Momento Angular

Propiedades generales del momento angular en mecánica cuántica

RESUMEN DEL CAPÍTULO VI

642

A. INTRODUCCIÓN:LA IMPORTANCIA DEL MOMENTO ANGULAr

A. INTRODUCTION

643

0

INTRODUCCIÓN:LA IMPORTANCIA DEL MOMENTO ANGULAR

El presente capítulo es el primero de una serie de cuatro capítulos (VI, VII, IX y X) dedicada al estudio de momentos angulares en la mecánica cuántica. Este es un problema muy importante, y los resultados que vamos a establecer se utilizan en muchos campos de la física : la clasificación de atómica, molecular y nuclear spectra, el spin de las partículas elementales, el magnetismo, etc. ..

Ya sabemos el importante papel desempeñado por momento angular en mecánica clásica, el momento angular de un sistema físico aislado es una constante d e l m o v i m i e n t o . Además, esto también es cierto en algunos casos en los que el sistema no es un caso aislado. Por ejemplo, si un punto P , d e p a r t í c u l a s de masa m, se mueve en un potencial central (uno que sólo depende de la distancia entre P y un punto fijo O ) , l a f u e r z a que P se dirige siempre hacia O . Su momento con respecto a O es, por lo

tanto cero y teorema del momento angular significa que:(A-l)

Donde f £ es el momento angular de P con respecto a O . Este hecho tiene consecuencias importantes: el movimiento de la partícula P está limitado a un plano fijo (el plano que pase por O y perpendicular al momento angular f £ ) \ por otra parte, este movimiento obedece la ley de velocidad constante areal (segunda ley de Kepler).

Todas estas propiedades tienen sus equivalentes en la mecánica cuántica. Con el impulso angular f £ d e un sistema clásico está asociado a una observable L, en realidad un conjunto de tres observables, Lx, L y , L z , q u e corresponden a los tres componentes de si en un marco cartesiano. Si el sistema físico en estudio es un punto de potencial central, nos veremos en el capítulo VII que L x , L y y L . s o n las constantes del movimiento en la mecánica cuántica, es decir, recorren con el Hamiltoniano H describiendo la partícula en el centro potencial V ( r ) . Esta importante propiedad simplifica considerablemente la determinación y clasificación de eigenstates de H.

Asimismo, se describen las propiedades magnéticas experimento en el capítulo IV, se ha puesto de manifiesto la cuantización del m o m e n t o a n g u l a r : el componente, a lo largo de un eje fijo, del momento angular intrínseco de un átomo puede tomar sólo en algunos valores discretos. Vamos a ver que todos momentos angulares están cuantificadas en esta forma. Esto nos permite comprender el magnetismo atómico, el efecto Zeeman, etc. .. Mecánica cuántica Furthertypically momentos angulares, que no tienen equivalentes clásica (intrínsecos momentos angulares de partículas elementales; capítulo IX).

A partir de ahora, vamos a denotar por o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m cualquier momento angular que tiene un clásico equivalente (y por L, el momento angular correspondiente obserspin cualquier momento angular intrínseco de las partículas elementales (para lo cual se reserva la letra S). En un sistema complejo, como un átomo, un núcleo o una molécula, la rotaciï¿½ angular orbital L, de las diversas partículas elementales que constituyen el sistema (electrones, protones, neutrons,...)

B. COMMUTATION RELATIONS

644

Combinar entre sí y con el giro angular¿ ½S, de estas mismas partículas para formar el m o m e n t o a n g u l a r t o t a l J del sistema. La forma en la que se combinan momentos angulares de la mecánica cuántica (acoplamiento de momentos angulares) será estudiado en el capítulo X. Por último, hay que añadir que J también se utiliza para indicar un momento angular arbitrario cuando no es necesario especificar si se trata de un orbital angular momentum, spin, o una combinación de varios momentos angulares.

Antes de comenzar el estudio de los problemas físicos antes mencionados (los niveles de energía de una partícula en un potencial central, giro, el efecto Zeeman, además de angulares momenta,... ), vamos a establecer, en el presente capítulo, la mecánica cuántica las propiedades asociadas a todos momentos angulares, cualquiera que sea su naturaleza.

Estas propiedades de conmutación las relaciones con las tres observables J x , J y y J z , los componentes de un momento angular arbitrario J. El origen de

estas relaciones conmutación se discute en el apartado B: para que un impulso angular orbital, son simplemente consecuencias de la cuantización reglas ( §B-5 del capítulo lll)y conmutación las relaciones canónicas [fórmulas (E-

30)del capítulo II]; de spin momentos angulares, que no tienen equivalentes clásica, en realidad sólo sirven a las definiciones de los observables correspondientes. En la sección C, se estudian las consecuencias de estas conmutación

las relaciones que son característicos de momentos angulares. En particular, se discuten cuantización espacial, es decir, el hecho de que cualquier componente de un momento angular posee un espectro discretas. Por último, los

resultados generales obtenidos de esta manera se aplican, en §D. al orbital angular momentum de una partícula.*

A. CONMUTACIÓN RELACIONES CARACTERÍSTICA DEL MOMENTO ANGULAR

1. Momento angular orbital

Para obtener las observables L x , L y , L. asociados en la mecánica cuántica con los tres componentes del momento angular de partículas spinless, nosotros aplicamos la cuantización reglas establecidas en §B-5 del capítulo III. Si tenemos en cuenta el componente six d e l clásico momento angular:

= Y p z - Z P y (B-l )Nos hemos asociado con la posición las variables y y z , las observables Y y Z , y con el impulso variablesp y y p ., las observables P y P z. Aunque fórmula (B-1) es producto de dos variables clásicas, no hay que tomar precauciones y reemplazarlos por los correspondientes observables, ya que Y y P . conmutar, al igual que Z y Py [ver la conmutación relaciones canónicas (E-30) del capítulo II], por lo tanto no es necesario symmetrize expresión (B-l) con el fin de obtener el operador L x :

Lx = YP - ZPy ( B - 2 )Por la misma razón ( Y y P. conmutar, al igual que Z y Py ) , e l o p e r a d o r así obtenido se hermitianas.

De la misma manera, encontramos los operadores L y y L z correspondientes a los componentes & y y los clásicos del momento angular. Esto nos permite escribir :

L = R x P (B-3)

Desde que se sabe que los conmutación las relaciones canónicas de la posición R P observables y que ese impulso, podemos calcular fácilmente los conmutadores del opelx, L y y L z.

Por ejemplo, vamos a evaluar [Lx, Ly] :

ILx,Ly] = [YPZ -ZP yZPx - XP.]

= [YPz,ZPx] +[ZPy,XPz] (B-4)

Desde PY. viene con XP ., y ZPy, con ZPX. entonces tenemos:

[Lx,Ly] = Y [P: ,Z]PX + X [Z,Pz]Py = - ih YPX XPy + case ih

* El origen fundamental de estas relaciones es conmutación puramente geométrico. Volveremos a hablar de este punto en detalle en complemento ISLAS VÍRGENES BRITÁNICAS, en el que demostramos la íntima relación entre el momento angular de un sistema con respecto a un punto geométrico O y la rotación de este sistema de O.


645

= Case ih L z (B-5)

Rendimiento cálculos análogos los otros dos conmutadores, y obtenemos, por último:

[L. , Z. ,] - Case ih L.IL, .LJ - Case ih Lx

[L. .LJ = Case ih L, (B-6)

Por lo tanto, hemos establecido la conmutación las relaciones de las componentes del momento angular de una partícula spinless.Este resultado puede ser generalizado a un sistema de N partículas spinless. El momento angular de un sistema de este tipo es,

en la mecánica cuántica:

Ahora, cada uno de los momentos angulares L; cumple la conmutación relaj no es igual a i (operadores actuando en estado espacios de distintas partículas). Por lo tanto, observamos que las relaciones (B-6) siguen siendo válidas para el momento angular L. *

* Generalización: definición de un impulso angular

Los tres operadores asociados con los componentes de una medida arbitraria clásico momento angular por lo tanto satisfacer la conmutación relaciones (B-6). Se puede demostrar, por otra parte (cf . complemento ISLAS VÍRGENES BRITÁNICAS), que el origen de estas relaciones se encuentra en las propiedades geométricas de las rotaciones en un espacio tridimensional. Esta es la razón por la que

N

L= IL,I = 1

(B-7)

L, R, x P, (B-8)


646

(B-12)

Adoptará un punto de vista más general y definir un momento angular J como cualquier conjunto de tres observables J x , J y , J x que cumple:

(B-9)

A continuación, introducir el operador:

J 2 = J2X + J] + J\ ( B - 1 0 ) ( e s c a l a r ) c u a d r a d o d e l m o m e n t o a n g u l a r J . E s t e o p e r a d o r e s H e r m i t i a n a s , y a q u e J x , E p y J z son Hermitianos. Vamos a suponer que es un observable. Demostremos que J2 viene con los tres componentes de J:

Realizamos el cálculo de J x , por ejemplo:[J2, JX] = [ y2 + y2 + y2, yj,

sellada, = K. - /J

+ VI J x , obviamente ya viaja con él mismo y, por tanto, con su plaza. Los otros dos conmutadores se pueden obtener fácilmente de (B-9).

[Y2,yj, sellada, = aa[yy,yj, sellada, + [y"yjy,= - I h J y J z J z J y - c a s e i h (B-13-a)

[Y2,yj, sellada, = y, [y. ,yx] + [ jz , jx]jz + = Ihjzjy ihJyJz ( B - 1 3 - b )

La suma de estas dos conmutadores, la cual entra en (B-12), es cero.Momento angular teoría de la mecánica cuántica se basa enteramente en la conmutación relaciones (B-9). Tenga en cuenta que

estas relaciones implican que es imposible medir simultáneamente los tres componentes de un momento angular; sin embargo, J2 y cualquier componente J son compatibles. *

* El planteamiento del problema

Volvamos al ejemplo de un spinless partícula en un potencial central, mencionado en la introducción. Vamos a ver en el capítulo VII, en la que, en este caso, los tres componentes del momento angular L de las partículas viajan con el Hamiltoniano //; por lo tanto, esto también es válido para el operador L2. A continuación, tenemos a nuestra disposición cuatro constantes del movimiento: L2, Lx, Ly, Lz. pero estos cuatro no conmutar; formar un conjunto completo de observables trayecto con H , debemos escoger sólo L2 y uno de los otros tres operadores, Lz por ejemplo. Para una partícula sometida a un potencial central, podemos, a continuación, busque de eigenstates del Hamiltoniano H que también son vectores propios de L2 y Lz, sin limitar la generalidad del problema. Sin embargo, es imposible obtener una base del estado

C. GENERAL THEORY

( *OHFN'-TaNNOIII Quantum mechanics.

