Name:  Math  4  

Review  for  Quarter  3  Cumulative  Test    

I.    Solving  quadratic  equations  Key  Facts  

• To  factor  a  polynomial,  first  factor  out  any  common  factors,  then  use  the  box  method  to  factor  the  quadratic.

o When  you  have  a  nonmonic  quadratic   ax2 + bx + c( ) ,  the  numbers  to  fill  in  your  box  must  multiply  to  a ⋅c  and  add  to   b

• To  solve  a  quadratic  equation,  make  sure  one  side  of  the  equation  is  equal  to  0.  Then  factor  the  quadratic  and  set  all  factors  equal  to  0.    Solve  all  of  the  new  equations  for  x.

• The  quadratic  formula  gives  the  solutions  to  any  quadratic   ax2 + bx + c = 0

o x = −b± b2 − 4ac2a

 Practice  Problems  1.    Factor  the  following  expressions.    Don’t  forget  to  look  for  common  factors  first.  a.    𝑥! − 3𝑥 − 10         b.    2𝑥! − 14𝑥! + 24𝑥                  c.    4𝑥! − 8𝑥 − 5             d.    3𝑥! + 14𝑥 − 5                  2.    Solve  the  following  equations  by  factoring  and  using  the  zero  product  property.  a.    𝑥! − 4𝑥 − 12 = 0               b.    𝑥! + 3𝑥 = 0              

3.    Solve  the  following  equations  using  the  quadratic  formula.    Give  your  answers  with  square  roots  and  as  decimals.  a.    𝑥! + 𝑥 − 4 = 0             b.    2𝑥! − 5𝑥 + 1 = 0                c.    3𝑥! − 𝑥 − 3 = 0               d.    𝑥! − 3𝑥 − 3 = 0                    II.    Finding  the  vertex  of  a  parabola  Key  Facts  

• Quadratic  graphs  have  a  parabola  shape   ∪ or∩( )  and  are  symmetric • There  are  two  ways  to  find  the  vertex  (min  or  max  point)  of  a  quadratic:

o Find  the  zeros  (x-­‐intercepts)  by  factoring  or  using  the  quadratic  formula  and  average  them  to  find  the  x-­‐coordinate  of  the  vertex

o Use  the  formula   x = −b2a  to  find  the  x-­‐coordinate  of  the  vertex

• Once  you  know  the  x-­‐coordinate  of  the  vertex,  plug  that  back  into  the  original  quadratic  formula  to  find  the  y-­‐coordinate.    Remember,  the  vertex  is  a  point  so  your  answer  should  be  in  the  form   (x, y)

 Practice  Problems  4.    Find  the  vertex  of  the  following  quadratic  equations  by  solving  and  averaging  the  roots.  a.    𝑥! + 12𝑥 + 32 = 0         b.  4𝑥! + 15𝑥 − 4 = 0                    

5.    Find  the  vertex  of  the  following  quadratic  equation  by  using  the  formula  𝑥 = !!!!  

a.    𝑦 = 2𝑥! − 8𝑥 + 1               b.    𝑦 = 𝑥! + 3𝑥 − 10                  III.  Projectile  Motion  Key  Facts  

• Know  how  to  use  the  formulas  for  projectile  motion.    The  formulas  will  be  given  to  you  on  the  test,  but  you’ll  need  to  know  what  the  variables  stand  for:

Horizontal:         x f = xi + vxit     Vertical:         yf = yi + vyit + 12 gt

2

  vyf = vyi + gt  

Practice  Problems  6.  A  projectile  is  shot  into  the  

air  from  a  height  of  5  meters.  It  is  shot  with  an  initial  velocity  of  30  m/s  at  an  angle  of  20°.  

               a.    How  far  has  the  projectile  traveled  horizontally  after  0.8  seconds?                

Variable   Meaning   Variable   Meaning  xi  

Initial  horizontal  position  =  0  m  

vxi  Initial  horizontal  

velocity  x f   Final  horizontal  

position  vyi   Initial  vertical  

velocity  

yi  Initial  vertical  position  

g  Gravitational  Constant  =  −10𝑚 𝑠!  

yf   Final  vertical  position   t   Time  

Variable   Known?   Variable   Known?  xi     vxi    

x f     vyi    

yi     g    

yf     t    

Horizontal:         x f = xi + vxit     Vertical:         yf = yi + vyit + 12 gt

2

  vyf = vyi + gt    b.    How  much  time  has  passed  when  the  ball  hits  the  ground?  Use  the  quadratic  formula  to  solve.                  c.    What  is  the  maximum  height  the  projectile  reaches?    At  what  time  does  it  reach  that  height?  This  means  you  must  find  the  vertex  of  a  quadratic.   7.     A  projectile  is  shot  into  the  air  

from  a  height  of  1  meter.  It  is  shot  with  an  initial  velocity  of  10  m/s  at  an  angle  of  70°.  

         

   

a. What  is  the  maximum  height  the  projectile  reaches?    At  what  time  does  it  reach  that  height?  

                 

b. What  is  the  height  of  the  projectile  after  1.2  seconds?          

