: : :P., .$ ,f{MITISOLÉTANCHE

6, rue de Watford9200A Nanterre

de réaction du sol

l'slIEl=|.tl.$llÉ,

E stimating the coefficientof subgrade reaction for diaphragmwall and sheet pile wall design

| +r,lut(ol\-l+,lull-ol<

3

Méthode empiriqued' évaluation du coeffTcient

vis-à-vis des ouwagesde soutènement souples

Cet article reprend les résultats de mesures effectuéessur une dizaine d'ouvrages de soutènement (paroismoulées et rideaux de palplanches), qui avaient déjà faitl'objet d'une interprétation en 1984 dans le no 28 de laRevue Française de Géotechnique.La synthèse effectuée cette fois-ci débouche sur uneexpression simple et générale du coefficient de réactiondu sol, tenant compte de deux facteurs dont l'importancea été clairement mise en évidence par les mesures surouvrages réels, à savoir la non-linéarité ducomportement du sol et I'inertie du soutènement.

This article reviews site measurements from about tendiaphragm wall or sheet pile wall works, which had alreadybeen analysed in Revue Française de Géotechnique, n" 28, 1984.The present synthesis results in a simple and general expressionof the coefficient of subgrade reaction, taking into account twoessential factors according to site experiments, which are thenon-linear soil behaviour and the inertia of the retainingstructure.

REVUE FRANçAIsE oE cÉorecuNreurN" 71

2e trinrestre 1995

IntroductionEn 1984, une étude expérimentale [B], exploitant les

résultats obtenus à partir d'une dizaine de chantiersinstrumentés, avait permis de dégager quelquesconclusions concernant le < coefficient de réaction >

utilisé pour le calcul des parois moulées et rideaux depalplanches.

Au cours des dix dernières années, ces conclusionsont permis, sans subir de démenti expérimental,d'étayer le choix des hypothèses de calcul d'un grandnombre de projets.

Mais, faute, probablement, d'avoir pu débouchersur une formulation générale, cette approche empi-rique se voit souvent préférer l'application exclusived'autres méthodes, par exemple celles proposées parBalay [2] ou Chadeisson [7], dont elle pourrait cepen-dant constituer un complément intéressant en raisonde son large support expérimental.

Il nous a donc semblé utile de rappeler les conclu-sions de cette étude, et d'en proposer une formulationsuffisamment explicite pour être directement utilisable.

On rappellera, dans un premier temps, ce que l'onentend par a coefficient de réaction > dans le cas desouvrages de soutènement.

Définition et méthodes d'éval uationdu coefficient de réaction

La méthode actuellement la plus répandue enFrance pour calculer les parois moulées et rideaux depalplanches est la méthode dite n élasto-plastique > (paropposition aux calculs à la rupture traditionnels), danslaquelle la phase élastique du comportement du sol estschérnatisée, en l'absence de chargements localisés,par la relation :

dans laquelle p est la contrainte horizontale exercée parle sol sur l'ouvrage, Ko le coefficient de poussée desterres au repos, ov la contrainte verticale existant dansle sol à Ia profondeur consid érée, k le coefficient deréaction du sol, et y le déplacement horizontal du sou-tènernent.

Le coefficient de réaction est donc le rapport, sup-posé constant pour une couche de sol donnée (bien quecela ne repose sur aucun fondement théorique), de lavariation de contrainte horizontale au déplacementassocié.

On entend ainsi t r,nir compte, à travers cet artificede calcul, de l'enser rbte des propriétés élastiques dusol et de l'ensemble 'les conditions aux limites du pro-jet : on comprend C ',nc que la détermination du coeffi-cient de réaction, , ri supposerait en toute rigueur descalculs prétimiriai. ;s plus élaborés que le calcul élasto-plastique lui-mê'" ,), constitue un problème difficile quidivise encore le ;pécialistes.

Bien eue dr. ordres de grandeur de k aient été indi-qués dès 195. par Terzaghi t101, il est généralement

p-Ko. o,+/- k.y (1) Rappel des conclusions

admis que les valeurs réelles leur sont nettement supé-rieures, et les méthodes d'évaluation les plus fréquem-ment appliquées aujourd'hui sont :

- I'utilisation de la formule de Ménard et Bourdon [6] :

k=Er,a /lc-.a/2+0,13. (9. a)"1 (2)

dans laquelle E* est le module pressiométrique du sol,cr le rc coefficient de structure )), et a Ia hauteur surIaquelle le sol est sollicité en butée par l'ouwage, queMénard évalue forfaitairement aux 2/3 de la fiche durideau ;

