Módulo 3: Algoritmos y expresiones - cs.uns.edu.arcs.uns.edu.ar/~cjg/tem12/downloads/Modulo 3 - Algoritmos y Expr.pdf · Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que

Técnologías en la educación matemática – Dr. Carlos Gonzalía – 1 de

Tecnologías en la Educación Matemática Dr. Carlos Gonzalía

DCIC - UNS

Módulo 3: Algoritmos y

expresiones

Técnologías en la educación matemática – Dr. Carlos Gonzalía – 2

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Qué queremos aprender

●Debemos aprender a decirle a la computadora cómo resolver

un problema

Problema Solución Implementación


Qué queremos aprender

● Un lenguaje más flexible para especificar como

resolver un problema: lenguaje de diseño de

algoritmos

● Un lenguaje de programación para implementar

esta especificación en la computadora: lenguaje

Pascal


Algoritmos

● Definición: un algoritmo es una secuencia finita

de pasos u operaciones, que cuando se los ejecuta,

producirá resultados.

● Visión estática: es la especificación de la solución

● Visión dinámica: es la ejecución de la solución, al

realizar los pasos alcanzamos la solución


Algoritmos

● Un número finito de pasos convierten los datos de

un problema (entrada) en una solución (salida)

● Un algoritmo es tal que funciona paso a paso,

donde cada paso se pueda describir sin

ambigüedad y sin hacer referencia a una

computadora en particular.


¿De donde viene la palabra

algoritmo?

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī

(Abu Yā'far), conocido generalmente como al-

Juarismi, fue un matemático, astrónomo y

geógrafo persa musulmán chií, que vivió

aproximadamente entre 780 y 850.

Debemos a su nombre y al de su obra principal,

"Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", nuestras palabras

álgebra, guarismo y algoritmo.

Es considerado como el padre del álgebra.


Métodos para expresar un

algoritmo

● Lenguaje natural

● Diagramas de Flujo

● Pseudo código

● Sistemas Formales

● Lenguajes de programación


Lenguaje Natural

● Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser

ambiguas y extensas

● No son recomendables

● Los diagramas de flujo y el pseudo código evitan

las ambigüedades


Diagramas de flujo

● Los diagramas de flujo son

descripciones gráficas de

algoritmos

● Usan símbolos conectados

con flechas para indicar la

secuencia de instrucciones

● Sólo usados para algoritmos

simples porque abarcan

mucho espacio y son

engorrosos de construir


Pseudo código

● Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que

asemeja a un lenguaje de programación pero con algunas

convenciones del lenguaje natural

● Posee varias ventajas con respecto a los diagramas de

flujo, entre las que se destaca el poco espacio que se

requiere para representar instrucciones complejas.


Lenguajes de programación

● La mayoría de los algoritmos se crean para luego

implementarse en un lenguaje de programación

● Un lenguaje de programación es un idioma

artificial diseñado para expresar computaciones

que pueden ser llevadas a cabo por las

computadoras


Pasos para construir un

programa

● Metodología que usaremos:

– Descripción de alto nivel

– Descripción más estructurada con un algoritmo en

pseudo código

– Implementación en un lenguaje de programación (en

nuestro caso Pascal)


Pseudo código (LDA)

● El lenguaje de diseño de algoritmos que usaremos

sigue una serie de pautas

● A continuación resumiremos como debemos

construir nuestros algoritmos


Datos en los algoritmos

● Al resolver el problema se deben identificar los

diferentes datos que usará el algoritmo:

– Datos de entrada

– Datos de salida

– Datos auxiliares

● Todo dato deberá estar identificado en el

algoritmo

● Un dato no identificado será considerado un

ERROR


Datos en los algoritmos

● Un dato en un algoritmo tiene un nombre fijo que

lo identifica unívocamente

● El nombre de un dato debe ser claro y

representativo de cuál es la finalidad del dato

dentro del algoritmo

● Todo dato en un algoritmo tiene un valor, que

puede ser modificado

● Hay distintos tipos de datos (numéricos, lógicos,

etc)


Expresiones con datos

● Operadores matemáticos: * / /e + - //

● raíz cuadrada

● Paréntesis ( )

● Operadores lógicos : y , o , no

● Los operadores = > <

● Ejemplos: (num1 + 3) > (num2+num3) (resto=0)

y (divisor > 3)


Acciones en un algoritmo

1)Secuencia de acciones: impone implícitamente un

orden de arriba hacia abajo y de izq. a derecha

2)Asignación de valores a datos (←)

3)Condiciones

4)Repeticiones


Asignación

● <nombre de dato> ← <expresión>

● La flecha indica el orden de la evaluación

● Se evalúa la expresión, se obtiene un valor y luego

se modifica el valor del dato a la izquierda del

símbolo ←

● El tipo de la expresión tiene que ser compatible

con el del dato a modificar


Asignación

● Pensar ejemplos de asignaciones

● Diseñar secuencias de asignaciones


Ejemplos

● AñoNacimiento ← 1980

● AñoCorriente ← 2010

● Edad ← AñoCorriente – AñoNacimiento

● Existe ← falso

● Positivos ← ( A> 0 ) y ( B >0)


Intercambiar dos datos

● Dados dos datos A y B que tienen valores, intercambiar

los valores de A y B

● Ejemplo: A tiene 3 y B tiene 10, al intercambiar queda A

con 10 y B con 3

¿Qué ocurre si tiene dos vasos, uno con te y otro con café?

