Electron interactions in graphene, Part I – linear response

Michael M. FoglerUC San Diego, USA

Lecture I @Nanyang Technological University, Singapore, 01/31/13

PROLOG

Nobel Prize 2010

for groundbreaking experiments regarding the two‐dimensional material graphene

A. Geim K. Novoselov

Andre Geim graphene laws2nd Law: There are no interaction effects in 

graphene

1st Law:

Theorists are useless

2nd Law of graphene – theorist’s interpretation

A. Tight‐binding model + Electrostatics explain 99% of electron properties

B. Correlations and many‐body effects may be important for 1%

Superconductivity, Magnetism, FQHE,  …

EXPERIMENTS

Making Graphene With A Scotch Tape

1atomic layer

20 μm

Start: graphite + some tape Finish: My first graphene sample!

Optical conductivity• No significant deviations from the 

“universal” value

Nair et al.2008

4

Kuzmenko et al 2008Nair et al 2008Li et al 2008Mak et al 2011

1 ≲ 0.10

Li et al. 2008

Combined optical data

0 20 40 600.1

1

10

200 400 600 800 2000 4000 6000

E (meV)

71V54V40V28V17V10V

Data from Nair et alData from Mak et alData from Wang et al

/

Z.Q. Li et al, in preparation

Inelastic X‐ray scattering from HOPG graphite

• Polarization function

1 2 4.5

.

.

Im

,eV

• Static dielectric constant

.

Reed et al 2010

Surprisingly large dielectric constant

STM imaging of charged impurities

Wang et alNature 2012

1 2 0.9 2.4

Larger‐than‐expected dielectric constant

INTRO, PART I – MANY‐BODY EFFECTS IN AN ELECTRON GAS

Self‐consistent electrostaticsΦ ?

Need to know the response function:

Total potential

Φ charge density

“screening”Φ Φ ΦΦ

Linear vs. nonlinear response

ΦΦ potentialcharge

, , Φ q, Φ Φ ⋯

, polarization function

• Lecture I (this lecture) • Lecture II

Response functions• Polarization function

,,

Φ ,

• Dielectric function   ,

, 12

,

• Longitudinal conductivity   ,

, ,

Φ ,Φ ,

,

Random‐phase approximation (RPA)

, , → const

short‐range

, 0 → ∞ → 0metallic‐like screening

, ,

Case of a good metal:

, 12

,

Validity and accuracy of RPA

≪ ≡ ≪ 12

RPA is valid if

In practice, relative accuracy of the RPA is∼ 0.1

For typical 3D metals  ∼ 3

Fermi‐liquid theory

2ReΣ

Σ Σ self‐energy

→

→

→

short‐range interaction (Landau function)

Renormalized mass, velocity & dispersion

Renormalized interaction

Renormalization procedure

Λ

Λ“fast”

→ Σ

Λ → Λ Λ

Progressive removal of “fast” degrees of freedom:

Quasiparticle properties within RPA

Σ Σ

→

→

Renormalized mass, velocity & dispersion

self‐energy

(sketch valid for small 

INTRO, PART II ‐ GRAPHENE

Tight‐binding model

3.0eV

Wallace, 1941

Electron dispersion of the π‐bands

Dirac cone

Electron structure

Γ

KK′

K

K

K′ K′

M

32 1.0 0.1 10

cm

“Relativistic” Fermi gas

26eV

/∼ ∼ 2.3

→ const

But:Fermi surface = 2 pointsNo metallic screening

0

1 2

Expect RPA ~ 20‐30% accurate?

Velocity at ultralow doping

Other experiments: Li et al 2008; Luican et al 2011; Siegel et al 2011; Hwang 2012 

1.0…2.5 10cms

(Slope 0.5 if   const

Concentration

Effe

ctiv

e m

ass Elias et al, 2011 Theory: Gonzales et al 1994 

What controls interaction strength?

1

is the (effective) dielectric constant of the environment

• Suspended graphene:  1, 2.2

• Graphene on BN substrate:  2.5, 0.9

(assuming the “conventional” value  1.0 10

Examples:

Fermi velocity vs.  and Hwang 2012

Response functions• Polarization function

,,

Φ ,

• Dielectric function   ,

, 12

,

• Longitudinal conductivity   ,

, ,

Φ ,Φ ,

,

Response of free Dirac fermions I

,4

Gonzales et al 1994 

1 2 1

Dimensionless ratio

Absorption edge

11

1

Response of free Dirac fermions II• Static dielectric function

, 0 1 2 Ando et al 2002

• Suspended graphene: 2.2, 4.5

• Graphene on BN substrate:  0.9, 2.4

Examples:

