Metas Curr Mat 2 Ciclo

7/30/2019 Metas Curr Mat 2 Ciclo

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METAS CURRICULARES DO ENSINO BSICO MATEMTICA

Caderno de Apoio

2. Ciclo

Antnio Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Maria Clementina Timteo


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Caderno de Apoio Introduo Pgina 1

INTRODUO

Este Caderno de Apoio, organizado por ciclos de escolaridade, constitui um complemento aodocumento Metas Curriculares de Matemtica do Ensino Bsico. Na elaborao das Metas

Curriculares utilizou-se um formato preciso e sucinto, no tendo sido includos exemplos

ilustrativos dos descritores. Neste documento apresentam-se vrias sugestes de exerccios,

problemas e atividades, alguns com propostas de resoluo, esclarecimentos relativos a

algumas opes tomadas no documento principal e informaes complementares para os

professores.

Procurou-se realar os descritores que se relacionam com contedos e capacidades

atualmente menos trabalhados no Ensino Bsico embora se tenham includo tambm outros

de modo a dar uma coerncia global s abordagens propostas. Estas escolhas no significam,porm, que se considerem menos relevantes os descritores no contemplados.

Longe de se tratar de uma lista de tarefas a cumprir, as atividades propostas tm um carter

indicativo, podendo os professores optar por alternativas que conduzam igualmente ao

cumprimento dos objetivos especficos estabelecidos nas metas.

Aos exemplos apresentados esto associados trs nveis de desempenho. Os que no se

encontram assinalados com asteriscos correspondem a um nvel de desempenho regular,

identificando-se com um ou dois asteriscos os exemplos que correspondem a nveis de

desempenho progressivamente mais avanados.

Para alm das sugestes de exerccios e problemas a propor aos alunos entendeu-se incluir

tambm textos de apoio para os professores. Destinam-se a esclarecer questes de ndole

cientfica que fundamentam os contedos destes nveis de escolaridade e que podero ajudar

seleo das metodologias mais adequadas lecionao. Tanto no 2. como no 3. ciclo,

relativamente ao domnio Geometria e Medida, reuniram-se estes textos num anexo

designado por Texto Complementar de Geometria.


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Caderno de Apoio NO5 Pgina 1

5. ANO

Nmeros e Operaes NO5

Descritor Texto de apoio1.11.21.31.41.5

Estes descritores fazem a ponte entre a iniciao ao estudo das fraes no 1. ciclo eo complemento deste estudo no 2. ciclo. Retoma-se de forma sistemtica e geral oque j se tinha praticado a propsito dos descritores NO3-11.9 a NO3-11.15, NO3-12.5, NO3-12.6, NO4-4.1 e NO4-4.2. No exemplo abaixo, os alunos devem sercapazes de utilizar os conhecimentos adquiridos no 1. ciclo e agora revistos para

justificar os passos que os podem conduzir s respostas s diversas alneas,utilizando, em particular, a sugesto do descritor 1.2 para reduzir duas fraes aomesmo denominador.

Exemplo

a. Indica duas fraes com o mesmo denominador respetivamente equivalentes a e

.

b. Ordena as fraes e

.

c. Calcula

.

d. Calcula

.

1.6 No primeiro ciclo introduziu-se o produto de um nmero racional por um nmeronatural (NO4-5.1;5.2) e o produto de um nmero racional por uma frao unitria(NO4-5.5;5.6).

Pretende-se aqui definir o produto de dois quaisquer nmeros racionais.A definio apresentada consiste em identificar o produto

como o produto de

por , que pode ser explicitado utilizando os contedos previamenteestudados.Os alunos podero, por exemplo, calcular

e assim reconhecer a regra usual que permite determinar o produto de duas fraes.

1.7 Este descritor pode ser trabalhado em simultneo com os descritores ALG5-1.5 eALG5-1.6.Recordando a definio geral de quociente entre dois nmeros racionais (NO4-5.3),

o quociente

o nmero racional cujo produto por

igual a

.

Assim, por exemplo, a propsito do quociente entre e

, os alunos podero

observar que

para reconhecer que


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1.10 A representao em numeral misto facilita o posicionamento deum dado nmeroracional na reta numrica. H que ter, no entanto, alguma cautela na sua utilizao,uma vez que se pode confundir facilmente o significado aditivo da justaposioentre parte inteira e fracionria com um significado multiplicativo.Para adicionar (respetivamente subtrair) dois nmeros racionais representados por

numerais mistos, podem adicionar-se (respetivamente subtrair-se) separadamenteas partes inteira e fracionria, com eventual transporte de uma unidade.

Exemplo

Calcula

R.:

Dever chamar-se a ateno do aluno para o facto de

no ser uma

representao adequada em numeral misto de um nmero racional, sendo apenasutilizada esta notao no clculo intermdio por convenincia.

Exemplo

Calcula

R.: Como

, conveniente efetuar o transporte de uma unidade.

3.1 Existem dois critrios de divisibilidade por que podem ser explorados:Critrio 1: Um nmero divisvel por se e apenas se o nmero formado pelosdois ltimos algarismos de for divisvel por .Critrio 2: Um nmero divisvel por se e apenas se o dobro do valor doalgarismo das dezenas adicionado ao valor do algarismo das unidades for divisvel por.

Exemplo

Os nmeros e so divisveis por 4?Pelo primeiro critrio: divisvel por , logo divisvel por . no divisvel por , logo no divisvel por .Pelo segundo critrio:O nmero divisvel por , logo divisvel por .O nmero no divisvel por , logo no divisvel por .


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Informao Complementar para o ProfessorJustificao dos critrios de divisibilidade por e

1. Escrevendo um nmero natural na forma , onde o nmero formado pelosdois ltimos algarismos de N, e atendendo ao facto de ser mltiplo de , facilmente se concluique

divisvel por

se e somente se

divisvel por

. De facto:

Se mltiplo de , mltiplo de por ser a soma de dois mltiplos de Inversamente, se mltiplo de mltiplo de por ser a diferena de dois mltiplos de

2. Pode completar-se um pouco este critrio. Efetuando a decomposio decimal de :

Deduz-se, por um mtodo anlogo ao do ponto anterior, que , e portanto , divisvel por se esomente se for divisvel por 4.Um raciocnio anlogo permite demonstrar os restantes critrios de divisibilidade. A ttulo deexemplo, apresenta-se ainda a justificao geral do critrio de divisibilidade por acompanhadasistematicamente de uma ilustrao.

Consideremos um nmero natural composto pelos algarismos na respetivarepresentao decimal:

Ilustrao:

Observando que , , . , e que , vem:

(

algarismos iguais a

)

.Ilustrao:

Observando que um mltiplo de , divisvelpor se e apenas se for divisvel por .Ilustrao:Como divisvel por , o nmero divisvel por se e apenasse for divisvel por . Neste caso, 21 no divisvel por 9 logo 5637 tambm no .

3.4 Utilizando os descritores ALG5-1.1 e ALG5-1.2 relativos s operaes sobre osracionais e s respetivas propriedades, os alunos podero reconhecer a propriedademencionada em exemplos concretos.

ExemploSabendo que e que , podemos afirmar, sem calcular adiferena, que divisvel por?

R.: Sim, porque , peloque divisvel por .


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3.5 Exemplo*Utiliza o divisor e o resto da diviso inteira de por para concluir que (odividendo) divisvel por.R.: A diviso inteira de por

permite-nos afirmar que . divide ( ). Por outro lado, divide , logo divide .Se divide e divide , ento divide a soma O aluno poder tambm responder sem utilizar explicitamente os dois descritoresanteriores:

logo divide .

3.6 ExemploConsidera os nmeros e .a.Justifica que os nmeros dados so divisveis porb.* Justifica, sem efetuares a diviso, que o resto da diviso inteira de por

divisvel por.c.Efetua a diviso inteira de por e confirma o resultado da alnea

anterior.

R.:a. e 20 divisvel por logo divisvel por .

e divisvel por , logo divisvel por .b. Sendo respetivamente e o quociente e o resto da diviso de por

, temos que , pelo que, por definio dediferena,

.

Como cada um destes dois termos da subtrao divisvel por , divisvel por (utilizmos em particular os resultados expressos em 3.3 e 3.4).c.

Tem-se . Como divisvel por , divisvel por .Os resultados expressos neste descritor e no anterior permitem concluir que, dadauma diviso inteira,


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se um nmero for divisor de e de um dos dois nmeros ou ento divisor deambos; portanto os divisores comuns a e so os mesmos que os divisorescomuns a e .

3.7 O algoritmo de Euclides, apresentado no Livro VII dos Elementos (Euclides, cerca de

300 a.C.), habitualmente considerado como o primeiro algoritmo da histria daMatemtica. Trata-se de um mtodo simples e extremamente eficaz para adeterminao do mximo divisor comum de dois nmeros naturais. Por utilizarapenas a diviso inteira, constitui um mtodo particularmente adaptado aos alunosdo 5. ano de escolaridade.

Descrio do algoritmoPretendemos, por exemplo, calcular o mximo divisor comum de e .Comeamos por fazer a diviso inteira de por 4.

Os divisores comuns a e so os mesmos que os divisores comuns a e .De facto, se um nmero divide e (o divisor e o resto), divide tambm odividendo (), de acordo com 3.5.Inversamente, se um nmero divide e (o divisor e o dividendo), dividetambm o resto (), de acordo com 3.6.Repetindo o processo, efetuamos a diviso inteira do divisor pelo resto:

Pelo mesmo raciocnio, os divisores comuns a e so os mesmos que osdivisores comuns a e .Voltamos a dividir o divisor pelo resto,

.Uma vez que obtivemos resto , o processo est terminado: os divisores comuns a e so os divisores de (j que divisor de cf. 3.3), ou seja, e., portanto, esta a lista dos divisores comuns a e , pelo que

.

essencialmente pedido que o aluno consiga aplicar este algoritmo nadeterminao do mximo divisor comum de dois nmeros naturais, como noexemplo que se segue.


