Momentos de Inercia

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1 I.T.I. : MECANICA IDepartamento: INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES

TEMA N 10: ESTTICA MOMENTOS SEGUNDOS DE SUPERFICIE Y MOMENTOS DE INERCIA I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila1- 2 -IndicePunto 10.1 IntroduccinPunto 10.2 Momento segundo de una superficie planaPunto 10.2.1 Teorema de Steiner para momentos segundos de superficiePunto 10.2.2 Radio de giro de una superficiePunto 10.2.3 Momentos segundos de superficies compuestasPunto 10.2.4 Momentos segundos mixtos de superficiesPunto 10.3 Momentos segundos principalesPunto 10.4 Momentos de inercia Punto 10.4.1 Radio de giroPunto 10.4.2 Teorema de Steiner para momentos de inerciaPunto 10.4.3 Momentos de inercia de cuerpos compuestosPunto 10.4.4 Producto de inerciaPunto 10.5 Momentos de inercia principalesI.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila2- 3 -10.1 IntroduccinEn el anlisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y rboles (ejes que trabajan a torsin) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma

Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a l. Son siempre positivos y sus dimensiones sern L4 (unidades: mm4 o cm4).

En el anlisis del movimiento de rotacin de un cuerpo rgido, aparecen expresiones de la formaMomento segundo de la superficie

Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones sern ML2 (unidades: kg.m2).

Momento de inercia (de masa)I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 4 -10.2 Momento segundo de una superficie plana

El momento segundo de una superficie respecto a un eje (indicado con subndices) se representar por el smbolo I cuando el eje est en el plano de la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella. Los momentos segundos rectangulares de la superficie A respecto a los ejes x e y del plano de la superficie son:

Anlogamente, el momento segundo polar de la superficie A respecto al eje z, que es perpendicular al plano de la superficie en el origen O del sistema de coordenadas xy, es

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 5 -10.2.1 Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie

Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podr obtener el correspondiente a un eje paralelo a ste aplicando el Teorema de Steiner. Demostracin:Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la superficie, el momento segundo de superficie respecto a un eje x paralelo a l es

el segundo trmino es nulo ya que se trata del momento primero de superficie respecto al eje x que pasa por el centroide de la superficie, quedando:

donde IxC es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide C e es la separacin de los ejes x y x.

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 6 -Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:

El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la superficie ms el producto del rea de sta por el cuadrado de la separacin de los ejes.

Atencin: Este teorema solo es vlido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal, o al revs, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a l.Y adems se puede demostrar que

donde JzC es el momento segundo polar de la superficie respecto al eje z que pasa por el centroide C y d es la distancia que separa los ejes z y z.

Anlogamente:I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 7 -10.2.2 Radio de giro de una superficieEl momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia de una longitud) se podr expresar como producto del rea A de la superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues,

Y como

Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie, existir una relacin correspondiente entre los radios de giro de la superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el centroide de la superficie.

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 8 -10.2.3 Momentos segundos de superficiescompuestasFrecuentemente, en la prctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, , An para las cuales las integrales ya estn calculadas y tabuladas. As, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes.Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:

Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deber restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 9 -

Momentos segundos de superficies planas1/2I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 10 -Momentos segundos de superficies planas2/2

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 11 -

Propiedades de algunasformas de perfilesI.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 12 -PROBLEMA 10.6

Determinar el momento segundo de la superficie sombreada respecto a:El eje x.El eje y.Un eje que pase por el origen O del sistema de coordenadas xy y sea normal al plano de la superficie.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 13 -PROBLEMA 10.7

Una columna est constituida por una seccin de alas anchas W610 x 125 y un canal C305 x 45. Determinar los momentos segundos y los radios de giro de la seccin recta respecto a los ejes horizontal y vertical que pasan por el centroide de la seccin recta.xI.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 14 -10.2.4 Momentos segundos mixtos de superficiesEl momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a los ejes x e y es:

As el momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) de la superficie total A respecto a los ejes x e y ser:

Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el momento segundo mixto podr ser positivo, negativo o nulo.

De hecho, el momento segundo mixto de una superficierespecto a dos ejes ortogonales cualesquiera ser nulo cuando uno de dichos ejes sea eje de simetra.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 15 -

El Teorema de Steiner para momentos segundos mixtos se deducen a partir de la figura en donde los ejes x e y pasan por el centroide C de la superficie y son paralelos, respectivamente a los ejes x e y. As,

Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los ejes x e y.

En consecuencia, el momento segundo mixto respecto a un par de ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 16 -Momentos segundos mixtos de superficies planas 1/2

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 17 -Momentos segundos mixtos de superficies planas 2/2


10.3 Momentos segundos principalesEl momento segundo de la superficie A de la figura respecto al eje x que pasa por O variar con el ngulo . Los ejes x e y utilizados para obtener el momento segundo polar Jz respecto a un eje z que pase por O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del plano de la superficie que pasaran por O; por tanto,

Donde xe yson dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix e Iy es constante, Ix ser mximo y el correspondiente Iy mnimo para un valor particular de .El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son mximo y mnimo se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al estudiar vigas y columnas). As los momentos segundos principales as obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 19 -10.4 Momentos de InerciaEn los anlisis del movimiento de un cuerpo rgido (DINAMICA), aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeo elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de inters. Este producto recibe el nombre de momento de inercia del elemento.As pues, el momento de inercia dI de un elemento de masa dm respecto al eje OO es,

El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es:

Siempre ser positivo dado que tanto la masa como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas y como tiene las dimensiones ML2, su unidad de medida del SI ser el kg.m2I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 20 -Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el de la figura, as:

Para los ejes y y z se pueden escribir ecuaciones anlogas con lo que nos quedara:I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 21 -10.4.1 Radio de giroEl momento de inercia (al tener las dimensiones de masa por el cuadrado de una longitud) se podr expresar como producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues, el momento de inercia I de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar en la forma:

El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habra que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real.