- l'utilisation de la formule de Marche [5] :

k - 4,5 . e,/ a (3)

dans laquells e. est la résistance de poinle au pénétro-mètre statique, et qui conduit, bien qu'établie à l'ori-gine pour calculer, non pas les soutènements, mais lespieux sollicités horizontalement par le terrain, à desordres de grandeur tout à fait comparables à ceuxobtenus à partir de la formule (2) ;

- I'utilisation des ordres de grandeur proposés parChadeisson, dont Monnet a récemment publié une for-mulation générale l7l;- la méthode pressiométrique établie par Balay [2], quicomplète celle de Ménard par une méthode d'évalua-tion de a applicable aux étapes de terrassement inter-médiaires, et par une formulation de k spécifique auxphases de mises en tension des tirants précontraints.

Compte tenu des divergences encore importantesentre les résultats déduits de ces différentes méthodesd'évaluation de k, d'une part, et compte tenu de Ia dif-ficulté d'aborder de façon théorique l'évaluation d'unparamètre sans signification physique bien précise,d'autre part, Solétanche avait donc procédé, au débutdes années 80, à la réalisation et à l'exploitation d'unesérie de mesures sur ouvrages réels, en intégrant éga-lement différents résultats ayant fait par ailleurs l'objetde communications.

Ede l'étude de 1984 l8l

La comparaison systématique entre résultats théo-riques et expérimentaux obtenus sur neuf sites diffé-rents, et concernant des ouvrages allant du rideau depalplanches Larssen IIs à Ia paroi moulée d'L,33 md'épaisseur, avait permis de dégager les conclusionssuivantes :

7. La méthode élasto-plastique permet, malgré Iecaractère discutable de ses fondements théoriques, derendre compte du comportement réel des ouvrages defaçon satisfaisante (exemples des figures L et 2), sousréserve des conditions suivantes :

- choix approprié (voir ci-après) des paramètres de cal-cul, et notamment de la valeur du coefficient de réac-tion ;

- limitation de l'usage de la méthode à son domained'application, à savoir le calcul des sollicitations dansles cas où celles-ci ne sont pas notablement affectéespar les déformations d'ensemble du massif de sol (cas,

4

Tube inclinométrique N'4Etat initial : 29- 3-81

Deplacement (cm)O= +21,3 IGN O,5 1,O 1,5 2,O 2,5TN - +21 IGN

YMIGN

rJ*0=*19.9v(Sommet palplanches

Bemblais

AlluvionsFFI

(22t41/,'I22.4

- 8,9

æCraie engranules

- 11,9

- 13 ,5 tt?Craie altérée

(15/5)15

- 16,65J-

^20,5 m

ïffiffi,ffifffiffi*ffi#'j# Lille - Déformée du rideau de palplanches.Lille - Deflection of the sheet pile wall.

l- O -O Déf ormee experrmentale

-

Deformee calculee

oo

\a

l5-6

aa

o

/I

I

II

I

II

I

II

I

II

I

II

I

lI

III

I

qa

1II

t

10 r5-5

K exp.

K th. =

= 25 000

7800 à

kN/m3

12 000 kN / m3

notamment, des grandes excavations stabilisées pardes nappes d'ancrages multiples [4]).

2. Le coefficient de réaction expérimental (obtenu parajustement entre le calcul et les résultats des mesures)est deux à quatre fois supérieur au coefficient théoriqueobtenu à partir de l'essai pressiométrique interprétésuivant la formule de Ménard et Bourdon tant que letaux de mobilisation de la butée n'excède pas 50 "/", ce

taux de mobilisation étant conventionnellement priséga\, dans le cas d'un terrain sans cohésion, à la valeurmoyenne de k . y / ( (Kp - Ko) ou ), où Ko est Ie coeffi-cient de butée calculé dans l'hypothèse d'une inclinai-son des contraintes sur la normale à l'écran égale àl'angle de froffement interne du sol.

Cette constatation peut être expliquée par la non-Iinéarité du comportement du sol, et conduit à propo-

5REVUE FRANçAISE DE GÉoTEcHNIQUE

N" 71

Y trimestre 1995

MESURES INCLINO IVIETR IOUES

3 mm

,-1,8,-2

Remblai compressible

Ep =2M Pa

Calcaire décomposé

rigide: Ep: 15 M Pa

Sable et graviers

Ep=5MPa

Sable avec dléments

graveleux: Ep =20MPa

K exp. = 8200 kN I m3

K th. = 1800 à 3500 kN / m3

Vue de dessus

fprés''îJiigiil'n de tous

t- 4,8

-- 6,5'

- 8.75

iffi Deauville - Déformée de la paroi préfabriquée.Deauville - Deflection of the precast diaphragm wall.

