MULTIPLICADORES DE LAGRANGE EN IMVENTARIOS Juan Mej ía Téllez

DlWlSlON DE CIENCIAS BASICAS E !M6E

Departamento d e Sistemas UNIVERSIDAD AUTONOMA

Unidad Azcapotzalco México 16, D.F.

ISBN 968-597-360-1 Marzo d e 1981

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JUW MEJIA TELLEZ.

Departamento de Sistems, - C. B. I. Universidad Autónoma Metropolitana U-Azcapotzalco.

RESUMEN.- En este trabajo :;e desarrollan dos modelos deterrni- nlsticos para ayudar a 'los decisores en e l cálculo de los tema - ños econdmicos de compra de productos en un sistema de invents rios multiproducto, los que en fecha cierta se elevarán sus - - precios. El objetivo que se persigue es lograr el beneficio económico máximo al realizarse la compra previsoria de los p r o ductos. Los modelos desarrollados contemplan las restriccio" nes siguientes:

1 . - Restricci6n por espacio de almacenamiento. 2 . - RestricciQn de espacio de almacenamiento y de pre-

supuesto.

En la solución de estos .problemas se utiliza la técnica de nul- tiplicadores de Lagrange'.

1NTRODUCCION.- En los últi.mos años se ha acentmdo a un r i x - mo acelerado el alza de los precios de los productos p r o v o c a n d o con ello el problema inflacionario. Los tomadorec de d e c i s i o - nes (decisores) tienen que considerar e s t a situaci6n para con- -

trolar eficientemente el nivel de los inventarios, una dc las - acciones para lograrlo e s a t ravés del tamaftis óptimo dc l:ls o r -

denes de remplazo. E. Naddor (1966) prcscnta un modelo en e l que resuclve e l proolcma para un sistema uniproducto a n a l i z a d o el hecho de que en una fecha determinada el p,recio dcl p r o d u c t o se ve aumentado, calculando la cantidad econ6mica a ordenarse -

3

con objeto de alcanzar un beneficio mzximo. Este trabajo se apoya en Ids resultados obtenidos por E. Naddor y se extiende el problema a un sistema de inventarios multiproducto generán dose dos modelos, en uno se considera la restricción de espa- cio de almacenamiento y en .e1 otro se pt-esentan dos restric-- ciones: de espacio de almacenamiento y de presupuesto.

. . . . ..

MODELO ANTECEDENTE:

Consideraciones.- El s'istema de inventarios que se analiza - es del tipo determinístico llamado "Sistema tamaño del Lote"; el que presenta las siguientes características:

4 , .

I.-La demanda es deterministica a una tasa constante r irnidades de cantidad por unidad de tiempo.

2.-Los remplazos de tamaño p se realizan cuando el ni- vel del inventario llega a cero, por lo que en el - sistema no se permite que ocurran déficits.

3.-La tasa del rempiazamiento es infinita, e s decir, - el remplazo se realiza durante un lapso de tiempo - practicamente despreciable.

4.-E1 tiempo de demora en empezar a suftir el pedido - de remplazo después de haber sido ordenado es prac- ticamente cero.

5.-El costo de tener una unidad en inventario durante - la unidad de tiempo (costo unitario de mantchimien- t o ) c, es una constante con dimensiones: 7"

6.-El costo unitariO de remplazo C, e s una constante - CQI [ T I

, 1

con dimensión. lb3

4

En forma esquem5tica 13s f luctuaciones en e l i n v e n t a r i o - en el sistema tamario dFl l o t e s e i l u s t r a n en .la f.igura 3 0 . 1.

e n t r e unidac t a r i o

"""""

Fig. 1 Sistema tamaño lo'te.

De las propiedades anter. iores se deduce que e l tiempo - co locac ión de pedidos a l i n v e n t a r i o s e r e a l i z a en t = 8/S

i e s de tiempo. La cant idad media que s e t i e n e en inven - e s $/2 y e l nfímero de Órdenes de remplazo medio e s - -

Y* a Y!#" En c o n s e c u e n c i a e l modelo de costo del s is tema

es a$ = e, 9/'+ Ca '/S donde 3 e s l a v a r i a b l e de d e c i s i ó n .

La d e s c r i p c i ó n g r á f i c a dq e s t a e c u a c i ó n s e dá en l a f i g u - r a No. 2.

Fig.2 Costos en e l sistema tarmfio del lotc.

