MODUL ALJABAR LINEAR 1 - …akarpangkatcomicus.weebly.com/uploads/1/0/4/8/10489305/modul... · BAB II DETERMINAN A. Pengertian Determinan..... 22 B. Metode Perhitungan Determinan

A l j a b a r L i n e a r 1

1

MODUL ALJABAR LINEAR 1

Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR’ANI

2014

Astri Fitria Nur’ani Aljabar Linear 1

1/1/2014


DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ................................................................................................... i

BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN

A. Pendahuluan ............................................................................. 1

B. Aljabar Matriks ......................................................................... 5

C. Sistem Persamaan Linear .......................................................... 15

BAB II DETERMINAN

A. Pengertian Determinan.............................................................. 22

B. Metode Perhitungan Determinan ........ ..................................... 23

C. Sifat-sifat Determinan .............................................................. 25

BAB III INVERS MATRIKS

A. Pengertian Invers Matriks .......................................................... 27

B. Matriks Adjoint ........ ................................................................ 28

C. Sifat-sifat Invers Matriks ......................................................... 29

D. Hubungan Invers Matriks, determinan, dan Solusi SPL . ......... 31

i


BAB I

MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN

A. Pendahuluan

Bentuk persamaan linear dalam n peubah (variabel):

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

Dimana:

𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , 𝑏 = bilangan – bilangan real

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = peubah

Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah (sistem

linear m x n) adalah sebagai berikut:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

.

.

.

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

Contoh sistem linear:

1. Sistem 2 x 2

𝑥1 + 2𝑥2 = 5

2𝑥1 + 3𝑥2 = 8

2. Sistem 2 x 3

𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2

2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 4

3. Sistem 3 x 2

𝑥1 + 𝑥2 = 2

𝑥1 − 𝑥2 = 1

𝑥1 = 4

Definisi 1:

Dua sistem persamaan yang mengunakan peubah-peubah yang sama dikatakan

ekivalen jika kedua sistem itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Contoh:

𝑥1 + 2𝑥2 = 4

3𝑥1 − 𝑥2 = 2

4𝑥1 + 𝑥2 = 6

Dan

4𝑥1 + 𝑥2 = 6

3𝑥1 − 𝑥2 = 2

𝑥1 + 2𝑥2 = 4

1


Keduanya terdiri dari tiga persamaan yang sama dan sebagai akibatnya kedua

sistem persamaan ini harus memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Sehingga

kedua persamaan tersebut dikatakan ekivalen.

Jika salah satu persamaan dari sistem dikalikan dengan suatu bilangan real

bukan nol, maka hal ini tidak berpengaruh pada himpunan penyelesaian dan sistem

yang baru akan ekivalen dengan sistem awal.

Contoh:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3

−2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 1

Dan

2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 6

−2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 1

Definisi 2:

Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga jika koefisien-koefisien dari k-1

peubah yang pertama dalam persamaan ke-k semuanya nol dan koefisien dari xk adalah

bukan nol (k = 1, 2, ... ,n).

Contoh:

3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1

𝑥2 − 𝑥3 = 2

2𝑥3 = 4

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut!

Penyelesaian:

Sistem persamaan diatas memiliki bentuk segitiga, karena koefisien-koefisien dalam

persamaan kedua masing-masing adalah 0, 1, -1, dan koefisien-koefisien dalam

persamaan ketiga masing-masing adalah 0, 0, 2. Karena berbentuk segitiga, sistem ini

mudah untuk diselesaikan. Dari persamaan ketiga diperoleh:

2𝑥3 = 4

𝑥3 = 2

Kemudian substitusikan nilai 𝑥3 = 2 ke persamaan 2 sehinga diperoleh:

𝑥2 − 𝑥3 = 2

𝑥2 − 2 = 2

𝑥2 = 2 + 2

𝑥2 = 4

2


Substitusikan kembali nilai 𝑥3 = 2 dan 𝑥2 = 4 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:

3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1

3𝑥1 + 2(4) + 2 = 1

3𝑥1 + 8 + 2 = 1

3𝑥1 = 1 − 10

3𝑥1 = −9

𝑥1 = −3

Jadi himpunan dari sistem persamaan diatas adalah (-3, 4, 2).

Sembarang sistem sigitiga n x n dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti

dalam contoh. Pertama persamaan ke-n diselesaikan untuk mendapatkan nilai xn. Nilai

ini digunakan dalam persamaan ke n-1 untuk mendapatkan nilai xn-1. Nilai-nilai xn dan

xn-1 digunakan dalam persamaan ke n-2 untuk mendapatkan nilai xn-2, dan seterusnya.

Metedo menyelesaikan sistem segitiga ini disebut Substitusi Balik (back-

substitution).