647

(C-1)

(C-2)

(C-3)

(C-4)

(C-5)

Espacio formado por los vectores propios comunes a los tres componentes de, ya que estas tres observables no ir de un lado a otro.

La situación es la misma en el caso general: puesto que los componentes de una arbitraria momento angular J no viaja, no son simultáneamente diagonalizable. Por lo tanto, trataremos el sistema de vectores propios comunes a J2 y J z , observables correspondiente a la plaza de el valor absoluto del momento angular y a su componente a lo largo del e j e O z .

B. TEORÍA GENERAL DEL MOMENTO ANGULAR

En esta sección, vamos a determinar el espectro de J2 y J z para el caso general común y estudiar sus vectores propios. El razonamiento será similar a la que se utiliza en el capítulo V del oscilador armónico.

1. Definiciones y notación

a. J. Y J. LOS OPERADORES

En lugar de utilizar los componentes J x y J y del momento angular J, es más conveniente introducir las siguientes combinaciones lineales:

J + =Jx +' ^ 7 ~j7 _ = Jx - IJ., ]________I_____1 I

Al igual que los operadores a y a ' del oscilador armónico, J + y J _ no son Hermitianos : son adjoints uno del otro.

En el resto de esta sección, utilice sólo los operadores y+, y_, J. Y J2. Es sencillo, usando (B-9) y (B-l I), para mostrar que estos operadores satisfacer las relaciones la conmutación:

[YZ.y+] = * J+[Y] y_ = - ru_

[Y+ ,y_ hjz] = 2

[J2,y+] = [j2,y_] = [ j2.y.] = s

Debemos calcular los productos J + J _ y J _ J + .

C. GENERAL THEORY

648

Y+y_ = (y + iJy) (Jx - uy)

Y_y+ = (JX - uy) {Jx + iJy) =Jx + J \ + I IV * . Al= y2 + y2 - h Jz

(C-6-a)(C-6-b)

C. GENERAL THEORY

649

Por definición (B-10) del operador J2, podemos escribir estas expresiones de la forma:

/ + /_ = J2 - J \ + h J z (C-7-a)

J_J+ = J 2- J2Z -h Jz ( C - 7 - b )

Agregar las relaciones (C-7) plazo por plazo, obtenemos:

J2 = + J -J+) + J] (C-8)

b. NOTACIÓN PARA LOS AUTOVALORES DE J2 y J,

De acuerdo con (B-10), J2 es la suma de los cuadrados de tres Hermitianos. Por lo tanto, para cualquier vector | I// y el elemento de matriz < ^ | J21 Ip > Es positivo o cero:

< * | J21 > = < <A | J21 | J1 1* > + < * | J\ 1 * >

= Px I * >P + P, I * >P + P, >P J* 0

(C-9)Tenga en cuenta que esto era de esperarse, ya que J2 corresponde a la plaza del valor absoluto del momento angular J. De aquí, en particular, que todos los a u t o v a l o r e s d e J 2 s o n p o s i t i v o s o c e r o , ya que si |i//> es un vector propio de J2, <^ | J2 | i//> es el producto de los autovalores correspondientes y de la plaza de la norma del 11^ ), que siempre es positivo.

Vamos a escribir los autovalores de J2 en la forma j ( j + 1)7i2, con la convención :

0 (C-10)

Este tipo de notación se destina a simplificar los argumentos que se presentan a continuación; no influir en el resultado. Ya que J tiene las dimensiones de h, un valor propio de J2 es necesariamente de la forma Afi2, donde A es un verdadero número adimensional. Acabamos de ver que UNA debe ser positiva o cero; luego, puede ser fácilmente demostrado que la ecuación de segundo grado en j:

Y(/ - "- I) = A (C-ll)

Siempre tiene una y sólo una raíz positiva o cero. Por lo tanto, si utilizamos (C-10), la especificación de una forma exclusiva determina j; los autovalores de J2 por lo tanto, se puede escribir j ( j + 1)fi2, con j positivo o cero.

En cuanto a los eigenvalores de J x , q u e tienen las mismas dimensiones que h , se escriben tradicionalmente n , donde m es un número adimensional.

c. ECUACIONES DE AUTOVALORES Y Jz J3

Vamos a etiquetar los vectores propios comunes a J2 y J z por los índices j y m que caracterizan los autovalores asociados. Sin embargo, J2 y J z en general no constituyen un C. S. C. O. (Véase, por ejemplo, en la sección A del capítulo VII), y es

C. GENERAL THEORY

650

necesario introducir un tercer índice a fin de distinguir entre los diferentes vectores propios correspondientes a los mismos autovalores j { j + \ ) h 2 y mh de J2 y J z (este punto será ampliada en § 3-a). Vamos a llamar a este índice k (que no necesariamente implica que sea siempre un discreto index).

C. GENERAL THEORY

651

Por ello, intentaremos resolver simultáneamente las ecuaciones autovalores:J2

| k , j , m > = j ( / + 1 ) f i 2 | k , j , m >

J. | k, j , m ) = mh \ k, j , m ) ( C -

1 2 ) 2 .

Autovalores de J2 y " /zas en §B-2 del capítulo V, tendremos

que empezar por probar tres lemas que nos permitirá

determinar el espectro de J2 y

J z . a . L E M A S

. Lema I (Las propiedades de los autovalores de2 y J. )Si 7 (7 + 1)h2 y

m h s o n los valores propios de J2 y J z asociados con la

Mismo vector propio \ k , j , m i y, a continuación, j y m satisface la desigualdad:

- J ^ m ^ j (C-I3)

Para probar esto, considerar los vectores J + | k , f m ) y J _ | k , j , m >, y nota que el cuadrado de sus normas es positivo o cero:

\\J+ | kj, m > | | 2 = < k,j, m | J_J+ \ k,j, m > ^ 0 ( C -1 4 - a )

>0 (C-14-b)

Para calcular el lado izquierdo de estas desigualdades, podemos utilizar fórmulas (C-7). Encontramos (si suponemos [fc, y m > para normalizar):

< Kj, m | | Kj, m > = < k, j, m | ( J 2 - J2 - hJz) \ kj, m >

= J ( j + l ) /i2 - m 2 h 2 - m h 2 (C-15-a)< K j , m | J + J _ | k , j , m > = < k , j , m \ ( J2 - J 2 + h J . ) | k j , m >

= J {j + \ )h2 - m 2h2 + Mh2( C - 1 5 - b )

Sustituyendo estas expresiones en las desigualdades (C-14), obtenemos:

J ( j + 1) - m ( m + ! ) = ( / -M ) { j + M + 1)

> 0 (C-16-a)

J { j + 1) - m ( m - 1) = (/ -M + \ ) { J + M ) >

0 (C-16-b)

Que es:

- U + 1) < m < j (C-17-a)- J ^ m < J + 1 (C-17-b)

Estas dos condiciones se cumplen simultáneamente sólo si m satisface la desigualdad (C-13).

P . Lemma II (Propiedades del vector J_ \ k,j , m > )Dejar | k , j , m > ser un vector propio de J2 y J z con los eigenvalores j ( j + 1) h 2

y m g .

(0 Si r n = - j , J _ I k , j , - y > = 0-

( ") Si m > - y , J _ \ k , j , m } e s u n vector propio no nulo de J2 y J z con los eigenvalores7 (7-I- 1 ) h 2 y (m - 1) h .

C. GENERAL THEORY

652

(I) Según (C-15-b), la plaza de la norma de J _ \ k , j , AW) es igual a f i 2 [ j ( j + 1) - m ( m - 1)] y, por lo tanto se pone a cero para m = - j . Puesto que la norma de un vector es cero si y sólo si el vector es un vector nulo, podemos concluir que todos los vectores J _ | k , j - j > son nulas:

M = - j => \ K , j , - ;> = 0 (C-18)

Es fácil establecer una situación opuesta a la de (C-18):J - | k , j , m > = 0 = * m = - j (C-19)

J + p e r m i t e actuar sobre ambos lados de la ecuación que aparece en (C-19), y utilizando (C-7-a). obtenemos:

H 2 [ j { j + 1) - m 2 + w] | k j , m >= H 2 ( j + m ) , j - m + 1 ) | k j , m > = 0 (C-20)

Usando (C-13), (C-20) sólo tiene una solución, m = - j .( / ' /) Ahora AW es mayor que - j . D e a c u e r d o c o n (C-15-b), J _ \ k , j , m >

es entonces un no-vector nulo desde el cuadrado de su norma es diferente de cero.Vamos a demostrar que es un vector propio de J2 y J z . Los operadores y J2

conmutar; por lo tanto:

[J2 /_] | * J, AW> = 0 (C-21)

Que se puede escribir:

J2/_ | k , j , m > = _ J2 | k , j , m >= J{j + l )h2J_ | * ,y, /w> (C-22)

Esta relación expresa el hecho de que 7_ \ k , j , AW) ES UN vector propio de J2 con la forma escalonada reducida j ( j + 1) f i 2 .

Por otra parte, si aplicamos el operador ecuación (C-3) a | k , j , AW):

[Y2,y_] | kj, m > = - hJ_ | k , j , aw ) (C-23)

Que es:J J - | k j , m > = J _ J Z | k , j , a w > - | K j , m >

= Mhj _ | k,j\ m > - h J _ \ k, j, m >

= (Wi - fi y_ 1 )| A: ,y m > (C-24)

Y_ I A: ,y, aw ) es, por tanto, un vector propio de J z con los autovalores (AW - l)fi.

