Modern Birkhauser Classics · 2013-07-19 · Modern Birkhauser Classics Many of the original research and survey monographs in pure and applied mathematics published by Birkhauser

Modern Birkhauser Classics

Many of the original research and survey monographs in pure and applied mathematics published by Birkhauser in recent decades have been groundbreaking and have come to be regarded as foundational to the subject. Through the MBC Series, a select number of these modern classics, entirely uncorrected, are being re-released in paperback (and as eBooks) to ensure that these treasures remain accessible to new generations of students, scholars, and researchers.

The Grothendieck Festschrift Volume III

A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of

Alexander Grothendieck

P. Cartier

L. Illusie

N.M. Katz

G. Laumon

Yu.I. Manin

K.A. Ribet

Editors

Reprint of the 1990 Edition

Birkhauser Boston • Basel • Berlin

Pierre Cartier Institut des Hautes Etudes Scientifiques F-91440 Bures-sur-Yvette France

Luc Illusie Universite de Paris-Sud Departement de Mathematiques F-91405 Orsay France

Nicholas M. Katz Princeton University Department of Mathematics Princeton, NJ 08544 U.S.A.

Yuri I. Manin Max-Planck Institut fur Mathematik D-53111Bonn Germany

Gerard Laumon Universite de Paris-Sud Departement de Mathematiques F-91405 Orsay France

Kenneth A. Ribet University of California Department of Mathematics Berkeley, CA 94720 U.S.A.

Originally published as Volume 88 in the series Progress in Mathematics

Cover design by Alex Gerasev.

Mathematics Subject Classification (2000): 00B15, 00B30, 01A60, 01A75 (primary); 11G05, 11G30, 14A20, 14C35, 14E20, 14F05, 14F10, 14F20, 14F30, 14F40, 14F99, 14G05, 14G20, 14H25, 14G40, 14H10,14G25,14H30,14H40,14H52,14K10,14L17,14M15,17B10,17B20,18B25,18F10,18F30, 19A99, 19D10, 19E08, 19E15, 19E20, 20C15, 20G05, 20G40, 32C38, 32J15, 32Q45, 32S60, 35J10, 35Q51, 35Q53, 37J35, 37K10, 58F07, 81Q05 (secondary)

Library of Congress Control Number: 2006936966

ISBN-10: 0-8176-4568-3 ISBN-13: 978-0-8176-4568-7

Printed on acid-free paper.

e-ISBN-10: 0-8176-4576-4 e-ISBN-13: 978-0-8176-4576-2

©2007 Birkhauser Boston BirUhdUSer All rights reserved. This work may not be translated or copied in whole or in part without the written permission of the publisher (Birkhauser Boston, c/o Springer Science+Business Media LLC, 233 Spring Street, New York, NY 10013, USA), except for brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis. Use in connection with any form of information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed is forbidden. The use in this publication of trade names, trademarks, service marks and similar terms, even if they are not identified as such, is not to be taken as an expression of opinion as to whether or not they are subject to proprietary rights.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

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P. Carrier L. Illusie N.M. Katz G. Laumon Y. Manin K.A. Ribet Editors

The Grothendieck Festschrift A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck

Volume III

1990 Birkhauser Boston • Basel • Berlin

Pierre Cartier Institut des Hautes Etudes Scientifiques 91440 Bures-sur-Yvette France

Nicholas M. Katz Department of Mathematics Princeton University Princeton, NJ 08544 USA

Yuri Manin Steklov Mathematical Institute Academy of Sciences USSR 117966 Moscow GSP-1 USSR

Luc Illusie Departement de Mathematiques Universite de Paris-Sud Centre d'Orsay 91405 Or say Cedex France

Gerard Laumon Departement de Mathematiques Universite de Paris-Sud Centre d'Orsay 91405 Orsay Cedex France

Kenneth A. Ribet Department of Mathematics University of California Berkeley, CA 94720 USA

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data (Revised for vol. 3) The Grothendieck festschrift.

(Progress in mathematics; v. 86, ) English and French. "Bibliographic d'Alexander Grothendieck" (v. 1.,

p. [xiii]-xx). Includes bibliographical references. 1. Geometry, Algebraic. I. Grothendieck, A.

(Alexandre) II. Cartier, P. (Pierre) III. Series: Progress in mathematics (Boston, Mass.); vol. 86, etc.

Printed on acid-free paper.

© Birkhauser Boston, 1990 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without prior permission of the copyright owner. Permission to photocopy for internal or personal use, or the internal or personal use of specific clients, is granted by Birkhauser Boston, for libraries and other users registered with the Copyright Clearance Center (CCC), provided that the base fee of $0.00 per copy, plus $0.20 per page is paid directly to CCC, 21 Congress Street, Salem, MA 01970, U.S.A. Special requests should be addressed directly to Birkhauser Boston, 675 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, U.S.A. 3487-8/90 $0.00 4- .20

ISBN 0-8176-3487-8 ISBN 3-7643-3487-8

ISBN 0-8176-3429-0 ISBN 3-7643-3429-0 (Three Volume Set)

Printed and bound by BcokCrafters, Chelsea, Michigan. Printed in the USA.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

CONTENTS

1. Anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux 1 ALAIN LASCOUX

2. New Results on Weight-Two Motivic Cohomology 35 S. LlCHTENBAUM

3. Symmetric Spaces over a Finite Field 57 GEORGE LUSZTIG

4. Le theoreme de positivite de Fir regularity pour les ^-modules 83 ZOGHMAN MEBKHOUT

5. The Convergent Topos in Characteristic/? 133 ARTHUR OGUS

6. Finiteness Theorems and Hyperbolic Manifolds 163 A.N. PARSHIN

7. /7-groupes et reduction semi-stable des courbes 179 MICHEL RAYNAUD

8. Drawing Curves Over Number Fields 199 G.B. SHABAT and V.A. VOEVODSKY

9. Sur les proprietes numeriques du dualisant relatif d'une surface arithmetique 229 L. SZPIRO

10. Higher Algebraic K-Theory of Schemes and of Derived Categories 247 R.W. THOMASON and THOMAS TROBAUGH

VI CONTENTS

11. Solitons elliptiques 437 A. TREIBICH et J.-L. VERDIER with an Appendix by J. OESTERLE

12. Linear Simple Lie Algebras and Ranks of Operators 481 Yu. G. ZARHIN

VOLUME I

Foreword

Bibliographic d'Alexander Grothendieck

De L'Analyse Fonctionnelle aux Fondements de la Geometrie Algebrique JEAN DIEUDONNE

The presentation functor and the compactified Jacobian ALLEN B. ALTMAN and STEVEN L. KLEIMAN

Some Algebras Associated to Automorphisms of Elliptic Curves M. ARTIN, J. TATE and M. VAN DEN BERGH

Cohomology of a Moduli Space of Vector Bundles V. BALAJI and C.S. SESHADRI

Sur les hypersurfaces dont les sections hyperplanes sont a module constant ARNAUD BEAUVILLE

Aomoto Dilogarithms, Mixed Hodge Structures and Motivic Cohomology of Pairs of Triangles on the Plane A.A. BEILINSON, A.B. GONCHAROV, V.V. SCHECHTMAN

and A.N. VARCHENKO

Theorie de Dieudonne cristalline III: theoremes d'equivalence et de pleine fidelite PIERRE BERTHELOT et WILLIAM MESSING

Complex Immersions and Arakelov Geometry JEAN-MICHEL BISMUT, HENRI GILLET and CHRISTOPHE SOULE

L-Functions and Tamagawa Numbers of Motives SPENCER BLOCH and KAZUYA KATO

CONTENTS vii

Bitorseurs et Cohomologie Non Abelienne LAWRENCE BREEN

Non-commutative Ruelle-Sullivan type currents JEAN-Luc BRYLINSKI

VOLUME II

Une nouvelle interpretation de la formule des traces de Selberg PIERRE CARTIER et ANDRE VOROS

Jacobiennes generalises globales relatives C. CONTOU-CARR£RE

Categories tannakiennes P. DELIGNE

On The Adic Formalism T. EKEDAHL

F-Isocrystals on Open Varieties: Results and Conjectures G. FALTINGS

Representations /7-adiques des corps locaux J.M. FONTAINE

Rectified Homotopical Depth and Grothendieck Conjectures H. HAMM and L£ D.T.