Response of free Dirac fermions III• Optical conductivity

lim→ ,

“Universal”4

, , ,

• What else can it be?! Dimensional analysis

Our objective• Compute interaction corrections to density response at arbitrary

/

• Compare with experiments measuring static screening,  0

• Settle the controversy about the optical conductivity,  ∞

• Make predictions for intermediate  – for future experiments

, 2 , ,

“self‐energy” term “vertex” term

Σ

Self‐energy term

Σ

Velocity renormalization

Vertex term

1

2

3

Excitonic effect

MAIN RESULTS

1st interaction correction to polarization

, ,

Self‐energyVertexTotal

Sodemann and MF, arXiv:1206.3519

Dielectric function beyond RPA

0.3

, 0 1 2 0.778

Example: Static dielectric constant 

• RPA under‐estimates screening at  1

• RPA over‐estimates screening at  1

COMPARISON WITH EXPERIMENT AND PREVIOUS THEORIES

Static screening – prior work

, 0 1 2 0.778 8 lnΛ

, 0 1 2 0.53

Kotov, Uchoa, Castro Neto 2008

Our result:

Guinea (unpublished) , Polini and Principi (unpublished) – agree with our #

Sodemann and MF, arXiv:1206.3519

Static screening, theory vs. experiment

, 0 1 2 0.778

• Suspended graphene: 2.2 4.5, 8.2, 15.4 .

• Graphene on BN substrate: 0.9 2.4, 3.0, 3.0 0.1

This work:

Sodemann and Fogler, arXiv:1206.3519

Optical limit controversy

1

Mishchenko 2008Sheehy & Schmalian 2008

0.01

Juricic, Vafek & Herbut 2010

Giuliani & Mastropietro 2012

0.26

0?

Bone of contention: self‐energy term

Mishchenko 2008:

14

Juricic, Vafek & Herbut 2010:

Dimensional regularization

84 Σ

4 0 2 Σ 4 lnΛ

2

12

84 Σ

4 0 2

Σ ≃ 41

ln

Dimensional vs. lattice regularization

const ≃ 1

Dimensional regularization yields an artificial and divergent enhancement of the low‐energy density of states

Σ ≃ 41

ln

In contrast to a lattice model:

1 ∼ Λ ≪ 1

Response of graphene III• Experiment: deviations from the 

“universal” value are bounded by

Nair et al.2008

• Theory:

4

Kuzmenko et al 2008Nair et al 2008Li et al 2008Mak et al 2011

1

1 ≲ 0.10

Mishchenko 2008Sheehy & Schmalian 2008Juricic, Vafek & Herbut 2010Giuliani & Mastropietro 2012

1

0.01

Arbitrary momenta

, ,

Self‐energyVertexTotal

Near‐field optics of graphene

Si gateSiO2

100‐200 nm

Fei et al, Nano Lett 2011Fei et al., Nature 2012Chen et al., Nature 2012

∼ 6Response at finite momenta: 

Beyond the 1st order perturbation theory

Perturbation theory fails near the absorption threshold

New collective mode – excitonicplasmon – has been predicted (Mishchenko et al 2009)

The method of summing higher‐order diagrams is being revised (M.F. and Mishchenko, in preparation)

Summary• You do find many‐body effects in graphene if you look 

carefully• Example: 1st‐order correction to the response of 

neutral graphene• We computed it for arbitrary momentum and 

frequency• Corrected results are in a good agreement with 

experiments measuring the static screening

Electron interactions in graphene, Part II – nonlinear screening

Michael M. FoglerUC San Diego, USA

Lecture @Nanyang Technological University, Singapore, 02/01/13

PREVIOUS LECTURE

STM imaging of charged impurities

Wang et al,Nature 2012

1 2 0.9 2.4

Larger‐than‐expected dielectric constant

Self‐consistent electrostaticsΦ ?

Need to know the response function:

Total potential

Φ charge density

“screening”Φ Φ ΦΦ

Linear‐response static screening, theory vs. experiment

1 2 0.778

• Suspended graphene: 2.2 4.5, 8.2, 15.4 .

• Graphene on BN substrate: 0.9 2.4, 3.0, 3.0 0.1

This work:

Linear vs. nonlinear response

ΦΦ potentialcharge

, , Φ q, Φ Φ ⋯

, polarization function

• Lecture I • Lecture II (this lecture)

Plan: nonlinear response to highly charged impurities in graphene

1. Localized charge2. Linear charge3. Plasmonic imaging

COULOMB IMPURITY PROBLEM

Why the Coulomb impurity problem?

• Uncontrolled charged impurities in the substrate

• Intentional doping / gating• Intriguing analogy to atomic collapse and vacuum breakdown in QED

Low‐ vs. high‐ atoms

Energy

+Z

Schwinger, 1950’sZeldovich, 1970’s

+Z

+

1137

1

Atomic collapse

?