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ExemploCalcula o mximo divisor comum de e .R.:

pelo que o .Exemplo*Observando a diviso inteira:

Explica como podes concluir que os divisores comuns a e so os divisorescomuns a e .R.:

Sabemos que se um nmero divisor de e(respetivamente divisor edividendo da diviso inteira apresentada) ento divisvel pelo resto (); portantoos divisores comuns a e so todos divisores comuns a e. Por outro ladotambm sabemos que se um nmero divisor de e (respetivamente divisor eresto da diviso inteira apresentada) ento divisvel pelo dividendo ();portanto os divisores comuns a e so todos divisores comuns a e.Conclumos assim que os divisores comuns a e so os divisores comuns a e.

3.9 Os alunos podem verificar esta propriedade em exemplos concretos. Podem, por

exemplo, observar que, dividindo os termos da frao

por

,

obtm a frao equivalente e que e so primos entre si.

Exemplo

Calcula o mximo divisor comum de e e obtm uma frao equivalente a cujos termos sejam primos entre si.

, , pelo que , , pelo que

.

Os termos da frao

j foram divididos pelo mximo divisor comum, pelo que a

frao obtida no pode ser novamente simplificada, ou seja, irredutvel.


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Informao Complementar para o ProfessorJustificao deste resultado

Dados dois nmeros naturais e , consideremos o mximo divisor comum Emparticular trata-se de um divisor comum, pelo que existem nmeros naturais e tais que

e .Trata-se pois de justificar que e so primos entre si. Se no fosse o caso, existiria um divisor comum a estes nmeros: e (onde e so nmeros naturais).Ter-se-ia pois

e Desta forma, e seriam ambos divisveis por , o que absurdo dado que por definiomaior do que qualquer outro divisor comum.


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Caderno de Apoio GM5 Pgina 8

Geometria e Medida GM5

Descritor Texto de apoio

1.1

1.3

O critrio de igualdade geomtrica de ngulos introduzido em GM4-2.11 pode ser

utilizado para transportar ngulos utilizando apenas rgua e compasso. Os alunospodero realizar alguns transportes de ngulos por esse processo antes de aplicaremesse mtodo obteno de somas de ngulos (cf. o Texto Complementar deGeometria).

ExemploConsidera os ngulos e representados na figura. Traa um segmento de reta no teu caderno e constri, utilizando rgua e compasso, um ngulo com um doslados coincidente com a semirreta e que seja igual soma de e .

R.: Depois de se traar um segmento como na figura abaixo, uma soluopossvel o ngulo obtido da seguinte forma:

Com centro em (vrtice do ngulo ) traa-se um arco de circunferncia queinterseta os lados do ngulo em dois pontos que foram designados por e . Com amesma abertura de compasso mas com centro em

, traa-se um arco de

circunferncia que interseta a semirreta no ponto , tendo-se ento que . Para transportar o comprimento de , utiliza-se de novo o compasso.Com centro em e raio , traa-se um arco de circunferncia; a interseo deste arco com o j construdo de centro em (ambos traados de forma a que seintersetem no semiplano que se escolhe para posicionar o ngulo) determina com e um ngulo , que igual ao ngulo , atendendo ao critrio de igualdade dengulos acima referido. Para transportar o ngulo , basta utilizar-se um processoidntico, como se sugere na figura.

Para somas de ngulos envolvendo ngulos cncavos, veja-se o Texto Complementarde Geometria.


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1.7 Neste descritor pretende-se que os alunos reconheam a propriedade, ou seja, que ajustifiquem.

ExemploNa figura esto representadasduas retas

e

que se

intersetam no ponto . Sabe-seque .a. Indica justificando o valor de .b. Deduz da alnea anterior o valor de .Exemplo*Na figura esto representadasduas retas e que seintersetam no ponto .

Justifica que os ngulos so iguais.

R.: Como os pontos , e esto alinhados por esta ordem, os ngulos e so suplementares, bem como, analogamente, os ngulos e . Desta forma,os ngulos e so suplementares do mesmo ngulo, logo so iguais.

1.111.13

No descritor 1.11 generaliza-se um critrio de paralelismo que no 1. ciclo sebaseava na utilizao de retas perpendiculares, ou seja, ngulos retos (cf. o texto deapoio ao descritor GM4-3.2); podemos agora utilizar ngulos correspondentes iguaiscom qualquer amplitude (cf. tambm o Texto Complementar de Geometria).Introduzem-se depois designaes associadas a pares de ngulos determinados poruma secante em duas retas complanares e estudam-se os casos de igualdades dengulos assim determinados.

ExemploNa figura esto representadas duasretas e num plano intersetadas poruma secante.

Indica dois ngulos que sejam:a. correspondentes;b. alternos internos;c. alternos externos.d. Se as retas e se intersetarem, como a figura sugere (embora o ponto de

interseo no faa parte da figura), os ngulos e podero ser iguais?Porqu?

ExemploConsidera a figura onde est representado um

par de retas paralelas intersetadas por umasecante.

a. Justifica que: os ngulos e so iguais; os ngulos e so iguais,bem como os ngulos e ;


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os ngulos e so iguais; os ngulos e so iguais.

b. Conclui que os ngulos alternos internos e alternos externos so iguais.

R.: Os ngulos e so iguais porque so correspondentes, determinados poruma secante em duas retas paralelas.

Os ngulos e so iguais porque so verticalmente opostos, assim comoos ngulos e .

Os ngulos e so iguais porque, pelas alneas anteriores, so ambos iguais a.

Os ngulos e so iguais porque igual a (pela alnea ) e igual a(pela alnea )

b. Nas duas alneas anteriores mostrou-se que eram iguais dois pares de ngulosrespetivamente alternos internos e alternos externos na situao mais geral emque tais ngulos ficam definidos, quando duas retas paralelas so intersetadaspor uma secante.

1.14 ExemploNa figura junta esto representadosdois pares de retas paralelas e quatrongulos , , e .

a.Justifica que igual a .b.Justifica que igual a e

que igual a .c. Identifica nesta figura dois ngulos de lados dois a dois diretamente

paralelos mas no colineares e justifica porque que so iguais.d. Identifica nesta figura dois ngulos de lados dois a dois inversamente

paralelos mas no colineares e justifica porque que so iguais.

Exemplo*Representa num plano duas retas que se intersetam mas no so perpendiculares e,

para cada uma delas, uma reta que lhe seja paralela nesse mesmo plano. Escolheum dos ngulos convexos por elas determinado e designa-o por.

a. Identifica todos os ngulos representados nessa figura que so iguais a ejustifica cada uma das igualdades.

b. Seleciona todos os ngulos representados nessa figura que tm com ongulo lados diretamente paralelos dois a dois.

c. Seleciona todos os ngulos representados nessa figura que tm com ongulo lados inversamente paralelos dois a dois.

d. Verifica que todos os ngulos selecionados na alnea b. ou na alnea c. foramidentificados na alnea a.


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1.15 ExemploNa figura junta est representado um parde retas paralelas intersetado por umasecante e assinalados quatro ngulos , e .

a.Justifica que igual a .b.Justifica que e so suplementares.

Exemplo*Representa num plano duas retas que se intersetam mas no so perpendiculares e,

para cada uma delas, uma reta que lhe seja paralela nesse mesmo plano. Escolheum dos ngulos convexos por elas determinado e designa-o por.

a.Identifica, justificando, todos os ngulos representados nessa figura que sosuplementares a .

b.Compara os lados dos ngulos que identificaste na alnea anterior com os ladosdo ngulo verificando em cada caso se so diretamente ou inversamente

paralelos. O que concluis?c.Para alm dos ngulos identificados na alnea a. consegues encontrar algum

ngulo na figura que tenha com o ngulo um lado diretamente paralelo eoutro inversamente paralelo?

1.16 Nos exemplos seguintes os alunos podero utilizar as propriedades expressas nestedescritor, uma vez que no se pede que reconheam a respetiva validade. Noentanto, alguns alunos podero procurar justificar os resultados sem utilizar essaspropriedades, ou seja, servindo-se apenas das j conhecidas anteriormente, o quecorresponde a uma justificao das propriedades expressas no presente descritor,nos casos concretos adiante apresentados (cf. o Texto Complementar deGeometria).

ExemploNa figura est representado o tringulo, retngulo em, sendo o p da

perpendicular traada de para , o pda perpendicular traada de para e o p da perpendicular traada de para.Determina as amplitudes representadas por e e explica o teu raciocnio indicandoas propriedades utilizadas.


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Exemplo*Na figura est representado o tringulo, retngulo em , sendo o p da

perpendicular traada de para, o pda perpendicular traada de para e o p da perpendicular traada de para .a.Justifica que:

a1. a2.

b.Justifica que os ngulos e so suplementares, enunciando apropriedade utilizada.

2.2 Exemplo*Na figura est representado um tringulo e a reta paralela a passando

por.a.Justifica que:

a1. ;a2. .

b. Conclui que a soma dosngulos internos e igual a um ngulo raso.

2.5 Exemplo**Justifica que a amplitude de um ngulo externo igual soma das amplitudes dosngulos internos no adjacentes.

R.:Por um lado, a soma de com igual a um ngulo raso.Por outro lado, somando os ngulos, e (os trs ngulos internos deum tringulo), obtm-se igualmenteum ngulo raso.Logo, o ngulo igual soma dos ngulos e .

2.6 Exemplo*Na figura junta est representado um tringulo e trs ngulos externos devrtices distintos.

a.Justifica que a soma dos ngulos um ngulo giro.b.Indica dois ngulos internos do tringulo cuja soma das amplitudes seja igual

amplitude do ngulo .c.Justifica que

.


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Exemplo**Justifica que a soma de trs ngulos externos de vrtices distintos de um tringulo um ngulo giro.

R.: Dado um tringulo qualquer,verifica-se que, por definio, umngulo externo suplementar dointerno adjacente. Assim, a soma dedois ngulos internos com doisexternos respetivamenteadjacentes igual soma de dois ngulos rasos, ou seja, a um ngulo giro. Ora, asoma dos dois internos pode ser substituda pelo externo no adjacente (2.5),portanto a soma destes trs ngulos externos com vrtices distintos igual a umngulo giro.

2.7 Exemplo

Na figura junta est representado umparalelogramo e o segmento dereta resultou do prolongamento dolado Justifica que:a. os ngulos e so iguais.b. os ngulos e so iguais.c. ngulos opostos de um paralelogramo so iguais.d. ngulos adjacentes ao mesmo lado de um paralelogramo so suplementares.