Automorphisms of Pure Sphere Braid Groups and Galois Representations Y. IHARA

Ordinarite des intersections completes generates L. ILLUSIE

Kazhdan-Lusztig Conjecture for a Symmetrizable Kac-Moody Lie Algebra M. KASHIWARA

Euler Systems V.A. KOLYVAGIN

Descent for Transfer Factors R. LANGLANDS and D. SHELSTAD

Anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux

ALAIN LASCOUX

dedie a A. Grothendieck

0. Introduction

Une variete de drapeaux relative se decompose en une suite de fibrations projectives; la combinatoire de cette variete s'obtient done a partir de celle du projectif. Bien plus, ainsi que Font montre Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, on peut se reduire a des fibrations projectives en droites, i.e. l'objet geometrique de base est la variete P(V) , ou V est un fibre vectoriel de rang 2, avec pour groupe asocie le groupe symetrique 6(2) .

La geometrie ay ant ainsi fourni des morceaux element aires, e'est a la combinatoire qu'il faut faire appel pour proceder au recollement. Con-trairement a Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous travaillons di-rectement dans l'anneau des polynomes plutot que ses quotients que sont l'anneau de Grothendieck (des classes de fibres vectoriels) ou l'anneau de cohomologie. Ce faisant, on obtient des bases (polynomes de Schubert et polynomes de Grothendieck) stables par les plongements &(n) c-> <S(?2-f 1), compatibles aux varietes de drapeaux partiels, unifiant la cohomologie et l'anneau de Grothendieck.

Ces bases contiennent comme sous-famille les fonctions de Schur, i.e. les caracteres irreductibles sur C du groupe lineaire (pour des caracteres plus generaux, voir [K-P] ) . Ce sont d'ailleurs les fonctions de Schur qui decrivent l'anneau de cohomologie de la grassmannienne : elles sont alors interpreters comme cycles de Schubert

Les fonctions de Schur peuvent s'obtenir, a la suite de Cauchy, par dia-gonalisation de la result ante Yl(cii — bj) de deux ensembles d'indeterminees {a2} et {bj}. Les polynomes de Grothendieck et Schubert s'obtiennent, quant a eux, a partir de G^ = Hi+j<n(l-bj/ai) ou X^ = Hi+j<n(ai ~ ty) a l'aide des operateurs associes aux fibrations en droites projectives men-tionnees ci-dessus (a peu de choses pres, ces operateurs ne sont autres que les differences divisees de Newton). La specialisation bj -> 1 de Gw

(resp. Xo,) est la classe d'un point dans l'anneau de Grothendieck (resp.

2 ALAIN LASCOUX

de cohomologie). II est remarquable qu'on puisse deduire de la classe d'un point celle de toutes les varietes de Schubert de la variete de dra-peaux T . On comprend mieux ce fait en partant de G^ et X^ plutot que de leur specialisation; G^ et Xw sont en effet les classes de T dans le plongement diagonal T ^ T x T. C'est pourquoi, autre difference avec Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous utilisons deux ensembles d'indeterminees plutot qu'un, quoiqu'etudiant les memes objets geometriques que ces auteurs. Pour ce qui est de la cohomologie, nous ren-voyons a [B-G-G], [D3], [L2], [L-S2] .

Au paragraphe 1, nous donnons quelques proprietes du groupe symetri-que agissant sur Panneau des polynomes (operateurs de symetrisation 7rM , M € © ( A ) ) .

Aux paragraphes 2 et 3, nous definissons les objets fondamentaux (polynomes de Grothendieck GM) dont les classes sont les classes des faisceaux structuraux des varietes de Schubert. Nous resumons ensuite (th.2.8 et prop.3.4) toutes les proprietes combinatoires connues de Panneau de Grothendieck de la variete de drapeaux pour le groupe lineaire. Les points essentiels sont l'existence d'un produit scalaire pour lequel les 7Tj sont auto-adjoints, et la remarque que tout permute (G^)^ de G^ s'annule pour la specialisation 6,- —• a% , sauf lorsque \i est la permutation maximale de 6(A) .

En 3.11, nous explicitons les permutations ("vexillaires") pour lesquelles le calcul est le meme que dans le cas des grassmanniennes et conduit a des expressions determinant ales.

Le theoreme de Riemann-Roch pour la variete de drapeaux est associe a Toperateur de symetrisation maximal TC^ . Nous nous en inspirons pour donner en 4.4 une propriete des operateurs plus generaux que sont les 7r̂ .

Le plongement de Pliicker (associe au fibre inversible LE) possede une symetrie (prop.5.2). Cette symetrie, jointe au decompte de certaines families de tableaux de Young, permet de calculer facilement les dimensions ("postulation") de l'espace des sections des puissances de LE au-dessus de toute variete de Schubert sans devoir recourir aux methodes des paragraphes 2 et 3. La fonction generatrice des postulations est une fraction rationnelle £M(z)/(l — z ) ^ ) + 1 dont le numerateur est une "z-extension" du degre pour le plongement de Pliicker ( i.e. £M(1) est le degre projectif de la variete de Schubert d'indice cj/i).

Les polynomes S^(z) admettent pour sous-famille remarquable les polynomes d'Euler.

La structure multiplicative de l'anneau de cohomologie de la grassman-nienne resulte, ainsi que Pa montre Giambelli [Gi], des formules de Pieri : Pintersection d'un cycle de Schubert avec un cycle special est une somme

ANNEAU DE GROTHENDIECK 3

sans multiplicite de cycles de Schubert. Nous montrons que cette absence de multiplicite est encore vraie dans l'anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux (th.6.4).

Au paragraphe 7, nous traduisons les resultats obtenus en termes d'anneau de Grothendieck.

Z! On note II, ..., nl les composantes d'un vecteur / G Z n ; une permutation fi £ &(n) est considered comme un morphisme de { 1 , . . . , n} dans lui-meme : { 1 , . . . , n} —• {1/i , . . . , n//} . Les operateurs operent sur tout ce qui figure sur leur gauche . Ainsi, la proposition 4.4 que nous avons ecrite

/TT^-ie = faEcu^ t T ^ " ) V*<"> dw e/e(fi)!

peut aussi se lire, si Ton prefere,

La majeure partie des resultats exposes est le fruit d'une collaboration soutenue avec M.P.Schiitzenberger.

1. Opera teurs de symetr isat ion

Soient V un fibre vectoriel de rang n + 1 sur une base quelconque M , F(V) la variete des drapeaux (complets) de V . La fibration T(V) —• M se decompose en une suite de fibrations en projectifs (cf. [Grl]), ce qui permet de decrire aisement l'anneau de Grothendieck et l'anneau de cohomologie de T(V) a partir de ceux du projectif. Cette fibration donne n + 1 fibres inversibles L\y... , L n + i sur 3-(V) , dits tautologiques .

