Merkle-Hellman Knapsack Criptosystem

Seminario per il corso diSistemi Operativi mod. B

Anno accademico2004/2005

MERKLE-HELLMAN KNAPSACK CRYPTOSYSTEM

Acampa Paolo 566/669

Cilmo Valerio 566/654

Merkle-Hellman Knapsack Criptosystem 2/23

Merkle-Hellman Knapsack Criptosystem

● Introduzione● Crittografia simmetrica● Crittografia asimmetrica

● Il problema dello zaino● Merkle-Helman knapsack

● Creazione della chiave pubblica e privata● Criptare un messaggio● Decriptare un messaggio● Algoritmo sequenza super crescente● Esempio

● Conclusioni


Introduzione

La crittografia è l'arte che crea ed usa i sistemi di crittografia.

Un sistema di crittografia è un metodo per rendere illeggibili i messaggi, in modo da renderli decodificabili solo dal destinatario prestabilito.

I sistemi di crittografia sono chiamati anche sistemi di cifratura.

L'arte di scardinare i sistemi di cifratura è chiamata crittoanalisi.

La scienza che studia la crittografia e la crittoanalisi è chiamata crittologia (dal greco kryptos , che significa 'nascosto' e logos, che significa 'discorso, parola' ).


Introduzione

Il messaggio originale è chiamato testo in chiaro, ed il messaggio codificato è chiamato testo cifrato.

Quando si codifica un messaggio, si utilizza una procedura che lo converte in testo cifrato. Questa procedura è chiamata cifratura. Viceversa, quando si vuole rendere leggibile un messaggio, si usa il procedimento opposto, chiamato decifratura.


Crittografia simmetrica

La crittografia tradizionale è basata su una chiave segreta. Un mittente che vuole inviare un messaggio cifrato a qualcuno, lo cifra usando una chiave segreta ed il destinatario lo decifra usando la stessa chiave segreta. Ovviamente, sia il mittente che il ricevente di quel messaggio devono conoscere la stessa chiave segreta.

Questo metodo è conosciuto come crittografia a chiave segreta o crittografia simmetrica.

Il problema principale è che il mittente ed il ricevente devono accordarsi su una chiave segreta comune, e devono usare un canale sicuro per scambiarsi questa informazione.


Crittografia simmetrica


Crittografia asimmetrica

Per queste ragioni venne inventato un altro sistema di crittografia: il sistema a chiave pubblica (chiamato anche sistema crittografico asimmetrico).

Con algoritmi di questo tipo ognuno ha due chiavi: una pubblica da distribuire a tutti quelli con cui si vuole comunicare, e una privata da tenere segreta.

Ciò che viene cifrato con la chiave pubblica (operazione che può essere fatta da chiunque) può essere decifrato solo con la chiave privata corrispondente (operazione che può essere fatta solo dal proprietario della chiave): in questo modo non c'è più il problema di comunicare segretamente la chiave.





Il concetto di crittografia a chiave pubblica fu introdotto da Martin Hellman, da Ralph Merkle e da Whitfield Diffie all'università di Stanford nel 1976.

Ma il primo sistema crittografico a chiave pubblica, il knapsack, fu sviluppato nel 1978 da Merkle e da Hellman.


Il problema dello zaino

Il problema dello zaino (knapsack) dice: dato il peso totale di uno zaino pieno e quello dei singoli oggetti che vi possono essere contenuti, determinare qual è il contenuto in modo che il peso complessivo risulti uguale a quello dato.

In termini matematici, il problema è determinare se alcuni membri di un particolare gruppo di interi danno per somma un altro intero. Se il gruppo è costituito da 1, 2, 4, 8, 16 e 32, e la somma data è 37, la risposta è vera perché 1+4+32=37.



Fa parte dei problemi NP-completi, ed in qualità di tale, ammette un algoritmo rapido per la verifica delle soluzioni, ma non si sa se è consentito un procedimento rapido per la ricerca delle soluzioni.



L'idea di Merkle e Hellman è che qualcuno possieda un grande numero di oggetti, ciascuno con un differente peso. Il proprietario codifica il messaggio scegliendo segretamente un sotto-insieme degli oggetti e mettendoli nello zaino. Il peso totale degli oggetti nello zaino è reso pubblico, come la lista di tutti i possibili oggetti. La lista degli oggetti nello zaino è mantenuta segreta.

