UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Asignatura : Métodos numéricos

Tema : Trabajo de investigación.

Docente : Orlando Rosas

Alumnos :

Justiniano Cancha Heyner Reynaldo Valverde Camones Wilson Contreras Caro Elvis Solórzano Villanueva Álvaro

HUARAZ ANCASH PERÚ

Huaraz, 07 de Abril del 2014

INTRODUCCION

El estudio del comportamiento de vigas sometidas a diversas cargas es esencial para el diseño estructural, entre los principales efectos producto de estas cargas tenemos el diagrama de momento flector(DMF) y el diagrama de fuerza cortante(DFC), los cuales nos dan una idea de los esfuerzos a los cuales está sometida nuestra viga; para el análisis de dichos diagramas haremos uso del software MATLAB, además aremos un código matlab para el análisis de la deformación de una viga donde obtendremos como resultado las reacciones y la grafica de la deflexión y se hizo uso del MATLAB el cual nos permitirá crear un algoritmo capaz de calcular y graficar estos diagramas haciendo uso de los métodos numéricos.

CAPITULO I

1.1 PROBLEMA:

“DETERMINACIÓN DEL DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR Y FUERZA CORTANTE DE UNA VIGA EN VOLADIZO,”

“CALCULO DE LA DEFORMACION DE UNA VIGA Y SU GRAFICA DE DEFLEXION”

1.2 OBJETIVOS:

1.2.1 GENERAL:

Crear un algoritmo capaz de graficar el DFC y el DMF para el análisis de una viga.

Crear un algoritmo capaz de graficar la deformación de una viga.

1.2.2 ESPECIFICOS:

Obtener las reacciones y el momento en el punto de empotramiento en base a los parámetros definidos.

Describir la ecuación de la curva a lo largo de la viga. Obtener la grafica de deformación de la viga

CAPITULO II

MARCO TEORICO

2.1 ANTECEDENTES

TEORIA DE VIGAS EULER-BERNOUILLI

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.

Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:

1. Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.

2. Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo depende de x: uy(x, y) = w(x).

3. Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamiento vertical y giro: ux(x, 0) = 0.

4. La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σyy= 0.

5. Hipótesis de Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es sólo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:

MATERIALES UTILIZADOS EN VIGAS

A lo largo de la historia, las vigas se han realizado de diversos materiales; el más idóneo de los materiales tradicionales ha sido la madera, puesto que puede soportar grandes esfuerzos de tracción, lo que no sucede con otros materiales tradicionales pétreos y cerámicos, como el ladrillo.

La madera sin embargo es material ortotrópico que presenta diferentes rigideces y resistencias según los esfuerzos aplicados sean paralelos a la fibra de la madera o transversales. Por esa razón, el cálculo moderno de elementos de madera requiere bajo solicitaciones complejas un estudio más completo que la teoría de Navier-Bernouilli, anteriormente expuesta.

A partir de la revolución industrial, las vigas se fabricaron en acero, que es un material isótropo al que puede aplicarse directamente la teoría de vigas de Euler-Bernouilli. El acero tiene la ventaja de ser un material con una relación resistencia/peso superior a la del hormigón, además de que puede resistir tanto tracciones como compresiones mucho más elevadas.

2.2 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

VIGA

Es un elemento estructural de sección transversal variable o constante a lo largo de su longitud, siendo una de las dimensiones mayor que las de su sección transversal. Esta principalmente diseñado para trabajar a flexión.

FLEXION

Es la deformación que sufre la viga y que es perpendicular a su eje longitudinal, siendo la magnitud de la flexión la DEFLEXION.

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS

Las diversas fuerzas aplicadas a una viga llegan a producir fuerza cortante y momento flexionante internos. En la primera escena se muestra una viga; subsiguientemente se aplican fuerzas a ella (Figura 4.1) y, debido a estas cargas, la viga sufre una deformación. Para ver lo que ocurre internamente en la viga es necesario realizar un corte en una sección C (Figura 4.2).