On obtient ainsi que l'anneau de Grothendieck K(j"(F)) des modules coherents sur J"{V) est le quotient de l'anneau des polynomes (de Laurent) K[A] = K[ai, 1/ai , . . . , an+i, l / a n + i ] par l'ideal J engendre par la relation V = a\ + ••• + fln+1 (en tant que A-anneau) , ou K est l'anneau de Grothendieck de M . La classe de chaque L,- coincide avec l'image de a,-d a n s K ( ^ ( F ) ) .

Plusieurs constructions donnent ce resultat, a partir de differentes interpretations de l'anneau K[A] lui-meme : * Comme anneau de Grothendieck du classifiant de U(n) (en transposant la methode que Borel a donnee pour la cohomologie). * Comme anneau des classes de representations d'un sous-groupe de Borel dans le cas d'un groupe semi-simple deploye ( cf. [D3] ). * Comme anneau de Grothendieck T-equivariant (cf [K-K] ).

Chacun de ces anneaux est muni d'une surjection canonique sur K(^7(F)) dont le noyau est l'ideal J. Les constructions ici donnees sont

4 ALAIN LASCOUX

compatibles avec le passage au quotient par J , nous travaillerons desormais dans l'anneau des polynomes K[A] sans choisir d'interpretation a cet an-neau et nous renverrons au dernier paragraphe pour ce qui est de la geometrie.

La fibration F(V) —• M induit le morphisme suivant, note w^ , de K[A] dans K :

(1.1) K[A]3/ — ^(f/Hil-aj/oi))* £K ,

somme sur toutes les permutations /i £ 6(A) , c'est-a-dire les permutations de A = { a i , . . . , a n + i } .

En tant qu'operateur sur l'anneau des polynomes, le morphisme precedent etait utilise par Jacobi pour definir les fonctions symetriques que Ton a appele par la suite fonctions de Schur (cf. [Ma , 1.3.1] ). L'interpretation geometrique donne une factorisation de ce morphisme en un produit d'operateurs element aires correspondant a des fibrations projectives de dimension 1, ansi que Pont montre [B-G-G] et [D3].

Plus precisement, pour tout ensemble d'indeterminees totalement or-donne (dit alphabet) A = {a\ < . . . < a n + 1 } , pour tout p , 1 (ap/)(crp - 1) — i — - = f *p ap+\ — dp

c'est-a-dire, plus explicitement,

, flp+l/(-- ' flP + l > ap ' • •) ~ a p / ( « ' * ap > flP+l ' ' 0 f f • = / 7Tp

ap+\ — ap

Les symetriseurs elementaires verifient les relations de Moore/Coxeter :

/ j 3N f *P*q = ***> s i \P - q\ > 2

\ TrpTTp+lTTp = TTp + lTTpTTp + l

Ces relations entrainent que les produits de symetriseurs elementaires correspondent aux permutations, ainsi que Pindique le lemme suivant (th.l de [D2] qui ecrit L° au lieu de ir^) :

Lemme 1.4. Pour toute permutation fi £ 6(A), toute decomposition reduite fi = ora'...o~" , alors le produit K0Trai • • • ira« ne depend que de fi; il est note -K,L.


En iterant la definition 1.2, on voit que n^ appartient a Palgebre du groupe symetrique a coefficients les fonctions rationnelles en A; plus precisement, pour tout /i , il existe des fonctions rationnelles R^)T) telles que

Dans le cas ou la permutation JJL est Pelement de longueur maximum de ©(A) , note LJ , le symetriseur iru coincide avec Toperateur defini en 1.1 (cf. [L-S2], 1.9) .

Notons Ap le sous-alphabet Ap = { a i , . . . , a p } et soient Sj(f\p) les fonctions symetriques completes (ou fonctions alephs de Wronski) definies par la serie generatrice

+ OO

(1.5) £ ^ - ( A p ) = 1/(1 - zax)..- (1 - zap). — oo

Ces fonctions sont preservers par les TTP :

Lemme 1.6. 1) Pour tout p : 1 fgiTp = /TTP g

2) Pour tout j el , Sj(f\p) 7Tp = 5,-(Ap+i) .

Preuve . Le morphisme 1.2 commute avec la multiplication par les fonctions symetriques en ap et ap+i . On a done

1 1 1 1 1 7T = TT

1 — za\ 1 — zap 1 — zap 1 — za\ 1 — zap_i 1 1 1

(1 — zap)(l - zap+i) l-zai \ — zap-\

Plus generalement, etant donnes deux alphabets A et B , les fonctions completes Sj(f\ — B) sont definies par la serie generatrice

+oo

(i.7) ^z^ j(A-B)=na-^)/ii(1-^) - o o b£B a € A

Pour tout r , tout I = (17,27, ...,rJ) dans Z r , tout r-uple de paires d'alphabets ( A ^ B 1 ) , . . . , (A r ,B r) , la f'onction de Schur

6 ALAIN LASCOUX

5/(A1 - B \ . . . , Ar - Br) est le determinant

(1.8) SHA1 - B1 , . . . , A r - Br) = |Sw + k - f t (A* ~ B*)|x< fct i<„

Plus generalement, dans un A-anneau quelconque K , on pose, pour tout entier n et tout x G K , Sn(x) — (—l)nAn(—x)\ on definit alors le foncteur de Schur Si , I G Zr , par :

Kr 3(xu...,xr) — > S i ( x i , . . . y x r ) = |S*/+*-fc(a?*)|i<M<n G X

On retrouve le cas precedent lorsque K est un anneau de polynomes muni de sa structure naturelle de A-anneau (c/. [Gr2] ), les "lettres" d'un alphabet etant des elements de rang 1 de K , et un alphabet fini etant identifie a la somme de ses lettres.

Lorsque 0 < 17 < • • • < rl et que A1 = . . . = Ar = A , B1 = . . . = B r = 0 , le determinant 5/ (A, . . . , A) = Sy(A) est la fonction de Schur classique sur F alphabet A , d'indice la partition I (cf. [Ma], p.25).

Un monome a1 , pour tout I dans N n + 1 , peut se representer comme une fonction de Schur :

(1.9) SIu ( A n + 1 , . . . , AO = cfc+V' anJ ••• a¥

En effet, comme 5,(A \ {ai}) = ^ ( A ) — aiSj_i(A) , en soustrayant a chaque ligne (sauf la derniere) a,\ fois la suivante, on transforme le determinant en le produit d'un determinant d'ordre n du meme type par S(„+i)i{ai) = of |

Par exemple, ecrivant a,b,c pour aj,02,03, on a c2b°a4 = 52o4(A3,A2,A1) =

S2(A3) SX(A2) 56(A0 Si (A3) 50(A2) 55(A0 50(A3) 5_i(A2) 54(A0

a2 + b2 + c2 + ab + ac + be a + b a6

a + b + c 1 a5

1 0 a4

Dans le cas ou A<x) = Ap, et ou A(2) ) . . . ,A<n + 1),B<1), . . . lB^n + 1) sont invariants par la transposition ap , alors pour tout I € N n + 1 :

(1.10) 5j(Ap - B ^ , . . . ,tin+l) - B("+1)) *P

= 5 / ( A p + 1 - B ( 1 ) , . . . , A ( ' l + 1 ) - B ( n + 1 ) )


puisque les fonctions invariantes par ap sont des scalaires pour 7rp et puisqu'en outre Sj(f\p)7rp = 5j(Ap + i) d'apres 1.6 .

