UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA

GEO213 – TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Modelagem e inversão de

eletrorresistividade 1d usando

Fortran moderno: arranjos Wenner

e Schlumberger

MARINA SILVA BORJA

SALVADOR – BAHIA

DEZEMBRO – 2018

Modelagem e inversão de eletrorresistividade 1d usando Fortran moderno:

arranjos Wenner e Schlumberger

por

Marina Silva Borja

Orientador: Prof. Dr. Hédison Kiuity Sato

GEO213 – TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Departamento de Geofísica

do

Instituto de Geociências

da

Universidade Federal da Bahia

Comissão Examinadora

Dr. Hédison Kiuity Sato

Dr. Joelson da Conceição Batista

Dra. Suzan Souza de Vasconcelos

Data da aprovação: 28/dez/2018

"There are no shortcuts to anyplace worth going."

(Beverly Sills)

Resumo

São apresentados os conceitos teóricos da eletrorresistividade, a solução da resistividadeaparente para o modelo geoelétrico de n camadas horizontais homogêneas para os arran-jos Wenner e Schlumberger teórico e prático, assim como o procedimento de linearizaçãode equações não lineares através do Método dos Mínimos Quadrados para a realização dainversão de dados. É feita uma explanação das vantagens do Fortran moderno para a comu-nidade científica e das novas ferramentas de suas versões mais recentes, onde se destacam ossubmódulos. Realizam-se testes do programa desenvolvido para modelos sintéticos e reais,em que foram consideradas situações hipotéticas possuindo alto nível de erro e poucos dadosobservados. Inclui-se também os códigos Fortran para a modelagem e inversão, assim comoo cálculo da resistividade aparente para os arranjos propostos.

3

Abstract

The theories of resistivity methods are presented along with the solution of the appar-ent resistivity for a geoelectric model of n homogeneous horizontal layers for the Wennerand Schlumberger arrays, either ideal or exact, and includes the linearization of nonlinearequations through the least squares procedure to perform the inversion of the data. Anexplanation is given about the advantages of modern Fortran to the scientific communityand the new program units of its more recent versions, particularly the submodules. Testsof the Fortran program for synthetic and real models were performed, in which hypotheticalsituations with high level of error and few observed data were considered. Also includes thescript of the modeling and inversion codes, as well as the code of apparent resistivity for theproposed arrays.

4

Sumário

Resumo 3

Abstract 4

Introdução 9

1 Fundamentação Teórica 11

1.1 Métodos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Eletrorresistividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Resistividade aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Arranjos de eletrodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.4 Modelo geoelétrico de n camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Inversão de problemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Processamento de Dados 20

2.1 Por que Fortran? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1 Unidades de programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 O programa desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Passos do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Resultados 27

3.1 Dados Sintéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.1 Modelo de três camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2 Modelo inicial com alto nível de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3 Modelo com poucas observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Dados Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1 Arranjo Wenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Arranjo Schlumberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5

6

4 Conclusões 40

Agradecimentos 42

Referências 44

A Códigos do programa 46

A.1 Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.2 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.3 Resistividade aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Lista de Tabelas

3.1 Valores do modelo de teste com três camadas e arranjo Wenner. . . . . . . . 283.2 Valores do modelo de teste com três camadas e arranjo Schlumberger teórico. 293.3 Valores do modelo de teste com três camadas e arranjo Schlumberger prático,

em que b = 0, 01a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Modelo inicial com fator de aleatoriedade 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Modelo inicial com poucas medidas de dados de campo. . . . . . . . . . . . . 313.6 Dados de campo com arranjo Wenner de Malagash, Nova Escócia. . . . . . . 343.7 Modelos estimado após inversão dos dados de campo de Malagash, Nova Es-

cócia, usando arranjo Wenner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.8 Dados de campo do Instituto de Letras da UFBA coletados com arranjo Sch-

lumberger em março de 1998 e maio de 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.9 Modelos estimados após inversão dos dados de campo coletados em 1998. . . 373.10 Modelos estimados após inversão dos dados de campo coletados em 1999 com

cinco camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.11 Modelos estimados após inversão dos dados de campo coletados em 1999 com

quatro camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7

Lista de Figuras

1.1 Visão espacial de uma configuração genérica de quatro eletrodos. . . . . . . . 121.2 Arranjo Wenner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Arranjo Schlumberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Modelo de n camadas horizontais com a fonte na superfície. . . . . . . . . . 16

2.1 Representação do arquivo contendo o modelo inicial. . . . . . . . . . . . . . 242.2 Representação do arquivo contendo os dados de campo para o arranjo Sch-

lumberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Fluxograma para processamento de dados sintéticos. . . . . . . . . . . . . . 252.4 Fluxograma para processamento de dados reais. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Resultado da inversão do modelo sintético de três camadas da Tabela 3.1usando arranjo Wenner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Resultado da inversão do modelo sintético de três camadas da Tabela 3.2usando arranjo Schlumberger teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Resultado da inversão do modelo sintético de três camadas da Tabela 3.3usando arranjo Schlumberger prático, em que b = 0, 01a. . . . . . . . . . . . 30

3.4 Resultado da inversão do modelo sintético da Tabela 3.4 usando arranjo Wen-ner e fator de aleatoriedade 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Resultado da inversão do modelo sintético da Tabela 3.5 usando arranjo Wen-ner e considerando dados de campo com 21 observações. . . . . . . . . . . . 33

3.6 Resultado da inversão de dados de campo de Malagash, Nova Escócia, usandoarranjo Wenner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7 Comparação entre as inversões dos dados de campo de 1998 para os arranjosSchlumberger prático e teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8 Comparação entre as inversões dos dados de campo de 1999 para os arranjosSchlumberger prático e teórico considerando um modelo de cinco camadas. . 38

3.9 Comparação entre as inversões dos dados de campo de 1999 para os arranjosSchlumberger prático e teórico considerando um modelo de quatro camadas. 39

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Introdução

A ciência geofísica aplica os princípios da física ao estudo da Terra e envolve realizar medidasem sua superfície ou próximo a ela, medidas estas que são influenciadas pela distribuiçãointerna das propriedades físicas da Terra (Kearey et al., 2009). Dentre os muitos métodosgeofísicos existentes, os métodos elétricos se destacam por possuírem uma maior variedadede técnicas e custo relativamente baixo. Telford et al. (1990) argumenta que, dentre eles, aeletrorresistividade se sobressai.

O método da eletrorresistividade baseia-se na observação, via regra, da diferença depotencial entre dois pontos, associada a uma distribuição de correntes elétricas induzidasartificialmente no meio em estudo (Sato, 2002). O fato dessa técnica fazer uso de uma fontecontrolada e conhecida oferece considerável vantagem em relação aos demais métodos elé-tricos, permitindo a sua amplamente utilização na exploração mineral, estudos geoelétricos,arqueológicos, indústria civil e até mesmo na exploração de petróleo.

O papel da interpretação geofísica é atribuir significado geológico para aquilo que foimedido, através dos muitos métodos existentes, e nesse sentido é indispensável que haja umbom tratamento dos dados adquiridos. O desafio do processamento de dados em geofísicaé fornecer o melhor modelo possível que reflita a conjuntura geológica em subsuperfície deforma a melhor auxiliar o intérprete com o máximo de informações possíveis a cerca da áreaestudada.

A inversão geofísica se encaixa nesse contexto, ao buscar extrair propriedades físicasda Terra, ou um modelo da Terra, a partir dos dados geofísicos que foram afetados pelavariação das propriedades do material no local (Sen e Stoffa, 1995). As teorias de inversãoforam e vêm sendo abordadas por diversos autores na literatura, seja para métodos elétricosnas obras de Keller e Frischknecht (1966), Telford et al. (1990), Sen e Stoffa (1995) e Sato(2002), para métodos potenciais por Blakely (1995) e eletromagnéticos por Nabighian (1988).

O avanço da capacidade de processamento dos computadores permitiu que os problemasgeofísicos fossem tratados com mais precisão e velocidade ao aliar análise numérica e progra-mação de alto desempenho. Dessa forma, programas computacionais que realizam inversãode dados geofísicos surgiram para auxiliar pesquisadores em busca de melhores soluções para

9

10

seus casos de estudo.No presente trabalho, buscou-se desenvolver um programa computacional que realiza a

modelagem e inversão de eletrorresistividade 1d para os arranjos Wenner e Schlumberger. Oprograma foi escrito em linguagem Fortran moderna, com a finalidade de ampliar as possi-bilidades de seu uso, visto que o processamento de dados em geofísica na UFBA, até então,limita-se às ferramentas fornecidas pela versão Fortran 90. Para a realização desse estudo,utilizou-se os “softwares” livres Fortran 2008, shell script, Inkscape (Inkscape Project, 2007)e Gnuplot (Williams e Kelley, 2017).

No primeiro capítulo são tratados os princípios teóricos que fundamentam esse trabalho,em especial os conceitos de eletrorresistividade e resistividade aparente. Ainda nesse capítuloé mostrada a teoria de inversão de equações não lineares utilizando o Método dos MínimosQuadrados. No segundo capítulo é feita uma análise do uso do Fortran pela comunidadecientífica e uma descrição das novas ferramentas propostas pelo Fortran moderno que foramutilizadas para a implementação do programa desenvolvido. Para o terceiro capítulo realizou-se diversos testes a fim de verificar a eficácia do código de inversão. Nesse capítulo, sãomostrados os resultados obtidos trabalhando-se com os arranjos Wenner e Schlumberger,teórico e prático, aplicados a dados sintéticos e reais. Por fim, o apêndice A contém, em suaintegridade, os códigos de modelagem e inversão desenvolvidos pela autora dessa pesquisa.