IIT :

a

æ a

TEGENOE,

déformée expérimentalecalcul élastoplastiquecalcul par éléments finis

t-4,5

ser la relation pression-déplacement de la figure 3, quirevient en pratique, compte tenu des coefficients desécurité usuels, à retenir un ordre de grandeur a réa-liste l du coefficient k égal à trois fois celui obtenu à

partir de Ia formule de Ménard et Bourdon.

3. La valeur de k dépend directement de celle du para-mètre dimensionnel a, hauteur sur laquelle le soutène-ment sollicite Ie terrain en butée, elle-même fonctionde Ia rigidité relative du soutènement par rapport ausol.

6REVUE FRANçAIsE oE cÉotcHNlQUEN'719e trimestre 1995

Pul2

|iffiiii$xjtii$Ïi$*litf *'*U*' C omportement expérimental de l'interfacesol-structure.Experimentai soil-structure interaction.

Dans l'étude expérimentale, la valeur théorique de kétait calculée à partir de la valeur expérimentale de a(égale à la hauteur sur laquelle Ie déplacement réel dusoutènement est a significatif l, soit, en l'occurrence,supérieur à 20 % du déplacement maximal).

Mais, Iors de l'établissement d'un projet, la défor-mée réelle du soutènement n'est évidemment pasconnue, et la valeur de a ne peut donc être qu'estiméede façon empirique, voire arbitraire ; il en résulte uneindétermination importante dans I'évaluation de k, quicontribue largement aux divergences souvent exces-sives observées entre les résultats des différentesméthodes de prévision.

La suite de cet article sera donc exclusivementconsacrée au problème de l'évaluation de a.

EObservations expéri menta lesde((aD

La figure 1 met en évidence, dans le cas d'unouvrage de soutènement souple (palplanches Lars-sen IVs), des valeurs de a de l'ordre de 2 m (variablesde 1,5 m à 2,5 m d'une phase de terrassement à l'autre,donc suivant le Wpe de terain et le mode de sollicita-tion).

On peut en tirer les conclusions suivantes :

1. Si Ia proposition de Ménard [6], qui consiste à retenirforfaitairement pour a une valeur égale aux 2/3 de lafiche, s'avère parfaitement justifiée dans l'étape finaledes terrassements, la généralisation de cette règle àl'étape intermédiaire de pose ciu 2" Iit de butonsconduirait à une valeur de a égale à 7 m, soit près de5 fois trop forte, donc à une valeur de k environ 5 foistrop faible, et même, globalement, 1.5 fois trop faiblecompte tenu de la non-linéarité du sol.

Z.Lafaible valeur de a au cours des étapes de teruasse-ment intermédiaires est vraisemblablement due à lafaible rigidité du rideau par rapport au sol : il semble-rait donc bien que la rigidité soit le paramètre princi-pal (a - L,5 m au lieu de 7 m), le mode de sollicitation,fonction des conditions de butonnage et de la hauteurterrassée, apparaissant comme un paramètre secon-daire (a variable de 1,5 m à 2,5 m d'une étape de terras-sement à l'autre).

L'importance de la rigidité de l'ouvrage est encoremise en évidence par la comparaison des figure s 2 et 4,qui correspondent à des mises en tension de tirants àfaible profondeur (1,8 à 2,5 m) dans des terrains com-pressibles (module pressiométrique, E* variable de 2

à 3,5 MPa).La différence essentielle entre les deux projets est

l'épaisseur du soutènement, le quai de Deauville étantune paroi préfabriquée de 0,35 m et celui de Rouen uneparoi moulée de 1,33 m.

On constate, dans le premier cas, une déformation< de type souple r, Iocalisée sur un peu plus de 3 m dehauteur, et dans le second cas une déformation < detype rigide >, significative sur plus de 10 m de hauteur.

Corrélativement, la valeur expérimentale du coeffi-cient de réaction est plus de trois fois plus faible àRouen qu'à Deauville, bien que le terrain y soit moinscompressible : la rigidité relative du soutènement appa-raît donc ici comme un paramètre plus important quela compressibilité intrinsèque du sol.

Compte tenu de ces observations déjà anciennes, lavaleur de a est le plus souvent choisie, au stade de lamise au point du projet, dans l'intervalle (2 m, 10 m), enfonction de la rigidité du soutènement (avec bien entenduune borne supérieure égale aux 2/3 de la fiche).

Mais cet intervalle relativement large laisse uneplace importante à l'appréciation subjective, et lebesoin d'une méthode systématique d'évaluation de ase fait toujours sentir.