¿cómo intercambia el contenido?

Auxiliar ← A

A ← B

B ← Auxiliar


Ejercicios

● Hacer un algoritmo para determinar si un número

es par

● Hacer un algoritmo para determinar si un año es

bisiesto


Condiciones

● Si el día está soleado vamos al parque

● Si el día está lluvioso vamos al cine

● Si apruebo ambos parciales curso la materia, sino

debo rendir recuperatorio


Condiciones (I)

● Si <condición> entonces <acción>.

– Si la expresión <condición> da un resultado de valor

verdadero entonces se ejecuta la <acción> si da falso

no hace nada

● Ejemplo:

– Si A // 2 = 0

entonces es_par ← verdadero


Condiciones (II)

● Si <condición>

entonces <acción 1>

sino <acción 2>

● Ejemplo:

– Si A // 2 = 0

entonces es_par ← verdadero

sino es_par ← falso


Correctitud

● ¿Qué significa que un algoritmo sea correcto?

● Para cualquier valor de datos de entrada

dentro del dominio, el algoritmo deberá

“devolver” los datos de salida esperados, de

acuerdo con la finalidad de nuestro algoritmo.

● ¿Cómo podemos comprobar si un algoritmo es

correcto?


Comprobación

● Debemos probar el comportamiento del algoritmo

con distintos datos de entrada

● Esta tarea se llama comprobar o testear un

algoritmo

● Es importante tener claro cual es el dominio de los

datos de entrada y los de salida


Comprobación ● Una TRAZA de un algoritmo nos permitirá ver el

comportamiento de los datos

● Para ello ejecutamos el algoritmo para ciertos datos de

entrada, y llevamos cuenta de los cambios efectuados en

los datos cuando se ejecuta el algoritmo.

● En forma gráfica podemos utilizar una tabla que tenga a

cada dato en una columna y las modificaciones de sus

valores en las filas

● El último valor del dato es el único que vale


Comprobación

● Importante: probar un algoritmo con distintos

datos de entrada, representativos para nuestro

problema, que permitan verificar que el algoritmo

es correcto.

● Cuidado: una traza no demuestra que un algoritmo

es correcto, sólo puede mostrar su correctitud para

los valores elegidos


Condicionales anidados

SI <condicion>

ENTONCES

< secuencia de

acciones 1>

SI NO

< secuencia de

acciones 2>

SI <condicion 1>

ENTONCES

SINO

SI < condicion 2 >

ENTONCES <acción 1>

SINO <acción 2>

SI < condicion 3 >

ENTONCES <acción 4>

SINO <acción 5>



● ¿Son equivalentes los siguientes algoritmos?

CONDICIONALES

SI ( A > 10 )

ENTONCES <ACCION 1 >

SI ( B = 0 )

ENTONCES <ACCION 2>

SI ( C > 20 )

ENTONCES <ACCION 3>

CONDICIONALES ANIDADOS

SI ( A > 10 )

ENTONCES <ACCION 1>

SINO SI ( B = 0 )

ENTONCES <ACCION 2>

SINO SI ( C > 20 )

ENTONCES <ACCION 3>

REALIZAR UNA TRAZA CON A = 20, B = 10, C = 100

A = 1, B = 0, C = 100

A = 1, B = 0, C = 1



● Cada SINO corresponde siempre al SI-

ENTONCES más cercano

● Es muy importante usar la indentación adecuada.

Facilita la lectura y comprensión del algoritmo


Para resolver

● Ejercicio: escribir un algoritmo que nos devuelva

el mayor de tres números enteros. Luego de

escribirlo comprobar el algoritmo con el conjunto

de datos de entrada que le parezca más adecuado


ALGORITMO Máximo entre tres números

DE: A, B, C {natural}

DS: máximo {natural}

DA:

COMIENZO

SI (A > B)

ENTONCES SI (A > C)

ENTONCES máximo ← A

SINO máximo ← C

SINO SI (B > C)

ENTONCES máximo ← B

SINO máximo ← C

FIN ALGORITMO


Ejercicio

● Hacer un algoritmo para determinar si dos fechas

son iguales. Cada fecha se representa mediantes

tres datos, día, mes y año.


