Modelo input - output de Leontief

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA

SOLUCION DEL MODELO INPUT - OUTPUT

DE LEONTIEF APLICANDO

LA FORMA CANONICA DE JORDAN

Tesina

presentada por:

Contreras Vidaurre Charles David

Cornetero Angeles Edith Janet

Asesor:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

Lambayeque - Peru

2010

Indice general

Resumen III

Introduccion IV

Objetivos V

1. Nociones de Algebra Lineal 1

1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Tipos especiales de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Resolucion de sistemas lineales por el metodo de Gauss-Jordan . . . . . . 12

1.4. Autovalores y Autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1. Autovalores y Autovectores de algunos tipos de matrices . . . . . 20

1.4.2. Normas en Mn(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3. Sucesiones y Series de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5. Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6.1. Diagonalizacion de Matrices Idempotentes y Nilpotentes . . . . . 33

2. Forma Canonica de Jordan 35

2.1. Matriz de Jordan Asociada a una aplicacion

nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Matriz de Jordan asociada a una Aplicacion con un unico Autovalor . . . 47

2.3. Matriz de Jordan asociada a una aplicacion lineal cualquiera . . . . . . . 53

3. Matriz Insumo − Producto 66

3.1. Modelo de Leontief. Metodo Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

I

3.2. Calculo de la inversa de Leontief por aproximacion . . . . . . . . . . . . 72

3.3. Resolucion de ejercicios por MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Conclusiones 81

Bibliografıa 82

II

Resumen

En el primer capıtulo, como preliminares se presentan algunas nociones del Algebra

Lineal, temas necesarios para comprender el tema general.

El segundo capıtulo se dedica al estudio de la “Forma Canonica de Jordan”. Detallando

los procedimientos que existen para obtener la “Forma Canonica de Jordan”de una

matriz asociada a una transformacion lineal T : V → V y demostrar la existencia de

una base β del espacio vectorial V , tal que la matriz de representacion A(T, β), sea una

matriz de Jordan.

En el capitulo final veremos la importancia fundamental en las matematicas aplicadas

en este trabajo trataremos una aplicacion al modelo Insumo-Producto.

III

Introduccion

Uno de los enfoques importantes para analizar la conducta de algunos modelos intere-

santes del mundo real es determinar la “Forma Canonica de Jordan”. Tal determinacion

involucra el manejo de ciertos fundamentos matematicos. El modelo de insumo-producto

constituye la fusion de la economıa del equilibrio general con el algebra matricial. En

este trabajo se muestra la integracion de la herramienta computacional al aprendiza-

je de una materia totalmente abstracta, como es el algebra lineal y su aplicacion a la

economıa.

El “analisis de insumo-producto” que es una tecnica matematica que refleja la interde-

pendencia entre los distintos sectores de una economıa y entre factores productivos y

productos. Wassily Leontief, mediante el “analisis de insumo-producto” busco construir

un modelo de equilibrio general. Intento cuantificar el modelo matematico desarrollado

por Leon Walras (1834-1910).

IV

Objetivos

Objetivo General

Determinar la solucion del modelo input-output de Leontief empleando el progra-

ma Matlab y aplicando la forma canonica de Jordan.

Objetivos Especıficos

Desarrollar la forma canonica de Jordan para una matriz cualquiera.

Analizar la relacion de semejanza entre matrices para simplificar el manejo de las

mismas mediante un proceso de diagonalizacion.

V

Capıtulo 1

Nociones de Algebra Lineal

1.1. Matrices

Sea S un conjunto cualquiera y f una aplicacion de I×J = {1, 2, . . . , m}×{1, 2, . . . , n}en S definido por

f : I × J → S

(i, j) → f(i, j) = aij

entonces

A = {f(i, j) : i ∈ I, j ∈ J} = {aij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}

es una matriz de orden m× n, es decir

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

Ası pues una matriz A de orden m × n puede entenderse como un “rectangulo”de mn

elementos de S ordenados en m filas y n columnas.

La notacion matricial es la siguiente:

aij ≡ elemento de la i−esima fila y j−esima columna de la matriz A

ai· = (ai1, ai2, . . . , ain) ≡ fila i−esima de la matriz A.

a·j =

a1j

a2j...

ain

≡ columna j−esima de la matriz A.

1

Nociones de Algebra Lineal 2

1.1.1. Operaciones con matrices

Suma de matrices

Dadas las matrices A,B ∈ Mm×n con A = (aij), B = (bij), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,

se define la matriz suma A+B = C = (cij) donde:

cij = aij + bij

Producto de una matriz por un escalar

Dada la matriz A = (aij) de orden m × n y λ ∈ R, se define la matriz D = λA = (dij)

donde

dij = λaij

Producto de matrices

Dada la matriz A = (aij) ∈ Mm×n y B = (bjk) ∈ Mn×p, se define la matriz producto

C = AB = (cik), de orden m× p donde:

cik =

n∑

j=1

aij bjk

Propiedades:

A+B = B + A

A+ (B + C) = (A+B) + C

Existe 0m×n tal que A+ 0m×n = A para cualquier A ∈ Mm×n.

Para todo A ∈ Mm×n existe (−A) ∈ Mm×n tal que A+ (−A) = 0m×n

α(A+B) = αA+ αB

(α + β)A = αA+ βA

(αβ)A = α(βA)

Existe 1 ∈ R tal que 1 · A = A para todo A ∈ Mm×n

El producto no es conmutativo

A(BC) = (AB)C

2


Para toda A ∈ Mm×p

ImA = A , AIp = A

Para toda A ∈ Mm×n no nula

A0n×s = 0m×s , 0p×mA = 0p×n

(A+B)C = AC +BC , D(A+B) = DA+DB

AB = 0, no implica A = 0 o B = 0

AB = AC no implica que B = C

Potencia de una matriz

Sea A = (aij) ∈ Mn, la potencia de la matriz A se define como

A0 = I

A1 = A

A2 = A · A...

An = A · A · · ·A

Propiedades:

AmAn = Am+n, m,n ∈ Z+ (enteros positivos)

(Am)n = Am·n

An+1 = A · An

Dk = diag(ak11, ak22, . . . , a

knn), k ∈ Z+, (D matriz diagonal, la cual los dij = 0 para

i 6= j)

Traza de una matriz

Dada una matriz A ∈ Mn se define su traza como

tr(A) =

n∑

i=1

aii

3


Propiedades: Dadas A,B ∈ Mn y α ∈ R, se tiene que:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

tr(αA) = αtr(A)

tr(AB) = tr(BA)

1.1.2. Determinantes

Dada una matriz A de orden n, se define el determinante de A que se denotara por |A|o det(A) como la suma de los n! productos signados de n factores que se obtienen con-

siderando los elementos de la matriz de forma que cada producto contenga un elemento

y solo si uno de cada fila y cada columna de A.

A partir de esta definicion se obtiene

1. |A| =∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

2. |A| =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33+a12a23a31+a21a32+a13−[a13a22a31+a11a23a32+

a12a21a33]

Propiedades:

|In| = 1

|AT | = |A|

|AB| = |A||B|

|A−1 = 1|A|

|Am| = |A|m/m ∈ Z+

|λA| = λn|A|

Si dos filas o columnas son proporcionales, el determinante es cero.

Si A = [aij ] es triangular, entonces el determinante es:

|A| = a11.a22 · · · ann

4


Nota:

Una matriz cuadrada A se dice no singular si y solo si |A| 6= 0

Una matriz cuadrada A se dice singular si y solo si |A| = 0

Inversa de una matriz

Dada A ∈ Mn, se dice que B ∈ Mn es inversa de A y se denota por B = A−1 si

AB = BA = In (In es la matriz identidad In = (aij), aij = 1, ∀ i = j y para i 6= j,

aij = 0, ij = 1, . . . , n)

Sea A,B ∈ Mn matrices no singulares, entonces

Existe una unica matriz A−1 inversa de A

La matriz A−1 es invertible y (A−1)−1 = A

La matriz AB tiene inversa, siendo (AB)−1 = B−1A−1

Rango de una matriz

Se denomina rango de una matriz A ∈ Mm×n al maximo numero de vectores columna

de A linealmente independiente.

Propiedades: Dada A de orden m× n se cumplen las siguientes propiedades:

Si rg(A) = min(m,n) se dice que A es de rango completo.

Si A es cuadrada (m = n) y de rango completo ,entonces se dice que es una matriz

no singular.

rg(AB) ≤ min{rg(A), rg(B)}; A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p

Dada A ∈ Mn×n con |A| 6= 0 se tiene que rg(A) = n

1.1.3. Tipos especiales de matrices

Matriz Triangular

Matriz Triangular Superior (MTS)

Una matriz cuadrada A = (aij)n×n se llama MTS si y solo si los aij = 0 ∀ i > j

Matriz Triangular Inferior (MTI)

Una matriz cuadrada A = (aij)n×n se llama MTI si y solo si los aij = 0 ∀ i < j

5


Propiedades:

Dadas A,B ∈ Mn matrices triangulares superiores (inferiores), α ∈ R, se verifica que:

Las matrices A +B y αA son triangulares superiores(inferiores).

La matriz AB es tambien triangular superior (inferior).

Si A tiene inversa entonces A−1 es triangular superior(inferior).

El rango de A es siempre mayor e igual al numero de elementos de la diagonal

principal de A no nulos.

|A| = Πni=1aii

Matriz Transpuesta

Dada C = (cij) ∈ Mm×n, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, se dice que B = (bij),

i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m es la matriz transpuesta de C si las filas de B son las columnas

de C o lo que es igual, las columnas de B son las filas de C, es decir

bij = cji, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m

A la matriz transpuesta de C se le denota indistintamente por C ′, Ct o CT .

Propiedades:

(At)t = A

(A+B)t = At +Bt

(αA)t = αAt

(AB)t = BtAt

Matriz Simetrica

Una matriz A = (aij) ∈ Mn es simetrica si es igual a su traspuesta, es decir A = At

Propiedades: Sean A y B matrices simetricas y α ∈ R, se verifica que:

A+B y αA son simetricas

Si A tiene inversa, entonces A−1 es simetrica.

6


Matriz Antisimetrica

Una matriz A = (aij) ∈ Mn, i, j = 1, . . . , n es antisimetrica si es igual al opuesto de su

transpuesta, es decir A = −At

Matriz Conjugada

Sea A = aij ∈ Mm×n, donde aij ∈ C, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, la matriz obtenida a

partir de A sustituyendo cada elemento por su conjugada de A y se representa por A

es decir si A = (aij) ∈ Mm×n donde aij ∈ C entonces A = (aij) = (aij) se llama matriz

conjugada de A.

Propiedades:

A = A

A+B = A+B

αA = αA; α ∈ K (K cuerpo)

AB = AB; A y B conformes (A = (aik), B = (akj)).

(A)t = At

Matriz Positiva

Se dice que A es positiva si todos sus elementos son numeros reales no negativos y al

menos uno de ellos no nulo, es decir, para todo i, j = 1, . . . , n, aij ≥ 0.

Cuando para todo i, j = 1, · · · , n se verifica que aij > 0, la matriz A es estrictamente

positiva.

Si a todos los elementos de la matriz A se les exige solo ser numeros reales no negativos

entonces A es una matriz semipositiva.

Propiedades: Si A y B son matrices positivas, α > 0, se verifica que:

A+B y αA son positivas.

AB es positiva tambien.

AT es matriz positiva.

Para todo k ∈ N, Ak es positiva.

Una matriz A = (aij) ∈ Km×n se dice no negativa si todos sus elementos son ≥ 0.

7


Matriz Hermıtica

A = (aij) ∈ Mn donde aij ∈ C es hermıtica ↔ A = (A)t en algunos casos (A)t se

denotara por A∗

Matriz Irreducible

Sea A ∈ Mn tal que A > 0. Diremos que A es una matriz irreducible si existe un m ≥ 1

tal que Am > 0.

Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada A se llama ortogonal si se verifica

A ·At = I = At · A I: matriz identidad

Propiedades: Si A,B ∈ Mn son matrices ortogonales, se verifica que:

AB y BA son ortogonales, pero en general no lo son A +B y αA, para α ∈ R.

El valor de |A| es igual a −1 o 1.

El rango de A es n.

A es invertible, A−1 es ortogonal y A−1 = AT .

Matriz Idempotente, Unipotente y Nilpotente

Una matriz cuadrada A es idempotente:

A ∈ Mn es indempotente ⇔ A2 = A

Cuando A2 = In, entonces se dice que A es unipotente.

Si A2 = 0n (0n, matriz nula), se dira que la matriz es nilpotente

Propiedades:

Si A y B son idempotentes, entonces se verifica que:

AB es idempotente siempre que AB = BA

Dada cualquier C ∈ Mn, si CTC = C, la matriz C es simetrica e idempotente.

El valor de |A| es 0 o 1, si |A| = 1 se tiene que A = In

8


In −A es una matriz idempotente y rg(In −A) = n− rg(A). Sin embargo, A− In

no es idempotente.

rg(In − A) = tr(In −A)

= tr(In)− tr(A)

rg(In − A) = n− rg(A)

Sea A una matriz unipotente, entonces se verifica que:

|A| = 1 o |A| = −1.

rg(A) = n, por tanto A−1 existe y ademas A−1 = A.

Sea A ∈ Mn una matriz nilpotente, entonces se verifica que:

|A| = 0, y por tanto A−1 nunca existe y rg(A) < n.

La matriz (In − A) es invertible y su inversa es (In −A)−1 = In + A

1.2. Espacio Vectorial

Proposicion 1.1. Sea v ∈ V un vector fijo tal que T q−1 6= 0, entonces los vectores

{v, Tv, . . . T q−1v} son linealmente independientes.

Proposicion 1.2. Sea V un K-espacio vectorial de dimension n, un conjunto de vectores

{v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si solo si genera V .

Proposicion 1.3. (Completacion de una base) Sea V un K-espacio vectorial de

dimension n > 1, v1, v2, . . . vr, r < n vectores linealmente independientes. Entonces

existen vectores vr+1, . . . , vn de manera que v1, v2, . . . vr, vr+1, . . . , vn constituyen una base

de V .

1.2.1. Transformaciones Lineales

Teorema 1.4. (Del nucleo y la imagen) Sean U y V dos K-espacios vectoriales de

dimension finita, y T : U → V una transformacion lineal entonces

dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = dim(U)

Teorema 1.5. Sea V un K-espacio vectorial de dimension finita. Sea {v1, v2, . . . , vn}una base ordenada de V . Sean W un K-espacio vectorial y {w1, w2, . . . , wn} vectores

cualesquiera de W .Entonces existe una unica transformacion lineal T : V → W tal que:

Tvj = wj , j = 1, n

9


Definicion 1.6. (Matriz de Representacion) Sea V un K-espacio vectorial de di-

mension finita, sea una transformacion lineal. Dada una base β = {v1, v2, . . . , vn} de V ,

podemos construir la “matriz de representacion”A(T, β) de T respecto de la base β de

la siguiente manera:

Consideremos la imagen de cada elemento de la base de T ,

T (vi) =

n∑

j=1

aijvj , i = 1, . . . , n

Entonces A = A(T, β) es la matriz A = (aij) ∈ Kn×n.

