MODELLAZIONE MECCANICA DI CALCESTRUZZI

FIBRORINFORZATI BASATA SULL'UTILIZZO DI ELEMENTI DI

CONTATTO A SPESSORE NULLO

ANTONIO CAGGIANO, Università di Salerno GUILLERMO ETSE, Universidad de Buenos

Aires ENZO MARTINELLI, Università di Salerno

SUMMARY

Fundamental deficiencies of cement-based materials, such as low tensile strength and brittleness, can be mitigated by randomly adding short fibers (made out of steel or plastics) into the cementitious matrix. Fibers play a major role in the post-cracking behavior of fiber reinforced concrete (FRC) by bridging cracks and providing relevant additional resistance to the crack opening process. Typically localized failure modes of plain concrete or other mortar composites may turn quasi-ductile through the addition of steel fibers in the cementitious material. In this case, the development of multiple crack patterns lead to strain-hardening/softening processes characterized by relatively large energy absorption prior to fracture localization. Fiber reinforced concrete structures (FRCS) exhibit superior ductility, not only under compression, but also under tensile or even more complex stress states.

Several theories and related models have been proposed in the scientific literature with the aim of simulating the behavior of FRC under various states of stress. Most of them are based on the so-called continuum or smeared-crack theory. This paper deals with a constitutive theory to model the non-linear response of fiber reinforced concrete in the framework of discrete approach for failure analysis. A cohesive-frictional interface theory is extended for including the interaction between short fibers and concrete to model cracking processes in FRCS. The mixture theory is used for describing the coupled action between concrete and fiber reinforcement in form of fiber debonding and dowel effects. Non-linear behavior of fiber reinforced concrete is modeled by inelastic interface elements.

The paper focuses on numerical analysis and experimental comparisons of FRC failure behavior under tensile modes. The main objective of those analyses is to evaluate the capabilities of the proposed models to capture the mechanical

behavior of FRCs and its transition from brittle to ductile as different levels of fiber contents are considered.

1. INTRODUZIONE

Materiali a base di pasta cementizia, come calcestruzzi o malte, sono tra i “materiali compositi” più comunemente impiegati nell’ambito dell’ingegneria civile. Essi sono caratterizzati dall’avere buone prestazioni quando utilizzati in campi di tensione di prevalente compressione, mentre presentano un comportamento più complesso se soggetti ad elevate azioni di trazione o taglio. L’aggiunta di fibre corte di acciaio all’interno della matrice cementizia rappresenta una delle tecniche più attuali per ottenere un miglioramento delle principali deficienze meccaniche dei materiali cementizi.

Un provino in calcestruzzo fibrorinforzato ad elevato contenuto di fibre (in genere con frazione volumetrica di rinforzo maggiore del 2% [1]), può avere una risposta in trazione caratterizzata da un comportamento elasto-incrudente che si manifesta con un processo di frattura multifessurativo prima della rottura. In tal caso il composito può essere classificato come un calcestruzzo fibrorinforzato ad elevate prestazioni (HPFRC) [2]. In generale, i conglomerati HPFRC hanno elevate caratteristiche di duttilità e resistenza rispetto a calcestruzzi non armati o compositi a basso contenuto di fibre (in genere con percentuali volumetriche di fibre inferiori al 2%).

Diverse formulazioni sono attualmente disponibili nella letteratura scientifica per modellare il comportamento meccanico dei calcestruzzi fibrorinforzati. Un primo sottoinsieme di tali modelli raccoglie quelli basati sulla classica teoria della plasticità [3] [4], mentre altre proposte si basano sulla teoria del meccanismo di danno continuo (CDM) [5]. Un approccio piuttosto innovativo si ispira al cosiddetto modello dei micro-piani [6] [7]. Inoltre, altre formulazioni partono dalla simulazione dell’interazione delle fibre all’interno del composito [8].