Capítulo 1

Fundamentação Teórica

A seguir, apresenta-se uma revisão básica de métodos elétricos, em especial o método daeletrorresistividade. Além disso, há a necessidade de se abordar conceitos de modelagem einversão geofísica, os quais são essenciais para o total entendimento da questão tratada nessetrabalho.

1.1 Métodos Elétricos

A prospecção utilizando métodos elétricos envolve a detecção de efeitos na superfície produ-zidos por um fluxo de corrente elétrica no solo (Telford et al., 1990), seja de origem naturalou artificial. Há uma grande variedade de técnicas que são amplamente utilizadas pararealizar levantamentos geofísicos, tais como o potencial espontâneo, polarização induzida ea eletrorresistividade. Essa última foi a escolhida para a realização desse trabalho e serámelhor explicada na seção seguinte.

1.1.1 Eletrorresistividade

Segundo Telford et al. (1990), a técnica da eletrorresistividade é superior aos outros méto-dos elétricos porque resultados quantitativos são obtidos usando uma fonte controlada comdimensões específicas. Há na literatura diversos exemplos do uso da resistividade elétricadas rochas, tendo como exemplo a obra de Kearey et al. (2009), que cita a utilização naengenharia civil para investigações geológicas antes de uma construção, na determinação daprofundidade do embasamento, investigações hidrogeológicas, localização e monitoramentoda extensão da poluição de águas subterrâneas, delineamento de lentes de água doce, inves-tigações arqueológicas, exploração mineral e até para petróleo.

Convencionalmente, a aquisição utiliza uma configuração com quatro eletrodos que po-dem ser dispostos com diferentes geometrias, como mostrado na Figura 1.1. A corrente

11

12

A M

NB

Fonte de CorrenteVoltímetro

ABr

AMr

MNr

BNr

BMr

ANr

Figura 1.1: Visão espacial de uma configuração genérica de quatro eletrodos.

elétrica é emitida por um par de eletrodos, enquanto a diferença de potencial elétrico estabe-lecida por essa corrente é medido pelo segundo par de eletrodos (Keller e Frischknecht, 1966),permitindo obter valores de resistividade que serão utilizados para se estudar a subsuperfície.

1.1.2 Resistividade aparente

Os princípios do método da eletrorresistividade são amplamente discutidos em Keller e Fris-chknecht (1966), Telford et al. (1990), entre outros. Segundo Keller e Frischknecht (1966), aabordagem mais simples do estudo teórico da resistividade elétrica das rochas é feita conside-rando a subsuperfície da Terra como homogênea e isotrópica. Telford et al. (1990) apresentauma equação para o potencial elétrico associado a uma fonte de corrente pontual na superfíciede um semi-espaço, escrita como

V =ρI

2πr, (1.1)

sendo V o potencial elétrico num ponto a uma distância r, I a corrente elétrica e ρ aresistividade do meio. Considerando a configuração mostrada na Figura 1.1, estabelece-seque a diferença de potencial entre os eletrodos M e N é dada por

∆V =Iρ

2π

(1

rAM− 1

rBM

)−(

1

rAN− 1

rBN

). (1.2)

Isolando a resistividade nessa equação, se obtém

ρ =∆V

I

2π

(1/rAM − 1/rBM)− (1/rAN − 1/rBN). (1.3)

Pode-se ainda considerar o conceito do fator geométrico K, que representa a disposição doseletrodos, reduzindo a equação para

ρ =

(∆V

I

)K. (1.4)

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Dessa forma, se o semi espaço for formado por rochas apresentando variações lateraisou verticais das suas resistividades, a resistividade ρ varia à medida que se altera o arranjogeométrico dos quatro eletrodos ou movendo-os ao longo da área sem alterar sua geometria.Conhecendo os valores da corrente, a geometria e a diferença de potencial, calcula-se o valorda resistividade (Parasnis, 1962). No entanto, como dito por Telford et al. (1990), apenasno caso de um meio homogêneo a resistividade obtida através da equação 1.4 representaráa resistividade real, sendo assim, em geral o valor encontrado representa a resistividadeaparente ρa, a qual de nenhuma forma se trata da média das resistividades dos diferentesmateriais contidos no meio.

1.1.3 Arranjos de eletrodos

A equação 1.4 apresenta o parâmetro fator geométrico K, o qual depende unicamente daconfiguração dos eletrodos no momento da aquisição. Segundo Zhdanov (2009), muitos es-quemas para realizar levantamentos elétricos foram desenvolvidos no início do século XX,cada um com uma suposta vantagem em relação ao outro. A maioria dos arranjos se ba-seiam no uso de quatro eletrodos como mostrado na Figura 1.1, dois deles, A e B, usadospara injetar uma corrente elétrica no solo e os outros dois, M e N, usados para a medição dadiferença de potencial elétrico.

Dentre os arranjos mais conhecidos estão os arranjos Wenner, Schlumberger, dipolo-dipolo e polo-dipolo. No entanto, apenas os arranjos Wenner e Schlumberger serão expli-citados a seguir, visto que foram os escolhidos nesse trabalho diante de sua relevância nosestudos de métodos elétricos.

Arranjo Wenner

O arranjo Wenner, representado na Figura 1.2, é uma configuração de eletrodos básica ebem estabelecida na literatura, no qual são utilizados quatro eletrodos espaçados da mesmadistância a. A corrente é introduzida através dos eletrodos A e B, enquanto a diferença depotencial elétrico entre os eletrodos M e N é medida. Simplificando a equação 1.3 se obtém

ρa,W =

(∆V

I

)2πa, (1.5)

que se trata da expressão da resistividade aparente ρa para o arranjo Wenner, tendo comofator geométrico K = 2πa.

Arranjo Schlumberger

Assim como o arranjo Wenner, o arranjo Schlumberger é massivamente referenciado naliteratura e, de acordo com Zhdanov (2009), é o arranjo mais utilizado para a realização de

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A M N B

a a a

𝚫V

I

Figura 1.2: Arranjo Wenner.

A M N B

a

b

a

𝚫V

I

Figura 1.3: Arranjo Schlumberger.

sondagens elétricas. Nessa configuração os quatro eletrodos são dispostos simetricamente emrelação ao ponto médio do arranjo, como mostrado na Figura 1.3. Os eletrodos M e N estãoespaçados de uma distância b e medem a diferença de potencial elétrico. Enquanto isso, oseletrodos A e B são responsáveis por introduzir a corrente no solo, sendo espaçados de umadistância 2a. Sendo assim, o fator geométrico para essa geometria é representado como sendoK = π(a2/b− b/4), e a resistividade aparente por

ρa,Spr =

(∆V

I

)π

(a2

b− b

4

). (1.6)

A expressão obtida na equação 1.6 representa o valor da resistividade aparente obtidona prática, em que se utiliza quatro eletrodos. Outra forma de representar o fator geométricodesse arranjo é considerando K = πa2 [1− (b/2a)2] /b. Assim, é possível teorizar um cálculoconsiderando que o espaçamento entre os eletrodos M e N é ínfimo, a ponto de ser possíveldesprezar a parcela (b/2a)2 e obter a relação

ρa,S =

(∆V

I

)πa2

b, (1.7)

onde o fator geométrico é K = πa2/b.Entretanto, tal consideração não é realizada na prática, visto que não seria possível me-

dir a diferença de potencial com eletrodos coincidentes. Sendo assim, para o restante dessetrabalho adotou-se duas disposições para o arranjo Schlumberger: a primeira considerandoo espaçamento entre M e N desprezível, onde se faz valer a equação 1.7, e a segunda con-

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siderando a disposição de M e N como é realizada na prática, e que é representada pelaequação 1.6.

1.1.4 Modelo geoelétrico de n camadas

Esse trabalho foi realizado utilizando um modelo de n camadas horizontais que pode servisto representado na Figura 1.4. Nesse modelo tanto a injeção de corrente quanto a medidade potencial são feitas no topo da primeira camada, a qual corresponde à superfície da Terra.A fim de se obter a resistividade aparente que representa o caso citado é necessário calcular opotencial elétrico correspondente. A solução desse problema pode ser encontrada em Kellere Frischknecht (1966), Telford et al. (1990) e Sato (2002).

Sato (2002) escreve que, para n camadas horizontais homogêneas de espessura hi eresistividade elétrica ρi, o potencial elétrico V1 num ponto afastado de r da fonte de correnteé dado por

V1 =ρ1I

2π

∫ ∞0

1−G1e−2λh1

1 +G1e−2λh1J0(λr)dλ, (1.8)

onde G1 é obtido pelo seguinte processo recursivo:

Gi =1− (ρi+1/ρi)Fi1 + (ρi+1/ρi)Fi

, (1.9)

Fi =1−Gi+1e−2λhi+1

1 +Gi+1e−2λhi+1, (1.10)

Gi+1 = . . . , (1.11)... (1.12)

Fn−1 = 1, (1.13)

Gn = 0. (1.14)

Considerando∫∞0J0(λr)dλ = 1/r, o potencial pode ser reescrito como

V1 =ρ1I

2π

1

r+

∫ ∞0

[1−G1e−2λh1

1 +G1e−2λh1− 1

]J0(λr)dλ

. (1.15)

Essa forma divide o potencial em duas parcelas. A primeira parcela representa o poten-cial primário no caso de um semi espaço homogêneo com a mesma resistividade da primeiracamada, e a segunda parcela representa o potencial adicional associado às demais camadas.Interessante destacar que a segunda parcela tende a zero com o aumento da espessura daprimeira camada e que essa forma de representação é vantajosa para a avaliação numérica,pois ela dá maior estabilidade do que a equação 1.8.