La viga se divide en dos partes para estudiar lo que ocurre en el corte (Figura 4.3). Se realiza un cambio de perspectiva para favorecer la visión de las acciones internas (Figura 4.4 a) que equilibran al cuerpo con las fuerzas externas aplicadas y, entonces, visualmente acciones las fuerzas V y M. Posteriormente se dibujan los esfuerzos que causa la flexión en la viga (Figura 4.4 b)

Convención de signos

Para analizar vigas sometidas a cargas se ha adoptado una convención de signos para que los cortantes y momentos estudiados tengan significado. En el paquete didáctico se dan los ejemplos y circunstancias en los que un momento se considera positivo o negativo. Se empieza con una escena donde se observan dos vigas sin carga alguna (Figura 4.5).

Posteriormente a cada una se le aplican acciones externas diferentes, una fuerza vertical a la primera viga y a la segunda momentos. Con esto se observa una deformación “cóncava” delas vigas como se muestra en las figura 4.6. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, en arquitectura, se ha venido usando hormigón armado y algo más tardíamente el pretensado y elpostensado. Estos materiales requieren para su cálculo una teoría más compleja que la teoría de Euler-Bernouilli.

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

Para la secuela de cálculo, el paquete reúne tres casos de vigas, de diferentes claros, diferente ubicación de apoyos, y con diferentes tipos de cargas aplicadas a ellas (puntuales, distribuidas, triangulares). Con esto se trata de abarcar lo escenarios más comunes en que una viga está sometida a fuerzas. En cada ejemplo se ve la metodología usual para determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Para el primer ejemplo se presenta un viga simplemente apoyada en los extremos, sometida una carga puntual y una distribuida parcial (Figura 4.9).

El primer paso es la determinación de las reacciones. Con una animación, los apoyos son transformados en flechas indicando el sentido de la reacción. Este diagrama de cuerpo libre se mantiene a lo largo de toda la escena. Se continúa estableciendo un eje de referencia y posteriormente se efectúa un corte para analizar las acciones internas a una distancia x del origen del eje de referencia (Figura 4.10).

Se obtiene el diagrama del cuerpo libre del lado izquierdo del corte y se analizará todas las fuerzas que se encuentran en ese lado; por equilibrio se obtienen las ecuaciones para la fuerza cortante V y el momento flexionante M (Figura 4.11).

Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localización del corte) se mueve hacia la derecha hasta pasar la carga de los 10 kN. Aquí el diagrama de cuerpo libre del lado izquierdo de la viga ha cambiado debido a la presencia de la nueva carga y, en consecuencia, habrá nuevas ecuaciones para V y M (Figura 4.12).

Realizado esto, la placa se mueve nuevamente ahora más allá de los 3.5 m. Aquí aparecen nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces nuevas ecuaciones para V y M son obtenidas. Para explicar de manera visual cómo se consideran las cargas distribuidas, mediante una animación ésta se transforma en una carga puntual y se acota su distancia al corte (Figura 4.13).

No es estrictamente necesario estudiar la viga de izquierda a derecha, y que, en el caso del último corte, resulta más conveniente analizar el diagrama de cuerpo libre del lado derecho del corte. Se cambia el eje de referencia y se consiguen las ecuaciones para V y M. Éstas se comparan con las obtenidas inicialmente para el mismo corte, notando una disminución considerable de elementos en las expresiones (Figura 4.14).

A continuación se muestran gráficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las variaciones de fuerza cortante y momento flexionante de esta viga en particular

Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V y M para todas las secciones, se procede a obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.El primer diagrama a graficar es el de fuerza cortante. Para ello aparece debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el diagrama, con x como abscisas y V en unidades de kN como ordenadas. Antes de que aparezca la gráfica de cortante, en el diagrama de cuerpo libre de la viga, aparece una placa transparente

En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada rango, además de texto explicativo de cómo se obtiene la gráfica. Después, con ayuda de una animación, se consigue el diagrama: la placa transparente avanza por la viga (que representa la posición x, el corte donde se estudia la viga) y en el eje de referencia se van graficando los valores para V a medida que avanza la placa 4.17).