Nel corso dell’ultimo decennio, sono sempre più diffusi approcci che mirano ad una più accurata modellazione esplicita delle diverse fasi che caratterizzano il materiale come composito. In tale spirito, le formulazioni “meso-meccaniche” si spingono ad un livello di indagine che studia la micro o meso-natura del materiale, assegnando specifiche proprietà geometriche e meccaniche ad ognuna delle singole componenti. In letteratura,

tale approccio si presenta sotto varie forme e proposte, per esempio attraverso modelli a reticolo [9], modelli a particelle [10], una combinazione tra reticoli e particelle [11] ed infine con modelli che si fondano sulle nozioni di base della classica meccanica del continuo [12] [13] [14] [15] [16]. Tali approcci forniscono una descrizione più accurata del comportamento meccanico dei materiali, la quale risulta particolarmente utile nel modellare processi di frattura tanto nel calcestruzzo normale che in quello fibrorinforzato. Lo scopo che si persegue è quello di ottenere una modellazione del comportamento macroscopico che derivi direttamente dalle interazioni a livello di meso-scala tra le diverse componenti. Tuttavia lo svantaggio principale di questi approcci è legato, da un lato, al maggiore impegno computazionale richiesto per le analisi e, dall'altro, all’elevato numero di variabili coinvolte nella formulazione del modello, molto spesso non facilmente identificabili.

Nel presente lavoro si propone una formulazione costitutiva per la simulazione del comportamento meccanico di FRC ottenuta tramite elementi di contatti di spessore nullo in grado di simulare processi fessurativi in provini di calcestruzzo sia ordinario che rinforzato con fibre di acciaio. Per simulare l’interazione tra fibre di acciaio e matrice cementizia si fa uso della teoria delle miscele, come descritto in [17].

La formulazione di tale modello servirà come strumento per analisi agli elementi finiti di provini numerici meso-meccanici considerando un provino in FRC come un materiale composito caratterizzato dalle seguenti parti (Fig. 1):

(i) aggregati grossi; (ii) matrice cementizia; (iii) elementi di contatto di spessore nullo.

In tale approccio, tutto il comportamento non lineare degli FRC viene modellato completamente attraverso gli elementi di contatto diffusi all’interno della “mesh”, come schematizzato in Fig. 1.

Il modello originale di contatto per materiali coesivo-attritivi, proposto in [18], è stato riformulato includendo l'interazione tra fibre di acciaio e malta cementizia attraverso i concetti forniti dalla teoria della miscela, anche utilizzata in [17].

L'obiettivo principale di questo lavoro è quello di simulare le proprietà fondamentali di provini di FRC sottoposti a carichi di trazione monotoni, considerando differenti contenuti di fibre corte in acciaio.

I risultati delle simulazioni proposte che verranno riportati e commentati nel paragrafo 6, dimostrano le potenzialità dell’approccio proposto. Tramite tale approccio è possibile riprodurre, tra l’altro, l’effetto di alcuni parametri critici, quali la

direzione delle fibre, il diametro e la lunghezza impiegate, la quantità di fibre ed il tipo di acciaio, sulla risposta meccanica del materiale FRC. La calibrazione del modello viene eseguita tramite una procedura di identificazione indiretta utilizzando alcuni risultati di prove di trazione, disponibili in letteratura scientifica [5].

Figura 1. Meso-struttura 2-D di un provino in FRC.

2. FORMULAZIONE COSTITUTIVA DEL MODELLO

Come spesso accade nell’ambito della classica teoria della plasticità, il modello proposto si presenta in forma incrementale, in cui il legame sforzo-deformazione può essere espresso in forma compatta come segue

= ⋅& &ept E u , (1)

in cui [ , ]= σ σ& & &N Tt è il vettore delle tensioni

incrementali normali e tangenziali di contatto del

composito, mentre =& & &[u,v ]u raccoglie i valori

incrementali degli spostamenti relativi

d’intercaccia, infine epE è il tensore elasto-plastico tangente del secondo ordine definito successivamente.

