Modeles non-lineaires

Changements de Regime

Modelisation

Probleme

• Les marches financiers peuvent se trouver dans des regimes differents:– Bull and bear markets– Volatilite forte ou faible– Changement dans les correlations

• Probleme de definition d’un regime• Spurious Regimes• Modelisation et test• Exemple: Contagion Financiere

Modelisation

• Modele lineaire pour chaque regime • Les parametres varient entre regime 1 et 2

• Specifier les processus de changment de regime– Les regimes sont caracterises par variables

observables: SETAR, STAR– Regimes non observables: Modele de Markov

1,2ipour )N(0, avec

2 Regime

1 Regime

2

i

2

1

t

tt

tt

t

e

ex

exy

SETAR

• Self-Exciting Threshold AutoRegressive Model

• Flexibilite: skewness, kurtosis,multi-modalite pour y 21

22

i

2

i

2

1

)()](1[

Si

1,2ipour )N(0, avec

si

si

tttttt

t

ttt

ttt

t

ecqIxcqIxy

e

cqex

cqexy

STAR

• Smooth Threshold AutoRegressive Model• Transition graduelle entre plusieurs regimes

0,))(exp(1

1),;(

),;()],;(1[21

cqcqG

ecqGxcqGxy

t

t

tttttt

Markov-Switching Model

• Regime non observe:

• Markov: Le regime en t est uniquement fonction du regime en t-1

• Transition:

• Probabilites inconditionelles:

2 si

1 si

2

1

ttt

ttt

t sex

sexy

221

211

121

111

)2|2(

)1|2(

)1|2(

)1|1(

pssP

pssP

pssP

pssP

tt

tt

tt

tt

2212

2111

pp

ppP

2211

11

2211

22

2

1)2(

2

1)1(

pp

psP

pp

psP

t

t

Estimation

• Estimer: Phi, sigma, matrice de transition et estimation des probabilites a chaque periode

• Les probabilites de transition sont fixes• La probabilites des regime varient par periode• Algorithme EM (Hamilton 1994) • Methode de maximisation de la fonction de log-vraisemblance• Complique, recursif• Details dans Kim et Nelson (1999) “State Space Models with

Regime Switching”

Illustration

Danger

• Spurious Regime: Detection d’un changement de regime meme lorsqu’il n’y en a pas eu

• Correlation Breakdown: Les correlations sont plus fortes en periode de baisse de marches (bear markets)

• Implication: Les gains de diversification sont exageres si l’on ne prend pas en compte le fait que les correlations augmentent en periode de crise

• Longin et Solnik (2001) Journal of Finance• Ang et Chen (2002): les asymetries sont plus marquees

pour les petites firmes, “value” stocks, et les perdants• Forbes et Rigobon (1999)

U shape

Boyer, Gibson, Loretan (1997)

Volatilite

• Ensemble des mois tels que le ratio de la variance mensuelle

de x est superieure a la variance totale

Exceedance Correlations

Longin et Solnik (2001) Ang et Chen (2002)

A Retenir

• Dangereux de detecter des changements de regime uniquement sur la base d’une partition des rendements realises

• Necessaire d’avoir une idee de la distribution sous jacente des rendements pour tester si le changement observe > ce que l’on attend

Methodes de Simulation

Bootstrap, Jacknife

Introduction

• Econometrie: Un seul echantillon historique

• Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique)

• Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population

• Re-echantilloner l’echantillon

The Central Limit Theorem

Illustration CLT

• Choisir une distribution de probabilite

• Choisir nombre de groupes N

• Choisir R echantillons

• Histogramme des moyennes et ecarts type

Exemple Matlabn=[3,10,100];mea=[];

for ni=1:1:3; si=n(ni); rn=[];for z=1:1:500; rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)];end

mea=[mea;mean(rn)];end

for z=1:1:3; subplot(3,1,z); hist(mea(z,:),40); axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] )end

Boucle sur N

Boucle sur R

Application

• Distribution: chi-deux[2]

• Somme au carre de deux variables N(0,1)

• Z=X12+X22

Vraie moyenne = 2,

Varie variance = 4

• Groupes: 3, 10, 100

• Echantillons: R = 500

Moyenne

1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

N=3

N=10

N=100

Variance

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

N=3

N=10

N=100

-2 -1 0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

-2 -1 0 1 2 3 4 50

20

40

60

-3 -2 -1 0 1 2 30

10

20

30

40

VVNr /)(

N=3

N=10

N=100

Bootstrap – Efron (1979)

• Baron de Munchhausen: “Pulling oneself up by one’s bootstraps”

