Multi‐scale modelling of fibre reinforced composite with non‐local damage variable

L. Wu,   L. Noels, 

L. Adam   and   I. Doghri

June 5 ‐ 10, 2011

/Outline

• Introduction• Mean Field Homogenization• Nonlocal Approach and Implicit Gradient Formulation

• Ductile Damage in the Matrix of Composite• Finite Element Implementation• Validation and Simulation

1

/Introduction

• Materials are multiscale in nature:

Metals

10‐9  m 1 m

Polymers

Molecular Dynamics

Monte Carlo Method, Statistical Mechanics …

Continuum Mechanics

Why Multiscale?

2

/Introduction

• Multiscale Methods for CompositesFor material design:  These effective properties  are difficult or expensive to measure.For composite structures analysis: • Continuum mechanics analysis at Macroscale  

Accuracy!• Take into account the individual component properties and 

geometrical arrangements.Expensive,   unreachable!

• Solution:The engineering problems are solved at macroscopic scale with the  homogenized properties.The homogenized properties are obtained from the individual component properties and their microstructure.

Why Multiscale?

3

/Introduction

• Finite element solutions for strain softening problems suffer from: – The loss the uniqueness and strain localization– Mesh dependence 

Problem in finite element simulations

The numerical results change with the size of mesh and direction of meshHomogenous unique solution

Lose of uniqueness

Strain localized

The numerical results change without convergence

4

/Introduction

Multiscale Methods have this problem too!

•Solution:Introduce high order term in the continuum 

description

Strain gradient model, nonlocal model…

Problem in finite element simulations

5

/Outline

• Introduction• Mean Field Homogenization• Nonlocal Approach and Implicit Gradient Formulation

• Ductile Damage in the Matrix of Composite• Finite Element Implementation• Validation and Simulation

1

/Mean Field Homogenization

• At the macroscale, the problem is a classical continuum mechanics problem (Finite Element method). 

• At a macroscopic material point the properties of the material correspond to a representative volume element (RVE) of the microstructure.

Macro Macro

Macro

MicroMFH

nε ε∆C σ

Basing on The marco strain      and  stress        

equal the average strain         and stress         over a RVE

εσ

σε

∫= V VaVa d)(1 X

6

/Mean Field Homogenization

• How to get      in RVE?  Such that– Direct finite element simulation – Semi‐analytical mean field homogenization models

( Voigt, Reuss,Mori‐Tanaka, Double‐Inclusion, Self‐Consistent …)

• Two‐phase composite– Volume fraction                    

C εCσ :=

110 =+ vv

Subscription: 0(matrix) and 1(inclusion)

1010 ωωσσσ vv +=

1010 ωωεεε vv +=

11:1 ωω εCσ =

00:0 ωω εCσ =

???

7

/Mean Field Homogenization

• Single inclusion problem

is single inclusion strain concentration tensor (numerical, analytical) 

is Eshelby’s tensor 

• Multiple inclusion problem

Mori‐Tanaka model:

and 

01:

ωε

ωεε B=

εH

S

101

10 )](::[

−− −+= CCCSIH ε

εε HB =8

:1

εε εω

A=

∞= εε εω

:),,( 101

CCIH

0ωεε =∞

/Outline

• Introduction• Mean Field Homogenization• Nonlocal Approach and Implicit Gradient Formulation

• Ductile Damage in the Matrix of Composite• Finite Element Implementation• Validation and Simulation

1

/Nonlocal Approach

• DescriptionSome variables (a ) are replaced by  their weighted (w

) average over a characteristic volume (V c) to reflect the  interaction between neighboring material points.

The state variable a can be strains, internal variables (eg. accumulated plastic strain, damage….)

Problem: Weight function w ?? Characteristic volume V c ??

∫=cVc

awdVV

a 1

9

/Implicit Gradient Formulation

• Gradient model– Derived from non‐local models by expanding the integration of         in Taylor series.

– The coefficients c1, c2... depend on the weight function and the characteristic volume V c.Explicit gradient formulation: 

c has the dimension of length squared.

a...42

21 +∇+∇+= acacaa

acaa 2∇+=

10

/Implicit Gradient Formulation

• Implicit gradient formulation *: Green’s function G(y; x)  weight function w(y; x)

The natural boundary condition:

aaca =∇− 2

0=∂∂

=∂∂

ii x

anna

How can we use it in Mean Field Homogenization ? 