Definicion 1.7. (Matriz de cambio de base) Sea V un espacio vectorial de dimension

finita sobre el cuerpo K, y sean β = {v1, v2, . . . , vn} y β ′ = {w1, w2, . . . , wn} dos bases

ordenadas de V . Se puede definir una matriz (invertible) P de orden n × n unica tal

que:

(1.1) [v]β = P [v]β′, para cada vector v ∈ V

P , es la matriz P = [P1, P2, . . . , Pn] con Pj = [wj ]β, j = 1, n. P es llamada “Matriz de

cambio de base”, y esta formada por los vectores columna, cuyas coordenadas son las

componentes del vector wj respecto de la base β.

Teorema 1.8. Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre el cuerpo K, y sean β

y β ′ dos bases de V . Suponga que T es un operador lineal sobre V . Si P = [P1, P2, . . . , Pn]

es la matriz n× n de columnas Pj = [wj]β, entonces

A(T, β) = PA(T, β ′)P−1

es decir las matrices A(T, β) y A(T, β ′) son similares.

Ejemplo. Sea T el operador lineal sobre R3 que envıa los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y

(0, 0, 1) en los vectores (1, 1, 0), (1, 2, 1) y (0, 2, 1) respectivamente, calcular la matriz de

representacion A(T, β ′) donde

β ′ = {(1, 0, 1), (1, 1, 1)(2, 1, 1)},

y ademas verifique que

A(T, β ′) = PA(T, β)P−1

a) Hallamos A(T, β) = [Tv1 Tv2 Tv3] =

1 1 0

1 2 2

0 1 1

10


b) Hallamos A(T, β ′)

T (w1) = T (1, 0, 1)

= T (1v1) + T (0v2) + T (1v3)

= 1.(1, 1, 0) + 0.(1, 2, 1) + 1.(0, 2, 1)

= (1, 3, 1)

T (1, 0, 1) = −2(1, 0, 1) + 3(1, 1, 1) + 0(2, 1, 1, )

T (w2) = T (1, 1, 1)

= T (1v1) + T (1v2) + T (1v3)

= (1, 1, 0) + (1, 2, 1) + (0, 2, 1)

= (2, 5, 2)

T (1, 1, 1) = −3(1, 0, 1) + 5(1, 1, 1) + 0(2, 1, 1, )

T (w3) = T (2, 1, 1)

= T (2v1) + T (1v2) + T (1v3)

= 2(1, 1, 0) + 1(1, 2, 1) + 1(0, 2, 1)

= (3, 6, 2)

T (1, 1, 1) = −4(1, 0, 1) + 5(1, 1, 1) + 1(2, 1, 1, )

Luego A(T, β ′) =

−2 −3 −4

3 5 5

0 0 1

c) Hallamos P :

w1 = (1, 0, 1) = 1v1 + 0v2 + 1v3

w2 = (1, 1, 1) = 1v1 + 1v2 + 1v3

w3 = (2, 1, 1) = 2v1 + 1v2 + 1v3

Entonces :

P =

1 1 2

0 1 1

1 1 1

y P−1 =

0 −1 1

−1 1 1

1 0 1

11


PA(T, β)P−1 =

1 1 2

0 1 1

1 1 1

1 1 0

1 2 2

0 1 1

0 −1 1

−1 1 1

1 0 1

PA(T, β)P−1 =

−1 −1 −1

0 2 3

1 0 −1

0 −1 1

−1 1 1

1 0 1

PA(T, β)P−1 =

−2 −3 −4

3 5 5

0 0 1

1.3. Resolucion de sistemas lineales por el metodo

de Gauss-Jordan

El metodo de Gauss-Jordan permite calcular la inversa de una matriz dada, como se

vera a continuacion, tambien permite transformar un sistema compatible determinado

en otro equivalente cuya matriz de coeficientes es una matriz triangular (superior o

inferior). Para ello se precisa en primer lugar:

(a) Comprobar que cuando en un sistema de ecuaciones lineales compatible se efectuan

operaciones elementales como:

Intercambiar ecuaciones.

Multiplicar una ecuacion por un escalar.

Sumar a una ecuacion un multiplo de otra.

el sistema que se obtiene es equivalente al de la partida.

En efecto, dado el sistema

Ax = b

con A de orden m× n, x ∈ Rn y b ∈ Rn se tiene que

Cambiar la ecuacion i0-esima con la j0-esima equivale a premultiplicar ambos

miembros del sistema por la matriz

C(i0, j0) = (cij); i, j = 1, . . . , m

12


con

cij =

1 si i = j, i 6= i0, j 6= j0

1 si i = j0, j = i0

1 si i = i0, j = j0

0 en otro caso

Multiplicar la ecuacion i0-esima por un escalar α ∈ R, α 6= 0 equivale a multi-

plicar el sistema por la matriz

M((α)i0) = (mij) i, j = 1, . . . , m

con

mij =

1 si i = j, i 6= i0

α si i = j = i0

0 en otro caso

Sumarle a la i0-esima ecuacion un multiplo α de la j0-esima ecuacion equivale

a premultiplicar el sistema por la matriz

S(i0, (α)j0) = (sij) i, j = 1, . . . , m

con

sij =

1 si i = j

α si i = i0 j = j0

0 en otro caso

cualquiera de estas matrices es no singular, ya que por las propiedades de los deter-

minantes:

|C(i0, j0)| = −1, pues C(i0, j0) es el resultado de permutar dos lıneas de Im

|M((α)i0)| = α, pues M((α)i0) se obtiene al multiplicar la fila i0 de Im por α

|S(i0, (α)j0)| = 1, pues S(i0, (α)j0) es una matriz triangular cuya diagonal principal

coincide con la de Im.

Observese que transformar un sistema combinando estas operaciones consiste sim-

plemente en premultiplicar dicho sistema por un numero adecuado de matrices tipo

C,M y S y por tanto por una matriz no singular. Por tanto, el nuevo sistema

ası obtenido es equivalente.

Ası pues cuando en un sistema de ecuaciones compatible se efectuan operaciones

elementales, el sistema resultante es equivalente al inicial.

(b) Dado el sistema compatible determinado

Ax = b

13


con A cuadrada de orden n, siempre es posible mediante operaciones elementales y

lo indicado en A encontrar un sistema equivalente

Ax = b

siendo A una matriz triangular.

Para ”triangular el sistema” se procede del siguiente modo

(i) Supongase que a11 6= 0 (si ası no fuese, bastarıa con intercambiar la primera

ecuacion con otra cuyo coeficiente para x1 sea no nulo). Entonces la matriz

P1 =

1 0 0 · · · 0

−a21 a11 0 · · · 0

−a31 0 a11 · · · 0...

......

...

−an1 0 0 · · · a11

que es no singular, transforma el sistema inicial en otro equivalente

Bx = P1Ax = P1b = b1

cuya matriz de coeficientes B es

B =

a11 a12 · · · a1n

0 b22 · · · b2n

0 b32 · · · b3n...

......

0 bn2 · · · bnn

con bij = (−ai1)aij + a11aij para i, j = 2, . . . , n

(ii) Supuesto que b22 6= 0 (si esto no ocurre se efectuan un cambio adecuado de

ecuaciones), la matriz no singular

P2 =

1 0 0 0 · · · 0

0 1 0 0 · · · 0

0 −b32 b22 0 · · · 0

0 −b42 0 b22 · · · 0...

......

......

0 −bn2 0 0 · · · b22

permite obtener el sistema equivalente

Dx = P2P1Ax = P2P1b = b2

14


cuya matriz de coeficientes D es

D =

a11 a12 a13 · · · a1n

0 b22 b23 · · · b2n

0 0 c33 · · · c3n

0 0 c43 · · · c4n...

......

...

0 0 cn3 · · · cnn

con cij = (−bi2b2j) + b22bij para i, j = 3, . . . , n

(iii) Procediendo de manera analoga se calculan P3, P4, . . . , Pn−1 tales que

Ax = Pn−1Pn−2 . . . P3P2P1Ax = Pn−1Pn−2 . . . P2P1b = b

donde A es una matriz triangular superior.

Nota: Del mismo modo se puede operar para encontrar un sistema equivalente al

inicial de la forma Ax = b donde A es una matriz triangular superior.

Ejemplo. El sistema

5x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 5

2x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = −3

−5x1 − 7x2 − 3x3 + 9x4 = 16

x1 − 2x2 − x3 + 4x4 = 10

es compatible determinado, ya que rg(A) = rg(A) = 4. Resolverlo utilizando el metodo

de Gauss-Jordan consiste en transformar el sistema en otro equivalente con matriz de

coeficientes triangular. Para ello, se comienza calculando una matriz p1 tal que al pre-

multiplicar el sistema por ella, permite obtener uno equivalente en el que la variable x1

solo aparece en la primera ecuacion, esto se consigue.

Sumando a la segunda multiplicada por 5, la primera multiplicada por -2, lo cual

se obtiene mediante la matriz

S(2, (−2)1)M((5), 2) =

1 0 0 0

−2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 5 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

15


Sumando a la tercera ecuacion multiplicada por 5, la primera multiplicada por 5,

es decir,

S(3, (5)1)M((5), 3) =

1 0 0 0

0 1 0 0

5 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 5 0

0 0 0 1

Sumando a la cuarta ecuacion multiplicada por 5, la primera multiplicada por -1,

esto es

S(4, (−1)1)M((5), 4) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−1 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 5

Por tanto, todas las transformaciones elementales que es necesario realizar estan reco-

gidas en la matriz producto

S(4, (−1)1)M((5), 4)S(3, (5)1)M((5), 3)S(2, (−2)1)M((5), 2) =

=

1 0 0 0

−2 [5] 0 0

5 0 [5] 0

−1 0 0 [5]

que coinciden con la matriz P1 indicada en (I) para este sistema particular el sistema

equivalente que resulta es:

5x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 5

7x2 + x3 − 12x4 = −25

−15x2 − 5x3 + 50x4 = 105

−14x2 − 7x3 + 19x4 = 45

Teniendo en cuenta (II) para eliminar x2 de las dos ultimas ecuaciones basta con pre-

multiplicar el sistema por la matriz

P2 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 15 [7] 0

0 14 0 [7]

16


obteniendo el sistema

5x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 5

7x2 + x3 − 12x4 = −25

−20x3 + 170x4 = 360

−35x3 − 35x4 = 35

reiterando el proceso para eliminar x3 de la ultima ecuacion se premultiplica por la

matriz

P3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 35 [−20]

y resulta finalmente el sistema triangular equivalente

5x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 5

7x2 + x3 − 12x4 = −25

−20x3 + 170x4 = 360

6650x4 = 13300

cuya solucion es:

x1 = 1, x2 = 0, x3 = −1, x4 = 2

1.4. Autovalores y Autovectores

Definicion 1.9. Sea V un K-espacio vectorial y T un operador lineal sobre V . Un

autovalor o valor propio de T , es un escalar λ ∈ K si existe un vector no nulo v ∈ V tal

que Tv = λv. Si λ es un autovalor de T , entonces:

Cualquier v tal que Tv = λv se llama vector propio o autovector de T asociado a

λ.

La coleccion de todos los v tal que Tv = λv se llama espacio propio asociado a λ.

Ya que cada T esta asociado a una matriz A. El concepto de autovalor y autovector de

una matriz A ∈ Kn×n se define de forma analoga, considerando como una transformacion

lineal a:

A : Kn×1 → Kn×1

mediante la multiplicacion de matrices: Av = λv, v 6= 0 ∈ Kn×1.

17


Definicion 1.10.

Sea A ∈ Kn×n y fA(λ) = det(λI − A), donde I es la matriz identidad y λ ∈ K.

fA(λ) se denomina el “polinomio caracterıstico de A”

Si T : V → V es una transformacion lineal su polinomio caracterıstico se define

como:

fT (λ) = det(λI − AT ), λ ∈ K

donde AT es la matriz asociada a T en alguna base.

Esto permite definir el polinomio caracterıstico de T como el polinomio caracterıstico

de cualquier matriz n× n que representa a T en alguna base ordenada de V .

Definicion 1.11.

1. Si λ ∈ C es un autovalor de T : V → V se llama multiplicidad algebraica de λ

a su multiplicidad algebraica en el polinomio caracterıstico fT (λ).

2. A la dimension del subespacio V (λ) = {v ∈ V/Tv = λv} se llama multiplicidad

geometrica de λ

Ejemplo. Se tiene que λ = 2 es un autovalor de:

A =

3 1 −1

2 2 0

2 2 0

veamos cual es la multiplicidad geometrica de λ = 2

V (2) = {v ∈ K3×1/Av = 2v}

V (2) = {(x, x, 2x)T/x ∈ K}V (2) = {x(1, 1, 2)T/x ∈ K}

Luego dimV (2) = 1, por tanto la multiplicidad geometrica de λ = 2 es 1 y la multipli-

cidad algebraica de λ = 2 es 2.

Proposicion 1.12. Si A es matriz de orden n se tiene que:

|A− λIn| = (−λ)n + (−λ)n−1tr(A) + (−λ)n−2tr2(A) + (−λ)n−3tr3(A) + · · ·+ |A|

siendo tri(A), i = 2, 3, . . . , n− 1 la suma de todos los menores de orden i que contienen

en su diagonal principal i elementos de la diagonal principal de A.

18


Ejemplo. Sea la matriz: A =

1 0 1

−1 2 0

1 1 2

tr(A) = 5 |A| = 1 y

tr2(A) =

∣∣∣∣∣1 0

−1 2

∣∣∣∣∣ +∣∣∣∣∣2 0

1 2

∣∣∣∣∣ +∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = 2 + 4 + 1 = 7

|A− λIn| = −(λ)3 + 5(λ)2 + 7(λ) + 1

Proposicion 1.13. Sea A ∈ Mn(K), cuyos autovalores pueden ser reales o complejos

(iguales o distintos), se verifica que:

1. Los autovalores de AT coinciden con los de A

2. El numero de autovalores nulos de A de rango r < n es mayor o igual que (n− r).

3. |A| =n∏

i=1

λi.

4. tr(A) =n∑

i=1

λi.

5. Los autovalores de la matriz αA para α ∈ R(C), α 6= 0 son αλi con i = 1, . . . , n.

6. Si A es no singular, entonces los autovalores de A−1 son 1/λi, con i = 1, . . . , n.

7. Para cualquier numero natural k no nulo los autovalores de Ak son λki , con

i = 1, . . . , n.

Proposicion 1.14. Sea A una matriz de orden n, aij ∈ K(o C), i, j = 1, . . . , n cu-

yos autovalores son λ1, λ2, . . . , λr ∈ K, con multiplicidades algebraicas m1, m2, . . . , mr

respectivamente, siendor∑

i=1

= n, se verifica que:

1. Para cada i = 1, . . . , r, el conjunto V (λi) = {v ∈ Kn/Av = λiv} es un subes-

pacio vectorial de Kn tal que dim(V (λi)) ≤ mi. Ademas si mi0 = 1 entonces

dimV (λi0) = 1.

