metode convex programming yangdikembangkan oleh Boyd (Boyd dan Vandenberghe (2004); Boyd (2014)). Metode titikberat didasarkan pada fakta geometri bahwa rekonstruksi CS dapat diselesaikan denganmembesarkan atau mengecilkan norm L1 sehingga norm tersebut bersinggungandengan fungsi objektif rekonstruksi. Sebagai ilustrasi, kita tinjau kasus dua dan tigadimensi berikut. Pada kasus dua dimensi, misalkan vektor asal adalah x =

(x1x2

)Tdan

A =(A11A12

)T, sehingga y = A ·x = y1. Permasalahan rekonstruksi adalah : diberikan

A dan y, kita perlu mencari x sedekat mungkin dengan nilai asal. Kriteria sedekatmungkin dengan nilai asal dapat diukur misalnya dengan nilai kesalahan absolutrata-rata. Karena permasalahan ini bersifat underdetermined, kita dapat memilikinorm L1 sebagai kriteria rekonstruksi. Dengan kriteria ini, maka permasalahanrekonstruksi dapat didefinisikan kembali menjadi : diberikan A dan y, selesaikan

20

objek

-900900

00

Tail scan

objek

-900900

00

Tail scan

(a) (b)

Gambar III.8. Non exhaustive search dengan tail scan. (a) uniform tail scan, (b)random tail scan

A ·x = y untuk x sehingga ‖x|1 minimum.Oleh karena A adalah matrik dengan ukuran 1x2, maka solusi A ·x = y adalah garis

yang berada pada diagram kartesian x1-x2 seperti yang ditunjukkan pada Gbr III.9.

x1

x2

A · x = y

x1

x2

A · x = yxs

(A) (B)

Gambar III.9. Solusi persamaan Ax=y terletak pada garis (A). Solusi dari Norm-L1

(B)

Norm orde p (p-norm) dari vektor x =(x1 x2 · · · xN

)Tdiberikan oleh

persamaan:

‖x‖p = p√xp1 +xp2 + · · ·+xpN (III.2)

Sebagai contoh, 0-norm (L0), 1-norm (L1), dan 2-norm (L2) berturut-turut adalahm, |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xN |, and 2

√x2

1 +x22 + · · ·+x2

N . Dengan, m adalah jumlah elementak nol dari x.

Misalkan vektor x adalah x =(2 3

)T. Misalkan pula x =

(0.6 0.4

). Oleh karena

itu y = Ax menghasilkan y =(1.2). Dengan demikian permasalah rekkonstruksi

adalah : diberikan y =(1.2)

dan x =(0.6 0.4

), perlu dicari x, sedemikian sehingga

‖x‖1 minimum.Oleh karena x tidak diketahui, maka misalkan x =

(x1 x2

). Oleh karena itu Ax = y

menghasilkan 0.6x1 + 0.4x2 = 1.2. Ada tak hingga banyak solusi dari(x1 x2

)yang

memenuhi 0.6x1 +0.4x2 = 1.2. Oleh karena kita ingin mencari pasangan(x1 x2

)yang

meminimalkan ‖x‖1. Maka sebagai langkah awalkita pilih ‖x‖1 = k0, dengan k0 adalah

21

nilai awal yang cukup besar sehingga ‖x‖1 = k0 dan 0.6x1 + 0.4x2 = 1.2 berpotongandi P1 dan P2 (Gbr.III.10).

Potongan garis ‖x‖1 = k0 yang dibatasi oleh P1 dan P2 adalah konveks. Oleh karenaitu, setiap titik M yang merupakan kombinasi konveks dari P1 dan P2

M = t ·P1 + (1− t) ·P2, (III.3)

(0≤ t≤ 1), akan terletak di dalam interval P1 dan P2 tersebut.

x1

‖x‖1 = k0x2

P1

P2

M1

x1

x2

P1

P2

M1

P3 M2

‖x‖1 = k0

‖x‖1 = k1

(a) (b)

Gambar III.10. (a). Iterasi awal dengan k0 yang cukup besar sehingga kurva Ax = ydan ‖x‖1 = k0 berpotongan di P1 dan P2. Titik tengah M1 dipilihsebagai iterasi berikutnya. (b). Norm di M1 dipilih sebagai nilaik berikutnya. Proses ini diulangi sehingga diperoleh titik yangkonvergen.

Dari Gbr III.10 juga terlihat bahwa setiap titik M yang berasal dari kombinasikonveks dari P1 dan P2 juga memiliki norm L1 yang lebih kecil dibandingkan dengannilai awal.

Selanjutnya kita akan turunkan kasus yang lebih rumit pada dimensi 3 yangkemudian kita generalisasi untuk kasus dimensi n.

Misalkan sinyal sparse x adalah x=(0 2 0

)T. Maka sensing matriks A memiliki

dua kemungkinan yaitu matriks 1x3 atau matriks 2x3. Pada kondisi matriks 1x3, sinyalkompresi y adalah vektor 1x1 dan untuk kondisi matrik A 2x3, maka vektor y adalahberdimensi 2x1.

Permasalahan rekonstruksi CS adalah sama dengan kasus dua dimensi: diberikanvektor y dan matrik A, tentukan x dengan ‖x‖1 minimum. Solusi dari Ax = y padakasus matriks A 1x3 adalah suatu bidang, sedangkan untuk matriks A 2x3 adalahsuatu garis. Kita tinjau kasus matriks A 1x3 terlebih dahulu. Pada iterasi awal,kita ambil k0 cukup besar sehingga bidang Ax = y berpotongan dengan oktahedron‖x‖1 = k0 (Gbr.III.11).