Una vez que se consigue el diagrama de cortante, se resalta alguna cualidad del diagrama; para este ejemplo, que el cortante más grande se encuentra en los apoyos.Finalizada la obtención del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama de momentos. Se vuelve a empezar con los mismos elementos con que comenzó el diagrama de cortante.

De igual forma, a la izquierda aparecen las ecuaciones (ahora de momento flexionante) para los rangos ya conocidos. Lo que sigue tiene la misma base de animación que el diagrama anterior, pero aquí aparece graficado el diagrama de momentos Posterior a la obtención del diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de la gráfica. En este ejemplo, se hace ver que en los apoyos de una viga simplemente apoyada el momento será nulo el diagrama de momentos ayuda a entender la manera en que la viga se flexiona. Para esto, el diagrama de cuerpo libre de la viga se flexiona con una animación hasta el punto en que puede verse la relación entre la deflexión y el diagrama de momentos(figura 4.17)

CAPITULO III

3.1 RESULTADOS

PARA LA VIGA MOSTRADA LAS REACCIONES EN EL EMPOTRAMIENTO SERÁN :

Partiendo de la estática∑ F x=0 ;∑ F y=0 ;∑ M i=0

AX=0Ay=P+QL/2MA=PL/2 + 3Q(L^2)/8

P: peso de la viga(N)Q: carga distribuida(N.m)L: longitud de la viga(m)

Programación en matlab:

Comenzamos definiendo nuestra función, a la cual llamaremos “viga” A continuación ingresamos los comandos input, que serán nuestros

parámetros. Definiremos nuestro momento flector, en el intervalo de longitud, es decir de

0 a L, pero como, la carga no es constante a través de esta y varia a partir

de la mitad de la viga, tomamos su variación hasta L/2; repetimos este paso para el intervalo de longitud L/2 a L.

Insertamos el comando subplot(2,2,1) con el cual podremos obtener las tres gráficas de interés en una misma ventana.

Repetimos estos tanto para el cálculo de la fuerza cortante y la elástica de la viga.

Código matlab:

function viga%(P,Q,L)delta=0;teta=0;EI=2%disp('ingrese el peso de la viga')P=input('ingrese el peso de la viga:')Q=input('ingrese la carga distribuida:')L=input('ingrese la longitud de la viga:')

Ay=P+(Q*L/2)MA=(P*L/2)+(3*Q*L*L/8)figuregrid onx=0:0.1:L;n=length(x);for i=1:nif x(i)<L/2M(i)=(P+Q*L/2).*x(i)-MA;elseM(i)=Q*(L/2)*x(i)-3*Q*L*L/8-(Q/2)*(x(i)-L/2).^2;endendM=-M;subplot(2,2,1)plot(x,M)title('diagrama de momento flector')axis([0 L 0 20])grid on

x1=0:0.01:L/2;n1=length(x1);for i=1:n1V(i)=(P+Q*L/2);endx2=L/2:0.01:L;n2=length(x2);for i=1:n2VV(i)=-(Q*x2(i)-Q*L);end

subplot(2,2,2)title('diagrama de fuerza cortante')

hold ongrid onplot(x1,V)plot(x2,VV)axis([0 L 0 20])

x=0:0.1:L;n=length(x);for i=1:nif x(i)<L/2yy(i)=((P+Q*L/2)*((x(i)^3)/6)-(P*L/4)*x(i).^2-(3*Q*(L^2)/16)*x(i).^2)/EI;elseyy(i)=((Q*L/12)*x(i).^3-(3*(Q/16)*L^2)*x(i).^2-(Q/24)*(x(i)-L/2).^3+(Q/16)*(L^3)*x(i)-(P/24)*L^3-(Q/32)*L^4)/EI;endendsubplot(2,2,3)plot(x,yy)title('curva elástica de la viga')grid on

syms ty1=((P+Q*L/2)*((t^3)/6)-(P*L/4)*t^2-(3*Q*(L^2)/16)*t^2)/EI

y2=((Q*L/12)*t^3-(3*(Q/16)*L^2)*t^2-(Q/24)*(t-L/2).^3+(Q/16)*(L^3)*t-(P/24)*L^3-(Q/32)*L^4)/EI