2.9 Exemplo

Considera o tringulo representado junto, onde estoindicadas as medidas docomprimento, em centmetros, decada um dos lados, e umsegmento de reta iguala . Constri um tringulo igual a .Exemplo

Pretendemos construir um tringulo

tal que

cm,

cm.

Verifica se possvel completar a construo do tringulo escolhendo para medidade em centmetros, sucessivamente, ; ; ; e .Exemplo*Na figura junta est representada umacircunferncia de centro O e pontos, , e da circunferncia tais que

a.Utilizando o critrio de igualdade dengulos, identifica os ngulos que soiguais nos tringulos e .

b.Justifica que so iguais os tringulosreferidos na alnea anterior.


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O exemplo anterior pode ser generalizado; quando existir uma correspondncia uma um que associa cada lado de um tringulo a um lado igual de outro, ento ocritrio de igualdade de ngulos invocado a propsito de 1.1 (GM4-2.11) permiteconcluir que so iguais os ngulos internos formados por lados correspondentes. Em

particular esses tringulos tero tanto os lados como os ngulos internoscorrespondentes dois a dois iguais e sero portanto iguais (cf. GM4-3.7 e o TextoComplementar de Geometria).

2.10 Exemplo

Constri um tringulo tal que , e ExemploConstri um tringulo com um ngulointerno igual ao da figura e lados adjacentesa esse ngulo respetivamente iguais aos

segmentos representados ao lado,a.utilizando rgua e transferidor.b.sem utilizar transferidor, ou seja,

transportando o ngulo utilizandoapenas rgua e compasso.

O critrio de igualdade de ngulos (GM4-2.11), atrs recordado (a propsito de 1.1)pressupe que tambm vale o recproco, para que fique garantida a respetivacoerncia; ou seja, se dois ngulos tiverem a mesma amplitude (se forem iguais),marcando pontos equidistantes dos vrtices nos lados correspondentes de cada umdos ngulos sero iguais os segmentos de reta determinados por cada par de pontos

assim fixado em cada ngulo. Esta propriedade, que deve ser admitida, permitereconhecer como iguais os lados que se opem a ngulos iguais em dois tringulos,se alm disso tiverem respetivamente iguais os lados adjacentes a esses ngulos; daresulta o critrio LAL de igualdade de tringulos, ficando garantida a igualdade dosterceiros lados de cada tringulo (cf. o Texto Complementar de Geometria).

ExemploNa figura junta esto representados doistringulos e tais que e .a.* Justifica que os tringulos e so iguais e que .b.** Tendo em conta a alnea anterior, indica

os restantes pares de ngulos internosiguais determinados pelos pontos, , e nos dois tringulos e.

2.11 Exemplo

Constri um tringulo tal que , e


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ExemploConstri um tringulo tal que igual ao segmento representado na

figura e os ngulos e so respetivamente iguais a dois dos representadosna figura. Quantos tringulos diferentes consegues construir desta maneira? Porqu?

No exemplo seguinte pretende-se que o aluno reconhea que as trs condies docritrio ALA so suficientes para que dois tringulos sejam iguais, ou seja, para que

os trs lados e os trs ngulos sejam iguais. Trata-se de uma atividade complementarque, a ser trabalhada, requer tempo e o apoio constante do professor.

Exemplo**Os tringulos representados e so tais que , e .

a. Mostra que , percorrendo osseguintes passos:

a1. Imagina que e prolonga o segmento traando um segmento

de tal forma que

fique igual a

.

a2. Os dois tringulos e seriam iguais e nesses tringulos seriamiguais os lados e . Porqu?

a3. Explica por que razo os ngulos e tambm seriam iguais.a4. Mas nesse caso tambm se teria . Vs porqu? Explica o absurdo

a que chegmos!

a5. Se tivssemos considerado que , tambm chegvamos a umabsurdo. Porqu?

a6. Se no pode ser inferior nem superior a , ento a que conclusopodes chegar?

b. Mostra que os tringulos e so iguais.R.: a1.

a2. Como estamos a imaginar que e , ento, pelocritrio LAL, os dois tringulos

e

so iguais, sendo tambm iguais os

lados e [.


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a3. Os dois tringulos e so iguais, logo os ngulos correspondentes e so iguais.a4. Acabmos de ver que . Mas j sabamos desde o incio que , por isso . Isto absurdo porque !Daqui se conclui que a afirmao no pode ser verdadeira.a5. Se poderamos fazer o mesmo raciocnio mas, desta vez,prolongvamos , o que conduziria tambm a um absurdo.Isto quer dizer que a afirmao tambm no pode ser verdadeira.a6. Como no pode ser nem maior nem menor do que , s pode ser igual.c. Como , e , pelo critrio LAL os tringulos soiguais.

2.12 ExemploConsidera um tringulo tal que . Justifica que os ngulos eso iguais.

R.: Basta aplicar o critrio de igualdade de ngulos referido no descritor GM4-2.11,relembrado a propsito do descritor 1.1.

Exemplo*Na figura est representado um tringulo em que os lados e so iguais.

a.Considera o ponto mdio de e une ao ponto . Prova que os tringulos e so iguais.

b.Mostra que os ngulos

e e

so

correspondentes nos dois tringulos (eportanto iguais).

R.: a. J sabemos que . Tambm, como o ponto mdio de , . Como o lado comum aos tringulos e [, pelocritrio LLL, estes tringulos so iguais.b. e , logo os ngulos e so correspondentesnos tringulos iguais e [. Como os ngulos e coincidemrespetivamente com estes ngulos, tambm so iguais.

O reconhecimento da recproca desta propriedade (bem como da recproca da

propriedade enunciada no descritor seguinte, 2.13, pode ser efetuado utilizando umraciocnio pelo absurdo, semelhante ao utilizado no ltimo exemplo de 2.11.Tratando-se de um processo demonstrativo complexo, no ser exigvel generalidade dos alunos.

Exemplo**

Na figura est representado um tringulo em que .Prova que comeando por imaginarque e percorrendo os seguintes passosat chegar a um absurdo:


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a. Vamos comear por supor que, por exemplo, .a1. Prolonga o segmento traando um

segmento de tal forma que ; oque podemos afirmar ento acerca dos ngulos

e ? Porqu?

a2. Completa as seguintes afirmaes:

Como e ento . Mas, em a1 jtnhamos afirmado que .... logo .

a3. Como sabes, o ngulo externo do tringulo , ento podemosafirmar que = ...... + ....... .

a4. De a3podes concluir que mas em a2 j tinhas concludo que Que concluso tiras?

b. Imagina agora que . Seguindo um raciocnio anlogo ao utilizado em a.a que concluso chegarias? Porqu?

c. O que podemos ento concluir acerca de e ?R.: a1. porque, num tringulo, a lados iguais opem-se ngulos iguais.

a2. Como e ento . Mas, em a1 jtnhamos afirmado que , logo .

a3. = .a4. De a3 podes concluir que , mas em a2 j tinhas concludo que A concluso que tiramos que chegmos a um absurdo, logo ahiptese que colocmos no incio falsa, ou seja, no verdade que .b. Chegaria tambm a um absurdo, porque se pode usar um raciocnio anlogo,

supondo que e completando com um segmento de modo aobter um segmento igual a .c. Se falso que e que , ento .

2.13 ExemploNa figura seguinte esto representados dois tringulos e tais que , e .

a.Justifica que os tringulos soiguais.

b. Identifica os pares de ngulosiguais, referindo o critrio deigualdade de ngulos.

No exemplo anterior so indicados explicitamente trs pares de lados iguais quedeterminam a igualdade dos dois tringulos; se soubssemos que os tringulos soiguais mas indicssemos apenas dois lados iguais, um em cada tringulo, tambmseria fcil concluir que so iguais os ngulos opostos a esses lados nos dois tringulos(cf. o Texto Complementar de Geometria). A justificao, no caso geral, da igualdadedos lados opostos a ngulos iguais em tringulos iguais encontra-se tratada no TextoComplementar de Geometria e poder ser reconhecida de modo mais informal pelos

alunos.


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2.16 ExemploConsidera um paralelogramo tal que e a. Determina e .b.Justifica que os tringulos e

so iguais.c. Justifica que .Exemplo*Considera um paralelogramo .

Justifica que:

a. ;b. ;c. os tringulos e so iguais;d. e .

R.:a. porque so ngulos alternos internos determinados pela secante

no par de retas paralelas e .b. porque so ngulos alternos internos determinados pela secante

no par de retas paralelas e .c. Como comum aos dois tringulos e tendo em conta que e

, ento, pelo critrio ALA de igualdade de tringulos, ostringulos e so iguais.

d. porquee se opem, respetivamente, aos ngulos e que so iguais em tringulos iguais. Da mesma forma se justifica que pois e opem-se, respetivamente, a e.

2.20 ExemploConsidera o segmento de reta e um ponto que no pertence reta. Sabendo que e so perpendiculares, responde squestes que se seguem.a. Como denominas o ponto

relativamente s retas e?b. *Compara com e justifica as tuas

concluses.c. *Explica por que razo

o ponto da reta

menor distncia de

.

R.:a. O ponto diz-se o p da perpendicular traada do ponto para a reta.b. O tringulo retngulo em , logo os dois ngulos internos restantes so

agudos (2.3). Assim, neste tringulo, o ngulo de vrtice o maior ngulointerno. O lado oposto portanto o maior lado do tringulo (2.15), pelo que

.c. O raciocnio efetuado com o ponto , na alnea anterior, pode ser repetido para

qualquer ponto da reta distinto de .


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2.22 Exemplo*Considera duas retas paralelas e e, no mesmo

plano, um par de retas e perpendiculares reta tal como se representa na figura junta.a. *Justifica que paralela a .b. *Justifica que e so perpendiculares a .c. Justifica que d. Se for um ponto da reta que no coincida

com , compara os comprimentos de com e justifica a tua concluso.

