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METODOS ENERGETICOS La relación entre una carga aplicada a una estructura en las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales. Un concepto de fundamental importancia en la solución de estos problemas se basa en el principio de la conservación de la energía. Energía se define como la capacidad de realizar un trabajo El trabajo se evalúa como el producto de una fuerza de la distancia recorrida en dirección de la fuerza. La energía de deformación se define como la energía absorbida por la estructura durante un proceso de carga en muchos casos es llamada como trabajo interno. El objetivo de este capítulo, es introducir las técnicas energéticas para relacionar las cargas aplicadas con las deformaciones estructurales resultantes, existen muchas técnicas que caen bajo la amplia clasificación de métodos energéticos entre ellos están el trabajo real, trabajo virtual, teorema de clapeyron y teorema de castigliano. TRABAJO Y ENERGIA W = Fd

METODOS ENERGETICOS

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METODOS ENERGETICOS

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METODOS ENERGETICOS

La relacin entre una carga aplicada a una estructura en las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecnica de materiales.

Un concepto de fundamental importancia en la solucin de estos problemas se basa en el principio de la conservacin de la energa.

Energa se define como la capacidad de realizar un trabajoW = Fd

El trabajo se evala como el producto de una fuerza de la distancia recorrida en direccin de la fuerza. La energa de deformacin se define como la energa absorbida por la estructura durante un proceso de carga en muchos casos es llamada como trabajo interno.El objetivo de este captulo, es introducir las tcnicas energticas para relacionar las cargas aplicadas con las deformaciones estructurales resultantes, existen muchas tcnicas que caen bajo la amplia clasificacin de mtodos energticos entre ellos estn el trabajo real, trabajo virtual, teorema de clapeyron y teorema de castigliano.

TRABAJO Y ENERGIA

En la siguiente figura el cuerpo se mueve del punto de posicin A1 al A2 separados a una distancia d1, igual manera para F2 se mueve de B1 a B2 separados a una distancia d2.

El trabajo efectuado por la fuerza f1 es F1 veces S1, ya que la fuerza de la distancia debe tener la misma lnea de accin. De manera similar ocurre con F2.

Trabajo Externo = Trabajo InternoPrincipio de observacin de la energa

El trabajo interno se refleja cuando aplicamos una carga a una estructura, esta carga genera una deformacin de dicha estructura, pero si retiro la carga la estructura regresa a su estado original (Estructura elstica), es decir el trabajo interno se ve reflejado en la energa de deformacin y es la que esta almacenada en la estructura adentro.

En la figura se tiene una barra sujeta a una carga axial, al aplicar la carga gradualmente, si la relacin carga deformacin es la que se presente en la figura B, si en el momento que retiramos la carga esta regresa a su estado original se dice que la estructura es de un material elstico lineal.Cuando aplicamos la carga gradualmente, la relacin P - es la que se muestra en la figura C y al retirar la carga esta no regresa a su estado original, la estructura se llama elstica no linear.Sin que importe si existen o linealidades debidas al material o la configuracin geomtrica, consideremos siempre que el material de una estructura permanece elstica.Para ilustrar los conceptos de energa consideremos siempre que le material de una estructura permanece elstico, para ilustrar los conceptos de energa consideremos la barra de la figura anterior sometida a una carga axial B, el cual produce esfuerzo

De la grfica tenemos una relacinTrabajo = W = FdDonde

W = Trabajo externo

E = Deformacin unitariaA = Alargamiento = EsfuerzoIntegrando

dA = diferencial del alargamiento = Valor mximo de alargamientoU = Energa de deformacin

Cuando la relacin P es lineal el trabajo es: El trabajo se puede interpretar geomtricamente por el rea bajo la curva P.

Como la barra es elstica se desprecia cualesquier prdida durante la carga y descarga todo el trabajo efectuado durante la carga se almacenara en la barra en forma de energa de deformacin unitaria, que puede recuperarse durante la descarga por lo tanto la energa de deformacin es igual al trabajo:

De la relacin esfuerzo deformacin en la figura B tenemos que la energa de deformacin unitaria, tenemos que la M por unidad de volumen de material se obtiene considerando un elemento diferencial del volumen de dimensiones unitarias sometido al esfuerzo y que sufre una deformacin (E).

M = Energa de deformacin unitaria

Energa de deformacin complementaria

Sea la siguiente barra sujeta a una fuerza axial P, la barra se deforma segn la figura.

Energa de deformacin debida a cargas axiales.

