Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Modelowanie Agentowe Układów Złożonych
Wstęp
Katarzyna Sznajd-Weron
Aperitif (2006)
• Physicists pretend not only to know everything, but also to know everything better.
• This applies in particular to computational statistical physicists like US.
D. Stauffer, doktorat honoris causa
Uniwersytet de Liege, 30.03.2006
Po co tu jesteśmy?
• Maciek Bieniek – „żeby napisać kilka prac”
• A po co Ty tu jesteś?
• Wiem co odpowie kilka osób …
• Jakie mamy możliwości:
– Praca naukowa zakończona publikacją (grupy 2-4)
– Wizualizacja modelu (w NetLogo)
– Jakieś inne pomysły?
Co to jest model agentowy?
• Model mikroskopowy
• Bottom – up
• Agenci (jednostki)
– Ludzie, zwierzęta, rośliny, cząstki, …
– Organizacje, społeczności, populacje, gatunki, …
– Jednego typu lub więcej (np. ludzie i organizacje)
– Każdy agent ma pewne cechy
• Oddziaływania
• Środowisko (przestrzeń)
• „Do 2002 ludzie nie zajmowali się na poważnie ABM” – Dlaczego? A. Borshchev, AnyLogic
• Od 19 lat w naukach społecznych wg. F. Squazzoni, History of Economic Ideas, xviii/2010/2
• Wg. Web of Science
Kiedy się pojawiły?
Źródło: M. Niazi, A. Hussain, Agent-based computing from multi-agent systems
to agent-based models: a visual survey, Scientometrics (2011) 89:479–499
19931991
Co to jest układ złożony?
• Składa się z wielu elementów oddziałujących ze sobą
• „Nieliniowe oddziaływanie”: 2 + 2 ≠ 4
• Całość to coś więcej niż suma jego części
• Typowe:
– Emergencja
– Samoorganizacja
– Brak równowagi
– Sprzężenia zwrotne
– Prawa potęgowe
Budowla termitów Płatki śniegu
More Is Different
• 1977 nagroda Nobla z fizyki prace nad nieuporządkowanymi układami magnetycznymi
• P. W. Anderson, More Is Different,Science, New Series 177 (Aug. 4, 1972), pp. 393-396
• Przejścia fazowe – więcej to coś innego!!!
– Teoria wielkiego wybuchu (cząstki elementarne, kosmologia)
– Zastosowania interdyscyplinarne: ewolucja biologiczna, genetyka, lingwistyka, epidemiologia, …
Przykład: Segregacja rasowa
Przykład: Model Schellinga (1971)
• Agenci mogą być tylko dwóch typów i początkowo rozmieszczeni są losowo na sieci
• Agent jest nieszczęśliwy jeżeli ma w otoczeniu zbyt wielu obcych (>T)
• W każdym kroku symulacji jeden nieszczęśliwy, losowo wybrany agent jest przesuwany do losowo wybranej wolnej komórki w sąsiedztwie
Schelling, T.C. Dynamic Models of Segregation,
Journal of Math. Sociology 1: 143-186 (1971)
Przykład: Model Schellinga (1971)
Czego się spodziewacie?Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/Models Library: Social Science: Segregation
Jaka nauka płynie z tego modelu?
• Model segregacji ze względu na pewną cechę (rasa, płeć, wiek, styl życia, pozycja, zamożność)
• Nikt nie preferuje ścisłej segregacji
• Ostra segregacja mimo „łagodnych” preferencji
• Mikro motywy i makro zachowanie
Przejście pomiędzy mikro a makro
© Marcin Weron
Temperatura Curie – ciągłe przejście fazowe
• Przejście fazowe
• Ferromagnetyk 𝑇 ≤ 𝑇𝑐• Paramagnetyk 𝑇 > 𝑇𝑐• Jak to zrozumieć?
© Katarzyna Sznajd-Weron
magnes
ferromagnetyk
Model Isinga (Lenza-Isinga?)