EMéthode d'évaluation de (( a D

Ces observations expérimentales conduisent à envi-sager l'hypothèse d'une proportionnalité de a à la lon-gueur élastique du soutènement , ca qui revient à écrire,comme Westergaard l'avait déjà fait en 1926 dans le casdes radiers [11] :

a - (EI /k1o'zs (4)

où EI est le produit d'inertie d'une unité de largeur dusoutènement.

La théorie du a bulbe de pressions > de Terzaghi t10lconduit, par ailleurs, à la conclusion que le produit k . a,

et non pas k lui-même, est une caractéristique intrin-sèque du comportement élastique du sol (du moinspour des conditions aux limites données), ce qui per-met d'écrire, pour une valeur donnée du coefficient dePoisson :

k-Er/a (5)

où E, désigne le module d'Young du sol, ou toute gran-deur qui lui est proportionnelle (module ædométrique,rapport Er/cr du module pressiométrique au ( coeffi-cient de structure >, résistance de pointe au pénétro-mètre statique, etc.).

La relation (5) traduit d'ailleurs simplement le faitqu'en élasticité linéaire, le déplacement en un point dumilieu sollicité est proportionnel à la force qui lui estappliquée.

On déduit des relations (a) et (5) que adirectement exprimé en fonction du rapportla forme :

a-(EIlE*)0,33Cette formulation très simple pourrait par exemple

s'appliquer à la détermination de k à partir de l'essai

peut êtreEYE', sous

(6)

REVUE FRANçAIsE or cÉorccHNteuEN'71

2e trimestre 1995

7

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pénétrométrique, puisque la formule de Marchebien du type de la formule (5).

Par contre, la formule de Ménard et Bourdond'une forme plus complexe, et se prête donc

ô bien à l'application de Ia formule (6).

UREVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN'71F trimestre 1995

Les figures 5 et 6 montrent toutefois qu'il est licite,pour les valeurs de a comprises dans l'intervalle (2 m,10 m), de lui substituer la formule simplifiée :

(3), est

(2), estmoins

k-1,2.EM/(a.a) (7)

25 000

20 000

â 15 000

€zë: 10 000

5 000

0

a = 1,7. (El . alpha / Etlerp0,33

r = f(a)

6

a (m)

a=f(El.alpha/EM)

2,00 3,00 a,00

Ln(El.alpha/EM)

i+**$*j{ffil*i#iff##'-Ï' Iii Expressions théoriques dedea(cr=0,5).Theoretical relations between

+l;ffiii#f1tiif-$f$iffift1;ii1;ft Relation expérimentale entre a etEI .crlEM.Experimental relation between a andEI . cr /E*.

simplificatrice d'un coefficient de réaction constantavec la profondeur, implicitement admise dansl'expression de la longueur élastique du soutènement,et manifestement fausse dans Ie cas de multicouchestrès contrastés dans la zone de butée (cas où l'évalua-tion du coefficient de réaction s'avère d'ailleurs parti-culièrement délicate).

Après élimination des deux résultats expérimentauxqui se trouvent manifestement dans ce cas (étape finaledu dragage à Deauville et mise en tension des tirants àRouen), Ia pente de la droite de régression devientégale à 0,33, ce qui permet de proposer, dans le casd'un module de réaction sensiblement constant, Ia for-mule approchée :

a=1,7.(EI .a/ Er)o,t'

EMéthode d'évaluation de k

D'après ce qui précède, une méthode empiriqued'évaluation de k à partir de l'essai pressiométriquepourrait se résumer à :

- évaluer a à partir de la formule (9), eD tenant compted'une borne supérieure égale aux 2/3 de la fiche ;

- obtenir une valeur minimale de k à partir des for-mules (2) ou (7) ;

- affecter la valeur minimale ainsi obtenue d'un coeffi-cient multiplicateur égal à 3 pour tenir compte forfai-tairement, faute de mieux, de la non-linéarité du com-portement du sol.

Dans le cas où l'on applique (7), cetfe procédure seréduit à l'emploi d'une simple formule :

k = 2,1 . (Evr /u)+ts / EI1/3 (10)

Si l'on assimile, conformément aux recommanda-tions de Ia Société internationale de mécanique des solset travaux de fondations [1], le rapport Er/a au moduleædométrique du sol, on peut encore écriiè les formules(7), (9) et (10) sous la forme :

k-in = 1,2. E*o / aa=1.,7.(Et/E*d)0,33

k - 2,1 . (E* o)n't / Er1/s

Cette formulation générale est intéressante dans lamesure où elle permet de faire le lien non seulement

k en fonction

a and k (cr = 0,5).

t = f(a)

l0 000

5 000

0

2 3 4 5

",I, 7 8 s 10

ii$i"i+hfgïiiïit-W,,iffif.#uffiffi,,,ïjffiffi Expressions théoriques de k en fonctiondea(cr=0,33).Theoretical relations between a and k (cr = 0,33).