Por fim, a expressão obtida na equação 1.15 pode ser incorporada às equações da resis-tividade aparente dos arranjos descritos na seção 1.1.3, permitindo reescrever

16

Fonte de corrente I

+z

z0

z1

z2

zn−1

ρ1

ρ0

ρi

ρn−1

ρ

zi

ρn

Figura 1.4: Modelo de n camadas horizontais com a fonte na superfície.

• para o arranjo Wenner:

ρa,W = ρ1

1 + 2a

∫ ∞0

[1−G1e−2λh1

1 +G1e−2λh1− 1

][J0(λa)− J0(λ2a)]dλ

, (1.16)

• para o arranjo Schlumberger Prático:

ρa,Spr = ρ1

1 +

[a2

b− b

4

] ∫ ∞0

[1−G1e−2λh1

1 +G1e−2λh1− 1

] [J0(λ(a− b/2))

− J0(λ(a+ b/2))]dλ

, (1.17)

• e para o arranjo Schlumberger Teórico:

ρa,S = ρ1

1 + a2

∫ ∞0

[1−G1e−2λh1

1 +G1e−2λh1− 1

]λJ1(λa)dλ

. (1.18)

1.2 Inversão

1.2.1 Introdução

O objetivo principal da teoria de inversão é determinar os parâmetros de um modelo quereproduzem observações reais (Parker, 1977). Na geofísica, essa técnica é utilizada para en-contrar modelos geológicos que justifiquem os valores das medidas físicas adquiridas durante

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levantamentos feitos na superfície, como a eletrorresistividade, ou sobre ela, para métodosaerogeofísicos.

Sen e Stoffa (1995) classificam os métodos de inversão em duas categorias: inversãodireta ou inversão dos parâmetros do modelo. No primeiro caso, um operador matemáticoé escolhido e aplicado ao dado observado para se recuperar o modelo geológico, como, porexemplo, é feito na migração sísmica. O segundo caso é um procedimento em que dados sin-téticos são gerados a partir de um suposto modelo e comparados com dados reais observadosna aquisição. Se a comparação entre os dois for aceitável, o modelo é adotado como solução.Caso contrário, o modelo é alterado, os cálculos são refeitos e comparados novamente com asobservações. Essa técnica é repetida automática e iterativamente até que seja encontrado ummodelo cujos dados gerados sinteticamente sejam compatíveis com os dados observados (Sene Stoffa, 1995). O último caso explicado é o que se aplica a esse trabalho.

1.2.2 Inversão de problemas não lineares

A maioria dos problemas geofísicos são não lineares e uma forma de solucioná-los é pelalinearização. Essa seção é inspirada em diversos textos de livros e artigos, especialmente emBlakely (1995).

A resistividade aparente ρa definida na seção 1.1.4 depende dos valores do espaçamentoentre os eletrodos a, da resistividade ρi de cada camada e sua espessura hi correspondente.Sendo n o número de camadas do modelo geológico, então a equação

ρai = f(ai, ρ1, h1, ρ2, h2, . . . , ρn−1, hn−1, ρn) (1.19)

ilustra a relação de dependência de todas as i medidas de resistividade aparente obtidas nolevantamento, as quais variam de acordo com i = 1, 2, . . . , L, ou seja, L observações.

O procedimento de inversão consiste em estimar valores de ρi e hi que minimizem adiferença entre a resistividade aparente observada ρai e a resistividade aparente calculadaρai . O erro quadrático entre as resistividades aparentes é dado por

E2 =L∑i=1

(ρai − ρai)2 , (1.20)

e o que se busca é obter um conjunto de ρi e hi que o minimize.Uma forma de se resolver esse problema é utilizando o Método dos Mínimos Quadra-

dos. Entretanto, ρai é uma função não linear, logo esse método não pode ser diretamenteutilizado. No entanto, se forem consideradas pequenas variações para cada parâmetro ρi ehi a função pode ser considerada linear. A Série de Taylor é uma maneira eficaz de realizar

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esse procedimento, e para uma única variável ela é dada por

f(x) =∞∑n=0

an(x− x0)n, (1.21)

sendo que an = f (n)(x0)/n! e x0 é o valor de x em torno do qual se faz a expansão. Então,

f(x) = f(x0) +f ′(x0)(x− x0)

1!+f ′′(x0)(x− x0)2

2!+ · · · (1.22)

No caso em estudo, se tem a função f(a, ρ1, . . . , ρn, h1, . . . , hn−1) ou simplesmentef(a, w), sendo w um vetor contendo ρi e hi, e o argumento a forma a coleção a1, a2, . . . , aL.Desta forma, definindo-se ρai(w) = f(ai, w), usa-se a aproximação por Série de Taylor paraescrever<D-1>

ρai(w(k+1)) ≈ ρai(w

(k)) +2n−1∑m=1

∂ρai(w(k))

∂wm∆w(k)

m , (1.23)

em que os valores da coleção ρai de ordem k + 1 relacionam-se com os valores dessa mesmacoleção de ordem k, com m = 1, 2, . . . , 2n− 1, sendo n o número total de camadas.

Substituindo na equação 1.20, se tem

E2 =L∑i=1

(ρai − ρai(w(k))−

2n−1∑m=1

∂ρai(w(k))

∂wm∆w(k)

m

)2

. (1.24)

Para se obter o vetor w minimizador de E2 é necessário calcular a derivada parcialdo erro quadrático E2 em relação à variação de cada um dos seus parâmetros wj, comj = 1, 2, . . . , 2n− 1, e igualar a zero cada uma das equações. Calculando-se ∂E2/∂∆wj = 0,obtém-se

∂

∂∆wj

L∑i=1

(ρai − ρai(w(k))−

2n−1∑m=1

∂ρai(w(k))

∂wm∆w(k)

m

)2

= 0. (1.25)

A derivada parcial dos termos ∂ρai/∂∆wj e ∂ρai/∂∆wj serão nulas porque ambas nãodependem de ∆wj, dessa forma

L∑i=1

(ρai − ρai(w(k))−

2n−1∑m=1

∂ρai(w(k))

∂wm∆w(k)

m

)(∂

∂∆wj

2n−1∑m=1

∂ρai(w(k))

∂wm∆w(k)

m

)= 0. (1.26)

Durante a expansão do segundo termo entre parênteses, quando ∆wm for diferente de∆wj a derivada parcial será nula, logo só se considera a parcela quando m = j, resumindo-sea

∂

∂∆wj

(∂ρai(w

(k))

∂wj∆w

(k)j

), (1.27)

o que resulta em

∂ρai(w(k))

∂wj. (1.28)

19

Substituindo esse resultado na equação 1.26 encontra-se a equação dos parâmetros w(k)

que minimizam E2, dada por

L∑i=1

(ρai − ρai(w(k))−

2n−1∑m=1

∂ρai(w(k))

∂wm∆w(k)

m

)(∂

∂wjρai(w

(k))

)= 0, (1.29)

sendo possível reescrevê-la como

L∑i=1

(ρai − ρai(w(k))

)( ∂

∂wjρai(w

(k))

)=

L∑i=1

2n−1∑m=1

(∂ρai(w

(k))

∂wm∆w(k)

m

)(∂

∂wjρai(w

(k))

)(1.30)

ou na forma matricial

αj =2n−1∑m=1

Gmj∆w(k)m , (1.31)

com i = 1, . . . , L, onde

αj =L∑i=1

(ρai − ρai(w(k))

)( ∂

∂wjρai(w

(k))

)(1.32)

e

Gmj =L∑i=1

(∂

∂wmρai(w

(k))

)(∂

∂wjρai(w

(k))

). (1.33)

A solução da equação 1.31 será um vetor com valores de ∆wj que representa as pe-quenas variações feitas nas resistividades e espessuras do modelo, de modo a encontrar nu-mericamente valores ideais que minimizem a diferença entre os dados calculados e os dadosobservados, ou seja, o vetor w(k+1) é estimado com

w(k+1) = w(k) + ∆w(k), (1.34)

onde ∆w(k) é o vetor formado pelos elementos ∆w(k)m , solução do sistema de equações 1.31.

Capítulo 2

Processamento de Dados

2.1 Por que Fortran?

O amplo uso de Fortran pela comunidade científica é algo que intriga programadores de outrasáreas, que argumentam que a linguagem é antiga e ultrapassada. O Fortran foi desenvolvidona década de 50 e sua primeira versão foi oficialmente lançada em 1966, sendo uma dasprimeiras linguagens de programação a ser desenvolvida, o que torna válido o argumento deque Fortran é antigo.

No campo da computação de alto desempenho, em que há cálculos numéricos em grandeescala, existem duas linguagens que são extensivamente usadas atualmente: C++ e “Fortranmoderno”, esse último consiste das versões a partir do Fortran 90. Além dessas, há tambémoutras linguagens mais recentes que disputam a preferência dos cientistas, como Python, Re Matlab, o que levanta o questionamento da insistência no uso do Fortran para pesquisacientífica.

Entretanto, contrariando a opinião de muitos cientistas da computação, o Fortran nãoé uma linguagem ultrapassada ou desatualizada. Isso se deve a uma série de revisões feitasem suas versões, sendo a última em 2018, que incrementaram sua capacidade e o mantive-ram competindo com várias gerações de concorrentes. Sendo assim, apesar de mais de meioséculo de existência, continua sendo uma das principais linguagens usadas em programaçãocientífica, numérica e aplicada de alto desempenho (Metcalf et al., 2018).

