Método Gauss-Jacobi

8/22/2019 Mtodo Gauss-Jacobi

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Universidade Federal de Mato Grosso

Mtodo Gauss-Jacobi

Discentes:

Joo Eduardo Rodrigues Corra

Daniel Aparecido Glaeser


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Mtodo Gauss-Jacobi

O mtodo Gauss-Jacobi um

procedimento iteratvo pararesoluo de sistemas lineares.


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Mtodo Gauss-Jacobi

Fundos de cobertura usam ferramentas de todos os campos daanlise numrica para tentar calcular o valor de aes mais

precisamente do que outros envolvidos no mercado.

Companhias areas usam sofisticados algoritmos de otimizao

para definir os valores de passagens, pagamentos de funcionrios e

necessidades de combustveis. Historicamente, tais algoritmos

foram desenvolvidos dentro do campo de pesquisa de operaes.

Companhias de seguros usam programas numricos para anlise

de riscos.


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Mtodo Gauss-Jacobi

Carl Gustav Jakob

Jacobi(Potsdam, 10 de dezembro de

1804 Berlim, 18 de fevereirode 1851) foi um matemtico

alemo.


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Mtodo Gauss-Jacobi

Porque utilizar o mtodo de Gauss-

Jacobi?

Mais simples de se implementar no computador do

que o Mtodo de Escalonamento

Menor sujeio a acumulo de erros


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Mtodo Gauss-Jacobi

O que um Procedimento Iterativo?

O que so sistemas lineares?


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Mtodo Gauss-Jacobi

Exemplo de sistema Linear:

1 | 2

| x + y + z = 20

| 2x3y + 5z = 6

| 4x + 5y 10z =3

| x 4y z = 0

|Qual a diferena entre o primeiro e o segundo parao sistema funcionar ?

10x + 2y + z = 7x + 5y + z = -8

2x + 3y + 10z = 6


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Mtodo Gauss-Jacobi

Pegando o 1 Exemplo:

Transformando para uma incgnita de mesma

aparncia

10x + 2y + z = 7

x + 5y + z = -8

2x + 3y + 10z = 6

10x1 + 2x2 + x3 = 7x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6


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Mtodo Gauss-Jacobi

O mtodo isola o X1, X2, X3 deixando assim as

equaes desta forma:

X1

= (1/10) * (7 2x2

x3

)

X2 = (1/5) * (-8 x1 x3)

X3 = (1/10) * (6 2x1 3x2)


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Mtodo Gauss-Jacobi

Ser que possvel saber de

antemo se o mtodo vai ou no

vai funcionar?


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Mtodo Gauss-Jacobi

Critrio de linhas

O valor absoluto do termo diagonal na

linha a ser calculada maior do que asoma dos valores absolutos de todos os

outros termos da mesma linha


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Mtodo Gauss-Jacobi

2x1 + 6x2 + 3x3 = 44

x1 + 2x2 + 4x3 = 30

5x1 + x2 + 3x3 = 64Interpolando:

5x1 + x2 + 3x3 = 64

2x1 + 6x2 + 3x3 = 44x1 + 2x2 + 4x3 = 30

Agora est atendendo ao critrio.


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Mtodo Gauss-Jacobi

Ento se no atender o critrio delinhas o sistema no ir convergir ?

No podemos concluir a afirmativa inversado critrio de linhas. Isto , falso dizer Nosatisfaz o critrio das linhas ento no

converge. Pode haver sistemas que noatendam ao critrio de linhas mas o mtodo deJacobi funciona.


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Mtodo Gauss-Jacobi

Um exemplo disso este sistema:

3x1+x2+2x3=11

x1

+2x2

+3x3

=14-x1+0x2+x3=2

Ele no atende ao critrio de linhas mas, omtodo funciona para resolve-la.


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Mtodo Gauss-Jacobi

O Mtodo Computacional:

Consiste em fazer o calculo matemtico domtodo porm sem necessidade da interveno

humana na parte do calcular.

A seguir o fluxograma:


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incio

A = matriz de termos dependentes

B = vetor de termos independenteschute = chute inicial

Nmax = valor mximo de iterao

Tol = valor da tolerncia

for i = 1:1: n

Xa( i ) = chute

for i = 1:1: n

ExpX( i ) = B( i ) / A( i, i )

for j = 1:1: n

ExpX( i )=ExpX( i ) + [A( i , j ) /

A( i , i ) Xa( j )]

A

if j==i then No

Sim

Interpolao das

equaes


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for i = 1:1: n

A

R( i )=Tol+1

While norm(R)>Tol e Nit < Nmax

X( i )= evstr (ExpX( i ))

for i = 1:1: n

Xa = X

R=A*X-B'

Nit = Nit+1

disp(X)

disp (norm(R))

disp (Nit)

fim


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Mtodo Gauss-Jacobi

Agora iremos ver o programa emscilab.


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Mtodo Gauss-Jacobi

Mas ento qual a desvantagem de

se utilizar esse mtodo?

Bom alm de s resolver sistemas lineares, ele

tambm no funciona em todos os casos.

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