• 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga
• Brak przejścia fazowego w 1D
• Jedyna praca Isinga
• Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste)
• Skala mikro tłumaczy zachowania makro
𝐻 = −𝐽
<𝑖,𝑗>
𝐿
𝑆𝑖𝑆𝑗1𝐷𝐻 = −𝐽
𝑖=1
𝐿
𝑆𝑖𝑆𝑖+1
Skąd taki Hamiltonian?
Każdy układ dąży do minimalizacji energii
LÓD WODA LÓD WODA LÓD WODA
Lód i woda w równowadze Przechłodzona woda
Skąd taki Hamiltonian?
𝐻 = −𝐽
𝑖=1
𝐿
𝑆𝑖𝑆𝑖+1
𝐻 = −𝐽
𝑖=1
𝐿
𝑆𝑖𝑆𝑖+1 = −𝐽
𝑖=1
𝐿
1 = −𝐽𝑁
𝐻 = −𝐽
𝑖=1
𝐿
𝑆𝑖𝑆𝑖+1 = −𝐽 3 ∙ 1 + 4 ∙ (−1)
Każdy układ dąży do minimalizacji energii
Oddziaływania pomiędzy cząstkami
Ferromagnetyk (konformizm)
Antyferromagnetyk (antykonformizm)
• Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz
– Ze zgodnością grupy
– Z rozmiarem grupy
• Wysoka temperatura –„nerwowo”© Piotr Nyczka
Czego się spodziewacie?
Czego się spodziewacie?Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/Models Library: Chemistry & Physics: Ising
NetLogo (środowisko do ABM)Prof. Uri WilenskyNorthwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)
Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk)
niska temperatura
• Oddziaływanie – porządkuje
• Temperatura – losowe zmiany
– W niskich temperaturach porządek
– W wysokich temperaturach nieporządek
𝑚 =< 𝑆𝑖 >=1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑆𝑖
Dalsze losy modelu Isinga
• Przejście fazowe w 2D bez pola
– Onsager, lata czterdzieste
• Symulacje Komputerowe – model Isinga w 3D i 2D z polem
• Wykorzystanie poza fizyką
Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga
• Przygotuj stan początkowy układu
• Pozwól mu ewoluować
• Poczekaj aż ustali się magnetyzacja
• Zanotuj wartość 𝑚
• Powtarzaj to „dużo” razy
• Policz średnią magnetyzację
• Jaka to średnia?
𝑚 =< 𝑆𝑖 >=1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑆𝑖
Średnia po czasie
Śred
nia
po
zes
po
le
Średnia po czasie i średnia po zespole
Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie
Algorytm Metropolisa – 1MCS = N losowań
• Wylosuj jeden spin 𝑆𝑖
• Oblicz energię E = 𝐸(𝑆𝑖) = −𝑆𝑖𝐽 𝑗∈𝑛𝑛 𝑆𝑗
• Oblicz energię E′ = 𝐸(−𝑆𝑖) = 𝑆𝑖𝐽 𝑗∈𝑛𝑛 𝑆𝑗
• Oblicz zmianę energii ΔE = E′ − E
• Jeżeli ΔE ≤ 0 to 𝑆𝑖 → −𝑆𝑖• Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj 𝑟 z przedziału [0,1] i akceptuj
nową konfigurację jeżeli:
𝑟 < 𝑝 = 𝑒𝑥𝑝 −Δ𝐸
𝑘𝐵𝑇, 𝑘𝐵 = 𝐽 = 1
Przejście fazowe w modelu Isinga
Po co model w fizyce?
EksperymentModel
nieznane zjawisko
Konstrukcja
Weryfikacja
?
© Marcin Weron
Spojrzenie fizyka na rzeczywistość
Wszystko powinno być tak proste, jak to tylko możliwe, ale nie prostsze
Po co nam uproszczenia?