A. Lemma III (Propiedades del vector J + | k,j, m ) )Dejar | k , j , m > ser un vector propio de J2 y J . con los eigenvalores j ( j + 1) h 2

y m g .

( /) si AW = s, s+ = s \ kjjy.(W) Si AW < j , y+ \ k , j , a m i es un no-null vector propio de J2 y J . con los

eigenvalores j ( j + 1) h 2 y (AW + I ) h .

C. GENERAL THEORY

653

( /) El argumento es similar a la de §C-2-a-3. Según (C-14-a), el Plaza de la norma de J + \ k , j , m ) es igual a cero si m = j . Por lo tanto:

M = j => J+\ kjj > = 0 ( C - 2 5 )

Lo contrario puede ser resultado de la misma manera:J + | k j , m > = 0 * I <= m = J (C-26)

( / " / ") Si m < j , un argumento Análogo A la de § 3- ( / 7) los rendimientos, utilizando para

J27+ | k j \ m } = j ( j + 1) h 2 J + | K j , m >(C-27)

J. J+ j kj, m > = ( m + 1 )h J+ J , k ,j, m >( C - 2 8 ) b. DETERMINACIÓN DEL ESPECTRO DE J2 y J,

Vamos a demostrar que los tres lemas por encima nos permitirá determinar los posibles valores de j y m .

Dejar | k, j , m i ser un vector propio no nulo de J2 y Jt con el eigenj(j + 1)h2 y p i s a m o s con arreglo al lema I, j m ^ ^ j . por lo tanto, es cierto que un entero positivo o cero existe p tal que:

- J ^ m - p <- j + 1 ( C - 2 9 )

Ahora el conjunto de vectores:| K j , m >, J _ | k j , m > , ( / _ ) p | k , j , m > (C-30)

Según lema II, cada uno de los vectores ( . /_ f \ k j , n t } de esta serie ( n = 0,1 ,... , p ) e s u n vector propio no nulo de J2 y J , c o n los eigenvalores j ( j + I ) h 2 y (m - n ) f i .

La prueba es por iteración. Por hipótesis, \ k , j , m > no es null y corj(j - I- 1 ) h 2 y m g . ( J _ Y \ k , j . m } se obtiene por la acción de J _ ( y _ ~ 1 \ k , j , m } , q u e e s un vector propio de J2 y J . con los eigenvalores j ( j + 1) h 2 y (m - n + 1 ) h , este último autovalores ser necesariamente superior a - j, ya que, de acuerdo con (C-29):

M - n + \ ^ m - p + \ ^ - j + 1 ( C - 3 1 )

Ello se desprende, según el punto i i ) d e l lema II, que ( J - Y \ k , j , m > es un vector propio no nulo de J2 y J z > los correspondientes autovalores beingy^y + l ) h 2 a r \ d ( m - n ) h .

Ahora J _ ley sobre ( /_ f | k , j , m >. En primer lugar vamos a suponer que el eigenm - p ) h de J. asociado a (7_ ) "| k , j , m > es mayor que - j h , es decir, que:

M - p > - j ( C - 3 2 )

En el punto i i ) d e l lema II" . /_( /_ )p | k , j , m } es no nulo y corresponde a los eigenvalores j ( j + 1) h 2 y ( m - p - l)fi. Esta afirmación está en contradicción con lema YO ya que, de acuerdo con (C-29):

M - p - 1 < - j (C-33)

C. GENERAL THEORY

654

Deje que J ser arbitrario impulso angular, obedeciendo la conmutación relaciones (B-9). Si j ( j + l ) h 2 y la mfi denotan los valores propios de J2 y J z , e n t o n c e s :

— Los únicos valores posibles de j s o n números enteros positivos o a mitad de enteros o cero, es decir: 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... (Estos valores son los únicos posibles, pero no todos son necesariamente para todos momentos angulares).

— Para un valor fijo de j , los únicos valores posibles de m (2/ + 1) números: - j - j + 1, ... , j - 1 , j ; m es, por consiguiente, parte integrante si j es integral y mitad-integral si j es la mitad-integral. Todos estos valores de m se obtendrían si uno de ellos es.

Por lo tanto, debemos tener m - p igual a - j . En este caso, ( J _ )p | k , j , m > corresponde a la forma escalonada reducida - j de J 2 y , de acuerdo con el punto ( /) de lemma II, 7_(y_)p |k , j , m ~ ) es cero. El vector (serie C-30) obtenido por la acción repetitiva de J _ | sobre k , j , m ) e s limitado y por lo tanto la contradicción con lema I es eliminado.

Ahora hemos demostrado que existe un entero positivo o cero *p tal que:

M - p = - j (C-34)

Un argumento análogo, sobre la base de lemma III, muestran que existe un entero positivo o cero q tal que:

M + q = j (C-35)

Desde el vector serie:

| K j , m >,7+ | k j , m (y+y | k j , m > (C-36)

Debe ser limitada si no hay contradicción con lema I.Combinando (C-34) y (C-35), obtenemos:

P + q = 2 j (C-37)

Por lo tanto j es igual a un número entero positivo o cero dividido por 2. Lo que se deduce que j es necesariamente integral o half-integral * . Además, si existe un vector nulo | k , j m i , t o d o s los vectores de la serie (C-30) y (C-36) son también no nulo y los vectores propios de J2 con el valor propio j ( j + 1)fi2, así como de J z con los valores propios:

- ( J + 1) ", { ~ j + 2)h , ( j - 2 ) h , ( j - 1 ), j h (C-38)

Realizamos un resumen de los resultados obtenidos por encima de la siguiente

manera:

3. " Estándar " { \ k.j . representaciones m > }

Vamos a estudiar los vectores propios comunes a J2 y J 2 , q u e f o r m a n l a b a s e d e l espacio del estado ya que J2 y J z , por hipótesis, observables.

* UN número se dice que es "mitad-integral" si es igual a un número impar dividido por 2.

C. GENERAL THEORY

655

A. LA BASE LOS ESTADOS

Considerar un momento angular J actuando en un espacio de estados S . Vamos a mostrar cómo construir una base ortonormal en 3 compuesto por vectores propios comunes a J2 y J z .

Tomar un par de autovalores, j { j + l ) h 2 y m h , que, en realidad, se encuentran en el caso que nos ocupa. El conjunto de vectores propios asociados a este par de autovalores forma un subespacio vectorial de 3 que vamos a denotar por S ( j , h ) ; la cota g { j \ AM) de este subespacio podría ser mayor que 1, ya que J 2 y J _ normalmente no constituyen un C. S. C. O. Elegimos en 3 { j , AM) base ortonormal arbitraria, { \ k , j , H); K = 1, 2,g ( j , H) }.

Si estoy no es igual a j , d e b e e x i s t i r otro subespacio 3 { J , m + 1) en 3 compuesto por los vectores propios de J2 y J z asociado a los eigenvalores j ( j + 1) h 2 y (am + 1 ) h . De igual forma, si m no es igual a - j, existe un subespacio 3 { j , m - 1 ). En el caso de que m no es igual a j o - j, vamos a construir bases ortonormal en 3 ( j , m + 1 ) y en el artículo 3 ( j , m - 1), a partir de la uno en 3 ( j , h ) .

En primer lugar, vamos a demostrar que, si k no es igual a k2 , J + | k t , j , m > y J + \ k 2 , j , m > son ortogonales, como son J _ \ k l t j , m i y J _ \ k 2 , j , m ). Podemos encontrar el producto escalar de J ± \ k l , j , m } y J ± \ k 2 , j , m } con el uso de fórmulas (C-7):

< K2, j, m \ j^J± | kltj, ESTOY > = < k2,j, m \ ( J 2 - J\ + hJz) \ kltj, m >

= [ / (/ + 1) - m(m ± 1 ) ]f i2 < k2,j , m \kl , j ,m')(C-39)

Estos productos son, por lo tanto escalar cero si k l # k 2 desde la base de 3 ( j , m ) e s ortonormal; si k r = k 2 , e n l a p l a z a d e l a norma de J ± \ k l , j , m > es igual a:

{JU + 1) - m(m ± l) ]ft2Ahora vamos a considerar el conjunto de los g ( j , h ) vectores definidos por:

| Kj, m + 1 > =- -■ -------^- - --------=- J+ | kj, m > (C-40)"Vi(; + 1) - m ( m + 1 )

Debido a lo que hemos mostrado anteriormente, estos vectores son ortonormal. Mostraremos que constituyen la base en el artículo 3 ( j , m + 1 ). Asumir que existe en 3 { j , m + 1 ), un vector | a, j m + 1 > ortogonal a todas las \ k , j , m + 1 > obtenidos a partir de(C-40). El vector J _ |a,y soy -l- 1 > no sería nulo Desde (am+ 1)

No puedeSerIgual a - J , que pertenecen a S ( j , m ) y Ser ortogonal A todosVectores J _ | k , j , h + 1 >. Ahora, de acuerdo con (C-40), J _ | k , j , m + 1 > es proporJ.J+ \k,j,m\ es decir, \ k , j , m ) [fórmula (C-7-b) ]. Por lo tanto, /_ |a,y soy -t- 1 > sería un no-vector nulo de 3 { J , m ) que ser ortogonal a todos los vectores de la { | k , j , m > } base. Pero esto es imposible. Por lo tanto, el conjunto de vectores (C-40) constituye una base de S ( j \ m + 1 ).

Se puede demostrar, usando un argumento análogo, que los vectores \ k , j , m - 1 > definido por:

| M, m - 1 > =---/ ----------- - --------J _ | k,j , estoy > (C-41)FIVA/ + 1) - m (m - 1)

C. GENERAL THEORY

656

Formar una base ortonormal de S ( j , m - 1 ) .Podemos ver, en particular, que la dimensión de subespacios S (y, m + 1) y ( j , m -

1) es igual a la de S ( j , m ) . En otras palabras, esta dimensión es grupo indem.*

G(j,m + 1 )= g{j,m - 1) = g (j,m) = g( ,i) ( C -4 2 )

A continuación, proceda de la siguiente manera. Para cada valor de j en realidad, se encuentran en el problema que nos ocupa, elija uno de los subespacios asociados a este valor de j , p o r e j e m p l o , S ( j , j \ q u e corresponde tom = j . En este subespacio, se elige una base ortonormal arbitraria, { \ k , j , j } ; k = 1 , 2,g ( j ) }. Entonces, utilizando la fórmula (C-41), que construyamos, por iteración, que es la base para que cada uno de los otros 2/ subespacios < £ (a, m ) e s t a r á r e l a c i o n a d a c o n : las flechas de la tabla (VI-1) indican el método utilizado. Al tratar a todos los valores de j se encuentra en el problema de esta manera, nos

TABLA VI. 1

Representación esquemática de la construcción de la (2/ + I ) y(j) vectores de un "estándar" asociado a un valor fijo de y. A partir de cada uno de los <y( /) vectores [ k. /. J > de la primera línea, uno de ellos utiliza la acción de 7_ para construir el (2y + 1) vectores de la columna correspondiente.