Luego de codificar compilamos y nos vamos a la ventana command window donde llamamos a nuestra función “viga”, seguido de lo cual el programa solicitara que ingresemos los valores de los parámetros. Como ejemplo ingresamos valores tales como P=10 N; Q=5 N.m; L=2m.

Al presionar enter obtenemos el valor de las reacciones en el punto de empotramiento, además del diagrama del momento flector, fuerza cortante y la elástica de la viga.

Ventana de comando con los objetivos obtenidos

Cuadro de diagramas DFC DMF y la curva

DEFORMACIÓN DE UNA VIGA

Consideremos una viga horizontal de L=20 m de longitud apoyada en los extremos. Si la viga tiene una carga uniformemente distribuida de W = 100 Kg/r encontrar la ecuación que describe la viga al deformarse.

Viga sostenida en los extremos

En el origen se tiene un empuje vertical hacia arriba de W-L = 100X20 Kg. punto P cualquiera sobre la viga con coordenadas (x , y ) se tiene una c el punto medio del segmento OP dada por w-x. El momento M está dado.

Donde E es el módulo de elasticidad e I es el momento de inercia de una transversal. Esta ecuación diferencial se puede resolver en MATLAB simplemente integrando dos veces con respecto a X desde x = 0 hasta X = 20. Para podemos usar la instrucción int. Entonces, para realizar estas integraciones primero reescribimos la ecuación diferencial como.

En MATLAB esto lo declaramos con d2y = w*(L*x-x~2/2)/(E*l) primera integral la obtenemos con dy = int(d2y) a segunda integral con y = int(dy)Luego calculamos las dos constantes de integración y sustituimos los valores de las constantes. Hemos escogido E =1000, I =100, w =100, L = 10. El archivo.m completo es el siguiente

Código matlab:

clcclearclose allsyms x E I w La=input('ingrese el modulo elasticidad E: ');b=input('ingrese el momento de inercia I: ');c=input('ingrese la carga distribuida W: ');d=input('ingrese la longitud horizontal de la viga L: ');d2y=w*(L*x-x^2/2)/(E*I);dy=int(d2y)y=int(dy)C2=0;C1=-w*L^3/3/(E*I);y=y + C1*x;fprintf('La solucion es y= ' )pretty(y)x1=[0:1:20];y1=subs(y,[E, I, w, L],[1000, 100, 100, 10]);y2=subs(y1,'x',x1);ymx=5*w*L^4/(24*E*I);ymax=subs(ymx,[E, I, w, L],[1000, 100, 100, 10])plot(x1,y2)

Al correr este archivo-m obtenemos:

3.2 CONCLUSIONES

Este proyecto ah sido para nosotros la mayor de las experiencias en cuanto al desarrollo a través del MATLAB por el hecho de obtener como resultado lo que se esperaba. Así como también por haber cumplido con los objetivos y requerimientos establecidos. Solo resta esperar que esta investigación sea de provecho para aquellos que desean considerarla como un punto de partida para nuevos proyectos o simplemente para su experimentación personal.

4.1 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga/viga.htm

http://www.esic.es/editorial/editorial_revista_esic.php?tematica=777

http://books.google.com.pe/books?hl=es&lr=&id=W8ZUc16m770C&oi=fnd&pg=PR3&dq=ayuda+en+comandos+de+matlab&ots=Wlf7PzkJWh&sig=ZIFWuoXPiJY3KRMdcpo6GP8AihE#v=onepage&q=ayuda%20en%20comandos%20de%20matlab&f=false