Desempenho

Elton (2015) estudou o desempenho de diversas linguagens de programação e relata quefazendo uma comparação, Python chega a ser cerca de cem vezes mais lento que Fortranmoderno ou C++. Tal resultado é esperado por conta de Python não ser uma linguagemcompilada e sim interpretada, mais simples e rápida para escrever, porém perdendo em

20

21

velocidade de execução. Logo, não é adequada para cálculos numéricos pesados como os quesão feitos em geofísica.

Fortran foi criado para lidar especificamente com programação científica e surgiu comouma das primeiras linguagens de programação, senão a primeira, sendo bem próxima deAssembly. Assim, se traduz em comandos básicos do computador de forma mais eficiente doque as linguagens de alto nível mais recentes, resultando em processamentos mais rápidos.

Biblioteca

Por ser uma linguagem que perdura a décadas, há uma grande quantidade de códigos paraproblemas matemáticos e físicos que já foram escritos em Fortran, o que facilita o desenvol-vimento de novos programas. Além disso, alunos podem usar códigos já existentes desenvol-vidos por seus professores, poupando tempo na implementação e identificação de erros nosprogramas. O que cientistas da computação falham em perceber é que pesquisadores estãomais interessados em resolver um problema científico do que desenvolver códigos atraentes.Assim, utilizar um código já escrito, mesmo que antigo, é mais vantajoso do que reescrevê-loem outra linguagem.

Sintaxe

Como seu próprio nome indica, o Fortran (acrônimo de Formula Translator) foi criado paraaqueles que buscam programar para resolver problemas de cálculos, sendo ideal para mate-máticos, físicos e geocientistas. É uma linguagem de programação procedural e mais simplesde ser aprendida do que, por exemplo, linguagens orientadas a objeto, que são mais abstra-tas. A sintaxe do Fortran permite que vetores e matrizes possam ser copiados, multiplicadosou manipulados de forma bastante intuitiva. Por esse motivo, Fortran é muito indicado paraestudantes como linguagem introdutória, diferente de C e C++, que, por outro lado, atémesmo em cursos de ciências da computação são ensinados depois de linguagens como Javae Python.

Segurança

Fortran tem ferramentas que auxiliam o compilador proporcionando códigos mais confiáveis.Um exemplo disso é a opção intent, que não permite uma variável assumir outro valordurante a execução. Isso parte do princípio que Fortran não admite que exista sobreposiçãoem seu código, dessa forma, caso ocorra o compilador reportará um erro.

22

Software Livre

Enquanto muitos softwares, como o Matlab, são comerciais, Fortran continua sendo umsoftware livre e conta com bons compiladores baratos ou gratuitos, como o gfortran, que foio compilador utilizado nesse trabalho.

2.1.1 Unidades de programa

É possível escrever um programa completo em Fortran num único arquivo, contudo, se ocódigo for suficientemente complexo, pode ser necessário e recomendável que um determinadoconjunto de instruções seja realizado repetidas vezes, em pontos distintos do programa.Cada uma das unidades de programa corresponde a um conjunto completo e consistente detarefas que podem ser, idealmente, escritas, compiladas e testadas individualmente, sendoposteriormente incluídas no programa principal para gerar um arquivo executável (Gaelzer,2005).

Em Fortran moderno, existem, ao todo, quatro unidades distintas de programa: pro-grama principal, rotinas externas (subrotinas e funções), módulos e submódulos. Subrotinassão amplamente utilizadas no processamento de dados geofísicos realizado no Departamentode Geofísica da UFBA, enquanto módulos, submódulos e funções estão longe de serem tãoaplicados. Esse trabalho procurou explorar mais essas três unidades, que serão brevementeexplicadas a seguir.

Funções

Funções são similares a subrotinas em muitos aspectos, mas elas podem ser chamadas dentrode uma expressão e retornar um valor que pode ser usado dentro da própria expressão (Met-calf et al., 2018). Neste sentido, uma função em Fortran moderno age como uma função emanálise matemática. Uma função retorna um único valor, o qual pode ser um escalar ou umamatriz, se declarada como tal, e pode inclusive servir de argumento para uma outra rotina.Outro aspecto interessante de uma função, e de uma subrotina, é de ela poder ser recursiva,isso ocorre quando uma função chama a si mesma, seja de forma direta ou indireta, e foiintroduzido na versão Fortran 90.

Módulos

É comum em programas de geofísica que contêm parâmetros, variáveis ou rotinas que pre-cisem ser compartilhados para outras unidades. Para essa situação, o Fortran oferece osmódulos, que funcionam como um pacote onde se pode agrupar e armazenar definições, fun-ções e subrotinas, permitindo dividir o programa principal em vários arquivos separados que

23

são compilados individualmente. Além disso, é possível alterar o módulo sem modificar oprograma que o usa, evitando assim que hajam alterações acidentais dos dados.

Os módulos são muito convenientes de serem usados para definir dados globais, o quetorna suas variáveis e subrotinas acessíveis ao programa que o usa. Porém, também é possívelcontrolar a acessibilidade do código: se uma variável ou rotina for declarada como privada,então ela não estará disponível fora dele.

Num programa, é possível adicionar quantos módulos forem necessários e eles podem serusados por vários programas diferentes e várias vezes pelo mesmo programa. A praticidadede se transferir dados entre subprogramas permite organizar a arquitetura de programasgrandes e complexos, como muito frequentemente são os vistos em geofísica.

Submódulos

Na versão Fortran 2008 foi introduzida uma nova unidade de programa chamada de submó-dulo, que permite que os módulos sejam divididos em unidades diferentes que podem estarem arquivos separados. Nessa separação, as definições de variáveis permanecem no móduloenquanto o corpo contendo os passos do algoritmo é realocado para os submódulos. Isso setorna conveniente para organizar a arquitetura do programa com módulos extensos, minimi-zar erros e tempo de programação, já que uma mudança num submódulo não interfere nasunidades fazem uso dele e, dessa forma, não precisam ser compiladas novamente (Metcalfet al., 2018).

2.2 O programa desenvolvido

O programa foi desenvolvido utilizando Fortran 2008 e script shell, podendo ser usado paratratar duas situações: dados sintéticos e dados reais. Em apenas uma linha de comando numterminal Linux o usuário realiza a inversão ao fornecer: o arranjo dos eletrodos, a opção dodado ser sintético ou real, o modelo inicial e (se houver) dados observados.

sh programa_inversao.sh -a schlum -s modelo_teorico.dat

sh programa_inversao.sh -a schlum modelo_inicial.dat dado_observado.dat

Nos comandos acima, a opção -a se refere ao arranjo de eletrodos que pode ser wenner,para o arranjo Wenner, schlum, para o arranjo Schlumberger teórico, e schlumpr, para oarranjo Schlumberger prático. A opção -s deve ser utilizada apenas se o operador estivertrabalhando com dados sintéticos, assim o programa fará uma modelagem direta para gerardados de campo sintéticos antes de realizar a inversão.

24

n

ρ1 h1

ρ2 h2...

...ρn−1 hn−1

ρn

Figura 2.1: Representação do arquivo contendo o modelo inicial.

A seguir o operador deve referenciar os arquivos de entrada. Para o dados sintéticosé necessário introduzir apenas o modelo teórico, enquanto para dados reais é necessárioadicionar também o arquivo contendo os dados de campo.

O modelo deve estar em um arquivo de extensão .dat e conter em sua primeira linhao número total de camadas, seguido das resistividades e espessuras nas linhas seguintes,como mostrado na Figura 2.1. Lembrando que a espessura da última camada não deve sercolocada, visto que ela não existe, como foi mostrado na Figura 1.4.

A partir do modelo teórico, um segundo programa (gerador_aleatorio.f08) irá geraro modelo inicial aleatório para que seja realizada a inversão. O objetivo desse programa ésimular uma escolha de modelo inicial por parte do operador e dar início aos cálculos deinversão a partir dele.

Posteriormente, a modelagem direta é feita a fim de obter dados de campo sintéticosque simulem uma aquisição real. Para isso foi utilizado um programa de modelagem, cujocódigo pode ser encontrado no Apêndice A.2. O modelo inicial e os dados de campo sintéticossão usados pelo programa principal que realiza a inversão dos dados. Dessa inversão é obtidoo modelo estimado, o qual é utilizado para fazer uma nova modelagem e obter os dados decampo calculados. O fluxograma na Figura 2.3 ilustra o procedimento realizado.

Por fim, pode-se medir a confiabilidade da inversão comparando os dados de campoobservados com os dados de campo calculados, se ambos forem suficientemente próximos ainversão é considerada como satisfatória. O programa desenvolvido automatiza essa com-paração iterativamente de forma a retornar ao operador o modelo estimado que mais seaproxima do modelo real.

Para dados reais, o procedimento é idêntico, como pode ser visto no fluxograma daFigura 2.4, porém os dados observados são aquisições reais e não gerados computacional-mente como no caso anterior. Os dados devem estar contidos num arquivo de extensão .dat,sendo formado por colunas que contém os valores dos espaçamentos entre eletrodos e as re-sistividades aparentes observadas. Para o arranjo Wenner o dado conterá apenas o valor do

25

a1 b1 ρa1

a2 b2 ρa2

a3 b3 ρa3...