Cada subespacio <f(a, m ) es distribuido por la g(J) vectores situados en la misma fila. Cada subespacio 6 (k,j) se extendió por el (2y + I) vectores de la columna correspondiente.

Llegar a lo que se denomina una base estándar del espacio del estado S . orthonormalization relaciones y cierre de esa base son:

< J, m | k ' ,j', m' > = 6 kk. Sjy 6mm ( C - 4 3 -a )

* Si esta dimensión es infinita, el resultado debe ser interpretado de la siguiente manera: hay una correspondencia uno-a-uno entre los vectores de la base dos subespacios correspondientes al mismo valor de j .

G(j) diferentes valores de k

K = 1 2 DU)' ( ? ( / , M = J )

11.7.7 > | 2 ,7 / > • ••

1 Gu)JJ >K 1 '- L ' -M = J - I ) ! 1 .7,7 -

L >| 2 ,7,7 - 1 > -

I - 1 >1 Y -

1 J- LY -( 2/+ 1 )ESPAC *< ? ( / , M)

* ( / , M) 11,7 .M > | 2 ,

7 , M > . . .1 G{j\h m >

F1 '- 1 '- V-

£ (J, M = - J ) I U , - J> 1 2 , 7 ,7 > - 1 -7>

M = L , . / ) . II K

L # {K = G(J )J )G(j) espacios S(k,j)

C. GENERAL THEORY

657

+ J 9 (j)Z Z Z I k J m > < k J < m * I = 1 (C-43-b)J m - - j k = I

COMENTARIOS :

( I ) E l u s o de la fórmula (C-41) supone una elección de fases : la base de vectores nO [ / ', m - 1) son escogidos para ser proporcional, con un coeficiente positivo y real, a los vectores obtenidos mediante la aplicación de J _ a la base de <? ( /, m ) .

( / " / ") fórmulas (C-40) y (C-41) son compatibles, ya que si aplicamos J + a ambos lados de (C-41) y tomar (C-7-a) en cuenta, encontramos (C-40) [a m sustituido por ( m - 1) ]. Esto significa que uno no está obligado a iniciar, como hemos hecho, con el valor máximo m = j , (C-41) con el fin de construir las bases de los subespacios S ( j , m ) correspondiente a un determinado valor de j.

En la mayoría de los casos, con el fin de definir una base normalizada, uno de ellos usa observables A , B, ... que conmute con los tres componentes de J * y forma un C. S. C. O. con J2 y J. ( vamos a ver un ejemplo concreto de ello en §A del capítulo VII):

[A, J] = [B, J] = ... = 0 (C-44)

En aras de la simplicidad, vamos a asumir que sólo uno de estos observables A es necesario para que el C. S. C. O. con J2 y J2. En esas condiciones, cada uno de los subespacios S(j,m) definido anteriormente, es globalmente invariante bajo la acción de una : si | ift]m > es un vector arbitrario de 6 (j, m), UN | i //j m ) es aún, según (C-44), un vector propio de J2 y J. :

J2-4 I I I'j.m > = A J2 | > = J(j + 1 )H * | >

| > = A J2 | + Jjm > = mha | + ijm > (C-45)

Con los mismos autovalores como | \pj m ). Por lo tanto, UN \ ipj m > también pertenece a S(J, m), pero si se , a continuación, seleccione un valor de j, podemos diagonalize A dentro del correspondiente subespacio S{j,j). Se denotan por los distintos autovalores atJ encontrar de este modo : el índice j indica en qué espacio < f(j,j) se encontraron, y el índice k (se supone que ser discreto, en aras de la sencillez) distingue entre ellos. Un único vector (escrito | k, j, j )) de S(j, j) está asociado a cada valor propio ah j, desde A, J2 y J. Forma, por hipótesis, un C. S. C. O. :

| > = akJ kjj | kjj > (C-46)

El conjunto { I k, j, j}\ j , k = 1 , 2, ... , g( j) } constituye una base ortonormal en & (j, j), de la que se construye, utilizando el método descrito anteriormente, la base de la otros subespacios relacionadas con el valor de j . Con la aplicación de este procedimiento sucesivamente para todos los valores de j, llegamos a un "estándar", { | k, j, m > } del espacio del estado, cuyos vectores son eigenstates, no sólo de J2 y Jz, sino también de un :

UN | k , j, m > = akJ | kj, m > (C-47)Esto puede ser como se muestra a continuación. Si hipótesis (C-44) está satisfecho, viaja con J_, lo que significa que J - \ k,j,j >, es decir, | k ,j,j - 1 ), es un vector propio de A con el mismo valor propioComo | k , j , j > :

UNA J- I kj,j > = J-A | kjj > - akJJ | kjj > (C-48)

Repitiendo este proceso, es fácil probar (C-47).

* Un operador que se desplaza con los tres componentes del momento angular de un sistema físico se dice que es "escalar" (cf. complemento Bvl).

C. GENERAL THEORY

658

COMENTARIOS:

(I) Un observable que se desplaza con J2 y J: no necesariamente conmute con Jx y Jy (J2 es un ejemplo). Por lo tanto, no debería ser necesario, con el fin de formar un C. S. C. O. con J2 y Jz, observables a elegir que conmute con los tres componentes de J como en (C-44). Sin embargo, si una no conmute con J+ y /_ (es decir, con Jx y Jy), J± I k ,j, m ) no tendría que ser necesariamente un vector propio de A con el mismo valor propio como | k,j, m ).

(Si) El espectro de A es el mismo en todos los subespacios S(j, m ) asociados con el mismo valor de j . Sin embargo, los eigenvalores ak j dependen, generalmente, de j (este punto será ilustrado con ejemplos concretos en los §§ A y C del capítulo VII).

B. LOS ESPACIOS S(k. j)

En la sección anterior, nos presentó un "estándar" del espacio del estado, empezando con la base elegida en el subespacio £ { j , m , j ) y construcción de una base de & ( j , m = j - 1), luego una de <? (_/ ', m = j - 2), £{ j \ m ) , e t c . .. El espacio del estado puede considerarse la suma de todos los subespacios ortogonales < ? (a, m ) , d o n d e m varía por integral salta de - j + j y j t o m a todos los valores en realidad, se encuentran en el problema. Esto significa que cualquier vector de S puede ser escrito en una sola y única forma como la suma de vectores, cada uno perteneciente a un subespacio particular (a, m ) .

No obstante, el uso de los subespacios m ) presenta ciertas desventajas. En primer lugar, su dimensión g ( j ) d e p e n d e d e un sistema físico que está estudiando y no es necesariamente conocida. Además, los subespacios 6 ( j , m ) n o s o n invariantes bajo la acción de J ya que, por medio de la construcción de los vectores | k , j , m >, y J _ no-cero elementos de la matriz entre vectores de S ( j , m ) y l o s d e 6 ( j , m ± 1 ) .

Por ello, introducir otros subespacios de < ?, los espacios < £ ( k , j ) . En lugar de agrupar thekets | k , j , m ) con índices fijos. /y m [que abarcan S ( j , m) ], ahora agrupar aquellos para los que k y j han dado valores, y que llamaremos 8 ( k , j ) el subespacio que abarcan. Esto equivale a la asociación, en la tabla VI-1), el (2j + 1) vectores de una columna [en lugar de la g { J ) vectores de una fila],

Y a continuación, se puede ver que se la suma de los subespacios ortogonales S ( k , j ) , q u e t i e n e n propiedades más sencilla:

- La dimensión de S { k , j ) es (2j + 1), cualquiera que sea el valor de k y sea cual sea el sistema físico en cuestión.

— £ ( K , j ) es globalmente invariante bajo la acción de J : cualquier componente J u de J [o una función F(J) de J], actuando en una cesta de & ( k , j \ también produce otro ket

C. GENERAL THEORY

659

Jz | kj, m > = mh | kj, m >J+ |

k,j, m > - ft \j{j + 1) - m(m + 1 ) | kj, m + 1 > y_ | k , j, m >

= fi Vj(j + 1) - m (m - 1) | kj, m - 1 >

(C-50)

Pertenecen a S ( k , j ) . E s t e r e s u l t a d o * no es difícil de establecer, ya que J u [o F(J)] siempre puede ser expresada en términos de J x , J + y ahora, J z , en | produce un ket proporcional a \ k , j , m >; J + , u n ket proporcional a \ k , j , m + 1 >, y y_, un ket proporcional a | k , j , m - 1 >. La existencia de los bienes de que se trata, por tanto, sigue en el medio de la construcción de la "norma" { | k j , m > }.

C. LAS MATRICES QUE REPRESENTAN LOS OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR

Utilizando el subespacios & { k , j ) simplifica considerablemente la búsqueda de la matriz, que representa, en un "estándar", un componente J u de J [o una función arbitraria / ^ (J) ]. Los elementos de la matriz entre dos mercados pertenecientes a dos diferentes subespacios S ( k , j ) son cero. Por lo tanto, la matriz tiene la forma siguiente:

Todo lo que debe hacer es calcular el finito de matrices tridimensionales que representan al operador en cuestión dentro de cada uno de los subespacios <? ( &, j).