No existe ninguna interpretacin fsica til del radio de giro; no es ms que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en funcin de su masa y una longitud.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 22 -10.4.2 Teorema de Steiner para momentos de inerciaConsidrese el cuerpo representado en la figura, en cuyo centro de masa G se toma el origen del sistema de coordenadas xyz y considrese tambin un sistema de coordenadas xyz de origen en el punto Oy ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que

La distancia dx que separa los ejes xy x es

As pues, el momento de inercia del cuerpo respecto al eje x, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es,

desarrollandoI.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 23 -

y como los ejes y y z pasan por el c.d.m. G del cuerpo,

Por tanto,

Ahora bien, como

Teorema de Steiner para momentos de inerciaI.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 24 -As pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase por su centro de masa, se podr hallar el momento de inercia respecto a otro eje cualquiera paralelo a l, sin necesidad de integracin, utilizando las ecuaciones anteriores.Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes paralelos existe una relacin similar dada por

luego

Los dos sistemas de ecuaciones enmarcados slo son vlidos para pasar de ejes xyz que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos o al revs. No son vlidos para ejes paralelos arbitrarios!I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 25 -10.4.3 Momentos de inercia de cuerpos compuestosMuchas veces el cuerpo de inters puede descomponerse en varias formas simples tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se han calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. (Ver tablas siguientes).

El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo componen respecto a dicho eje. Por ejemplo,

Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de inercia deber restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener el momento de inercia del cuerpo compuesto. I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 26 -Momentos de inercia de formas corrientes1/3


Momentos de inercia de formas corrientes2/3I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 28 -Momentos de inercia de formas corrientes3/3

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 29 -PROBLEMA 10.14

Determinar el momento de inercia del volante de hierro colado de la figura respecto a su eje de rotacin. Densidad del hierro colado 7730 kg/m3.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 30 -10.4.4 Producto de inerciaEn los estudios de movimientos de cuerpos rgidos (DINAMICA) aparecen, a veces, expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeo elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Se trata de del producto de inercia del elemento.

Por ejemplo, el producto de inercia del elemento representado en la figura respecto a los planos xz e yz esLa suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos ortogonales se define como el producto de inercia del cuerpo.

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 31 -As pues, los tres productos de inercia del cuerpo representado son

Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las dimensiones ML2 por lo que su unidad de medida del SI ser el kg.m2El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo ya que las coordenadas tiene signos independientes.El producto de inercia ser nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano de simetra, ya que los pares de elementos simtricos respecto a ste tendrn productos de inercia opuestos cuya suma dar cero.Los productos de inercia de placas delgadas con densidad uniforme, con grosor t uniforme y una seccin de rea A y suponiendo adems que los ejes x e y estn contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetra), sern

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 32 -Se puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de Steiner muy parecido al de los momentos segundos mixtos de superficie vistos anteriormente.

Considrese el cuerpo representado en la figura, el cual tiene un sistema de coordenadas xyz con origen en el centro de masa G del cuerpo y un sistema de coordenadas xyz con origen en el punto O y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa que

Por tanto,

comotenemos que:

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 33 -PROBLEMA 10.16

Determinar los productos de inercia Ixy, Iyz e Izx de la voladera plana y homognea de acero de la figura. El orificio se encuentra en el centro de la placa. Densidad del acero 7870 kg/m3.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 34 -10.5 Momentos de inercia principalesEn algunos casos, en el anlisis dinmico de cuerpos, hay que determinar ejes principales y momentos de inercia mximo y mnimo.

El problema estriba en transformar momentos y productos de inercia fcilmente calculables respecto a un sistema de coordenadas en los correspondientes a otro sistema xyz de igual origen O pero inclinados respecto a los ejes xyz.

Considrese el cuerpo representado en la figura, en donde el eje x forma los ngulos xx, xy y xz con los ejes x, y y z respectivamente. El momento de inercia Ix es, por definicin:

Desarrollando y realizando un anlisis similar al que se realiza para localizar los ejes principales y determinar los momentos segundos de superficie mximo y mnimo, se pueden localizar los ejes principales de inercia y determinar los momentos de inercia mximo y mnimo.I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 35 -PROBLEMA EXAMENUn cuerpo compuesto consiste en un bloque rectangular de latn (=8,75 Mg/m3) unido a un cilindro de acero (=7,87 Mg/m3) segn se indica en la figura. Determinar el momento de inercia del cuerpo compuesto y el radio de giro respecto al eje y que se indica en la figura.

I.T.I 1:MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila- 36 -PROBLEMA EXAMENCalcula el momento de Inercia respecto al eje x del cuerpo de la figura siguiente compuesto por dos cilindros de acero (=7850 kg/m3) y una esfera de latn (=8750 kg/m3).

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