Latihan:

1. Analisis apakah persamaan-persamaan berikut ekivalent atau tidak? Jelaskan!

a. 𝑥1 + 𝑥2 = 4

𝑥1 − 𝑥2 = 2

3𝑥1 − 3𝑥2 = 6

2𝑥1 + 2𝑥2 = 8

b. 𝑥1 − 2𝑥2 = 5

3𝑥1 + 𝑥2 = 1

𝑥1 − 2𝑥2 = 5

12𝑥1 + 4𝑥2 = 4

c. 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 1

2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 3

𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 7

6𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 = 9

4𝑥1 + 8𝑥2 − 4𝑥3 = 4

2𝑥1 + 4𝑥2 + 9𝑥3 = 14

d. 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0

−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2

2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −1

−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2

4𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = −2

6𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 0

3


2. Gunakan cara substitusi balik untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut:

a. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8

2𝑥2 + 𝑥3 = 5

3𝑥3 = 9

b. 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 1

𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = 2

4𝑥3 + 3𝑥4 = 3

4𝑥4 = 4

c. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 5

2𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = 1

4𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 1

𝑥4 − 3𝑥5 = 0

2𝑥5 = 2

Penyelesaian:

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

4


B. Aljabar Matriks

1. Pengertian

a. Matriks

Yaitu kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi

atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

𝐴 = 𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2 dan 𝐵 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

b. Baris

Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar / horizontal dalam

matriks.

𝐴 = 𝑎1 𝑏1 𝑐1

c. Kolom

Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak / vertikal dalam matriks.

𝐴 =

𝑎1

𝑎2

𝑎3

d. Elemen / unsur

Yaitu bilangan – bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

𝐵 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

Pada matriks B diatas, elemen/unsurnya yaitu 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐1, 𝑐2, dan 𝑐3

e. Ordo

Yaitu banyak baris dikali banyak kolom pada sebuah matriks.

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

𝐵 =

𝑎1 𝑏1

𝑎2 𝑏2

𝑎3 𝑏3

Ordo : 3 x 3 ordo : 3 x 2

𝑨𝒎 𝐱 𝒏

dengan :

A = sebuah matriks

m = jumlah baris pada matriks

n = jumlah kolom pada matriks

5


2. Macam – macam Matriks:

a. Matriks Persegi

Yaitu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom (berordo n x n).

𝐴 = 𝑎 𝑐𝑏 𝑑

matriks A berordo 2 x 2 / berordo 2

𝐵 = 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 𝑕 𝑖

matriks B berordo 3 x 3 / berordo 3

b. Matrks Baris

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris dan memuat n elemen.

(berordo 1 x n).

𝐴 = 𝑎1 𝑎2……… 𝑎𝑛

c. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom dan memuat m elemen.

(berordo m x 1).

𝐴 =

𝑎1

𝑎2

⋮⋮

𝑎𝑚

d. Matriks Skalar

Yaitu matriks yang hanya memuat satu unsur.

𝐴 = 𝑎

e. Matriks Sama

Yaitu matriks yang berordo sama dan unsur yang seletak sama.

𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

dan 𝐵 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

, maka A = B

f. Matriks Satuan / Identitas

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur pada diagonal utama bernilai 1 dan

unsur lainnya bernilai 0 (nol).

𝐴 = 1 00 1

𝐵 = 1 0 00 1 00 0 1

6


g. Matriks Segitiga atas

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur dibawah diagonal utama semuanya

bernilai 0 (nol).

𝐵 = 𝑎1 𝑏1 𝑐1

0 𝑏2 𝑐2

0 0 𝑐3

h. Batriks Segitiga bawah

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur diatas diagonal utama semuanya bernilai

0 (nol).

𝐵 =

𝑎1 0 0𝑎2 𝑏2 0𝑎3 𝑏3 𝑐3

i. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol) kecuali unsur-

unsur yang terletak pada diagonal utama.

𝐴 =

𝑎1 0 00 𝑏2 00 0 𝑐3

j. Matriks Transpos

Yaitu matriks baru yang dihasilkan dari pertukaran baris-baris menjadi kolom-

kolom atau sebaliknya.

𝐵 =

𝑎1 𝑏1

𝑎2 𝑏2

𝑎3 𝑏3

𝐵𝑡 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

k. Matriks Simetris

Yaitu matriks yang jika A = At.

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

𝐴𝑡 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

l. Matriks Nol

Yaitu matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol).

𝐴 = 0 0 0 = ∅ 𝐴 = 0 0 00 0 00 0 0

= ∅

7


m. Matriks Konyugat

Yaitu matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengganti tiap elemen dengan

konyugantnya (sekawannya).

𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑖

𝑎 𝑎 − 𝑏𝑖 𝐴 =

𝑎 − 𝑏𝑖 −𝑖𝑎 𝑎 + 𝑏𝑖

Teorema:

Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks memadai sehingga dapat

dilakukannya operasi yang ditunjukkan, maka aturan-aturan berikut akan sahih:

a. 𝐴 + ∅ = 𝐴

b. 𝐴 − 𝐴 = ∅

c. ∅ − 𝐴 = −𝐴

d. 𝐴 x ∅ = ∅

e. ∅ x 𝐴 = ∅

3. Operasi pada Matriks

a. Sifat-sifat pada Penjumlahan Matriks

Jika A, B, dan C merupakan matriks yang berordo sama, dan k, l adalah skalar

dengan k, l ϵ R, maka penjumlahan dan perkalian skalar dengan matriks

memenuhi sifat berikut:

a) A + B = B + A

Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B ϵ Mmxn yaitu:

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 …

⋮𝑎𝑚𝑛

dimana 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎𝑚𝑛 𝜖 𝑅

𝐵 =

𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛

𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛

⋮𝑏𝑚1

⋮𝑏𝑚2 …

⋮𝑏𝑚𝑛

dimana 𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏𝑚𝑛 𝜖 𝑅

Maka:

𝐴 + 𝐵 =

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 …

⋮𝑎𝑚𝑛

+

𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛

𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛

⋮𝑏𝑚1

⋮𝑏𝑚2 …

⋮𝑏𝑚𝑛

8


𝐴 + 𝐵 =

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 … 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛

⋮𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1

⋮𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 …

⋮𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛

𝐵 + 𝐴 =

𝑏11 + 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12 … 𝑏1𝑛 + 𝑎1𝑛

𝑏21 + 𝑎21 𝑏22 + 𝑎22 … 𝑏2𝑛 + 𝑎2𝑛

⋮𝑏𝑚1 + 𝑎𝑚1

⋮𝑏𝑚2 + 𝑎𝑚2 …

⋮𝑏𝑚𝑛 + 𝑎𝑚𝑛

𝐵 + 𝐴 =

𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛

𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛

⋮𝑏𝑚1

⋮𝑏𝑚2 …

⋮𝑏𝑚𝑛

+

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 …

⋮𝑎𝑚𝑛

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

b) (A + B) + C = A + (B + C)

Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B, dan C ϵ Mmxn, yaitu:

𝐴 =

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛


𝐵 =

𝑏11 … 𝑏1𝑛

⋮ ⋮𝑏𝑚1 … 𝑏𝑚𝑛


𝐶 =

𝑐11 … 𝑐1𝑛

⋮ ⋮𝑐𝑚1 … 𝑐𝑚𝑛

dimana 𝑐11 , 𝑐12 , … , 𝑐𝑚𝑛 𝜖 𝑅

Maka:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎11 … 𝑎1𝑛


+

𝑏11 … 𝑏1𝑛


+

𝑐11 … 𝑐1𝑛


𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎11 + 𝑏11 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛

+

𝑐11 … 𝑐1𝑛


𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎11 + 𝑏11 + 𝑐11 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎11 … 𝑎1𝑛


+

𝑏11 + 𝑐11 … 𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛

⋮ ⋮𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1 … 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛

9


𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎11 … 𝑎1𝑛


+

𝑏11 … 𝑏1𝑛


+

𝑐11 … 𝑐1𝑛


𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

c) (k + l) A = kA + lA

Bukti:

Ambil sembarang matriks A ϵ Mmxn dan bilangan real (k,l)

𝐴 =

𝑎11 … 𝑎1𝑛



Maka:

𝑘 + 𝑙 𝐴 = (𝑘 + 𝑙)

𝑎11 … 𝑎1𝑛


𝑘 + 𝑙 𝐴 =

(𝑘 + 𝑙)𝑎11 … (𝑘 + 𝑙)𝑎1𝑛

⋮ ⋮(𝑘 + 𝑙)𝑎𝑚1 … (𝑘 + 𝑙)𝑎𝑚𝑛

𝑘 + 𝑙 𝐴 =

𝑘𝑎11 + 𝑙𝑎11 … 𝑘𝑎1𝑛 + 𝑙1𝑛

⋮ ⋮𝑘𝑎𝑚1 + 𝑙𝑎𝑚1 … 𝑘𝑎𝑚𝑛 + 𝑙𝑚𝑛

𝑘 + 𝑙 𝐴 =

𝑘𝑎11 … 𝑘𝑎1𝑛

⋮ ⋮𝑘𝑎𝑚1 … 𝑘𝑎𝑚𝑛

+

𝑙𝑎11 … 𝑙𝑎1𝑛

⋮ ⋮𝑙𝑎𝑚1 … 𝑙𝑎𝑚𝑛

𝑘 + 𝑙 𝐴 = 𝑘

𝑎11 … 𝑎1𝑛


+ 𝑙

𝑎11 … 𝑎1𝑛


𝑘 + 𝑙 𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴

d) k (A + B) = kA + kB

Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B ϵ Mmxn dan k bilangan Real, yaitu:

𝐴 =

𝑎11 … 𝑎1𝑛



𝐵 =

𝑏11 … 𝑏1𝑛



10


Maka:

𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘

𝑎11 … 𝑎1𝑛


+

𝑏11 … 𝑏1𝑛


𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘

𝑎11 + 𝑏11 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛

𝑘(𝐴 + 𝐵) =

𝑘(𝑎11 + 𝑏11) … 𝑘(𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛)

⋮ ⋮𝑘(𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1) … 𝑘(𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 )

𝑘(𝐴 + 𝐵) =

𝑘𝑎11 + 𝑘𝑏11 … 𝑘𝑎1𝑛 + 𝑘𝑏1𝑛

⋮ ⋮𝑘𝑎𝑚1 + 𝑘𝑏𝑚1 … 𝑘𝑎𝑚𝑛 + 𝑘𝑏𝑚𝑛

𝑘(𝐴 + 𝐵) =

𝑘𝑎11 … 𝑘𝑎1𝑛

⋮ ⋮𝑘𝑎𝑚1 … 𝑘𝑎𝑚𝑛

𝑘𝑏11 … 𝑘𝑏1𝑛

⋮ ⋮𝑘𝑏𝑚1 … 𝑘𝑏𝑚𝑛

𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘

𝑎11 … 𝑎1𝑛


+ 𝑘

𝑏11 … 𝑏1𝑛


𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵

b. Jika matriks A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memadai untuk

dilakukannya perkalian matriks, maka memenuhi sifat-sifat berikut:

a) (AB)C = A(BC)

b) (A + B) C = AC + BC

c) A (B + C) = AB + AC

4. Transpos Matriks

Definisi:

Jika A adalah sembarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan At

adalah matriks n x m yang kolom pertamanya sama dengan baris pertama matriks

A, kolom kedua sama dengan baris kedua matriks A, dan seterusnya.

11


Contoh:

1. Tentukan transpos dari matriks berikut!

𝐴 = 2 3 41 0 5

Penyelesaian:

Diketahui matriks 𝐴 = 2 3 41 0 5

, maka transposnya yaitu:

𝐴𝑡 = 2 13 04 5

Definisi:

Jika A matriks berordo n x n dan A = At, maka A disebut Matriks Simetris.

Contoh:

𝐴 = 1 22 1

, maka 𝐴𝑡 = 1 22 1

𝐵 = 2 −5 8

−5 4 78 7 0

, maka 𝐴𝑡 = 2 −5 8

−5 4 78 7 0

Teorema:

a) (At)t = A

b) (A + B)t = A

t + B

t, jika A, B ϵ Mmxn

c) (kA)t = kA

t, dengan sembarang skalar k ϵ R

d) (AB)t = B

tA

t, jika A matriks m x n dan B matriks n x r

5. Invers Matriks

Definisi:

Jika A adalah matriks persegi, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB =

BA = I, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A.

(A-1

= B)

12


a) Matriks Singular

Yaitu matriks persegi yang tidak mempunyai invers.

b) Matriks Non-Singular

Yaitu matriks persegi yang mempunyai invers.

Contoh:

Apakah matriks berikut saling invers?

1. 𝐴 = 2 43 1

dengan 𝐵 = −

1

10

3

53

10−

1

5

2. 𝐴 = 3 51 2

dengan 𝐵 = 2 −51 3

Penyelesaian:

1. 𝐴 x 𝐵 = 2 43 1

−

1

10

3

53

10−

1

5

𝐴 x 𝐵 = 1

2

5

08

5

𝐴 x 𝐵 ≠ 𝐼

Jadi, matriks A dan B tidak saling invers.

2. 𝐴 x 𝐵 = 3 51 2

2 −51 3

𝐴 x 𝐵 = 1 00 1

𝐴 x 𝐵 = 𝐼

𝐵 x 𝐴 = 2 −51 3

3 51 2

𝐵 x 𝐴 = 1 00 1

𝐵 x 𝐴 = 𝐼

Jadi, matriks A dan B saling invers.

13


Latihan:

1. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut!

𝐵 = 4 3 21 −1 00 5 1

𝐶 = 2 5 4

𝐷 = 1 2 32 0 53 5 1

𝐸 = 4

2. Carilah invers dari masing-masing matriks berikut (jika ada) !

a. 𝐴 = −1 00 2

b. 𝐴 = 1 1

−1 1

Penyelesaian:

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

14


C. Sistem Persaman Linear

1. Pendahuluan

a. Sebuah persamaan linear dengan n peubah dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

b. Sistem persamaan linear dengan n peubah dan m persamaan linear dapat

dituliskan sebagai berikut:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

:

:

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

c. Diagram penyelesaian Sistem Persamaan Linear :

d. Untuk menyelesaikan suatu SPL dapat digunakan metode sebagai berikut:

1) Metode Eliminasi

Yaitu menghilangkan atau mengeliminasi salah satu peubah dengan cara

menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lain.

2) Metode Substitusi

Yaitu mengganti atau mensubstitusi suatu peubah berdasarkan nilai peubah

tersebut pada persamaan yang lain.