R.: a. Atendendo a que as retas e so perpendiculares reta e portanto, emparticular, formam ngulos correspondentes iguais (ambos retos) com ,conclumos que e so paralelas.(1.11)

b. Sabemos que e so perpendiculares reta , ou seja, determinam com elangulos retos; como e so paralelas, os ngulos correspondentes quetanto como determinam em e so iguais, sendo portanto todos retos,pelo que e so tambm perpendiculares a .

c. Atendendo hiptese ( e so paralelas) e alnea a., umparalelogramo, logo os lados opostos so iguais pelo que .

d. pois, a partir de 2.20, a distncia de ao p da perpendiculartraada de para a reta inferior distncia de a qualquer outro ponto dareta .

No exemplo anterior provou-se que, dadas duas retas paralelas num plano, qualquerperpendicular a uma delas no mesmo plano perpendicular outra e so iguais asdistncias entre dois quaisquer pontos, um em cada reta, que determinem uma

perpendicular a uma (e portanto s duas retas), sendo essa a distncia mnima entreum ponto de uma reta e um ponto de outra. Esta propriedade justifica a coernciada definio de distncia entre duas retas paralelas atravs do comprimento dequalquer segmento unindo as retas e a elas perpendicular.

3.1 Exemplo (1.7)Na figura esto representadas as retas e que se intersetam no ponto ,definindo quatro ngulos convexos. Sabendo que , determina asamplitudes representadas por e e justifica o resultado obtido.

Exemplo (1.11)Tendo em conta os dados da figura,responde s questes que se seguem.

a. As retas e so paralelas?Justifica.

b. As retas e so paralelas?Justifica.


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Exemplo (1.7, 1.11 e 1.13 a 1.15)Na figura esto representados dois pares de retas paralelas.a. Indica um par de ngulos que sejam:

a1. alternos internos;

a2. correspondentes;a3. verticalmente opostos;a4. de lados dois a dois inversamente

paralelos;a5. de lados dois a dois diretamente

paralelos.b. Sabendo que , determina,

justificando, a amplitude dos ngulos , e .

Exemplo (2.2)

Tendo em conta a figura junta emque e ,determina a medida da amplitudede cada um dos ngulos internosdo tringulo e justifica.Exemplo (2.2)Dois dos ngulos de um tringulo so iguais e o terceiro mede de amplitude.Quanto mede a amplitude de cada um dos outros ngulos?

Exemplo (2.5)Sabendo que, na figura junta, e determina .

Exemplo* (2.2 ou2.5)Constri um tringulo em que , sabendo que os ngulos externosem e medem respetivamente e

Exemplo (2.7)Tendo em conta a figura junta em que se representa um paralelogramo e um ponto do segmento , determina e , sabendo que


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Exemplo* (2.11)Na figura, os segmentos e so paralelos eiguais e o ponto de interseo dos segmentos e .a. Justifica que e que .b. Justifica que os tringulos e soiguais.

Exemplo* (2.12)a. Justifica que um tringulo equiltero tem os ngulos todos iguais.b. Constri um ngulo de amplitude sem utilizares um transferidor.Exemplo* (2.12; 2.13)Na figura junta est representado um tringulo e trs segmentos de reta iguais e tais que a.Justifica que os trs tringulos

e so iguais e que o tringulo equiltero.b. Determina as amplitudes dos ngulos

internos de cada um dos tringulos em queest decomposto o tringulo

Exemplo (1.7, 2.2, 2.12)Tendo em conta os dados da figura eque o ponto de interseo dossegmentos e , determina amedida da amplitude dos

ngulos e

4.14.2

Dada uma unidade de comprimento, pretende-se justificar a frmula que permitecalcular a rea de um retngulo tomando para unidade de rea um quadrado delados de comprimento igual unidade (quadrado unitrio). Nos dois primeirosexemplos abaixo comea-se por abordar o caso em que os lados do retngulo tmmedidas de comprimento expressas por fraes unitrias e em seguida por fraesprprias. No terceiro exemplo consideram-se tambm medidas expressas porfraes imprprias.

ExemploConsidera que os lados do quadrado unitrio representado junto esto divididosem e partes iguais respetivamente.a. Determina o nmero de retngulos em que

ficou dividido o quadrado unitrio, sem oscontar, e conclui qual a medida da rea decada um deles.

b. Determina a medida dos comprimentos dedois lados consecutivos do retngulo

c. Justifica por que razo a medida da rea do retngulo pode ser obtidacomo produto das medidas dos comprimentos de dois lados consecutivos.


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d. Indica a medida da rea do retngulo , comeando por exprimir osrespetivos lados como frao unitria e utilizando processos idnticos aos dasalneas anteriores.

e. Indica duas fraes que exprimam as medidas dos comprimentos dos lados doretngulo e determina o nmero de retngulos iguais a em queest decomposto, relacionando este ltimo nmero com os numeradores dasfraes indicadas.

f. Calcula a rea do retngulo , justificando por que razo pode ser obtidacomo produto das medidas dos comprimentos de dois lados consecutivos.

ExemploConsidera o retngulo representado junto e asrespetivas dimenses numa dada unidade.a. Constri um quadrado de lado unitrio decomposto

em retngulos iguais a e relaciona o nmerode retngulos com a rea de cada um deles.

b.

Determina a rea do retngulo, justificando oresultado obtido.

Exemplo **Considera o retngulo representado junto e asrespetivas dimenses numa dada unidade.a. Completa a figura representada, construindo

um quadrado unitrio e justifica oprocedimento.

b. Calcula a medida da rea de emunidades quadradas (sem utilizar diretamente

a frmula, ou seja, apenas a partir dadefinio de medida nessa unidade de rea) econclui como se poderia obter essa medida derea com uma simples operao sobre asmedidas de comprimento dos lados.

R.: a.

O lado foi dividido em partes iguais para se obter um segmento de reta decomprimento

. Da mesma forma, o lado foi dividido em partes iguais para

se obter um segmento de reta de comprimento

.

b. Observando a figura da direita, verifica-se que o quadrado de lado unitrio econsequentemente de rea unitria est dividido em retngulos todos


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iguais, ou seja, com a mesma rea. Cada um desses retngulos ter, portanto,

unidades de rea. Como o retngulo formado por dessesretngulos, ento a sua rea ser igual a

de uma unidade

quadrada. Ou seja, a medida da rea do retngulo em unidades quadradas igualao produto das medidas de comprimento de dois lados consecutivos.

4.5 O aluno deve, em casos concretos,identificar um retngulo equivalente aoparalelogramo dado e com base e alturarespetivamente iguais s deste para

justificar que a medida da rea doparalelogramo igual ao produto damedida da base pela da altura, tal comoacontece com a rea do retngulo.

Exemplo*Na figura junta esto representados um

paralelogramo e um retngulo. Prova que tm a mesma rea,e bases e alturas respetivamente iguais.

R.: Sabemos que por serem lados opostos de um paralelogramo (2.16) e,pela mesma razo, e que os ngulos e so iguais pois tm oslados diretamente paralelos (1.14), pelo que os tringulos e so iguais(caso LAL), logo as reas tambm so iguais.Assim, Observa-se ainda que, como pois so lados opostos a ngulos iguais emtringulos iguais, ento , pelo que a rea doparalelogramo igual ao produto da base pela altura:

.

Exemplo*Na figura est representado um

paralelogramo . Prolongando umpouco o lado de modo a que asperpendiculares traadas de e para abase o intersetem, obtm-se dois pontos e, sendo a interseo de com .Prova que a rea do paralelogramo igual rea do retngulo eque , percorrendo os seguintes passos:a. Prova que os tringulos e so iguais.b. Conclui da alnea anterior que os quadrilteros e so

equivalentes.c. Conclui que a rea do paralelogramo igual rea do retngulo

, e justifica a igualdade .d. Conclui que a rea do paralelogramo igual ao produto da medida da base pela

altura.


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R.:a. Sabemos que por serem lados opostos de um paralelogramo (2.16) e,pela mesma razo, e que os ngulos e so iguais pois tm oslados diretamente paralelos (1.14), pelo que os tringulos e so iguais(caso LAL), logo as reas tambm so iguais.

b. As reas do quadrilteros e so iguais uma vez que a soma decada uma delas com a rea do tringulo igual rea (comum) dostringulos e .c. Tem-se .Por outro lado, uma vez que e so paralelogramos.d. A rea do retngulo igual ao produto de por . Como e so respetivamente uma base e a altura correspondente do paralelogramo eeste paralelogramo equivalente a , conclui-se que a rea doparalelogramo igual ao produto da base pela altura.

4.6 Exemplo

Na figura est representado um tringulo retngulo em . Justifica que a rea do tringulo metade da rea de um retngulo com a mesmabase e altura do tringulo seguindo os seguintes

passos:a. Constri o retngulo e justifica que a

hipotenusa do tringulo divide o retngulo em dois tringulos iguais e, como tal,com a mesma rea.

b. Compara a rea do retngulo com a do tringulo Exemplo*

Na figura est representado um tringuloacutngulo Justifica que a rea do tringulo metade da rea de um retngulo com a mesmabase e altura do tringulo seguindo os seguintes

passos:

a. Traa a altura relativa ao vrtice e designapor D o p da perpendicular.

b. Constri os retngulos e Justifica que cada um destesretngulos dividido pela respetiva diagonal em dois tringulos iguais e, comotal, com a mesma rea.

c.

Compara a rea do retngulo com a do tringulo O exemplo seguinte constitui um argumento geral, no sendo necessrio que o pda perpendicular traada de para a reta pertena ao segmento de reta

Exemplo*Justifica que a rea de um tringulo igual a metade da rea de um paralelogramocom a mesma base e altura que o tringulo percorrendo os seguintes passos:a. Desenha um tringulo qualquer. Pelo ponto traa uma reta paralela

a e pelo ponto traa uma reta paralela a . Designa o ponto deinterseo das duas retas por e verifica que obtns um paralelogramo.

b. Traa a altura relativa base e designa o ponto de interseo da alturacom a reta suporte dabase por.


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c. Escreve uma expresso que permita obter a rea do paralelogramo.d. Prova que a diagonal do paralelogramo o divide em dois tringulos

iguais.e.Justifica que a rea do tringulo metade da rea do

paralelogramo e escreve uma expresso que permita obter a rea dotringulo a partir do comprimento de uma base e correspondente altura.