Bentuk dari bidang perpotongan dari ‖x‖1 = k0 dan Ax = y dapat berupa politop4-sisi atau politop 5-sisi seperti pada Gbr.III.11b. Pada algoritma titik berat, makaadalah penting untuk menentukan bidang perpotongan ini, khususnya titik sudut dari

22

solution of Ax = y

‖x‖1 = k0

P1

P2P3

P4

P5

(a)

(b)

M1

Gambar III.11. (a). Kasus dimensi 3, ‖x‖1 = k0 membentuk oktahedron. Solusi dariAx = y dengan matrik A 1x3 adalah suatu bidang. Jika k0 cukupbesar, ‖x‖1 = k0 akan memotong Ax = y. (b). Bidang perpotongandengan titik sudut P1 sampai P5. Titik M1 dipilih sebagai kombinasikonveks dari titik-titik P1 sampai P5.

politof, sehingga kita dapat mencari titik berat M1 yang memiliki norm L1 yang lebihkecil dari nilai sebelumnya.

Menemukan tiap sisi dari politop dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan‖x‖1 = k0 dan Ax = y. Akan tetapi, karena sistem persamaan ini bersifatunderdetermined, maka mencari titik sudut politop menjadi sulit.

Di sini diusulkan suaatu teknik langsung untuk menyelesaikan permasalahanini dengan menggunakan faktorisasi QR dari Householder (detail teori diberikandi Lampiran A). Penyelesaian dengan teknik ini disebut juga dengan istilahQR-factorization dengan pivot kolom Golub dan Loan (1996)). Pada teknik ini, prosespermutasi kolom dari matrik A dilakukan sehingga suatu kriteria terpenuhi. Kriteriayang umum dipakai adalah pengurutan kolom dari kolom dengan norm L2 terbesarsampai dengan yang terkecil. Kolom dengan nilai norm tidak signifikan diabaikan.Dengan demikian, solusi dari metode ini menghasilkan nilai yang banyak memiliki nol.Transformasi Householder dengan pivot kolom dijelaskan pada Golub dan Loan (1996),dengan algoritma adalah sebagai berikut. Householder QR dengan pivot kolom.Given A 3 Rmxn.l1 for j=1:nl2 c(j) = A(1 :m,j)TA(1 :m,j)l3 endl4 r = 0; τ =max{c(1), · · · , c(n)}l5 cari k terkecil dengan 1≤ k ≤ n sehingga c(k) = τ

l6 while τ ≥ 0l7 r = r+ 1l8 piv(r) = k ; A(1 :m,r)↔A(1 :m,k) ; c(r)↔ c(k)

23

l9 [v,β] = house(A(r;m,r))l10 A(r :m,r : n) = (Im−r+1−βvvT )A(r :m,r : n)l11 A(r+ 1 :m,r) = v(2 :m− r+ 1)l12 for i= r+ l : nl13 c(i) = c(i)−A(r, i)2

l14 endl15 if r ≤ nl16 τ = max{c(r+ 1), ..., c(n)}l17 Find smallest k with r+ 1≤ k ≤ n so c(k) = τ

l18 elsel19 τ = 0l20 endl21 end

Proses pivot kolom terjadi pada baris l8 pada algoritma di atas. Pivot dilakukanberdasarkan nilai tertinggi (baris l4 dan l5 ). Namun kriteria ini dapat diganti dengannilai terendah dari L2-norm dengan mengganti max menjadi min pada baris l4. Prosesfaktorisasi QR Householder adalah pada baris l9. Setiap matriks A dapat difaktorkanatas matrik orthonormal Q dan matrik segitiga atas R sedemikian rupa sehingga

A = QR. (III.4)

.Proses transformasi Householder itu sendiri adalah:

Householder transformation.Given x 3 Rn.l1 n= length(x)l2 σ = x(2 : n)Tx(2 : n)

l3 v = 1

x(2 : n)

l4 if σ = 0l5 β = 0l6 elsel7 µ=

√x(1)2 +σ

l8 if x(1)≤ 0l9 v(1) = x(l)−µl10 elsel11 v(1) =−σ/(x(1) +µ)l12 end

24

l13 β = 2v(1)2/(σ+ v(1)2)l14 v = v/v(1)l15 end

Dengan menerapkan faktorisasi QR Householder serta pivot kolom akanmenyelesaikan sistem persamaan linier dengan pada solusi di titik sudut dari bidangdatar perpotongan norm orde 1 dan fungsi objektif. Akan tetapi, jika terdapat Ntitik sudut, teknik ini akan mendeteksi N−1 titik sudut. Titik sudut dengan L2-normterkecil tidak dapat terpilih oleh algoritma ini.

Untuk mengatasi permasalahan ini, ditambahkan langkah khusus setelah faktorisasiQR Householder dengan pivot kolom. Pivot kolom pada langkah tambahan inidilakukan dengan urutan nilai norm L2 yang terkecil, yang berkebalikan dengan kolompivoting sebelumnya yang didasarkan pada nilai terbesar. Langkah ini disebut denganbackward column pivoting. Kombinasi dari kedua langkah pivot kolom ini menghasilkansolusi lengkap dari semua titik sudut perpotongan (Gbr.III.12).

P5

P4

P3

P2

P1

O

P5

P4

P3

P2

P1

O

(a) (b)

Gambar III.12. Faktorisasi QR Householder dengan pivot kolom (a). Pivot kolomdengan urutan L2-norm dari yang terbesar ke yang terkecil (b). Pivotkolom dengan urutan L2-norm dari yang terkecil ke yang terbesar

Sama dengan kasus dua variabel sebelumnya, setiap titik M yang berasal darikombinasi konveks dari titik-titik sudut pada bidang solusi memberikan nilai k baruyang lebih kecil dari nilai sebelumnya.

M = α1 ·P1 +α2 ·P2 + · · ·+αN ·PN (III.5)

dengan

α1 +α2 + · · ·+αN = 1 (III.6)

dan 0≤ αi ≤ 1 untuk semua i.

Untuk kesederhanaan, pada metode yang diusulkan ini, dipilih setiap nilai αi yangsama. Dengan demikian,

α1 = α2 = · · ·= αN = 1N. (III.7)

25

Secara geometri, pemilihan nilai αi yang sama maka akan dihasilkan titik M yangmerupakan titik berat dari politop. Pada umumnya, metode titik berat ini tidakmenjamin konvergensi pada arah yang tercepat, namun ia menjamin konvergensi padasolusi optimal.