Oryginalny obraz 𝑅, 𝐺, 𝐵 ∈ [0,255]
Zdjęto kolor –jedna zmienna o 256 wartościach
Coraz mniejsza liczba odcieni szarości, ostatecznie 2
Przykład z rozprawy doktorskiej Piotra Nyczki:
• Łatwiejsza analiza – może nawet analityczna• Większa kontrola (zrozumienie)• Możliwość zupełnej analizy wrażliwości na zmianę parametrów(uwaga na przejścia fazowe!)
„More can be worse” - dyfuzja cząstek leków przez błony komórkowe
• Bardzo prosty model T. Rezai et all., J Am Chem Soc. 128(8): 2510-1 (2006)
– Podstawowe założenie: tylko jedna konformacja cząstki zarówno w wodzie jak i membranie
– Rzeczywistość: typowe cząstki organiczne mają tysiące konformacji
• Policz konformacje!R. V. Swift, R. E. Amaro, J Comput Aided Mol Des. 25(11): 1007-17 (2011)
• Gorsza prognostykaPrzykładowe cząsteczki leku Ventolin (astma, choroby płuc), http://www.lpdlabservices.co.uk
„More can be worse” - modele klimatu
• Coraz bardziej realistyczne
• Jednocześnie coraz mniej dokładne – w jakim sensie?
• Mniej użyteczne prognostycznie
M. Maslin and P. Austin, „Uncertainty: Climate models at their limit?”, Nature486, 183–184 (2012)
• Nie zawsze model bardziej skomplikowany jest gorszy!
• Zacznij od prostego modelu
Jak weryfikować modele?
• Co to znaczy zweryfikować?
• Eksperyment – przywilej fizyki?
• Obserwacja – jak to robić?
Jeden wzór może nie wystarczyć!
• Podstawowe cechy modeli Boidów:
– Starają się unikać zderzeń
– Dopasowują prędkość do sąsiadujących osobników
– Starają się trzymać blisko sąsiadów
𝑝 = 00 wszystkie w
tym samym kierunku
𝑝 = 900– w losowych
W rzeczywistości 𝑝 ∈
100,200
obserwowany NND<1
długości ryby
Odporność na detale
• W modelach 1-9 wpływ od uśrednionego sąsiedztwa, a w 10-11 wpływ od jednego
• 9 modeli z regułą większościową dało prawie identyczne wyniki
• Pozostałe różnice okazały się nieistotne
• Odkrywamy najważniejszy mechanizm!
Czy ABM może zastąpić eksperyment społeczny?
• ABM powinno być uzupełnieniem
• ABM może pomóc zrozumieć „Dlaczego”
• ABM może pomóc odkryć najważniejsze czynniki
• Jeżeli nie możemy zrobić eksperymentu to …
• ABM odpowiada na
„Co by było gdyby …”
Przypadek jako narzędzie budowania modeli
• Miesięczny zapis gry w ruletkę w Monte Carlo może dostarczyć nam podstaw do dyskutowania fundamentów nauki
Karl Pearson (1857-1936)
• Metoda Monte Carlo
• ABM ≠Metoda Monte Carlo
Liczby losowe
• Tippett (1927) – Random Sampling Numbers
– Pierwsza tablica liczb losowych
– 41 600 cyfr ułożonych w zestawach po 4
– Dane o powierzchni parafii z brytyjskiego spisu powszechnego (odrzucone 2 pierwsze i 2 ostatnie cyfry)
Jak inaczej otrzymać liczby losowe? Czy coś zwraca waszą uwagę?
36
Albo …
• Idź do szpitala po zapis kolejnych urodzeń chłopców i dziewczynek: CDDDCCD
• Przetasuj liczby (Tablica liczb przetasowanych czterocyfrowych Hugo Steinhausa wydana w 1954)
37
Generatory liczb pseudolosowych (PRNG)
• PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła.
• Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym):
• a,b,c – liczby magiczne, np:
cbaxx nn mod1
12,0,7 315 cba
Cechy dobrego generatora do MC
• Długi okres powtarzalności
• Losowość – brak korelacji, równomierność (specjalne testy)
• Szybki
Generator Mersenne Twister (http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.html)
• Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997
– Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do kryptografii
• Zalety MT19937 Mersenne Twistera:
– Okres 219937 − 1 (udowodnione)
– Wysoki stopień równomiernego rozmieszczenia
– Spełnia większość testów losowości
– Szybki
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo (MC) jest techniką rozwiązania problemów, która polega na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu
John von Neumann
Idea metody Monte Carlo
• Jaka jest szansa ułożenia pasjansa?
• Ciężko to policzyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów
• A gdyby tak parę razy spróbować ułożyć pasjansa i zobaczyć ile razy się to uda
?
Przegrana
Przegrana
Wygrana
Przegrana
Szansa ułożenia to ¼ !
Ręczne Monte Carlo
• Pierwsze udokumentowane doświadczenie wykonał w XVIII w. uczony i pisarz francuski Buffon
hr. Georges-Louis Leclerc Buffon (1707-1788)
• Wykonał 4040 rzutów monetą !• Otrzymał średnią wartość 0,5069
(orzeł = 1, reszka = 0)• W XX w. eksperyment powtórzył
rosyjski statystyk Romanowski• Wykonał 80640 rzutów monetą !!!• Otrzymał średnią wartość 0,4923
Prawdopodobieństwo jako długo-terminowa względna częstość
Igła Buffona a liczba
• Na kartkę papieru pokrytą liniami równoległymi oddalonymi od siebie o odległość d rzucamy losowo igłę o długości l < d
• Zliczamy ile razy przetnie ona linie siatki (liczba m) w n rzutach
• Można pokazać, że prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie linię wynosi:
45
d
l
n
m
2
Igła Buffona – sformułowanie problemu
Igła Buffona - rozwiązanie
Igła Buffona – eksperymentalne wyznaczenie
Jak dobre jest to oszacowanie?
• W 1864, kapitan O. C. Fox wykonał ten eksperyment gdy nudził się podczas rekonwalescencji
n m l d Powierzchnia
500 236 3 4 nieruchoma 3.1780
530 253 3 4 obracająca się 3.1423
590 939 5 2 obracająca się 3.1416
Sprawdźmy to sami ( = 3,14159)
Współczesna historia metody Monte Carlo
• Stanisław Ulam w trakcie ... rekonwalescencji układa pasjanse Canfield
• Nicolas Metropolis nadaje nazwę nowej metodzie – „Monte Carlo” (od kasyna)
• 1949r. – pierwsza publikacja na temat metody Monte Carlo napisana przez Ulamai Metropolisa
Matematyczne podstawy MC
• a - poszukiwana wielkość (np. magnetyzacja)
• a=EX wartość oczekiwana pewnej zmiennej losowej X.
• Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S1,S2,... z rozkładu zmiennej X, to
• Prawo wielkich liczb:
aSSSn
nn
...1
lim 21
Istota Monte Carlo
• Metoda Monte Carlo polega na szacowaniu wielkości a przez średnią z pewnej odpowiednio dobranej n elementowej próby.
• Co to znaczy odpowiednio dobranej?
• Generowana z rozkładu zmiennej X (a=EX)
22 EXXEVarX
pxEXWx
ii
i
Zastosowania metody MC
• Szacowanie pól figur
• Obliczanie układów równań liniowych
• Obliczanie równań różniczkowych cząstkowych
• Obliczanie całek
• Interpolacja funkcji wielu zmiennych
• Prognozy pogody
• Wycena instrumentów pochodnych
• Modele mikroskopowe
Szacowanie pól figur
(c) 2009 K&R Weron 55
Literatura
• D. W. Heermann, Podstawy symulacji komputerowych w fizyce, WNT 1997
• D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press 2005
Do zobaczenia w Monte Carlo