2. Los autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente indepen-

dientes.

3. Si r = n, entonces Kn = V (λ1)⊕

V (λ2)⊕

V (λ3)⊕

. . . V (λn)⊕

4. Si K = C y A tiene como autovalor λ ∈ C con conjugado λ, entonces el autovector

v asociado a λ es el conjugado del autovector w asociado a λ

19


Definicion 1.15. Se llama espectro de una matriz A ∈ Mn(C) al conjunto de todos los

autovalores de A:

σ(A) = {λ ∈ K : λ es autovalor de A} = {λ ∈ K : Ker (A− λI) 6= {0}}

Definicion 1.16. El radio espectral de una matriz A ∈ Mn(C) se define como

ρ(A) = max{|λ|/λ ∈ σ(A)}

1.4.1. Autovalores y Autovectores de algunos tipos de matrices

Matrices Triangulares

Dada A matriz de orden n triangular superior (respectivamente inferior) se verifica

que los autovalores de A son los elementos de su diagonal principal, es decir aii = λi,

i = 1, . . . , n.

Demostracion 1.

Si A es triangular superior o inferior entonces A−λIn tambien lo es, luego por propiedad

de las matrices triangulares se tiene:

|A− λIn| =n∏

i=1

(aiiλi)

por tanto λi = aii, i = 1, . . . , n son los autovalores de A.

Matrices Simetricas

Dada una matriz simetrica de orden n×n cuyos elementos son numeros reales se verifica

que:

1. Todos los autovalores de A son numeros reales.

2. Dos autovalores distintos de A tienen asociados autovectores ortogonales.

3. Para cada autovalor de A la dimension del subespacio vectorial de los autovectores

asociados coincide con la multiplicidad algebraica.

20


Matrices Idempotentes, Unipotentes y Nilpotentes

Proposicion 1.17. Sea A una matriz cuadrada de orden n, se verifica que:

a) Si A es Idempotente entonces:

i. Sus autovalores son iguales a 0 o 1.

ii. tr(A) = rg(A)

iii. Si m0 es la multiplicidad algebraica de λ = 0 y m1 la de λ = 1, entonces la

dimension de los subespacios de vectores V (0) y V (1) son m0 y m1 respectiva-

mente.

b) Si A es Unipotente entonces:

IV. Todos sus autovalores son iguales a 1 o -1

c) Si A es Nilpotente, entonces

V. Todos sus autovalores son nulos.

Demostracion 2.

a) Por hipotesis A2 = A

i. Si λ es un autovalor de A con autovector asociado v, se tiene que Av = λv,

entonces premultiplicando la desigualdad anterior por A se tiene:

AAv = Aλv

A2v = Aλv

= λAv

= λλv

A2v = λ2v

Av = λ2v y Av = λv

λ2v = λv

λ2v − λv = 0

(λ2 − λ)v = 0

λ2 − λ = 0

λ(λ− 1) = 0

Por lo que λ = 0 o λ = 1.

21


ii. Si λ = 0 es un autovalor de A con multiplicidad algebraica m, entonces λ = 1

tendra multiplicidad algebraica (n−m), por tanto, tr(A) = (n−m), esto es por la

proposicion(1.13) y

(1.2) |A− λIn| = λm(1− λ)n−m

y por proposicion(1.12)

(1.3)

|A−λIn| = (−λ)n+(−λ)n−1tr(A)+(−λ)n−2tr2(A)+. . . . . .+(−λ)n−(n−m)trn−m(A)+· · ·+|A|

siendo tri(A), i = 2, 3, . . . , n − 1 la suma de todos los menores de orden i que

contienen en su diagonal principal i elementos de la diagonal principal de A.

Desarrollando la expresion (1.2) a traves del binomio de Newton e igualando (1.2)

con (1.3) se verifica que:

|A| = 0

tri(A) = 0, i = n−m+ 1, . . . , (n− 1)

trn−m(A) = 1

Por tanto rg(A) = n− 1 = tr(A).

1.4.2. Normas en Mn(C)

Se estudiaran distintas normas en el espacio vectorial de matrices Mn(C). Muchas de

estas normas son utiles en diversas desigualdades matriciales especıficas. Pero no olvi-

demos que, como dimMn(C) < ∞, es un resultado conocido que todas las normas en

Mn(C) son equivalentes.

En los siguientes ejemplos definiremos las normas mas clasicas para matrices.

Ejemplo.

1. La norma espectral ‖ · ‖ definida del siguiente modo

‖A‖ = ‖A‖sp = max‖x‖=1

‖Ax‖ = s1(A),

donde la ultima igualdad surge de que ‖A‖sp = ‖|A|‖sp = ρ(|A|).

22


2. Las normas de Schatten. Dado 1 ≤ p < ∞

‖A‖p =( ∞∑

n=1

si(A)p

)1/p

La ‖ · ‖2 se llama norma de Frobenius. Ella verifica que

‖A‖22 = tr A ∗ A =

n∑

i,j=1

|aij |2

y proviene del producto escalar en Mn(C) definido por 〈A,B〉 = tr B ∗ A.

3. Las normas Ky-Fan. Dado k ∈ {1, . . . , n}

‖A‖(k) =k∑

i=1

si(A)

Notar que ‖A‖(1) = ‖A‖sp y ‖A‖(n) = ‖A‖1 (de Schatten).

4. Toda norma N en Cn induce una norma ‖| · ‖|N en Mn(C) del siguiente modo:

‖|A‖|N = maxN(x)=1

N(Ax)

Estas normas satisfacen que:

a) ‖|I‖|N = 1

b) ρ(A) ≤ ‖|A‖|Nc) ‖|AB‖|N ≤ ‖|A‖|N‖|B‖|N

5. ‖| · ‖|1 es la inducida por la norma ‖ · ‖1 en Cn. Puede demostrarse que

‖A‖1 = maxi

‖Ci(A)‖1

donde Ci(A) simboliza el vector formado por la columna i-esima de A.

6. Analogamente, ‖|·‖|∞ es la inducida por la norma ‖·‖∞ en Cn. Puede demostrarse

que

‖A‖∞ = maxi

‖Fi(A)‖1

donde Fi(A) simboliza el vector formado por la fila i-esima de A.

Definicion 1.18. Una norma ‖ · ‖ en Mn(C) se llama Matricial si ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖

23


Teorema 1.19. (Perron - Frobenius:) Si A es una matriz no negativa e irreductible,

existe una unica raız de A, λ(A), que tiene el mayor valor absoluto. Esta raız es positiva

y simple, tal que:

Su vector caracterıstico asociado es estrictamente positivo.

Si ρ > λmax entonces existe la inversa de (ρI − A) y ademas (ρI − A)−1 > 0.

λmax tiene un valor comprendido ente el mınimo y el maximo de la suma de las

filas de A, y entre el mınimo y maximo de las columnas de A.

Teorema 1.20. (Metzler:) Sea A = {aij} una matriz positiva. Una condicion necesaria

y suficiente para que todas las raıces caracterısticas de A sean menores que 1 (en valor

absoluto) es que los menores principales de (I − A) sean positivos. Si ademas A es

irreducible (I − A)−1 = {αij} > 0; αii > 1 (∀i) y aij ≤ aii.

1.4.3. Sucesiones y Series de Matrices

El uso de normas nos permite hablar de convergencia de sucesiones de vectores y, por

lo tanto, de matrices. El objetivo es introducir las serie de matrices y demostrar un

resultado que necesitaremos.

Sea {Ak}∞k=0 una sucesion infinita de matrices con elementos en Kn×n, recordemos que

F = R o C. Con esta sucesion formamos otra, la de las sumas parciales

Sk =k∑

j=0

Aj, K ≥ 0

Definicion 1.21. La serie∞∑j=0

Aj converge si la sucesion {Sk} es convergente; i.e. si

existe el lımk→∞

Sk. Ademas, si S = lımk→∞

Sk entonces escribiremos

∞∑

j=0

Aj = S

La convergencia de la serie∞∑j=0

Aj puede reducir a la de la serie numerica∞∑j=0

‖Aj‖ de la

siguiente forma:

Proposicion 1.22. Si la serie numerica∞∑j=0

‖Aj‖ converge para alguna norma de matriz,

tambien converge la serie matricial∞∑j=0

Aj

24


Demostracion 3. Sea ε > 0 un numero real dado. Veremos que existe un entero N > 0

tal que si p, q ≥ N entonces ‖Sp − Sq‖ < ε. Esto demuestra que la sucesion {Sn} de

sumas parciales es una sucesion de Cauchy. Como Km×n es completo, {Sn} converge.

En efecto

‖Sp − Sq‖ =

∥∥∥∥∥

q∑

j=p+1

Aj

∥∥∥∥∥ ≤q∑

j=p+1

‖Aj‖ =

∣∣∣∣∣

p∑

j=0

‖Aj‖ −q∑

j=0

‖Aj‖∣∣∣∣∣

Ahora bien, si∞∑j=0

‖Aj‖ converge, existe N > 0 tal que si p, q ≥ N entonces

∣∣∣∣∣

p∑

j=0

‖Aj‖ −q∑

j=0

‖Aj‖∣∣∣∣∣ < ε

que es lo que se querıa demostrar.

En particular, para matrices cuadradas la serie de potencias∞∑j=0

ajAj es convergente si

lo es la serie numerica∑∞

j=0 |aj |‖Aj‖.Nos interesa especialmente la serie geometrica

∞∑j=0

zj que sabemos que converge a

1

1− z= (1− z)−1 si |z| < 1

Proposicion 1.23. Si A ∈ Kn×n y ‖A‖ < 1 para alguna norma de matriz, entonces

In − A es invertible. Ademas, en tal caso

(In − A)−1 =

∞∑

j=0

Aj

y

‖(In −A)−1‖ ≤ 1

1− ‖A‖

Demostracion 4. Si ‖A‖ < 1 entonces la serie geometrica∞∑j=0

‖A‖j es convergente, y

por la Proposicion 1.22 la serie matricial∞∑j=0

Aj converge. Sea B =∞∑j=0

Aj y pongamos

Sk =

k∑

j=0

Aj

Entonces

(I − A)Sk = (In −A)(In + A + · · ·+ Ak) = In − Ak+1

25


Como lımk→∞

Sk = B resulta que

lımk→∞

(In − A)Sk = (In −A)B

y tambien

lımk→∞

(In − A)Sk = lımk→∞

(In −Ak+1)

Ahora bien, lımk→∞

(In − Ak+1) = In porque ‖In − Ak+1 − In‖ ≤ ‖A‖k+1 y la sucesion

numerica {‖A‖k} converge a cero por ser ‖A‖ < 1.

En consecuencia (In − A)B = In y

(In − A)−1 = B =∞∑

j=0

Aj

Finalmente

‖(In − A)−1‖ =

∥∥∥∥∥

∞∑

j=0

Aj

∥∥∥∥∥ ≤∞∑

j=0

‖A‖j = 1

1− ‖A‖

1.5. Similaridad

Definicion 1.24. Una matriz A se dice ”similar” a la matriz B, y se denota por A ∼ B,

si existe una matriz invertible P tal que A = PBP−1

Observacion 1. Hay propiedades de las matrices que son invariantes bajo similaridad,

esto es, si A ∼ B y A tiene la propiedad entonces B tambien la tiene.

Ejemplo. Muestre que la nilpotencia es una propiedad invariante por similaridad. Lo

que debemos probar es que si A ∼ B y As = 0, para algun s > 1. Entonces Bs = 0,

para algun s > 1.

En efecto: A ∼ B, entonces existe P invertible tal que A = PBP−1.

As = 0

⇒ (PBP−1)s = 0

⇒ (P−1)sBsP s = 0

⇒ BsP s = P s0 = 0

⇒ Bs = 0P−s = 0

⇒ Bs = 0

26


Ejemplo. Si A ∼ B y A es invertible, entonces B tambien es invertible.

Definicion 1.25. Una funcion f definida en matrices se llama invariante por similaridad

si f(A) = f(B) para cualquier par de matrices similares A ∼ B.

Ejemplo. El determinante y la traza son funciones invariantes.

Debemos demostrar:

1. A ∼ B ⇒ det(A) = det(B)

2. A ∼ B ⇒ tr(A) = tr(B)

En efecto:

1. A ∼ B ⇒ ∃P invertible tal que A = PBP−1, entonces

det(A) = det(PBP−1)

= det(P ).det(B).det(P−1)

= det(P ).det(B).1

det(P )

det(A) = det(B)

2. A ∼ B ⇒ ∃P invertible tal que A = PBP−1, entonces

tr(A) = tr(PBP−1)

= tr(P−1PB)

= tr(IB)

tr(A) = tr(B)

Ejemplo. Si A ∼ B, entonces A y B tienen los mismos valores propios. (Para este caso

la funcion es el polinomio caracterıstico).

En efecto.

A ∼ B ⇒ ∃P invertible tal que A = PBP−1, luego se tiene:

f(A) = det(λI −A)

= det(λI − PBP−1)

= det(PλP−1 − PBP−1)

= det(P (λI − PBP−1)P−1

= det(P )det(λI − B)det(P−1)

= det(P ).det(λI − B).1

det(P )

= det(λI −B)

= F (B)

27


Entonces A y B tienen el mismo polinomio caracterıstico.

∴ A y B tienen los mismos valores propios.

1.6. Diagonalizacion

En esta seccion supondremos que el cuerpo base K es algebraicamente cerrado (por

ejemplo K = C). Considermos el siguiente problema: “Dada una matriz A,A ∈ Kn×n,

determinar si es que existe una matriz P , no singular, tal que la matriz B = PAP−1 sea

diagonal”.

Definicion 1.26. Una matriz A se llama diagonalizable si existe una matriz diagonal

D que es similar a A

Hay algunos casos donde los valores propios nos indican si tal matriz es diagonalizable,

como se vera a continuacion.

Proposicion 1.27. Sea A ∈ Mn×n(K). A es similar a una matriz diagonal si y solo si,

A tiene n vectores propios linealmente independientes en Kn.

Demostracion 5.

⇒)Supongamos que P = [P1 P2 · · ·Pn]n×n, donde Pi, i = 1, . . . , n es un vector columna

de orden n× 1, y

D = P−1AP =

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · ·...

.... . .

...

0 0 · · · λn

n×n

=

λ1e1

λ2e2...

λnen

n×n

Entonces:

AP = PD

= [P1P2 · · ·Pn]n×n

λ1e1

λ2e2...

λnen

n×n

= P1(λ1e1) + P2(λ2e2) + · · ·+ Pn(λnen)

= (λ1P1)e1 + (λ2P2)e2 + · · ·+ (λnPn)en

= [λ1P1λ2P2 · · ·λnPn]n×n

e1

e2...

en

n×n

28


AP = [λ1P1λ2P2 · · ·λnPn]n×n(1.4)

Como P es no singular entonces det P 6= 0, luego los vectores columna de P, Pi,

i = 1, . . . , n son linealmente independientes. De (1.4), se tiene que:

APi = λiPi

Por lo tanto, P1, P2, · · · , Pn, son n-vectores propios linealmente independientes para A.