Variable   Known?   Variable   Known?  xi     vxi    

x f     vyi    

yi     g    

yf     t    

c. How  long  does  it  take  for  the  projectile  to  hit  the  ground?                        IV.  Complex  Numbers  Key  Facts  

• To  deal  with  negative  numbers  under  square  roots,  we  define  the  imaginary  unit:           i = −1             i2 = −1  

o Example:       −4 = 4 ⋅ −1 = 2i    or     −7 = 7 ⋅ −1 = 7i  • A  complex  number  (example  3− 4i )  is  a  number  that  has  both  a  real  part  (3)  

and  an  imaginary  part  (−4i ).  • We  add  and  subtract  complex  numbers  by  combining  the  real  parts  and  the  

imaginary  parts  separately  (just  like  combining  like  terms).  o Example:       (1+ 5i)− (2−3i) = −1+8i  

• We  multiply  complex  numbers  by  completing  a  multiplication  box  and  simplifying.  

o This  includes  the  extra  step  of  substituting   i2 = −1 !  • We  divide  complex  numbers  by  multiplying  the  numerator  and  denominator  

by  the  complex  conjugate  of  the  denominator.  o To  simplify  the  denominator,  we  can  use  the  shortcut  

(a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 .  o To  simplify  the  numerator,  complete  a  multiplication  box.  

 Practice  Problems  8.   Simplify  the  following  expressions.     a.   (3+ i)+ (2− 4i)       b.       (3+ i)− (2− 4i)                 c.   (3+ i)(2− 4i)         d.       (1− i)(2i+ 6)      

9.   Simplify  the  following  expressions.     a.   (2+ i)2           b.       (3− i)(5+ i)− (2+3i)                        

  c.   3+ i2+ 2i

          d.       4+ 2i3− i

 

                             10.  Solve  the  following  equations  using  the  quadratic  formula.  Write  your  answers  in  terms  of  i.    a.     x2 + 4x + 5= 0           b.      3x2 − 2x +1= 0        

V.  Graphing  Equations  and  Inequalities  (5.1-­‐5.5)  Key  Facts  

• Graphing  one-­‐variable  inequalities  (ex.   x < 4 )  o Perform  algebra  steps  to  get  x  alone  

If  you  multiply  or  divide  by  a  negative  number,  you  must  flip  the  direction  of  the  inequality  

o Shade  in  the  number  line  to  represent  solutions  to  the  inequality   Draw  a  closed  circle  if  ≤  or  ≥   Draw  an  open  circle  if  <  or  >  

• Graphing  equations  of  lines  o If  the  equation  is  in  slope-­‐intercept  form  ( y =mx + b ),  m  gives  the  

slope  of  the  line  (rise/run)  and  b  gives  the  y-­‐intercept  o If  the  equation  is  in  any  form,  you  can  plug  in   x = 0  to  find  the  y-­‐

intercept  and  plug  in   y = 0  to  find  the  x-­‐intercept  • Graphing  two-­‐variable  inequalities  (ex.   y > 2x −3)  

o Graph  the  line  as  if  it  was  an  equation  (=)   Draw  a  dashed  line  if  <  or  >  

o Test  a  point  to  determine  which  half  of  the  grid  to  shade    • Solving  systems  of  equations  graphically  

o Graph  both  lines  o The  point  where  they  intersect  is  the  solution  to  the  system  

If  the  lines  are  parallel,  there  is  no  solution   If  the  lines  are  the  same,  there  are  infinitely  many  solutions  

• Graphing  a  system  of  two-­‐variable  inequalities  o Graph  the  solution  to  each  inequality  as  described  above  o The  final  solution  is  where  the  shaded  areas  overlap  (shade  this  

darker  or  with  a  new  color)    Practice  Problems  11. Simplify  and  shade  the  solutions  to  each  inequality  on  the  number  line  provided.     a.   5x + 2 <17            

    b.   6− 2x ≤14            

     

12. Graph  the  solutions  to  the  following  inequalities  on  the  grids  below.  Be  sure  to  think  about  whether  you  need  a  solid  or  dashed  line.  

  a.   y ≥ 2x − 5         b.       y < − 12 x +3  

                       13. Solve  the  following  systems  of  equations  by  graphing.  Be  neat  and  check  your  

solution  by  plugging  into  both  equations  if  you  are  unsure.    

  a.  y = x +1y = 3x − 5"#$

          b.      y = − 1

2 x + 24y+ 2x = 8"#$

 

           Solution:             Solution:            

  c.  2x −3y =12y = 2

3 x −1"#$

          d.      3x = 9− yx − 2y = −4"#$

 

           Solution:             Solution:          14. Graph  the  solutions  to  the  following  systems  of  inequalities  on  the  grids  below.  

Be  neat  and  make  sure  it’s  clear  what  the  final  solution  is  (shade  darkly  or  use  a  different  color).  

 

  a.  y ≤ xy ≤ 2x − 6#$%

          b.      y > −3x + 4y ≤ − 2

3 x +1#$%

 

                 

Answers  1.    a.  (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)        b.    2𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)        c.  (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 5)        d.    (3𝑥 − 1)(𝑥 + 5)  2.    a.    𝑥 = 6,−2            b.    𝑥 = 0,−3  3.    a.    !!± !"

!≈ 1.56  and− 2.56               b.    !± !"

!≈ 2.28  and  0.219  

           c.    !± !"!

≈ 1.18  and− 0.847         d.    !± !"!

≈ 3.79  and− 0.79  4.  a.    (−6,−4)        b.  (−1.875,−18.0625)              5.    a.    (2,−7)        b.    (−1.5,−12.25)  6.    a.    22.55  meters          b.    2.46  seconds          c.    height  of  10.3  meters  after  1.03  seconds  7.      a.  height  of  5.42  meters  after  0.94  seconds          b.    5.08  meters              c.    1.98  seconds  8.      a.       5−3i     b.      1+ 5i   c.      10−10i     d.      8− 4i  

9.      a.      3+ 4i     b.      14− 5i   c.       8− 4i8

=1− 12 i   d.      10+10i

10=1+ i  

10.      a.     x = −4± 2i2

= −2± i            b.     x = 2± i 8

6  

11.  a.                    b.    12.    a.             b.  

             13.    a.   (3,  4)   b.      infinitely  many  solutions   c.      no  solution   d.      (2,  3)  14.      a.             b.