......

aL bL ρaL

Figura 2.2: Representação do arquivo contendo os dados de campo para o arranjo Sch-

lumberger.

Dado observado

Inversão

Modelo estimado

Modelagem

Dado calculado

ModelagemModelo teóricoGerador

Modelo inicial

Figura 2.3: Fluxograma para processamento de dados sintéticos.

espaçamento a, enquanto para o arranjo Schlumberger deve conter também os espaçamentob, como mostrado na Figura 2.2.

2.2.1 Passos do algoritmo

O algoritmo foi implementado para reproduzir as deduções feitas na seção 1.2.2. Foramrealizados os seguintes passos:

26

Dado observado

Inversão

Modelo estimado

Modelagem

Dado calculado

Modelo inicial

Figura 2.4: Fluxograma para processamento de dados reais.

1. Escolher um modelo inicial e criar um vetor w = (ρ1, h1, ρ2, h2, . . . , ρn−1, hn−1, ρn).

2. Calcular ρai(w(k)).

3. Calcular as derivadas ∂ρai(w(k))/∂wm.

4. Calcular αj.

5. Calcular Gmj.

6. Inverter a matriz Gmj e achar ∆w(k)m que soluciona a equação 1.31.

7. Atualizar w.

8. Refazer os passos de 2 a 6 até que ∆w(k)m seja suficientemente pequeno e/ou se atinja

as condições de saída.

O algoritmo acima foi implementado para os arranjos Wenner e Schlumberger, teóricoe prático. O código encontra-se no Apêndice A.1 e o passo 2 no Apêndice A.3.

Capítulo 3

Resultados

Nesse capítulo serão mostrados os resultados obtidos a fim de testar o programa em diversassituações. Primeiramente serão tratadas simulações feitas com dados sintéticos e na seçãoseguinte, com dados reais.

3.1 Dados Sintéticos

3.1.1 Modelo de três camadas

O primeiro teste foi feito para o arranjo Wenner, utilizando o modelo teórico de três ca-madas cujos parâmetros são mostrado na Tabela 3.1. Seguindo o fluxograma apresentadona Figura 2.3, foi realizado a modelagem direta desse modelo a fim de se gerar dados decampo sintéticos. Para determinar o modelo inicial mostrado na mesma tabela, foi utilizadoum programa que altera aleatoriamente os parâmetros do modelo teórico. Nessa inversãosintética o usuário tem a liberdade de determinar o espaçamento a inicial entre os eletrodos,na forma de uma progressão geométrica (PG), e o fator de progressão.

Feito isso, o programa gera o modelo estimado para essa configuração e faz uma novamodelagem para obter os dados calculados. Isso pode ser visto no gráfico da Figura 3.1, ondese constata que os dados foram invertidos satisfatoriamente.

Esse mesmo procedimento foi realizado para os arranjos Schlumberger teórico e prático,também utilizando o modelo teórico apresentado nas Tabelas 3.2 e 3.3, respectivamente. Oresultado da inversão pode ser visto nas Figuras 3.2 e 3.3, onde verifica-se sua coerência e sepercebe a grande semelhança entre os resultados para os dois arranjos.

27

28

Modelo teórico Modelo inicial Modelo estimado

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 20 3 17,4 3,3 20,0 3,0

2 2,5 10 2,2 9,2 2,4 9,9

3 50 - 48,0 - 49,9 -

Tabela 3.1: Valores do modelo de teste com três camadas e arranjo Wenner.

1

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaModelo teóricoModelo inicial

Modelo estimadoDado sintético

Dado não corrigidoDado calculado

Figura 3.1: Resultado da inversão do modelo sintético de três camadas da Tabela 3.1

usando arranjo Wenner.

29

Modelo teórico Modelo inicial Modelo estimado

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 20 3 22,9 3,2 20,0 2,9

2 2,5 10 2,7 8,6 2,5 10,0

3 50 - 57,0 - 49,9 -

Tabela 3.2: Valores do modelo de teste com três camadas e arranjo Schlumberger teórico.

1

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaModelo teóricoModelo inicial

Modelo estimadoDado sintético

Dado não corrigidoDado calculado

Figura 3.2: Resultado da inversão do modelo sintético de três camadas da Tabela 3.2

usando arranjo Schlumberger teórico.

30

Modelo teórico Modelo inicial Modelo estimado

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 20 3 18,5 2,9 19,9 2,9

2 2,5 10 2,8 11,0 2,5 10,0

3 50 - 54,7 - 50,0 -

Tabela 3.3: Valores do modelo de teste com três camadas e arranjo Schlumberger prático,

em que b = 0, 01a.

1

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaModelo teóricoModelo inicial

Modelo estimadoDado sintético

Dado não corrigidoDado calculado

Figura 3.3: Resultado da inversão do modelo sintético de três camadas da Tabela 3.3

usando arranjo Schlumberger prático, em que b = 0, 01a.

31

Modelo teórico Modelo inicial Modelo estimado

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 20 3 31,2 3,9 20,0 2,9

2 2,5 10 3,5 15,3 2,5 10,0

3 50 - 39,7 - 50,0 -

Tabela 3.4: Modelo inicial com fator de aleatoriedade 2.

Modelo teórico Modelo inicial Modelo estimado

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 20 3 19,6 2,7 20,0 3,0

2 2,5 10 2,2 10 2,4 9,9

3 50 - 49,1 - 50,0 -

Tabela 3.5: Modelo inicial com poucas medidas de dados de campo.

3.1.2 Modelo inicial com alto nível de erro

O programa gerador_aleatorio.f08 fornece ao usuário a possibilidade de aumentar o des-vio atribuído ao modelo inicial. Dessa forma, é possível verificar o comportamento da inversãopara modelos iniciais escolhidos com mais precisão ou com alto nível de erro. Para isso é esco-lhido um “fator de aleatoriedade”, cujo valor varia de −2 a 2, sendo que, quanto mais distantede zero, mais desvio será imposto ao modelo inicial gerado. A Figura 3.4 mostra o resultadode uma simulação feita para o arranjo Wenner com fator de aleatoriedade 2. Observa-se quemesmo com o alto nível de disparidade do modelo inicial, foi possível recuperar com precisãomodelo teórico original, o que demonstra a eficácia do algoritmo para inversão de dadossintéticos. Os dados dos modelos podem ser encontrados na Tabelas 3.4.

3.1.3 Modelo com poucas observações

O programa também foi testado para o caso hipotético de não haver muitas medidas durantea aquisição. Para isso, utilizou-se o mesmo modelo teórico da seção anterior, porém a mode-lagem foi feita usado o arranjo Wenner com um fator de afastamento de 1,4. Dessa forma, osdados observados sintéticos continham 21 medidas, significativamente menos do que os doiscasos anteriores, os quais continham 73. A Tabela 3.5 mostra os modelos para esse caso e oresultado pode ser visto na Figura 3.5, onde se verifica que o modelo teórico foi recuperadocom exatidão, mostrando que o programa funciona bem para esse tipo de situação.

32

1

10

100

1 10 100

Fator de aleatoriedade = 2

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaModelo teóricoModelo inicial

Modelo estimadoDado sintético

Dado não corrigidoDado calculado

Figura 3.4: Resultado da inversão do modelo sintético da Tabela 3.4 usando arranjo

Wenner e fator de aleatoriedade 2.

33

1

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaModelo teóricoModelo inicial

Modelo estimadoDado sintético

Dado não corrigidoDado calculado

Figura 3.5: Resultado da inversão do modelo sintético da Tabela 3.5 usando arranjo

Wenner e considerando dados de campo com 21 observações.

34

Dados de campo

a (m) ρa (Ωm)

40 28,5

60 27,1

80 25,3

100 23,5

120 21,7

140 19,8

160 18,0

180 16,3

200 14,5

Dados de campo

a (m) ρa (Ωm)

220 12,9

240 11,3

260 9,9

280 8,7

300 7,8

320 7,1

340 6,7

360 6,5

380 6,4

Tabela 3.6: Dados de campo com arranjo Wenner de Malagash, Nova Escócia.

Modelo estimado

n ρ (Ωm) h (m)

1 28,2 128,8

2 63,4 -

Tabela 3.7: Modelos estimado após inversão dos dados de campo de Malagash, Nova

Escócia, usando arranjo Wenner.

3.2 Dados Reais

Para o processamento de dados reais o programa desenvolvido segue o fluxograma apresen-tado na Figura 2.4. Nessa seção será mostrado os resultados obtidos após a inversão.

3.2.1 Arranjo Wenner

Para esse arranjo foram utilizados dados de campo de Malagash, Nova Escócia. Esses dadosforam obtidos de Telford et al. (1990) e podem ser encontrados na Tabela 3.6. Para a inversãodesses dados foi utilizado o modelo inicial mostrado na Tabela 3.7. O resultado pode ser vistona Figura 3.6, onde verifica-se que o programa foi capaz de recuperar os dados observadoscom alto nível de exatidão.

35

1

10

100

100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaModelo inicial

Modelo estimadoDado observadoDado calculado

Figura 3.6: Resultado da inversão de dados de campo de Malagash, Nova Escócia, usando

arranjo Wenner.

