ครูชํานาญ ยันตทอง

โรงเรียนวังไกลกังวลโรงเรียนวังไกลกังวล

)(Nxs i

N=

∑1i=

2x

ครูชํานาญ ยันตทอง

คาเฉลี่ยเลขคณิต(Arithmatic Mean)

ครูชํานาญ ยันตทอง

คากลางของขอมูล คือตัวเลขที่เหมาะสมที่สดุที่ใชเปนตัวแทนของขอมูลชุดนั้น ๆ - ขอมูลที่จะนํามาคํานวณหาคากลาง ตาง ๆ นี้มี 2 ประเภทคือ

- ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่- ขอมูลที่แจกแจงความถี่แลว

ครูชํานาญ ยันตทอง

- การหาคากลางของขอมูล มีไดหลายวิธี ซึ่งในแตละวิธีก็จะมีทั้งขอดีและขอเสีย และความเหมาะสมในการนําไปใชตางกัน โดยขึ้นอยูกับลักษณะของขอมูลและจุดประสงคในการนําไปใช

ครูชํานาญ ยันตทอง

- คากลางของขอมูลที่หาไดในแตละ วิธีนั้น อาจจะเทากันหรือใกลเคียงกัน

- คากลางที่นิยมหาและใชกันเสมอจะมี 6 คา และที่นิยมใชมากซึ่งเราจะเรียนกัน มี 3 ชนิดคือ

ครูชํานาญ ยันตทอง

1) คาเฉลีย่เลขคณิต(Arithmatic mean)2) มัธยฐาน(Median)3) ฐานนิยม(Mode)4) คากึ่งกลางพิสัย(Mid-range)5) คาเฉลีย่ฮารโมนิก(Harmonic mean)6) คาเฉลีย่เรขาคณิต(Geometic mean)

ครูชํานาญ ยันตทอง

- สัญลักษณที่นิยมใชแทนคาเฉลีย่ เลขคณิตคือ X (อานวา เอ็กซบาร)

ครูชํานาญ ยันตทอง

การหาคาเฉลีย่เลขคณิตของขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่

- คาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคาที่ไดจากการเฉลี่ยขอมูลทั้งหมด คาเฉลี่ยเลขคณิตเหมาะที่จะนํามาใชเปนคากลางของขอมูล

ครูชํานาญ ยันตทอง

เมื่อขอมูลนั้น ๆ ไมมีคาใดคาหนึ่งหรือหลาย ๆ คาซึ่งสูงหรือต่ํากวาคาอื่น ๆ ที่เหลืออยางผิดปกติ โดยขอมูลชุดนั้นมีคาใกลเคียงกัน

ครูชํานาญ ยันตทอง

- การหาคาเฉลีย่เลขคณิตของขอมลูที่ไมไดแจกแจงความถี ่ หาไดโดยตรงจากขอมลูที่มอียูทั้งหมด- โดยการหารผลรวมของขอมลูทั้งหมดดวยจํานวนขอมลูที่มอียูทั้งหมด- นัน่คือโดยการนําขอมลูทุกตัวมารวมกันแลวหารดวยจํานวนขอมลูทั้งหมด

ครูชํานาญ ยันตทอง

- ถาให X1,X2,X3,...,XN เปนขอมลูทั้งหมด N จํานวน จะไดคาเฉลีย่เลขคณิต(X)

NX...XXX N321 ++++

=

เขียนเปนสูตรไดเปน

NX

XΣ

=

N

XX

N

1iiΣ

==หรือครูชํานาญ ยันตทอง

หมายเหตุ สัญลักษณ ใชแทนผลบวกของขอมูล Xi ทุก ๆ คา จากi = 1 ถึง i = N

XN

1iiΣ

=

หรือผลบวกของตัวแปร X ซึง่ประกอบดวยคาจากการสังเกตทั้งหมด N จํานวน เรียกสญัลกัษณ Σ นี้วา “ซิกมา”

ครูชํานาญ ยันตทอง

ขอควรจํา จากสูตร

=XΣX (ผลบวกรวมของขอมลูทั้งหมด)

Ν (จํานวนของขอมลูทั้งหมด)

- สูตรนี้มีความสําคัญในการคํานวณเปนอยางยิ่ง

ครูชํานาญ ยันตทอง

- นักเรียนจะพบวาใน 3 คาตอไปนี้คือ X , ΣX และ N ถานักเรียนทราบ 2 คาใดก็ตาม ตองหาคาที่เหลือไดเสมอ- และจากสูตรนี้ นักเรียนจะไดวา1) NX = ΣX (หมายความวาผลบวกรวมของขอมูลทั้งหมดเทากับผลคูณ

