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Chapter 3

Derivatives


3.1

Introducing the Derivative

Introduciendo la derivada

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La pendiente de la

línea tangente y la

tasa de cambio

instantánea son

negativas

La pendiente de la

línea tangente y la

tasa de cambio

instantánea son

postitivas


Trayectoria de un

cuerpo en movimiento

Las tangentes nos dan la

dirección de movimiento


Cuando x-a tiende a 0, la recta secante

se aproxima a la recta tangente

Slide 3 - 7

Definición: Tasas de cambio y la línea tangente

La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente

de la línea secante correspondiente:

La tasa de cambio instantánea de f en x=a es

La cual es también la pendiente de la línea tangente en x=a, dado

que el limite exista. La línea tangente en x=a es la única línea que

pasa por con pendiente . Su ecuación esta dada por

,a x

sec

( ) ( )f x f am

x a

tan

( ) ( )limx a

f x f am

x a

( , ( ))a f a tanm

tan( ) ( )y f a m x a

Slide 3 - 8

La pendiente de la línea tangente es (1,80) es 64

Slide 3 - 9

Cuando x-a tiende a 0, la recta secante se aproxima

a la recta tangente


Definición alternativa: Tasas de cambio y la línea tangente

La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la

pendiente de la línea secante correspondiente:

La tasa de cambio instantánea de f en x=a es

La cual es también la pendiente de la línea tangente en x=a, dado

que el limite exista.

sec

( ) ( )f a h f am

h

tan0

( ) ( )limh

f a h f am

h

,a a h

Slide 3 - 11

La pendiente de la línea tangente en

(1,5) es 7


Positiva

Cerca a 0

Negativa


Definición: La derivada

La derivada de f es la función

Dado que el límite existe. Si la derivada existe, decimos que f

es diferenciable en x. Si f es diferenciable en cada punto de el

intervalo abierto I, decimos que f es diferenciable en I.

0

( ) ( )'( ) lim

h

df f x h f xf x

dx h


Calculando la derivada en varios puntos

Slide 3 - 15

La pendiente de la recta tangente en x es igual a la derivada evaluada en x.

La pendiente de la recta secante en x tiende a la recta tangente a medida que delta x

tiende a 0.

Slide 3 - 16

La pendiente de la recta tangente en (4,2) es

igual a la derivada evaluada en x=4


La derivada no es continua en x=-2 y x=0


Slide 3 - 19

Pendiente positivas, negativas y cero


Teorema. Diferenciable implica continuidad. Si f es

diferenciable en a, luego f es continua en a

Slide 3 - 21

Si f no es continua en a, luego f no

es diferenciable en a

Slide 3 - 22

No todas las funciones continuas

son diferenciables


F’(0) no existe

No todas las funciones continuas son diferenciables

Slide 3 - 24

La función no es continua en -2 y 2

La función no es diferenciable en -

2,0,-2

Slide 3 - 25

g’(0) no esta definida(no es diferenciable)

g’(2) no esta definida (no es diferenciable=)

Slide 3 - 26


3.2

Rules of Differentiation

Reglas de derivación

Slide 3 - 28

La derivada de una constante es cero


La derivada de una constante es cero


Si n es un entero positivo, luego

1( )n ndx nx

dx


Regla de multiplicación por una constante

Si f es diferenciable en x y c es una

constante, luego

( )d df

cf x cdx dx


Regla de la suma

Si f y g son diferenciables en x, luego

( ) ( )d df dg

f x g xdx dx dx


La función es diferenciable para todo

número real x y su derivada esta dada por

( ) xf x e

( )x xde e

dx

Slide 3 - 34

Derivadas de alto orden:

Asúmanos que f puede ser derivada tanto como sea

necesario, la segunda derivada de f es:

Para enteros n>=1, la derivada enésima es:

2

(2)