SPL

Memiliki Solusi (Konsisten)

TunggalBanyak Solusi

Tidak Memiliki Solusi (Tidak Konsisten)

15


Contoh:

Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y = 1

2x – y = 7

Tentukan solusinya dengan:

a. Metode Eliminasi

b. Metode Substitusi

Penyelesaian:

a. Metode Eliminasi

𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 7

x 2x 1

2𝑥 + 4𝑦 = 22𝑥 − 𝑦 = 7

5𝑦 = −5

𝑦 = −1

𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 7

x 1x 2

𝑥 + 2𝑦 = 1

4𝑥 − 2𝑦 = 14

5𝑥 = 15

𝑥 = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya (HP) = {3, -1}

b. Metode Substitusi

𝑥 + 2𝑦 = 1 ..... (1)

𝑥 = 1 − 2𝑦 ..... (2)

2𝑥 − 𝑦 = 7 ..... (3)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3) :

2𝑥 − 𝑦 = 7

2(1 − 2𝑦 ) − 𝑦 = 7

2 − 4𝑦 − 𝑦 = 7

2 − 5𝑦 = 7

−5𝑦 = 5

𝑦 = −1 ..... (4)

16


Substitusikan persamaan (4) ke persaman (2) :

𝑥 = 1 − 2𝑦

𝑥 = 1 − 2(−1)

𝑥 = 1 + 2

𝑥 = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {3,-1}

2. Eliminasi Gauss – Jordan

Yaitu suatu metode untuk menentukan solusi suatu persamaan linear dengan cara

mengubah suatu SPL dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi

matriks yang bersesuaian dengan SPL tersebut menjadi bentuk Matriks Eselon

Tereduksi.

Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks yang memenuhi 4 syarat, yaitu:

a. Bilangan tak nol pertama dan setiap baris adalah 1 ( 1 utama).

b. Kolom yang memuat 1 utama hanya memuat nol di tempat lainnya.

c. 1 utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih kanan dari pada baris

diatasnya.

d. Bila terdapar baris nol maka letaknya pada baris bagian bawah matriks.

Untuk mendapatkan bentuk Eselon baris tereduksi diperlukan Operasi Baris

Elementer (OBE) yang terdiri dari 3 operasi, yaitu:

a. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k ≠ 0.

b. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

c. Mempertukarkan 2 buah baris.

Contoh:

Diketahui SPL sebagai berikut:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5

Selesaikan SPL tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)!

17


Penyelesaian:

𝐴. 𝑥 = 𝑏

1 1 12 1 −11 −1 2

𝑥𝑦𝑧 =

615

Matriks diperbesar:

𝐴 𝑏 = 1 1 12 1 −11 −1 2

615

𝑥𝑦𝑧 =

1 1 12 1 −11 −1 2

615 ≈ −2𝑏1 + 𝑏2

≈ −𝑏1 + 𝑏3

𝑥𝑦𝑧 =

1 1 10 −1 −30 −2 1

6

−11−1

≈ −𝑏2

𝑥𝑦𝑧 =

1 1 10 1 30 −2 1

6

11−1

≈ −𝑏2 + 𝑏1

≈ 2𝑏2 + 𝑏3

𝑥𝑦𝑧 =

1 0 −20 1 30 0 7

−51121

≈

1

7𝑏3

𝑥𝑦𝑧 =

1 0 −20 1 30 0 1

−5113

≈ 2𝑏3 + 𝑏1

−3𝑏3 + 𝑏2

𝑥𝑦𝑧 =

1 0 00 1 00 0 1

123

𝑥𝑦𝑧 =

123

Jadi, Himpunan penyelesaiaannya (HP) = {1,2,3}

Catatan:

a. SPL memiliki solusi tunggal jika banyaknya 1 utama pada matriks eselon baris

tereduksi = banyaknya variabel.

b. SPL memiliki solusi tak hingga jika n (1 utama) < n (variabel).

c. SPL tidak memiliki solusi jika pada matriks eselon baris tereduksi terdapat 1

utama pada kolom paling kanan.

18


3. SPL Homogen

Yaitu bentuk khusus dari SPL 𝐴𝑋 = 𝑏 adalah bentuk khusus untuk 𝑏 = 𝜃 (nol) atau

bisa dituliskan sebagai 𝐴𝑋 = 𝜃 .

Solusi SPL Homogen :

a. Trivial

Yaitu bila SPL Homogen hanya memiliki 𝑋 = 𝜃 sebagai satu-satunya solusi.

b. Tak Trivial

Yaitu bila SPL Homogen memiliki solusi selain 𝑋 = 𝜃 .

Contoh:

Tentukan solusi SPL Homogen dengan matriks koefisien!