Algoritmos claros

● Es muy importante que un algoritmo sea claro, y que no

presente ambigüedades para quien lo lea.

● Para lograr esto hay que tener en cuenta una serie de

pautas de “buen estilo” para la confección de algoritmos:

– Indentación

– Líneas para agrupar en bloques

– Uso de “Fin”

– Uso de nombres representativos


Lógica proposicional:

repaso


Proposiciones ●Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Ejemplos:

–Proposición A = “Hoy es lunes”

–Proposición B = “Todas las aves vuelan”

–Proposición C = “La luz está apagada o la bombilla no funciona”.

–Proposición D = “Si hoy está nublado, entonces el el dólar se mantendrá estable”.


Lógica ●En lógica proposicional hay sólo dos valores lógicos: verdadero y falso

●Las expresiones lógicas se construyen con los siguientes tres operadores

básicos:

–Y (and) conjunción, también denotada

–O (or) disyunción, también denotada

–NO (not) negación, también denotada

Se puede determinar una tabla para mostrar todos los

posibles valores que estas operaciones definen.

Pueden usarse los dos tipos de notaciones.


Tablas de verdad ●Una tabla de verdad para un operador lógico, muestra el

resultado de todas las posibilidades.

●La tabla de verdad para la negación ( es:

A A

verdadero

verdadero

falso

falso


Tablas de verdad •La tabla de verdad para la conjunción es:

A B A y B

verdadero verdadero

verdadero falso

falso

falso falso

verdadero

verdadero

falso

falso

falso


Tablas de verdad •La tabla de verdad para la disjunción es:

A B A o B

verdadero verdadero

verdadero falso

falso

falso falso

verdadero

verdadero

falso

verdadero

verdadero


Implicación lógica ●Otro operador lógico importante es la implicación,

denotada

●Es interpretado como indicativo de

consecuencia lógica:

jugar y hacer más goles que el rival ganar.

arrojar un vaso de cristal el vaso se rompe.

●Si AB, entonces A es el antecedente de la

implicación, y B es el consecuente


Implicación lógica ●La implicación lógica también tiene tabla de verdad

verdadero falso falso

verdadero verdadero falso

falso falso verdadero

verdadero verdadero verdadero

AB B A


Expresiones lógicas

●Una expresión lógica es una proposición cuyo valor

es llamado valor de verdad.

●Por ejemplo

No hay conexion a Internet si

el cable está desenchufado o

el cable está enchufado y el modem apagado o

nos cortaron el servicio por falta de pago



●El uso de paréntesis es importante para el significado de

la expresión...

●Por ejemplo


el cable está desenchufado o

(el cable está enchufado y el módem apagado) o

nos cortaron el servicio por falta de pago



•El uso de paréntesis es importante para el

significado de la expresión...

•Por ejemplo


(el cable está desenchufado o

el cable está enchufado) y (el módem apagado o

nos cortaron el servicio por falta de pago)


Ejercicios ●Dibuje la tabla de verdad para las siguientes expresiones lógicas

–(A y B) o C

–A y (no A)‏

–A o (no A)‏

●Dibuje la tabla de verdad para la siguiente expresión lógica:

–tiene_auto y tiene_dinero y saldrá_de_viaje


Equivalencia lógica ●Dos expresiones lógicas son equivalentes si una es

verdadera si y sólo sí la otra también lo es.

(A o B) y C es equivalente a (A y C) o (B y C)‏

A B C AoB (AoB)yC (AyC) (ByC) (AyC)o(ByC)‏

v v v v v f v f v

v f f f v v

f v f f f v

f f f

v v v v v

v

f

f

v f v f v

f

f

f

v f v f f

f

f

f

v f f f v

f

f

f

v f v f v

f

f

f


Implicación lógica ●La implicación en realidad es el “resumen” de otra expresión lógica:

AB es equivalente a A ∨ B

•Ejercicio: hacer la tabla de verdad de las dos expresiones y verificar la equivalencia.


Ejercicios ●¿Es equivalente la expresión (A o B) a la expresión (A y B)?

●¿Es equivalente la expresión (A y B) a la expresión (A o B)?

●¿Es equivalente la expresión (A o B) y C a la expresión A o (B y C)?


Tautologías ●Una tautología es una expresión lógica que siempre es verdadera.

●Es decir, al hacer la tabla de verdad, todos los casos dan verdadero.

●Ejemplos:

–A∨A

–(A (B A))‏

●EJERCICIO: Hacer la tabla de verdad de la última proposición.


Ejercicios ●¿Cuáles de las siguientes expresiones denota una tautología?

–(tengo dinero y veré el partido) o (no tengo dinero y veré el partido)‏

–(estoy en Buenos Aires) o (no estoy en Buenos Aires)‏

●La negación de una tautología...¿es siempre falsa?