Otro muy importante simplificación se deriva del hecho de que cada una de estas submatrices finito es independiente de k y el sistema físico en estudio; sólo depende de j y, por supuesto, en el operador que queremos representar. Para ver esto, tenga en cuenta que la definición de los \ k , j , m > [ c f (C-I2), (C-40) y (C-41)] implica que;

* También puede ser fácilmente demostrado que S(k, j) es el de "irreductible" con respecto a J : no existe ningún sub6 (£, j) otros que g (k, j) sí que es invariante a nivel mundial bajo la acción de los diversos com

* (K,j) £ (K'J) & (K' , f)

S { k , j ).

Matrix(2/+ 1) x (2+ / 1)

0 0 0

S ( k ' J ) 0Matrix

(2/ + 1) x (2+ / 1)0 0

S { k \ f ) 0 0Matrix

(2/+ l ) x ( 2 / + l )0

0 0S

0(C-49)

C. GENERAL THEORY

660

- !)

J) - "C !.

(C-52)

V0 0es decir, usando (C-l):

; )La matriz que representa

J2 es por lo tanto:

(A) " / 2> "

(C-53)

(C-54)

Que es:

< T j, m \Jz\ k' ,j\ m' > = nih <\k. SJf < V , m

< Kj, m | J± | k \ j \ m' > = h v ;( / + I) - m ' {m' ± !)<$ ** . SJf (C-51)

Estas relaciones muestran que los elementos de la matriz con los componentes de J depende únicamente de j y m y no en k .

A fin de dar a conocer, en todos los casos, la matriz asociada a una arbitraria compoJu en una base estándar, todo lo que tenemos que hacer, por lo tanto, es calcular, de una vez por todas, el "UNIVERSAL' * matrices Que representan J u dentro de los subespacios < £ ( k , j )Para todos los posibles valores de j ( J = 0 , 1/2, 1, 3/2, ... ) • Cuando estudiamos un determinado sistema físico y su momento angular J, vamos a determinar los valores de j en realidad, se encuentran en el problema, así como el número de subespacios & ( k , j ) asociados a cada uno de ellos [es decir, su grado de degeneración (2 j + l ) # ( / ) ]. Sabemos que la matriz que representa J u en este caso en particular tiene el "bloque de la diagonal" (C-49), y, por lo tanto, podemos construirlo a partir de la "universal" matrices que acabamos de definir : para cada valor de j , t e n d r e m o s g ( j ) "bloques" iden(JU)U).

Demos algunos ejemplos de ( J u ) i j ) matrices:

( 0 7 - sLos subespacios ( k , j = 0) son unidimensionales, ya que el cero es el único valor

posible para m ( I/J' 0' matrices, por lo tanto, reducen a números, los cuales, de acuerdo con (C-51), son iguales a cero.

(H) j = 1/2Los subespacios ( k , j = 1/2) son bidimensionales (m = 1/2 o - 1/2). Si elegimos la

base vectores en este orden (m = 1 / 2 , m = (1/2), nos encontramos con que, usando (C-

51):(C-55)

C. GENERAL THEORY

661

Por lo tanto, encontrar las matrices que se introdujeron sin justificación en el capítulo IV, §A-2.

C GENERAL THEORY

662

V2

Y:

(J2 "> = 2 h2

(0 1 1 0

1 1 0

VO / /

1 0 0\

0 1 0

Vo 0 1 /

72Vo i

0

10 (C-58)

(C-59)

Ahora tenemos (orden de los vectores base : m = 1, M = 0, M = - - 1):

( \ 0 0

Vr = p i e s0

VO0 0 0 -

1 )(C-56)

^0 7 2 O V ^00

0^

* = Pies (■/+)" 0 0 7 ^ ( J j " = h ■ F I 0 0 (C-57)

V o 00 J

\ 0 7 2 O

COMENTARIO :

Se puede comprobar que las matrices (C-56) y (C-58) satisfacer el commuta

(IV) j arbitrarioUtilizamos las relaciones (C-51), que, según (C-l), también se puede escribir:

< K,j, m \Jx\ k'J', nt' y = - " 5 U . 5Jr

X [v' . / 'O' + 1) - m ' ( m + 1) " 5m.+ 1 + 7/0 + 1) - m' (m' -(C-60)

Y:

< Kj , m | Jy | k'J ' , m' > = J i V & jy

X [v ; (; + 1) - m' (m' + l)t>m Beato + 1 - 0 + vjU . m' ( m ' - 1 ) ,](C-6I)

La matriz ( J Z ) U ) e s diagonal y por lo tanto sus elementos son los (2j + 1) valores de m g . El único no-cero de elementos de la matriz ( J x Y j ) y ( S/a) <i) son los que están directamente directamente por encima y por debajo de la diagonal: (J X ) U ) es simétrico y real, y (y )-0 es antisymmetrical y puro imaginario.

Desde los mercados \ k , j , m > son, por construcción, vectores propios de J2, tenemos:

< K,j, m | J 2 1 k'J', m' > = j (J + 1 ) b2Skk SjjSmm- ( C -6 2 )

( "") J = 1

Y por lo tanto:/0 - "

D ORBITAL ANGULAR MOMENTUM

663

Una base ortonormal { | k , j , m ) } del espacio del estado, compuesto por eigen2 y J z : J 2

| k , j , m > = j ( J + 1) h 2 1 k , j , m >

Jz | k, j ,m> = mh | k, j , m > s e l l a m a u n " e s t á n d a r " s i l a a c c i ó n d e l o s o p e r a d o r e s

J _ 7 + y v e c t o r e s d e l a b a s e e s t á d a d a p o r : J

+ | k, j , m > sjj = h(j + 1 ) - m(m + 1 ) | k , j ,m + 1 > J - |

k , j , m > = h \ // ( /' + 1) - m ( m - I) | k j , m - 1 >

La matriz (J2) <J) es por lo tanto proporcional al (2j + 1) x (2/x 1) unidad matriz: sus elementos diagonales son todos iguales a j ( j + 1) T t 2 .

COMENTARIO:

El eje Oz que hemos elegido como la "cuantificación eje" es totalmente arbitraria. Todas las direcciones en el espacio son físicamente equivalente, y esperar que los eigenvalores de J x o J y para que sean iguales a las de J x ( sus

eigenJx y J y no conmute con J z ) . De hecho, puede comprobarse que los eigenvalores de los ( /x) , / 2) y

(Aa) ( , / 2) matrices [fórmulas (C-54)] son ± y que los del ( J x ) l l )

Y (iv) (1) matrices [fórmulas (C-58)] + fi, 0, - h. Este resultado es general: de subespacios S ( k , j ) , los eigenvalores de J x y J y (como los de la componente J u - J . U de J a lo largo de un vector arbitrario u) son j h , ( j - \ ) h , ... , (- j + l )fi - f o r n e c e n los correspondientes vectores propios (eigen2 y Jx , J 2 y J y , o J2 y Ju ) s o n combinaciones lineales de los | k , j ,m) con k y j .

Para concluir este apartado dedicado al "estándar" representaciones, le suma

C. APLICACIÓN A ORBITAL ANGULAR MOMENTUM

En la sección C, se estudiaron las propiedades generales de momentos angulares, derivado exclusivamente de la conmutación (B-9). Ahora volvemos al momento angular orbital L de spinless [fórmula de partículas (B-3)] y ver cómo la teoría general sólo en los países desarrollados se aplica en este caso en particular. Utilizando el { | r > } representantes2 son

los números / (/ + l)fi2 correspondientes a todos p o s i t i v o s o c e r o i n t e g r a l / : de los valores posibles de j se encuentra en §C-2-b, los únicos permitidos en este caso son los valores de tipo integral, todos los que están presentes. A continuación, se deberá indicar las eigenfunciones común a L2 y L z y sus principales propiedades. Por último, vamos a estudiar estos eigenstates desde un punto de vista físico.


664

D 8 \ y T Z -

z t y ) (D-l-a)99 \ (

D-l-b)2 d x x d z ) 9 9 \

(D-t-c)XTy-yTxL =

L

1. Autovalores y eigenfunciones de L2 y Lz. ECUACIÓN DE LA FORMA ESCALONADA REDUCIDA { | r > } REPRESENTACIÓN

En el { | r ) } representación, los observables R y P corresponden respectivamenteH

Relativamente a la multiplicación por r y al diferencial operador - j V . Las tres

componentes del momento angular L se puede escribir:

* (T(

KEs más cómodo trabajar en esférica (o polar) coordenadas, ya que, como veremos, el

momento angular diversos operadores actúan sólo sobre las variables angulares 9 y < / ?, y no en la variable r. En lugar de caracterizar el vector r por sus componentes cartesianas x , y , z , que etiqueta el punto correspondiente en el espacio M (OM = r) por sus coordenadas esféricas r , 9 , p (fig. I):

F x = 9 cos r

pecado ( p * ! Y

= r pecado pecado

i p 9 U = r cos 9

Con: (D-2)

"R > 0 " 0

^ 9 ^ n^ 0 ^ < 2n ip


665

2 1 I 2L^2 tana aa aaaa 2 pecado< / >'- ig- Ip(r, a, p) = m ij/ (r, 0 , p)

Jwr, a, <p) =(D-7-a) (D-7-b)

(D-8-a) (D-8-b)

D 3 r = r 2 d d p e c a d o 0 d r d q >

= R 2 d r d ( 2 (D-3)Donde:

D & = pecado 0 d 0 d ( p (D-4)

Es el ángulo sólido elemento sobre la dirección de 0 á n g u l o s p o l a r e s e ip.Aplicación de la técnica clásica de cambiar variables, obtenemos, a partir de

fórmulas (D-l) y (D-2), las siguientes expresiones (los cálculos se consume bastante tiempo pero sin grandes problemas pcse):

, / . D cos ( p d \L * - * w

+ e9) (D-5-a)

L - , h ( cos " l + pecado l ? ) > \ ^ 8 8 tan0 8 < p J

(D-5-b)

H 8L z ~ ~ i ~ 8 representación, las eigenfunciones asociada con el eigen)h2 de L2 y n -é s i m a de L z son las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales:

Ya que los resultados en general de §C son aplicables al momento angular orbital, ya sabemos que es integral o semi-integral y que, para /, m puede llevar a cabo únicamente los valores - /, /+ 1, / - I, /.