𝐴 = 2 −1 11 1 −14 1 −1

Penyelesaian:

𝐴. 𝑋 = 𝜃

2 −1 11 1 −14 1 −1

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 000

Matriks diperbesar:

𝐴 𝑏 = 2 −1 11 1 −14 1 −1

000

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 2 −1 11 1 −14 1 −1

000 tukar baris ke-1 dengan baris ke-2

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 1 1 −12 −1 14 1 −1

000 ≈ −2𝑏1 + 𝑏2

≈ −4𝑏1 + 𝑏3

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 1 1 −10 −3 30 −3 3

000 ≈ −

1

3𝑏2

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 1 1 −10 1 −10 −3 3

000

≈ −𝑏2 + 𝑏1

≈ 3𝑏2 + 𝑏3

19


𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 1 0 00 1 −10 0 0

000

Di dapat:

𝑥1 = 0

𝑥2 − 𝑥3 = 0

𝑥2 = 𝑥3

Misal:

𝑥1 = 𝑎 , 𝑎 𝜖 𝑅

Maka:

𝑥1 = 0

𝑥2 = 𝑎

𝑥3 = 0

Jadi, solusi SPL tak trivial.

Latihan:

1. Diketahui SPL sebagai berikut:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2

𝑥 − 2𝑧 = 1

Tentukan solusinya dengan metode campuran eliminasi dan substitusi!


2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3

4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 8

Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!

3. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:

3 2 1 12 2 4 21 0 −3 −1

𝑤𝑥𝑦𝑧

= −23

−5



2 3 11 2 13 2 1

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= −202


20



3 1 4

−1 2 31 −3 −2

𝑥𝑦𝑧 =

−21

−4



𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3

𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 5


7. Diketahui matriks 𝐴 = 3 2 22 2 31 2 4

. Tentukan solusi SPL Homogen tersebut dengan

matriks koefisien!

Penyelesaian :

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

21


BAB II

DETERMINAN

A. Pengertian Determinan

Definisi:

Determinan merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada matriks persegi.

Determinan A didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari Anxn

yang berbentuk:

𝑎1𝑗1, 𝑎2𝑗2 ……𝑎𝑛𝑗𝑛

dengan 𝑗1, 𝑗2, …… , 𝑗𝑛 merupakan permutasi dari himpunan {1,2,.... n)

Hasil kali elementer 𝑎1𝑗1, 𝑎2𝑗2 ……𝑎𝑛𝑗𝑛 akan bertanda positif jika banyaknya invers

(bilangan bulat kecil yang didahului oleh bilangan bulat lebih besar pada permutasi)

adalah genap. Sedangkan 𝑎1𝑗1, 𝑎2𝑗2 ……𝑎𝑛𝑗𝑛 bertanda negatif jika banyaknya invers

adalah ganjil.

Determinan Anxn dinotasikan dengan:

det 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 =

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 …

⋮𝑎𝑚𝑛

Contoh:

Hitunglah determinan dari:𝐴 = 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

Penyelesaian:

Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Tanda

(1,2)

(2,1)

𝑎11dan 𝑎12

𝑎12dan 𝑎21

0

1

det 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 = 𝑎11 . 𝑎22 − 𝑎12 . 𝑎21

22


B. Metode Perhitungan Determinan

1. Metode Ekspansi Kofaktor

a. Ekspansi Kofaktor sepanjang baris i

𝐴 = 𝑎𝑖1𝑀𝑖1 − 𝑎𝑖2𝑀𝑖1 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑀𝑖𝑛 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

b. Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom j

𝐴 = 𝑎1𝑗𝑀1𝑗 − 𝑎2𝑗𝑀2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝑀𝑛𝑗 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Mij (Minor elemen i, j) yaitu determinan matriks A yang sudah dihilangkn baris ke-i

dan kolom ke-j nya. Pemilihan baris ke-i dan kolom ke-j bebas.

Tanda (+) atau (-) di depan aij.Mij didasarkan pada:

1) Jika i + j ϵ genap, maka tanda (+).

2) Jika i + j ϵ ganjil, maka tanda (-).

Contoh:

Hitunglah determinan dari matriks 𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

dengan ekspansi kofaktor baris

dan kolom!

Penyelesaian:

a. Ekspansi Kofaktor baris ke-2:

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

𝐴 = −3 3 42 2

+ 2 2 41 2

− 3 2 31 2

𝐴 = −3 6 − 8 + 2 4 − 4 − 3(4 − 3)

𝐴 = −3 −2 + 2 0 − 3(1)

𝐴 = 6 + 0 − 3

𝐴 = 3

b. Ekspansi Kofaktor kolom ke-3:

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

𝐴 = 4 3 21 2

− 3 2 31 2

+ 2 2 33 2

𝐴 = 4 6 − 2 − 3 4 − 3 + 2(4 − 9)

23


𝐴 = 4 4 − 3 1 + 2(−5)

𝐴 = 16 − 3 − 10

𝐴 = 3

2. Metode Reduksi Baris

Bila A adalah matriks segitiga atau berukuran n x n

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

0 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮ ⋮0 0 …

⋮𝑎𝑚𝑛

Maka 𝐴 yang dihitung dengan mengunakan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan

diperoleh:

𝐴 = 𝑎11𝑎12 …𝑎𝑛𝑛

Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi matriks

segitiga atas dengan melakukan OBE (Operas Baris Elementer). OBE pada matriks

akan mempengaruhi nilai determinan untuk operasi:

1) Jika menukarkan dua baris maka determinannya bernilai (-). Untuk

mengembalikan determinan ke nilai semua, kalikan determinan matriks dengan

(-1).

