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MoBi Mathematik A

4. lineare Gleichungssysteme (LGS)

Carl Herrmann

Health Data Science Unit - BioQuant and Medical Faculty Heidelberg

November 6, 2019

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4.1 Geometrische Interpretation der LGS

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Lineare Gleichungssysteme

I Beispiel von LGS: {x − 2y = 1

3x + 2y = 11

I zwei Gleichungen und zwei Unbekannte (x , y)

I Wir werden uns erstmal auf LGS beschranken mit gleicher

Anzahl von Gleichungen und Unbekannten.

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Betrachtungsweise 1: zeilenweise Betrachung

x − 2y = 1 ← Gerade; 3x + 2y = 11 ← Gerade

I Losung(en): Schneidepunkt der beiden Geraden

I keine/mehrere Losungen wenn:I Geraden parallel und nicht identisch: keine LosungI Geraden identisch: unendlich viele Losungen!

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Betrachtungsweise 2: spaltenweise Betrachung

x︸︷︷︸Skalar

(1

3

)︸ ︷︷ ︸Vektor~u

+ y︸︷︷︸Skalar

(−2

2

)︸ ︷︷ ︸Vektor~v

=

(1

11

)︸ ︷︷ ︸Vektor~w

Gibt es eine Linearkombination von ~u und ~v die ~w ergibt?

y

x

~u~v

~w

3~u

~v

3~u + 1~v = 3

(1

3

)+ 1

(−2

2

)=

(1

11

)

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Matrix Darstellung

I Spaltendarstellung kann anhand von Matrizen umgeschrieben

werden (1 −2

3 2

)(x

y

)=

(1

11

)⇔ Ax = b

I Gibt es Losungen? hangt von den Eigenschaften der Matrix A

ab!

I ~u, ~v kollinear:

1. ~w mit ~u, ~v kollinear: unendlich viele Losungen

2. ~w mit ~u, ~v nicht kollinear: keine Losung

I ~u, ~v nicht kollinear: eine einzige Losung

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Drei Gleichungen und Unbekannte

Zeilenweise Betrachtung:

2x − y = 0

−x + 2y − z = −1

−3 + 4z = 4

⇔

2 −1 0

−1 2 −1

0 −3 4

x

y

z

=

0

−1

4

I Jede Gleichung definiert eine Ebene:

I 2x − y = 0 enthalt Punkte : (1, 2, 0) (0, 0, 3) (0, 0, 0)I −x − 2y − z = −1 enthalt Punkte : (0, 1, 3) (1, 0, 0) (0, 0, 1)I −3y + 4y = 4 enthalt Punkte : (0, 0, 1) (0, −4

3 , 0)

Schnitt der Ebenen in einem Punkt: das LGS

besitzt eine einzige Losung.

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Drei Gleichungen und Unbekannte

Spaltenweise Betrachtung:

x

2

−1

0

︸ ︷︷ ︸

~u

+y

−1

2

−3

︸ ︷︷ ︸

~v

+z

0

−1

4

︸ ︷︷ ︸

~w

=

0

−1

4

︸ ︷︷ ︸

~b

z

y

x

~u

~v

~w

Losung : x = y = 0, z = 1

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Drei Gleichungen und Unbekannte

Keine eindeutige Losung wenn:

I Zeilenweise BetrachtungI zwei der Ebenen parallel und nicht identisch

→ keine LosungI zwei der Ebenen identisch

→ unendlich viele Losungen

I Spaltenweise BetrachtungI 3 Vektoren in der gleichen Ebene und ~b nicht in dieser Ebene

enthalten

→ keine Losung!I 3 Vektoren in der gleichen Ebene und ~b in dieser Ebene

enthalten

→ unendlich viele Losungen

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4.2 Definitionen zu Vektorraumen

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Definitionen

I Linearkombination (LK): ~v ∈ V ist eine Linearkombination

von ~v1, ..., ~vr ∈ V ⇔

∃ λ1, ..., λr ∈ R : ~v = λ1 ~v1 + ...+ λr ~vr

I Spann der Vektoren ~v1, ...~vr ∈ V (oder Hulle):

