Multivariable Calculusแคลคลสของฟงกชนหลายตวแปร

Chapter 19

แคลคลสหลายตวแปรมอะไรส าคญ? จะใชงานอยางไร?

Single & Multivariable Function

ลกษณะฟงกช น• ตวแปรตวเดยว (Single Variable) :มตวแปรอสระ 1 ตว (Independent Var.)

• ตวแปรหลายตว (Multi Variables) :มตวแปรอสระมากกวา 1 ตว

การพจารณาความหมาย• ตวแปรอสระ (ตวแปร) คอ ปจจย หรอเหต• ตวแปรไมอสระ คอ ผล• เวลาวเคราะหตวแปรอสระ คดทละตวแปร ขณะทคดตวแปรใด ใหมองตวอนเปนคาคงท

ตวอยางสมการตวแปรเดยว/หลายตวแปร

• ตวแปรเดยว:• y = f(x) = 3x + 1

y’ = dy/dx = f’(x) = 3

• P = f(Q) = 10 – 2Q

P’ = dP/dQ = f’(Q) = -2

• ตวแปรหลายตว• y = f(x1 , x2 , x3) = 5x1 + 2x2 – 3x3

• w = f(x, y, z, u) = 2x - 2y + 6z – 4z

• Qx = f(Px , Py , Ax , Y)

= 8500 - 5000Px + 3500Py + 150Y + 1000Ax

“ เครองหมายของสปส. แตละตวแปรใหความหมายอยางไรกบตวแปรไมอสระ? ”

คาสปส. ในฟงกช นเชงเสนบอกอะไรเรา

• ฟงกช นเชงเสน (Linear Function) คอ ท งตวแปรอสระ

และไมอสระเปนก าลง 1

• y = f(x) = 3x + 1 y’ = dy/dx = f’(x) = 3

• คา x เพมข น 1 หนวย คา y จะเพมข น 3 หนวย

• เชน f(0) = 1 และ f(1) = 4

เมอ x = 0 เพมข นเปน x = 1 คา y เพมข น 4 – 1 = 3

• P = f(Q) = 10 – 2Q P’ = dP/dQ = f’(Q) = -2

• คา Q เพมข น 1 หนวย คา y จะลดลง 2 หนวย

• เชน f(0) = 10 และ f(1) = 8

เมอ Q = 0 เพมข นเปน Q = 1 คา P ลดลง 10 – 8 = 2

“ คาสปส. บอกใหทราบวา ตวแปรอสระเปลยนไป 1 หนวย ตวแปรไมอสระจะเปลยนไปกหนวย ดวยลกษณะเหมอนกนหรอตรงกนขาม ”

การตความหมายสมประสทธ (ตวคณ)

ตวอยาง ปรมาณการบรโภค (Quantity) สนคา x ตามสมการ

Qx = 8500 - 5000Px + 3500Py + 150Y + 1000Ax

[Px = ราคาสนคา x, Py = ราคาสนคา y, Y = รายไดประชาชาต, Ax = โฆษณาสนคา x]

• Px เปลยนไป 1 หนวย Qx จะเปลยนไป 5,000 หนวย แบบตรงขาม Px เพมข น 1 หนวย Qx จะลดลง 5,000 หนวย Px ลดลง 1 หนวย Qx จะเพมข น 5,000 หนวยการเปลยนแบบตรงขาม เพราะเครองหมายสปส.ตดลบ

• Py เปลยนไป 1 หนวย Qx จะเปลยนไป 3,500 หนวย แบบตามกน Py เพมข น 1 หนวย Qx จะเพมข น 3,500 หนวย Py ลดลง 1 หนวย Qx จะลดลง 3,500 หนวยการเปลยนแบบตามกน เพราะเครองหมายสปส.เปนบวก

• ฯลฯ

• คาสปส. เหมอนกบคา Slope ยงมากยงชน• เครองหมายสปส. บอกทศของเสนกราฟแบบ Increasing/Decreasing

Single Variable Derivative (Differentiation)