⇐) Sean P1, P2, · · · , Pn, n-vectores propios de A linealmente independientes y asociados

a valor propios λ1, λ2, . . . , λn respectivamente, los cuales cumplen:

APi = λiPi

Entonces, la matriz P cuyas columnas son P1, P2, · · · , Pn es no singular, y verifica:

AP = [λ1P1 λ2P2 · · · λnPn]

AP = PD

donde

D =

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · ·...

.... . .

...

0 0 · · · λn

Luego A = PDP−1, es decir A es similar a una matriz diagonal D.

Sabemos que en el espacio Kn, n vectores linealmente independientes forman una base

de este. Luego, la proposicion anterior la podemos enunciar tambien de la siguiente

manera:

Lema 1.28. Sea A, una matriz de orden n× n, entonces A es diagonalizable si y solo

si Kn tiene base formada por vectores propios de A.

Proposicion 1.29. Si A tiene todos sus valores propios diferentes, entonces A es dia-

gonalizable.

Demostracion 6.

Sean λ1, λ2, . . . , λn distintos valores propios de la matriz A y sean v1, v2, . . . , vn sus

correspondientes autovectores. Luego por la parte (2) de la proposicion (1.14) se tiene

que v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes y por proposicion (1.27) se tiene que

A es similar a una matriz diagonal. Por lo tanto, A es diagonalizable

29


Observacion 2.

La proposicion (1.27) y el lema (1.28) indican que una condicion necesaria y suficiente

para que una matriz cuadrada A de orden n sea diagonalizable es que para cada autovalor

λi, i = 1, . . . , p de A con multiplicidad algebraica mi, i = 1, . . . , p yp∑

i=1

mi = n se verifica

que

dim[V (λi)] = mi, i = 1, . . . , p

Por tanto, si A es diagonalizable, el espacio vectorial V donde esta definida la aplicacion

lineal f con matriz asociada A se puede expresar como suma directa de los subespacios

invariantes, es decir

V = V (λ1)⊕

V (λ2)⊕

, . . . ,⊕

V (λn)

Ejemplo. (De una matriz con todos sus valores propios diferentes)

Sea

A =

[1 2

1 −3

]

|A− λI| = λ2 + 2λ− 5

Luego los valores propios de A son λ1 = −1 +√6, λ2 = −1−

√6,

1. Hallemos el vector propio asociado a λ1 : v1 =

[x1

x2

]

Av1 = λ1v1

[1 2

1 −3

][x1

x2

]

=

[(−1 +

√6)x1

(−1 +√6)x2

]

(2−√6)x1 + 2x2 = 0

x1 − (2 +√6)x2 = 0

x2 = (−1 +

√6

2)x1

Por lo tanto v1 = x1

[1

−1 +√62

]

30


2. Hallemos el vector propio asociado a λ2 : v2 =

[y1

y2

]

Av2 = λ2v2

[1 2

1 −3

][y1

y2

]

=

[(−1 −

√6)y1

(−1 −√6)y2

]

(2−√6)y1 + 2y2 = 0

y1 − (2 +√6)y2 = 0

y2 = (−1 +

√6

2)y1

Por lo tanto v2 = y1

[1

−1−√62

]

3. Luego podemos formar la matriz

P = [v1 v2] =

[1 1

−1 +√62

−1 −√62

]

con

P−1 =

[ √6+22√6

1√6√

6−22√6

− 1√6

]

para la cual se verifica que

D = P−1AP =

[−1 +

√6 0

0 −1 −√6

]

Por lo tanto A es diagonalizable.

Ejemplo. (De una matriz con valores propios repetidos)

Sea

B =

5 4 2

4 5 2

2 2 2

|B − λI| = (1− λ)2(10− λ) = 0

Luego los valores propios son

λ1 = 1, con m1 = 2

λ2 = 10, con m2 = 1

31


1. Hallemos V (λ1) y V (λ2)

Para λ1 = 1 : V (λ1 = 1 = {v = (x1, y1, z1) ∈ R3/Bv = v}

Bv = v

5 4 2

4 5 2

2 2 2

x1

y1

z1

=

x1

y1

z1

4x1 + 4y1 + 2z1 = 0

4x1 + 4y1 + 2z1 = 0

2x1 + 2y1 + z1 = 0

De donde se tiene :z1 = −2x1 − 2y1. Por lo que

v =

x1

y1

z1

=

x1

y1

−2x1 − 2y1

= x1

1

0

−2

+ y1

0

1

−2

luego dimV (λ1) = 2, y se obtiene dos vectores propios asociados a λ1

v1 =

1

0

−2

y

0

1

−2

Para λ2 = 10 : V (λ2 = 10 = {v = (x2, y2, z2) ∈ R3/Bv = 10v}

Bv = 10v

5 4 2

4 5 2

2 2 2

x2

y2

z2

=

10x2

10y2

10z2

−5x1 + 4y1 + 2z1 = 0

4x1 − 5y1 + 2z1 = 0

2x1 + 2y1 − 8z1 = 0

De donde se tiene: x2 = y2 y x2 = 2z2, por lo que

v =

x2

y2

z2

=

2z2

2z2

z2

= z2

2

2

1

luego, dimV (λ2) = 1

32


2. Por tanto, como dimV (λ1) = 2 y dimV (λ2) = 1, existen

(1, 0,−2), (0, 1,−2) ∈ V (λ1)

(2, 2, 1) ∈ V (λ2)

autovectores de B tales que la matriz

P =

1 0 2

0 1 2

−2 −2 1

es no singular, verificandose que

P−1BP =

5/9 −4/9 2/9

−4/9 5/9 −2/9

2/9 2/9 1/9

5 4 2

4 5 2

2 2 2

1 0 2

0 1 2

−2 −2 1

P−1BP = D =

5/9 −4/9 2/9

−4/9 5/9 −2/9

20/9 20/9 10/9

1 0 2

0 1 2

−2 −2 1

P−1BP = D =

1 0 0

0 1 0

0 0 10

Por lo tanto B es diagonalizable.

1.6.1. Diagonalizacion de Matrices Idempotentes y Nilpotentes

Las propiedades respecto del caracter diagonalizable o no de las matrices idempotentes

y nilpotentes, se recogen en el resultado que se indica a continuacion.

Proposicion 1.30. Sea A una matriz cuadrada de orden n no nula. Entonces se verifica

que:

i) Si A es idempotente, A es diagonalizable.

ii) Si A es nilpotente, A no es diagonalizable.

Demostracion 7.

i) Es consecuencia inmediata de la propiedad (III) de la proposicion 1.17

ii) Si A es nilpotente, entonces λ = 0 (con m = n) es su unico autovalor, por tanto,

dado que

V (λ) = {x ∈ Rn : Ax = 0} y dimV (λ) = n − rg(A) < n la matriz A no es

diagonalizable

33


En resumen, las matrices que son simetricas, idempotentes o que tienen todos sus au-

tovalores distintos son diagonalizables. En general, una condicion necesaria y suficiente

para que una matriz A sea diagonalizable, es que la dimension del subespacio de auto-

vectores asociado a cada autovalor, coincida con el orden de multiplicidad del autovalor,

es decir, existe una base de autovectores del espacio en que esta definida la aplicacion

lineal cuya matriz asociada es A.

Cabe indicar que no todas las matrices son diagonalizables.

Ejemplo. Sea

C =

19/2 −9/2 −7/2

13 −6 −9/2

10 −5 −9/2

cuyo polinomio caracterıstico es: fC(λ) = −λ3 − λ2 + 74λ − 1

2y cuyos autovalores son

λ1 = 0,5, con m1 = 2 y λ2 = −2, con m2 = 1. Vamos a verificar si C es diagonalizable.

Hallemos V (λ1 = 0,5) : V (λ1) = {v = (x1, y1, z1) ∈ R3/Cv = 0,5v}

(C − 0,5I) = 0

9 −9/2 −7/2

13 −13/2 −9/2

10 −5 5

x1

y1

z1

=

0

0

0

Luego V (λ1) = {v = (x1, y1, z1) ∈ R3/z1 = 0, y1 = 2x1}. Ası, dimV (λ1) = 1 6= m1.

Por lo tanto C no es diagonalizable.

Sin embargo existe una matriz “casi diagonal”, llamada matriz de Jordan que veremos

en el siguiente capıtulo.

34

Capıtulo 2

Forma Canonica de Jordan

Como se vio en el capıtulo anterior no todas las matrices cuadradas son diagonalizables.

Sin embargo, siempre que el cuerpo elegido K sea el de los numeros complejos C es

posible encontrar una matriz “casi diagonal”semejante a una dada.

El interes de poder determinar una matriz semejante con estructura diagonal o casi dia-

gonal radica en la facilidad para calcular potencias de matrices con estas caracterısticas.

En este capıtulo se establece que si A ∈ Mn es una matriz con aij ∈ C; i, j = 1, . . . , n,

entonces existe una matriz de Jordan semejante a A, que en ocasiones es diagonal.

Una matriz de Jordan esta constituida por bloques elementales cuya definicion es la

siguiente.

Definicion 2.1. Se dice que una matriz B = (bij), i, j = 1, . . . , r es una caja o bloque

elemental de Jordan si se verifica que

bij =

b i = j

1 i+ 1 = j

0 resto

es decir B es de la forma

B =

b 1 0 · · · 0 0

0 b 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...

0 0 0 · · · b 1

0 0 0 · · · 0 b

El unico valor propio de Jr(b) es b.

Se puede escribir tambien Jr(b) = bIr + Jr(0)

Una vez conocida la definicion de caja o bloque elemental, el concepto de matriz de

Jordan es el que se senala a continuacion.

35

Forma Canonica de Jordan 36

Definicion 2.2. Dada J ∈ M se dice que J es una matriz de Jordan si es diagonal por

bloques, y cada uno de los bloques es una caja elemental de Jordan, esto es:

J =

Jn1(λ1) 0 · · · 0

0 Jn2(λ2) · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · Jns(λs)

(n1+n2+···+ns)×(n1+n2+···+ns)

La matriz de Jordan tambien se denota por

Jn1(λ1)⊕ Jn2

(λ2)⊕ · · · ⊕ Jns(λs)

Teorema 2.3. (Cayley-Hamilton) Sea A una matriz de orden n× n y sea fA(x) su

polinomio caracterıstico. Entonces fA(A) = 0.

Demostracion 8.

Primero probaremos que si A es semejante a B con A = PBP−1 entonces: “si f

es un polinomio f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm, y si para una matriz cuadrada X ,

f(X) = a0I + a1X + · · ·+ amXm,

entonces f(A) = Pf(B)P−1”.

En efecto:

f(A) = a0I + a1A + · · ·+ amAm

= a0PP−1 + a1PBP−1 + · · ·+ am(PBP−1)m

= a0PP−1 + a1PBP−1 + · · ·+ amPBmP−1

= P (a0I + a1B + · · ·+ amBm)P−1

f(A) = Pf(B)P−1

Ahora supongamos que J = P−1AP es la forma de Jordan asociada a A. Se tiene

entonces que:

fA(A) = fA(PJP−1) = PfA(J)P−1

Ademas fA(x) = fJ(x) (pues A y J son semejantes.)

Entonces fA(A) = PfJ(J)P−1. Luego, debemos demostrar que:

fJ(J) = 0.

36


Si J = J1 ⊕ J2 entonces fJ(J1 ⊕ J2) = fJ1(J1)⊕ fJ2(J2) y fJ(x) = fJ1(x)⊕ fJ2(x).

Luego, bastara demostrar que:

fJs(λ)(Js(λ)) = 0 para cada bloque de Jordan Js(λ).

Sabemos que

Js(λ) = λI + Js(0)

Js(λ)− λI = Js(0)

(Js(λ)− λI)s = (Js(0))s = 0

Y como fJs(λ)(t) = (t− λ)s, se tiene que

fJs(λ)(Js(λ)) = (Js(λ)− λIs)s = 0

Entonces fJ (J) = 0 y por lo tanto

fA(A) = 0.

2.1. Matriz de Jordan Asociada a una aplicacion

nilpotente

Sea V un K - espacio vectorial de dimension n 6= 0 y una aplicacion lineal no nula

T : V → V . Nunca existe una matriz diagonal asociada a T , ya que λ = 0 es el unico

autovalor de T y dim[V (λ = 0)] 6= n. Sin embargo, existe una matriz casi diagonal

asociada a T que es una matriz de Jordan tal como indica el siguiente resultado.

Teorema 2.4. Sea V un K - espacio vectorial de dimension n 6= 0 y sea T una aplicacion

lineal de V en V . Si T es nilpotente de orden p, existe una base β de V tal que la matriz

asociada a T respecto de dicha base es de la forma:

A =

A1 0 · · · 0

0 A2 · · · 0... · · · . . .

...

0 0 · · · Ak

siendo para cada i = 1, . . . , k

Ai =

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

...

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · 0

37


Demostracion 9. Para cada i = 0, . . . , p definimos

Ki = Ker(T i), con ni = dimKi

De acuerdo con la definicion de nucleo y composicion de aplicaciones lineales es

claro que

(2.1) {0V } = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kp−1 ⊂ Kp

En efecto:

• K0 = Ker(I) = {v ∈ V/Iv = 0} = {0V }• Ker(T i−1) = Ki−1 ⊂ Ki = ker(T i), i = 1, · · · , pEs claro: Sea x ∈ Ker(T i−1), debemos demostrar que T i(x) = 0.

Como

T i−1(x) = 0

T (T i−1)(x) = T (0)

T i(x) = 0

Por lo tanto Ki−1 ⊂ Ki, i = 1, · · · , p

y 0 = n0 ≤ n1 ≤ n2 ≤, . . . ,≤ np−1 ≤ np, verificandose ademas, por ser T nilpotente

de orden p, que

Kp = V y np = n

Si di = ni − ni−1 para i = 1, . . . , p son las diferencias entre las dimensiones de los

nucleos Ki y Ki−1, se tiene que

p∑

i=1

di = n y n1 = d1

Asimismo, como T p−1 no es la aplicacion nula, se cumple tambien que Kp−1 6= V

y por tanto

np−1 < np y dp = np − np−1 ≥ 1

Ahora bien, dado que Kp−1 ⊂ V y son distintos, existe un subespacio vectorial

Gp ⊂ V con dimension dp = n− np−1 tal que

V = Gp ⊕Kp−1

38


Sea βp = {v1, . . . , vdp} una base del subespacio Gp. Se verifica entonces que:

a) T (vi) ∈ Kp−1, i = 1, . . . , dp

En efecto: T p−1(T (vi)) = T p(vi) = 0V , i = 1, . . . , dp

b) Los vectores del conjunto TBp = {T (v1), . . . , T (vdp)} son linealmente inde-

pendientes

En efecto:

Sea α1T (v1)+. . .+αdpT (vdp) = 0V . Debemos probar que αi = 0, i = 1, . . . , dp.