Secondo le ipotesi di base della teoria delle miscele [18], lo studio del composito viene condotto considerando un continuo in cui ogni volume infinitesimo è idealmente occupato da tutte le componenti (o “fasi”) del composito e che il campo di spostamento di ciascun componente possa essere descritto separatamente da quello degli altri componenti. Lo stato tensionale viene ricavato in ciascuno di essi e poi sommato, pesando ogni contributo con la percentuale volumetrica della componente considerata, per ottenere lo sforzo equivalente relativo alla miscela. Pertanto ne consegue che il tensore di

rigidezza tangente, epE , è dato dalla seguente espressione

= ρ + ξ ρ + ξ ρep m ep f f ep t f f ep tT Tf fE GE C nn n n , (2)

dunque dipendente della frazione volumetrica ρi

di ciascun componente; n e Tn sono due versori

che identificano l’inclinazione della fibra e la direzione ad essa ortogonale rispetto al sistema globale di riferimento cartesiano. Gli apici “m” e “f” si riferiscono alla matrice cementizia ed alle fibre, rispettivamente, mentre “t” rappresenta l'operazione tensoriale di trasposizione dei tensori.

La funzione ξ = − ρf f1 a (in cui a è un parametro

da calibrare del modello) rappresenta un coefficiente riduttivo che considera la minore efficacia di ogni singola fibra all'aumentare del contenuto delle stesse.

Nell'Eq. (2) i seguenti operatori tangenti vengono utilizzati

ep ∂=

∂

tC

u ,

∂σ=

∂ep ff

N

Eu ,

∂τ=

∂ep ff

T

Gu . (3)

Ogni singolo operatore dell’Eq. (3) viene

definito attraverso modelli meccanici specifici, di seguito elencati.

1) Contatto di frattura coesivo–attritivo [18]: formulato in termini di tensioni

normali/tangenziali ( [ , ]= σ σN Tt ) vs.

spostamenti relativi d’interfaccia

( = [u,v ]u ). Ulteriori dettagli vengono

forniti nella sezione 3 del presente lavoro.

2) Modello di “pull-out” della fibra: con il quale si formula il processo di scorrimento della generica fibra, che idealmente

attraversa una fessura, in termini di σf

tensione di “pull-out” vs.

Nu scorrimento

della fibra. Per semplicità si ipotizza che ogni fibra intersechi la fessura (modellata

con l’elemento di contatto) ad /fl 2 (con lf

lunghezza del rinforzo). 3) Effetto spinotto delle fibre di rinforzo:

oltre agli effetti uniassiali nella direzione delle fibre, un ulteriore contributo molto spesso non considerato in letteratura, è rappresentato dall’effetto spinotto. La fibra viene modellata come una trave elastica su suolo elastico ottenendo un legame

sforzo-spostamento trasversale ( τ −f Tu )

compatibile con il tipo di legame dato nell’Eq. (2).

3. MODELLO DI CONTATTO PER ELEMENTI DI SPESSORE NULLO

Nell’ambito del metodo degli elementi finiti e seguendo approcci già utilizzati di recente in letteratura [13] [14] [15], le analisi proposte in questo lavoro si basano sull’assunzione che un generico elemento di FRC possa essere discretizzato tramite un’opportuna “mesh”, in cui tutti gli elementi continui vengono assunti lineari ed elastici, mentre tutto il comportamento non lineare si modella attraverso gli elementi di contatto a comportamento non lineare.

Figura 2. Criterio di rottura del modello.

La formulazione incrementale del modello elasto-plastico d’interfaccia può essere definita, in forma incrementale, come segue

( )= ⋅ −& & & crσ C u u , (4)

dove [ ],= σ τ& & &σ

è il vettore delle tensioni di

contatto, & cru rappresenta il campo di spostamento

plastico incrementale (definito tramite un’opportuna legge di flusso plastico non associata) e C è il tensore delle rigidezze elastiche di contatto

=

N

T

k 0

0 kC (5)

che descrive le relazioni tra gli incrementi di spostamento e di tensione lungo i nodi dell’interfaccia.