Der Spann ist die Menge aller Vektoren von V , die sich aus

LK von ~vi errechnen lassen:

Spann({~vi ; i = 1, ..., r}) = {~v ∈ V : ~v = λ1 ~v1+...+λr ~vr , λi ∈ R}

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Beispiel

Beispiel ~v1 =

1

0

0

~v2 =

−1

0

2

Spann({~v1, ~v2}) = (x , z) Ebene

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Definitionen

I Lineare Abhangigkeit:

~v1..., ~vr sind linear abhangig, wenn mindestens einer der

Vektoren als LK der anderen geschrieben werden kann:

∃ k ∈ {1, 2, . . . , r} : ~vk =r∑

i=1,i 6=k

λi ~vi

I Lineare Unabhangigkeit

~v1, ..., ~vr sind linear unabhangig, wenn

λ1 ~v1 + +λr ~vr = ~0 ⇒ λ1 = ... = λr = 0

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Basis und Dimension eines Vektorraums

I Basis eines Vektorraums:~v1, ..., ~vr ∈ V bilden die Basis des Vektorraums V, wennI Spann({~v1, ..., ~vr}) = V (

”sie fullen V“)

I die ~vi sind linear unabhangig (”nicht mehr als notwendig“)

I Dimension eines Vektorraums:

Dimension eines VR = Anzahl der Vektoren seiner Basis

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Beispiele

I Beispiel: R2

~i =

(1

0

), ~j =

(0

1

)Basis (~i · ~j = 0)

~i =

(1

1

), ~j =

(−1

0

)andere Basis (~i · ~j 6= 0)

I Beispiel: Rn : ~ei = (0, ..., 0, 1︸︷︷︸i-te Stelle

, 0, ...) Basis von Rn?

a) ~v ∈ Rn = (a1, a2, ..., an): ~v =n∑

i=1

ai ~ei

b) λ1 ~e1 + ...+ λn ~en = (λ1, λ2, ..., λn) = ~0 ⇔ λi = 0

~ei bilden die kanonische Basis von Rn!

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Basis

I orthogonale Vektoren ⇒ linear unabhangig.

Orthogonalitat: ausreichende, aber nicht notwendige

Bedingung fur die lineare Unabhangigkeit!

I Sind die Basisvektoren orthogonal zueinander, spricht man

von einer orthogonalen Basis.

I Wenn diese normiert sind spricht man von einer

orthonormierten Basis.

I (~i , ~j) = kanonische, orthogonale Basis von

R2;

I (~i ′, ~j ′) = orthogonale Basis

I ~i ′ =

(cos θ

sin θ

)~j ′ =

(− sin θ

cos θ

)I (~u, ~v) = Basis

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Untervektorraume

I Beliebige Teilmengen U eines Vektorraums V bilden im

allgemeinen keinen Vektorraums

I Beispiel: V = R3 ; U = {

1

1

2

} ist kein Vektorraum

I Unter bestimmten Bedingungen kann U ⊂ V selbst einVektorraum bilden:

1. u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U

2. λ ∈ R, u ∈ U ⇒ λu ∈ U

I man spricht dann von einem Untervektorraum

I Beispiel:

V = R2;U = {λu;λ ∈ R} wobei u ein Vektor von V ist.

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4.3 Matrixrechnung

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Dimension einer Matrix

I Dimension einer Matrix M : m × n mit m = Anzahl Zeilen; n

= Anzahl Spalten

I wenn m = n: quadratische Matrix

I wenn Mi ,j = 0 fur i 6= j : Diagonalmatrix

I Vektor = Matrix V mit einer einzigen Spalte und n Zeilen

M =

a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn

V =

v11...

vm1

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Summe von 2 Matrizen

I Man kann zwei Matrizen nur dann addieren, wenn beide die

gleiche Dimension haben

(also gleiche Anzahl von Spalten und Zeilen).

I Beispiel:a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn

+

b11 . . . b1n...

. . ....

bm1 . . . bmn

=

a11 + b11 . . . a1n + b1n...