Setelah kita tinjau matrik A dengan dimensi 1x3, maka sekarang akan ditinjaukondisi ketika matrik A berdimensi. Solusi dari permasalahan rekonstruksi Ax = yadalah berupa irisan dari dua buah bidang yang menghasilkan suatu garis. Setiapbidang dinyatakan pada setiap baris dari persamaan linier.

Seperti halnya kondisi terdahulu, untuk nilai awal, dipilih k cukup besar sehinggaoktagon ‖x‖1 = k0 berpotongan dengan garis solusi fungsi objektif (Gbr.III.13).Misalkan titik potong tersebut adalah P1 dan P2. Kondisi ini dengan demikian samadengan kondisi pada dua variabel. Oleh karena itu, setiap titik M1 yang berasal darikombinasi konveks dari P1 dan P2 akan memberikan nilai k yang lebih kecil. Nilai kini selanjutnya digunakan untuk iterasi berikutnya.

Solution ofAx = y

‖x‖1 = k0

P1

P2P2

P1

M1

Gambar III.13. Perpotongan antara oktahedron norm L1 dengan solusi dari fungsiobjektif yang berupa garis. Titik potong bidang dan garis dinotasikandengan P1 dan P2. Titik M1 yang merupakan kombinasi konveks dariP1 dan P2 diilustrasikan pada gambar kanan

Generalisasi untuk dimensi n Setelah pembahasan pada dimensi 2 dandimensi 3, maka langkah-langkah yang dilakukan pada kedua dimensi tersebut dapatdigeneralisasi menjadi suatu algoritma untuk dimensi n. Algoritma ini disebut denganmetode titik berat weight point. Sebelum algoritma tersebut dikemukakan, berikut iniadalah dua teorema fundamental yang menjadi dasar dari algoritma titik berat ini.Teorema 1 Jika suatu bidang dibatasi oleh ‖x‖1 = k dan solusi dari persamaaan linierAx= y saling berpotongan, maka bentuk dari perpotongan tersebut adalah berupa suatupolitop.Bukti : - .

Teorema 2 Jika P1, P2, · · · , PN adalah titik-titik sudut dari politop yang dideskripsikan

26

pada Teorema 1, maka setiap kombinasi konveks dari P1, P2, · · · , PN akanmenghasilkan titik yang memiliki norm orde 1 kM yang lebih kecil dari norm orde1 semula yang melalui Pi.Bukti : - .

Setelah kedua teorema di atas, berikut ini adalah algoritma weight point untukdimensi n.

Algoritma titik berat.

1. pilih nilai awal k yang cukup besar.

2. susun persamaan ‖x‖1 = k untuk setiap kombinasi dari x

3. susun set persamaan linier [A;xhi] = [y;k]

4. selesaikan set persamaan linier [A;xhi] = [y;k] dengan faktorisasi QRHouseholder dengan pivot kolom pada pengurutan prioritas maksimum

5. selesaikan set persamaan linier [A;xhi] = [y;k] dengan faktorisasi QRHouseholder dengan pivot kolom pada pengurutan prioritas minimum

6. kombinasikan solusi langkah 3 dan 4 untuk memperoleh semua titik sudut daripolitop (P1, P2, · · · , PN ).

7. hitung titik berat Mi = (P1 +P2 + · · ·+PN )/N

8. hitung norm L1 dari titik berat Mi dan gunakan nilai norm ini untuk iterasiberikutnya

9. ulangi langkah 2 sampai dengan 8 sampai abs(ki+1− ki)≤ epsilon, dengan < ε

adalah suatu bilangan positif kecil.

27

BAB IV Hasil kemajuan

IV.1 Hal yang telah dilakukan pada semester berjalan

Pada Kemajuan III ini, hal-hal yang telah dilakukan adalah:

1. Mensimulasikan teknik non-exhaustive search dengan tail scan

2. Menurunkan algoritma rekonstruksi CS berdasarkan metode titik berat.

3. Mendraft jurnal untuk publikasi dari hasil-hasil yang diperoleh

IV.1.1 Hasil simulasi teknik non-exhaustive search dengantail scan

Simulasi komputer dilakukan untuk memverifikasi efektifitas skema non-exhaustivesearch dengan tail scan yang diusulkan.

Lingkungan simulasi diberikan pada Tabel IV.1

Tabel IV.1. Parameter simulasi exhaustive dan non exhaustive searchNo Skema Parameter Nilai1 Exhaustive Search Susunan Antena ULA 12 element

SNR 10 dBKecepatan Objek 1,40/s

Sudut jelajah objek 300 sampai 600

Resolusi pindai 10

Jumlah objek 12 Non Exhaustive Search Parameter dasar sama dengan

(Jumlah antena, dll.) exhaustive searchSkema pra-pemindaian MVDRLebar jendela pindai −300 sampai 900 dan

00 sampai 900

CS Solver CVX-programming

Hasil simulasi diperlihatkan pada Gambar III.6. Pada gambar tersebut, terlihatbahwa skema non-exhaustive search dengan lebar jendela pindai yang cukup lebar(-300 sampai dengan 900) memiliki performa yang baik dalam melakukan tracking

pada gerakan objek. Performanya tidak jauh berbeda dengan performa exhaustivesearch. Permasalahan muncul ketika lebar jendela pindai dipersempit pada sudut 00

28

sampai 900. Pada rentang sudut pindai ini, rekonstruksi dengan cvx-programmingtidak berhasil memperoleh solusi yang konvergen. Iterasi cvx-programming terjebakpada dua nilai sudut estimasi salah yaitu 50 dan 650.

Oleh karena skema exhaustive search berhasil sedangkan teknik non-exhaustivesearch gagal untuk rentang sudut pindai yang sempit, maka kenyataan ini memberikaninspirasi untuk menambahkan pemindaian pada sudut-sudut tambahan di luar dariarah pindai utama. Pemindaian pada sudut-sudut tambahan ini diistilahkan dengantail scan.