R.: a. e b. Traando por uma reta paralelaa e por uma reta paralela a,obtm-se o ponto interseo dasduas retas e um paralelogramo com a mesma base e alturado tringulo dado.

c. A rea do paralelogramo pode ser dada por .d. Este paralelogramo fica decomposto, pela diagonal em dois tringulos

iguais (caso ) sendo um deles o inicial. De facto, como umparalelogramo, os pares de lados opostos so iguais e

um lado comum

aos dois tringulos.e. Por fim, conclui-se que a medida da rea do tringulo metade da

medida da rea do paralelogramo e, portanto, igual a

.

5.1 Os problemas a propor aos alunos devem ter vrios nveis de dificuldade, sendo omais elementar o que consiste em determinar a rea de um paralelogramo ou de umtringulo aplicando a frmula da respetiva rea a partir das medidas da base e daaltura a ela relativa. Os alunos devem tambm saber determinar a rea de figurasque resultem da composio de tringulos e/ou paralelogramos cujas dimenses so

dadas ou que podem ser obtidas a partir dos dados fornecidos, nomeadamenterelativos ao permetro da figura, e ainda saber construir tringulos e paralelogramossendo conhecidas as medidas da rea e da altura ou da base.

Exemplo (4.6)Sabendo que a rea do paralelogramo igual a cm2, determina a rea do tringulo e justifica.

Exemplo (4.4 e 4.6)

Na figura esto representados um quadrado de rea e um tringulo .Sabendo que , determina a reado tringulo .

Exemplo* (4.5 e 4.6)Considera um retngulo e, em cada um dos seus lados, o respetivo pontomdio. Prova que a rea do quadriltero cujos vrtices so os pontos mdios assimobtidos metade da rea do retngulo inicial.


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6.16.2

ExemploTomando o ngulo por unidade demedida de amplitude e sabendo que estdividido em quatro ngulos iguais,representados na figura, indica a medida da

amplitude dos ngulos e .R.: A medida de igual a e a medidada amplitude do ngulo igual a .

Exemplo*Considerando a figura do exemplo anterior e tomando o ngulo por unidade demedida de amplitude, determina a medida da amplitude dos ngulos e .

7.1 Neste descritor incluem-se todo o tipo de problemas que envolvam a determinao

da medida de amplitude de ngulos com e sem aplicao das propriedadesidentificadas nos descritores relativos ao domnio GM5.

Exemplo * (2.2, 2.5, 2.12)Na figura est representado um tringulo equiltero e um tringulo issceles.a. Determina a medida da amplitude

dos ngulos e b. Classifica o tringulo

quanto aos ngulos e justifica.

Exemplo (2.2)Determina a medida da amplitude dongulo em graus e minutos tendoem conta os dados da figura.

Exemplo (1.5)Determina a medida da amplitude de um ngulo em graus e minutos, sabendo que suplementar de um ngulo de amplitude .


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Caderno de Apoio ALG5 Pgina 27

lgebra ALG5


1.4 At ao presente momento, o trao de frao foi utilizado apenas para separar o

numerador e o denominador de uma frao.No descritor NO4-5.4 verificou-se que, dados dois nmeros naturais e , se tem , ou seja, a frao

coincide com o quociente resultante da diviso de

por , resultado que pode aqui ser recordado. Em continuidade, e tendo-se jdefinido o quociente de dois nmeros racionais positivos, estende-se aqui a notao para designar o quociente .

1.51.6

Os alunos podero reconhecer estas propriedades em exemplos concretos,utilizando, em particular, os resultados indicados nos descritores NO5-1.6 e NO5-1.7, em conjunto com os quais podem ser trabalhadas.

Exemplo

a. Calcula o produto e deduz o valor do inverso de e do inverso de .b. O que entendes pelo quociente de 1 por ? Conclui que se pode escrever o

inverso de como o quociente de por um nmero.

c. Atendendo ao que respondeste na alnea b. e ao que sabes acerca da diviso deduas fraes escreve o inverso de

como uma frao.

d. Completa as seguintes igualdades utilizando nmeros naturais:

[ ]

.

e. *Observando as igualdades anteriores, conjetura como se pode calcular oquociente de dois nmeros racionais atravs de um produto.

R.: a. Por definio, o inverso de

e o inverso de

.

b. Por definio, o quociente o nmero pelo qual se deve multiplicar

para se obter (

)

Assim, o inverso de igual a

.

c. Temos .d.

;

dividir por o mesmo que multiplicar pelo inverso de

.

e. Dividir por um nmero o mesmo do que multiplicar pelo respetivo inverso.

De modo mais geral, dado um nmero racional , tem-se .( o nmero pelo qual se deve multiplicar para obter , descritor NO4-5.3 )Desta forma, por definio, o inverso de igual a , ou, com a notaointroduzida em 1.4,

. O que se fez na alnea d. do exemplo tambm se pode

estender a qualquer racional, ou seja, dividir por o mesmo que multiplicar peloinverso de , ou seja, por .


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1.71.81.9

Estas propriedades constituem generalizaes dos resultados apresentados nosdescritores NO5-1.6 e NO5-1.7, justificando-se assim, em particular, o uso do traode frao para designar o quociente de dois nmeros racionais.

Exemplo

a. Mostra que e conclui que o inverso do produto igual aoproduto dos inversos.

b. *Calcula

,

e

e conclui que o inverso do primeiro quociente igual ao

quociente dos inversos.

c. ** Mostra que

, onde , , e so nmeros naturais.

d. Se na alnea anterior for , , e , qual o resultado doproduto? O que concluis quanto ao inverso do quociente entre

e

?

e. Transforma

num produto de dois quocientes e em seguida num quociente de

dois produtos.

R.:

a. portanto o inverso de pois oproduto dos dois nmeros igual a

. Como

o inverso de

e

o inverso de

, conclumos, neste caso, que o inverso do produto igual ao produto dosinversos.

b. Dividir por um nmero racional o mesmo do que multiplicar pelo seu inverso:

Conclumos, neste caso, que o inverso do quociente (2 linha) igual ao quocientedos inversos (3 linha).c.

(Dividir por um nmero o mesmo do que multiplicar pelo seu inverso.)


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(O produto dos inversos o inverso do produto.)

(Multiplicar pelo inverso de um nmero o mesmo do que dividir por esse nmero.)

d.

Conclumos que o inverso do quociente entre

e

igual ao quociente entre

e.

e.

Note-se que, da propriedade expressa em 1.8, resulta, em particular, que se podemsimplificar quocientes de racionais cortando fatores comuns ao dividendo e aodivisor, analogamente ao que era j conhecido para fraes.

Exemplo:Simplifica o quociente:

R.:


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Caderno de Apoio OTD5 Pgina 30

Organizao e tratamento de dados OTD5


1.2 ExemploConsidera o referencial cartesiano apresentado abaixo.a. Qual dos pontos A e B tem maior valor de ordenada?b. Indica as coordenadas dos pontos A e B.

1.3 ExemploConstri, no referencial cartesiano ortogonal apresentado, o grfico correspondenteaos valores da seguinte tabela.

Ponto X Y

A 2 2

B 3 0

C 5 1D 6 6

E 8 5

2.1 ExemploSabendo que foram recolhidos 50 dados sobre a modalidade desportiva favorita,completa a tabela.

Exemplo**Cento e vinte e cinco alunos do 5. ano responderam ao seguinte inqurito:

A associao de estudantes est a organizar clubes de atividades extracurriculares.Dos clubes apresentados seleciona um e apenas um ao qual gostarias de pertencer.

Clube de Matemtica Clube de Ambiente

Clube de Jornalismo Clube de Desporto

Andebol Basquetebol Ciclismo Equitao Futebol Natao Voleibol

6 10 7 14 6 4

abcissas

ordenadas

X

Y


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Caderno de Apoio OTD5 Pgina 31

Um elemento da associao de estudantes estava a organizar os dados numa tabelade frequncias absolutas e relativas, mas deixou-a incompleta.Preenche os valores em falta.

Clubes Frequncia absoluta Frequncia relativa

Matemtica 15,2%

Ambiente 50 40%

Jornalismo 16%

Desporto

Total 125

4.1 ExemploO Pedro tem 10 anos e os seus familiares tm as seguintes idades:

av: 65; pai: 41; me: 40; irmo: 7.Calcula a mdia das idades dos membros da famlia do Pedro.

ExemploA Beatriz, nos trs primeiros testes de Matemtica, teve as seguintes classificaes:50%, 52% e 58%.a. Calcula a mdia das classificaes dos testes da Beatriz.b. Sabendo que no primeiro perodo se realiza apenas mais um teste, calcula o valor

mximo que a mdia da Beatriz pode atingir.c. *Supondo que a professora no vai ter em conta a pior das quatro classificaes,

calcula o valor mximo e o valor mnimo que a mdia da Beatriz pode atingir.

Exemplo*Completa a seguinte lista com um nmero de 1 a 5, de tal forma que exista uma nicamoda superior a 2

5, 4, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 1, 5, 5, 3, 2, 4, 2.


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6. ANO

Nmeros e Operaes NO6


2.52.62.72.82.92.10

Estes descritores indicam como se devem ordenar dois nmeros racionais

representados na reta numrica. Por definio se o ponto (de abcissa )pertencer semirreta de sentido positivo associada a (de abcissa ), ou seja, se tiver o mesmo sentido do que a semirreta dos nmeros positivos. Esta condiosignifica que contm essa semirreta ou est nela contida; examinado as trspossibilidades para a posio da origem relativamente ao pontos e conclui-seque, numa representao usual da reta numrica, esta propriedade equivalente a

que esteja situado entre e a ponta da seta que indica o sentido positivo.

No caso em que a reta numrica representada com o sentido da esquerda para a

direita os alunos podero limitar-se a reconhecer, de forma mais informal, que

se A est direita de B.

ExemploNa figura junta est representada a reta numrica e nela esto marcados quatro

pontos e de abcissas, respetivamente, e .

Completa com os sinais e cada uma das expresses seguintes de forma a seremverdadeiras:

a. ..... b. ..... c. ..... d. ..... e. .....

Exemplo*Completa as seguintes afirmaes colocando um dos seguintes sinais , ou .a. Sendo , e , ento .b. Sendo , e , ento .c. Sendo , e , ento .d. Sendo , e , ento .e. Sendo , ento .f. Sendo e ento .g. Sendo e ento .