Como

T p−1(α1v1 + . . .+ αdpvdp) = T p−2(α1Tv1 + . . .+ αdpTvdp)

= T p−2(0)

= 0V , para p > 1,

entonces el vector: α1v1 + . . . + αdpvdp, el cual pertenece a Gp, tambien per-

tenece a Kp−1, por lo tanto el vector

(α1v1 + . . .+ αdpvdp) ∈ Kp−1 ∩Gp = {0V },

y por tanto α1 = α2 = . . . = αdp = 0, pues βp = {v1, . . . , vdp} es una base de

Gp.

En consecuencia, los valores de Tβpson linealmente independientes.

c) L(TBp) ∩Kp−2 = {0V }Demostracion por el absurdo:

Supongamos que existen β1, β2, . . . , βdp ∈ K tales que

w = β1T (v1), β2T (v2), . . . , βdpT (vdp) ∈ L(TBp) ∩Kp−2

Como 0V = T p−2(w) = T p−1(β1v1+ . . .+βdpvdp), pues w ∈ Kp−2, se tiene que

β1v1+. . .+βdpvdp ∈ Kp−1 = Ker(T p−1), pero ademas (β1v1+. . .+βdpvdp) ∈ Gp

pues {v1, . . . , vdp} es base de Gp.

Entonces:

(β1v1 + . . .+ βdpvdp) ∈ Kp−1 ∩Gp = {0}.Ası pues β1v1 + . . .+ βdpvdp = 0, entonces βi = 0, i = 1, . . . , dp

Luego w = 0. Por lo tanto L(Tβp) ∩Kp−2 = {0V }

De acuerdo con (2.1) y lo indicado en (a), (b) y (c) se tiene:

Kp−2 ⊂ Kp−1

L(Tβp) ⊂ Kp−1

Wp−2 = Kp−2 ⊕ L(Tβp) ⊂ Kp−1

39


siendo

dim(Wp−2) = np−2 + dp ≤ np−1

y por ello

(2.2) dp ≤ dp−1 = np−1 − np−2

Sea entonces Gp−1 el subespacio suplementario de Wp−2 en Kp−1, es decir:

(2.3) Kp−1 = Gp−1 ⊕Kp−2 ⊕ L(Tβp)︸︷︷︸Wp−2

Veamos la dim(Gp−1):

K

K

V

GG

L T

p − 1

p − 1

p − 2

p

( )B p

Figura 2.1: dim(Kp−1) = np−1

entonces

dim(Gp−1) = nn−1 − dim(L(Tβp))− dim(Kp−2)

= np−1 − dp − np−2

= np−1 − (np − np−1)− np−2

= np−1 − np + np−1 − np−2

= −(np − np−1) + (np−1 − np−2)

dim(Gp−1) = −dp + dp−1

Luego, si dp = dp−1, se obtiene que Gp−1 = {0v}, en caso contrario:

dim(Gp−1) = dp−1 − dp ≥ 1, esto es por 2.2

y existe una base:

βp−1 = {vdp+1, . . . , vdp−1} de Gp−1.

40


Ademas, se verifica que:

1. T 2(vi), T (vj) ∈ Kp−2 i = 1, . . . , dp; j = dp + 1, . . . , dp−1

2. Los vectores del conjunto

Tβp−1 = {T 2(v1), . . . , T2(vdp), T (vdp+1), . . . , T (vdp−1

)}

son linealmente independientes.

3. L(Tβp−1) ∩Kp−3 = {0V }

si se reitera el proceso se obtiene, por ultimo que:

K1 = G1 ⊕ L(Tβ2)⊕K0 = G1 ⊕ L(Tβ2)

siendo

Tβ2 = {T p−1(v1), . . . , Tp−1(vdp), T

p−2(vdp+1), . . . , Tp−(vdp−1

), T p−3(vdp−1+1), . . . , T (v2)}

con

dim[L(Tβ2)] = d2 y dim(G1) = d1 − d2,

ya que dim(K1) = n1 = d1

Sea β1 = {vd2+1, . . . , vd1} una base de G1 y considerense los n = d1 + . . .+ dp vectores

(2.4)

v1, . . . , vdp

T (v1), . . . , T (vdp), vdp+1, . . . , vdp−1

T 2(v1), . . . , T2(vdp), T (vdp+1), . . . , T (vdp−1

), vdp−1+1, . . . , vdp−2

...

T p−2(v1), . . . , Tp−2(vdp), T

p−3(vdp+1), Tp−3(vdp−2

), . . . , vd2

T p−1(v1), . . . , Tp−1(vdp), T

p−2(vdp+1), . . . , vd2 , Tp−2(vdp−2

), . . . , T (vd2), vd2+1, . . . , vd1

ordenados en p filas y d1 = n1 columnas.

El conjunto de vectores indicados en (2.4) verifica que:

Los vectores de cada una de las filas son linealmente independientes

La imagen por T de los vectores de la ultima fila es siempre 0v, ya que Gi ⊂ Ki

para cada i = 1, . . . , p

Los n1 vectores de la ultima fila forman una base de K1 = G1 ⊕ L(Tβ2) pues son

los que integran el conjunto β1 ∪ Tβ2 y β1 es una base de G1

41


El conjunto de n1 + d2 = n2 vectores formados por las dos ultimas filas de (2.4) es

una base de K2 = G2 ⊕ L(Tβ3)⊕K1 y la penultima fila de (2.4) esta constituida

por la union de una base de G2 y el conjunto Fβ3

El conjunto de los n vectores indicados en (2.4) es una base de Kp = V .

En virtud de la proposicion (1.1) los vectores columna de (2.4) son linealmente

independientes.

El subespacio vectorial generado por los vectores columna de (2.4)

Si = L({vi, T (vi), . . . , T k(vi)}), k ∈ {0, . . . , p− 1}; i = 1, . . . , d1

es invariante por T , dada la construccion efectuada.

Si se considera T restringida al subespacio Si, i = 1, . . . , d1 dotado de la base

{T k(vi), . . . , T (vi), vi}

en la matriz asociada a T aparece una caja de dimension k + 1 de la forma

(2.5)

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · 0

Por tanto, si se considera como base de V , el conjunto de los vectores indicados en (2.4),

reordenados de la forma

(2.6)

β = {T p−1(v1), . . . , v1, . . . , Tp−1(vdp), . . . , vdp, T

p−2(vdp+1), . . . , T (vd2), . . . , vd2, . . . , vd1}

se verifica que la matriz asociada a T respecto de la base β es

(2.7) A =

A1 0 · · · 0

0 A2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · Ad1

siendo Ai, i = 1, . . . , d1 del tipo indicado en (2.5) y la dimension de Ai mayor o igual

que la de Ai+1 para cada i

42


Observacion 3.

Los ordenes de cada una de las matrices indicadas en (2.7) son p, p − 1, . . . , 2, 1,

si bien puede suceder que no existan bloques con alguna de estas dimensiones.

Ası cuando di = di−1 no habra caja de orden i− 1.

Por (2.5), las (dp) columnas:

v1 · · · vdpT (v1) · · · T (vdp)

......

T p−1v1 · · · T p−1vdp

generan (dp) bloques de Jordan del mismo orden (p)

dp = (dp − 1) + 1

∗ Las dp−1 − dp columnas:

vdp+1 · · · vdp−1

T (vdp+1) · · · T (vdp−1)

......

T p−2(vdp+1) · · · T p−2(vdp−1)

generan (dp−1 − dp) bloques de Jordan de orden (p− 1).

Por lo tanto, el numero de submatrices de Jordan de un mismo orden j viene

determinado por el valor de:

(2.8)dj − dj+1 = 2nj − nj−1 − nj+1

dj − dj+1 = 2 dim[ker(T j)]− dim[ker(T j−1)]− dim[ker(T j+1)]

Tal como se senala en (2.7), el numero total de bloques Ai de la matriz A es d1,

d1 = n1 = dim[ker(T )]

Ejemplo. Sea T : R5 → R5 una aplicacion lineal cuya matriz asociada respecto a la

base canonica es:

A =

−1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1 −1 0 0 0

0 −2 −2 0 0

2 1 3 0 0

Hallaremos la F. C. J. para A

43


A es nilpotente de orden p = 3, pues A3 = ⊘En efecto:

A2 =

1 0 1 0 0

1 0 1 0 0

−1 0 −1 0 0

−2 0 −2 0 0

1 0 1 0 0

A3 = A2 ∗ A =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Determinamos la dimension de los subespacios vectoriales:

k1 = Ker(T ); k2 = Ker(T 2); k3 = Ker(T 3)

Luego rg(A) = 2 ⇒ n1 = dim(k1) = 5− 2 = 3

El rg(A2) = 1 ⇒ n2 = dim(k2) = 5− 1 = 4

y n3 = 5− 0 = 5

Por tanto:

d1 = n1 = 3 ⇒ d1 = 3

d2 = n2 − n1 = 4− 3 = 1 ⇒ d2 = 1

d3 = n3 − n2 = 5− 4 = 1 ⇒ d3 = 1

Cajas de orden 3: d3 = 1

Cajas de orden 2: d2 − d3 = 1− 1 = 0

Cajas de orden 1: d1 − d2 = 3− 1 = 2

Ası la matriz J semejante a A es:

J =

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

44


Hallemos la base de Jordan β: La base β de R5 respecto de la cual J es la matriz

asociada a la aplicacion lineal T viene dada por los vectores:

v1

T (v1)

T 2(v1) v2 v3

Siendo ki; i = 1, 2, 3

k3 = G3 ⊕ k2

↓{v1}

k2 = G2 ⊕ L{T (β3)} ⊕ k1

↓L{T (v1)}

k1 = G1 ⊕ L{T (β2)} ⊕ k0

↓ ↓ ↓{v2, v3} L{T 2(v1)} 0

con v1, v2, v3 ∈ R4 tales que:

v1 /∈ k2 = ker(T 2)

v2, v3 ∈ k1 = ker(T ), k2 = ker(T 2) v2, v3 /∈ L{T 2(v1)}

Como:

Ker(T ) = {(a, b, c, d, e) ∈ R5/a+ c = 0 y b+ c = 0}Ker(T 2) = {(a, b, c, d, e) ∈ R5/a+ c = 0}

Podemos elegir:

v1 = (0, 0, 1, 0, 2)

T (v1) = A ∗ v1 = (0, 1, 0,−2, 3)

T 2(v1) = A2 ∗ v1 = (1, 1,−1,−2, 1)

v2 = (0, 0, 0, 0, 1)

v3 = (0, 0, 0, 1, 0)

45


Por tanto β = {T 2(v1), T (v1), v1, v2, v3}Ası:

P =

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

−1 0 1 0 0

−2 −2 0 0 1

1 3 2 1 0

Cuya inversa es:

P−1 =

1 0 0 0 0

−1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 −3 −2 0 1

0 2 0 1 0

Y en efecto se tiene que:

P−1AP =

1 0 0 0 0

−1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 −3 −2 0 1

0 2 0 1 0

−1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1 −1 0 0 0

0 −2 −2 0 0

2 1 3 0 0

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

−1 0 1 0 0

−2 −2 0 0 1

1 3 2 1 0

P−1AP =

−1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

−1 0 1 0 0

−2 −2 0 0 1

1 3 2 1 0

=

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

46


2.2. Matriz de Jordan asociada a una Aplicacion con

un unico Autovalor

Si T no es nilpotente, pero al igual que las aplicaciones nilpotentes tiene un unico

autovalor, entonces del teorema anterior se deduce de manera casi inmediata la existencia

de la matriz de Jordan asociada a T , como se muestra en el siguiente resultado.

Proposicion 2.5. Sea T : Kn → Kn una aplicacion lineal con matriz asociada A

respecto de la base canonica de Kn. Si λ∗ ∈ K es un autovalor de A con multiplicidad

algebraica n, entonces se verifica que existe una matriz J de Jordan semejante a A, dada

por

J1 0 · · · 0

0 J2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · Jk

donde cada submatriz Ji es una caja elemental de Jordan de la forma

λ∗ 1 0 · · · 0 0

0 λ∗ 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...

0 0 0 · · · λ∗ 1

0 0 0 · · · 0 λ∗

la dimension de cada una de las submatrices es decreciente y puede ser p, p− 1, . . . , 2, 1

siendo p ≤ n el primer numero natural para el cual (A− λ∗In)p = 0n. Ademas

k = n− rg(A− λ∗In)

y existen rl bloques de dimension l ∈ {1, 2, . . . , p} con

rl = rg[(A− λ∗In)l−1] + rg[(A− λ∗In)

l+1]− 2rg[(A− λ∗In)l]

Demostracion 10. Si A tiene a λ∗ como unico autovalor, entonces su polinomio

caracterıstico es

fA(λ) = (−1)n(λ− λ∗)n

De acuerdo con el teorema de Cayley - Hamilton se tiene que

(A− λ∗In) = 0n,

ası pues, la matriz

G = A− λ∗In

47


es nilpotente de orden p ≤ n y es la asociada respecto de la base canonica de Kn, a

la aplicacion lineal T ′ = T − λ∗Id. De acuerdo con el teorema (2.4) existe una base

β = {v1, . . . , vn} de Kn tal que la matriz asociada a T ′ respecto de dicha base es de la

forma:

B =

A1 0 · · · 0

0 A2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · An1

con n1 = dim[ker(g)] = n− rg(A− λ∗In) y Ai de la forma

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · 0

verificandose entonces que G y B son matrices semejantes, pues G = PBP−1 siendo P

una matriz no singular de orden n dada por

P = [v1 v2 · · · vn]

teniendo en cuenta la demostracion del teorema (2.4), se verifica que las dimensio-

nes de las submatrices Ai son p, p − 1, . . . , 2, 1 y el numero de bloques Ai de orden

l ∈ {1, 2, . . . , p} es:

rl = 2dim[ker(gl)]− dim[ker(gl−1)]− dim[ker(gl+1)]

rl = 2{n− rg[(A− λ∗In)l]} − {n− rg[(A− λ∗In)

l−1]} − {n− rg[(A− λ∗In)l+1]}

rl = rg[(A− λ∗In)l−1] + rg[(A− λ∗In)

l+1]− 2rg[(A− λ∗In)l]

por ultimo, como T = T ′ + λ∗I, la matriz asociada a T respecto de la base β sera:

J = B + λ∗In =

J1 0 · · · 0

0 J2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · Jn1

con

Ji =

λ∗ 1 0 · · · 0 0

0 λ∗ 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...

0 0 0 · · · λ∗ 1

0 0 0 · · · 0 λ∗

48


es decir J es la matriz de Jordan.

La distribucion y tamano de las cajas elementales de Jordan Ji, obviamente coincide

con la indicada para las submatrices Ai.

