Upload
others
View
22
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Nizovi i redovi
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 1 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija.
Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku:
a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Intuitivno, niz realnih brojeva je
2,35,−4, 1
2, 7,√2, 3, 3,
457, . . .
Mozemo smatrati:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3
5 , −4,12 , 7,
√2, 3, 3, 45
7 , . . .
Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.
Uvodimo oznaku: a(n) = an.
Niz se najcešce:
zadaje zadavanjem analiticke formule za an,
cijeli niz se tada oznacava sa {an}.Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n
⇒ {an} = 1,12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} =
1,12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n
⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} =
2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable,
pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu
(an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu
(an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),
monotono padajucem nizu (an = 1n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu
(an = 1n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Primjerice, vrijedi:
an =1n⇒ {an} = 1,
12,13,14,15, . . .
an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:
ogranicenom nizu (an = 1n ),
monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1
n ).
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 3 / 63
Nizovi brojeva
Definicija.
Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran,
ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje
svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} =
2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8,
5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.
Primjerice, vrijedi:
an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4
⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 4 / 63
Nizovi brojeva
Definicija.
Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani,
ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n
⇒ {an} = 1,−12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} =
1,−12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.
Primjerice, vrijedi:
an =(−1)n+1
n⇒ {an} = 1,−
12,13,−14,15,−16, . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 5 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak.
Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n,
b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n,
c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ),
d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza,
odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje.
a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a)
Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =
12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,
14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,
18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,
116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,
132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,
164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164,
. . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz:
jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen,
jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci,
nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran,
nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b)
Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} =
0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0,
3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3,
2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2,
5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5,
4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4,
7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7,
6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6,
9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9,
8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8,
11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11,
10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10,
...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz:
nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen,
nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton,
nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran,
nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. a) Vrijedi
{an} =12,14,18,116,132,164, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.
b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...
Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 6 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c)
Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} =
0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz:
jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen,
jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton
(i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo),
jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran,
nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d)
Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} =
− 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1,
1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1,
− 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1,
1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1,
− 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz:
jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen,
nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton,
nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran,
jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Zadani su nizovi:
a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).
Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.
Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .
Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.
d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...
Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 7 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞,
tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Uocimo:
niz je funkcija s domenom N,
funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,
jedino gomilište skupa N je +∞.
Zakljucujemo da je:
limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je
limn→+∞
an.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 8 / 63
Nizovi brojeva
Definicija.
Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R
ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞)
ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira
ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Definicija. Kazemo da niz {an} :
konvergira prema L ∈ R ako vrijedi
limn→+∞
an = L,
divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi
limn→+∞
an = +∞ (ili limn→+∞
= −∞),
divergira ako vrijedi
limn→+∞
an = ne postoji.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 9 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak.
Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e,
b) limn→+∞
n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1,
c) limn→+∞
n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje.
a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a)
Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n =
limx→+∞
(1+1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x =
e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. a) Vrijedi
limn→+∞
(1+1n)n = lim
x→+∞(1+
1x)x = e
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 10 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b)
Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n =
limx→+∞
x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x =
limx→+∞
x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x =
L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 11 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L =
ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x =
limx→+∞
ln x1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x =
limx→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1=
limx→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x=
0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0
⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L =
e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 =
1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. b) Vrijedi
limn→+∞
n√n = lim
x→+∞x√x = lim
x→+∞x1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
x1x = lim
x→+∞ln x
1x = lim
x→+∞
ln xx=
[+∞+∞
, L′H]=
= limx→+∞
1x
1= lim
x→+∞
1x= 0⇒ L = e0 = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 12 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c)
Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a =
limx→+∞
x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a =
limx→+∞
a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x =
L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 13 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L =
ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x =
limx→+∞
ln a1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax=
[ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] =
0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0
⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L =
e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 =
1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Nizovi brojeva
Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:
a) limn→+∞
(1+1n)n = e, b) lim
n→+∞n√n = 1, c) lim
n→+∞n√a = 1 (za a > 0).