2) Jika suatu baris dikali k ≠ 0 maka nilai determinan menjadi k kali determinan

semula. Agar nilai determinan tetap, maka kalikan determinan dengan 1

𝑘.

Contoh:

Hitunglah determinan untuk matriks 𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

Penyelesaian:

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

menukar baris 1 dengan baris 3.

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

= (−1) 1 2 23 2 32 3 4

≈ −3𝑏1 + 𝑏2

≈ −2𝑏1 + 𝑏3

24


𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

= (−1) 1 2 20 −4 −30 −1 0

≈ −1

4𝑏2

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

= −1 (−4)

1 2 2

0 1 34

0 −1 0

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

= 4

1 2 2

0 1 34

0 −1 34

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

= 4(1 x 1 x 3

4)

𝐴 = 2 3 43 2 31 2 2

= 3

C. Sifat-sifat Determinan

1. Jika Anxn matriks diagonal maka 𝐴 adalah perkalian elemen pada diagonal

utamanya.

𝐴3x3 = 𝑎 0 00 𝑏 00 0 𝑐

→ 𝐴 = 𝑎. 𝑏. 𝑐

2. Jika Anxn matriks segitiga atas / bawah maka 𝐴 adalah perkalian elemen pada

diagonal utamanya.

𝐴3x3 = 𝑎 𝑏 𝑐0 𝑑 𝑒0 0 𝑓

→ 𝐴 = 𝑎. 𝑑. 𝑓

3. Jika ada baris / kolom dari Anxn yang semua elemennya nol, maka 𝐴 = 0.

𝐴3x3 = 𝑎 𝑏 𝑐0 0 0𝑑 𝑒 𝑓

→ 𝐴 = 0

4. Jika ada 2 baris / 2 kolom / kelipatannya pada Anxn , maka 𝐴 = 0.

𝐴3x3 = 1 2 30 4 11 2 3

→ 𝐴 = 0

𝐴3x3 = 1 2 32 0 6

−1 5 −3 ≈ 𝑘3 = 3𝑘1

→ 𝐴 = 0

25


𝐴3x3 = 1 2 32 4 6

−1 −1 2 𝑏2 = 2𝑏1 → 𝐴 = 0

5. 𝐴𝑡 = 𝐴

6. 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵

7. Jika suatu baris pada Anxn dikali dengan 𝑘 𝜖 𝑅 maka determinan matriks barunya

𝑘 𝐴

8. Jika Anxn maka 𝑘𝐴 = 𝑘𝑛 𝐴

9. Apabila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka 𝐴1 = 𝐴 .

Latihan :

1. Hitunglah determinan dari matriks𝐴 =

2 0 2 21 2 3 13 02 1

23

23

dengan ekspansi kofaktor

baris dan kolom!

Penyelesaian:

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

26


BAB III

INVERS MATRIKS

A. Pengertian Invers Matriks

Definisi:

Bila A adalah matriks persegi berukuran n x n yang memiliki determinan tidak sama

dengan nol, maka invers matriks A (dinotasikan dengan A-1

) didefinisikan sebagai

matriks yang memenuhi persamaan:

AA-1

= A-1

A = I

Dengan I = matriks identitas berukuran n x n.

Invers suatu matriks adalah tunggal.

Apabila 𝐴 = 0 maka A tidak mempunyai invers.

Contoh:

Tentukan invers dari matriks 𝐴 = 3 0 10 2 12 5 3

!

Penyelesaian:

𝐴 𝐼 = 3 0 10 2 12 5 3

1 0 00 1 00 0 1

≈

1

3𝑏1

𝐴 𝐼 = 1 0 1

3

0 2 12 5 3

13 0 0

0 1 00 0 1

≈ −2𝑏1 + 𝑏3

𝐴 𝐼 =

1 0 13

0 2 1

0 5 73

13 0 0

0 1 0

− 23 0 1

≈1

2𝑏2

𝐴 𝐼 =

1 0 13

0 1 12

0 5 73

13 0 0

0 12 0

− 23 0 1

≈ −5𝑏2 + 𝑏3

27


𝐴 𝐼 =

1 0 13

0 1 12

0 0 − 16

13 0 0

0 12 0

− 23 − 5

2 1

≈ −6𝑏3

𝐴 𝐼 =

1 0 13

0 1 12

0 0 1

13 0 0

0 12 0

4 15 −6

≈ −1

3𝑏3 + 𝑏1

≈ −1

2𝑏3 + 𝑏2

𝐴 𝐼 = 1 0 00 1 00 0 1

−1 −5 2−2 −7 34 15 −6

𝐴 𝐼 = 𝐼 𝐴−1

Jadi, 𝐴−1 = −1 −5 2−2 −7 34 15 −6

B. Matriks Adjoint

Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks Cij transpos dengan Cij adalah kofaktor

elemen i,j.