Il modello si basa sul criterio di rottura proposto in [18] definito dalla seguente espressione

( ) ( ) ( ), tan tanσ τ = τ − − σ ϕ + − χ ϕ2 22f c c , (6)

in cui la resistenza a trazione χ (vertice dell’ iperbole di Fig. 2), la coesione c e l'angolo di

attrito interno ϕ sono parametri del modello. L'evoluzione della superficie di rottura di Fig. 2 viene controllata “degradando” gli stessi parametri del criterio di rottura in funzione di un unico parametro rappresentato dal lavoro plastico dissipato durante un qualsivoglia processo di carico. Ulteriori dettagli in merito alla meccanica del suddetto modello sono disponibili in [18].

4. MODELLO PER LO STUDIO DEL “PULL-OUT” DELLE FIBRE

La presente sezione è dedicata alla descrizione delle interazioni meccaniche tra fibre in acciaio e calcestruzzo, assumendo un’opportuna legge d’interfaccia non lineare. Il comportamento della singola fibra in acciaio e le sue interazioni con la matrice cementizia in cui è immersa possono essere indagati sperimentalmente tramite prove di sfilamento per trazione (“pull-out”, nella letteratura scientifica [19] e nel seguito del testo). Da tali prove è possibile derivare una relazione tra la forza applicata alla fibra ed il corrispondente spostamento massimo osservato sulla fibra stessa.

I risultati di tali tests di pull-out possono tuttavia essere impiegati anche per l’identificazione di un legame di aderenza tra la fibra e l’interfaccia con la matrice cementizia, tramite una procedura inversa, formalmente

simile a quella utilizzata in [20] per l’identificazione dei legami di aderenza di lamine in composito incollate su un supporto in calcestruzzo.

Nel caso in oggetto, sulla base dei risultati ottenuti nell’ambito di un’analisi preliminare condotta dagli autori, il comportamento dell’interfaccia tra la fibra e la matrice verrà

simulato tramite la legge trilineare τ − δad

simbolicamente descritta dalle seguenti relazioni analitiche e rappresentata graficamente in Fig. 3.

,

,

( )

( )

− δ δ ≤ δ→

−τ + δ − δ → δ < δ ≤ δτ = → δ < δ ≤ δ−τ + δ − δ

→ δ > δ

d 0

0 ad d 0 0 SR

adSR u0 ad d SR 0

u

E

H

H

0

(7)

Figura 3. Legge d’interfaccia fibra-calcestruzzo. Nella definizione della suddetta relazione, il punto

di coordinate ( ,τ − δ0 ad 0 ) corrisponde alla tensione

tangenziale di picco, mentre dE

e dH sono le

rigidezze di aderenza pre- e post-picco,

rispettivamente. Infine, i parametri δSR

e δu sono

lo scorrimento di passaggio dal ramo “softening” a quello plastico e lo scorrimento ultimo, rispettivamente.

4.1. MODELLO PROPOSTO

Il modello ha come obiettivo lo studio del fenomeno di estrazione della fibra metallica dalla matrice cementizia. La notazione adottata per gli spostamenti e le tensioni è riportata in Fig. 4. Si ipotizza che la fibra sia soggetta a sole

deformazioni assiali e che il diametro fd resti

costante lungo la lunghezza d’incollaggio della

stessa. Sotto tali ipotesi, la seguente equazione differenziale può essere derivata imponendo la condizione di equilibrio alla traslazione in direzione assiale ad un elemento di lunghezza infinitesimale

[ ][ ] τσ+ =adf

f

4 xd x0

dx d (8)

dove [ ]σf x è la tensione assiale nella fibra alla

generica coordinata x e τad[x] ne rappresenta la corrispondente tensione tangenziale d’interfaccia.