36

Dados de campo, 1998

a (m) b (m) ρa (Ωm)

1.5 0.5 59.5

2.0 0.5 54.7

3.0 0.5 48.4

4.0 0.5 42.9

5.0 0.5 38.8

6.0 0.5 36.3

8.0 0.5 31.3

10.0 0.5 27.5

15.0 0.5 24.3

15.0 2.5 25.6

20.0 0.5 21.5

20.0 2.5 22.9

30.0 2.5 20.1

40.0 2.5 21.8

40.0 10.0 21.0

50.0 10.0 23.5

60.0 10.0 26.6

80.0 10.0 37.1

100.0 10.0 47.5

Dados de campo, 1999

a (m) b (m) ρa (Ωm)

1.0 0.5 26.1

1.5 0.5 29.1

2.0 0.5 30.1

3.0 0.5 34.2

4.0 0.5 37.4

5.0 0.5 35.5

6.0 0.5 34.4

8.0 0.5 31.0

10.0 0.5 28.1

15.0 0.5 25.2

15.0 2.5 24.4

20.0 0.5 22.6

20.0 2.5 22.3

30.0 2.5 20.4

40.0 2.5 20.7

40.0 10.0 22.0

50.0 2.5 22.8

50.0 10.0 23.7

60.0 10.0 27.5

80.0 10.0 39.3

100.0 10.0 49.2

Tabela 3.8: Dados de campo do Instituto de Letras da UFBA coletados com arranjo

Schlumberger em março de 1998 e maio de 1999.

3.2.2 Arranjo Schlumberger

Para esse arranjo foram feitos testes utilizando dois dados de campo do mesmo local, porémem épocas diferentes. Os dados, mostrados na Tabela 3.8, foram fornecidos por Sato (2018)e coletados no Instituto de Letras da UFBA em março de 1998 e maio de 1999. A fim defazer uma comparação entre os dois métodos, a inversão foi feita considerando o arranjoSchlumberger prático e teórico, com o uso das equações 1.17 e 1.18, respectivamente.

A Tabela 3.9 mostra os modelos que foram estimados pelo programa ao trabalhar comos dados coletados em 1998, mostrados na tabela anterior. Foi considerado um modelo de

37

Schlumberger teórico Schlumberger prático

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 65,3 1,0 63,0 1,2

2 37,9 4,2 34,2 5,4

3 17,2 31,2 13,8 22,2

4 148,1 - 185,6 -

Tabela 3.9: Modelos estimados após inversão dos dados de campo coletados em 1998.

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaDado observado

Schlumberger praticoSchlumberger teórico

Figura 3.7: Comparação entre as inversões dos dados de campo de 1998 para os arranjos

Schlumberger prático e teórico.

quatro camadas e observando os gráficos da Figura 3.7 é possível perceber que os dadoscalculados se assemelham aos dados observados, seja considerando o arranjo Schlumbergerprático ou teórico, os quais produziram modelos estimados relativamente parecidos.

Os dados coletados em 1999, mostrados na Tabela 3.8, foram trabalhados considerandoum modelo de cinco camadas e através da Figura 3.8 verifica-se que novamente a semelhançaentre os dados calculados para os arranjos Schlumberger prático ou teórico e os dados obser-vados pela aquisição. No entanto, observando os modelos estimados contidos na Tabela 3.10,nota-se que a segunda camada atingiu valores muito altos de resistividade para o arranjoSchlumberger prático. Isso pode ser explicado pelo fato da espessura atribuída ter sido muitopequena, o que sugere que um modelo de quatro camadas seja mais adequado para o local

38

Schlumberger teórico Schlumberger prático

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 23,6 1,0 26,2 1,3

2 76,8 1,0 155,9 0,4

3 23,4 9,6 23,7 11,7

4 14,0 26,8 4,5 6,1

5 11105,6 - 345,5 -

Tabela 3.10: Modelos estimados após inversão dos dados de campo coletados em 1999

com cinco camadas.

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaDado observado

Schlumberger praticoSchlumberger teórico

Figura 3.8: Comparação entre as inversões dos dados de campo de 1999 para os arranjos

Schlumberger prático e teórico considerando um modelo de cinco camadas.

estudado.A fim de testar essa hipótese, os dados foram recalculados considerando uma camada a

menos e os resultados podem ser vistos na Tabela 3.11 e Figura 3.9. De acordo com o relatóriode dados de campo, houve um grande volume de chuva nos dias anteriores à aquisição demaio de 1999. Dessa forma, é compreensível que os dados dessa segunda aquisição apresentemresistividades mais baixas nas camadas mais superficiais e se sustenta a hipótese que ummodelo de quatro camadas é mais apropriado para a área em questão.

39

Schlumberger teórico Schlumberger prático

n ρ (Ωm) h (m) ρ (Ωm) h (m)

1 25,3 0,9 24,9 0,9

2 43,5 3,4 42,4 4,1

3 17,3 32,8 14,7 24,4

4 335,5 - 164,6 -

Tabela 3.11: Modelos estimados após inversão dos dados de campo coletados em 1999

com quatro camadas.

10

100

1 10 100

Res

isti

vid

ade

(Ωm

)

Profundidade (m)

LegendaDado observado

Schlumberger praticoSchlumberger teórico

Figura 3.9: Comparação entre as inversões dos dados de campo de 1999 para os arranjos

Schlumberger prático e teórico considerando um modelo de quatro camadas.

Capítulo 4

Conclusões

O estudo bibliográfico que direcionou esse trabalho permitiu assegurar que os métodos elé-tricos possuem ampla utilização em diversas áreas, e dentre eles a eletrorresistividade é con-siderada uma das técnicas mais eficazes para a geofísica de exploração. É necessário destacara obra de Telford et al. (1990) como principal guia para a compreensão dos fundamentosteóricos acerca do método, e a obra de Metcalf et al. (2018) por fornecer esclarecimentosquanto às novas ferramentas propostas pelo Fortran moderno, em especial os submódulos.

O segundo capítulo abordou uma questão pertinente no âmbito acadêmico e foramdiscutidas as vantagens do uso do Fortran moderno pela comunidade científica, comparando-o à outras linguagens mais recentes e adotadas por cientistas da computação, como C, C++e Python. No desenvolvimento desse trabalho concluiu-se que longe de ser uma linguagemantiquada, o Fortran se manteve atualizado e suas novas ferramentas possibilitam um melhorordenamento das unidades de programas, proporcionando mais velocidade de processamentoe simplicidade de execução, os quais são fatores indispensáveis para programação científicade alto desempenho, que é o caso dos problemas geofísicos, incluindo a inversão de dados deeletrorresistividade 1d, que é o foco desse trabalho.

Reproduzir a subsuperfície com propriedade é o desafio da geofísica aplicada, e, nessecontexto, o tratamento dos dados através de técnicas de processamento são indispensáveis. Ainversão geofísica permite recuperar os parâmetros que causaram as pertubações medidas naaquisição, e dentre as técnicas existentes a inversão 1d não deve ser menosprezada diante dosavanços tecnológicos que permitem imageamentos mais elaborados. É importante considerarque levantamentos dessa natureza são mais comuns, baratos e fáceis de serem realizados,além de fornecerem importantes orientações iniciais para modelos mais complexos.

O terceiro capítulo tratou de testar o programa desenvolvido em uma série de diferen-tes situações, onde foram utilizados dados sintéticos e dados reais. As simulações com dadossintéticos evidenciam que o programa foi capaz de recuperar o modelo original teórico com

40

41

alto nível de propriedade para o caso com três camadas (em todos os arranjos propostos),para um modelo inicial com alto nível de erro e para uma aquisição simulada com poucasobservações. Da mesma forma, ao realizar a inversão com dados reais, os modelos estima-dos foram coerentes em todas as situações apresentadas e foi possível estimar um modelogeológico compatível com os locais estudados.

Por fim, é interessante destacar que o programa em questão possibilita alta interaçãocom o usuário, o qual tem permissão de alterar parâmetros iniciais da inversão. Isso permiteque ele seja utilizado por estudantes que procuram compreender o comportamento da ele-trorresistividade em diferentes tipos de modelos com variados arranjos na aquisição. Alémdisso, fato dos softwares utilizados, Fortran e Gnuplot, serem softwares livres sustenta aindamais a colocação anterior.

Agradecimentos

Não seria nenhum exagero dizer que esse trabalho não foi feito apenas por mim. Detrás dacaneta que escreveram essas palavras estão as pessoas que me apoiaram antes, durante e atéo final dessa jornada.

Aos meus pais, Eliane e Neuber, e ao meu irmão, Thiago: vocês nunca deixaram deacreditar em mim, mesmo quando eu mesma não acreditava, nunca duvidaram que eu seriacapaz de superar minhas dificuldades mesmo em meus piores momentos. Não existem pala-vras para descrever o quanto me sinto grata por ter uma família como a nossa, independentede nossas diferenças, sou feliz por tê-los ao meu lado e me sinto realizada por poder mostrarpara vocês o resultado do meu esforço.

Aos meus familiares, obrigada pelo encorajamento e fé que tiveram em mim. Agradeçoespecialmente a minha tia Pat e ao meu padrinho Moraes pelos conselhos, apoio e por sempreterem sido prestativos comigo.

Aos amigos, o meu muitíssimo obrigada por me acompanharem durante todo esse pro-cesso, pela torcida constante, pela compreensão nas horas em que estive ausente, pelos ou-vidos emprestados nas horas difíceis e pelos bons momentos vividos. É comprometedor “darnomes aos bois”, mas não posso deixar de agradecer a Daniel Castro e Lara Castro, meusamigos do peito, e a Gangue; Rafael Rigaud, amigo de viagens, aventuras e crimes perfeitos;Tatiane Nicchetti, por todo seu carinho e amizade; Betina e Alex, meu casal favorito; DanielMontenegro, mesmo sendo um ser humano horrível; Gabriel e Dinny, que me acompanhamdesde o começo; Shú Giffoni, pela paciência e fornecimento de doces; amigos da Uptime,especialmente Carol Pessôa, pela companhia e conselhos; aos meus queridos Alcides, Carlos,Carlinhos e Rafa do 302, minha segunda família que mesmo distante, guardo no coração;meus colegas de curso, em especial a turma de 2012; Rigmary, pela companhia diária duranteesse período; e às minhas amigas da trindade e da comunidade, por serem minha torcida maisanimada e dedicada.