●¿Puede una expresión de la forma (A y B), donde A y B son

expresiones lógicas, ser una tautología?


Resumen de operadores “” Negación:

P es verdadera si P es falsa, y falsa si P es verdadera.

“” Implicación: P Q es verdadera si P es falsa o Q es verdadera.

“” Conjunción: P ∧ Q es verdadera si P y Q son verdaderas.

“” Disyunción: P ∨ Q es verdadera si P o Q son verdaderas.

“” Equivalencia: P Q es verdadera si P y Q tienen el mismo valor de verdad, i.e., son ambas verdaderas o ambas falsas.


Continuamos con los

algoritmos...


Repetición

● Problema: calcular cuantos múltiplos de un

número natural K hay entre 1 un y tope dado

● ¿Qué significa que un número N sea múltiplo de

K?

● Expresión: N//K=0

● ¿Cómo calculamos cuántos múltiplos de K hay

entre 1 y un tope dado?


Estrategia

● El primer candidato a considerar es 1.

● Voy incrementando el candidato de uno en uno,

● Si es múltiplo, incremento la cantidad en uno.

● Termino cuando el candidato es mayor al tope


Entonces... candidato ← 1

SI candidato // K = 0

ENTONCES cantidad ← cantidad + 1

candidato ← candidato + 1



candidato ← candidato + 1



. . . . . . . .


Repetir

● Claramente hay un bloque que se repite varias

veces

● ¿Hasta cuando deben repetirse estas acciones?

● Hasta que candidato > tope


Repetición

REPETIR

Acción 1

Acción 2

...

Acción n

HASTA <condición>

REPETIR MIENTRAS <condición>

Acción 1

Acción 2

...

Acción n

REPETIR <cantidad> VECES

Acción 1

Acción 2

...

Acción n


Contar múltiplos ALGORITMO ContarMúltiplos

DE: K y N

DS: Cantidad

Candidato ← 1

Cantidad ← 0

REPETIR

SI Candidato // K = 0

ENTONCES

Cantidad ← Cantidad + 1

Candidato ← Candidato + 1

HASTA Candidato > N



DE: K y N

DS: Cantidad

Candidato ← 1

Cantidad ← 0

REPETIR MIENTRAS Candidato <= N


ENTONCES



Ahora con

repetir

mientras


Repetir n veces

● Las acciones dentro de un ciclo REPETIR

<cantidad> VECES se ejecutan exactamente el

número de veces que indica la expresión

<cantidad>

● ¿Cómo quedaría el algoritmo ContarMúltiplos con

esta estructura?



DE: K y N

DS: Cantidad

Candidato ← 1

Cantidad ← 0

REPETIR N VECES


ENTONCES



Con repetir n

veces


Formas de repetición

● Las formas de repetición REPETIR MIENTRAS y

REPETIR HASTA son repeticiones condicionales

(dependen de una condición lógica o booleana)

● La forma de repetición REPETIR n VECES es

una repetición incondicional (no depende de

ninguna condición)

● La estructura REPETIR n VECES es menos

expresiva


Ciclos infinitos S ← 0

I ← 1

REPETIR MIENTRAS I>0

S ← S + 1

I ← I + 1

S ← 0

I ← 1

REPETIR MIENTRAS I>0

S ← S + I


Ciclos infinitos

● Una repetición que se realiza infinitas veces se

denomina ciclo infinito

● Puede haber ciclos infinitos si:

– el dato de control no tiene valor inicial

– el dato de control no se modifica

– la condición de corte es errónea

● Son siempre incorrectos!


Dígitos de un número

● Escriba un algoritmo para contar cuántas veces

aparece un dígito D en un número natural N.

● Ejemplo: si D = 3 y N=123, entonces D aparece 1

vez.

● Ejemplo: si D = 6 y N=6226, entonces D aparece

2 veces.


Estrategia

● Debemos examinar dígito por dígito.

● Tenemos dos operaciones que podemos usar para

“desarmar” un número:

– Obtener el último dígito: N // 10

– “Podar” el último dígito de N: N /e 10


Algoritmo ALGORITMO CuantasVeces

DE: Número, dígito {natural}

DS: Cantidad {natural}

DA:

COMIENZO

Cantidad ← 0 {inicializo acumulador}

REPETIR

SI (Número // 10) = dígito

ENTONCES Cantidad ← Cantidad + 1

Número ← Número / 10 {“podo” el último dígito}

HASTA Número = 0 {hasta que no haya más

digitos}

FIN


Ejercicio

● Escribir un algoritmo para ver si un número N

puede expresarse como la suma de números

naturales consecutivos a partir del 1

(1+2+3.. + ... K)

● ¿Con que estructura repetir puede realizarse?

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