5

El dptimo de q denotado q sc encuentra al difcrcnciar , . d

C(q) con respecto a q y rcsolv'iendo la ecuación C ' ( q ) = O

obteniendose:

Sup6ngase ahora que se conoce la fecha en que el pre-

cio d e l producto se verá aumentado (Te) y se conoce adem5s

el aumento unitario (a).

En forma intuitiva se piensa que una cantidad grande -

deber5 comprarse j u s t o antes de que el nuevo precio entre -

en vigor, pero la cantidad a comprarse no debe ser tan exa-

gerada para que no se eleve demasiado el costo de tenerla -

en el inventario.

Una función que servir5 como medida de efectividad de

la cantidad previsoria de compra Cdenoterriosla q ' ) ser5 la -

t,Lfer-enci.a de costos d e l Sistema de Inventarios s i se corn--

pra la cantidad q l - al precio antes de que se vea aumentado

contra el costo de igual cantidad 4 ' coxprada a-un p r e c i o -

:nay0 r .

* -

Para el anslisis del problema se prapone la simbología siguientc:

6

I

Sea:

d = precio unitario del producto antes de s u aumento.

= Aumento.unitario del precio del producto.

T. = Tiempo al cual tiene vigencia el. nuevo precio

f = Factor de costo unitario que se carga al precio - unitario del producto para calcular el costo m i - tario de mantenimiento.

. .

Tt = Tiempo al cual :;e agota l a cantidad de compra p r e - visoría debido a su extracción d e l inventario Y Ir; tasa de consumo Y.

El modelo apropiado para esta siturnci6n se ha desarroll2. "

do como sigue:

La cantidad del lote óptimo que deberá actuar en el sis-

tema después del tiempo T comprsndose al nuevo p r e c i o d + L:: 1

u

segtin la ecuación (I), será 'p, . -i . i, .> j

La situación en el inventario en forma gr .8f icz s e p-~ r . , A. i, r i: "'

sa en la fig. 3 .

9'

Figura 3 . C o m p a r z c i ó n entre dccisioncs del. tafiafib del l o t e .

7

Denotemos por K' el costo total d e l sistema durante -

el pertodo de tiempo de Te a T, cuando una cantidad

e s realizada, este costo comprende la cantidad'por inver-

sien de capital al comprar q l , el costo por mantenimiento

y el costo por realizar la orden de compra, así entonces:

Sea K el costo total del sistema de inventarios duran -

t e el periodo de Te a To si no se realizara la compra q' y

en s u lugar se compran veces el tamafiic del lote q, a -

QZ precio unitario d + LZ 9,

Inversión de capital = ( k + a ) f B

+ Cesto de mantenimien t u en el períódo de- m A& a T, 3 I* -9 p a > $ 9'

2 8" + Costo de reemplazo - - e*

Como se dijo anteriormente, 13 f u n c i ó n que proporcio-

na 12 medida de efectividad a l compr3rs.e $',unidades del -

producto e s l a diferencia : K - K' .qué representa el b e -

neficio económico a l realizarse 4' 2 0

AS f entonces, efectuando 12 diferencia y considerando

8

Diferenciando e igualando a cero y resolviendo la ecua- cidn re'sultante se obtiene e1 valor eiptimo de 9'

(¿+a) f este valor ge puede expresar en términos de so : ,< ( 8 )

puede demostrarse que el valor de ?:otorga un valor máximo - 9; = 4,++(1* +f>

para la función de beneficio dado por la ecuación 6

Sustituyendo 1; en 6) resulta:

Beneficio Máximo

I '

9

El problema consiste en determinar los tamaños de lo-

tes de cada una de las N clases de producto tales que maxi

micen la utilidad total, derivada por la compra anticipada

al aumento de precio de los productos, considerando la r e s

tricción por capacidad de almacenamiento.

Para el planteamiento del modelo se hace necesaria la

nomenclatura siguiente:

N Total de clases de productos.

v Capacidad de almacenamiento disponible

La nomenclatura dada en el modelo antecedente es v5li-

da para el presente modelo y sólo se narcará con el subindi -

ce i para referirse al producto de la clase i donde i = L,P,..-,N

Representa la medida de ocupación de almacenamiento - ir

para. la unidad.de1 producto de la clase i

As5 entonces el problema consiste en:

Max. (G =

donde Ci es el beneficio al tomar la dec-isión qJi y s u valor

está dada por la expresión (6)

Solución.- Si los valores de los tamaños de lotes ópti-

m a s qbi cuya valor esta dado por la ecuacidn ( 8 ) para c s

da clase de producto i, satisfacen 13 condicidn (ll), e s - tos valores constituirlan la solucidn al problema. Si

ellos no satisfacen la condicidn (111, es evidente que - los valores dptimos q' debergn satisfacer la igualdad

~ ..