• Approche non-parametrique d’inference statistique

• Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente

• Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution

Avantages

• Large applicabilite

• Gain de precision

• Cout informatique reduit

Objectifs

inconnueest F lorsque Meme

)F(.,G notee T de cumulativeon distributi laestimer d'permet Bootstrap

),....(TT :eStatistiqu

}....1,{X :Donnees

F cumulativeon distributi Vraie

0

0nn

1nn

i

0

nXX

ni

Procedure Standard

• 1. Population=echantillon• 2. Tirer des echantillons aleatoires avec

remplacement: taille m<n

Pseudo echantillons bootstrap 1bootstrap 2etc…

},...1,{ niXXin

}7,9,2,4,5,3,3,1{

}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{

},...1,{ **

j

i

miXX in

Suite

• 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique d’interet

• 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution

),....(TT *1

*n

*n

*nXX

Exemple

• Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986

• Quel est l’ecart type?

• Std(Returns)*sqrt(48)=4.43%

• Obtenir intervalle de confiance?

Matlabretu=diff(log(cana));stat_boot=[];

boot=5000;nb=size(retu,1);Lo=5/100;Up=95/100;

for b=1:1:boot; R = UNIDRND(nb,nb,1); boot_sample=retu(R,1); stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)];end

hist(stat_boot,40);sam_sort=sort(stat_boot);ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot);Conf_int=sam_sort(ind_conf);

Histogramme

0.038 0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.0520

50

100

150

200

250

300

350

400

Ecart Type des Rendements Annualises Intervalle de Confiance

std(5%)=4.22%std(95%)=4.64%

Block Bootstrap

• Si dependence dans le temps entre observations

• Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle

• Solution: Block Bootstrap de Kunsch

• Tirer des echantillons de taille k

• {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}

Sieve Bootstrap

• Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q)

• Estimer le modele pour obtenir residus

• Re-echantilloner les residus

• Generer pseudo-donnees X* recursivement

• Re-estimer le modele

Simulation AR(1)

%--------------------------------------------------------% Generer une serie AR(1)

n=500;y(1,1)=0;

for i=2:1:n; y(i,1)=-0.2+0.6*y(i-1,1)+normrnd(0,1);endplot(y);%--------------------------------------------------------

% Premiere etape: Estimation du coefficient xx=[ones(500,1), lag(y)];

y_reg=ols(y,xx);prt(y_reg);

Reg_prem=y_reg.beta; % CoefficientReg_resid=y_reg.resid; % Residus

Simulation de la serie

Estimation sur l’echantillonentier

Simulation AR(1)% Simulations

nboot=1000;

ar_coff=[];

for nb=1:1:nboot;

nb

new_samp=y(1,1);

R=unidrnd(n,n,1);

resid_resamp=Reg_resid(R,1);

for ii=2:1:n;

new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1);

end;

new_samp1=new_samp';

xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)];

boot_reg=ols(new_samp1,xx1);

Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient

ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)];

end

Boucle Bootstrap

Pseudo-echantillon

Resultats

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80

10

20

30

40

50

60

70

Coefficient AR(1)

Moyenne=0.655Ecart Type=+-0.0322

Coefficient Observe0.66

Stationary Bootstrap

• Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires

• Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap

• Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire

• Donnees resultantes sont stationaires

Probleme 4

• Quelle taille?

• La taille de l’echantillon doit augmenter avec n pour rendre l’estimation fiable

• Hall (1995)

g)|TP(| doubleon distributiestimer pour 1/5r

g)P(T simpleon distributiestimer pour 1/4r

eou varianc biaisestimer pour 1/3r avec

~

rnl

Cas Pratique

• Modelisation ECM de AUD/EUR• 200 observations seulement

Exemple - Suite

• Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires

• Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires n’arrivent pas a battre le modele Random Walk

• Statistique d’interetMesure de predictabilite relative

Application

Application

• Predictabilite des Taux de Change

Intervalles de Confiance

• Distribution Normale

• DecilesExemple– Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre

croissant– Bas = 0.025 x statistiques bootstrapees– Haut = 0.975 x statistiques bootstrapees

Variations

• Modele de Regression Lineaire: • Statistique d’interet beta1• 1) Premiere Regression pour obtenir residus • 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE• Re-Echantilloner les residus

– Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente – Regresser Y* et X– Sauver le coefficient

• 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE• Tirage de U** a partir de la distribution Normale

– Meme procedure

)N(0, Uavec 2

10 UXY

*U

Autres Methodes

• Jackknife (take one out)

• S={X1,X2,...Xn}

• Tirer un echantillon de taille n-1

• S(i)=S-{Xi}

• Estimer

• Calculer ))(( iS

i

n

iin 1

1