En las ecuaciones (D-7), no aparece en ningún operador diferencial, de modo que se puede considerar que se trata de un parámetro y t o m a r e n c u e n t a s ó l o e l 6 - y ( p - d e p e n d e n c i a d e 1 1 > . Por lo tanto, nos indican por Y ? ( 0 , t p ) eigenfunction común de L2 y L z que corresponde a los eigenvalores / (/ + 1 ) h 2 y m h :

L 2 Y" (d,p) = / ( / + l)h2 Y7d, tp)

El volumen elementos d 3r = d dxy dz es escrito en coordenadas esféricas:


666

Lz Y" (0, tp) = mh Y 7( 0 , t p )


667

Con absoluto rigor, tendríamos que introducir un índice adicional con el fin de distinguir entre las diferentes soluciones de (D-8) que corresponden al mismo par de valores de / y m . En realidad, como veremos más adelante, estas ecuaciones tienen sólo una solución (en un factor constante) en cada uno de los pares de valores permitidos de / y n r , esta es la razón por los índices y m e s s u f i c i e n t e .

COMENTARIOS :

( /) Las Ecuaciones (D-8) 0-y < / > -dependencia de las eigenfunciones de L2 y L2. Una vez que la solución 17 (0, < / >) de estas ecuaciones se ha encontrado, tales eigenfunciones se obtiene en la forma:

- /(') * 7 (0, <p) (D-9)Donde f( r ) es una función de r * , que aparece como una constante de integración de las ecuaciones diferenciales parciales (D-7). El hecho de que f ( r ) es arbitraria muestra que L2 y L 2 n o forma un C. S. C. O. en el espacio 8 t de las funciones de r (o de r, 0, ), es conveniente normalizar >7 (0, < p ) y f ( r ) por separado (como lo vamos a hacer aquí). Tenemos entonces, teniendo (D-4) en cuenta:

B. VALORES DE / Y m

A . / Y m debe ser integral

Usando la expresión (D-5-c) para L " podemos escribir (D-8-b) en la forma: !

l J L Y T ( 0 , ( p ) = n i h Y T ( 0 , 7 (0, ( p ) es igual a:

> 7 ( 0 , p) = F" (0) eimv ( D - 1 3 )Lo que se puede cubrir todo el espacio, permitiendo q > varían entre 0 y 2 n . D e s d e una función de onda debe ser continua en todos los puntos en el espacio ** , que debemos tener,

en particular:

>7 (0, ( p = 0) = >7 (0, t p = 2 n ) (D-14)

Lo que implica que:

E2 ' "" '- 1 (D-15)

* F(r) debe ser tal que 0, <p )es cuadrado-integrables.

P 2 n p nD <p \ p e c a d o 0 \ Y 7 ( 0 < < p ) \ 2 d d

= 1 J o J o(D-10)

P a

R2 | / (r) |2 dr = 1J o

(0-11)


668

4- Yn0- <p)Ul f i

Un diferencial eigenfunction de los operadores (D-5-c) y (D-6-a). Por ejemplo,

producir una función d( <p), que es incompatible con (D-12).

** Si el valor de <p) no fueron continuas para < p = 0, no sería diferenciable

y no podía serSería


669

(0) = S (D-17)

Esta primera orden ecuación puede ser iniegrated inmediatamente si notamos que:

d(pecado 0)Cuna 0 d0 = . Nsin 0su solución general es la siguiente: F{ (0) = c, (sin 0).

(D-18) (D-19)

De acuerdo a los resultados de § C, m es una parte integral o semi-integral. Relación (D-15) demuestra que, en l a s e n c i l l e z d e u n a o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m , m d e b e s e r u n n ú m e r o e n t e r o (E2"" * sería igual a - 1 si m mitad de integrales). Pero sabemos que m y / o bien son tanto parte integrante o ambas mitad-integral: de ahí que / t a m b i é n d e b e s e r u n n ú m e r o e n t e r o .

P . Los valores de tipo integral (positivo o cero) de l se puede encontrar

Elija un valor integral de / (positivo o cero). Sabemos por la teoría general de §C que Tj(0, c p ) debe cumplir:

L+r| (0, < / >) = 0 (D-16)

Que los rendimientos, tomando (D-6-b) y (D-13) en cuenta:

Donde c es una constante normalización * .Por lo tanto, para cada positivo o cero valor integral de /, existe una función T|

(0, ( p ) q u e es único (en un factor constante):

T{ (0, < p ) - c, (sin 0). (D-20)

A través de la repetición de la acción de L _ , construimos Y ..., Y " , ... Tj". Por lo tanto, observamos que no corresponde, a la par de los eigenvalores 1 ( 1 + 1) h 2 y m t i (donde es un entero positivo arbitrario o cero y m e s otro número entero tal que -/ < / M < / ), s o l o u n e i g e n f u n c t i o n : K7 (0, < p ) , e l c u a l p u e d e s e r calculado a partir de ambigüedad (D-20). Las eigenfunciones T7 (0, ( p ) se denominan a r m ó n i c o s e s f é r i c o s .

C. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS ARMÓNICOS esféricos

Los armónicos esféricos Y" (6, cp), serán estudiados con mayor detalle en complemento AVI. Aquí nos limitaremos a resumir este estudio diciendo sin prueba sus principales resultados.

A . Relaciones de recurrenciaDe acuerdo a los resultados generales del §C, tenemos:

L± YT(0, " ± 1) V7± " (0, <p) (D-21)

* Inversamente, se puede mostrar fácilmente que la función obtenida de esta manera es en realidad un eigenfunction de L2 y Lz con autovalores / (/ + l)h2 e ih . Según (D-5-c) y (D-13), es evidente que Lz tomaré #, tp ) = ih 1 ^ ((J, ip). a continuación, y mediante esta ecuación y (D-16), así como (C-7-b), se puede demostrar que Y\ (0, ip) es también un eigenfunction de L2 con el valor propio.

{A~ 1 " * 0


670

■(.M cun a

0Jyr(0, p ) = V l ( l + I) - m { m + 1 ) Y ? + " ( 0 , < p ) (D-22-a)

Usando las expresiones (D-6-b) y (D-6-c) para los operadores L + y EN LENGUA y el hecho de que Y ? ( 8 , < p ) e s e l p r o d u c t o de una función de 6 sola y e"" * ,

obtenemos:+ 1) - m(m - 1) Y " ~ l ( 0 , ( p )

(D-22-b)

P . Orthonormalization relaciones y cierre

Las Ecuaciones (D-7) determinar el esférico sólo armónicos dentro de un factor constante. Ahora elija este factor para orthonormalize la Y " ( 0 , p ) ( como funciones de las variables angulares 6 y <p):

/% 2n F KAutoedición 0 Dd YJ, SELLADA, pecado! * (( ), <p)Y? ((h <p) = Sr, 6m.m ( D -2 3 )

Jo JoPor otra parte, cualquier función de 0 y ( p , / (0, < / > ), puede ampliarse en

términos de los armónicos esféricos:

F(0, <P)= t I e u W - f ) ( ° -24)1 = 0 m= -I

Con:/% 2 tt /% N

C l m = D<p pecado 0 d 0 vr * (0, p ) . m < P ) (D-25)Jo Jo

Los armónicos esféricos, por lo tanto, constituyen una base ortonormal en el espacio de las funciones de 8 y ( p . Este hecho se expresa por el cierre relación:

I t Y7 ((h (P)Y? * (0\ (p') = ^ ( c o s 0 - cos O') 6 ((p - tp")1 = 0 m ~ -I

= 7 Ilrds(0 ~ (r)s{ <p ~ ^ ( D ' 2 6 )

[Es < 5 (cos 0 - cos 8 ' \ y no 3 (0 - 8 ' ) que entra en el lado derecho de la clausura porque las integraciones de la variable 8 se realiza utilizando el elemento diferencial pecado 8 = - d(cos 0) ].

A . Paridad y conjugación compleja

En primer lugar, recordar que el cambio de r a - r (reflexión a través de la coordenada origen) se expresa en coordenadas esféricas por (fig. 2):

0 = > N - 0 (D-27)(P = > n + (p


671

LA FIGURA 2

X

(D-28)

(D-29)

Transformación de las coordenadas esféricas de un punto arbitrario de reflexión a través del origen; r no se modifica, se convierte n 0 - 0 y < p se hace n + <p.

Es sencillo (ver complemento AV|) para

mostrar que:, Y T i n - 0,n + <p) = (- 1 Y Y ?

( 0 . < p )Los armónicos esféricos son por lo tanto las funciones de una determinada paridad, que es independiente de m \ son incluso si es par e impar si es impar.

Además, puede observarse fácilmente que:

[W < * >)] * = (- 1) mi;m(e, <p)

d. "ESTÁNDAR" LAS BASES DE LA FUNCIÓN DE ONDA ESPACIODE PARTÍCULAS DE UN SPINLESS

Como ya hemos señalado [comentario (i) de §D-l-a], L2 y L z no constituyen un C. S. C. O. en la función de onda de una partícula spinless. Vamos a indicar, apoyándose en el razonamiento y los resultados de §C-3, la forma de la "estándar" las bases de este espacio.

Deje que < ( /, m = l ) es el subespacio de eigenfunciones común a L2 y L z , de los eigenvalores / (/ + l)ft2 y C a s e I H , donde / es un entero positivo fijo o cero. El primer paso en la construcción de un "estándar" ( v é a s e §C-3) consiste en elegir una base ortonormal arbitraria en cada uno de los & ( l , m = / ). Vamos a denotar por ^ , , (r) las funciones que constituyen la base elegida en t f ( l , m = / ), el índice k ( se supone que para que resulte más sencillo discreto) que sirve para distinguir entre las diferentes funciones de esta base. Por la aplicación repetida del operador EN LENGUA de la ^tilil(r), que, a continuación, construir las funciones , m ( r) que completan el "estándar" base de m # /; satisfacen las ecuaciones (C-12) y (C-50), que se convierten en:

(D-30)


672

(D-34)

FD3rK.l.m -1; D arg,

(r)Rk.ar).