Ipotizzando che la fibra resti sempre in campo elastico (evenienza che dovrà essere controllata nel caso di fibre metalliche), il seguente legame costitutivo può essere introdotto

[ ][ ]f s

d xx E

dx

δσ = (9)

essendo Es il modulo elastico dell’acciaio di rinforzo.

Figura 4. Notazione adottata per il modello di aderenza fibra-calcestruzzo.

Come già anticipato la fibra può raggiungere la tensione di snervamento, pertanto il modello si completa inserendo un controllo che scongiuri tale

eventualità verificando che [ ]f sdx fσ ≤ dell’ Eq. (9)

(con sdf tensione di snervamento dell’acciaio). Dal

punto di vista analitico può essere introdotta una relazione che fornisce la lunghezza critica superata la quale la fibra si snerva una volta raggiunto il carico massimo per sfilamento del modello. Per ragioni di brevità tale espressione e la sua derivazione analitica viene omessa in questo lavoro. Tuttavia nei casi qui trattati, ed in generale per la maggioranza dei test per sfilamento in fibre corte, non si raggiunge mai lo snervamento nelle stesse.

Sostituendo l’Eq. (9) nella (8), la seguente equazione differenziale, che governa tutto il processo di “pull-out”, si può ottenere

[ ][ ]2

ad2

f s

4 xd x0

d Edx

τδ+ = (10)

in cui τad[x] può assumere 4 distinte espressioni

(Eq. 7) in funzione del livello di spostamento mobilitato.

5. EFFETTO SPINOTTO

L'effetto spinotto di ogni singola fibra può essere simulato considerando il modello di trave elastica (la fibra) su suolo elastico (la matrice cementizia) [17]. Come per il contributo da “pull-out”, si ipotizza per semplicità che ogni fibra

intersechi una generica fessura ad /fl 2 del

rinforzo. Per semplicità ed avendo verificato preliminarmente la consistenza meccanica di tale ipotesi, si assume per la fibra un comportamento di trave elastica di lunghezza semi-infinita. Sotto tali ipotesi l’azione da effetto spinotto trasferita Vd risulta essere

3d s sV E I= λ ∆ (11)

in cui /4

s fI d 64= π è il momento di inerzia della

fibra (con df diametro della fibra), ∆ rappresenta lo spostamento da effetto spinotto tra fibra e

calcestruzzo, mentre il parametro λ è un misura della rigidezza relativa tra fibra e calcestruzzo che assume la seguente espressione

c f4

s s

k d

4E Iλ = (12)

dove kc è il coefficiente di Winkler. Valori tipici, per strutture in c.a., variano da 75 a 450 N/mm

3 come

proposto in [21]. Il modulo di rigidezza tagliante equivalente

dell’Eq. (3), epfG , può essere calcolato a partire

dall’ Eq. (12) come segue

∆= λ ∆ ⇒3 eq

d s s f f

f

V E I = G Al

λeq 3 ff s s

f

lG = E I

A

(13)

Infine per stimare l'azione massima da effetto spinotto, la seguente equazione di natura empirica proposta in [22] è stata utilizzata nel modello

',

2du dow f c y sV k d f= σ (14)

essendo kdow un coefficiente non-dimensionale

(kdow = 1.27 per strutture in c.a.), mentre 'cf e ,y sσ

rappresentano la resistenza a compressione del calcestruzzo e il valore di snervamento dell’acciaio, rispettivamente.

Figura 5. Trave elastica su suolo elastico per lo studio dell’effetto spinotto.

6. CONFRONTI SPERIMENTALI E VALIDAZIONE DEL MODELLO NUMERICO

In questa sezione il modello presentato sarà validato utilizzando, in primo luogo, i risultati sperimentali su provini di FRC con fibre di acciaio testati in trazione pura. Successivamente si considerano i risultati ottenuti con prove di flessione su tre punti su una trave intagliata a metà della sua lunghezza e realizzata in calcestruzzo non armato.