11* Peerlings et al., 1996

∫=cVc

awdVV

a 1

/Outline

• Introduction• Mean Field Homogenization• Nonlocal Approach and Implicit Gradient Formulation

• Ductile Damage in the Matrix of Composite• Finite Element Implementation• Validation and Simulation

1

/Ductile Damage in the Matrix of Composite

• Damage in matrix only (neglect the Damage in fiber)• Lemaitre ‐ Chaboche  ductile damage mode:

where     S0 and n are the material parameters

Y is the strain energy release rate 

is the accumulate plastic strain ,

• Nonlocal damage:

pSYD n && )(

0

=

e0

e ::21 εEε=Y

2/1pp ]:32[ εε &&& =pp ∫= tpp d&

ppcp =∇− 2

12

pSY

pcpcpSYD

n

n

&

&&&&

)(

...)()(

0

42

21

0

=

+∇+∇+=

/Ductile Damage in the Matrix of Composite

• Considering the damage in matrix, the incremental form of stress in composite*:  

0011 σσσ δυδυδ +=

DD δδδ 00alg00 ˆ:)1( σεCσ −−= )1/(ˆ 00 D−=σσ

DDa δυδυδυδ 000alg00I

lgI1 ˆ:)1( σεCεCσ −−+=

ppDDa δυδδ∂∂

−= 00lg ˆ: σεCσ

13

Mori‐Tanaka

Subscription: 0(matrix) and 1(inclusion)

* Doghri I. et al., 2003

/Outline

• Introduction• Mean Field Homogenization• Nonlocal Approach and Implicit Gradient Formulation

• Ductile Damage in the Matrix of Composite• Finite Element Implementation• Validation and Simulation

• For implicit gradient enhanced elastic‐plasticity 

where     ‐ the body force vector;

‐ the characteristic length of matrix material.  

• Discretization  (in each element)

Governing equations

⎩⎨⎧

=∇−=+∇

only materialmatrix for material comopsitefor

22 pplp0fσ

fl

/Finite Element Implementation

uNU u= pN pp =uBε u= pBpN ppp =∇=∇ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ppppup

puuu

dd

FFFF

pu

KKKK intext

14

/Outline

• Introduction• Mean Field Homogenization• Nonlocal Approach and Implicit Gradient Formulation

• Ductile Damage in the Matrix of Composite• Finite Element Implementation• Validation and Simulation

1

/Validation and Simulation

• Polyamide matrix reinforced by short glass fibers (15.7 %, ellipsoidal, AR = 15)Matrix: E = 2.1 GPa,  v = 0.3, σY = 29 MPa, R(p) = h1 p+ h2(1‐exp(‐mp)), h1 = 139 MPa, 

h2 = 32.7 MPa and m = 319;  LC‐Damage:  S0 = 2.0 MPa, n = 0.5, p0 = 0.;

Inclusions: E = 72 GPa,  v = 0.22;

15

Verification: FEM implementation

/Validation and Simulation

16

• Unidirectional fiber reinforced compositeEpoxy Matrix: E = 2.89 GPa,  v = 0.3, σY = 35 MPa, R(p) =h(1‐exp(‐mp))

h = 73.0 MPa and m = 60;  LC Damage:  S0 = 2.0 Mpa, n = 0.5, p0 = 0.

Carbon fiber: E = 238 GPa,  v = 0.26; 

Validation: DNS vs. FE/MFH 

/Validation and Simulation

• Unidirectional fiber reinforced compositeTransverse Stress‐stain: 

17

Validation: DNS vs. FE/MFH 

/Validation and Simulation

• Notched sampleCharacteristic length l =0.0002 m

Characteristic length l =0.001 m

18

Simulation

Thank you!

/Validation and Simulation

• Elasto‐plastic matrix, elastic inclusions (15 %, spherical)Matrix: E = 100 GPa,  v = 0.3, σY = 75 MPa, R(p) = hpm , h=400 MPa, m = 0.4;

Validation: material law vs. MFH code 

Damage parameters:

LC:  S0 = 2.0 MPa, n = 0.5, 

p0 = 0.01;

LIN: p0 =0.01, pC =0.2.

Inclusions: E = 200 GPa, 

v = 0.2;