2''( ) ( ) '( )

d f df x f x f x

dx dx

( ) ( 1)( ) ( )n

n n

n

d f df x f x

dx dx


3.3

The Product and Quotient Rules

La regla del producto y el cociente

Slide 3 - 36

Regla del producto

Si f y g son diferenciables en x, luego

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )d

f x g x f x g x f x g xdx


Regla del cociente

Si f y g son diferenciables en x, luego la

derivada de f/g existe dado que g(x)≠0

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( )

d f x f x g x f x g x

dx g x g x


Si n es un entero positivo, luego

1( )n ndx nx

dx


La derivada de kxe

( )kx kxde ke

dx



3.4

Derivatives of Trigonometric

Functions


Derivadas de la funciones seno y coseno

(sin ) cos (cos ) sind d

x x x xdx dx

Slide 3 - 43

Líneas tangentes horizontales de f(x)=sinx ocurren en los

ceros de cosx

Líneas tangentes horizontales de f(x)=cosx ocurren en los

ceros de -sinx


Derivadas de funciones trigonométricas

2

2 2

sin cos cos sin ( sin ) 1tan sec

cos (cos ) (cos )

d d x x x x xx x

dx dx x x x


Derivadas de funciones trigonométricas


3.6

The Chain Rule

Regla de cadena


Suponga que y=f(u) y u=g(x) son funciones diferenciables. La

función compuesta y=f(g(x)) es diferenciable, y su derivada puede

ser expresada en dos formas equivalente

dy dy du

dx du dx

( ( )) '( ( )) '( )d

f g x f g x g xdx



2

2

( ) cos( )

4 2

cos( )2 2 cos( 4)

dyy sen u u

du

duu x x

dx

dyu x x x

dx



3.7

Implicit Differentiation








3.8

Derivatives of Logarithmic and

Exponential Functions












3.9

Derivatives of Inverse

Trigonometric Functions


Slide 3 - 71

1

1

(sin ( ))

sin ( ) sin( )

dx

dx

y x y x

Utilizando derivación implícita tenemos

1

cos( ) 1

1(sin ( ))

cos

dyy

dx

dx

dx y

2 2

2 2

cos sin 1

cos 1 sin 1

y y

y y x

1

2

1(sin ( ))

1

dx

dx x

Slide 3 - 72

1

1

(sin ( ))

sin ( ) sin( )

dx

dx

y x y x


1

cos( ) 1

1(sin ( ))

cos

dyy

dx

dx

dx y

2 2

2 2

cos sin 1

cos 1 sin 1

y y

y y x

1

2

1(sin ( ))

1

dx

dx x




Slide 3 - 76

1

1

(tan ( ))

tan ( ) tan( )

dx

dx

y x y x


2

1

2

sec ( ) 1

1(tan ( ))

sec

dyy

dx

dx

dx y

2 2

2 2

1 tan sec

1 tan 1

y y

y x

1

2

1(tan ( ))

1

dx

dx x

Derivada de la función 1tan ( )y x

Slide 3 - 77

Derivada de la función 1cos ( )y x

Slide 3 - 78

Derivada de la función 1tan (sin(2 ))y x

2 2

1 2cos(2 )(sin(2 ))

1 sin (2 ) 1 sin (2 )

dy d xx

dx x dx x

Slide 3 - 79

Derivada de la función 1tan ( )y x

Slide 3 - 80

Derivada de la función 1sin ( )y x x



1

1

1( ) 1

2

1'( )

2

( ) 2 2

( ) ' 2

f x x

f x

f x x

f x

1

1

1( ) 1

2

1'( )

2

( ) 2 2

1( ) ' 2

1

2

f x x

f x

f x x

f x

Ejemplo derivada de

la función inversa


2

1

1

( ) 1

'( ) 2

( ) 1

1( ) '

2 1

f x x

f x x

f x x

f xx

2

1

1

( ) 1

'( ) 2

( ) 1

1( ) '

2 1

f x x

f x x

f x x

f xx

Ejemplo derivada de

la función inversa


2

1

1

( ) 3

'( ) 2

( ) 3

1( ) '

2 3

f x x

f x x

f x x

f xx

Ejemplo derivada de

la función inversa


Ejemplo derivada de

la función inversa

3

2

1

1 3

2

1 3

3 2

( )

'( ) 3

( )

1 1 1( ) '

3 3

f x x

f x x

f x x

f x xx

3

2

1

1 3

1

1 2 3 223 3

( )

'( ) 3

( )

1 1 1( ) '

33( ) 3( )

f x x

f x x

f x x

f xxx x


La tangente de f en (1,3) tiene pendiente 5/2

La tangente de f-1en (3,1) tiene pendiente 2/5

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