Modelling vesicle dynamics

Badr KAOUICASA‐W&I‐TU/e (Eindhoven, The Netherlands)

Eindhoven, October 28, 2009

2

Contents

• What is a vesicle?

• Vesicle dynamics under Poiseuille flowusing the boundary integral method (BIM)

• Vesicle dynamics in confined geometries and in micro‐fluidic devicesusing the lattice‐Boltzmann method (LBM)

• Conclusions

3

What is a vesicle?

4

What is a vesicle?

Phospholipid membrane(fluid membrane)

Internal fluid(the encapsulated

fluid)

External fluid(the suspending fluid)

A phase‐contrast micrograph (V. Vitkova)

5

What is a vesicle?

(Nasa Astrobiology Institute)

Hydrophilic phosphate head (polar)

Two hydrophobic fatty acid tails (non polar)

Phospholipidmolecule

Phospholipid bilayermembrane

Vesicle

~ 10 µm

~ 5 nm

Molecules

6

Vesicle properties• A conserved volume V (area S in 2D)• A conserved area S (perimeter L in 2D)• The vesicle membrane energy:

Membrane rigidity Local membrane curvature

Lagrange multiplier (area conservation constraint)

The Helfrichcurvature energy

Membrane force

7

• The viscosity contrast:

• The reduced volume:

• The capillary number:

(in 3D)

(in 2D)

The key dimensionless parameters

8

Vesicle equilibrium shapes

ProlateOblateStomatocyte

U. Seifert et al (1991)

0 1

• λ = Cte & Ca = 0

9

Biomedical engineering applications

Blood rheology

Microfluidic device to sort out WBCsfrom a whole blood sample

(L. L. Munn, MGH)

Medical diagnostic on a drop of blood usinga lab‐on‐chip (CNRS)

A lab‐on‐chip

(S. R. Quake, Stanford University)

A lab

10

Vesicle dynamics under unbounded Poiseuille flow

11

Motivations (Blood rheology)

I. Cantat and C. Misbah PRL (1999)M. Abkarian et al PRL (2002)

Wall‐induced lift force

Fahraeus‐Lindqvist effectLateral migration of RBCs

T. W. Secomb et al ABE (2007)

Deformation of a RBC under shear flow

R. Fahraeus and T. Lindqvist, Am. J. Physiol. (1931)

T. M. Fischer el al Science (1978)

12

What is an unbounded Poiseuille flow?

− =

The Poiseuille flow in a

confined geometryThe bounded walls The Unbounded 

Poiseuille flow

To avoid any wall induced lift force vx = cy2

13

Hydrodynamical equations 1

• Stokes equations governing the flow of the fluids inside and outside the vesicle

Linear inhomogeneous partial differential equations George Gabriel Stokes 

(1819 ‐1903)

14

Hydrodynamical equations 2

The velocity continuity across the membrane

The stress jump across the membrane

The undisturbed external flow far from the vesicle

• Boundary conditions

• Solution of the Stokes equations using the Boundary Integral Method (BIM)

• Euler’s scheme

15

The boundary integral method

The Green’s function The membrane force

The applied undisturbed flow

f v

Gr’

rC. Pozrikidis (1992)M. Kraus et al PRL (1996)I. Cantat and C. Misbah PRL (1999)

16

Step 1

Step 2

Step 3

Step 4

Step 5

17

The lateral migration

All the vesicles migrate to the Poiseuille flow centre‐line

Equilibrium position

But in the absence of the viscosity contrast droplets are known to migrate away from the centre‐line(L. G. Leal 1980)

Ves

icle

Lat

eral

Pos

ition

The aspect ratio

B. Kaoui et al PRE (2008)

18

Vesicle shape deformation

Initial elliptical shape

Finalparachute shape

Vesicle shapes as a function of the distance from the Poiseuilleflow centre‐line.

Initial position

Final equilibrium position

V. Vitkova et al EPL (2004)

Parachute shapes obtained in 

capillary flows

‐ axisymmetric shape‐ obtained without presence of any bounded walls

R. Skalak et al Science (1969)

RBC

Vesicle

19

T. W. Secomb et al ABE (2007)

In vitroIn vitro

Parachute‐like shape(Axisymmetric shape)

Slipper‐like shape(Non‐axisymmetric shape)

Asymmetric shapes 

R. Skalak et al Science (1969)

In vivo

Why RBCs move ASYMMETRICeven in a SYMMETRIC flow?