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ExemploCompleta as seguintes afirmaes colocando um dos seguintes sinais ou .a. .... b. .... c.

....

d. .... e. .... f. ....

3.13.23.3

A introduo de segmentos de reta orientados referida nos descritores 3.1 e 3.2

com vista definio de soma de dois nmeros racionais utilizando a reta numrica

e posterior interpretao geomtrica tambm da diferena de dois destes

nmeros.

No descritor 3.3 estende-se a definio de adio de racionais no negativos (NO3-

10.1 e NO3-10.2) a todos os racionais, estabelecendo que:

para dois nmeros racionais no nulos e , representados pelos pontose da reta numrica, se identifica como a abcissa da outraextremidade do segmento orientado de origem em e de comprimento eorientao de .

Exemplo em que

,

e

Exemplo em que , e

para um nmero racional no nulo e nulo, se identifica como aabcissa de.

Pode comear-se por considerar exemplos que apenas envolvam nmeros inteiros.

No caso dos nmeros racionais no necessariamente inteiros poder utilizar-se uma

reta numrica munida de escala apropriada ou inserida de forma conveniente num

quadriculado, tal como se sugeriu no 1. ciclo a propsito das operaes com

nmeros racionais positivos (cf. Caderno de Apoio NO2-11.1,11.2 e NO3-

12.1,12.2,12.3).


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Exemplo

Constri geometricamente o ponto que representa na reta numrica a soma dos

nmeros racionais:

a. e R.:

b. e

R.:

c.

e

R.:

d. e

R.:

Como fica patente na figura, a soma + pode ser traduzida por uma frao

de denominador 6, ou seja, +

.

Para dividir a unidade em seis partes iguais, basta dividi-la em trs partes iguais

(teros) e depois cada tero em duas partes iguais (dois sextos). Ento se marcarmos

na reta numrica pontos a distncias da origem mltiplas de , cada um dos

nmeros

e

fica representado por um desses pontos. A respetiva soma,

obtida por justaposio de segmentos de comprimento, pode portanto ser

representada por uma frao de denominador 6.

e. e

R.:


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Exemplo*a. Considera o nmero racional positivo representado na reta numrica.

Representa na reta numrica a soma de 3 com b:

R.:

b. Considera o nmero racional positivo representado na reta numrica.

Representa na reta numrica as seguintes somas:

b1. R.:

b2. R.:

3.43.5

Estas duas propriedades, depois de reconhecidas geometricamente, sofundamentais para fornecer um mtodo algbrico que permita, no 2. ciclo, oclculo da soma e da diferena de dois nmeros racionais.

Note-se que as frmulas fornecidas nos descritores NO5-1.4 e NO5-1.5

e

s no 3. ciclo podero ser generalizadas ao caso em que , , e so nmerosinteiros quaisquer, uma vez que ento que se definem quocientes envolvendo

nmeros negativos.Assim, para calcular a soma de dois nmeros racionais de sinais contrrios, por

exemplo

, os alunos podero:

reduzir ao mesmo denominador o valor absoluto de ambas as fraes, o quepermitir em particular compar-los:

:

aplicar a propriedade enunciada neste descritor e concluir o clculo:Como

,


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Tal como se referiu mais acima, no se poder, a este nvel, escrever

uma vez que o quociente

no se encontra sequer definido.

Para adicionar dois nmeros racionais com o mesmo sinal, o processo maissimples uma vez que no necessrio efetuar qualquer comparao. Por exemplo,para calcular

, bastar fazer

.

4.1 A diferena definida como o nmero racional cuja soma com igual a ,ou seja, tal que

, ou, em alternativa,

. Utilizando

esta segunda formulao, os alunos podem considerar o segmento orientado de

origem (de abcissa ) e extremidade (de abcissa ) e representar um segmentoorientado de origem em mas com a mesma orientao e comprimento de Asua extremidade ser o ponto de abcissa .

Exemplo em que e

Exemplo em que e

Exemplo em que

ExemploConstri geometricamente os pontos que representam, na reta numrica, asseguintes diferenas:

a. R.:


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b. R.:

c. R.:

d.

R.:

Observao

Como foi referido, possvel entender como o nmero racional a que se deveadicionar para obter , ou seja, tal que . Nesse sentido, pararepresentar na reta numrica o nmero racional , podemos fazer coincidir aextremidade de um segmento orientado com o comprimento e orientao de em e ver em que ponto fica a origem, a qual representa exatamente a diferena,

j que, por esta construo, a soma do valor obtido com

igual a

.

Exemplo em que

ExemploConstri geometricamente o ponto que representa na reta numrica a diferenaentre os nmeros racionais e .R.:

Exemplo*Considera nmero racional negativo representado na reta numrica.

Representa na reta numrica

.


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R.:

Ou, utilizando a observao, para representar devemos fazer coincidir a

extremidade de um segmento orientado com o comprimento e orientao de (sendo o ponto de abcissa ) no ponto de abcissa e ver em que ponto fica aorigem, a qual representa exatamente a diferena.

Exemplo**

Considera dois nmeros racionais e . Representa geometricamente paradiferentes valores de e e enuncia uma regra que preveja o sinal da diferena apartir dos valores de e .

4.24.34.4

Dados dois nmeros racionais e , pode verificar-se geometricamente que igual soma de com o simtrico de , ou seja, que . Utiliza-se,na representao de , a interpretao considerada na observao feita napgina anterior.

Exemplo*

Representa geometricamente os pontos que representam na reta numrica

e e explica por que razo correspondem ao mesmo ponto.

R.:

Os segmentos orientados que unem o ponto de abcissa 3 ao ponto que representa o

resultado de cada uma das operaes tm o mesmo comprimento, j que

correspondem a nmeros simtricos um do outro. Como os segmentos orientados

tm orientaes simtricas e, num dos casos, o ponto de abcissa a origem e, nooutro, a extremidade, esses resultados correspondem ao mesmo ponto da reta

numrica.


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Note-se que utilizando as consideraes feitas em 3.4 e 3.5, o descritor 4.2 forneceum mtodo prtico para o clculo da diferena de dois quaisquer nmeros racionais,por converso numa soma.

Por exemplo, para calcular

, os alunos podem considerar que se trata da soma

e concluir o clculo tal como indicado a propsito dos descritores 3.4 e 3.5:

(porque

)

.

4.54.6

Podemos reconhecer geometricamente que a medida da distncia entre dois pontos

de abcissa e igual ao mdulo da respetiva diferena.

Na primeira figura esto representados dois pontos de abcissa e , com e osegmento de reta (a vermelho) cujo comprimento igual distncia entre ospontos.

Esta distncia igual distncia da origem ao ponto que representa

e distncia da origem ao ponto que representa .

Por definio de mdulo, as medidas destas duas distncias so dadasrespetivamente por e , sendo ambas iguais distncia entre ospontos de abcissas

e

.


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Geometria e Medida GM6


1.4 Exemplo*

Na figura junta est representada umacircunferncia de centro e a reta

perpendicular ao raio em.a. Considera um ponto qualquer da reta

distinto de. Justifica que .b.Justifica que um ponto exterior ao crculo

de centro e raio c. Justifica que o nico ponto em que a reta

interseta o crculo.

1.7 Exemplo*

Na figura est representado um pentgonoregular inscrito na circunferncia de centro O ponto o p da perpendicular tirada de O

para e o ponto o p da perpendiculartirada de O para a.Justifica que .b.Justifica que os tringulos e so

iguais, assim como os ngulos e .c. Justifica que so iguais os ngulos e

.d. Utiliza o caso ALA de igualdade de tringulos

para justificar que os tringulos e so iguais e que .e.Justifica que os aptemas de um dado polgono regular so todos iguais.

Exemplo*Na figura est representado um pentgonoregular inscrito na circunferncia de centro O ponto o p da perpendicular tirada de

para e o ponto o p da perpendiculartirada de

para

a.Justifica que .b.Justifica que os tringulos e tm reas iguais.

c. Tendo em conta o resultado da alneaanterior, justifica que os aptemas de umdado polgono regular so todos iguais.

3.1 ExemploImagina um prisma e uma pirmide cujas bases so polgonos com 100 lados. Indica onmero de arestas laterais e totais do prisma e da pirmide e explica o teu raciocnio.


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3.2 Exemplo*a. Indica uma expresso que permita determinar o nmero de vrtices de um prisma

dado o nmero de lados da base e explica o teu raciocnio.b. Indica uma expresso que permita determinar o nmero de vrtices de uma

pirmide dado o nmero de lados da base e explica o teu raciocnio.

3.4. ExemploNa figura est representado um octaedro. Indica onmero de faces, arestas e vrtices e verifica avalidade da relao de Euler.

Exemplo*

Considera um prisma e uma pirmide em que o polgono da base tem vrtices.a. Indica quantas arestas e quantas faces tm o prisma e a pirmide e explica o teuraciocnio.

b. Soma o nmero de faces com o nmero de vrtices em cada um dos poliedros ecompara com o respetivo nmero de arestas. O que concluis?

4.1 Exemplo (3.1,3.2)Considera a figura junta onde esto representados um prisma triangular e uma

pirmide quadrangular.a. Indica o nmero de

arestas e de vrtices de

cada um dos slidos.b. Indica que relao existe

entre o nmero dearestas do prisma e onmero de arestas darespetiva base.

c. Indica que relao existe entre o nmero total de vrtices da pirmide e o nmerode vrtices da respetiva base.

Exemplo* (3.1,3.2)

Um prisma e uma pirmide tm ambos arestas.a. Quantas faces laterais tem o prisma?b. Quantos vrtices tem o mesmo prisma?c. Quantas faces laterais tem a pirmide?

Exemplo** (3.1,3.2)Uma pirmide tem o mesmo nmero de arestas de um prisma.

a. D exemplos de vrias pirmides e prismas com esta propriedade.b. Qual o menor nmero de lados que pode ter o polgono da base de cada um

deles?


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Exemplo (3.4)Considera a figura junta onde estorepresentados um prisma triangular e uma

pirmide quadrangular.a. Completa a tabela junta.

FACESF

VRTICESV

ARESTASA

F+V

b. Que relao existe entre o nmero de arestas e a soma do nmero de facescom o nmero de vrtices?