O i

En cuyo caso podemos usar la técnica de los mu1t.i"

plicadores de Lagrange pa.ra encontrar los tamaños de los

lotes óptimos. FormulZindose el problema siguiente: *

en la que 1 es una constante llamada multiplicador de La- grange.

Sustituyento los val.ores correspondiente la expre--

11

E l t é r m i n o p u e d e . r e d u c i r s e a 1 3 forma 9 (F)f 0 ;

donde e l v a l o r d e Y o i e s t 3 dado por 13 e x t e n s i ó n ( 3 ) para e l p r o d u c t o

c l a s e i . Además, e l t e r m i n o (di + ail6 c o r r e s p o n d e a l v . a l o r Coi -

que e s e l v a l o r d e l c o s t o u n i t a r i o de m a n t e n i m i e n t o h a b i é n d o s e a u - -

mentado e l p r e c i o d e l p r q d u c t o de la clase i.

Al d i f e r e n c i a r . . FCql ,. 2 ) c o n r e s p e c t o a qz y c o n r e s p e c t o .a

3 y a l i g u a l a r a c e r o l o s r e s u l t a d o s , se o b t i e n e u n p a r de e c u a - L

clones en tgrminos de q' . y 2 c u y a s o l u c i ó n es: f

* Si e l v a l o r de a r e s u l t a ser d e f i n i d o n e g a t i v o , g a r a n t i z a l a -

conJici6rn n e c e s a r i a para que l a e x p r e s i ó n ( lo ] . a d q u i e r a un m á x i - MQ D

YOD DE LO 2. -

El problema que se resuelve e s de las mismas car- :~ct i : r ís - ticas dcl presentado en el modclo 1, sdlo quc ahora s c au--

menta la restricción debida 3 la cantidad de capital dispo-

nible para la compra de los productos que se denotar5 por P

El problema consiste en:

i: I

Si l o s valores de los tamaños de lotes maximizan la -

expresión (17) son aquellos dados por la expresi6n (8) y - que adem5s satisfacen las dos restricciones,,ellos consti-

tuirán el conjunto solución del problenla.' Si l o s valores

S(: calcu1,ados por la expresión (15) satisfacen también - i

la restricción (19)formarh. el conjunto solución. I)e otra

forma, 13 solucidn cstar5 dada en el conjunto intersección

de Ins solucioncs de [18) ~ ( 1 9 ) tal clue maximice 3 la fun--

cidn de beneficic dada por ( 1 7 ) . - En consecuencia,^^ -

13

s u j e t a a :

N

t d; q; = P i" 1

U t i l i z a n d o n u e v a m e n t e l a t é c n i c a d e l o s m u l t i p l i c a d o r e s La-

g r a n g e , se f o r m u l a e l p r o b l e m a :

en l o que 1, %son c o n s t a n t e s l l a m a d a s m u l t i p l i c a d o r e s d e L a g r a n g e .

Diferenciando a F c o n r e s p e c t o a q' 1, e i g u a l a n d o a c e r o , t s

se f o r m a r á u n s i s t e m a d e t r e s e c u a c i o n e s que a l r e s o l v e r s e r e s u l t a : II-

14

..I*IU.III""- _..." -

B

'x

tar dt -

En resumen, se c a l c u l a e l v a l o r d e 13 e n primer l u g a r d a d o p o r

( 2 7 ) y se s u s t i t u y e e n l a e x p r e s i d n (26) para c a l c u l a r 1 , e s t o s -

v a l o r e s se s u s t i t u y e n en ( 2 5 1 , p a r a o b t e n e r l o s v a l o r e s d e l o s tarna-

nos d e l o t e s ó p t i m o s I con l o s q u e se valtia l a e x p r e s i ó n ( 2 0 ) - o b t e n i é n d o s e e l v a l o r d e l b e n e f i c o . S i l o s v a l o r e s r e s u l t a n t e s -

46;

para 1 , n s o n d e f i n i d o s n o p o s i t i v o s , s e c u m p l i r á n l a s c o n d i c i o n e s -

n e c e s a r i a s CKuhn y T u c k e r ) para q u e l a f u n c i o f i d e b e n e c i o a d q u i e r a -

un m5x imo.

#

15

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