Con determinate restrizioni aggiuntive si pensava che il problema di immaginare una possibile lista di oggetti con il dato peso fosse computazionalmente impossibile, e costituì la base dell’algoritmo a chiave pubblica.


Merkle-Hellman Knapsack

Dato uno zaino con un peso prefissato P, e k oggetti di peso p1, p2, …, pk rispettivamente; il problema è se è possibile scegliere alcuni dei k oggetti in modo che essi riempiano esattamente lo zaino, cioè la somma dei loro volumi eguagli P. In realtà non si conosce nessun algoritmo polinomiale di soluzione del problema. In compenso, esistono metodi rapidissimi di verifica: infatti, se conosciamo la soluzione, è semplice controllarla, basta riempire lo zaino con gli oggetti scelti e realizzare, appunto, che essi lo occupano senza lasciare spazi vuoti e senza farlo scoppiare.


Creazione della chiave pubblica e privata

La semplicità della verifica della soluzione è data dal concetto di sequenza supercrescente. Questa è formata da p1, p2, …, pk interi tali che, per ogni i < k,

pi > .

Tale sequenza rappresenta la chiave privata. Questa viene nascosta tramite il seguente procedimento rendendola pubblica: - Si sceglie un intero W tale che 1 < W < P - 1 e che P e W siano primi tra loro;- Si sceglie una permutazione casuale π degli interi 1, 2, …, k

jj i

p


Creazione della chiave pubblica e privata

- Sulla base di π, calcolare ai = Wpπ(i) mod P per ogni i=1,2,…,k

A questo punto, un utente, A, possiede le due chiavi:

- la pubblica per A, formata da (a1, a2, …, ak);

- la privata per A, formata da (π,P,W,(p0, p1, …, pk));


Criptare un messaggio

L’ utente B, qualora decidesse di criptare un messaggio da mandare ad A, procede come segue:

- Ottiene la chiave pubblica da A;

- scrive il messaggio tramite sequenze (e1, e2, …, ek) di lunghezza k di numeri binari;- calcola il valore X = ;- spedisce X all’utente A. i i

i k

e a


Decriptare un messaggio

L’ utente A, ricevuto il messaggio criptato X da B, esegue le seguenti operazioni per decriptarlo:

- calcolare il valore di D = W-1 X mod P - utilizzando l'algoritmo per risolvere la sequenza super crescente,

trovare la sequenza binaria r1, ... rk tale che

D = r1*p1 + ... + rk*pk

- i bit del messaggio in chiaro sono dati da ei=r(πi) con i = 0...k.


Algoritmo sequenza super crescente

Dato in input una sequenza super crescente p=(p1...pk) e un intero P dato dalla somma di una sottosequenza di p.

Restituisce in output una sequenza binaria r = (ri...rk) tale che

i=k

while i>=1 do

if P>=pi then ri=1 and P=P-pi

else ri=0

return r=(r1...rk)

i ip r P


Esempio

L'utente A crea la chiave privata e quella pubblica:

sceglie una sequenza supercrescente:

p= 1,2,4,10,20,40.

e come permutazione quella identica:

(π)=1,2,3,4,5,6

La chiave privata è (P=110;W=31;p=(1,2,4,10,20,40); π)La chiave pubblica è a=(31,62,14,90,70,30)


Esempio

L'utente B vuole spedire il messaggio “ciao” ad A. Prende la chiave pubblica da A: a=(31,62,14,90,70,30)

“ciao” viene scritto secondo una codifica in bit dei caratteri:

c=000011; i=001001; a= 000001; o= 001111.

cripta il messaggio ottenendo per ogni carattere:

c=70+30=100; i=14+30=44; a=30; o=14+90+70+30=204.

Il messaggio criptato inviato ad A è (100,44,30,204)


Esempio

L'utente A, ricevuto il messaggio (100,44,30,204) lo decripta:

calcola D= 100*71 mod 110=60

applicando l'algortimo della sequenza supercrescente con valori p=(1,2,4,10,20,40) e P=60 otteniamo

r=(0,0,0,0,1,1). Dato che abbiamo utilizzato la permutazione identica corrisponde appunto al carattere “c”. Lo stesso procedimento va applicato per le altre lettere.


Conclusioni

L'algoritmo knapsack di Merkle-Hellman non è considerato sicuro e viene usato raramente.

Questo come i successivi schemi basati sul problema dello zaino sono stati tutti forzati, ad eccezione dello schema di Chor-Rivest.


FINE

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