MS PowerPoint Prezentacija (6944068)

UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba

TRIGONOMETRIJSKEFUNKCIJE


Sličnost trokuta Nacrtajmo dva trokuta različitih veličina koji imaju unutarnje

kutove jednake 30°, 60° i 90°.

A1

B1 C1

A2

B2C2

Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1


Sličnost trokuta Usporedimo li duljine dviju stranica nacrtanih trokuta koje su nasuprot

sukladnim kutovima, dobivamo:

2

2

2

1

2

1

2

1

2

ccbbaa

12 2 aa

12 2 bb

12 2 cc

A1

B1 C1

A2

B2C2


Sličnost trokuta Omjeri duljina stranica koje su nasuprot sukladnim kutovima

nacrtanih trokuta isti su i jednaki 2. Tada možemo pisati ovako:

1

2

1

2

b

b

a

a

1

2

1

2

c

c

a

a

1

2

1

2

c

c

b

b, ,

1

2

1

2

1

2

c

c

b

b

a

a

Trokuti na slici očito su slični (istog oblika) pa ćemo na isti način i općenito odrediti slične trokute.

A1

B1 C1

A2

B2C2


Dva su trokuta slična ako su kutovi jednog trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i ako su im omjeri odgovarajućih stranica trokuta jednaki.

Da su trokuti slični kraće pišemo A2B2C2 ~ A1B1C1

Sličnost trokuta

A1

B1 C1

A2

B2C2


Radijani

O r

r s = r

1 radian

s

rO

r

Radijanska mjera kuta određuje se kao omjer duljine luka prema polumjeru luka.

Veza radijana i stupnjeve:

180

θ rad =

θ rad =r

s


aba'b'

aca'c'

bcb'c'

bab'a'

cac'a'

cbc'b'

β

α

β

aa’

c

c’

b’

b

Trigonometrijske funkcije oštrog trokuta


Pravokutni trokut Prema položaju stranica “a” i “b” u odnosu na kut “α”, stranicu “a”

nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu “b” PRILEŽEĆA KATETA.

α A

B

C


Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu

sinus c

a

hipotenuza

katetaprotnanasu

_sin

kosinusc

b

hipotenuza

katetapriležeca

_cos

tangensb

a

katetapriležeca

katetauprotnanastg

_

_

kotangensa

b

katetaprotnanasu

katetapriležecactg

_

_


Sinus, cosinus i tanges ugla


Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Za svaki oštri kut α uvijek vrijedi:

0 < sin α < 1 0 < cos α < 1 jer su u pravokutnom trokutu katete manje od hipotenuze.

Vrijednosti funkcija tg α i ctg α mogu biti po volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu biti omjeri kateta.

A1

B1 C1


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Sinus i kosinus

x

y


Temeljni identitet

Za svaki realni broj t vrijedi

cos2t sin2t 1


Sinus i cosinus ugla


Cosinus ugla trougla


Tangens

Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata točke u kojoj pravac OP siječe tangentu p.

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

t

O

P

p


Kotangens

Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa točke u kojoj pravac OP siječe tangentu q.

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1q

O

P


Predznaci trigonometrijskih funkcija

Koordinate točaka na brojevnoj kružnici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant.

Sinus i kosinus će mijenjati svoj predznak kad tačka T obiđe brojevnu kružnicu.

cos x

sin x

(1,0)(-1,0)

(0,-1)

T

tg x

ctg x

(0,1)


KVADRANT KVADRANT KVADRANT KVADRANT

I II III IV

+ + – –

+ – – +

+ – + –

sin x

cosx

tg x

ctg x

cos

sintg

to će tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su sinus i kosinus istog predznaka: u I i III kvadrantu.

sin

cosctg

Kako vrijedi:

Predznaci trigonometrijskih funkcija


Točke E(t) i E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku:

Parnost i neparnost

sinus je neparna, a kosinus parna funkcija.

tangens i kotangens su neparne funkcije

cos (-t) = cos (t) , sin (-t) = -sin (t) tЄR

tg (-t) = -tg (t) , ctg (-t) = -ctg (t) tЄR ,

kt

2kt


Periodičnost funkcija sinus i kosinus

Brojevima t i t + 2π odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni broj t

sin (t+2π) = sin t , cos (t+2π) = cos t

Ovo se svojstvo naziva periodičnost funkcije sinus, odnosno kosinus.


sin (t+2kπ) = sin t , cos (t+2kπ) = cos t

Sinus i kosinus su periodičke funkcije s periodom 2π.

Periodičnost funkcija sinus i kosinus

Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati njihove vrijednosti unutar intervala [0,2π].

sin t

cos t


Periodičnost funkcija tangens i kotangens

tg (t+π) = tg t , ctg (t+π) = ctg t

tg (t+kπ) = tg t , ctg (t+kπ) = ctg t .

Tangens i kotangens su periodičke funkcije s periodom π.

Documents

MS PowerPoint Prezentacija (6944068)