To my dear Thomas. It wouldn’t have been possible without your endless support. I amgrateful for your love, patience and for always cheering me up whenever I felt discouraged.

Agradeço também aos professores Joelson Batista e Suzan Vasconcelos, por aceitarem

42

43

o convite de participar da banca e pelas sugestões que enriqueceram esse trabalho.Por último, mas não menos importante, ao Professor Hédison Sato, que mais do que

um professor ou orientador, foi um companheiro durante essa jornada. Obrigada pela suapaciência, conversas, ensinamentos e por ter aceitado me orientar.

Todos vocês sabem o que ter concluído esse trabalho significa para mim e agradeço-osprofundamente por terem me ajudado nessa conquista. Obrigada.

Referências

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Blakely, R. J. (1995) Potential theory in gravity and magnetic applications, Stanford-Cambridge Program, Cambridge Un. Press, Cambridge.

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Gaelzer, R. (2005) Introdução ao fortran 90/95, Depart. Física, Inst. Física e Matemática,Universidade Federal de Pelotas.

Inkscape Project (2007) Inkscape.

Kearey, P.; Brooks, M. e Hill, I. (2009) Geofísica de exploração, Oficina de Textos, São Paulo.

Keller, G. V. e Frischknecht, F. C. (1966) Electrical methods in geophysical prospecting,Pergamon Press, England.

Metcalf, M.; Reid, J. e Cohen, M. (2018) Modern Fortran Explained: Incorporating Fortran2018, Numerical Mathematics and Scientific Computation, Oxford Un. Press, Oxford.

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Sato, H. K. (2002) Métodos elétricos: Notas de aula, Depart. Geofísica, Inst. Geociências,Universidade Federal da Bahia.

Sato, H. K. (2018) Comunicação pessoal, Instituto de Geociências, UFBA, Brasil.

Sen, M. e Stoffa, P. L. (1995) Global optimization methods in geophysical inversion, Advancesin Exploration Geophysics 4, Elsevier, Amsterdam.

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45

Telford, W. M.; Geldart, L. P. e Sheriff, R. E. (1990) Applied geophysics, Cambridge Un.Press, Cambridge, 2o edic..

Williams, T. e Kelley, C. (2017) Gnuplot version 5.0 patchlevel 7, http://www.gnuplot.info.

Zhdanov, M. S. (2009) Geophysical eletromagnetic theory and methods, Elsevier, Amster-dam, 1o edic..

Apêndice A

Códigos do programa

A.1 Inversão

Este submódulo realiza a inversão para o arranjo Schlumberger prático. O código para os de-mais arranjos é idêntico, alterando apenas a função da resistividade aparente que é chamadana função f_derivada_spr.

A função inversao_spr é uma função lógica que tem como argumentos de entrada onúmero máximo de iterações e a variação, que se refere à um pequeno incremento que é dadoao vetor dos parâmetros w, como explicado na seção 1.2.2. Verificou-se que para a inversãode dados sintéticos melhores resultados são obtidos com 0,0001% de variação no valor dosparâmetros, enquanto para dados reais esse valor é 0,000001%. A linha 42 do código abaixorepresenta o passo 7 do algoritmo apresentado na seção 2.2.1, onde se calcula a equação 1.34.

A função get_deltaw_spr encontra a solução da equação 1.31, o que é realizado nalinha 69 do código, onde se multiplica a inversa de Gmj por αj. Esses dois últimos sãocalculados nas funções matriz_g_spr e alpha_spr, respectivamente, as quais fazem o cálculodas equações 1.33 e 1.32 que representam os passos 4 e 5 do algoritmo.

A função f_derivada_spr realiza o passo 3 e calcula a derivada apresentada na equa-ção 1.28, realizando as variações nos parâmetros.

1 submodule (matriz) sub_inv_spr2 ! desenvolvido por Marina Borja, UFBA (dez/2018)3 !---------------------------------------------------------------------------4 contains5 ! _ _6 ! ___ ___ _ __ | |_ __ _(_)_ __ ___7 ! / __/ _ \| ’_ \| __/ _‘ | | ’_ \/ __|8 ! | (_| (_) | | | | || (_| | | | | \__ \9 ! \___\___/|_| |_|\__\__,_|_|_| |_|___/10 !11 !

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12 !----------------------------------------------------------------------------1314 logical module function inversao_spr(var, it_max)1516 ! Arranjo Schlumerger prático17 ! Essa função faz a soma do vetor w com delta w e atualiza com os novos18 ! parâmetros19 !20 ! it_w = iteração21 ! it_max = número de iterações máximo22 ! var = variação dos parâmetros de w23 !2425 integer, intent(in) :: it_max26 real, intent(in) :: var27 integer :: it_w, i28 real, dimension(size(vetor_w)) :: w_anterior2930 inversao_spr=.false.3132 it_w=13334 do it_w=1, it_max+135 if(it_w.eq.it_max+1) then36 write(0,*)"Numero de iterações máximas alcançado."37 inversao_spr=.true.38 return39 else40 endif41 w_anterior=vetor_w42 vetor_w=vetor_w+get_deltaw_spr(var, it_w)43 if(vetor_w(1).ne.vetor_w(1))then44 vetor_w=w_anterior45 inversao_spr=.true.46 if((it_w-1).eq.0)then47 write(0,*)"Não foi possível realizar a inversão."48 return49 else50 write(0,*)"Resultado obtido com ", it_w-1, " iterações."51 return52 endif53 endif54 enddo5556 end function inversao_spr5758 !----------------------------------------------------------------------------5960 module function get_deltaw_spr(var, it_w)6162 !63 ! Função que faz o cálculo de delta w do arranjo Schlumberger prático.64 !6566 real, intent(in) :: var67 integer, intent(in) :: it_w6869 get_deltaw_spr=matmul(inversa(matriz_g_spr(var, it_w)), alpha_spr(var, it_w))7071 end function get_deltaw_spr7273 !----------------------------------------------------------------------------

48

7475 module function alpha_spr(var, it_w)7677 !78 ! Função que calcula o vetor alpha para o arranjo Schlumberger prático.79 !8081 real, intent(in) :: var82 real :: resis_calculada83 integer :: i, j84 real :: aux85 integer,intent(in) :: it_w8687 alpha_spr=08889 do j=1, 2*nlayer-190 do i=1, n_obs91 resis_calculada=resisap_schlumpr(ra(i), rb(i))92 aux=(resis_obs(i)-resis_calculada)* &92a f_derivada_spr(j, var, ra(i), rb(i), it_w)93 alpha_spr(j)=aux+alpha_spr(j)94 enddo95 enddo9697 end function alpha_spr9899 !----------------------------------------------------------------------------100101 module function matriz_g_spr(var, it_w)102103 !104 ! Função que faz o cálculo da matriz G do arranjo Schlumberger prático.105 !106107 real , intent(in) :: var108 integer :: i, j, m109 real :: aux110 integer, intent(in) :: it_w111112 matriz_g_spr=0113114 do m=1, 2*nlayer-1115 do j=1, 2*nlayer-1116 do i=1, n_obs117 aux=f_derivada_spr(m, var, ra(i), rb(i), it_w)118 aux=aux*f_derivada_spr(j, var, ra(i), rb(i), it_w)119 matriz_g_spr(m, j)=aux+matriz_g_spr(m, j)120 enddo121 enddo122 enddo123124 end function matriz_g_spr125126 !----------------------------------------------------------------------------127128 real module function f_derivada_spr(npar, var, ra, rb, it_w)129130 !131 ! Essa função calcula a derivada parcial quando se faz uma pequena variação132 ! em um parâmetro.133 !134 ! npar = número do parâmetro (1:2*nlayer-1) do qual se quer a derivada

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135 ! \partial rho_a/\partial w_npar136 ! var = variação no parâmetro npar para a derivada de diferenças finitas137 ! (rhoa_1-rhoa_0)/(var*w_npar)138 ! ra = valor da separação AB/2 do arranjo Schlumberger139 ! rb = valor da separação MN/2 do arranjo Schlumberger140 !141142 integer, intent(in) :: npar, it_w143 real, intent(in) :: var, ra, rb144 real :: val0, rhoa0, rhoa1145146 rhoa0=resisap_schlumpr(ra, rb)147148 if(npar.ge.1.and.npar.le.nlayer) then149 ! salva a resistividade da camada npar150 val0=resistividade(npar)151 ! modifica a resistividade da camada npar pela fração var152 ! recalcula o contraste e calcula o novo valor da resistividade aparente153 resistividade(npar)=val0*(1+var)154 contraste=resistividade(2:nlayer)/resistividade(1:nlayer-1)155 rhoa1=resisap_schlumpr(ra, rb)156 ! restaura a resistividade da camada npar, recalcula os contrastes157 resistividade(npar)=val0158 contraste=resistividade(2:nlayer)/resistividade(1:nlayer-1)159 elseif(npar.le.2*nlayer-1) then160 ! salva a espessura da camada npar161 val0=espessura(npar-nlayer)162 ! modifica a espessura da camada npar pela fração var163 ! calcula o novo valor da resistividade aparente164 espessura(npar-nlayer)=val0*(1+var)165 rhoa1=resisap_schlumpr(ra, rb)166 ! restaura o valor da espessura167 espessura(npar-nlayer)=val0168 else169 stop "Erro no cálculo da derivada."170 endif171172 f_derivada_spr=(rhoa1-rhoa0)/(val0*var)173174 end function f_derivada_spr175176 !----------------------------------------------------------------------------177178 end submodule sub_inv_spr

A.2 Modelagem

Este programa realiza a modelagem para o arranjo Schlumberger prático. O código paraos demais arranjos é idêntico, alterando apenas a função resisap_schlumpr que calcula aresistividade aparente e é usada nas linhas 68 e 85 do código abaixo.