IV.2 Perbandingan akurasi regular dan random tail-scan tanpainterpolasi

29

IV.3 Perbandingan akurasi regular dan random tail-scandengan interpolasi

IV.4 Perbandingan kegagalan konvergensi pada tail-scan

30

IV.5 Perbandingan waktu komputasi pada skema tail-scan

31

BAB V Penutup

Pada Kemajuan III ini, telah dilaporkan mengenai penjelasan tentang topik penelitianserta hasil-hasil yang dicapai sampai sejauh ini. Beberapa hasil simulasi dan ide baruyang dicapai pada Kemajuan II yaitu tentang teknik tail-scan, disimulasikan secaralebih mendalam pada Kemajuan III ini. Pada kemajuan III ini juga dilaporkan tentangmetode baru yaitu algoritma rekonstruksi CS dengan metode titik berat. Tekniktail-scan serta metode titik berat ini sejauh yang telah diteliti pada literatur, belumpernah dilakukan oleh peneliti lain sebelumnya. Rencana ke depan adalah pematangandari kedua teknik yang diusulkan ini beserta publikasinya pada jurnal internasional.

32

Daftar Pustaka

Baraniuk, R. (2007): Compressive Sensing, IEEE Signal Processing Magazine, 24(4),118–121.

Boyd, S. (2014): CVX: Matlab Software for Disciplined Convex Programming, URLhttp://cvxr.com/cvx/.

Boyd, S. dan Vandenberghe, L. (2004): Convex Optimization, Cambridge UniversityPress.

Candes, E. dan Romberg, J. (2005): l1-Magic : Recovery of Sparse Signals via ConvexProgramming, URL http://users.ece.gatech.edu/ justin/l1magic/.

Candes, E. dan Wakin, M. B. (2008): Compressive Sampling, Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 25(2), 21 – 30.

Chen, S. S., Donoho, D. L., dan Saunders, M. A. (2001): Atomic Decomposition byBasis Pursuit, SIAM Review, Society for Industrial and Applied Mathematics,43(1), 129–159.

Dai, J., Xu, X., dan Zhao, D. (2013): Direction-of-Arrival Estimation Via Real-ValuedSparse Representation, Antennas and Wireless Propagation Letters, IEEE, 12,376–379.

Dmochowski, J., Benesty, J., dan Affes, S. (2007): Direction of Arrival EstimationUsing the Parameterized Spatial Correlation Matrix, Audio, Speech, andLanguage Processing, IEEE Transactions on, 15(4), 1327–1339.

Donoho, D. L. (2006): Compressed Sensing, IEEE Transactions on InformationTheory, 52(4).

Golub, G. H. dan Loan, C. V. (1996): Matrix Computation, Johns Hopkins UniversityPress; 3rd edition (October 15, 1996).

Gorodnitsky, I. F. dan Rao, B. D. (1997): Sparse Signal Reconstruction fromLimited Data Using FOCUSS: A Re-weighted Minimum Norm Algorithm, IEEETransactions on Signal Processing, 45(3).

33

Gurbuz, A. C. dan McClellan, J. H. (2008): A Compressive Beamforming Method,Proceeding of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and SignalProcessing.

Hayasi, K., Nagahara, M., dan Tanaka, T. (2013): A UserŠs Guide to CompressiveSensing for Communications Systems, In IEICE Transaction on Communication,E96-B(3), 685–712.

Jouny, I. (2011): Music DOA estimation with compressive sensing and/or compressivearrays, Antennas and Propagation (APSURSI), 2011 IEEE InternationalSymposium on, 2016–2019.

Kim, J. M., Lee, O. K., dan Ye, J. C. (2012): Compressive MUSIC: Revisiting the LinkBetween Compressive Sensing and Array Signal Processing, IEEE Transctions onInformation Theory, Vol. 58, No. 1, January 2012.

Mallat, S. dan Zhang, Z. (1993): Matching Pursuits With Time-Frequency Dictionaries,IEEE Transactions on Signal Processing, 41(12), 3397–3415.

Mingxia, X., Changhua, L., Xing, M., dan Weiwei, J. (2013): The Application ofCompressive Sensing on Spectra De-noising, TELKOMNIKA, 11(10), 6151–6157.Telkomnika Ahmad Dahlan.

Roy, R., Paulraj, A., dan Kailath, T. (1986): Estimation of Signal Parameters viaRotational Invariance Techniques Ű ESPRIT., Proceeding of IEEE MilitaryCommunications (MILCOM) Conference - Communications, 3.

Schmidt, R. (1986): Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation,IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 34(3), 276–280.

Stoica, P., Babu, P., dan Li, J. (2011): SPICE: A Sparse Covariance-Based EstimationMethod for Array Processing, Signal Processing, IEEE Transactions on, 59(2),629–638.

Swastika, W. dan Haneishi, H. (2012): Compressed Sensing for Thoracic MRI withPartial Random Circulant Matrices, Telkomnika, 10(1), 147–154.

Tropp, J. A. (2004): Greed is Good : Algorithmic Results for Sparse Approximation,IEEE Transactions on Information Theory, 50(10).

Usman, K., Suksmono, A. B., dan Gunawan, H. (2014): Peningkatan Kinerja SkemaEstimasi Arah Kedatangan Sinyal dengan Compressive Sensing Sparsitas Sudutdan Sampel Multisnap, Inkom Journal, 8(1), 21–27.

34

Veen, B. V. dan Buckley, K. M. (1988): Beamforming: A Versatile Approach to SpatialFiltering, IEEE ASSP Magazine.

Wahidah, I. dan Suksmono, A. B. (2010): Recontruction Algorithms for CompressiveVideo Sensing Using Basis Pursuit, Proceeding of the 6th InternationalConference on Information & Communication Technology and Systems.

Wang, Y., Leus, G., dan Pandharipande, A. (2009): Direction Estimation UsingCompressive Sampling Array Processing, Proceeding of IEEE SSP.

Wang, Y., Pandharipande, A., dan Leus, G. (2010): Compressive sampling basedMVDR spectrum sensing, Proceeding of IAPR.

35

Lampiran A : Faktorisasi QR

Sebelum kita membahas tentang faktorisasi, mari terlebih dahulu kita lihat suatucontoh penguraian suatu matrik A 2x2 yang sederhana menjadi perkalian dua matriksederhana. Tahapan penguraiannya adalah sebagai berikut. Misalkan

A=2 5

2 4

.