J es una matriz semejante a A pues

A = PJP−1

ya que

PJP−1 = P (B + λ∗In)P−1

= PBP−1 + λ∗In

= G+ λ∗In

PJP−1 = A

Ejemplo. Sea f : R4 → R4 una aplicacion lineal cuya matriz asociada respecto de la

base canonica de R4 es

A =

4 0 1 0

1 1 1 −1

0 −2 3 −1

−1 2 −1 4

el polinomio caracterıstico de A es

P (λ) = (λ− 3)4

y, por tanto λ = 3 con m1 = 4 es el unico autovalor de la matriz A.

si se considera la matriz B = A− 3I asociada a una aplicacion lineal g = f − 3i se tiene

que

B =

1 0 1 0

1 −2 1 −1

0 −2 0 −1

−1 2 −1 1

; B2 =

1 −2 1 −1

0 0 0 0

−1 2 −1 1

0 0 0 0

y B3 = 04, es decir B es nilpotente de orden p = 3 y en virtud del teorema (2.4) existe

una matriz de Jordan B semejante a B.

Dado que

rg(B) = 2 rg(B2) = 1 rg(B3) = 0

se verifica que

n1 = dim[ker(g)] = 4− 2 = 2

n2 = dim[ker(g2)] = 4− 1 = 3

49


n3 = dim[ker(g3)] = dim(R4) = 4

n4 = 4, y d1 = n1 = 2; d2 = n2 − n1 = 1; d3 = n3 − n2 = 1; d4 = 0

por tanto, el numero de cajas elementales de B es 2, siendo una de ellas de orden 3 y la

otra de orden 1, pues

d3 − d4 = 1, d2 − d3 = 0, d1 − d2 = 1

ası pues la matriz B semejante a B es

B =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

y de acuerdo con la proposicion (2.5)

A = B + 3I4

3 1 0 0

0 3 1 0

0 0 3 0

0 0 0 3

es la matriz de Jordan semejante a A.

La base β de R4 respecto de la cual B y A son las matrices asociadas respectivamente

a las aplicaciones lineales g y f viene dada por los vectores

v1

g(v1)

g2(v1) v2

con v1, v2 ∈ R4 no nulos tales que

v1 /∈ ker(g2)

v2 ∈ ker(g2); v2 ∈ ker(g) y v2 /∈ L(g2(v1))

por consiguiente, como

ker(g) = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x3 = 0; 2x2 + x4 = 0}

ker(g2) = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0}

50


se puede elegir

v1 = (1, 0, 0, 0)

y dado que

g(v1) = (1, 1, 0,−1)

g2(v1) = (1, 0,−1, 0)

una posible eleccion del vector v2 es

v2 = (0, 1, 0,−2)

por tanto

β = {g2(v1), g(v1), v1, v2}

y en efecto de tiene que

1 1 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 −2

−1

B

1 1 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 −2

=

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

= B

y

1 1 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 −2

−1

A

1 1 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 −2

=

3 1 0 0

0 3 1 0

0 0 3 0

0 0 0 3

= A

Ejemplo. La matriz

i 0 0 0 0

1 i −2 2 0

1 0 −1 + i 1 0

1 0 −1 1 + i 0

0 0 0 0 i

no es diagonalizable, pues λ = i es su unico autovalor con multiplicidad algebraicam = 5

y como rg(A− iI5) = 2 entonces

dim[V (λ = i)] = 3 < 5

para encontrar la matriz de Jordan semejante a A se procede del mismo modo que en el

apartado anterior . Si f : C5 → C5 es la aplicacion lineal que tiene como matriz asociada

51


a A. Se define g = f − iI (donde I denota la aplicacion identidad) con matriz asociada

nilpotente de orden p = 2, dada por

0 0 0 0 0

1 0 −2 2 0

1 0 −1 1 0

1 0 −1 1 0

0 0 0 0 0

como rg(B) = 2 y rg(B2) = 0

entonces

n1 = dim[ker(g)] = 5− 2 = 3

n2 = dim[ker(g2)] = C5 = 5

n3 = n4 = n5 = 5

y

d1 = n1 = 3, d2 = n2 − n1 = 2, d3 = d4 = d5 = 0

En consecuencia, la matriz de Jordan A semejante a A tiene tres bloques elementales

cuya dimension viene dada por:

no de bloques con dimension 1→ d1 − d2 = 1

no de bloques con dimension 2→ d2 − d3 = 2

de donde:

A =

i 1 0 0 0

0 i 0 0 0

0 0 i 1 0

0 0 0 i 0

0 0 0 0 0

la base β de C5 respecto de la cual la aplicacion lineal f tiene como matriz asociada A

esta dada por

β = {g(v1), v1, g(v2), v2, v3}

con v1, v2, v3 ∈ C5 no nulos tales que

v1, v2 /∈ ker(g) y son linealmente independientes

v3 ∈ ker(g)

ası pues, como

ker(g) = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ C5 : x1 = 0; x3 = x1}

52


se elige por ejemplo

v1 = (1, 0, 0, 0, 0) con g(v1) = (0, 1, 1, 1, 0)

v2 = (0, 0, 1,−1, 0) con g(v2) = (0,−4,−2,−2, 0)

v3 = (0, 1, 1, 1, 1)

y se tiene que:

0 1 0 0 0

1 0 −4 0 1

1 0 −2 1 1

1 0 −2 −1 1

0 0 0 0 1

i 1 0 0 0

0 i 0 0 0

0 0 i 1 0

0 0 0 i 0

0 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 0 −4 0 1

1 0 −2 1 1

1 0 −2 −1 1

0 0 0 0 1

−1

= A

2.3. Matriz de Jordan asociada a una aplicacion li-

neal cualquiera

Sea T : Kn → Kn una aplicacion lineal con matriz asociada A respecto de la base canoni-

ca de Kn. Si los autovalores de A son λ1, λ2, . . . , λk ∈ K (k ≤ n) con multiplicidades

algebraicas m1, m2, . . . , mk respectivamente yk∑

i=1

mi = n. En este caso general puede

reducirse al caso presentado en la subseccion (2.2), procediendo en las siguientes etapas:

1. La matriz A es semejante a una matriz triangular superior U que tiene en la

diagonal principal los autovalores de A.

2. La matriz A es semejante a una matriz U diagonal por bloques, siendo cada bloque

no nulo Uii una matriz triangular superior de orden mi cuyos elementos de la

diagonal principal son todos iguales al autovalor λi de A.

3. Cada bloque Uii, i = 1, 2, . . . , k de la matriz U es una matriz con todos sus

autovalores iguales, para el cual el problema esta resuelto, como se muestra en la

proposicion (2.5)

Lo anterior lo formalizaremos mediante la siguiente:

Proposicion 2.6. Sea T : Kn → Kn una aplicacion lineal con matriz asociada A

respecto de la base canonica de Kn. Si los autovalores de A son λ1, λ2, . . . , λk ∈ K

53


(k ≤ n) con multiplicidades algebraicas m1, m2, . . . , mk respectivamente, siendok∑

i=1

mi = n, entonces se verifica que:

(i) La matriz A es semejante a una matriz triangular superior U que tiene en la

diagonal principal los autovalores de A.

(ii) La matriz A es semejante a una matriz U diagonal por bloques de la forma

U =

U11 0 · · · 0

0 U22 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · Ukk

donde para cada i = 1, 2, . . . , k, Uii es una matriz triangular superior de orden mi

cuyos elementos de la diagonal principal son todos ellos iguales a λi.

Demostracion 11.

(i) la demostracion de este resultado se efectua por induccion sobre n:

Si n = 1, el resultado es inmediato, pues toda matriz de orden 1 es triangular.

Supongamos que la condicion indicada en (I) se verifica para matrices de

orden (n− 1).

Demostraremos la condicion (I) para matrices de orden n. Como A tiene k

autovalores diferentes y cada uno de ellos tiene asociado un autovector, sin

perdida de generalidad se considera u1 ∈ Kn, autovector asociado al autovalor

λ1 y la base de Kn dada por β = {u1, v2, . . . , vn}. Respecto de esta base la

aplicacion lineal T tendra como matriz asociada:

A =

λ1 A12

0... A22

0

siendo A22 una matriz de orden (n− 1).

Ahora, como |A−λIn| = (λ1−λ)|A22−λIn−1| y A22 tiene orden (n−1), por

hipotesis inductiva, el resultado es cierto para (n − 1); entonces existen dos

matrices: P1 no singular y U1 triangular superior, ambas de orden (n − 1),

54


tales que U1 = P−11 A22P1, siendo los elementos de la diagonal principal de U1

los (n− 1) autovalores de A22 (que son tambien autovalores de A).

Entonces, si se considera la matriz P ∈ Mn:

P =

1 0 · · · 0

0... P1

0

, que es no singular

y ademas

P−1 =

1 0 · · · 0

0... P−1

1

0

se verifica que:

P−1AP =

λ1 A12

0... P−1

1 A22

0

1 0 · · · 0

0... P−1

1

0

P−1AP =

λ1 A12P1

0... P−1

1 A22P1

0

=

λ1A

0... U1

0

= U

Por esto, U es semejante a A y por tanto a A. Note que U es una matriz

triangular superior por serlo U1 y que sus elementos de la diagonal principal

son los autovalores de A.

(ii) En virtud de (I) se cumple que A es semejante a la matriz particionada

U =

U11 U12 · · · U1k

0 U22 · · · U2k

......

. . ....

0 0 · · · Ukk

donde Uii es triangular superior, de orden mi con

Uii =

λi ∗ ∗. . . ∗

0 λi

55


A partir de las matrices no singulares:

S(h, (α)l) =

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0

0 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

...

0 0 · · · 1 · · · α · · · 0...

......

. . ....

...

0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...

......

.... . .

...

0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

donde α es el elemento de la fila h y la columna l, con h < l, cuya inversa es:

S(h, (α)l)−1 = S(h, (−α)l)

Se tiene que la matriz U∗ ∈ Mn dada por

U∗ = S(h, (α)l)US(h, (−α)l)

es triangular superior, por ser producto de matrices triangulares superiores y es

semejante a U . Las matrices U y U∗ difieren en los elementos de la h-esima fila que

se encuentran a la derecha del elemento hl, en los de la l-esima columna situados

por encima del elemento hl y tambien en el propio elemento hl, pues

u∗hl = uhl − α(uhh − ull) = uhl − α(λh − λl)

Ası pues, si se toma

α =uhl

λh − λl

se obtiene que u∗hl = 0. Por tanto, reiterando este proceso para todos los elementos

de los bloques Uij , i 6= j, i, j = 1, . . . , k y teniendo en cuenta que α solo esta bien

definido si λl 6= λh, se obtiene que U es semejante a una matriz U de la forma

U =

U11 0 · · · 0

0 U22 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · Ukk

56


Observacion 4.

(a) El orden a seguir para ”anular” los elementos de bloques Uij con i < j de la matriz

U con objeto de encontrar U es de abajo a arriba y de izquierda a derecha. La misma

pauta ha de seguirse dentro de cada uno de los bloques Uij con i < j. Con ello se

consigue que los elementos que se han ”convertido” en cero sigan siendolo hasta que

se acabe el proceso para hallar U .

(b) La condicion necesaria y suficiente para poder obtener U es que el polinomio carac-

terıstico de A tenga n raıces, es decir, la aplicacion lineal T ha de tener n autovalores.

Para ello, basta que el cuerpo elegido sea K = C.

(c) Notese que una vez conocida la matriz U semejante a A, el problema de obtener

la matriz de Jordan J semejante a A esta resuelto, ya que cada bloque Uii de la

matriz U es una matriz con un unico autovalor y para este tipo de matrices la forma

canonica de Jordan ya se obtuvo en la seccion anterior.

Ejemplo. La matriz

A =

1 2 −7 5 1

2 2 −8 7 0

2 1 −9 9 2

2 1 −12 12 3

0 0 0 0 3

que tiene autovalores λ1 = 1 (m1 = 3) y λ2 = 3 (m2 = 2), no es diagonalizable, pues

como rg(A− I5) = 4 y rg(A− 3I5) = 4 entonces:

dim[V (λ1 = 1)] = 1 < m1

dim[V (λ2 = 3)] = 1 < m2

Sin embargo, existe una matriz U triangular superior semejante a A que tiene como

elementos en su diagonal principal los autovalores de A.

Para calcular U es preciso encontrar una matriz P ∈ M5 no singular tal que

P−1AP = U

La construccion P se efectua en etapas sucesivas. En primer lugar, se considera una

base de R5 cuyo primer vector sea un autovector asociado a λ1, es decir, un elemento

del conjunto:

V (λ1 = 1) = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 : x1 = 0, x2 = x3 = x4, x5 = 0}

57


Ası por ejemplo podemos elegir v1 = (0, 1, 1, 1, 0) y la base de R5

β1 = {(0, 1, 1, 1, 0); (1, 0, 0, 0, 0); (0, 0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 0)}

a partir de la cual se define la matriz:

P1 =

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 1

1 0 1 0 0

0 0 0 1 0

para la que se verifica:

P−11 AP1 = U1 =

1 2 7 0 −8

0 1 5 1 −7

0 0 5 3 −4

0 0 0 3 0

0 0 2 2 −1

=

(A11 A12

0 A22

)

Se considera ahora la submatriz A22 y se reitera el proceso. Por tanto procediendo de

manera analoga, como el polinomio caracterıstico de A22 es P3(λ) = (1 − λ)(λ − 3)2 y

λ1 = 1 es autovalor de A22 con subespacio de autovalores asociado dado por:

V ∗(λ1 = 1) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 = x3, x2 = 0}

se selecciona una base β2 de R3 cuyo primer vector es u1 = (1, 0, 1) ∈ V ∗(λ1 = 1). Por

ejemplo:

β2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)}

y se define la matriz

P2 =

I2 0

1 0 1

0 0 1 0

1 0 0

de manera que

P−12 U1P2 = U2 =

1 2 −1 0 7

0 1 −2 1 5

0 0 1 2 2

0 0 0 3 0

0 0 0 1 3

=

(A11 A12

0 A22

)

58


Por ultimo, repitiendo una vez mas lo anterior para la submatriz de orden dos

A22 =

(3 0

1 3

)

se obtiene la matriz:

P3 =

I3 0

0 1

0

1 0

para la que se tiene:

P−13 U2P3 = U =

1 2 −1 7 0

0 1 −2 5 1

0 0 1 2 2

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

Por tanto, la matriz triangular U es semejante a A, ya que:

P−1AP = U

donde P = P1P2P3. Teniendo en cuenta la proposicion, la matriz A y en consecuencia

la matriz U , es tambien semejante a una matriz U diagonal por bloques de la forma:

U =

1 u12 u13 0 0

0 1 u23 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 3 u45

0 0 0 0 3

=

(U11 0

0 U22

)

Esta matriz U puede hallarse a partir de T mediante las matrices S(i, (α)j) con las

cuales se consigue anular sus elementos uij con i = 1, 2, 3, j = 4, 5. El orden a seguir es:

u34 → u35 → u24 → u25 → u14 → u15

Para u34 basta considerar la matriz S(3, (α)4) con

α =u34

u33 − u44

=2

1− 3= −1

dada por

S(3, (−1)4) =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 −1 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

59


y efectuar el producto:

U1 = S(3, (−1)4)US(3, (−1)4)−1 = S(3, (−1)4)US(3, (1)4)

U1 =

1 2 −1 6 0

0 1 −2 3 1

0 0 1 0 1

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

Del mismo modo, para u35 = 1, se toma S(3, (α)5) con

α =u35

u33 − u55

=1

1− 3= −1/2

y de realizar el producto resulta:

U2 = S(3, (−1/2)5)U1S(3, (−1/2)5)−1 =

1 2 −1 6 −1/2

0 1 −2 3 0

0 0 1 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

con u24 = 3, se considera la matriz S(2, (α)4) siendo

α =u24

u22 − u44=

3

1− 3= −3/2

y se obtiene:

U3 = S(2, (−3/2)4)U2S(2, (−3/2)4)−1 =

1 2 −1 9 −1/2

0 1 −2 0 −3/2

0 0 1 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

Reiterando el proceso para los restantes elementos antes indicados se tiene finalmente

que

U = QUQ−1

donde

Q = S(1, (13/4)5)S(1, (−9/2)4)S(2, (3/4)5)S(2, (−3/2)4)S(3, (−1/2)5)S(3, (−1)4)

60


Q =

1 0 0 −9/2 13/4

0 1 0 −3/2 3/4

0 0 1 −1 −1/2

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

U =

1 2 −1 0 0

0 1 −2 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

Ası pues, la matriz A es semejante a U , ya que:

A = PUP−1 = PQ−1UQP−1 = PQ−1T (PQ−1)−1

La obtencion de la forma canonica de Jordan de la matriz A puede realizarse a traves

de U . Bastara con encontrar la matriz de Jordan J semejante al bloque:

U11 =

1 2 −1

0 1 −2

0 0 1

ya que U22 es una caja elemental. Dado que U11 tiene como unico autovalor λ1 = 1 con

m1 = 3 que

(U11 − I3)2 6= O3, (U11 − I3)

3 = O3

se verifica que U11 − I3 es nilpotente de orden P = 3. Si g : R3 → R3 es la aplicacion

lineal que la tiene como matriz asociada se cumple que:

n1 = dim[Ker(g)] = 3− rg(U11 − I3) = 1

n2 = dim[Ker(g2)] = 3− rg[(U11 − I3)2] = 2

n3 = dim[Ker(g3)] = 3

con d1 = n1, d2 = n2 − n1 = 1 y d3 = n3 − n2 = 1. Por tanto, la matriz J tiene solo una

caja elemental y su forma sera

J =

1 1 0

0 1 1

0 0 1

Como

Ker(g2) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x3 = 0}

61


y v1 = (0, 0, 1) /∈ Ker(g2), la base de R3 respecto de la cual J es la matriz asociada a

f = g + i es

β = {g2(v1), g(v1), v1} = {(−4, 0, 0), (−1,−2, 0), (0, 0, 1)}

ya que

−4 −1 0

0 −2 1

0 0 1

−1

U

−4 −1 0

0 −2 0

0 0 1

= J

Ası pues, existe una matriz M ∈ M5 no singular tal que

A = MJM−1

donde

J =

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

y

M = PQ−1S

siendo P y Q las matrices antes indicadas y

S =

−4 −1 0 0 0

0 −2 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Proposicion 2.7. Sea A ∈ Mn con elementos pertenecientes a un cuerpo K (R o C) y

autovalores λ1, λ2, · · · , λn ∈ K. Se verifica que si A no es diagonalizable y J es su forma

canonica de Jordan con A = PJP−1 siendo

J =

J1 · · · 0...

. . ....

0 · · · Jr

y P una matriz no singular, entonces para todo k ∈ N

Ak = PJkP−1 = P

Jk1 · · · 0...

. . ....

0 · · · Jkr

P−1

62


donde para cada i = 1, · · · , r

Jki =

λi 1 0 · · · 0

0 λi 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · λi

k

=

k∑

i=0

(k

l

)λk−li Bl

Siendo B una matriz cuadrada, cuto orden s no es mayor que la multiplicidad algebraica

mi del autovalor λi, de la forma

B =

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · 0

y para la que se verifica que Bs = 0s

Demostracion 12. Si A no es diagonalizable y J es su forma canonica de Jordan,

entonces:

Ak =

k−veces︷︸︸︷(PJP−1)(PJP−1) · · · (PJP−1) = PJkP−1

Ahora, dada la estructura de J , y de acuerdo con el producto de matrices, se tiene:

Jk =

Jk1 0 · · · 0

0 Jk2 · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · Jkr

La potencia k-esima de cada bloque elemental de Jordan se efectua aplicando la formula

del binomio de Newton. Ası, supuesto que Ji es de orden s se tiene que:

Ji =

λi 1 0 · · · 0

0 λi 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · λi

= λiIs +

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · 0

= λiIs +B

de donde

Jki = (λiIs +B)k =

k∑

l=0

(k

l

)(λiIs)

k−lBl =

k∑

l=0

(k

l

)λk−li Bl

63


Por otra parte, es claro que B es una matriz asociada a una aplicacion lineal nilpotente

de orden s y por ello

Bs−1 =

0 0 · · · 0 1

0 0 · · · 0 0...

......

...

0 0 · · · 0 0

y Bs = 0s

Ejemplo. La matriz

A =

4 0 1 0

1 1 1 −1

0 −2 3 −1

−1 2 −1 4

no es diagonalizable, pero existe su forma canonica de Jordan verificandose que:

A =

1 1 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 −2

3 1 0 0

0 3 1 0

0 0 3 0

0 0 0 3

1 1 1 0

0 1 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 −2

−1

A = P

(J1 0

0 J2

)P−1

Ası pues, teniendo en cuenta la proposicion para cualquier k ∈ N se obtiene que:

Ak = P

(Jk1 0

0 Jk2

)P−1

Jk1 =

k∑

l=0

(k

l

)3k−l

0 1 0

0 0 1

0 0 0

l

Jk1 =

(k

0

)3kI3 +

(k

1

)3k−1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

+

(k

2

)3k−2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

Jk1 =

3k 0 0

0 3k 0

0 0 3k

+

0 k3k−1 0

0 0 k3k−1

0 0 0

+

0 0 k(k−1)2

3k−2

0 0 0

0 0 0

Jk1 =

3k k3k−1 k(k−1)2

3k−2

0 3k k3k−1

0 0 3k

64


y

Jk2 = 3k

Por lo tanto,

Ak = P

3k k3k−1 k(k−1)2

3k−2 0

0 3k k3k−1 0

0 0 3k 0

0 0 0 3k

P−1

Ak =

k2+5k+182

3k−2 k(1− k)3k−2 k(k+5)2

3k−2 k(1−k)2

3k−2

k3k−1 (3− 2k)3k−1 k3k−1 −k3k−1

k(1−k)2

3k−2 k(k − 7)3k−2 −k2−k−182

3k−2 k(k−7)2

3k−2

−k3k−1 2k3k−1 −k3k−1 (k + 3)3k−1

65

Capıtulo 3

Matriz Insumo − Producto

A principios de la decada del ′30, W. Leontief desarrollo un modelo lineal de la economıa

nacional. Este sistema insumo − producto suministra la estructura para analizar y medir

la corriente de insumos y de productos que circulan entre los distintos sectores relaciona-

dos de la economıa. Concretamente, la matriz de insumo producto (MIP) en su version

original es un registro ordenado de las transacciones entre los sectores productivos de

una economıa, orientados a la satisfaccion de la demanda final. En la actualidad este

analisis se aplica predominantemente al estudio de sistemas mas reducidos (por ejemplo

las relaciones entre distintos sectores de una misma empresa) y mas amplios (economıa

internacional).

El analisis de insumo producto de Leontief, en su version estatica, busca el nivel de

produccion que se deberan alcanzar en cada sector de la economıa para satisfacer la

demanda final y el nivel de precios, dado el valor agregado de cada sector. En la version

estatica − comparada se trata de predecir los efectos de cambios en las distintas varia-

bles que intervienen en el modelo, como consecuencia de cambios acontecidos entre dos

momentos de tiempo. El presente analisis se realizara solo en su version estatica.

Cualquiera sea el sistema input − output de que se trate (economıa nacional o empresas,

estatico o estatico − comparado) el interes principal del mismo radica en la posibilidad

de planificacion de la produccion por parte de las autoridades. A continuacion se desarro-

llan los conceptos fundamentales de este modelo para una economıa nacional, haciendo

especial enfasis en la resolucion matematica y las condiciones que aseguran la existencia

de una solucion economicamente significativa.

Supuestos del modelo.

1. Economıa que produce n bienes (producidos en n sectores): j = 1, 2, ..., n. Esos

mismos bienes son utilizados como insumo en todos los sectores: i = 1, 2, ..., n. De

cada bien o sector hay una demanda final o excedente o producto neto (di).

66

Matriz Insumo - Producto 67

2. Los coeficientes de insumos o coeficientes tecnicos (definidos aij) son constantes; es

decir, independientes del nivel de produccion (rendimientos constantes a escala).

3. No hay produccion conjunta. Esto significa que con una misma tecnica se produce

un solo bien. La no existencia de produccion conjunta implica que con una sola

tecnica se produce un solo bien: Si a1, a2, . . . , an produce una unidad del bien j y

una unidad del bien i, entonces j e i son el mismo bien.

4. No existen tecnicas alternativas; es decir, no se puede producir un mismo bien con

distintas tecnicas. La no existencia de tecnicas alternativas significa que dos tecni-

cas no pueden producir un mismo bien: Si aik y bik, con i = 1, 2, . . . , n producen

una unidad del bien k, entonces aik = bik (∀ i = 1, 2, . . . , n).

5. No existe exceso de factores, lo cual implica que disponibilidad y uso de un factor

son sinonimos. Es decir, es una economıa de subsistencia que solo produce los

insumos necesarios para seguir produciendo.

El desarrollo del modelo.

Consideremos una comunidad economica formada por N sectores productivos o ramas

de actividad en que se ha divido el sistema economico de un paıs o nacion.

Podemos expresar una tabla de transacciones interindustriales de la manera siguiente:

Compras Sectores di Total de

Ventas I II III · · · N Ventas

I x11 x12 x13 . . . x1n d1 X1

II x21 x22 x23 . . . x2n d2 X2

III x31 x32 x33 . . . x3n d3 X3

......

......

. . ....

......

N xn1 xn2 xn3 . . . xnn dn Xn

Donde:

xj : Produccion total del bien j (j = 1, 2, . . . , n)

xij : Cantidad de i necesaria para producir del bien j la cantidad xj (i, j = 1, 2, . . . , n)

di: Cantidad de i destinada a satisfacer la demanda final o excedente.

Teniendo en cuenta los supuestos anteriores, la produccion total del bien k (en un perıodo

de tiempo dado) es igual a la suma de los insumos o materias primas que se utilizan de

este bien para producir todos los demas bienes, mas la demanda final del mismo.

67


Esto es, en terminos matematicos:

(3.1) xk = xk1 + xk2 + . . .+ xkn + dk =

n∑

j=1

xkj + dk

El coeficiente de insumos se define como la cantidad del bien i necesaria para producir

una unidad del bien j, es decir, en terminos relativos:

(3.2) aij =xij

xj0 ≤ aij < 1

donde aij es constante ∀ i y ∀ j. Adicionalmente,

∑

i

aij < 1 (j = 1, 2, . . . , n)

debido a que el modelo es abierto (parte de lo producido se destina a demanda final).

Si se multiplica y divide cada sumando del segundo miembro de (3.1) por xj :

(3.3) xk =xk1

x1x1 +

xk2

x2x2 + . . .+

xkn

xnxn + dk =

n∑

j=1

xkj

xjxj + dk

Reemplazando en la expresion anterior por el coeficiente de insumos [3.2] correspondiente

se obtiene:

(3.4) xk = ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn + dk =n∑

j=1

akjxj + dk

Ası, el modelo input − output mas sencillo en cantidades fısicas, puede ser escrito de la

siguiente manera (para k = 1, 2, . . . , n):

(3.5)

x1 = a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn + d1 =∑

a1jxj + d1

x2 = a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn + d2 =∑

a2jxj + d2...

......

xn = an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn + dn =∑

anjxj + dn

claramente en notacion matricial:

(3.6) x = Ax+ d

68


donde:

x =

x1

x2

...

xn

vector produccion

d =

d1

d2...

dn

vector excedente o demanda final

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

matriz de insumo - producto

Para que puedan aplicarse sin restricciones todos los teoremas del algebra lineal, la ma-

triz A debe ser irreducible. Economicamente esto significa que debe existir interconexion

regional entre todos y cada uno de los sectores productivos.

A partir de la expresion (3.6), se deduce que:

(3.7) Inx− Ax = d ⇒ (In − A)x = d

donde la expresion (3.7) es un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas. Se

supone que el vector d > 0 (si d = 0 no existe excedente en ningun sector, siendo

la economıa no reproducible, y el modelo sera cerrado; d < 0 no es economicamente

posible). (In − A) (denominada matriz tecnologica T ), se pre-multiplica por su inversa

- si existe - (In −A)−1, (conocida como la inversa de Leontief):

(In − A)−1(In − A)x = (In −A)−1d

Ix = (In − A)−1d

(3.8) x = (In −A)−1d

Matematicamente, existe (In − A)−1 si |In − A| 6= 0. Pero economicamente se requiere,

ademas, que x sea no negativo, es decir, que las cantidades de produccion en cada sector

no sean negativas y no todas ellas nulas. Para satisfacer esta ultima condicion, dado d

no negativo, es necesario que la matriz inversa de Leontief sea, a su vez, no negativa

(positiva semidefinida). Es decir, se necesita que (In − A)−1 > 0, lo cual dependera de

69


que se cumpla |In −A| > 0. La matriz tecnologica (T ), de orden n, puede ser expresada

tambien como un polinomio de grado n: T = f(λ) = 0 (donde λ es el vector = {λi},i ≤ 1, 2, . . . , n).

Si A es no negativa e irreducible y la raız maxima es real, positiva y menor que 1,

se verifica que la matriz inversa de Leontief es definida positiva (por los teoremas de

Perron − Frobenius y el de Metzler).

Ademas, por los mismos teoremas, concluimos que la matriz de Leontieff es una clase

particular de matriz no negativa especificada por las siguientes condiciones:

a) aij ≥ 0

b)∑i

aij < 1

c) El producto del sector k se definio: xk =∑

akjxj + dk, k = 1, 2, . . . , n.

Por las condiciones (a) y (b) anteriores, (c) tiene solucion unica, la cual es positiva si

d > 0. Si A es, ademas, irreducible, aij > 0 y la matriz inversa de Leontief sera positiva.

Demostracion 13. Para mostrar que (I − A)−1 es una matriz positiva (suponiendo

aij > 0), es suficiente mostrar que |I −A| es positivo.Si λ ≥ 0, la matriz λA podra satisfacer las mismas condiciones que A.

Entonces, |I − λA| sera 6= 0 para 0 ≤ λ ≤ 1.