T. W. Secomb and R. Skalak MR (1982)Librucation theory:

Confinement + Shear elasticity

20

0 5 10 15 20 25 30‐1.0

‐0.5

0.0

0.5

1.0

Reduced Volume  0.90  0.80  0.70  0.60

Vesicle Lateral Position

Time

Asymmetric shapes (Lateral migration)

YG

Reduced volume (2D) : ν = AAc= 4πS

L2

21

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0‐0,2

‐0,1

0,0

0,1

0,2

Reduced Volume 

R0 = 1, η = 1, κ = 1, w = 10, v

max = 800

Equilibrium Lateral Position (Y

G)

Asymmetric shapes (Bifurcation)

CenteredNon centered

YG = 0YG ≠ 0

22

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0‐0,2

‐0,1

0,0

0,1

0,2

Reduced Volume 

R0 = 1, η = 1, κ = 1, w = 10, v

max = 800

Equilibrium Lateral Position (Y

G)

Asymmetric shapes (Bifurcation)

CenteredNon centered

YG = 0YG ≠ 0

Parachute‐like shape(Axisymmetric shape)

Stable parachute‐shapeνc

23

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0‐0,2

‐0,1

0,0

0,1

0,2

Reduced Volume 

R0 = 1, η = 1, κ = 1, w = 10, v

max = 800

Equilibrium Lateral Position (Y

G)

Asymmetric shapes (Bifurcation)

CenteredNon centered

YG = 0YG ≠ 0

Parachute‐like shape(Axisymmetric shape)

Slipper‐like shape(Non‐axisymmetric shape)

Stable parachute‐shapeUnstable parachute‐shapeStable slipper shape

νc

24

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0‐0,2

‐0,1

0,0

0,1

0,2

Reduced Volume 

R0 = 1, η = 1, κ = 1, w = 10, v

max = 800

Equilibrium Lateral Position (Y

G)

Asymmetric shapes (Bifurcation)

CenteredNon centered

YG = 0YG ≠ 0

Supercritical bifurcation

νc

B. Kaoui et al PRL (2009)

25

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0‐0,2

‐0,1

0,0

0,1

0,2

Reduced Volume 

vmax 1200  800  400

R0 = 1, η = 1, κ = 1, w = 10

Equilibrium Lateral Position (Y

G)

Asymmetric shapes (Bifurcation)

B. Kaoui et al PRL (2009)

26

0,6 0,7 0,8 0,9 1,02

4

6

‐0,2

‐0,1

0,0

0,1

0,2

vmax 1200  800  400

R0 = 1, η = 1, κ = 1, w = 10

Equilibrium Lateral Position (Y

G)

Reduced Volume 

Slip Velocity

Asymmetric shapes (Slip velocity)

YG

vPois(YG)− vCM (//)

B. Kaoui et al PRL (2009)

27

Asymmetric shapes (Phase‐diagram)

Red blood cell

B. Kaoui et al PRL (2009)

28

Vesicle dynamics in confined geometries and in 

micro‐fluidic devices

29

• Simulation of vesicles (deformable particles) flowing in micro‐fluidic devices (complex geometries)

The main goal

A microfluidic device used to produce monodisperse vesicles (V. Vitkova).

A Y‐junction used to study the lateral migration of vesicles in micro‐channels (G. Coupier).

A microfluidic device used to measure the mechanical properties of vesicles (H. A. Stone).

30

• The main central quantity: 

• In the LBMs not only the positions are discretized but also velocities:

• The evolution in time of                    :

0 1

2

3

4

56

7 8

Two-dimensional space

D2Q9 lattice9 possible discrete velocity vectors

Fluid flow: Lattice‐Boltzmann 1

Free streaming

The collision operator

An external applied force

31

• The Bhatnagar‐Gross‐Krook (BGK) approximation:

• Fluid flow:

The kinematic viscosity

Fluid flow: Lattice‐Boltzmann 2

The equilibrium distribution

feqi (r, t) = wiρ(r, t)£c1 + c2(ci · u) + c2(ci · u)2 + c4(u · u)

¤

Velocity Density Pressure

32

Internal fluid

External fluid

Fluid‐vesicle coupling 1

Moving Lagrangian mesh(vesicle)

Fixed Eulerian mesh(fluid)

Membrane

Fluid flow computed using the lattice‐Boltzmann 

method

Neighboring nodes are inter‐connected by an 

elastic spring

C. S. Peskin. J. Comp. Phys. (1977)

Immersed boundary method

33

-2-1

01

2

-2-1

01

20

0.2

0.4

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

C. S. Peskin, Acta Numerica 11, 479 (2002)

Fluid‐vesicle coupling 2

a discrete Dirac delta function

34

Fluid‐vesicle coupling 3Fluid flow →Membrane dynamics

Advection (Euler scheme):

Membrane node

Fluid node

Membrane dynamics→ Fluid flow

35

Computed equilibrium shapes

Solid black lines are the equilibrium shapes computed by the boundray integral method.

The same equilibriumshapes are obtained by the two Methods!

36

Tank‐treading under shear flow

w

37

Double‐T junction

Experiment (T. Podgorski & G. Coupier)

LBM Simulation

L1

L2

Higher rate of flow

Lower rate of flow

38

Double‐T junction

39

Conclusions

• Vesicle dynamics under Poiseuille flowusing the boundary integral method (BIM)

• Vesicle dynamics in confined geometries and in micro‐fluidic devicesusing the lattice‐Boltzmann method (LBM)

Chaouqi Misbah, CNRS‐Universite de Grenoble I (Grenoble, France)

Walter Zimmermann, Universität Bayreuth (Bayreuth, Germany)

George Biros, Georgia Tech (Georgia, USA)

Jens Harting, TU Eindhoven (Eindhoven, The Netherlands)

40

What am I doing in CASA?

with Federico Toschi & Jan Ten Thije Boonkkamp