Rješenje. c) Vrijedi
limn→+∞
n√a = lim
x→+∞x√a = lim
x→+∞a1x = L.
Sada je
ln L = ln limx→+∞
a1x = lim
x→+∞ln a
1x =
= limx→+∞
ln ax= [
ln a+∞
] = 0⇒ L = e0 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 14 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija.
Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva.
Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje.
Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=
12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . .
= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an
je zbroj svih clanova niza {an}.
Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?
+∞
∑n=1
12n=12+14+18+116+ . . . = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 15 / 63
Redovi brojeva
Definicija.
Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva.
Broj sk = ∑kn=1 an naziva
se k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an
nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda.
Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija.
Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan
(ili zbrojiv ilisumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan),
ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s.
Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . .
⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} =
1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1,
2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2,
3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3,
4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4,
5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5,
. . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k ,
. . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→
+∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . .
⇒ {sk} = 12 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} =
12 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,
78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,
1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 ,
. . . , 2k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k ,
. . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→
1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,
+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k
n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili
sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.
+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞
⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv
+∞∑n=1
12n =
12 +
14 +
18 +
116 + . . . ⇒ {sk} = 1
2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2
k−12k , . . .→ 1
⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1
12n = 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 16 / 63
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje.
Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=
12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =
12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,
23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,
34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,
45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,
56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56,
. . . ,k
k + 1, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . .
→ 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1
(konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
.
Rješenje. Vrijedi
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
=12+16+112+120+130+ . . .
⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,
kk + 1
, . . . → 1
pa je
∑+∞n=1
1n(n+ 1)
= 1 (konvergentan red)
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 17 / 63
Redovi brojeva
Definicija.
Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =
+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =+∞
∑n=1
a · qn−1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 18 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice,
za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n = 1+
12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice, za a = 1 i q = 12
dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n = 1+
12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice, za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n =
1+12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Harmonijski red je red
∑+∞n=1
1n.
Geometrijski red je red+∞
∑n=0
a · qn,
pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.
Primjerice, za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red
+∞
∑n=0(12)n = 1+
12+14+18+ . . .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 19 / 63
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju:
a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda,
b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.
Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje.
a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a)
Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
=
1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . .
>
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+
(14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) +
(18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) +
. . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+
12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+
12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+
. . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . =
+∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi
∑+∞n=1
1n
= 1+12+ (
13+14) + (
15+16+17+18) + . . . >
> 1+12+ (
14+14) + (
18+18+18+18) + . . . =
= 1+12+12+12+ . . . = +∞,
pa je harmonijski red ∑+∞n=1
1n divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 20 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b)
Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1
vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =
a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .
⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} =
a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .
→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1
/ · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · q
q · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qksk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk
sk − qsk = a− a · qk
sk = a1− qk1− q
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 21 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn =
limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk =
limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,
+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,
−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,
ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞
Sada za q 6= 1 vrijedi
+∞
∑n=0
a ·qn = limk→+∞
sk = limk→+∞
a1− qk1− q =
a
1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 22 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn =
{ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 23 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1
divergira za |q| ≥ 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 23 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 23 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda).
Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan,
onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0,
onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0,
onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 =
1 6= 0⇒∑+∞n=1
nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1
6= 0⇒∑+∞n=1
nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0
⇒∑+∞n=1
nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1
je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) =
0 i ∑+∞n=1
1n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0
i ∑+∞n=1
1n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) =
1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n =
0 i ∑+∞n=1
1n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0
i ∑+∞n=1
1n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n
je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an
konvergentan, onda je limn→+∞
an = 0.
Pojasnimo znacenje teorema:
ako je limn→+∞
an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;
ako je limn→+∞
an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti
konvergentan.
Primjerice, vrijedi
limn→+∞
nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞
n=1nn+1 je divergentan
ali zato
limn→+∞
1n(n+1) = 0 i ∑+∞
n=11
n(n+1) = 1,
limn→+∞
1n = 0 i ∑+∞
n=11n je divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 24 / 63
Redovi brojeva
Definicija.
Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima.
Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:red ∑+∞
n=1 bn je majoranta reda ∑+∞n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn,
onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak.
Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 .
Za svaki redutvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.
Rješenje. Vrijedi1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje.
Vrijedi1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2
minoranta redova ∑+∞n=1
1n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n
majoranta redu ∑+∞n=1
1n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 ,
a minoranta redu ∑+∞n=1
1√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n
je najoranta redova ∑+∞n=1
1n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:
red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞
n=1 an,
red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞
n=1 bn.
Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1
1√n , ∑+∞
n=11n , ∑+∞
n=11n2 . Za svaki red
utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi
1n2 ≤
1n ≤
1√n
pa je:
red ∑+∞n=1
1n2 minoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11√n ,
red ∑+∞n=1
1n majoranta redu ∑+∞
n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞
n=11√n ;
red ∑+∞n=1
1√n je najoranta redova ∑+∞
n=11n i ∑+∞
n=11n2
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 25 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije).
Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima.
Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I.
Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu,
a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 26 / 63
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 ,
b) ∑+∞n=1
1√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n ,
c) ∑+∞n=1
42n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n ,
e) ∑+∞n=1
n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n ,
f) ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje.
a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a)
Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg.
⇒+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 =
1++∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 =
{k = n− 1} = 1++∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} =
1++∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. a) Vrijedi1
(n+1)2 ≤1
n(n+1)
pa imamo
+∞
∑n=1
1n(n+1) kvg. ⇒
+∞
∑n=1
1(n+1)2 konvergira
⇒+∞
∑n=1
1n2 = 1+
+∞
∑n=2
1n2 = {k = n− 1} = 1+
+∞
∑k=1
1(k+1)2
⇒+∞
∑n=1
1n2 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 27 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b)
Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n
pa imamo+∞
∑n=1
1ndivergira⇒
+∞
∑n=1
1√ndivergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 28 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II.
Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II. Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II. Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞,
onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Poredbeni kriterij II. Neka je
limn→+∞
anbn= L.
Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 29 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c)
Uspore�ujemo
+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
=
limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 =
limn→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n=
4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4
> 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞
∑n=1
42n − 3 i
+∞
∑n=1
12n
Vrijedi
limn→+∞
42n−312n
= limn→+∞
4 · 2n2n − 3 = lim
n→+∞
41− 3
2n= 4 > 0
pa imamo+∞
∑n=1
12nkonvergira⇒
+∞
∑n=1
42n − 3 konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 30 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij.
Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
D’Alambertov kriterij. Neka je
limn→+∞
an+1an
= L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 31 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d)
Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
=
limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
=
limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1=
limn→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=
12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12
< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi
limn→+∞
an+1an
= limn→+∞
n+12n+1n2n
= limn→+∞
n+12n1= lim
n→+∞
n+ 12n
=12< 1,
pa je red konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 32 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij.
Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Cauchyjev kriterij. Neka je
limn→+∞
n√an = L.
Tada vrijedi:
ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;
ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;
ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 33 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e)
Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an =
limn→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n=
limn→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32
> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi
limn→+∞
n√an = lim
n→+∞
n
√n3n
2n= lim
n→+∞
32
n√n =
32> 1,
pa je red divergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 34 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij.
Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)
limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,
Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞
n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.
Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,
onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 35 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f)
Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an =
limn→+∞
12n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 =
0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:
a) ∑+∞n=1
1n2 , b) ∑+∞
n=11√n , c) ∑+∞
n=14
2n−3 ,
d) ∑+∞n=1
n2n , e) ∑+∞
n=1n3n2n , f) ∑+∞
n=1(−1)n2n+1 .
Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:
niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz
vrijedilim
n→+∞an = lim
n→+∞1
2n+1 = 0
pa je red ∑+∞n=1
(−1)n2n+1 konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 36 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,
Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija.
Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan,
ako je red∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem.
Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan,
onda je red ∑+∞n=1 an
ujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Uocimo da:
prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.
Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red
∑+∞n=1 |an | konvergentan.
Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞
n=1 anujedno i konvergentan.
Uocimo:
ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,
ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 37 / 63
Redovi brojeva
Zadatak.
Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
,
b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje.
a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a)
Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ =
+∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n=
1 ⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. a) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣∣ (−1)n2n
∣∣∣∣ = +∞
∑n=1
12n= 1 ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n2n
apsolutno konvergira
⇒+∞
∑n=1
(−1)n2n
konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 38 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b)
Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ =
+∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n =
dvg. ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg.
⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n
= ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2
(uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Redovi brojeva
Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:
a)+∞
∑n=1
(−1)n2n
, b)+∞
∑n=1
(−1)n+1n
.
Rješenje. b) Vrijedi
+∞
∑n=1
∣∣∣ (−1)n+1n
∣∣∣ = +∞
∑n=1
1n = dvg. ⇒
+∞
∑n=1
(−1)n+1n apsolutno divergira
ali . . . ⇒+∞
∑n=1
(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 39 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N.
Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . .
= {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn,
onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . .
= {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . .
=+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija
i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz
f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.
Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:
niz brojeva
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},
suma tog niza brojeva je red brojeva
f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞
∑n=1
fn(x).
Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 40 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija.
Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N,
te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn.
Red funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn
je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . .
za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih redova brojeva
+∞
∑n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.
Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 41 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn
⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} =
1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn =
1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R.
Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 1
1+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 2
1+ 12 +
14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2
...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi
fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .
⇒+∞
∑n=0
xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .
Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x
n je cijeli skup R. Sada imamo
+∞
∑n=0
xn =
1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1
2 +14 +
18 + . . . za x = 1
2...
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 42 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija.
Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija
i D njegovo podrucje definicije.Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞
n=1 fn je skup svih x ∈ D za kojered brojeva ∑+∞
n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn
je skup svih x ∈ D za kojered brojeva ∑+∞
n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D
za kojered brojeva ∑+∞
n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.
Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje
red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.
Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju
s(x) =+∞
∑n=1
fn(x).
koja se zove suma reda funkcija.
Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:
odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,
odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 43 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.
Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje.
Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn =
{ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn =
{q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} =
11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Nizovi i redovi funkcija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x
n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva
+∞
∑n=0
a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1
Sada je+∞
∑n=0
xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.
Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x
n je funkcija
s : 〈−1, 1〉 → R
s(x) =1
1− x
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 44 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija
je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n
za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija
je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n =
a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.
Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Niz potencija je niz funkcija oblika
fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.
Red potencija je red funkcija oblika
+∞
∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .
pri cemu je:
x0 ∈ R,
an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 45 / 63
Red potencija
Definicija.
Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n
je brojR za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣
ili1R= lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞
onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0
onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj
R za kojeg vrijedi
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim
n→+∞n√|an |.
Posebno, ako su ovi limesi:
jednaki +∞ onda je R = 0,
jednaki 0 onda je R = +∞.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 46 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija).
Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n,
onda taj red:
konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:
konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,
divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,
nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,
divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉
za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞
n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.
Dakle, red potencija:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 47 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0
onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn =
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,
divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉
za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik
+∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,
te taj red:
konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 48 / 63
Red potencija
Zadatak.
Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n,
b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn,
c) ∑+∞n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje.
a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a)
Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n,
pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R =
limn→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ =
limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n =
1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1
⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R =
1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 =
〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,
divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 =
〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,
na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒
∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n =
0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . .
= divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒
∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n =
0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . .
= divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je
1R = lim
n→+∞
∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞
∣∣ n+1n
∣∣ = limn→+∞
n+1n = 1⇒ R = 1
pa red:
konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi
x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1
n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira
x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)
n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira
Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b)
Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!,
pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ =
limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) =
+∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞
⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R =
0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.
Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn =
∑+∞n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 =
0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0
⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!n!