5.4 ExemploNa figura ao lado est representado um heptgono

regular inscrito numa circunferncia e dividido emtringulo issceles. Construindo um paralelogramocom estes tringulos aos quais se juntou um, obtm-se a figura junta.

a. Constri, a partir do paralelogramo, um retngulo que tenha rea igual doheptgono sendo um dos lados igual ao semipermetro e outro igual ao aptemado heptgono. (Sugesto: Decompe os tringulos das extremidades em doistringulos iguais, traando as respetivas alturas, iguais ao aptema doheptgono.)

b. Conclui que a rea do heptgono igual ao produto do semipermetro peloaptema.

5.5 ExemploNa figura ao lado est representado um

polgono regular de lados inscrito numacircunferncia de centro raio cm.a. Considerando que o permetro do polgono

aproximadamente igual ao permetro docrculo e que o aptema do polgono aproximadamente igual ao raio do crculo,determina uma expresso para um valoraproximado da rea do polgonoenvolvendo apenas e .

b. Considera que, na alnea a., em vez de umpolgono de lados tnhamos utilizado umpolgono regular com lados, substituindo cadalado do polgono anterior por dois como descritona figura ao lado.


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b1. Pensas que o valor obtido em a. uma melhor aproximao da rea dopolgono de lados ou do polgono de lados? Porqu?b2. E o permetro e o raio do crculo parecem melhores aproximaesrespetivamente do permetro e do aptema do polgono de lados ou de lados?

c. Que frmula deduzes para a rea do crculo supondo que pode ser confundido comum polgono regular nele inscrito com um nmero suficientemente grande delados?

6.1 Exemplo (5.1)Na figura est representado um heptgono regularinscrito numa circunferncia. Sabe-se que o lado doheptgono mede .a. Calcula o respetivo permetro.b. Tomando o permetro do heptgono como valor

aproximado do permetro do crculo, determina

um valor aproximado do raio da circunferncia.

Exemplo*Na figura est representado um hexgono regularinscrito numa circunferncia de centro e raio .

a. Decompe o hexgono em tringulos em que umdos vrtices e o lado oposto um dos ladosdo polgono.

b. Mostra que e determina a amplitudedos ngulos e.

c. Como classificas esses tringulos quanto aos lados? Justifica.d. Supondo que a altura do tringulo mede aproximadamente 1,7 cm,determina valores aproximados da rea do tringulo e do hexgono

.Exemplo* (1.3, 1.6, 5.1, 5.4, 5.5)Na figura junta esto representados dois hexgonos regulares, um inscrito e o outrocircunscrito a uma dada circunferncia.Sabe-se que o raio da circunferncia mede

cm. Sabe-se tambm que e , aproximadamente.a. Determina um valor aproximado da rea

do hexgono inscrito na circunfernciacomeando por calcular um valoraproximado da rea do tringuloequiltero

b. Determina um valor aproximado da reado hexgono circunscrito circunferncia comeando por calcularum valor aproximado da rea dotringulo

c. Tendo em conta as alneas anteriores, aproximadamente entre que valores estcompreendida a rea do crculo?

d. Determina a rea do crculo tomando para valor aproximado de ecompara o valor obtido com a concluso da alnea c.


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Exemplo* (1.3,1.6,5.1,5.3)Na figura est representada uma circunferncia de centro O e dois octgonos, uminscrito e outro circunscrito a essa circunferncia.

a. Sabendo que o lado do polgono mede aproximadamente , determina um valor aproximado dorespetivo permetro.

b. Determina o permetro do octgono inscritona circunferncia sabendo que o lado mede .

c. Tomando o permetro do octgono inscritocomo valor aproximado do permetro docrculo, determina um valor aproximado doraio da circunferncia.

d. Tomando o permetro do octgono circunscrito como valor aproximado dopermetro do crculo, determina um valor aproximado do raio do circunferncia.e. Supondo que o raio da circunferncia mede aproximadamente , obtmvalores aproximados por excesso e por defeito de utilizando os resultadosobtidos nas alneas a. e b.

Exemplo (5.5)Na figura est representado um quadrado de rea enele inscrito um crculo. Determina um valor aproximadoda rea da regio sombreada.

7.17.2

ExemploNa figura est representado um cubo cujaaresta mede e que foi dividido em

paraleleppedos retngulos iguais tal como afigura sugere.a. Em quantos paraleleppedos est dividido

o cubo?b. Indica o volume do cubo e de cada um dos

paraleleppedos em que ficou dividido.

c. Quais as dimenses de cada um dosparaleleppedos?

d. Como podes calcular o volume de cadaparaleleppedo a partir das respetivasdimenses?

e. * Sabe-se que os pontos e so vrtices de um paraleleppedo P.e1. Calcula, sem os contar, em quantos paraleleppedos est dividido e determina o

volume deP sem utilizar a frmula.e2. Indica as dimenses de P e explica como se pode calcular o respetivo volume a

partir desses valores.


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7.37.47.5

Exemplo*Na figura est representado um paraleleppedoretngulo de dimenses e decomposto em dois

prismas triangulares.a. Determina o volume do paraleleppedo.b.Admitindo que os dois prismas triangulares soiguais, determina o volume de cada um deles.c. Calcula a rea da base de um dos prismas e do

paraleleppedo.d. Deduz das alneas anteriores uma frmula para o

clculo do volume do prisma conhecida a rea dabase e a altura.

No caso em que o tringulo da base do prisma no retngulo, pode considerar-seem primeiro lugar, um prisma cuja base um paralelogramo que duplica o tringulo eutilizar-se as decomposies conhecidas (GM5-4.5) que o transformam num retngulo

equivalente para obter um paraleleppedo retngulo com o mesmo volume que esseprisma. Deste modo, conclui-se, no caso geral, que a medida do volume de um prismatriangular reto, em unidades cbicas, igual ao produto da medida da rea da base,em unidades quadradas, pela medida da altura.

ExemploConsidera um prisma hexagonal regular decompostoem prismas triangulares regulares tal como ilustra a

figura.a. Sabendo que a rea da base de cada um dos

prismas triangulares mede e que a respetivaaltura mede , determina o volume de cada umdos prismas triangulares.

b. Determina a rea da base do prisma hexagonal.c. Determina o volume do prisma hexagonal de duas

formas: tendo em conta a decomposio emprismas triangulares e utilizando diretamente afrmula.

8.1 ExemploNa figura est representado um paraleleppedoretngulo decomposto em dois prismas triangulares.

a. Sabendo que o volume do paraleleppedo igual a , indica o volume de cada um dos prismastriangulares.

b. Supondo que a altura do paraleleppedo mede , qual a rea da base de cada um dos

prismas triangulares?

Exemplo* (7.6 )Na figura est representado um cilindro de volume igual a .Determina um valor aproximado da altura do cilindro sabendo queo dimetro da base mede


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9.29.3

ExemploConsidera o tringulo representado na figura.a. Constri os transformados e

respetivamente dos pontos e C pela reflexocentral de centro .

b.Justifica que o tringulo obtido em a. igual ao tringulo c. Justifica que a reflexo central de centro em mantm a distncia entre os pontos

e .R.: a. Por definio, o ponto mdio do

segmento . Para construir bastapois marcar na reta o ponto distintode mesma distncia de que. Oponto constri-se de forma anloga. Aimagem de por definio o prprio

, ou seja coincide com .b. Por construo, e .Por outro lado, os ngulos e so verticalmente opostos, logo iguais.Assim, pelo caso LAL, podemos afirmar que os tringulos e soiguais.

c. Os lados e so iguais porque se opem a ngulos iguais emtringulos iguais.

ExemploConsidera o tringulo de vrtices e eum ponto distinto de, e .a.

Constri as imagens de , e pelareflexo central de centro e designa-asrespetivamente por e .

b. Completa as seguintes igualdades,utilizando vrtices do tringulo : ; ;

c. Utilizando o critrio de igualdade de ngulos, completa as seguintes afirmaesutilizando apenas as letras , e :O ngulo igual ao ngulo ........ e o ngulo ...... igual ao ngulo .

9.5

9.7

Exemplo**

Na figura est representado um segmento de reta ,o respetivo ponto mdio e um ponto nopertencente reta, tal que a. Prova que os tringulos e so iguais.b.Justifica que os ngulos e so iguais e

ambos retos.c. Justifica que a reta a mediatriz de .R.: a. Pelo caso LLL, prova-se que os tringulos e so iguais pois, como

ponto mdio de , ento um lado comum aos doistringulos e sabe-se que

.


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b. Os ngulos e opem-se a lados iguais de tringulos iguais, logo so tambm iguais.Como so suplementares, ou seja, a sua soma umngulo raso, so ambos retos.

c. A reta a mediatriz de pois perpendiculara no ponto mdio .

Exemplo**Na figura est representado um segmento de reta e um ponto no colinear com e e que pertence mediatriz de .a. Considera o ponto mdio de Justifica que os

ngulos e so iguais.b.Justifica que os tringulos e so

iguais.

c.Justifica que

R.: a. A mediatriz de um segmento de reta a reta perpendicular ao segmento de retano seu ponto mdio, logo pertence mediatriz. O ponto tambm pertence mediatriz pelo que a mediatriz de e os ngulos e soambos retos, logo iguais.

b. Pelo caso LAL, prova-se que os tringulos e so iguais pois comum aos dois tringulos e

c. porque so lados que se opem a ngulos iguais de tringulos iguais.Exemplo*

Desenha um segmento de reta e constri a respetiva mediatriz utilizando rgua ecompasso. Justifica o procedimento utilizado.

9.10 No se pede para reconhecer que as reflexes axiais preservam as distncias entre

pontos, pelo que, no primeiro exemplo, os alunos podero utilizar este resultado para

concluir o que se pede. No segundo exemplo, correspondente a um nvel de

desempenho elevado, apresenta-se um caminho possvel para provar a propriedade

expressa neste descritor para dois pontos em semiplanos opostos relativamente ao

eixo de reflexo (cf. tambm o Texto Complementar de Geometria).

Exemplo*Na figura junta est representado um

tringulo e uma reta .a. Constri os transformados e

respetivamente, de cada um dosvrtices e do tringulo na reflexoaxial de eixo .

b. Prova que o tringulo igual aotringulo .