Kita dapat memandang bahwa matrik A tersusun dari dua vektor kolom yaitu2

2

dan kolom kedua yaitu

54

. Katakanlah bahwa vektor kolom pertama adalah a1, dan

vektor kolom kedua adalah a2.

Sekarang mari kita ambil dua buah vektor referensi, yaitu v1 =1

1

dan v2 =1

0

.

Sekarang tugas kita yang pertama adalah menyatakan kolom vektor a1 sebagaikombinasi linier dari referensi v1 dan v2.

Tugas pertama ini gampang, karena :

a1 =2

2

= 2 ·1

1

= 2v1 = 2v1 + 0v2

Berikutnya adalah menyatakan kolom vektor a2 sebagai kombinasi linier darireferensi v1 dan v2.

Dengan mencoba-coba, kita peroleh salah satu solusi adalah :

a2 =5

4

= 4 ·1

1

+ 1 ·1

0

= 4v1 + 1v2

Sekarang kita susun kolom vektor a1 dan a2 untuk menghasilkan matrik A. Kitaperoleh :

A=(a1 a2

)=(2v1 + 0v2 4v1 +v2

)

=(v1 v2

)·

2 40 1

=1 1

1 0

·2 4

0 1

=D ·E

36

Dengan kata lain, kita berhasil menguraikan matrik A menjadi perkalian duamatrik D dan E seperti pada persamaan terakhir di atas. Matrik D, karena tersusunatas vektor referensi, disebut sebagai matrik referensi atau BASIS, dan matrik E,karena tersusun sebagai informasi kombinasi dari tiap basis tadi disebut sebagai matrikBOBOT.

Faktorisasi QR bekerja dengan cara yang sama. Faktorisasi QR ini mendekomposisisuatu matrik A menjadi komponen BASISnya atau matrik Q, dan komponen bobotnyaatau matrik R.

Keistimewaan dari Basis Q yang dipilih ini adalah bahwa ia bersifat ortonormal(i.e. setiap kolomnya tegak lurus dengan kolom lain, dan panjang norm orde 2 nyaadalah 1). Dengan sifat seperti ini, maka inverse dari matrik Q adalah transposenya.Q−1 =QT .

Matrik Bobot Q, di sisi lain adalah matrik yang berbentuk segitiga atas.Ada pun proses untuk memperoleh Q dan R adalah cara Ortogonalisasi

Gramm-Schmidt.Mari kita lihat lagi contoh sebelumnya.

A=2 5

2 4

.

Pertama kita buat dulu vektor referensi atau basis pertama yang berasal darinormalisasi kolom pertama dari A. Dengan demikian:

v1 = 1√12 + 12 ·

11

= 1√2·

11

Dengan demikian, kolom pertama matrix A dapat ditulis sebagai

a1 =2

2

= 2 ·√

2 · 1√2

11

= 2√

2·v1 = 2√

2·v1

Dengan kata lain

a1 =2

2

= 2 ·√

2 · 1√2

11

= 2√

2·v1 = 2√

2·v1

Selanjutnya, untuk mencari basis v2, kita reduksi dulu kolom kedua dari A denganbasis v1, sisanya baru kita normalisasi untuk menghasilkan v2

a2 =5

4

=<5

4

, 1√2

11

> · 1√2

11

+ r = 92

11

+ r

37

Dengan demikian sisanya r adalah

r =5

4

− 92

11

= 0.5−0.5

Basis v2 diambil dari normalisasi sisa r.

v2 = 1√0.52 + (−0.5)2

0.5−0.5

=√

2 0.5−0.5

= 1√2

1−1

Dengan demikian, kolom kedua dari matrik A sekarang dapat kita nyatakan sebagai

kombinasi linier dari v1 dan v2 sebagai:

a2 =5

4

= 92

11

+ 0.5−0.5

= 9√

22

1√2

11

+ 0.5√

2√2

1−1

Atau

a2 = 9√2·v1 + 0.5

√2 ·v2

Kita kumpulkan dalam satu sistem persamaan untuk a1 dan a2:

A=(a1 a2

)=(2√

2·v1 + 0 ·v29√2 ·v1 + 0.5

√2 ·v2

)

=(v1 v2

)·

2√

2 9√2

0 0.5√

2

= 1√2

1 11 −1

·2√

2 9√2

0 0.5√

2

=Q ·R

Dengan

Q= 1√2

1 11 −1

dan

R =2√

2 9√2

0 0.5√

2

Di sini: Matrik Q adalah matrik orthonormal; dan matrik R adalah matrik

segitiga atas.

1 Faktorisasi QR untuk Over determined system

Overdetermined system adalah sistem persamaan linier yang mana jumlah persamaanlebih banyak dari pada jumlah variabel yang tidak diketahui.

38

Sebagai contoh:

x+y = 10

2x+y = 15

x+ 2y = 30

Overdetermined system dapat terdiri dari set persamaan yang konsisten, sebagaicontoh :

x+y = 10

2x+y = 15

2x+ 2y = 20

Atau set persamaan tidak konsisten

x+y = 10

x+y = 11

2x+ 2y = 19

Untuk set persamaan yang konsisten, hanya terdapat satu pasangan solusi yangmemenuhi semua persamaan.

Untuk set persamaan yang tidak konsisten, justru tidak ada nilai yang memenuhisemua persamaan. Solusi terbaik diperoleh dengan mencari nilai ’terbaik’ yangmendekati pemenuhan semua persamaan.

Mari kita tinjau set persamaan overdetermined yang tidak konsisten di atas.Atau set persamaan tidak konsisten

x+y = 10

x+y = 11

2x+ 2y = 19

Secara matrik, dapat kita tulis sebagai:

1 11 12 2

·xy

=

101119

39

Penyelesaian Persamaan Underdetermined dengan faktorisaiQR

Sekarang mari kita coba menyelesaikan persamaan underdetermined dengan faktorisasiQR.