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,
pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red
∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞
n=0 0 = 0⇒ red konvergira.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 50 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c)
Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! ,
pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ =
limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
=
0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0
⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R =
+∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Red potencija
Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:
a) ∑+∞n=0 nx
n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞
n=0
1n!xn.
Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa red konvergira za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 51 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem.
Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0.
Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) =
f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +
Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =
f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0)
gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n +Rn(x)
pri cemu je
Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!
(x − x0)n+1
za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.
Nazivi:
Taylorov polinom stupnja n,
ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 52 / 63
Taylorov red
Teorem.
Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0.
Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) =
f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,
za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi
f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +
f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)
n! (x-x0)n + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(x0)n! (x − x0)n
ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.
Nazivi:
Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f
f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
=+∞
∑n=0
f (n)(0)n! xn
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 53 / 63
Taylorov red
Zadatak.
Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije:
a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex ,
b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x ,
c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x .
Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.
Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje.
a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a)
Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex
⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) =
1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) =
ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex
⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) =
1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) =
ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex
⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) =
1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) =
ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex
⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) =
1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) =
f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =
+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
f (x) = ex ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1
. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1
. . .
pa je
ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3 + . . .+ 1n!x
n + . . . =+∞
∑n=0
1n!x
n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 54 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ =
limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
=
0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0
⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R =
+∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo
ex =+∞
∑n=0
1n!x
n
Radijus konvergencije je
1R= lim
n→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣1
(n+1)!1n!
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
1n+ 1
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 55 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex
≈ 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1
+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x
+ 12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x +
12!x
2
+ 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi
ex ≈ 1+ 11!x +
12!x
2 + 13!x
3
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 56 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b)
Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x
⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) =
1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) =
− sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x
⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) =
0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) =
− cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x
⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) =
− 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1
f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) =
sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x
⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) =
0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) =
cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x
⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) =
1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) =
− sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x
⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) =
0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x)
= f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . =
∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1
f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0
f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1
f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0
. . .
cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 57 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ =
= limn→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
=
0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0
⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R =
+∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo
cos x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n)! x
2n
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 1)(2n+ 2)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 58 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x
≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1
− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2
+ 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4
− 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6
+ 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi
cos x ≈ 1− 12!x
2 + 14!x
4 − 16!x
6 + 18!x
8
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 59 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c)
Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x
⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) =
0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) =
cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x
⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) =
1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) =
− sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x
⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) =
0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) =
− cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x
⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) =
− 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1
f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) =
sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x
⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) =
0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) =
cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x
⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) =
1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) =
f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . =
∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0
f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0
f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1
. . .
sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +
f ′′(0)2! x
2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)
n! xn + . . . =
= 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + . . . = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 60 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
=
limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =
limn→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ =
= limn→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
=
0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0
⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R =
+∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo
sin x = ∑+∞n=0
(−1)n(2n+1)!x
2n+1
Radijus konvergencije je
1R
= limn→+∞
∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim
n→+∞
∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!
∣∣∣∣∣∣ == lim
n→+∞
1(2n+ 2)(2n+ 3)
= 0⇒ R = +∞,
pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 61 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x
≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1
− 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3
+ 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5
− 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7
+ 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi
sin x ≈ 11!x
1 − 13!x
3 + 15!x
5 − 17!x
7 + 19!x
9
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 62 / 63
Taylorov red
Zadatak.
Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ
kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.
Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje.
Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ =
1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) +
i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63
Taylorov red
Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi
e iϕ = 1+11!(iϕ) +
12!(iϕ)2 +
13!(iϕ)3 +
14!(iϕ)4 +
15!(iϕ)5 + . . . =
= 1+11!iϕ+
12!i2ϕ2 +
13!i3ϕ3 +
14!i4ϕ4 +
15!i5ϕ5 + . . . =
= 1+11!iϕ− 1
2!ϕ2 − 1
3!iϕ3 +
14!
ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =
= (1− 12!
ϕ2 +14!
ϕ4 + . . .) + i(11!
ϕ− 13!
ϕ3 +15!
ϕ5 + . . .) =
= cos ϕ+ i sin ϕ.
Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 63 / 63