Como el determinante es positivo, si λ = 0 y continuo en λ, es positivo cuando λ = 1.

Es decir, la existencia de la inversa de (I −A) en un modelo abierto (d > 0 ⇒ x ≥ Ax)

esta garantizada por el hecho de que A es no negativa e irreducible (por el Teorema de

Metzler). Esta caracterıstica es especialmente importante para asegurar la existencia de

solucion al modelo.

De lo anterior, y teniendo en cuenta las hipotesis de comportamiento previamente enun-

ciadas, se concluye que el modelo (planteado formalmente en (3.6)) tiene solucion, la

cual es unica. Entonces, calculada empıricamente la matriz estructural y el vector de

demanda final, es posible determinar el nivel de produccion de cada uno de los bienes o

sectores de esta economıa por medio de la ecuacion (3.8).

70


3.1. Modelo de Leontief. Metodo Matricial

La siguiente tabla muestra la produccion entre dos industrias P y Q que integran una

economıa hipotetica.

Insumo de P Insumo de Q Demandas finales Produccion total

Industria P 60 75 65 200

Industria Q 80 30 40 150

Mano de obra 60 45

Insumos totales 200 150

a) Encuentre la matriz insumo−producto, A.

La matriz de Leontief o matriz insumo−producto, se obtiene dividiendo cada una de

las entradas por su correspondiente produccion total, esto es:

A =

(60/200 75/150

80/200 30/150

)=

(3/10 1/2

2/5 1/5

)

b) Determine la matriz de produccion si las demandas finales cambian a 104 en el caso

de P y a 172 para Q.

Siendo I2 la matriz identidad de orden 2, se sigue que:

I − A =

(1 0

0 1

)−(

3/10 1/2

2/5 1/5

)=

(7/10 −1/2

−2/5 4/5

)

Usando el metodo de eliminacion gaussiana o el metodo de los cofactores, podemos

hallar:

(I − A)−1 =

(20/9 25/18

10/9 35/18

)

Si D representa al nuevo vector de Demanda, tenemos:

D =

(104

172

)

Ası:

X = (I − A)−1D =

(20/9 25/18

10/9 35/18

)(104

172

)=

(470

450

)

La industria P debe producir 470 unidades y la industria Q debe producir 448 uni-

dades de su producto, a fin de satisfacer las nuevas demandas finales.

71


c) ¿Cuales son los nuevos requerimientos de mano de obra?

La industria P , debe producir 60 unidades de mano de obra para generar una pro-

duccion total de 200 unidades. Entonces los insumos primarios son 60/200 = 0,3 de

la produccion total.

Ası, 0.3 de la nueva produccion (532), da los nuevos requerimientos de mano de obra

de la industria P , esto es: 0,3× 532 = 159,6 ≈ 160 unidades.

Analogamente, los nuevos requerimientos de mano de obra de la industria Q son:

(45/150)× 448 = 134,4 ≈ 135.

Luego, los nuevos requerimientos de mano de obra para P son de 160 unidades y los

de Q son 135 unidades.

3.2. Calculo de la inversa de Leontief por aproxima-

cion

Como se mostro en el ejemplo anterior es de vital importancia para obtener la plani-

ficacion de la economıa, el calculo de la inversa de una matriz. Cuando se trabaja con

tamanos pequenos de estas matrices resulta relativamente sencillo obtener tal inversa,

sin embargo en un modelo real que represente a una verdadera economıa de un paıs el

tamano de la misma debe ser lo suficientemente grande para capturar con mayor fide-

lidad el comportamiento de la misma (como el caso de la matriz de insumo producto

de Argentina para el ano 1997 con 72 sectores). Ante tales circunstancias el calculo de

la inversa suele ser una tarea mas que complicada no solo para un operador humano

sino hasta para un computador en cuanto al tiempo en que insumirıa tal labor. Es por

ello que se hace mas que necesario de contar con una forma alternativa de calculo a

los efectos de ahorrar tiempo y simplificar las operaciones de computo aunque en este

proceso se pierda cierta precision.

Un metodo alternativo que permite resolver este problema es el conocido como meto-

do de aproximacion de la inversa por desarrollo en serie y establece como formula de

aproximacion la siguiente relacion:

[I −A]−1 ∼= I + A+ A2 + A3 + · · ·+ AM

Como se aprecia, el calculo de la inversa segun este metodo se reduce a computar las

potencias sucesivas de la matriz de coeficientes hasta un orden (M) dado por el nivel

de precision deseado y sumarlas junto a la matriz identidad. Para demostrar que esta

aproximacion es lo suficientemente precisa, partiremos de la propiedad de las matrices,

72


segun la cual la multiplicacion de un matriz B por su inversa da como resultado una

matriz identidad del mismo orden de B. Por lo tanto:

[I − A][I − A]−1 = I

Si nuestra aproximacion es correcta, se debe confirmar que:

[I − A][I + A + A2 + A3 + · · ·+ AM ] ∼= I

Desarrollando el lado izquierdo de la anterior expresion, se tiene:

[I − A][I + A+ A2 + · · ·+ AM ] = [I + A+ A2 + · · ·+ AM ]−A[I + A + A2 + · · ·+ AM ]

= [I + A+ A2 + · · ·+ AM ]− [A + A2 + A3 + · · ·+ AM+1]

= [I −AM+1]

Por lo tanto, si AM+1 fuera la matriz nula, la aproximacion serıa exacta. Falta establecer

bajo que condiciones dicha matriz se acerca a la matriz nula.

Se puede demostrar que si todos los elementos de cada columna de A son numeros no

negativos que suman menos de 1 (como en cualquier modelo de insumo - producto), se

puede aproximar a AN a la matriz nula si se toma un valor de N lo suficientemente

elevado.

La norma de una matriz (N(C)) sera la mayor de las sumas de las columnas de dicha

matriz C. Dadas las caracterısticas de la matriz de coeficientes tecnicos de A, su norma

no puede ser mayor a 1 ni menor a 0, y ningun elemento de la matriz puede ser superior

al valor de la norma:

0 < N(A) < 1 aij ≤ N(A)

Existe un teorema que establece que dadas dos matrices A y B, la norma de la matriz

AB no puede ser mayor que el producto de N(A) y N(B):

N(AB) ≤ N(A)N(B)

Donde en el caso especial que A = B, se da:

N(A2) ≤ [N(A)]2

Y cuando B = A2

N(A3) ≤ N(A)N(A2) ≤ N(A)[N(A)]2 = [N(A)]3

Generalizando estos resultados, logramos:

N(AM ) ≤ [N(A)]M

73


Es aquı, donde el hecho de que 0 < N(A) < 1 garantiza que cuando M tiende a infinito

[N(A)]M tendera a cero. Por lo tanto N(AM) tambien tendera a cero (ya que es menor o

igual a [N(A)]M ). Como ningun elemento de la matriz AM puede ser superior a N(AM),

la matriz AM debe tender a 0, si hacemos a M lo suficientemente grande.

Supuesto que A es diagonalizable con autovalores λ1, λ2, · · · , λn; se verificara que:

(In − A)−1 = P (I +D +D2 + · · ·+DM)P−1

(In − A)−1 = P

M∑i=0

λi1 0 · · · 0

0M∑i=0

λi2 · · · 0

......

. . ....

0 · · · 0M∑i=0

λin

P−1

Supuesto que A es no diagonalizable; se verificara que:

(In − A)−1 = P (I + J + J2 + · · ·+ JM)P−1

3.3. Resolucion de ejercicios por MatLab

Lo ilustraremos con un ejemplo:

Ejemplo.

Sectores Agro Ind. Serv. Dem. F. V.B.P.

Agro 650 160 200 490 1500

Ind. 450 350 150 1050 2000

Serv. 350 440 300 1910 3000

V. Ins. 1450 950 650

Hallamos la matriz de coeficientes tecnicos:

a11 =x11

X1

= 6501500

= 1330

a12 =x12

X2

= 1602000

= 225

a13 =x13

X3

= 2003000

= 115

a21 =x21

X1

= 4501500

= 310

a12 =x22

X2

= 3502000

= 740

a23 =x23

X3

= 1503000

= 120

a31 =x31

X1

= 3501500

= 730

a32 =x32

X2

= 4402000

= 1125

a33 =x33

X3

= 3003000

= 110

La matriz A estara dada por:

1330

225

115

310

740

120

730

1150

110

74


Resolviendo por el metodo matricial:

I − A =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

1330

225

115

310

740

120

730

1150

110

=

1730

− 225

− 115

− 310

3340

− 120

− 730

−1150

910

Calculando la inversa de (I − A) tenemos:

(I −A)−1 =

29261499

10404497

2361499

33804497

1780013491

5804497

10341499

17204497

17741499

=

1,95197 0,23127 0,15744

0,75161 1,31940 0,12897

0,68979 0,38248 1,18346

A continuacion presentamos la implementacion del algoritmo en MatLab.

a=[13/30 2/25 1/15;3/10 7/40 1/20;7/30 11/50 1/10];

[V,J] = jordan(a);

b=J;

m=2;

while max(sum(a^m))>0.0000001

w=b+J^m;

b=w;

m=m+1;

end

Inversa_aproximada=V*(eye(size(a))+b)*inv(V)

Numero_de_iteraciones=m

Inversa_exacta=inv(eye(size(a))-a)

Error=Inversa_exacta-Inversa_aproximada

75


Cuyo resultado es el siguiente:

≫

Inversa_aproximada =

1,9520 0,2313 0,1574

0,7516 1,3194 0,1290

0,6898 0,3825 1,1835

Numero_de_iteraciones = 30

Inversa_exacta =

1,9520 0,2313 0,1574

0,7516 1,3194 0,1290

0,6898 0,3825 1,1835

Error = 1.0e-007 *

0,6028 0,1832 0,1060

0,5341 0,1623 0,0939

0,5545 0,1685 0,0975

Comprobamos los calculos efectuados en forma matricial con los obtenidos utilizando el

algoritmo (calculo por aproximacion), obteniendo los mismos resultados.

Ejemplo.

En una economıa con tres industrias se sabe que la industria I utiliza 0.05 de su propio

producto, 0.33 del producto II y solo 0.19 del producto III para producir una unidad

de su bien. Del producto de este sector se destina el 25% para el sector II y el 34%

para el sector III. Su demanda final es de 1,8 millones. El sector II, utiliza el 10% de su

produccion para autoabastecerse y destina el 12% al sector III. Este sector (II) utiliza

0.38 proveniente del sector III para producir una unidad del bien 2. El sector 3 no utiliza

su bien como insumo en su sector. El excedente del sector II es de 0.2 millones y el del

sector III es de 0.9 millones.

Presente las matrices de transacciones intersectoriales y la de coeficientes de re-

querimientos directos e indirectos, segun su definicion matematica.

Calcule el vector x.

76


Con estos datos la matriz de coeficientes de insumo - producto es:

Sectores I II III DF

I 0,05 0,25 0,34 1,8

II 0,33 0,10 0,12 0,2

III 0,19 0,38 0 0,9

Usando el algoritmo en MatLab, tenemos:

a=[0.05 0.25 0.34;0.33 0.10 0.12;0.19 0.38 0];

[V,J] = jordan(a);

b=J;

m=2;


w=b+J^m;

b=w;

m=m+1;

end






≫


77


1,3721 0,6090 0,5396

0,5666 1,4219 0,3633

0,4760 0,6560 1,2406


Inversa_exacta =

1,3721 0,6090 0,5396

0,5666 1,4219 0,3633

0,4760 0,6560 1,2406

Error = 1.0e-007 *

0,5469 0,6308 0,4466

0,4946 0,5705 0,4039

0,4982 0,5746 0,4069

La matriz de requerimientos directos e indirectos es:

R =

1,3721 0,6090 0,5396

0,5666 1,4219 0,3633

0,4760 0,6560 1,2406

El vector excedente o de demanda final es:

D =

1,8000

0,2000

0,9000

Calculo del vector de produccion:

x=Inversa_exacta*D

x =

3,0772

1,6311

2,1045

De acuerdo a este resultado para satisfacer sus respectivas demandas finales, el sector I

debera tener una produccion de 3.08 millones; el sector II de 1.63 millones y el sector

III de 2.1 millones.

78


Ejemplo.

Sea la siguiente matriz simplificada de Insumo-Producto de Leontief:

Sectores Agricultura Industria Servicios Total Demandas Produccion

finales total

Agricultura 7 50 5 62 38 100

Industria 15 80 20 115 85 200

Servicios 10 30 10 50 150 200

Total Insumos 32 160 35 227 273 500

La Matriz de Coeficientes Tecnicos es la siguiente:

Sectores Agricultura Industria Servicios

Agricultura 0,07 0,25 0,025

Industria 0,15 0,4 0,1

Servicios 0,1 0,15 0,05

Total Insumos 0,32 0,8 0,175

Usando el algoritmo en MatLab, tenemos:

a=[0.07 0.25 0.025;0.15 0.4 0.1;0.1 0.15 0.05];

[V,J] = jordan(a);

b=J;

m=2;


w=b+J^m;

b=w;

m=m+1;

end


79






≫


1,1661 0,5069 0,0840

0,3204 1,8510 0,2033

0,1733 0,3456 1,0936


Inversa_exacta =

1,1661 0,5069 0,0840

0,3204 1,8510 0,2033

0,1733 0,3456 1,0936

Error = 1.0e-006 *

0,0219 0,0580 0,0133

0,0384 0,1019 0,0233

0,0166 0,0441 0,0101

Se puede observar entonces que con la implementacion del algoritmo de aproximacion

de la matriz inversa en MatLab no hay limitaciones en su calculo que la forma manual

conlleva.

80

Conclusiones

La forma canonica de Jordan, es de gran utilidad en el calculo de la matriz inversa

de Leontief (In − A)−1

Gracias a la forma canonica de Jordan podemos resolver problemas economicos

en este caso el modelo economico Insumo-producto planteado por Leontief, el

cual permite a los economistas predecir los niveles de produccion futuros de cada

industria a fin de satisfacer demandas futuras para diversos productos.

El modelo insumo-producto de Leontief se compone de tres elementos basicos: La

tabla de transacciones intersectoriales, la matriz insumo - producto A y la matriz

de requerimientos directos e indirectos, (I −A)−1.

81

Bibliografıa

De la Pena Jose Antonio;“Algebra Lineal Avanzada”. Universidad Autonoma

de Mexico. 1996.

Gerver Harvey;“Algebra Lineal”. Grupo Editorial Iberoamerica, Mexico

Grossman, Stanley;“Aplicaciones de Algebra lineal”. Grupo Editorial Iberoameri-

ca. Mexico

Loges Lima Elon;“Algebra Lineal”. IMPA, Rıo de Janeiro 1999

Rosa Barbolla Paloma Sanz;“Algebra Lineal y Teorıa de Matrices”; Editorial

Prentice Hall

Oviedo Jorge Mauricio, ”Matriz de insumo - producto y la inversa de Leontief

- Calculo por medio de Maple, Mathematica, Gauss, Matlab y macros en excel”.

82

Documents

Modelo input - output de Leontief