Untuk sederhananya, mari kita lihat contoh sistem persamaan linier berikut.

x+y+ z = 1

x+y+ 2z = 3

Kita susun dalam persamaan matrik

1 1 11 1 2

·x

y

z

=1

3

Misalkan

A=1 1 1

1 1 2

dan

p=1

3

Maka : 1 1 1

1 1 2

·x

y

z

=1

3

dapat ditulis sebagai

A ·

x

y

z

= p

Ada banyak pilihan solusi untuk sistem persamaan underdetermined tersebut. Salahsatunya adalah dengan faktorisasi QR.

40

Kita akan dekomposisi matrik AT , (alih-alih matrik A).Dengan demikian:

AT =

1 11 11 2

Dengan teknik dekomposisi QR yang telah dibahas sebelumnya, AT dapat dituliskan

sebagai :

AT =

1 11 11 2

=Q ·R =

−0.5774 −0.4082 −0.70710.5774 −0.4082 0.7071−0.5774 0.8165 0

·−1.7321 −2.3094

0 −0.40820 0

Jika kita pandang matrik R =

−1.7321 −2.3094

0 −0.40820 0

, maka dapat kita pandang ia

sebagai :

R =R1

O

Dengan

R1 =−1.7321 −2.3094

0 −0.4082

Dan

O =(0 0

)Dengan demikian persamaan semula :

A ·

x

y

z

= p

menjadi :

(AT )T ·

x

y

z

= p

atau

41

(Q ·R)T ·

x

y

z

= p

atau

RT ·QT ·

x

y

z

= p

ataux

y

z

= (RT ·QT )−1 ·p

x

y

z

= (QT )−1 · (RT )−1 ·p

Oleh karena Q adalah matrik orthonormal, maka (QT )−1 =Q, serta

(RT )−1 = (R1

O

T )−1 = ((RT1 OT

))−1

Sebetulnya lebih tepat menyebut (RT )−1 sebagai (RT )+ oleh karena R bukanlahmatrik persegi.

2 QR Faktorisasi dengan Transformasi Householder

2.1 Prinsip: Membuat elemen nol pada vektor

Jika kita memiliki vektor

X =x1

x2

Maka selalu mungkin untuk mentransformasi X dengan matrik transformasi P

sehingga menjadi matrik XB yang memiliki banyak elemen 0.

XB =x0

0

Dengan kata lain

42

XB = P ·X =x0

0

.

Matrik P dapat dipandang sebagai matrik perotasi atau matrik pencerminan.Teknik mencari matrik perotasi diteliti oleh Givens, sedangkan teknik mencari matrikpencerminan diteliti oleh Householder (Alston Householder, 1965).

Gambar berikut memperlihatkan teknik pencerminan oleh matrik P.

X

XB

Garis cermin g

Pencerminan Vektor B dengan garis g,menghasilkan vektor XB yang memilikibeberapa elemen bernilai 0.

Pada Pencerminan, panjang vektor XB adalah

sama dengan panjang vektor X semula.

Operasi pencerminan dapat diwakili matrik P

XB=P ·XHouseholder menurunkan bahwa, jika diberikan suatu vektor X dengan dimensi n,

X =

x1

x2...xn

maka dapat dicari matrik V yaitu

V =

x1−|X|x2...xn

yang mana

P = In−2 ·V ·V T /(V T ·V )

Sedemikian sehingga

43

XB = P ·X

adalah vektor dengan semua elemen 0 kecuali elemen pertama.Dengan kata lain :

XB =

√x2

1 +x22 + ...+x2

n

0...0

Mari kita lihat contoh berikut ini:Misalkan

X =

2214

Dengan demikian :

|X|=√

22 + 22 + 12 + 42 =√

25 = 5

Dengan demikian

V =

x1−|X|x2...xn

=

2−5

214

=

−3214

Dengan demikian, Matrik Pencerminan Householder dapat dihitung dengan :

P = In−2 ·V ·V T /(V T ·V ) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−2 ·

−3214

·(−3 2 1 4

)

(−3 2 1 4

)·

−3214

44

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−2 ·

−3214

·(−3 2 1 4

)

(−3 2 1 4

)·

−3214

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−2 ·

9 −6 −3 −12−6 4 2 8−3 2 1 4−12 8 4 16

(−3)2 + 22 + 12 + 42

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−115 ·

9 −6 −3 −12−6 4 2 8−3 2 1 4−12 8 4 16

=

0.4 0.4 0.2 0.80.4 0.7333 −0.1333 −0.53330.2 −0.1333 0.9333 −0.26670.8 −0.5333 −0.2667 −0.0667

Sekarang kita test matriks P ini dengan mengalikannya dengan X semula. Kita

peroleh :

PX =

0.4 0.4 0.2 0.80.4 0.7333 −0.1333 −0.53330.2 −0.1333 0.9333 −0.26670.8 −0.5333 −0.2667 −0.0667

·

2213

PX =

0.4 0.4 0.2 0.80.4 0.7333 −0.1333 −0.53330.2 −0.1333 0.9333 −0.26670.8 −0.5333 −0.2667 −0.0667

·

2213

45

=

5000

Seperti yang diharapkan yaitu:

PX =

√22 + 22 + 12 + 42

000

2.2 Pemaktoran Matrik ke komponen Q dan R

Sebelum kita lanjutkan dekomposisi matrik atau pemaktoran matrik. Kita bahas dulucara bagaimana menjadikan matrik sebarang A, menjadi matrik segitiga atas AS .Ilustrasi sederhana diberikan pada gambar berikut.

2

1

2

4

5

5

2

2

5

0

0

0

y1

z2P1

0

0

P2

5

0

0

0

y1

y2y3

y4

X

Gambar 1. Tahap pengubahan suatu matrik X sebarang ke matrik segitiga atas

Mula-mula kita memiliki suatu matrik X seperti gambar matrik paling kiri dari

Gambar 1 tersebut. Pandang kolom paling kiri yang berisi

2124

, dengan prinsip

sebelumnya, kita dapat mencari matrik V, kemudian matrik P1 sehingga P1 dikalikan

dengan matriks X kita peroleh kolom pertama matrik tengah pada gambar yaitu

5000

.