Invers matriks A memiliki rumusan:

𝐴−1 =1

𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

𝐴−1 =1

𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐶𝑖𝑗 )

Dengan Cij = (-1)i+j

.Mij

Contoh:

Dengan mengunakan Adjoint matriks, tentukan invers dari 𝐴 = 3 0 10 2 12 5 3

Penyelesaian:

𝐶11 = (−1)1+1 2 15 3

= 6 − 5 = 1

𝐶12 = (−1)1+2 0 12 3

= −(0 − 2) = 2

𝐶13 = (−1)1+3 0 22 5

= 0 − 4 = −4

𝐶21 = (−1)2+1 0 15 3

= −(0 − 5) = 5

28


𝐶22 = (−1)2+2 3 12 3

= 9 − 2 = 7

𝐶23 = (−1)2+3 3 02 5

= − 15 − 0 = −15

𝐶31 = (−1)3+1 0 12 1

= 0 − 2 = −2

𝐶32 = (−1)3+2 3 10 1

= −(3 − 0) = −3

𝐶33 = (−1)3+3 3 00 2

= 6 − 0 = 6

Didapat 𝐶𝑖𝑗 = 1 2 −45 7 −15

−2 −3 6

𝑡

Dan 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 1 5 −22 7 −3

−4 −15 6

Maka 𝐴 = 3 2 15 3

+ 1 0 22 5

= 3 6 − 5 + 0 − 4 = −1

Sehingga 𝐴−1 =1

−1

1 5 −22 7 −3

−4 −15 6 =

−1 −5 2−2 −7 34 15 −6

C. Sifat –sifat Invers Matriks

1. (AB)-1

= B-1

.A-1

2. (A-1

)-1

= A

3. A-1

.A = I

Menentukan solusi SPL dengan menggunakan invers matriks, pandang persamaan:

A.x = b , dengan A-1

ada

A.A-1

.x = A-1

.b

I.x = A-1

.b

x = A-1

.b

29


Jika Anxn dan memiliki invers A-1

, maka:

1. Jika B adalah matriks A-1

yang kolom baris ke-i dan ke-j dipertukarkan maka B-1

adalah A-1

yang kolom ke-i dan ke-j juga dipertukarkan.

2. Jika C adalah matriks A yang baris ke-i dikali k, maka C-1

adalah A-1

yang kolom

ke-i dikali 1

𝑘.

Contoh:

1. Tentukan solusi SPL berikut dengan persamaan Ax = b!

3 0 10 2 12 5 3

𝑥𝑦𝑧 =

234

Penyelesaian:

Dari perhitungan sebelumnya diperoleh 𝐴−1 = −1 −5 2−2 −7 34 15 −6

sehingga:

𝑥𝑦𝑧 = 𝐴−1𝑏

𝑥𝑦𝑧 =

−1 −5 2−2 −7 34 15 −6

234

𝑥𝑦𝑧 =

−2 − 15 + 8−4 − 21 + 128 + 45 − 24

𝑥𝑦𝑧 =

−91329

Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {-9,13,29}

2. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut!

𝐴 = 3 0 10 2 12 5 3

Penyelesaian:

𝐴 = 3 0 10 2 12 5 3

→ 𝐴−1 = −1 −5 2−2 −7 34 15 −6

30


D. Hubungan Invers Matriks, Determinan, dan Solusi SPL

Pada suatu SPL Ax = b dengan A matriks persegi, terdapat hubungan antara

keberadaan 𝐴−1, 𝐴 , dan jenis solusi SPLnya, yaitu:

1. A-1

ada jika dan hanya jika 𝐴 ≠ 0, maka SPL memiliki solusi tungal.

2. A-1

tidak ada jika dan hanya jika 𝐴 = 0, maka SPL memiliki solusi tak hingga,

solusi banyak, dan tidak ada solusi.

Latihan:

1. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut:

𝐵 = 3 0 12 5 30 2 1

dan 𝐶 = 3 0 10 4 22 5 3

2. Tentukan invers matriks 𝐴 = 1 4 20 2 12 3 2

dengan menggunakan:

a. Eliminasi Gauss-Jordan

b. Matriks Adjoint

3. Tentukan solusi SPL berikut:

2 1 22 3 11 1 0

𝑥𝑦𝑧 =

321

Penyelesaian:

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

31

Documents

MODUL ALJABAR LINEAR 1 - …akarpangkatcomicus.weebly.com/uploads/1/0/4/8/10489305/modul... · BAB II DETERMINAN A. Pengertian Determinan..... 22 B. Metode Perhitungan Determinan