1 program modela_schlumpr23 !============================================================================4 !5 ! Programa que faz modelagem de dados de eletrorresistividade para o arranjo

50

6 ! Schlumberger Prático. Tem como arquivo de entrada o modelo inicial e como7 ! arquivo de saída dados de campo modelados.8 !9 ! Desenvolvido por Marina Borja, UFBA (dez/2018).10 !============================================================================1112 use kernel13 use configuracao1415 implicit none16 !----------------------------------------------------------------------------17 ! DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS18 !19 ! n = número de camadas20 ! ra = afastamento entre os eletrodos AB/221 ! rb = afastamento MN/222 ! rho_campo = resistividade aparente23 ! mod_resis = resistividade24 ! mod_esp = espessura25 !----------------------------------------------------------------------------2627 real, allocatable, target, dimension(:) :: mod_resis, mod_esp28 real :: ra, rb, rho_campo, na, nb29 integer :: n, i, n_obs30 real, allocatable :: a(:), b(:)3132 if(.not.configuracoes()) then33 stop "Erro nas configurações do afastamento e/ou fator espaçamento."34 endif3536 read(5,*)n3738 allocate(mod_resis(n), mod_esp(n-1))3940 read(5,*)(mod_resis(i), mod_esp(i), i=1, n-1)41 read(5,*)mod_resis(n)4243 nlayer=n4445 ! Resistividade e espessura são pointers e assumentos os valores de seus46 ! respectivos targets:47 resistividade=>mod_resis48 espessura=>mod_esp4950 contraste=resistividade(2:nlayer)/resistividade(1:nlayer-1)5152 open(10, file=’mode.dat’, form=’formatted’, status=’old’)5354 n_obs=05556 do57 read(10,*,end=1000)na,nb58 n_obs=n_obs+159 enddo6061 1000 rewind(10)6263 if(n_obs.eq.1) then64 ! Fazendo o cálculo da resistividade aparente para dado sintético:65 ra=afastamento66 do while(ra.le.100)67 rb=0.01*ra

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68 rho_campo=resisap_schlumpr(ra,rb)69 rb=rb/270 write(6,*)ra, rb, rho_campo71 ra=ra*fator_espacamento72 enddo73 elseif(n_obs.ge.3) then74 ! Fazendo o cálculo da resistividade aparente para dado real:75 allocate(a(n_obs), b(n_obs))76 read(10,*)(a(i), b(i), i=1, n_obs)77 if(minval(a).le.0.or.minval(b).le.0) then78 write(0,*)"Os valores do espaçamento devem ser positivos."79 stop "Erro na modelagem."80 endif81 b=b*282 close(10)83 ! Resistividade aparente:84 do i=1,n_obs85 rho_campo=resisap_schlumpr(a(i),b(i))86 b(i)=b(i)/287 write(6,*)a(i), b(i), rho_campo88 enddo89 else90 write(0,*)"Número de observações insuficiente."91 stop "Erro na modelagem."92 endif9394 !----------------------------------------------------------------------------9596 end program modela_schlumpr

A.3 Resistividade aparente

Este módulo faz o cálculo das resistividades aparentes para todos os arranjos abordadosnesse trabalho e procura reproduzir as equações 1.16, 1.17 e 1.18.

Nas funções resisap_wenner e resisap_schlumpr as variáveis temp1 e temp2 são osresultados das soluções das equações de Bessel contidas nas expressões das resistividadesaparentes mencionadas acima. Para solucioná-las foi usado a função rhank0, que calcula∫∞0f(g)J0(gb)dg e foi desenvolvida por Anderson (1975), sendo reescrita para Fortran 2008

por Sato (2018). Similarmente, o mesmo foi feito para a função resisap_schlum, mas dessavez usando a função rhank1.

O integrando das expressões da resistividade aparente já mencionadas é calculado pelasfunções integrando_w e integrando_s (para o arranjo Schlumberger teórico), que fazemuso da função recursiva funcao_f. Essa função retorna o resultado da equação 1.10 e paraisso ela chama a si mesma recursivamente.

1 module kernel2 ! desenvolvido por Marina Borja, UFBA (dez/2018)3 !===========================================================================4 !

52

5 ! Este módulo faz o cálculo das resistividades aparentes para os arranjos6 ! Wenner, Schlumberger teórico e Schlumberger prático.7 !8 !===========================================================================910 implicit none1112 private413 public resisap_wenner, resisap_schlum, resisap_schlumpr14 public nlayer, resistividade, espessura, contraste, vetor_w15 save1617 !---------------------------------------------------------------------------18 ! VARIÁVEIS GLOBAIS19 !---------------------------------------------------------------------------2021 integer :: i, nlayer22 real, pointer, dimension(:) :: resistividade, espessura23 real, allocatable, target, dimension(:) :: contraste, vetor_w2425 !---------------------------------------------------------------------------26 contains27 ! _ _28 ! ___ ___ _ __ | |_ __ _(_)_ __ ___29 ! / __/ _ \| ’_ \| __/ _‘ | | ’_ \/ __|30 ! | (_| (_) | | | | || (_| | | | | \__ \31 ! \___\___/|_| |_|\__\__,_|_|_| |_|___/32 !33 !34 !---------------------------------------------------------------------------3536 real function resisap_wenner(a)3738 !39 ! Essa função calcula a resistividade aparente para o arranjo Wenner.40 ! Utiliza a função rhank0.41 !42 ! a = espaçamento entre os eletrodos43 !4445 real, intent(in) :: a46 real :: temp1, temp2, rhank047 integer :: ll1, ll24849 temp1=rhank0(alog(a), integrando_w, 1e-8, ll1)/a50 temp2=rhank0(alog(2*a), integrando_w, 1e-8, ll2)/(2*a)5152 resisap_wenner=resistividade(1)*(1+2*a*(temp1-temp2))5354 end function resisap_wenner5556 !---------------------------------------------------------------------------5758 real function resisap_schlum(a,b)5960 !61 ! Essa função calcula a resistividade aparente para o arranjo Schlumberger62 ! teórico.63 ! Utiliza a função rhank1.64 !65 ! a = AB/266 ! b = MN/2

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67 !6869 real, intent(in) :: a, b70 real :: temp1, rhank171 integer :: ll1, ll27273 temp1=rhank1(alog(a), integrando_s, 1e-8, ll1)/a74 resisap_schlum=resistividade(1)*(1+a*a*(temp1))7576 end function resisap_schlum7778 !---------------------------------------------------------------------------7980 real function resisap_schlumpr(a,b)8182 !83 ! Essa função calcula a resistividade aparente para o arranjo Schlumberger84 ! teórico.85 ! Utiliza a função rhank0.86 !87 ! a = AB/288 ! b = MN/289 !9091 real, intent(in) :: a, b92 real :: temp1, temp2, rhank093 integer :: ll1, ll29495 temp1=rhank0(alog(a-(b/2)), integrando_w, 1e-8, ll1)/(a-(b/2))96 temp2=rhank0(alog(a+(b/2)), integrando_w, 1e-8, ll1)/(a+(b/2))97 resisap_schlumpr=resistividade(1)*(1+(((a*a)/b)-(b/4))*(temp1-temp2))9899 end function resisap_schlumpr100100 !---------------------------------------------------------------------------101102 real recursive function funcao_f(indice, lambda) result (resultado)103104 !105 ! Função recursiva que soluciona G e F da expressão da resistividade106 ! aparente deselvolvida por H. K. Sato, 2018.107 !108109 real, intent(in):: lambda110 integer, intent(in) :: indice111 real :: aux, g112113 if(indice.ge.nlayer-1) then114 resultado=1115 elseif(indice.ge.0) then116 aux=contraste(indice+1)*funcao_f(indice+1,lambda)117 g=(1-aux)/(1+aux)118 aux=g*exp(-2*lambda*espessura(indice+1))119 resultado=(1-aux)/(1+aux)120 else121 stop "Erro em Kernel."122 endif123124 end function funcao_f125126 !---------------------------------------------------------------------------127

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128 real function integrando_w(lambda)129130 !131 ! Argumento da integral da expressão da resistividade aparente para132 ! o arranjo Wenner e Schlumberger prático deselvolvida por H. K. Sato, 2018.133 !134135 real, intent(in):: lambda136 integrando_w=funcao_f(0,lambda)-1137 end function integrando_w138139 !---------------------------------------------------------------------------140141 real function integrando_s(lambda)142143 !144 ! Argumento da integral da expressão da resistividade aparente para145 ! o arranjo Schlumberger teórico multiplicado por lambda.146 !147 ! Adaptada de H. K. Sato, 2008.148149 real, intent(in):: lambda150 integrando_s=lambda*(funcao_f(0,lambda)-1)151 end function integrando_s152153 !---------------------------------------------------------------------------154155 end module kernel