Por la ley de Hooke:

Deformacin total de una barra sujeta a cargas axiales

Donde:E = Modulo de elasticidad o Modul de YoungA = rea de la seccin transversal

La deformacin interna de un segmento de la barra de longitud dx es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud de energa es decir:

Supongamos que la relacin P - es lineal la deformacin de energa es:

Integrando

Energa de deformacin para cargas axiales

ENERGIA DE DEFORMACIN DE ELEMENTOS A FLEXION

Sea la siguiente viga con una carga concentrada P actuando en el punto B, el trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza P a travs de la deflexin A de la viga.

Partiendo de:

El esfuerzo por flexin

Para un segmento de

Si la relacin P - es lineal

si

La energa de deformacin para un segmento dx es la suma de la energa de deformacin de todas las fibras de ese segmento.

Integrando

Por lo tanto la U total es

PLANO

ESPACIO

Donde:J = Modulo de Inercia polarG = Modulo de elasticidad al corte

Ejemplo 01:

Determinar la deflexin de la estructura de dos barras con la carga concentrada P = 40 KN. El rea de la seccin transversal de cada barra es igual A = 6 x 10-4 m2 y E = 200 G Pa.

Por equilibrio

A = 6 x 10-4 m2E = 200 G Pa

PAC = 32 KN

PBC = 24 KN

Ejemplo 02:

Calcular la deflexin en el punto B de la viga, el cual esta sujeta a una carga P de 24 K lb. El momento de Inercia I = 360 Plg2, l mdulo de Young E = 30 000 Klb/plg2.

I = 360 Plg2E = 30 000 Klb/Plg2

Trabajo

Energa de deformacin (flexin)

Calculo de reacciones

Calculo de U

Pero W = U

LIMITACIONES DEL METODO DE TRABAJO Y ENERGIA

En las secciones anteriores se describieron mtodos para calcular la U en miembros sujetos a los principales tipos de carga.

Las ecuaciones de energa de deformacin U son generales y pueden usarse en cualquiera de los mtodos energticos.

El trabajo es la fuerza por una distancia, o un par por un ngulo de rotacin. Por consiguiente, este mtodo es solamente valido para encontrar una deflexin o una rotacin en la direccin de la fuerza o el par. Sin embargo, si queremos la deformacin en un lugar diferente de donde se aplica la carga, el mtodo no es vlido. Adems si se aplican simultneamente ms de una carga externa sobre el miembro. Aparecer ms de una incgnita o en la expresin para el trabajo externo y la solucin es imposible calcular.Las limitaciones de la tcnica del trabajo real nos impulsan a adaptar los conceptos de otros mtodos energticos relacionados que no sean tan limitados en su aplicacin.PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

El trmino virtual implica que las cantidades son puramente hipotticas y que no existen en un sentido real o material.

Por lo tanto, un desplazamiento virtual es un imaginario que se le impone arbitrariamente a una estructura, de esa manera el trabajo efectuado por las fuerzas reales durante un desplazamiento virtual se llama trabajo virtual.

Este principio establece que una estructura elstica que esta en equilibrio bajo un sistema de cargas generalizadas permanece en estado de equilibrio, si para pequeas variaciones en los desplazamientos generalizados a partir de un estado compatible de deformaciones se satisface la siguiente condicin:

dWc =Diferencial del trabajo totaldWv =Diferencial del trabajo virtual, realizado durante un desplazamiento del mismo como cuerpo rgido y por consiguiente debe ser cero.DWd = Es el trabajo relacionado con la deformacin del elemento.

Por lo tanto

de la misma forma:

variacin del trabajo = variacin de la energa

METODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA O METODO DEL TRABAJO VIRTUAL UNITARIO

El segundo teorema de Castigliano se limita a calcular la deformacin en el punto de aplicacin de la carga, esto es:

El mtodo de la carga virtual unitaria es el ms til y verstil de las tcnicas energticas.Puede usarse para determinar deformaciones en cualquier lugar de la estructura, que sean causadas por cualquier tipo de carga.

Virtual significa que existe en efecto, pero no de hecho. La carga virtual es una carga ficticia que se incorpora en algn punto de la estructura.

El trabajo virtual es el movimiento de esta carga virtual a travs de una distancia.

Por el principio de la conservacin de la energa para las fuerzas o cargas virtuales.

Trabajo Virtual Externo = Energa de Deformacin Virtual Externa

Sea la siguiente viga el cual se requiere conocer la deflexin en el punto D.

Para conocer la deflexin en el punto D, se aplica y una carga unitaria ficticia en este punto, en la direccin de la deflexin deseada.