On peut dès lors, compte tenu de (5) et (6), envisagerde mettre a sous la forme :

a-(EI .a/Er)o,tt

(e)

(B)

On remarquera que les formules (7) et (B), a priorigénérales, sont du même type que celles proposées parBalay l2l et Gigan [3] pour la mise en tension des tirantsprécontraints.

Il n'en demeure pas moins qu'une validation de laformule (B) à partir de mesures sur ouvrages réels estindispensable.

C'est la raison pour laquelle on a reporté, sur lafigure 7, les valeurs expérimentales de a mesurées Iorsde l'étude de 1984, en fonction des valeurs correspon-dantesdeEl .a/ EM.

En dépit d'une dispersion relativement importante,probablement imputable à I'imprécision des donnéesexpérimentales et à l'effet du mode de sollicitation, onmet ainsi en évidene une relation nettement croissante,ce qui confirme la sensibilité du paramètre a à la rigi-dité du soutènement.

Toutefois, l'approximation linéaire de l'ensembledes résultats expérimentaux conduit à une droite depente égale à 0,28, ce qui, compte tenu des coordon-nées bi-logarithmiques, suggère une relation intermé-diaire entre une racine quatrième et une racinecubique.

Cette divergence avec la théorie et l'analyse dimen-sionnelle pourrait être la conséquence de l'hypothèse

(11)

(12)

(13)

REVUE FRANçAIsE oe cÉorecHNteuEN'71

F trimestre 1995

9

avec les essais de laboratoire, mais encore avecd'autres essais in situ, tels le pénétromètre statique,compte tenu des corrélations existant entre modulesd'élasticité et résistance de pointe.Remarque

Si l'on admet que le module d'Young du sol, E., estégal aux 2/3 du module ædométrique (ce qui coires-pond à l'hypothèse classique d'une valeur du coeffi-cient de Poisson égale à 1/3), on en déduit une condi-tion supplémentaire permettant d'obtenir un minorantde k dans le cas d'une fouille de faible largeur b ; eneffet la condition

k>2. Es/bpermet alors d'écrire, compte tenu de (11) :

a<0,9.bCette condition s'ajoute à :

a<2/3.foù f est la fiche du soutènement.

On voit ainsi que l'utilisation des formules glo-bales (10) et (13) peut, dans certains cas, conduire à unesous-évaluation de k, d'où l'intérêt d'appliquer la pro-cédure précédemment décrite, incluant l'évaluationexplicite de a.

D'une façon plus générale, il ne faut pas hésiter,dans la mesure où k dépend des conditions aux limitesdu projet, à remettre en cause les formulations glo-bales, quelles qu'elles soient, dans tous les cas particu-liers où le massif de sol n'est pas assimilable à un milieusemi infini : un autre exemple significatif en est celuides risbermes élancées, dont la souplesse n'est prise en

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compte par aucune formulation classique du coefÏicientde réaction, et qui ne peuvent donc être calculées qu'aumoyen d'une méthode spécifique [91.

-

ConclusionL'approche proposée, exclusivement empirique, n'a

d'autre prétention que de permettre une évaluationrapide et sans risque d'erreur importante du coefficientk, dans tous les cas où I'usage de ce coefficient estapproprié.

L'interprétation des résultats expérimentaux a étéconduite de façon délibérément prudente de façon àéviter, dans l'optique d'une généralisation, tout risquede surévaluation excessive.

On peut ainsi constater, en comparant les valeursexpérimentales de k à celles résultant de la formule (10),que cette dernière sous-estime k dans 50 % des cas, etque l'écart relatif entre prévisions et valeurs réelles sesitue dans l'intervalle (- 50 o/o, + 100 o/"), c'est-à-dire qu'ilest encore possible de se tromper dans un rapport de 1

à 2, mais plus dans un rapport de 1 à 10.

Compte tenu des hypothèses très simplificatricesqui sont à la base de la méthode de calcul élasto-plas-tique, d'une part, et compte tenu de la faible sensibilitédes valeurs des sollicitations aux variations de k,d'autre part, il nous semble que cette relative impréci-sion peut être consid érée comme acceptable.

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t4l

l2l

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t6l

t3l171

10REVUE FRANçAISE oe cÉorucHNreuEN" 71

2e timesTre 1995