II existe des operateurs sur l'anneau des polynomes plus generaux que les ftp et verifiant les relations de Moore/Coxeter; ils sont decrits dans [L-S5] . Comme cas particulier de ces operateurs, on a les differences divisees dp :

(1.11) / —/(<rp - l ) / ( a p + 1 - ap)

_ / ( . . . ap+i, ap . . . ) - / ( . . . ap, a p +i . . . ) _ ap_j_i — a p

notees Aap par [B-G-G], A a p par [Dl], p.289 et DCp par [D3], p.78,

On a aussi les operateurs ipp = 7rp — 1 (c'est-a-dire 7rp - identite ) et les operateurs Ep = irp — dp . En fait, Ep n'est autre que 1'image de 7rp par le changement de variable a\ —* 1 — a i , . . . , a n + i —» 1 — a n + i . Par produit, on dispose done d'operateurs 3^,5^ et tp^ pour /i G S(A) .

Les permutations /i G ©(An) sont considerees comme des morphismes /i : { a ! , . . . , a n } —• {1/i, . . . ,n/i} ou comme des mots dans le monoide sur A : /i = (l/i)(2//)...(n/i) . Une permutation peut en outre se representer bijectivement par son code J = (U, . . . ,nj) £ Nn :

(1.12) V/i : 1 h k, kfj, < hfi} .

La longueur £(fi) d'une permutation est la somme des composantes de son code : ̂ (/i) = U-f ...-}-nJ; e'est le degre minimum d'une decomposition de [i comme produit de transpositions simples.

Ainsi /i : { a i , . . . , ae} —• {04, ai, 03,06,^2,^5} est notee comme le mot câiasaeâs, a pour code 301200 et pour longueur 3+0+l-|-2-f0+0 — 6 .

Si le code J de JJL est decroissant ( on dit dominant par reference a la theorie des poids) : U > ... > nj , /i est dite dominante .

Le groupe symetrique S(A n ) est canoniquement plonge dans 6 ( A n + i ) par adjonction du point fixe an+\ , i.e.

6(A„) 3 (l/i)...(n/i) — (l/i)...(n/i)(an+1) G S (A n + i )

L'ordre d'Ehresmann/Bruhat sur le groupe symetrique est defini par comparaison des facteurs gauches des permutations : fi,r] E 6 (A n ) , / i < rj si et seulement si, pour tout p tel que 1 < p < n , le vecteur reordonne en croissant de {1/i, . . . ,p/i} est inferieur, composante a composante, au vecteur reordonne en croissant de {IT/, . . . ,pry} (cf. [E] ). La comparaison des facteurs droits des permutations donnerait le meme ordre. Un raffine-ment en est decrit dans la note 2.

8 ALAIN LASCOUX

Ainsi, les reordonnes des facteurs gauches succesifs des permutations 2314, 4132, 4231 sont respectivement

/z =2314 —• 2, 23, 123, 1234 i/ =4132 —• 4, 14, 134, 1234 C =4231 —• 4, 24, 234, 1234

et Ton a done // < £ , v < £, mais non \i <v puisque 23 et 14 ne sont pas comp arables.

L e m m e 1.13. Pour toute permutation fi G ©(A),

*, = 5 > „ & ̂ = E(-1)'("M(")7r»

Preuve . Soient // G G(A),cr transposition simple telle que £(fia) > £(fi). On a done 7 ^ = ir^ 7ra , et par l'hypothese de recurence, 7 ^ = (Y2TI<V ^V) ' C71"*) • D'apres la propriete d'echange [B], IV.1.5), Pintervalle [identite, fia] se decompose en trois sous-ensembles : ©i = {v : v & i/cr <

/*} , ©2 = {£ : i < li & ^ £ li} et 6 3 = {< : C £ A« & <> < /*} • L'expression de n^ se decompose done en deux parties :

La sous-somme ]T Vv es^ invariante par ira puisqu'elle Test par a . Ecrivant ITa = 1 + $0 j o n obtient pour la deuxieme partie

Z ^ ̂ = Z ^ + Z ^ = Z ^ + Z ^ c ce qui demontre la premiere partie du lemme; la deuxieme s'obtient par la meme recurrence. I

Soient E = (n, n - 1 , . . . , 1,0) G N n + 1 et * involution A -> A_1u;, i.e. a;- —• l / a n + 2 - j , 1 < J < n -h 1. Se reportant a la definition 1.2, on voit que les operateurs elementaires verifient

(1.14) w o ' £ f i a £ w = - i ( J j a ; ,

(1.15) JUTJ & = flWjW

Par produit, on a done les deux involutions suivantes :

Lemme. — Pour tout // G 6(A), on a

(1.16) w a - E TTM aE UJ = ( - 1 ) ^ t/Wu> ,

( 1 . 1 7 ) • TT/x A = TT̂ /xa;


2 . P o l y n o m e s d e G r o t h e n d i e c k

K[A] est un module libre sur l 'anneau des polynomes de Laurent symetriques en A; une base de ce module consiste en les monomes aY ' ' ' an+l » a v e c 0 < l / < n , 0 < 2 J < n - l , . . . 0 < ( n + l ) / < 0 (c/. [Grl] ). Une autre base (la matrice de changement de base est triangu-laire de diagonale 1) est celle des polynomes de Schubert (cf. [L-Sl]) dont les classes dans l 'anneau de cohomologie de T(V) sont les cycles de Schubert. Nous definisssons dans ce paragraphe une base plus adaptee a l 'anneau de Grothendieck.

Soient B = { 6 i , . . . , 6 n +i} un deuxieme alphabet de meme cardinal que A , K[A,B] l 'anneau des polynomes de Laurent en A et B . On definit les polynomes (doubles) de Grothendieck G^ , / i G 6 ( A ) , par :

/ 2 JN f G " = r i i + i < n + l ( 1 - bi/aj) \ G^ = Gw wWp

ou it up est l 'operateur associe a la permutat ion w/i G ©(A) ; on aura a l'esprit que les operateurs n^p sont K[6 l 5 l / 6 i , . . . , l /6 n + 1]- l ineaires . Le polynome de Grothendieck (simple) Gp est l'image par la specialisation £B : b\ — • • • = 6 n + i = 1 de G^ , i.e. G^ = G M £ B -

Comme les fonctions symetriques en ap et ap+\ sont invariantes par par 7TP , d'apres 1.6 1), on a done pour toute fi G (5(A) , tout p tel que 1 GM = G^ ap = G^ 7rp .

Similairement, les polynomes adjoints H^ , pour /i G ©(A), sont definis par

(2.3) Hw = f j ( l - a n + 2 . , 7 6 , . ) , *+j<n+l

(2.4) HM = Hw Vw .

Sur K[A,B] on definit le produit scalaire < • | • > par

(2.5) P , Q G K [ A , B ] => = P Q T T „

Aux notations pres, e'est le produit scalaire utilise dans [L-Sl], [L-S2]. D'apres 1.1), on peut calculer 7TW en sommant sur toutes les permutat ions

fi dans (5(A) :

(2.6) = ^ ( P Q / J J ( l - a i / a i ) ) / i

10 ALAIN LASCOUX

Lemme 2.7. Pour tout \x dans 0(A), les operateurs -K^ et n^-i sont adjoints.

Preuve. Les operateurs 71̂ s'ecrivent comme produit d'operateurs elementaires; il suffit done de demontrer le lemme pour ceux-ci. On veut done pour tout f, tous P, Q G K[A, B], Pidentite < Pwi \ Q > = . Or < PiTi\Q >= (PniQ)'KUj — (P 7Ti Q) TTi T^ puisque 7^7^ = 71̂ . Le polynome P7T,- , etant invariant par cr,- , commute avec 7r,- et done (PvfiQiCi = Qv^P-Ki) = (Q*i)(P*i) • Finalement, < PTT£ | Q > = < P7Ti I Q7T; > , d'ou par symetrie, < PTT,-1 Q > = |

Comme les G^ sont definies comme images par les operateurs ir^ de Gw et que les operateurs 7T; sont autoadjoints, il est clair que les produits scalaires < P|GM > , pour // dans 6(A) et P dans K[A,B] , se calculent a l'aide des seuls < P|GW > , P G K[A, B] .