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Exemplo**Na figura seguinte, e so perpendiculares a e o ponto a interseo dossegmentos de reta e .

a. Constri os pontos e , imagens respetivasdos pontos e pela reflexo de eixo.

b. Mostra que os tringulos e soiguais e justifica que os ngulos e so iguais, assim como os segmentos e .

c. O que dizer dos tringulos e , dosngulos e e dos lados e ?

d.Justifica que explicando por que que os pontos esto alinhados.

R.: a. Por definio, a reta a mediatriz dosegmento de reta . Logo, para construir basta marcar na reta (por hipteseperpendicular a ) o ponto distinto de mesma distncia de que . O ponto pode serconstrudo de forma anloga.

b. Por construo, pois so ambosretos. e comum aos tringulos e . Ento, pelo caso LAL, estestringulos so iguais. Consequentemente, osngulos e so iguais pois opem-se alados iguais em tringulos iguais.

Finalmente, pois so lados que se opem a ngulos iguais de tringulosiguais.c. Por um raciocnio anlogo ao utilizado na alnea anterior, estes tringulos soiguais assim como os ngulos e os segmentos de reta referidos.d. Os ngulos e so iguais pois so verticalmente opostos, logo os ngulos e tambm so iguais porque e .Tem-se ento que que umngulo raso. Logo, e esto alinhados por esta ordem pelo que .

9.13 Exemplo*

Na figura est representado o ngulo convexo e a respetiva bissetriz.Os pontos e esto mesma distncia de

a. Une os pontos e por um segmentode reta. Prova que os tringulos e so iguais, onde designa ainterseo da bissetriz de com osegmento de reta

b.Justifica que .c. Justifica que perpendicular a d.Justifica que o ponto imagem de pela reflexo de eixo


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9.18 ExemploNa figura, e .Sabe-se que cada um dos pontos, e transformado por uma dada rotao num dos

pontos , ou . Indica qual o transformadode cada um dos pontos , e por essarotao.

10.1 Exemplo (9.5)Na figura est representado um segmento de reta e os pontos e pertencentes mediatriz de

Justifica que os tringulos e so iguais.

Exemplo* (9.2,9.3)Desenha um tringulo qualquer como, por exemplo, o tringulo representadona figura.a. Determina o ponto mdio de um dos

lados, por exemplo, do lado edesigna-o por.

b. Constri o transformado de cada um dosvrtices do tringulo pela reflexocentral de centro e designa a imagemde por.

c. Prova que o quadriltero um paralelogramoExemplo (9.18)Na figura junta est representado um tringuloequiltero .a. Constri as imagens , e dos pontos,

e pela rotao de centro , sentidopositivo e amplitude .

b.Justifica que o tringulo equiltero.

Exemplo*Na figura est representado um quadrilterocncavo e o ponto que o transformadodo ponto por uma rotao de centro em.Desenha a figura no teu caderno e, utilizandocompasso e rgua, determina os transformados dosrestantes vrtices do polgono.


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10.2 Exemplo*a. Indica as simetrias de reflexo e de rotao dos seguintes quatro polgonos:

tringulo equiltero, quadrado e pentgono e hexgono regulares.b. Ser que podes conjeturar uma regra que preveja o nmero de simetrias de

reflexo e de rotao para um polgono regular com lados? Justifica.Nota: Neste exemplo admite-se que a imagem de um polgono o polgono cujosvrtices so as imagens dos vrtices do primeiro. Em rigor, este resultado, emboramuito intuitivo, neste nvel ainda desconhecido dos alunos.

ExemploDesenha uma figura que tenha um centro de simetria mas que no tenha eixo desimetria e justifica.

ExemploNa figura est representado um

tringulo e os seus transformadosem sucessivas rotaes de centro O eamplitude o.a. Identifica o transformado de na

rotao de centro e amplitude:a1) o;a2) o e sentido negativo;a3) 0 e sentido positivo.

b. Descreve as simetrias de rotao queidentificas nesta figura.

ExemploO hexgono representado na

figura regular.a. Indica o nmero de eixos de simetria da

figura.b. Descreve as simetrias de rotao que

identificas nesta figura.


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lgebra ALG6


1.3 Exemplo

a. Mostra que , recorrendo definio de potncia de expoentenatural.b.** Mostra, dados dois nmeros naturais e , que R.:a. Por definio, .

Da mesma forma, .Assim, .

b. designa o produto de n fatores iguais a 3; designa o produto de m fatores iguais a 3:

vezes vezesExistem, pois, no produto , fatores iguais a logo

1.4 Exemploa. Mostra que

, recorrendo definio de potncia de expoente

natural.b.** Mostra, dados dois nmeros naturais e , que R.:a. Por definio,

Existem, assim, fatores iguais a neste produto, de onde se concluique

b. vezes

Subsituindo cada um dos fatores pelo produto de fatores iguais a , vem

vezes vezes vezes vezes

Existem fatores iguais a neste produto, obtendo-se a igualdade


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1.6 Exemplo*Dados dois nmeros racionais e , mostra, utilizando a definio de potncia, que

R.:

Exemplo

Decompe em fatores primos os seguintes nmeros.

a. ;b. ;c.* .R.:

a.

b. c.

1.7 Exemplo

Escreve na forma de potncia o nmero racional.

R.:

Exemplo**

Dados dois nmeros naturais e , com , mostra que

R.: Por definio de potncia,

vezes

vezesExistem mais fatores no numerador, pelo que todos os fatores do denominadorpodem ser eliminados por simplificao. Sobram ento fatores nonumerador:

vezes


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Exemplo**

Dados dois nmeros naturais e , com , mostra que

R.: Por definio de potncia,

vezes

vezesExistem mais fatores no dividendo, pelo que todos os fatores do divisor podem sersimplificados (cf. o texto de apoio a ALG5-1.8 ou, neste caso, por definio dequociente). Sobram ento fatores no dividendo:

vezes

1.8 Exemplo

Utilizando a definio de potncia, escreve o quociente na forma de potncia.

R.:

Exemplo*Utilizando a definio de potncia, escreve o quociente

na forma de potncia.

R.:

Exemplo*

Utilizando a definio de potncia, escreve o quociente na forma de potncia.

R.:

No ltimo exemplo utilizou-se o resultado expresso em ALG5-1.8

4.1 Neste descritor apresenta-se a definio de grandezas diretamente proporcionais.Se e designarem respetivamente as medidas de duas grandezas, a primeiradependendo da segunda, as grandezas em causa dizem-se diretamenteproporcionais se, dado um nmero positivo , a uma medida da segundacorresponder uma medida da primeira.Pode ser extremamente trabalhoso verificar que uma grandeza diretamente

proporcional a outra pela definio. No exemplo seguinte, em que se fornecem trsvalores da grandeza Velocidade Mdia e os correspondentes trs valores da


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grandeza Gasolina Gasta, , em rigor, necessrio efetuar verificaes,correspondentes a todas as passagens possveis entre valores da Velocidade Mdia:em km/h, de para de para , de para e inversamente. Algunsdestes clculos so obviamente redundantes. , no entanto, importante que osalunos apreendam esta definio e o seu significado: se duplicar a velocidade,

duplico a gasolina gasta, se multiplicar por a velocidade, multiplico tambm por a gasolina gasta, etc.Em 4.2 apresenta-se um resultado que permite, na prtica, uma verificao bemmais expedita da proporcionalidade direta entre duas grandezas, por clculo doquociente das respetivas medidas. Por equivalncia, essa propriedade podeeventualmente ser apresentada como definio, embora seja intuitivamente menosesclarecedora quanto ao significado da proporcionalidade direta.

ExemploNo quadro indica-se o consumo efetuado por um veculo que completa um trajeto

fixo a uma dada velocidade mdia.Verifica que o consumo diretamente proporcional velocidade mdia.

Velocidade mdia Gasolina gasta

R.:A km/h, o veculo consome litros.A km/h, o veculo consome litros.Para passar de km/h para km/h, multiplica-se por .Para passar de litros para litros multiplica-se por .(Inversamente, para passar de

para

km/h e de

para

litros, multiplica-se

pelo mesmo coeficiente .)

A km/h, o veculo consome litros.A km/h, o veculo consome litros.Para passar de km/h para km/h, multiplica-se por

.

Para passar de litros para litros, multiplica-se por

(Inversamente, para passar de para km/h e de para litros, multiplica-sepelo mesmo coeficiente

.)

Atendendo definio de proporcionalidade direta, ainda necessrio proceder amais duas verificaes (apesar de poderem ser deduzidas das anteriores):

A km/h, o veculo consome litros.A km/h, o veculo consome litros.Para passar de km/h para km/h, multiplica-se por

.

Para passar de litros para litros, multiplica-se por

(Inversamente, para passar de para km/h e de para litros, multiplica-sepelo mesmo coeficiente

.)

Podemos concluir que, no quadro apresentado, o consumo diretamenteproporcional velocidade mdia.


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4.2 Esta propriedade, por ser equivalente definio fornecida no descritor anterior,pode ser utilizada como definio da noo de proporcionalidade direta, passandoento o descritor 4.1 a descrever uma propriedade.

Informao Complementar para o professor

Grandezas diretamente proporcionais

Consideremos uma grandeza diretamente proporcional a outra. Se as medidas e de corresponderem respetivamente a medidas e de, como para passar de para sepode multiplicar por

ento

, ou seja,

.

Inversamente, dadas duas grandezas e , dependente de de modo que quaisquermedidas e de e correspondentes medidas e de respeitem a igualdade

,

tomando , obtemos , ou seja, utilizando a propriedade expressa no descritor

ALG5-1.8,

, logo as grandezas so diretamente proporcionais.

ExemploNum supermercado, a quantidade de arroz que se pode comprar com uma dadasoma de dinheiro -lhe diretamente proporcional.

a. Completa a seguinte tabela

Arroz Preo

b. Efetua o quociente entre o preo e o nmero de quilos de arroz que lhe

corresponde. O que verificas?

R.: a. necessrio comear por converter o peso do arroz considerado numa mesmaunidade de medida:

Arroz Preo

Tem-se

Arroz Preo

Logo:

b.

e . Verifica-se queos trs quocientes so iguais.

7/30/2019 Metas Curr Mat 2 Cic

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