46

Kolom kedua dari matrik tengah pada gambar adalah

y1

y2

y3

y4

yang merupakan hasil

perkalian P1 dengan kolom kedua dari matrik X yaitu

5522

.

Tugas kita selanjutnya adalah mentransformasi bagian kolom kedua yaitu

y2

y3

y4

menjadi bentuk

z2

00

.

Proses mengubah

y2

y3

y4

menjadi bentuk

z2

00

tentu saja mudah, karena kita

tinggal mencari matrik V2 =

y2−

√(y2

2 +y23 +y2

4)y3

y4

kemudian mencari PH2 = I −

2V2V T2 /(V T

2 V2) . Terakhir, kita kalikan PH2 dengan

y2

y3

y4

untuk memperoleh

z2

00

.

Bisakah proses ini kita modifikasi sehingga proses ini menjadi mengalikan suatu

matrik P2 dengan matrik tengah yaitu

5 y1

0 y2

0 y3

0 y4

.

Dengan kata lain, mengalikan P2 dengan

5 y1

0 y2

0 y3

0 y4

tidak mengubah kolom pertama

dan baris pertama dari

5 y1

0 y2

0 y3

0 y4

.

Jawaban atas permasalahan ini adalah dengan menyusun matrik P2 dari PH2 dengancara :

47

P2 =1 0

0 PH2

Sebagai contoh, jika

PH2 =

1 2 2−1 1 15 3 2

Maka

P2 =

1 0 0 00 1 2 20 −1 1 10 5 3 2

Dengan teknik sederhana ini, maka perkalian dengan P2 tidak mengganggu baris

pertama dan kolom pertama dari matriks tengah.

2.3 Contoh Ilustrasi

Mari kita diagonal ataskan matrik pada contoh pada Gambar 1 sebelumnya:

X =

2 52 51 −24 2

.

Kita tahu bahwa untuk menciptakan banyak 0 pada kolom pertama, kita gunakanmatrik Householder sebelumnya yaitu :

P1 =

0.4 0.4 0.2 0.80.4 0.7333 −0.1333 −0.53330.2 −0.1333 0.9333 −0.26670.8 −0.5333 −0.2667 −0.0667

Kita kalikan dengan X, kita perloleh:

P1X =

0.4 0.4 0.2 0.80.4 0.7333 −0.1333 −0.53330.2 −0.1333 0.9333 −0.26670.8 −0.5333 −0.2667 −0.0667

·

2 52 51 −24 2

48

=

5 60 4.30 1.670 0.67

Selanjutnya kita nol-kan kolom kedua. Kita punya :

4.31.670.67

. Kita pilih V2 =

4.3−

√4.32 + 1.672 + 0.672

1.670.67

=

−0.357

1.670.67

Selanjutnya kita hitung PH2:

PH2 = I−2V2VT

2 /(V T2 V2) =

1 0 00 1 00 0 1

−2 ·

−0.357

1.670.67

·(−0.357 1.67 0.67)

(−0.357 1.67 0.67

)·

−0.357

1.670.67

=

0.923 0.355 0.0.1420.355 −0.659 −0.6630.142 −0.663 0.735

Sekarang kita terapkan trik sebelumnya : P2 =1 0

0 PH2

, kita peroleh :

P2 =

1 0 0 00 0.923 0.355 0.0.1420 0.355 −0.659 −0.6630 0.142 −0.663 0.735

Dengan demikian :

P2(P1X) =

1 0 0 00 0.923 0.355 0.0.1420 0.355 −0.659 −0.6630 0.142 −0.663 0.735

·

5 60 4.30 1.670 0.67

=

5 60 4.30 1.670 0.67

=

5 60 4.690 00 0

Dengan demikian hasil akhir adalah:

49

P2(P1X) =QX =R =

5 60 4.690 00 0

Dengan Q = P2P1.Oleh karena Q adalah ortogonal, maka Q−1=QT . Dengan demikian :

QX =R

memberikan

X =QTR

Dengan kata lain, X bisa direpresentasikan sebagai perkalian antara matrikorthonormal Q dan matrik segitiga atas R.

2.4 QR dekomposisi dengan Column Pivoting

Suatu matrik A yang dapat dipandang sebagai kumpulan kolom-kolom (vektor a1, a2,... , aN ):

· · ·

a1 a2 aN

A=

Kita dapat menghitung panjang euclidean (norm l2) dari setiap vektor (a1, a2,... , aN ) tersebut, dan mengambil vektor dengan panjang euclidean terbesar, danmeletakkan pada kolom pertama.

Sebagai contoh:

Misalkan A=

−1 1 1−0.5 0.6 0.4−1 1 1.02

.

Panjang dari setiap kolom adalah :Kolom 1:∥∥∥∥∥∥∥∥∥

−1−0.5−1

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=√

(−1)2 + (−0.5)2 + (−1)2 = 1.5.

50

Kolom 2:∥∥∥∥∥∥∥∥∥

1

0.61

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=√

12 + (0.6)2 + 12 = 1.536.

Kolom 3:∥∥∥∥∥∥∥∥∥

1

0.41.02

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=√

12 + (0.4)2 + 12 = 1.4698.

Di sini kita melihat bahwa kolom kedua memiliki panjang euclidean terbesar yaitu1.536, dengan demikian kita pindahkan kolom kedua ini ke kolom pertama, menjadi,katakan A2.

A2=

1 −1 1

0.6 −0.5 0.41 −1 1.02

.

Selanjutnya, dekomposisi QR dilakukan pada A2.1 −1 1

0.6 −0.5 0.41 −1 1.02

=

−0.65 0.27 −0.70−0.39 −0.92 0.0−0.65 0.27 0.70

·−1.536 1.497 −1.471

0 −0.092 0.1890 0 0.014

=QR

Setelah tadi kita melihat bahwa kolom kedua adalah yang memiliki panjang euclideanterbesar, kita akan ambil kolom berikutnya yang terbesar.