Le theoreme suivant montre plus precisement que les H^ sont la base adjointe des polynomes de Grothendieck G^ (on note 0 la specialisation 61 —+ ai , . . . ,6n+i —* fln+i; w0uj est done la specialisation &i —• o,n+iy... , 6 n + i —• a i ) .

Theoreme 2.8.

1) VPG K[A,B] , PGUJTTU;0 = PLOOLO

2) VPG K[A,B] , PUU}*KU}0 = PO

3) V//, C G 6(A) , < H ^ I G^ > = 1 ou 0 selon que /i = £ ou non

4) V P G K [ A , B ] , P = ^ P H ^ T T ^ G ^ ^ P ^ H ^ G ^

A*€5(A) /i

Preuve. Pour 1) et 2) , on remarque que lorsque ji / u , au moins un des facteurs lineaires de G^ /i s'annule par la specialisation 0 et done G^ fi0 — 0; il en est de meme pour H^/ifl lorsque // 7̂ U>CJ . Calculant Taction de l'operateur ?rw0 a l'aide de 2.6, on voit que la sommation pour le polynome PG^ (resp. PH^ ) se reduit a un seul terme. |

On demontre 3) par recurrence sur la longueur de /i . II convient tout d'abord de remarquer que pour tout couple \i,v le produit scalaire < GÎH^ > ne depend pas de A. En effet, G^H^ est une combinaison (a coefficients dans B) de monomes a}7 •• - a ^ i , avec — n < II < 0 ,


—n + 1 < 27 < 1 , . . . ,0 < (n -f 1)7 < n . L'image d'un monome a1 , pour 7 tel que — n < 17 , — n -f 1 < 27 , . . . , 0 < (n + 1)/ est la fonction de Schur Siv([\). Le determinant 1.8 definissant cette fonction a deux colonnes identiques, sauf lorsque les entiers 17 + n,27 -f n — 1 , . . . , (n -f 1)7 + 0 sont tous differents (ces entiers sont les indices dans la premiere ligne du determinant). Dans ce dernier cas, cet ensemble de n + 1 entiers compris entre 0 et n est l'ensemble { 0 , 1 , . . . , n} a permutation pres, ce qui implique qu'alors la fonction de Schur soit egale a ±5o-o(A) = ± 1 . Ansi done, Passertion 3) du theoreme est equivalente a

3') V/i,C G 0(A) , < H ^ | G^ > 9 = 1 ou 0 selon que /i = ( o u non

Montrons maintenant que < G^ | H^ > 9 = 0 si £ ^ identiie\ en effet < G^ | H^ > 9 = G{0 d'apres 2) . Or tout symetriseur TT̂ s'exprime comme une combinaison lineaire (a coefficients rationnels en A) de permutations V : V < A* > e^ done G^ 9 est une combinaison lineaire des G^ rj 9 avec r] £. La nullite de ces derniers lorsque £ îdeniite entraine celle de < G^ | Ho, > 9. Lorsque £ = identite , G^ = 1 et Ton verifie directement que < 1|HW > = 1.

Soit alors /i telle que pour tout £ ^ ji , on ait < G^ | H ^ > = 0 et telle que < G^ | H ^ > = 1 . Soit de plus a — crt- une transposition simple telle que £(fur) > £(fi). Alors Hw/i<7 = H ^ ^ t et done

' ' 1<H U , ^ | 0> smon

puisque G 7̂r,- = G ^ ou G^ suivant que (̂C "̂) < ^(C) o u n o n - On ne peut done esperer de non nullite que lorsque £cr ou £ est egale a \i\ il reste seulement a constater que < Hw/i<7 | G^ > = 0 puisque £(ncr) > £(/i) et que < H L ^ | Gpa >=< H ^ | G^ - G ^ > = < H ^ | G^ > = 1. | |

Chacun des ensembles {G^} et {H^} etant de cardinal n + 1 ! , la propriete 3) montre que ce sont deux bases adjointes de K[A, B] en tant que module libre sur le sous-anneau des fonctions invariantes par 6(A). On a done le developpement

12 ALAIN LASCOUX

Comme = = < P^-ilHu) > , on peut aussi ecrire

ce qui termine la demonstration du theoreme I I I

Les polynomes H^ et G^ sont echanges par Involution & : a; —+ l/an+2-i 5 bj —• 1/bj , que nous continuons a noter comme sa restriction a K[A] vue au paragraphe 1. Plus generalement :

Lemme Pour toute [i £ ©(A) on a

1) Ho; Tty = G^v & ,

2) (-l)«uriHltu,u> = Gu,tiaEb-E .

P reuve . On vient de remarquer que H^ = G^Jfc; il s'ensuit que Jit Jit = &uiruliUJlt , d'apres 1.7, ce qui donne i).

Par ailleurs, ( - 1 ) ^ " ^ u = ( - 1 ) ^ " ^ rpw UU}uj , expression que Ton

transforme grace a 1.16 en (—l/^ 'H^ u a~E w^ aE UJ u = G^ b~E ir^ aE

= G„,aEb-E. |

Le polynome G^ est un produit de facteurs lineaires et cette propriete est partagee par les polynomes G^ suivants :

Lemme 2.10. Soil \i une permutation dominante de code J (i.e. telle que \J > 2J > • • • ) . Alors

G„ = (1 - h/ai) • • • ( ! - 6 u / a i ) ( l - 6i/a2) • • • ( ! - b2J/a2) • • • .

Preuve . On peut trouver une chaine, de w a /i , de permutations dominantes. On est done ramene par recurrence a calculer G ^ = GM irp

pour fi dominante et p tel que pJ — (p + 1) J + 1. Comme alors 6^ / (1 — bpj/dp) est symetrique en ap et a p + i , son image est done egale a (1 - bpJ/ap) 7Tp G / i / ( l - bpJ/ap) . |


Exemple. Pour ©(3), on a les polynomes de Grothendieck suivants, en ecrivant A = {a, b, c} et B = {x, y, z}. De fait, seule la permutation fi = 132 n'est pas dominante.

*"l /

»231 = ( l - f ) ( l - f )

T2 I

G2i3 = ( l - f )

G32i = ( l - f ) ( 1 - f ) ( l - | )

G 123 = 1

( l - f ) ( l - ! ) = G3i2

TTi

(1 - ff) = G132

/ *"2

^ 1 /

H, « = * ( ! -

V>2_

f)( l -§)

H2i3 = f ( l ~ Jf)

tfl \

H 3 2 1 = ( l - f )

( i - D ( i - t )

\ 4>2

f (1 " f )(1 " | ) = H312

V>i

(1 - f ) = H 132

H 123 = bcc xxy

S V>2

On peut verifier Passertion 2.8 2) pour P = a , par exemple, ecrivant 71-̂ = 7r2 71"! 7r2. En effet aHw = a(l — c/x){\ — b/x){\ — c/t/)-^*a(l — c/x) x (1 - b/x)^(l - c/x){a + b - ab/x)^+a + b + c - (ab + ac)/x - bc/x +

g

abc/xx—>a -\-b-\-c— {b-\-c)~ be/a -f be/a = a .