Multivariable Derivative (Partial Differentiation)• เชน z = f(x, y) • อนพนธของ z จะม 2 ตว เนองจากม 2 ตวแปรอสระ (Multivariable)• สตรการ Diff ยงใชไดเหมอนเดม เปลยนสญญลกษณจาก d เปน m

• ตวอยาง อนพนธเกดจาก (เทยบกบ) ตวแปรอสระตางๆ

อนพนธของตวแปรเดยวและตวแปรหลายตว

dxdy = =lim

Dx 0 DxDy limDx 0 f(x + Dx) – f(x)

Dx=y’ =f’(x)

=zxmzmx

=zymzmy

=zyym2

zmy2 =zxy

m2z

mxmy=zyxm2

zmymx

=zxxm2

zmx2

สมการเสนตรงใน Calculus

y = mx + c โดยท m = คา Slope, c = จดตดแกน y

เฉพาะกรณเสนตรง• Slope มคาคงท (เทากนทกจดบนเสนตรง)• สตร Slope ของเสนตรงเขยนไดเปน

DxDym = x2 - x1

y2 - y1=

dxdym =

หรอ mymx

(สมการตวแปรเดยว)(สมการหลายตวแปร)

y = x + c หรอ x + c dxdy

DxDyดงน น

อนพนธใน Single Variable Linear Function

• เชน Q = 100 – 2P [Demand Function]

y = x + c = x + cDx dyเทยบกบ

ดงน น Slope หรอ dQ/dP = -2

• dQ/dP หมายถง P เปลยนไป 1 หนวย Q เปลยนไป 2 หนวยแบบทศตรงขาม (Pเพม Qลด, Pลด Qเพม)

• คา Slope (อนพนธ) ถาตวเลขยงมมาก คอ กราฟยงชน หรอ Q ยงเปลยนมากเมอ P เปลยนไป

• เครองหมาย+/- ของ Slope (อนพนธ) บอกถง ทศทางการเปลยน P กบ Q เปนแบบเดยวกน (+) หรอตรงขามกน (-)

Q = P + c dPdQเขยนไดเปน

dxDy

• Qx = 8500 -5000Px+3500Py+150Y+1000Ax

mQmPx

รปอนพนธ Q = k + Px + Py + Y + AxmQmPy

mQmY

mQmAx

, , , มคา = -5000, 3500, 150, 1000 ตามล าดบmQmPx

mQmPy

mQmY

mQmAx

คาอนพนธของแตละตวเหลาน เสมอนเปนคา Slope ของปรมาณการบรโภค (Qx) กบตวแปรอสระแตละตว

อนพนธใน Multivariable Linear Function

การวเคราะห เชนmQ/mPx = -5000 มองสมการเปน mQ = -5000mPx

อาจท าความเขาใจใหงายขน คอ DQ = -5000 DPx

[DQ , DPx คอผลตางหรอคาทเปลยนไป ของปรมาณการบรโภคและราคาสนคา x]

• Px เพมข น 1 หนวย Q จะลดลง 5000 หนวย• Px ลดลง 1 หนวย Q จะเพมข น 5000 หนวย

ตวอยางการหาอนพนธตวแปรหลายตว

1st order derivative:• เทยบกบ x เปนการมอง x เปนตวแปร y เปนคาคงท

mz/mx หรอ zx = 36x2 – 4xy + 4y2

• เทยบกบ y เปนการมอง y เปนตวแปร x เปนคาคงท

mz/my หรอ zy = -2x2 + 8xy – 3y2

2nd order derivative: • เทยบกบ x จาก zx และ zy (มอง x เปนตวแปร y เปนคาคงท)

m2z/mx2 หรอ zxx = 72x – 4y m2z/mymx หรอ zxy = -4x + 8y

• เทยบกบ y จาก zx และ zy (มอง y เปนตวแปร x เปนคาคงท)

m2z/mxmy หรอ zyx = -4x + 8ym2z/my2 หรอ zyy = 8x – 6y

ก ำหนด z = 12x3 – 2x2y + 4xy2 – y3 หำอนพนธล ำดบ 1 และ 2

ขอสงเกตmymxm2z

mxmym2z

=

Optimization of Multivariable Function

• หาคาปรมาณสนคา a และ b ทท าใหก าไรสงสด

• 1st Diff แลวใหเทากบ 0

mp/ma = 0 64 – 4a + 4b = 0

mp/mb = 0 4a – 8b + 32 = 0• แกสมการท ง 2

จาก 4a - 4b = 64 และ 4a - 8b = -32 a = 40, b = 24• ทดสอบคาก าไร

• 2nd Diff เพอทดสอบ

m2p/ma2 = -4 , m2p/mb2 = -8 , m2p/mamb = 4

• ทจด a = 40, b = 24 ท ง pxx และ pyy เปน – ท งค จะเปนจดMax.