X

/• 2 nd( /> - Dkk" (D-36)

El dr. R * j(r) Rk" (r)

Y :

L±'l 'kjJ * ) = + L7- m ( m ± 0 ^./. * ±i(r) (D-31)

Pero vimos en §D-l-a que todos eigenfunciones común a L2 y L z que corresponden a autovalores / (/ + l)fi2 y mh tienen la misma dependencia angular, la de Y " ( 0 , p ) ; s ó l o la dependencia radial es diferente. De las ecuaciones (D-30), por lo tanto podemos deducir que i p k J _ m ( r ) tiene la forma:

(D-32)

Ahora, vamos a mostrar que, si la t^ * >l>m(r) constituyen un "estándar", las funciones radiales R k , m (r) son independientes de m. Desde el operador diferencial L ± no actúan sobre la r-dependencia, que tenemos, según (D-21):

* L± kJJr) = RuJr)L±YW, cp)

= & / / ( / + ! ) - m ( m ± 1) R u J r ) Y ? ± l ( 0 , < p ) (D-33)

Comparación con (D-31) muestra que las funciones radiales debe satisfacer, para todos r:

K" .i. " ±i(r) = R k . l . m ( r )

Y, por lo tanto, son independientes de m . Las funciones i p k , m (r) de un "estándar" de la función de onda de

un espacio (spinless de partículas) son, por tanto, necesariamente de la forma:

** . , "= "i,i(r)en^) (D-35)

La orthonormalization con respecto a dicha base es:Jo Jo

Desde el esférico los armónicos son [fórmula ortonormal (D-23) ], obtenemos finalmente:

(D-37)

Las funciones radiales , (r) por lo tanto se normaliza con respecto a la variable r; además, dos funciones radiales correspondientes al mismo valor de / pero a diferentes índices k son ortogonales.

COMENTARIOS :

(J) se trata de una fórmula (D-37) es simplemente una consecuencia del hecho de que las funciones i / / k , , (r) = R k l ( r ) Y ' l ( 6 , i p ) elegido como base en el subespacio <? ( /, m = /) es ortonormal. Por lo tanto, es esencial que el índice / es el mismo para las dos funciones R k , q u e a p a r e c e n en el lado izquierdo. Para / ^ / ', i / / k , m (r)

S i n f l d 0Y; * (0, <p)Y? ((l(p)

D. ORBITAL ANGULAR MOMENTUM

673

Y ij/k. M (r) son ortogonales de todos modos debido a su dependencia angular (son eigenfunciones Hermitianas operador de la L2 con autovalores diferentes). La integral:

[ R2 dr R ^ r ) R k . x ( r ) (D-38)Jo

Por lo tanto, pueden tomar en cualquier valor a p r i o r i si / y /' son diferentes.

( //) En general, las funciones radiales R k l { r ) d e p e n d e n d e /, por el siguiente motivo. Una función de la forma f ( r ) g ( 6 , arbitrario) sólo si g ( 0 , ( p ) , s e r e d u c e n a una constante o si f( r ) se pone a cero en r = 0 [ya que si g ( 6 , p > ) depende de 6 y ( / >, el límite de f ( r ) g { d , <p) r - ► 0 depende de la dirección en que uno se acerca al origen si / (0) no es cero]. Por lo tanto, si queremos que las funciones de base , m (r) para ser un proceso continuo, sólo las funciones radiales correspondientes a / = 0 puede ser

distinto de cero en r = 0 [ TQ( 0, <p) es de hecho una constante]. De igual modo, si se requiere de la t / / k , m (r) para ser diferenciable (una o varias veces) en el país de origen, obtenemos las condiciones para el R k , ( r ) q u e depende del valor de /.

2. Consideraciones

físicas . UN ESTUDIO DE I * . /. M

> ESTADO

Considerar un (spinless) de partículas en un eigenstate | k , l , m > de L2 y L z [cuya función de onda es asociado </' * , ! . " ( •■) ]• que es, un estado en el que el cuadrado de su momento angular y la proyección de este momento angular a lo largo del e j e O z tienen bien definidos los valores [ / (/ -I- l)fi2 y mh , respectivamente].

Supongamos que queremos medir el componente a lo largo de la O x o e j e O y d e l momento angular de la partícula. Lx y Ly no conmute con L z , | A , / , m > es un eigenstate ni de Lx ni de Ly ; por lo tanto, no podemos predecir con certeza el resultado de tal medida. Debemos calcular los valores promedio y raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones L x y L y en el estado | A, /, m >.

Estos cálculos se pueden realizar muy fácilmente si expresamos L x y L y en términos de L + y fórmulas EN LENGUA por inversión (C-l):

LX= 1 (L+ + L _ )

Ly = Ti(L+ - L-) ( D - 3 9 )

Por lo tanto, observamos que L x | k , / , m ) y Ly \ I c , I , m > son combinaciones lineales de | k , / , m + 1 > y | k , / , m - 1 >, esto conduce a :

< K , / , m | L x | k , / , m > = < k , / , m \ \ L y k , / , m > = 0 (D-40)


674

Además:

< K , l , m | L l | k , l , m > = ^ < k , / , m | ( L \ + L i + L + L_L EN LENGUA + + ) | k , / , m >

LA FIGURA 3

Un modelo clásico que se pueden aplicar a la orbital angular momentum de una partícula en un >. Y estatal | /, m ). Suponemos que la distancia |OL| y el

ángulo y son conocidos, pero que = (D-41)

- \ ( k , l , m \ ( L l + L l - L + L _ - L _ L + ) | k , l , m >

Los términos de L \ y Li no contribuyen al resultado, desde L2± | k , / , m > es proporcional a | k , / , m ± 2 >. Además, la fórmula (C-8) produce:

L _ L + + L _ L + = 2 ( L 2 - L 2 ) (D-42)

Por tanto, obtener:< K , 1 , m | L2 | /c, /, m > = < k , / , m \ L2 | k , / , m >

" I <, /, m | (L2 - | * , /, m > + 1 ) -

m2] (D-43)

Así, en el estado \ k , / , m ) : > < Lx L y = < > = 0 (D-44-a)

! \A L X = A l y = h - [ ! (/ + 1) - m 2]

V ~(D-44-b)

Estos resultados sugieren la siguiente imagen. Considerar un clásico angular

Impulso, cuyo módulo es igual a h v 1 ( 1 + 1 ) y cuya proyección en O z s e n t h ( fig. 3):

|OL| = h x// (/ + 1)O H = m h (D-45)


675

< 0/> oc Cos Oc

Pecado <p d& = 0

Nos indican por 0 y < P l o s ángulos polares que caracterizan su dirección. Desde el triángulo O U tiene un ángulo recto en J , y O H = J L , tenemos:

DO = JOL2 - OH2 =hs/l(l + 1 ) - m2 ( D - 4 6 )

En consecuencia, los elementos de un momento angular clásica sería:

0 1 - H \ // (/ + 1) - m 2 o c e s una variable

aleatoria que puede tomar cualquier valor en el intervalo [0, 2cr], todos estos valores son igualmente probables (variable aleatoria uniformemente distribuida). Tenemos entonces, con un promedio de = - + 1) - m2] cos2 < * > d <t > = - [ / (/ + 1) - m 2]

Jo(D-49)

Y, de la misma forma:

< OK 2 > [ / (/ + 1) - m2] (D-50)

Estos valores son idénticos a los que se encuentran en (D-44). En consecuencia, el momento angular de una partícula en el estado | k , / , m > se comporta, en la medida en que los valores promedio de sus componentes y sus plazas, como la clásica

Momento angular de magnitud h \ / l ( l + 1) y con una proyección ' S en O z , pero para los que < P e s una variable aleatoria distribuida uniformemente entre 0 y 2 n .

Por supuesto, esta imagen debe ser utilizado con cuidado: hemos demostrado a lo largo de este capítulo lo mucho que la mecánica cuántica momentos angulares propiedades difieren de sus propiedades clásicas. En particular, debemos insistir en el hecho de que una medición individual de L x o L y de una partícula en el estado | k , / , m > no

Un valor arbitrario entre - h \ / l ( l + l) - m 2 y + fi V / (/ + l) - m2, como el modelo anterior podría llevarnos a pensar. Los únicos resultados posibles son los valores propios de L x y L y (vimos al final del §C que son los mismos que los de L z ) , e s d e c i r , puesto que / se fija en este sentido, uno de los (2/ + I) los valores C a s e I H , (/ - l)fi,( - /+ 1 )fi.


Ip(r) se puede escribir: "l'

(r) = l l lckXmRjr)Año(d,p) (0-53)K I m

" K.i.m

Autoedición

(D-54)

B. CÁLCULO DE LAS PREDICCIONES SOBRE LAS MEDICIONES FÍSICAS DE L? Y L.

Considere una partícula cuyo estado es descrito por el (normalizado) función de onda:

< R | i j / > = ^ (r) = 0 , < p ) (D-51)

Sabemos que una medición de L2 sólo puede dar los resultados 0, 2h 2 , 6 h 2 , ... ,1 ( 1 + l)fi2, y una medición de L. , sólo los resultados 0, ± h , ± 2 h ..............................MH , ... ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de estos resultados diferentes de la función de onda i [/ ( r , 0 , < / > )?

A . Fórmulas generales

Denotemos por L ( /, n t ) la probabilidad de encontrar, en la medición simultánea de L2 y L z , los resultados 1 ( 1 + l ) h 2 y p i s a m o s esta probabilidad puede ser obtenido mediante la ampliación i/ ^ (r) sobre una base compuesta de eigenfunciones de L2 y L. ; vamos a elegir un "estándar" según el tipo de § D - l - d :

(D-52)

Donde los coeficientes c k l m se puede calcular mediante la fórmula usual: = | d3r tl/ * , m(r)

ij/ (r)

De acuerdo con los postulados del capítulo III , l a p r o b a b i l i d a d ^ 2 >Li( /, m ) e s dada, en estas condiciones, por:

M) = X k * .i.m |2 (D-55)K

Si se miden sólo L2, la probabilidad de encontrar el resultado / (/ + 1 ) h 2 e s igual a:

^ (0= X Au" (U)- Z X K, .J2 (D-56)

Del mismo modo, si es sólo L z que queremos medir, la probabilidad de obtener m hEs la siguiente:

I Au. (U) = I X |ct,J2 (D-57)I s |m| * F * |m|

(La restricción / ^ \ m \ s e satisfacen automáticamente, ya que no existen los coeficientes C k . i . m que \ m \ sería mayor que / ).