De meme, a titre d'exemple de 2.8 3), et du fait qu'il n'est pas necessaire de specialiser le produit scalaire par 9 , on a < G132 I H312 > = 1; en efFet, dans le produit (1 — xy/ab)^{\ — c/x — b/x + bc/xx), seul le monome (—xy/ab)(—cc/xy) a une image non nulle par irw ( et egale a l ) .

14 ALAIN LASCOUX

3. Postulat ion

Les polynomes de Grothendieck ont ete obtenus comme images par les ftp de Pelement G^ = rL+j<n+i(l "~ î/aj)- On peut se proposer de les exprimer en fonction des images des monomes en A par les ir^ .

Le theoreme 2.8 montre qu'en fait chaque operateur ir^ peut lui-meme s'interpreter comme le produit scalaire avec le polynome de Grothendieck G ^ . En effet, d'apres 2.8 1) , et puisque 7r̂ est adjoint de TT^-I , on a la suite d' egalites : a^V^-i = aI7rfi-iu9u =< a ^ - i | G^ > 9 =< a1 | Ga;7T/i > 9 =< a1 | Gw/i > 9 , c'est-a-dire qu'on a le lemme suivant :

Lemme 3.1. a171^-1 = a1 G ^ 71̂ 9

La specialisation SB ' bj —• 1 de ce lemme est due a [D3], th.2, p.87.

Lorsque I est dominant (i.e. 1/ > 21 > • • • > (n -f 1)/ > 0) , le polynome a1 w^-i admet Interpretation geometrique suivante : le fibre

inversible L1 = L}7 0 L f 0 • • • 0 ^n+i a s a cohomologie, au-dessus de toute variete de Schubert Schubup, concentree en degre 0 (cf. [D3], t h l , p.84 et [Se], thl , p.362); la classe de cet espace de cohomologie 7i°(S'cA«tu,Ai,L

I) dans l'anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux est done a1 GWfl 7^ £B = a17^-1.

Si v E ©(A) stabilise a1 , alors aIfKVVi = a/7r/i. Pour tenir compte du stabilisateur de I , c'est-a-dire des repetitions des parts de 7, on definit inductivement les Tj G Z[A],7 G N n + 1 , comme suit :

( v f 7 dominant => T/ = a1

C } 1 3 p : t p < ip+i => TT = TIapirp

Ainsi, pour ©(3), il n'y a que trois images dhTerentes du monome a\a\al = T533, a savoir T533 = ^533^2; ^353 = T533 TTI = I533 a ^ i ; X335 = T533 7T17T2 = T533 7ri7r27T3 .

Si 7 est une partition (i.e. 0 < 1/ < 27 < ... < (n + 1)7 ) , alors T> est la fonction de Schur classique ^/(An+i). La formule des caracteres de Demazure [D2], prop.4, s'ecrit, dans le cas du groupe lineaire :

Theo reme 3.3. Soient I dominant , acr' - - a" une decomposition (non necessairement reduite) de Velement maximal u) de ©(A). Alors a1 , a771V > aJ7raTrai,..., al-Ka-Kai • • • 7iv> = Sju,(A) est une suite croissante de polynomes dans Z[A].


( On ecrit P > Q pour deux polynomes si les coefficients de P — Q sont

>o).

On a ainsi la suite croissante suivante : a\a2 = T210—^120 = a\a>2{ai + a 2)-^Tio2 = al(a2 + a3) + a1(al + a2a3 + al)^1+To12 = XT alaj -\-â1a2a3.

On a en fait une propriete de positivite plus forte que 3.3 :

Proposition 3.4. Pour tout I dominant, toute permutation /i , le polynome

a'W = £(-l)«">-Wx„

a ses coefficients positifs ou nuls (la somme s'effectuant sur toutes les permutations dans Uintervalle [id,//] pour Vordre d'Ehresmann/Bruhat).

Ainsi, pour I = 210,// = 321, le polynome T2\Q 1P321 = ^012 - T102 -T021 + T120 + T2oi - T2io est positif (il est egal a a2al) .

Nous ne demontrerons pas la proposition 3.4 que Ton trouve dans [L-S3], th.5, comme corollaire de l'extension a Talgebre libre (i.e. en variables non commutatives) des fonctions Tj (qui coincident alors avec les "bases standard" de [L-M-S]; voir Note 1).

L'expression 1.13 de 7rM en fonction des tp^ entraine le corollaire suivant :

Corollaire 3.5. Pour tout I dominant, toute permutation fi ,

a^ = ] C f l / ^ •

On retrouve bien ainsi le theoreme 3.3 puisque dans le cas d'une permutation // et d'une transposition simple a telles que £(/J>o~) = £(fj.) -f 1 , on a

v

somme sur toutes les permutations 77 £ [idy fia] \ [id, //] .

Dans la suite croissante 3.3, les deux termes extremes sont des fonctions de Schur (au sens 1.8), c'est-a-dire la suite interpole entre le monome a1

et la fonction de Schur Sju(A). En fait, d'autres termes de cette suite sont aussi des fonctions de Schur, ceux correspondant aux vecteurs vexillaires (definis ci-dessous) :

16 ALAIN LASCOUX

Definition 3.6. 7 G N n + 1 est vexillaire ssi 1) pour tout h : 1 < h < n, l'megalite hi > (h -f 1)7 implique hi > kl ,

pour tout k > h. 2) l'inegalite hi > kl implique card {j, h < j < kkjl < hi} < hi — kl.

A tout 7 G N n + 1 on associe un deuxieme element J G N n + 1 comme suit :

(3.7) hJ = max{j : h < j <n + lyhl < jl]

Soit enfin 7D 1'element de N n + 1 : (17D > 2ID > • • • > (n + 1)ID) reordonne de J , i.e. tel que {17D, . . . , (n + 1)ID} = {1J , . . . , (n + 1)J} . Le drapeau { A ^ D , A 2 /D> •••)^(n+i)/D} es^ ^ drapeau associe a 7 [L-S4].

Lemme 3.8. Soient I G N n + 1 vexillaire, 7R la 'partition obtenue en reordonnant I , {AUD> •••> A(n+i)/D} le drapeau associe a I . Alors

Tj = 5 , / R ( A 1 / D , A 2 / D ) • • •, A(n+i)JD) •

La preuve consiste a exhiber une chaine : 7i —• 72 —• • • • —• h — I telle que 7i soit dominant, que pour tout /i, 7̂ soit vexillaire et qu'il existe une transposition simple ah : T/fc+1 = Tih7rah. On peut alors appliquer repetitivement 1.10 et obtenir le determinant cherche; cette preuve est exactement la me me que pour les polynomes de Schubert vexillaires, au changement des 7rt- en les d{ pres; nous renvoyons a [Wa], th.2.3, avec la reserve que le drapeau construit par cet auteur ne coincide avec le drapeau associe au code de fi que dans le cas vexillaire . |

Par exemple, pour n = 8 et 7 = 000 353021 , on trouve J = 999 656 989 et 77} = 999 998 665 ce qui montre d'apres 3.8 que T00035302i = 5ooooi2335(A9, A9j A9, A9, A9 ,A8,A6 ,A6 ,A5) = 5i2335(A9, A8, A6, A6, A 5 ) .

Pour atteindre tout 7 G N n + 1 , on a besoin de 1'image de fonc-tions de Schur dans un cas plus general que 1.10, c'est-a-dire dans le cas ou il y a plus d'une colonne du determinant 1.8 qui ne soit pas invariante par 7rp . Par exemple, T4602 = 5246(A4, A2, A2) est vexillaire; son image par 7r2 , T4062 s'obtient en ecrivant A2 = A3 \ {03} , d'ou T4602 = 5246(A4, A3) A3) - a35236(A4, A3, A3) - a35245(A4, A3, A3) + «35,

235(A4, A3, A3). Comme ag7r2 = 1,03^2 = 0 et 03^2 = —^2^3^ on tire T4062 = 5r246(A4, A3, A3) - a2a3S

,235(A4, A3, A3).