• Nonrelativistic case:

min 2

Minimum gives a size of atom

• Relativistic case:

min

Either no bound state or “fall on the center”

+Z

137

+Z

Short‐distance cutoff must be imposed

Interaction strength in graphene

1

is the (effective) dielectric constant of the environment

• Suspended graphene:  1, 2.2• Graphene on BN substrate:  2.5, 0.9

(assuming the “conventional” value  1.0 10

Examples:

Massless fermions in 2D: semiclassicaltrajectories

Shytov et al. 2007 Tunneling through classically forbidden region  

escaping hole

collapsing particle

Quantum picture: resonances

Shytov et al. 2007Pereira et al. 2007

12

12

Bare density of states (DOS)

DOS2 | |

Noninteracting Dirac (or lattice) fermions

Khalilov 1998

How large is critical charge??

12 0.55

1 2 0.778

, 2.50.9, 3

.

• Subcritical case

• Supercritical case

Dirac approximation Linear response

Critical charge in graphene: previous work

DiVincenzo et al, Katsnelson,Shytov et al, Pereira et al.

Electron density

r

Subcritical 

r

Supercritical Electron density

∼1ln ∼

∼1ln ∼

1

Our work – “hyper”critical charge

M.F., Novikov, Shklovskii, PRB (2007)

STM / AFMtip

Finite distance  needed to validate Dirac approximation

New result for “vacuum polarization” around a large Coulomb charge

• New universal result for the structure of the supercritical core

• For  this core “squeezes out” the regimes discussed in previous literature

• Such regimes return if 

r

Electron density

∼1

∼1/

M.F., Novikov, Shklovskii, PRB (2007)

Supercritical 

LINEAR CHARGE PROBLEM

Model

Linear charge density 

Φ 2 ln

undopedgraphene sheet

Linear‐response approach fails

ΦΦ

const

Φ1Φ

2ln → ∞

→ ∞

“dielectric‐like” screening

Dielectric function of doped graphene

doped, 0

1

14

undoped,  0

Thomas‐Fermi screening length

12

, 0

2

1 2

Doped vs. undoped case

intraband

Finite density of states (DOS) at the Fermi level enables intraband transitions and metallic‐like screening

interband

Screened Coulomb potential

~1/

→ ∞ → 0 metallic‐like screeningDoped:

0 1 /2 dielectric‐like screeningUndoped:

14

Thomas‐Fermi screening length

Thomas‐Fermi approximation

∼1, Φ ~

12

14

Derivation of the screening length:

Valid for smoothly varying potential Φ

Charge density distribution

∗

∗ ∗ Nonlinear screening length

Reformulate the model

We can replace Φ due to the charge OUT of plane by the equivalent background charge density  IN the plane:

Realistic case 

Strong interaction implies strong, near‐perfect screening:

charge neutrality

PLASMONIC IMAGING EXPERIMENTS

Near‐field optics of graphene

Si gateSiO2

100‐200 nm

Fei et al, Nano Lett 2011Fei et al., Nature 2012Chen et al., Nature 2012

∼ 6Response at finite momenta: 

Plasmon pattern near an edge

Interference of plasmons launched by tip and their reflection off the edge should create λp/2 ‐ periodic nodal lines

Experimental imaging results

Signal oscillates as a function of distance to the edgeLocal plasmon wavelength is twice the oscillation period 

Fei et al, 2012

L

Gate‐voltage dependence

0 V- 20 V

10 V20 V30 V

SiO2

s 3(a

.u)

Z. Fei et al., 2012

Other experiments:Chen et al. (2012)Ju et al. (2012)

892cm

Modeling• Graphene: , (no  ‐dependence)

• Tip: a collection of point dipoles whose magnitude is 

determined self‐consistently

• SiO2 substrate: dielectric constant  from experiment

, , , 2D Coulomb 

kernel

Plasmon momentum 

Objective: extract  and damping  

Comparison with experiment

• Plasmon momentum increases 30‐50% towards the edge: inhomogeneous doping profile

• Plasmons are damped:  | |

0.135

| | | |

0.050.08

0.4 , 5

892 cm

Fei et al, 2012

Conductivity of graphene from near vs. far‐field measurements

Li et al. 2008

← 2

← 0.5

“universal” value

“background”

2

Zhe et al. 2012

/4892cm

Imaging of grain boundaries in CVD graphene

Fei et al. 2013

Grain boundary

(the rest of the figure is cropped)

Charge distribution near grain boundaries

Geometric width is sub‐nmElectronic width is ~100 nm

Fei et al. 2013

Dirac plasmon and the nanoscale infrared response of graphene‐SiO2interfaceD.N. Basov

University of California, San Diego   http://infrared.ucsd.edu/

UT Austin/KITP: I. Sodemann

Acknowledgments

UCSD: Z. Fei, G. Andreev, A. McLeod,M. Wagner, D. Basov

BU/NUS: A. Rodin, A. Castro Neto

Support: NSF, UCOP, ONR