ครูชํานาญ ยันตทอง

ระหวาง จาํนวนขอมลูทั้งหมดกับคาเฉลีย่เลขคณิต)

2) N X

X

Σ=

หมายความวา จํานวนขอมลูทั้งหมดเทากับผลรวมของขอมลูทั้งหมดหารดวยคาเฉลีย่เลขคณิต

ครูชํานาญ ยันตทอง

สัญลักษณแทนการบวก(Σซิกมา)- กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย X1,X2,X3,…,XN- ถาเรานําขอมูลทุกตัวมาบวกกันจะไดX1+X2+X3+…+XN

ครูชํานาญ ยันตทอง

- ซึ่งขอความดังกลาวจะเขียนในรูปผลบวกรวมในรูปของ ไดดังนี้X

N

1iiΣ

=

XN

1iiΣ

== X1+X2+X3+…+N2

(เมื่อ i = 1,2,…..,N)ครูชํานาญ ยันตทอง

- ถา Xi และ Yi เปนขอมูล(เมื่อ i = 1,2,3,…,N )N = จาํนวนขอมูลทั้งหมดc = คาคงตัว

จะได 1)

สมบัติของ Σ ที่ควรทราบ

c = NcN

1iΣ=

ครูชํานาญ ยันตทอง

) ∑∑==

=N

1i

N

i XccX2ι1i

) ( ) ∑ ∑∑= ==

+=+N

1

N

1i

N

YXYX3ι

ιi

i1i

i

) ( ) ∑ ∑∑= ==

−=−N

1

N

1i

N

YXYX4ι

ιi

i1i

i

ครูชํานาญ ยันตทอง

ตัวอยางที่ 1 จงหาคาเฉลีย่เลขคณิตของขอมูลตอไปนี้

1 , 2 , 4 , 1 , 2 , 5 , 25 , 1 , 5 , 5 , 3

ครูชํานาญ ยันตทอง

วิธีทํา 1) คาเฉลีย่เลขคณิต(X)

= 1+2+4+1+2+5+2+5+1+5+5+312

= 3= 36

12

ครูชํานาญ ยันตทอง

2) ใชสูตร NX

XΣ

=

หรือN

XX

N

1iiΣ

==

= 1+2+4+1+2+5+2+5+1+5+5+312

= 3= 3612

ครูชํานาญ ยันตทอง

ตัวอยางที่ 2 ผลการสอบวิชาสถิติของนักเรียนหองหนึ่ง จํานวน 35 คนปรากฏวาไดคาเฉลีย่เลขคณิตเทากับ 67 คะแนนจงหาผลบวกของคะแนนสอบ

ของนักเรียนทั้งหองครูชํานาญ ยันตทอง

วิธีทํา ให X แทนคะแนนสอบของนักเรียน

จากสูตรNX

X∑

=

= 35 X 67= 2345

จะได ΣX= NX

ครูชํานาญ ยันตทอง

นั่นคือ ผลบวกขอคะแนนสอบของนักเรียนทั้งหองเทากับ 2345 คะแนน

ครูชํานาญ ยันตทอง

ตัวอยางที่ 3 ถาผูสอนจะใหระดบั คะแนน 4 แกนักเรียนที่ไดคะแนนเฉลี่ยไมต่ํากวา 75 คะแนน จากการสอบยอยทั้งหมด 6 ครั้ง ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของการสอบยอย 5 ครั้ง ของนักเรียนคนหนึ่งเทากับ 71 คะแนน

ครูชํานาญ ยันตทอง

- จงหาวาในการสอบครั้งที่ 6 เขาจะตองสอบไดคะแนนเทาใด จึงจะไดระดับคะแนน 4วิธีทํา จาก

จะได, ผลรวมของคะแนนสอบ 6 ครั้ง = 6X= 6 x 75 = 450 คะแนน

ผลรวมของคะแนนสอบ 6 ครั้ง6

=X

ครูชํานาญ ยันตทอง

นั่นคือ นักเรียนจะไดระดบัคะแนน 4 ถามีคะแนนสอบจากการสอบ 6 ครั้งเทากับ 450 คะแนน- เนื่องจาก คาเฉลี่ยเลขคณิตของการสอบ 5 ครั้ง เทากับ 71 คะแนน

ครูชํานาญ ยันตทอง

ดังนั้น ผลรวมของคะแนนสอบ 5 ครั้ง= NX= 5 X 71= 355 คะแนน

ครูชํานาญ ยันตทอง

ดังนั้น ถานักเรียนตองการไดระดับคะแนน 4 เขาจะตองสอบไดคะแนน

450 – 355 = 95 คะแนนในการสอบครั้งที่ 6