6.1. CONFRONTI SPERIMENTALI E VALIDAZIONE DEL MODELLO NUMERICO IN TRAZIONE PURA

Il modello proposto è stato validato utilizzando

risultati sperimentali derivanti da prove su campioni di calcestruzzo fibrorinforzato con fibre di acciaio testati in trazione pura [5]. Lo schema mostrato in Fig. 6 è stato considerato per valutare la capacità predittiva del modello di frattura proposto. In particolare, si considera un elemento d’interfaccia che viene attraversato da un certo numero di fibre. Il numero di rinforzi è uno dei parametri del modello che può essere direttamente stimato in base al contenuto in volume e al tipo di fibra utilizzata. La possibile inclinazione della generica fibra viene data in maniera “random” al modello. Per semplicità si ipotizza che ogni fibra attraversi la linea di potenziale frattura a metà della sua lunghezza (cioè a lf/2).

Figura 6. Schema proposto per predizioni in trazione semplice.

Il tipo di fibra utilizzato in questi test è caratterizzato dall’avere degli uncini alle due estremità con le seguenti proprietà: fibre di tipo "Dramix

®" con diametro df = 0,5 mm, lunghezza lf

= 30 mm, densità ρs = 7.8 g/cm3, resistenza a

trazione ffu = 1.2 GPa, modulo elastico Ef = 200 GPa [5].

L'identificazione indiretta del modello numerico presentato nella sezione 2 del presente articolo è stata effettuata attraverso il procedimento dei minimi quadrati, come mostrato in un precedente lavoro [16], in accordo ai risultati sperimentali ottenuti su campioni di calcestruzzo fibrorinforzato con differenti contenuti di fibre. In particolare, raccogliendo l'insieme dei parametri da calibrare nel vettore q, la procedura di

calibrazione consiste nel trovare il minimo, q ,

della seguente funzione

( )=

= σ ε − σ

∑

n 2

th exp,i exp,ii 1

argmin ;q

q q (15)

dove exp, ;th i σ ε q

rappresenta il risultato dello

sforzo derivato dal modello teorico riferito al valore

εexp delle deformazioni sperimentali ed al set di

parametri q considerati; σexp,i è il valore sperimentale del test considerato in corrispondenza dell’i-esimo step di carico (o spostamento) nelle prove in cui quest’ultimo è il parametro controllato. La somma delle differenze al quadrato tra l'osservazione sperimentale ed il corrispondente valore teorico è estesa a tutte le n misure sperimentali disponibili in termini di sforzo

assiale σexp,i e deformazione corrispondente εexp,i.

Figura 7. Dati sperimentali [5] e predizioni

numeriche in trazione uniassiale: ρf = 0 - 8 %. La procedura di calibrazione ai minimi quadrati è stata effettuata due volte riferendosi alle n- coppie

di valori ( )ε − σexp,n exp,n ottenute nel caso di

calcestruzzo non rinforzato (ρf = 0%) e con il più

alto contenuto di fibre (ρf = 0,08). I risultati completi delle due procedure di calibrazione eseguite sulle prove sperimentali vengono riportati in Fig. 7 che mostra i dati sperimentali di un test in trazione semplice e di due test con contenuto in volume di fibre all’8% [5] nonché le curve di predizione del modello frutto della procedura di calibrazione. La tabella 1 illustra i valori dei parametri relativi al modello d’interfaccia e ai due sottomodelli per le fibre: modello di “pull-out” ed effetto spinotto, rispettivamente. Ulteriori simulazioni, ottenute dopo la procedura di calibrazione, sono riportate in Fig. 8 in cui si considerano contenuti di fibre che vanno dal caso senza fibre (0%) al caso con 6% di contenuto in volume delle stesse [5].