R2 d r R * , (r) P e c a d o 0 d i ) Y ? * ( 0 , t p ) i a ( r . (K (p)


672

(D-59)

C k , l , m (D-61)

Utilizar (D-37) a (D-60), también se puede obtener:

(D-62)

La probabilidad L i { 1 , m ) [fórmula (D-55)] también puede ser escrita en la forma:

^ .LJl m) = r2 dr | n , - m ( r ) | 2JoFrom esto, podemos deducir, como en (D-56) a (D-57): = X f

r2

dr [fl"m(r) |2

(D-63)

(D-64)

Y :

& L Z { ™ ) = L r 2 d r |a,el sufijo _FFL(r) |: * "M Jo

(D-65)

[Aquí, de nuevo, una , J r ) e x i s t e s ó l o para / > |w| ]. Por lo tanto, para obtener el físico predicciones sobre las mediciones de L2 y L z , que podemos considerar la función de onda, dependiendo sólo de 8 y < p . a continuación, ampliar, en términos de los armónicos esféricos en (D-58) y aplicar fórmulas (D-63), (D-64) y (D-65) .del mismo modo, puesto que actúa únicamente en Lz ( p , e s e l t p - d e p e n d e n c i a d e l a f u n c i ó n d e o n d a

\ p ( r ) que cuenta en el cálculo de & L ± ( m ) . Para ver esta, vamos a

En realidad, desde L2 y L z actuar sólo en 8 y <p, vemos que es el 8 - ( ^ -dependencia de la función de onda ^ (r) que en el anterior recuento probabilidad cálculos. Para ser más precisos, consideran que 1( / ( r , 0 , tp ) como una función de 8 y t p en función del parámetro r. Al igual que cualquier otra función de 8 y <p, ^ puede ampliarse en términos de los armónicos esféricos:

I / ( ( r , 0 , (p) = XX ai.m(r) Y? (0, p) ( D -

5 8 )L m

Los coeficientes a, m de esta expansión dependen de el "parámetro" r y son dadasPor:

QueP e c a d o 6 dd Yf * {8, <p) 0, P )

Jo

Si comparamos las expresiones (D-58) a (D-53), vemos que la c k l m son los coeficientes de la expansión de un J r ) sobre las funciones R k J ( r ) :

Una, Jr) = X m ckJ Rkl(r) ( D -6 0 )

K

Con, teniendo (D-54) a (D-59) en cuenta:

R00R 2 d r R * Jr)

a, Jr) Jo


673

YT(0, n>) = ZT(0) V' 2 n

(D-66J

I \J 2n \j! 2n

F (D-68)

[Por razones análogas a las que se indican en el comentario ( /) de §D-l-d, el mismo valor de m es participar en ambas funciones Zf del lado izquierdo] .Si consideramos tj/ (r, 0

, cp), a ser una función de < p definida en el intervalo [0, 2rc] y en función de los "parámetros" de i y 0, podemos ampliar en una serie de Fourier:

Objetivo<p

0, <p) = I bjr, 0)\ ' 2n

(D-69)

Donde los coeficientes b m ( r , 0 ) se puede calcular a partir de la fórmula:

1 F2bjr, 0 ) = -V 27t J 0 D(p e I l/ (r, 0 ,

< p)(D-70)

Si comparamos las fórmulas (D-69) a (D-70) a (D-58) a (D-59), vemos que la a , m ( r ) para m s o n los coeficientes de la expansión del b m ( r , 0 ) d e l a s f u n c i o n e s Z 7 c o r r e s p o n d i e n t e a l m i s m o v a l o r m :

B j r . " ) = I a, "ZT(fl) (D-71)

Con:U n a , J r ) = Sirjo

(D-72)

F (D-73)

R2 dr a.

Pecado 0 d0 | 6m(r, 0) |2

(D-74)

Usar el hecho de que el esférico los armónicos son productos de una función de 0 sola, y una función de < /> solo. Vamos a escribir en la forma:

Por lo que cada una de las funciones del producto se normaliza, ya tenemos:2K ~ -Im pim<p'v

D * ^ - = ^ 7 = = <5 mm . (D-67)

Sustituyendo esta fórmula en el orthonormalization relación (D-23) para los armónicos

esféricos, encontramos:

Pecado 0 d f l Z7 * (0) Z™(0) = S , r

Pecado 0 d0 Z ? * { 0 ) b j r , 0 )

Con (D-68) tomadas en cuenta, la expansión (D-71) exige que:Pies

Pecado 0 d0 | 6m(r, 0) |2 = Y. K. m(r) |2 sustituyendo esta fórmula

en el (D-65), obtenemos (M) en la forma:


674

El dr. | / (r) |2 = 1

Pecado 9 d 9 |y(0, < / > )|

2 L (D-76-b)

(D-77)

DL.m

R *Pecado no 0 <P) g(0, q >)

J o

(D-78)

Por lo tanto, en lo que respecta a las mediciones de L z solo, todo lo que necesitamos hacer es examinar la función de onda, en función únicamente de ( p y ampliar en una serie de Fourier como en (D-69) con el fin de calcular las probabilidades de los distintos resultados posibles.

Podríamos estar tentados a pensar que un argumento análogo a los anteriores que daría En lo que se refiere a la ampliación de il/ {r 9 , ( p ) con respecto a laVariable independiente 6. De hecho, este no es el caso: las predicciones relativas a la medición de L2 solo tanto el 6 - y el ( ^ -dependencia de la función de onda; esto se relaciona con el hecho de que L2 actúa sobre ambos 9 y < / >. Por lo tanto, debemos utilizar la fórmula (D-64).

P . Casos especiales y ejemplos

Supongamos que la función de onda i/ ((r) que representa el estado de la partícula aparece bajo la forma de un producto de una función de r y una función de 9 y c p :

* (R 6 , < p ) = f( r ) g ( 9 , tp ) (D-75)

Siempre podemos suponer f ( r ) y y( 9 , ( p ) normalizado por separado:

(D-76-a)

Para obtener la expansión (D-58) de la función de onda, todos tenemos que hacer es ampliar g ( 9 , < / >) en términos de los armónicos esféricos:

'M <p) = lldLm YT(0, <p)I m

Con:

En este caso, por lo tanto, los coeficientes a , m (r) de la fórmula (D-58) son todos proporcional a f ( r ) :

A, .Jr) = dhm f[r) (D-79)

Por (D-76-a) tener en cuenta, la expresión (D-63) para la probabilidad ^ L 2t u ( l , m )

a q u í pasa a ser simplemente:

^ .IJi = k, .J2 (D-80)

E s t a p r o b a b i l i d a d e s t o t a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e d e l a parte radial f\r) de la onda .

Del mismo modo, consideremos el caso en que la función de onda ip ( r , 9 . c p ) e s e l p r o d u c t o d e tres funciones de una sola variable:

Si/ (r. 9, (p) = f( r ) h (9) k( <p) ( D - 8 1 )


675

= 1 (D-82)

Por supuesto, (D-81) es un caso especial de (D-75), y de los resultados que se acaba de establecer. Pero, además, si estamos interesados sólo en la medida de L. , todos tenemos que hacer es ampliar k ( ( p ) de la forma:

Donde:V 27t

(D-83)

~W'D<p e^imv k((p)

(D-84)

A fin de obtener el equivalente de la fórmula (D-69), con:

Bm(r,0) = emf(r)h( 0) ( D -

8 5 ) S e g ú n ( D - 8 2 ) , ^ L J m )

se obtiene a partir de (D-74) como:

- | E"p (D-86)

Las consideraciones anteriores pueden ser ilustradas por algunos ejemplos

muy simples. En primer lugar, supongamos que la función de onda ip{r) es en realidad independiente de 6 y <p, de modo que: M =

k(p) =

1PyV l

1

Jin

(D-87)

A continuación, tenemos:

I, ((Kcp) = -L = Y°s(0, <p)Y 4 nThus una medición de L2 o

de L , d e b e d a r cero.Ahora, vamos a modificar únicamente las ^ -dependencia, seleccione:

(D-88)

H(0) = J c o s 0K<P) =

-4 =V 2 ;r

(D-89)

En este caso:

i) (0, (p) La aih Y0 <p)

(D-90)

Que vamos a suponer que por separado se normaliza:/ * X /• N /• 2n

R2 dr | / (r) |2 = pecado 6 d 0\h(0) \2 = d< /> |fc(p) |- Jo Jo Jo

(D-91)


676

Una vez más, estamos seguros de los resultados de medición de L2 o L z . de L2, sólo podemos obtener 2h 2; para Lz , 0 . Se comprueba que esta modificación de la 0-dependencia no ha cambiado el físico las predicciones con respecto a la medición de L z .

Por otro lado, si modificamos el ( ^ -dependencia en la configuración, por ejemplo:

< / ( < / >) =V' 2n

G ( 6 , < / >) ya no es equivalente a un solo armónicos esféricos. Según (D-86), todas las probabilidades Son iguales a cero excepto para:

= 1 ) = 1 (D-92)

Pero las predicciones relativas a la medición de L2 son también ha cambiado con respecto al caso (D-87). Para calcular estas predicciones, debemos ampliar la función:

! L ( 0 , p i ) = -= e' * (D-93)V 4TT

En la esférica los armónicos. Se comprueba que todos los a ñ o s " ( 8 , p ) , c o n impar/y m = 1, que aparecen en la expansión de la función (D-93). Por lo tanto, ya no estamos seguros del resultado de una medición de L2 ( las probabilidades de los distintos resultados posibles se pueden calcular a partir de la expresión de los esféricos armónicos). Por lo tanto concluimos con este ejemplo que, como se señala al final del §a, la ( ^ -dependencia de la función de onda también entra en el cálculo de predicciones sobre las mediciones de L2.

Bibliografía y sugerencias de lectura:

Dirac (1,13 ), § §35 y 36; el Mesías (1.17 ), cap. XIII; Rosa (2,19 ); Edmonds (2.21 ).

P * 4>

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