La me me methode conduit a 1'expression de tout Tj comme une somme de fonctions de Schur, somme qui ne nous semble presenter de proprietes remarquables qu'en liaison avec Pensemble des decompositions reduites de la permutation dont I est le code (cf. [St], [E-G] et [L-Sl] ). Cela met en jeu une combinatoire differente de celle de cet article et pour cette raison, nous ne Paborderons pas ici.

Comme d'apres 3.1, aJ/ir^-i est egal a la specialisation par 9 de aJGa>/i7r^ , il est plus interessant de calculer, au lieu des Tj , les fonctions aJGw/i7rw. Tout d'abord, on a le lemme

Lemme 3.9. Soient p : 1 Ju. Alors

a1 uGp = 5 / (A n + i - B( n + 1 ) j , . . . ,A i - B u ) .

En efFet, m > j => Sm(x - Bj) = xm~iSj(x - B;) = xm-i(x - bx) • • • x (x — bj) . Soustrayant {a\} = f\\ dans toutes les lignes , sauf la derniere, du determinant 5 / (A n + i — B ( n + i ) j , . . . , Ai — Bu) on obtient comme derniere colonne (posant (n -f 1)7 = i , 1J = j) le vecteur

5i+n(-BJ-),...,5,-+i(-BJ-) , Si(ai-Bj),

i.e. 0 , . . . ,0, a\~J(a\ — b\) • • • (a\ — bj)] on peut transformer de meme le cofacteur de 5,(ai — B ;) , et Ton obtient en fin de compte comme valeur du determinant le produit de aJo; par un polynome qui n'est autre que G„ I

Le monome ai...an+i etant un scalaire pour les operateurs 7Tj , le lemme 3.9 a pour corollaire, pour toute permutation /i :

(3.10) (ai • • • an+l)n G^ = Sn.n (A„+i - B 0 , . . . , Ai - Bn) TT^

Certains des polynomes (a\ • • •a n+i) nG / i sont des fonctions de Schur, par exemple d'apres 3.9, dans le cas ou /i est une permutation dominante. La propriete 1.10 autorisant la presence d'un drapeau B invariant par les (Tj , la meme methode que pour 3.8 et que nous n'avons fait qu'esquisser, conduit a la proposition suivante plus generale qui montre que les polynomes de Grothendieck associes a des permutations vexil-laires sont a un facteur (a\ •••an_|.i)n pres des fonctions de Schur. C'est le cas en particulier de toutes les permutations correspondant aux sous-varietes de Schubert des grassmanniennes; il serait interessant de car-acteriser geometriquement les autres permutations vexillaires.

18 ALAIN LASCOUX

Proposi t ion 3.11. Soient /i une 'permutation vexillaire, I son code, {AUD> • • • >^(n+i)/D} ê drapeau d'alphabets associe a I . Soit r/ la plus petite permutation dominante rj > /i telle que £(r}) — £(rj^lfi) = £(fi) , H le code de 77 . Alors

(ai • • • a n + i ) n G ^

Exemple. rj = 3412 est monomiale de code 2200 = i / ; on a done (ai...a4)3G34i2 = £3333(^4, A3, A2 - B2, Ai - B2); l'image par 7r2 de cette identite est (ai...a4)3G3i42 = £3333^4, A3, A3 - B2, Ai - B2) , puis par TTi, (ai...a4)3G1342 = 53333(A4, A3, A3 - B2, A2 - B2) = 53333(A4, A4, A3 -B2, A3 — B2). Or /i = 1342 a pour code 0110 , ce qui par 3.7 donne la suite J = 4334 (cf. 3.7) et le drapeau {A4, A4, A3, A3} ainsi que requis par 3.11 .

On trouve ainsi, pour 6(4) et en ecrivant /1 : ijh\klm au lieu de (aia2a3a4)3G^ = S,

3333(A4, At- - B*, A;- - B/, A& - Bm) , les 23 polynomes vexilaires suivants : 4321 : 321 2431 : 322 4213 : 321 3142 : 331 1423 : 322 1324 : 322

123;3421 : 321 113,3241 : 321 013;1432 : 332 022; 4123: 321 003,2314:321 002,2134:321

122,4231 : 321 112,3412 : 321 023,2341 :321 003,3214:321 011,3124:321 001,1234:321

113,4312:321 022,4132:331 111,2413:322 012; 1342: 332

002;1243 : 333 000 .

023 023 013 022 003

Seule fi = 2143 n'est pas vexillaire; partant de 322|013 = (a1a2a3a4)

3G24i3 = £3333^4, A3,A2 - B1} A2 - B3) = S3333(A4, A3, A3 - Bi, A3 - B3) - a353323(A4, A3, A3 - Bi, A3 - B3) —a3S ,

3332(A4,A3,A3 — B l 5A3 — B3) + a3S3322(A4 ,A3 ,A3 — Bi,A3 — B3) , on deduit par 7r2 la valeur manquante

(a ia 2a 3a 4 ) 3G 2 i 4 3 = 53333(A4, A3, A3 - Bi, A3 - B3)

-a2a3 5,3322(A4, A3, A3 - Bi, A3 ~ B3)

puisque a3 7r2 = 0 et a\ 7r2 = —a2a3 . Explicitant, on trouve finalement 1'identite G2i43 = G2i34 • Gi243 qui se deduit aussi du theoreme 6.4.


4. Theoreme de Riemann-Roch

Le theoreme de Riemann-Roch exprime la compatibility des projections de l'anneau de cohomologie et de l'anneau de Grothendieck de F(V) sur sa base. Plus precisement, d'apres [Gr2] :

Theoreme (Riemann-Roch). Le pentagone suivani est commutatif:

£ h Todd K ( W ) • H(^(V)) • H(^(V))

(4.1) i / Ch

K(Base) • H(£ase)

Les fleches verticales commutant a la multiplication par les fonctions symetriques en A , le pentagone de Riemann-Roch/Grothendieck est induit par Theptagone commutatif suivant :

Ch Todd K(?(V)) - K[A] - = - H[[T]] ^ = > H [ [ T ] ] - H(F(V))

Ch (4.2) K(5ase) • H(£ase)

ou T = {71 , . . . , 7n+i} est un alphabet supplement aire, H[[r]] l'anneau des series formelles en T , ou Ch est le morphisme de Chern a,- —• exp(ji)i 1 ^ le morphisme / —• £ [/a^/ACA)]", 0W le morphisme / —• £ [ / /A(r)]M , la premiere somme s'effectuant sur toutes les permutations de 6(A), la deuxieme sur celles de 6 ( r )

Preuve . On a bien

^ « S k = E [ a < i ( 1 _ f l i / f l < ) ] ' , S k = E [ r L < i ( l - e ^ ( 7 i - T / = X I [/"ChToddfl/Afr))]^ = fChTodd<9„, ,

ce qui montre 4.2 et done Riemann-Roch dans le cas d'une fibration en varietes de drapeaux ( la par tie difficile de ce theoreme est le cas d'une immersion fermee, cf. [Gr2] ).

20 ALAIN LASCOUX

On peut alors se poser la question : par quoi remplacer le diagramme 4.2 dans le cas d'un operateur ir^ an lieu de 7rw ?