I risultati ottenuti nelle figure 7 e 8 mostrano come le previsioni del modello simulano molto bene i risultati sperimentali anche nel caso

intermedio di campione con ρf = 6%, ottenuto

cambiando solo il contenuto di fibre nel modello di cui sopra. Tabella 1. Risultati delle procedure di identificazione per i campioni testati in trazione pura [5].

Oltre alla precisione generale del modello e, di conseguenza, della solidità dei fondamenti teorici della formulazione proposta, le figure di sopra 7 e 8 sottolineano un comportamento fenomenologico chiaro negli FRC, dipendente del contenuto di fibre. Si può osservare una transizione graduale del comportamento sforzo-deformazione, dal tipico andamento a trazione caratterizzato da un ramo iniziale elastico fino alla resistenza massima a cui segue uno rammollente del calcestruzzo verso un comportamento più duttile per valori con contenuto di fibre, che vanno dal 2% all’8% in frazione volumetrica, nei casi analizzati.

Figura 8. Dati sperimentali [5] e predizioni

numeriche in trazione uniassiale: ρf = 0, 2, 4 e 6 % di fibre "Dramix".

Infine, si osserva che in tutti i casi di provini in

FRC analizzati, caratterizzati da una risposta più o meno duttile, raggiunto un certo livello di deformazione, la risposta del modello inizia a presentare brusche perdite di resistenza. Tale situazione accade quando ogni singola fibra slitta completamente dall’elemento di contatto non donando alcun contributo alla risposta.

6.2. TRAVE INTAGLIATA INFLESSA SU TRE PUNTI

L’approccio utilizzato in questa sezione

descrive l'utilizzo degli elementi d’interfaccia di spessore nullo per modellare il processo di frattura in travi intagliate ed inflesse su 3 punti. Tabella 2. Parametri del modello trave caricata su tre punti.

Una generica geometria, come quella rappresentata in Fig. 9a, è stata utilizzata per analisi numeriche con il metodo degli elementi finiti. In tale modellazione vengono introdotti nella “mesh” e fra gli elementi finiti standard gli elementi di contatto a spessore nullo. Tali elementi, formulati nell’ambito della teoria della elasto-plasticità combinata con elementi di meccanica della frattura [18], vengono inseriti a priori lungo i confini degli elementi continui nelle zone di più probabile sviluppo della linea di frattura (cercando di rappresentare tutti i percorsi possibili di fessura come in Fig. 9). In tale approccio, gli elementi continui triangolari vengono utilizzati semplicemente per l’analisi del comportamento elastico e lineare del provino.

Figura 9. Flessione su 3 punti: a) “mesh” utilizzata; b) inserimento elementi di contatto; c) configurazione finale deformata.

L’utilizzo di tali elementi rappresenta il modo più naturale per integrare il ben noto "fictitious crack model” (modello di frattura fittizia) proposto in [23] in analisi avanzate nell’ambito di analisi non lineari con il metodo degli elementi finiti.

L’esempio di Fig. 9 rappresenta una trave intagliata sottoposta a flessione su 3 punti in cui si imposta una storia di spostamenti verticali nella parte centrale della stessa, misurando la duale azione di resistenza a flessione. I parametri utilizzati per il modello vengono presentati in tabella 2.

Figura 10. Risultati sperimentali [24] vs. modellazione FEM di un test di flessione su 3 punti.

I risultati ottenuti in termini di curva F/b-δ (Forza per unità di spessore, applicata in direzione trasversale, vs. spostamento massimo in mezzeria) vengono riportati in Fig. 10, insieme con i risultati sperimentali tratti da [24]. Essi dimostrano che, con questo approccio, anche utilizzando una maglia di elementi finiti piuttosto rada, i risultati che si ottengono sono piuttosto realistici. La predizione numerica (Fig. 10) è qualitativamente simile a quella sperimentale sia in termini di resistenza di picco, che nella fase post-picco, caratterizzata da una zona di risposta “softening”.