Untuk keperluan ini, kita lihat Matrik Hasil R yaitu :

R =

−1.536 1.497 −1.471

0 −0.092 0.1890 0 0.014

Kolom pertama berasal dari kolom dengan norm terbesar sebelumnya, jadi kita tidak

tinjau lagi kolom pertama ini. Kita perhatikan kolom kedua dan ketiga. Baris pertamajuga kita abaikan, karena proses diagonalisasi tidak mengubah nilai dari matrik ini.Jadi kita tinjau sisanya yaitu R22 yang tersusun dari baris 2 dan 3 serta kolom 2 dan3 dari matrik R.

R22 =−0.092 0.189

0 0.014

Kita hitung panjang euclidean masing-masing kolom dari R22 kita peroleh :Kolom pertama : ∥∥∥∥∥∥

−0.0920

∥∥∥∥∥∥2

= 0.092

51

Kolom kedua : ∥∥∥∥∥∥0.189

0.014

∥∥∥∥∥∥2

= 0.1895

Dengan demikian kolom kedua harus kita pindahkan ke kolom pertama dari R22.Tapi jika kita kembalikan ke asalnya, kolom kedua dari R22 berasal dari kolom 1

dari Matrik A, sedangkan kolom 2 dari R22 berasal dari kolom ke 3 dari matrik A.Jika kita pandang matrik A sekali lagi yang terdiri dari tiga kolom, maka KOLOM

2 adalah yang paling signifikan panjang euclideannya, setelah itu KOLOM 3 (setelahkita lakukan analisis pada R22) dan terakhir KOLOM 1.

Jika matrik A kita ubah urutannya dengan cara ini maka kita peroleh :

A=

-1

-0.5

-1

1

0.6

1

1

0.4

1.02

1

0.6

1

1

0.4

1.02

-1

-0.5

-1

= AB

2, 3, 1

permutasikolom

Matrik yang telah dipermutasi (AB) yang kemudian dilakukan dekomposisi QR:1 1 −1

0.6 0.4 −0.51 1.02 −1

=

−0.6509 0.2228 −0.7257−0.3906 −0.9180 0.0685−0.6509 0.3280 0.6846

·

−1.5362 −1.4711 1.4972

0 0.1902 −0.09180 0 0.0068

= QB ·RB

Teknik mempermutasikan kolom dari A sebelum QR dekomposisi ini disebut dengandekomposisi QR dengan column pivoting.

Penyelesaian persamaan linier A ·x = y dilakukan dengan mendekomposisi AB =QB ·RB. Solusi akhir disusun kembali sesuai dengan permutasi yang dilakukan.

2.5 Penyelesaian masalah sistem persamaan linierUnderdetermined

Tinjau sistem persamaan berikut:

−0.5x1 + 0.6x2 + 0.4x3 = 1.2

dan

x1 +x2 +x3 = 3

Sistem persamaan tersebut memiliki dua persamaan dengan tiga variabel tidakdiketahui. Akan ada banyak solusi dari persamaan tersebut.

52

Dua solusi akan kita hitung dengan QR dekomposisi. Solusi pertama adalah QRlangsung. Solusi kedua dengan QR dan pivot kolom.

Sistem persamaan tersebut dalam matrik dapat dituliskan sebagai:

−0.5 0.6 0.41 1 1

·x1

x2

x3

=1.2

3

Misalkan−0.5 0.6 0.4

1 1 1

= A;

x1

x2

x3

= x

1.23

= y

Maka :

Ax= y

Kita dekomposisi A dengan melakukan column pivoting, kita peroleh urutanpermutasi adalah : 2, 1, 3. Setelah kita permutasikan, kita peroleh matrik AB:

AB =0.6 −0.5 0.4

1 1 1

Dekomposisi QR pada AB diperoleh:

AB =0.6 −0.5 0.4

1 1 1

=−0.5145 −0.8575−0.8575 0.5145

·−1.1662 −0.6002 −1.0633

0 0.9432 0.1715

= QB ·RB

Kembalikan ke persamaan semula (Ax=y −−> QRx=y):

−0.5145 −0.8575−0.8575 0.5145

·−1.1662 −0.6002 −1.0633

0 0.9432 0.1715

·x2

x1

x3

=1.2

3

−1.1662 −0.6002 −1.06330 0.9432 0.1715

·x2

x1

x3

=−0.5145 −0.8575−0.8575 0.5145

−1

·

1.23

.

Di sini urutan x adalah

x2

x1

x3

untuk menyesuaikan permutasi 2, 1, 3 pada A

sebelumnya.

53

Karena orthonormal, maka−0.5145 −0.8575−0.8575 0.5145

−1

=−0.5145 −0.8575−0.8575 0.5145

TSetelah ruas kanan dihitung dan disederhanakan, kita peroleh:

−1.1662 −0.6002 −1.06330 0.9432 0.1715

·x2

x1

x3

=−3.1899

0.5145

Oleh karena kolom R telah diurutkan dari norm euclidean terbesar ke terkecil, maka

dampak dari kolom ke-3 adalah paling minimal. Oleh karena itu kita abaikan kolom ini,yang berkorespondensi dengan membuat x3 = 0, kita peroleh penyederhanaan menjadi:

−1.1662 −0.60020 0.9432

·x2

x1

=−3.1899

0.5145

AtauTinjau sistem persamaan berikut:

−1.1662x2−0.6002x1 =−3.1899

dan

0x2−0.9432x1 = 0.5145

Selesaikan dari baris paling bawah:diperoleh :

x1 = 0.51450.9432 = 0.545

Substitusikan pada persamaan baris pertama diperoleh :

−1.1662x2−0.6002 ·0.545 =−3.1899

atau−1.1662x2 =−2.862791

ataux2 =−2.4548

Dengan demikian, solusi dari :

−0.5x1 + 0.6x2 + 0.4x3 = 1.2

dan

54

x1 +x2 +x3 = 3

adalahx1

x2

x3

=

0.5452.4548

0

Dengan sudut pandang variabel dari yang memberikan kontribusi besar sampai

variabel yang memberikan kontribusi kecil.Solusi ini sesuai dengan operator backslash (\) dari Matlab.

55