ทดสอบเพมเตม (Cross Partial) pxxpyy > (pxy)2 จะใหคำสงสดแนนอน

[pxx , pyy = + คอ Min. แตถา pxxpyy < (pxy)2 จะไมใช Max, Min]

• หาคาก าไรสงสดท a = 40, b = 24 แทนในสมการ p = 1,650

สนคำ 2 ชนด (a, b) มก ำไร คอ p = 64a – 2a2 + 4ab – 4b2 + 32b – 14

หำก ำไรทดทสดพรอมกำรทดสอบใหมนใจวำเปนก ำไรสงสด

การประยกต Multivariable Calculus

กบเรองOptimization with Constraint

(Lagrangian Multiplier)

Optimization of Economic Functions under Constraint (Lagrangian Function)

ตวอยาง หาคาตนทนทต าสดของการผลตสนคา 2 ชนด (x, y) เมอมสมการก าไรรวม คอ c = 8x2 –xy +12y2 โดยมเง อนไขในการผลตรวมอยางนอย 42 ชน

• ฟงกช นในเศรษฐศาสตรมกจะมขอบงคบ (Constraint) เชน งบประมาณทจ ากด ผลผลตเปนไปตามโคตา เปนตน

• Lagrangian function เปนอก 1 วธท นยมใชในการแกโจทย

สรางสมการของ Lagrangian Function

• Constraint ทเปน 0 คอ x + y = 42

• ดงน น x + y – 42 = 0

• สรางสมการ ม l (Lagrangian Multiplier) ในสมการ

C = 8x2 –xy +12y2 + l(x + y – 42)

- ตอ (Lagrangian Function) -

ขอสงเกต สรางสมการของ Lagrangian Function

การเพม l(x + y – 42) ในสมการ c เหมอนไมมการเปลยนแปลง เพราะ x + y – 42 = 0

หาคาสงสด/ต าสดโดย 1st Diff = 0 โดย Diff เทยบกบตวแปร x, y, l

mC/mx = Cx 16x – y + l = 0

mC/my = Cy -x + 24y + l = 0

mC/ml = Cl x + y – 42 = 0

แกสมการท ง 3

จะไดคา x = 25, y = 17 และ l = -383

“ คา l = -383 หมายถง คาตนทนทเพ มข นโดยเฉลย จากการผลตสนคาเพมข น 1 หนวย “

• บางต าราอาจจะใชหลกการและการอธบายตางกนไปบาง เชน

Constraint ทเปน 0 คอ x + y = 42 42 - x - y = 0

C = 8x2 –xy +12y2 + l(42 – x – y)

• ศกษาเพมเตมในหนงสอ/วชา Advanced Managerial Economics

ทดลองแกดวยวธธรรมดา

จาก x + y = 42 y = 42 – x แทนคาใน C

C = 8x2 – xy + 12y2 = 8x2 – x(42-x) + 12(42-x)2

= 8x2 – 42x + x2 + 504 – 1008x + 12x2

= 21x2 – 1050x + 504

หาคาสงสด/ต าสดโดย 1st Diff = 0 (Diff เทยบกบตวแปร x, y, l)

mC/mx = Cx 42x – 1050 = 0

x = 25, y = 42 – 25 = 17

ไดค าตอบเทากน แตไมรวาตนทนเปลยนไปเทาไรเมอการผลตเปลยนไป 1 หนวย

ศกษาเทคนคการค านวณหรอการสรางสมการกรณม Constaints

ตอ/เพมเตมในเรอง Linear Programming

(วชา QA – Quantitative Analysis)