. . ....

am1 + bm1 . . . amn + bmn

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Matrix mal Vektor

I Multiplikation MV moglich wenn Anzahl Spalten der Matrix

= Anzahl Zeilen des Vektors

I Beispiel:

n = 2,m = 2 :

(2 5

1 3

)(1

2

)

= 1 ·

(2

1

)+ 2 ·

(5

3

)=

(1 · 2 + 2 · 51 · 1 + 2 · 3

)=

(12

7

)

=

((25

)·(12

)(13

)·(12

)) =

(12

7

)

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Produkt von 2 Matrizen

I Fur zwei Matrizen A und B kann man das Produkt AB nur

dann berechnen, wenn die Anzahl der Spalten von A und

die Anzahl der Zeilen von B gleich sind.

A︸︷︷︸m×n

B︸︷︷︸n×k

= AB︸︷︷︸m×k

I eventuell kann das Produkt AB gebildet werden kann, jedoch

nicht das Produkt BA !

I Die Multiplikation der Matrizen ist also nicht kommutativ !

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Produkt von 2 Matrizen

A︸︷︷︸m×n

B︸︷︷︸n×k

= C︸︷︷︸m×k

I Standardverfahren:

Element cij = Skalarprodukt (i-te Zeile von A)· (j-te Spalte

von B) (Erlaubt, wenn # Spalten A = # Zeilen B!)

cij =n∑

k=1

aik · bkj

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Produkt von 2 Matrizen

weitere Darstellungen von AB = C :

I Linearkombination von Spalten:

j-te Spalte von C : LK der Spalten von A mit Koeffizienten

der j-ten Spalte von B.

I Linearkombination von Zeilen:

i-te Zeile von C : LK der Zeilen von B mit Koeffizienten der

i-ten Zeile von A.

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Eigenschaften der Multiplikation

I Assoziativ

A(BC ) = (AB)C

I Distributiv

A︸︷︷︸m×p

( B︸︷︷︸p×n

+ C︸︷︷︸p×n

) = AB︸︷︷︸m×n

+ AC︸︷︷︸m×n

I NICHT kommutativ

A︸︷︷︸m×p

B︸︷︷︸p×n

6= B︸︷︷︸p×n

A︸︷︷︸m×p︸ ︷︷ ︸

nicht moglich!

I Auch bei quadratischen Matrizen gilt meist AB 6= BA

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TranspositionBei der Transposition werden Zeilen und Spalten einer Matrix

vertauscht:

A → AT

m × n n ×m

a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn

T

=

a11 . . . am1...

. . ....

a1n . . . amn

Eigenschaften:

I (AB)T = BTAT

I (AT )T = A

I (A + B)T = AT + BT

I wenn AT = A: symmetrische Matrix; Diagonalmatrizen sind

symmetrisch!

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Dreiecksmatrizen

I A sei eine quadratische n × n Matrix

I A ist eine obere / untere Dreiecksmatrix wenn unterhalb /

oberhalb der Diagonalen nur Nullen sind.

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Orthogonale Matrizen

I Besondere quadratische n × n Matrix

In =

1 0 . . . 0

0 1 0 . . ....

......

...

0 . . . 0 1

I wenn A n × n Matrix gilt: AIn = InA = A

I In = neutrales Element fur die Multiplikation von

quadratischen n × n Matrizen

I wenn ATA = In, dann ist A eine orthogonale Matrix

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VerstandnisfragenI Folgt aus der linearen Unabhangigkeit von u und v auch jene

von u − v und u + v?I Folgt aus der linearen Unabhangigkeit von u, v ,w auch jene

von u + v + w , u + v , v + w?I Geben Sie zu folgenden Teilmengen von R3 an, ob es

Untervektorraume sind:

1. U1 =

v1v2v3

∈ R3 : v1 + v2 = 2

2. U2 =

v1v2v3

∈ R3 : v1 + v2 = v3

3. U3 =

v1v2v3

∈ R3 : v1v2 = v3

4. U4 =

v1v2v3

∈ R3 : v1 = v2 oder v1 = v3

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Verstandnisfragen

I ist die k-te Potenz einer symmetrischen Matrix auch

symmetrisch?

I sind die Matrizen

0 −1 0

0 0 −1

−1 0 0

und 13

2 −1 2

2 2 −1

−1 2 2

orthogonal?