La Fig. 9c mostra lo stato di fessurazione finale del provino numerico. Alla testa dell’intaglio, dove si innesca la fessura, si registra il massimo dell’ampiezza della fessura durante ogni passo di carico. Quando in tale zona del provino, il lavoro di frattura dissipato raggiunge la massima capacità disponibile (energia di frattura) la linea di fessura inizia a propagarsi verso gli adiacenti elementi di contatto.

La propagazione della linea di frattura avviene in corrispondenza dell’intaglio della trave ed in direzione verticale così come accade dall’evidenza sperimentale riportata in [24].

7. CONCLUSIONI

In questa memoria è stato presentato un modello per la simulazione del comportamento meccanico di calcestruzzi fibrorinforzati basato sull’utilizzo di elementi d'interfaccia di spessore nullo. Il modello si mostra particolarmente adatto per modellare il comportamento tensione - deformazione per FRC in trazione pura, permettendo di riprodurre l’orientazione naturale delle fessure e l'effetto delle fibre sulle stesse, riducendone così la tendenza ad aprirsi o propagarsi nel composito.

Due principali meccanismi d’interazione tra la generica fibra e la matrice cementizia sono stati considerati nella formulazione del modello. Da un lato è stato analizzato il contributo legato alle tensioni assiali delle fibre, simulandone il processo di possibile sfilamento (“pull-out”) rispetto alla matrice stessa. Dall’altro, si è tenuto conto anche del possibile effetto-spinotto che caratterizza l’interazione fibra-matrice soprattutto nel caso di fibre metalliche.

La procedura di identificazione necessaria per la calibrazione dei parametri meccanici coinvolti nella formulazione del modello è stata delineata con riferimento a due serie di risultati sperimentali disponibili nella letteratura scientifica e relative a prove di trazione su campioni di calcestruzzo semplice e fibrorinforzato. Il modello simula molto bene il comportamento osservato in tutte le prove condotte su campioni caratterizzati da differente contenuto volumetrico di fibre in acciaio.

Nell’ultima parte del lavoro il modello è stato utilizzato per studiare il processo di frattura su una trave inflessa, intagliata alla metà nel suo intradosso, caricata su tre punti.

Partendo dall’assunzione che il percorso di frattura non è noto a priori uno dei grandi vantaggi dell’utilizzo degli elementi di contatto in analisi di tipo “FEM” consiste nel fatto di non avere problemi noti in letteratura come “remeshing”, che molto spesso si hanno in meccanica della frattura. Inoltre con questo approccio si garantisce l’automatica regolarizzazione del modello, in quanto le interfacce sono formulate in termini di tensioni vs. spostamenti relativi (e non in termini di deformazioni). Come controparte negativa va detto che uno dei limiti consiste nel fatto che la linea di frattura può svilupparsi in qualsiasi posizione ma confinata alle linee prestabilite in cui gli elementi di contatto sono stati inseriti.

Le possibili linee di frattura vengono tutte concentrate negli elementi d’interfaccia, che intrinsecamente rappresentano la discontinuità nel

campo di spostamento. Pertanto, non vi è alcuna necessità di richiedere deformazioni localizzate agli elementi continui, evitando così problematiche che nascono in fase di formulazione, assi ricorrenti in questi approcci. Ancora una volta, la controparte negativa risiede nell’elevato numero di nodi richiesti nelle analisi utilizzando gli elementi d’interfaccia.

Ulteriori sviluppi sono attualmente in corso al fine di migliorare la modellazione dell’interazione fibra – calcestruzzo nel modello proposto. Uno dei futuri obbiettivi del presente gruppo di ricerca sarà quello di sviluppare un modello capace di realizzare analisi meso-meccaniche su provini soggetti a distinte condizioni di carico, per esempio compressioni, compressioni biassiali, stati di “stress” triassiali e così via.

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Contatti con gli autori:

Antonio Caggiano: ancaggiano@unisa.it Guillermo Etse: getse@herrera.unt.edu.ar Enzo Martinelli: e.martinelli@unisa.it