Si solo consideramos flexin la carga ficticia provoca un momento m en cada lugar de x, esto es:

Ahora, las cargas reales hacen que la carga vertical sobre la cual acta m gire un ngulo .

De nuestros cursos anteriores sabemos que:

El trabajo virtual interno para la viga es

Por lo tanto la deflexin de una viga se calcula mediante:

Trabajo Virtual Externo = Trabajo Virtual Interno

Pero

Por lo tanto, la deformacin considerando solo flexin es:

De manera similar para el resto de elementos mecnicos, por lo que la deformacin total es:

Para estructuras en el plano

Para estructuras en el espacio

Dnde:

Las letras maysculas indican los elementos mecnicos generados por las cargas reales.Las letras minsculas indican los elementos mecnicos generados por las cargas virtuales o ficticias.

TABLAS DE INTEGRALES DE VALORES

CALCULO DE DESPLAZAMIENTO

CALCULO DE GIRO

CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS

DIAGRAMAS

Ejemplo 01:

GH = 3GL = 0

Aplicando T.M

Solo considerar flexin

M = Ayx Ma

U total

Despejando Ay de

Sustituyendo Ay en

METODO DE CARGA VIRTUAL

Encontrar deflexin en c

dc ACS P = 1

dc ACSi P = 1

Deflexin Total = dAC + dCB

CALCULO DE GIRO

Tramo AB

Cargas RealesCargas Virtuales

Tramo BC

Cargas RealesCargas Virtuales

Calcular el desplazamiento dB y el giro B

Cargas reales

Calculo de momentos

Cargas ficticias en B (Carga unitaria)

Calculo de Reacciones y momentos

Corte

Aplicando M.C.V.U. Considerando solo flexin

Ejemplo 02:

GH = GHE + GHIGL = 3 x 3 4 = 5GHE = 4 3 = 1GHI = 0GHT = 1

Calculo de Reacciones

Para este caso emplearemos el mtodo del trabajo mnimo para ello tomaremos como redundante a Rcy por tanto

Aplicando M.T.M.

peroL = h

despejando a Rcy

Finalmente

sustituyendo valores

Para encontrar el resto de las reacciones se aplica el equilibrio esttico

Trazo de diagramas

Calculo del desplazamiento horizontal en (B)

Aplicando el mtodo de Carga Virtual Unitaria:

Nota: el momento flexionante debido a cargas reales se obtiene a partir de las cargas y reacciones reales (ya conocidas), para el momento virtual aplicaremos una carga unitaria horizontal en el nodo B, pero como no se tienen las reacciones aplicaremos nuevamente el M.T.M.

Aplicando M.T.M.

pero L = h

Por equilibrio esttico

pero h = L = 4

pero h = L

Siempre y cuando E y I estn en T/m2 y m4

Calculo del giro

pero h = L

Por equilibrio se encuentran las reacciones restantes

Calculo de giro

pero h = L

Ejemplo 03:

Calcular los desplazamientos horizontal y vertical y el giro en el nodo C aplicando el mtodo de la carga virtual unitaria del siguiente marco el cual esta sujeto a una carga P en el nodo C. Considere solo flexin.

Existen dos formas de encontrar los desplazamientos, una de ellas es encontrar las expresiones de la variacin de los momentos flexionantes del marco para cargas reales y para cargas unitarias y sustituir en la ecuacin:

y l a otra es la utilizacin de los valores de integrales que contienen los productos

Calculo del desplazamiento horizontal dc

Calculo de los momentos flexionantes debido a cargas reales

Tramo CBTRAMO BA

Calculo de los momentos flexionantes debido a cargas unitarias

Tramo CB Tramo BA

Aplicacin del mtodo de la carga virtual unitaria.

Ahora se calculara el mismo desplazamiento horizontal en el punto C, empleando valores de integrales que contienen los productos

Diagrama de momentosDiagrama de momentos debidos a la para cargas reales carga virtual unitaria horizontal

Al utilizar las tablas de valores de integrales:

Tramo CB Tramo BA

No existe en las tablas por lo tanto es igual a 0

Por lo tanto

Finalmente

Clculo del desplazamiento vertical dc

Diagrama de momentos Diagrama de momentos debidos a la para cargas reales carga virtual unitaria vertical

Al utilizar las tablas de valores de integrales

Por lo tanto

Finalmente

Calculo del giro

Empleando valores de integrales que contienen los productos Diagrama de momentos Diagrama de momentos debidos a la para cargas reales carga virtual unitaria vertical

Al utilizar las tablas de valores de integrales

Por lo tanto

Finalmente