Pour apporter une reponse (dont nous n'avons pas d'interpretation geometrique), nous allons tout d'abord ecrire differemment la compati-bilite entre w^ et do,. Introduisons une indeterminee supplemental u et definissons CH comme le morphisme CH : a,- —» exp(wyi), 1 < i < n + 1. Soient V la derivee usuelle par rapport a u (operant sur sa gauche!) , e la specialisation a\ —• l , . . . , a n + i —* l ,u —• 0 . On remarquera que V commute avec les differences divisees 3,- : / —• (fai — /)/(7*+i — 7,) .

L e m m e 4.3. Pour tout f G K[A] , on a

firwe = faEcuVl^dwe/£(uj)\ .

Demonstration. II suffit par linearite de verifier l'assertion pour un m o n o m e / = a7 . Posons7 + £ = (17 + n, 27 + n- 1 , . . . , (n + 1)7 + 0) = J . Alors fiTu est la fonction de Schur d'indice Iw , dont la specialisation (par e) est A(J)/A(E) ( i.e. Uh<kUh - jk)/n\ • • -0!; cf. [Ma] Ex.4, p.28 ) .

D'un autre cote , ^,(—1)*M [aJCH] est le developpement du determinant lexpiujklh)]^^^ , et est done egal a

?i ' (a ; ) r ( - l ) ^ ) A ( J ) [ 7 f . . . T o f + termes de degre A(#) ^ v ' v / L / i , n + 1 J en u superieur a l{u)

On a done

aI+ECKdw = £ ( - l ) ' ( " V c H ] 7 A ( r )

= u ^ A ( J ) / A ( £ ) + t / ( a , ) + 1(- ' - ) .

La fonction aI+E CH dw V1^ e/l{w)! se reduit en fin de compte a (u1^ Vl^/e(u>)!) (A(J)/A(E)) I

Le lemme precedent est a rapprocher de la "Formule des dimensions" de Weyl [We] .

D'apres la formule de postulation 3.1 ,

ft^-ie - fGupTCwe .

Posons 0 ^ = Gup CÎKU) ( e'est-a-dire on limite a l'ordre t(u>) en u le

developpement de G^p CH ).


Par exemple, pour 6(3), avec T = {a,/?,7}, on a 032i = u3a2fi; 0231 = u2a/3 - u3af3(a + /?)/2; g3i2 = ti2a2 - u 3 a 3 ; 02i3 = «a - u2a2/2 + w 3a 3 /6; 0132 = «(a + /?) - u2(a + /?)2/2 + " 3 ( a + /?)3/6; 0 i 2 3 = 1.

II est clair que Qû~1^ est un polynome; combinant alors 4.3 et 3.1 , on obtient :

Proposi t ion 4.4 . Pour tout f G K[A] , on a

f7r^s = faECHQu,,u-l^VlMd„e/£(ti)\ .

Ainsi, pour 6(3) et / = a\a\a\ , le membre de gauche de 4.4 s'ecrit a\a\a\ 7r23i e ~ a[a\a\ 7r27r3£ = Si47(A3, A3, A2)£ = 22; celui de droite est exp (u(7a + 4(3 + 7)) • exp (u(2a + /?)) • (<* - «a 2 /2 + u2a3/6) et a pour terme en u2 : a(9a + 5/? + 7)2 /2 - a2(9a + 5/? + T ) / 2 + a 3 /6 ; son image par 5^ est (-25 + 1 + 90 - 18)/2 - (5 - l) /2 = 22 , puisque a2/?<9„ = 1 = -/?2adu, = -a27<9„ = ay2du;]a3dw =0 = a(3ydw.

Soient a1 un monome, exp(uft) son image par CH , \i une permuta

tion , £ — £(fi) sa longueur. La derivee 0^(1 — za1) CH $lt>}l u~lVlj£\

s'ecrit (l - zexp(uh)) [ ( z / i f f a ^ C H g ^ u ^ ) + (l - z exp(uh))(...)].

Par specialisation £ , on a done aE (l — za1) CH gll){l u~l V1 e/t! =

( l - z J - ' - ^ W ^ u - ' e J + a - z K . . . ) ] . Appliquant 3W , on obtient que aE (l — za1) cnQu,fiu~lVledu; x

(1 — z) j£\ est un polynome, note A//^(z), de degre < £ en z .

La valeur en z = 1 de ce polynome est hl 0 ^ u~tedU}) e'est-a-dire d'apres la note 2 , Tt d^-i . Dans le cas ou II > 21 > 3 / > • • •, le fibre L\J 0 L2/ • • • deflnit un plongement projectif et le seal aire Tt d^-i est alors le degre de la variete Schub^^ (cf. note 2) . Pour resumer, on a :

Proposi t ion 4.5. Soient I £ N n + 1 , uh le logarithme de a1 , ji une 'permutation. Alors (1 — za1)'1 TT^-I £(1 — z ) ^ ) * 1 = Niyp(z) est un polynome de degre < £({i) dont la valeur en z = 1 est

JV/.,(i) = » /(M)V» .

Remarque. L'image du polynome G^ par le changement de variable 1 — 1/ai —• fa,..., 1 — l / a n + i —• /?n+i a pour terme de degre minimum le

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polynome de Schubert X^ en les variables 0 (cf. [L-S2]). Les polynomes de Schubert sont une base de l'anneau de Chow, et Ton peut utiliser l'isomorphisme entre le gradue associe a K(^ r(V)) et l'anneau de Chow de F(V) (cf. [Gr2], p.678) pour transferer les resultats obtenus dans K[A]. Cependant, on obtient une information plus riche dans K[A] , d'ou notre preference pour ce dernier.

5. Plongement de Pliicker

Le fibre L = LE = L" ® L^~l ® ••• ® L^+i ( Qui correspond au monome aE ) est tres ample et definit un plongement de F(V) dans un projectif de dimension relative 2l^\ On se propose de calculer la postulaiion des puissances de L au dessus de chaque variete de Schubert , i.e. la dimension de l'espace des sections de tout L* ,j > 0, au dessus d'une variete quelconque Schub^^. Cet espace de sections a pour classe a^Gîr^ dans l'anneau de Grothendieck de la variete de drapeaux et nous l'avons calcule au paragraphe 3. Cependant, si Ton n'a en vue que les dimensions et non point les espaces eux-memes, les methodes du paragraphe 3 sont loin d'etre efficaces; nous en donnons dans ce paragraphe de plus adaptees au seul calcul des dimensions.

Nous voulons evaluer, pour tout j > 0, toute permutation ^, l'entier a?E G^ itu e\ d'apres 3.1 , celui-ci est egal a a?E n^-i e . II est commode de poser F{z) = 1/(1 — zaE) , ou z est une indeterminee supplementaire, et de calculer la serie generatrice F(z)irî e.

Comme par ailleurs F(z)u = - F(l/zaE+Eu,)/zaEu; et F(z) * = F(z/aE+EuJ), on deduit de 1.16 et 1.17 :

Proposi t ion 5.1. Pour toute permutation \x ,

Ainsi, pour <5(3), posant A = {a,b,c} , on trouve

E _ (-zabc - zac2 + z2a3bc2 + z3a4b2c3)a2b -F{z)il>nha - ( 1 _ 2 a 2 6 ) ( 1 _ z a 6 2 ) ( ! _ z a 2 c ) ( 1 _ 2 a c 2 )

et cette fonction est bien l'image par l'involution u & de

1 , 1 , 1 (-a3b2cz-2 - a3bc2z~2 + abcz~x + 1) z V l ' z{\- a2b/z)(l - ab2/z)(l - a2c/z)(l - ac2/z)

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Modern Birkhauser Classics · 2013-07-19 · Modern Birkhauser Classics Many of the original research and survey monographs in pure and applied mathematics published by Birkhauser