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MERGULHAR NA AN ´ ALISE MATEM ´ ATICA 1 Exerc´ ıcios de AM1 para Auto Estudo Setembro 2004 Maria do Ros´ ario de Pinho Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

MERGULHAR NA ANALISE MATEM´ ATICA 1´ - web.fe.up.ptam1/Files/tMergulho_AM1.pdf · Cham´amos a atencao para o facto de muitas das solu¸c˜oes aqui apresentadas, nomeadamente algumas

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MERGULHAR NA ANALISE MATEMATICA 1

Exercıcios de AM1 para Auto Estudo

Setembro 2004

Maria do Rosario de Pinho

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Licenciatura em Engenharia Electrotecnica

e de

Computadores

He who loves practice without theory is like the sailor

who boards ship without a rudder and compass

and never knows where he may cast.

Leonardo da Vinci

Agradecimentos

Agradeco as crıticas e sugestoes feitas por Joao Tasso Borges de Sousa. Em particular, agradeco

a sugestao de inserir enderecos de sites da internet neste documento. Quero tambem deixar

aqui um muito obrigada a Maria Margarida Ferreira, Nuno Alexandre Cruz e Anıbal Coimbra

de Matos por terem corrigido varias versoes deste documento. Aos quatro, Joao Tasso Borges

de Sousa, Margarida Ferreira, Nuno Cruz, Nuno Alexandre Cruz e Anıbal Coimbra de Matos

agradeco tambem as inumeras discussoes que tiveram comigo e que em muito contribuıram para

a elaboracao deste documento.

Nota

Este documento nao e perfeito. Apesar de todas as revisoes a que foi submetido podera conter

anomalias e erros de impressao. Os alunos deverao abordar todo este texto, nomeadamente as

solucoes aı contidas, com um grande sentido crıtico.

A autora agradece que lhe seja dado conhecimento de qualquer erro ou anomalia que seja de-

tectado. Qualquer crıtica ou proposta para melhorar este documento sera tambem altamente

apreciada.

Indice

Sobre Este Conjunto de Exercıcios 7

Sugestoes de Sites na Internet 9

1 Introducao 11

1.1 Tecnicas Basicas de Demonstracao Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Nocoes de Matematica Elementar 19

2.1 O Corpo dos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Conjuntos de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Sucessoes e Series Numericas 33

3.1 Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Funcoes 52

4.1 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Continuidade 56

5

INDICE 6

5.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Teoremas Basicos sobre Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Derivabilidade 64

6.1 Definicao de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.5 Os Teoremas do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.6 Testes da Primeira e Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.7 Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Sobre Este Conjunto de Exercıcios

Este documento contem exercıcios sobre os primeiros seis capıtulos da disciplina de Analise

Matematica 1da LEEC, FEUP. Tem como base os “Apontamentos das Aulas Teoricas de Analise

Matematica 1” disponibilizados a todos os alunos de AM1 da LEEC da FEUP e segue a divisao

em capıtulos e seccoes desses Apontamentos. Foi elaborado com o objectivo de ajudar o aluno a

orientar e sistematizar o seu estudo independente (i.e., sem o professor ao lado do aluno) dos

primeiros seis capıtulos de AM1, capıtulos esses que, porque incidem fundamentalmente sobre

materias conhecidas, sao uma oportunidade unica para a criacao e aperfeicoamento das tecnicas

de estudo.

O objectivo dos exercıcios deste texto e proporcionar ao aluno forma de verificar se aprendeu o

que se pretende. Algumas questoes estao assinaladas por (∗) ou por (∗∗). Essas questoes poderao

eventualmente ser de mais difıcil resolucao, mas nao devem de modo algum ser ignoradas.

Em quase todos os capıtulos deste texto aparecem exercıcios em que se pede para sublinhar ou

transcrever do texto de “Apontamentos das Aulas Teorica de Analise Matematica 1” ou dos

texto dos manuais de Matematica do ensino secundario as respostas a algumas perguntas. E

muito importante fazer estes exercıcios, porque a simples accao de sublinhar ou transcrever pode

reforcar a aprendizagem.

No final de muitas seccoes encontram-se solucoes de alguns exercıcios. Muitas vezes, as solucoes

dizem apenas: Ver apontamentos. O aluno devera entao procurar a solucao desses exercıcios

nos proprios apontamentos. Esta estrategia tem como objectivo reverter o aluno ao estudo dos

apontamentos que lhe foram facultados. Acreditamos que o aluno, ao o fazer, ira familiarizar-se

melhor com os textos matematicos postos ao seu dispor. A boa compreensao dos mesmo e pedra

fundamental para o estudo da disciplina.

Chamamos a atencao para o facto de muitas das solucoes aqui apresentadas, nomeadamente

algumas demonstracoes, nao serem unicas e nao serem necessariamente as melhores. Solucoes

alternativas podem e devem ser encontradas pelos alunos. Em caso de duvida, os alunos deverao

7

8

contactar os docentes da disciplina.

O aluno deve justificar todas as respostas. As tentativas de justificacao sao essenciais no

processo de aprendizagem e de assimilacao dos conceitos.

Deseja-se que o aluno, apos responder a uma pergunta, verifique a solucao. Se alguma resposta

esta errada e nao compreende porque, volte a estudar. Procure tambem discutir as suas duvidas

com os colegas e procure a ajuda dos docentes da disciplina, tanto durante as aulas praticas

como durante o tempo de atendimento.

O numero de exercıcios aqui apresentados pode parecer, numa primeira fase, excessivo. De

forma nenhuma. Este manual cobre muita materia leccionada no ensino secundario. Assim,

grande parte dos exercıcios tem como intuito chamar a atencao dos alunos para a necessidade

de fazerem revisoes exaustivas e ajudar nessas revisoes.

Um outro aspecto deste documento e a introducao de sites da internet com textos matematicos,

exercıcios resolvidos, testes, ilustracoes animadas, etc. A consulta de alguns destes sites e

altamente recomendada uma vez que o aluno, confrontado com um estilo diferente de expor

as materias e com novos exercıcios, tera uma nova oportunidade de avaliar o estado dos seus

conhecimentos.

Bom mergulho em AM1!

Sugestoes de Sites na Internet

A lista de enderecos de sites sobre matematica aqui apresentada nao segue qualquer. Todos

estes sites estao em ingles. Referencias a alguns destes sites podem aparecer no texto em alguns

dos capıtulos seguintes.

• http://www.math2.org/

Tem lista de formulas de muitas partes da materia.

• http://www.math.utsc.utoronto.ca/calculus/Redbook/

Um bom site para consulta.

• http://mathworld.wolfram.com/topics/Calculus.html

Site com algum interesse. O site

http://mathworld.wolfram.com/

contem informacao sobre outros ramos de matematica.

• http://www.shu.edu/projects/reals/index.html

Um livro on-line cobrindo grande parte da materia dada em AM1.

• http://www.tc.cornell.edu/Services/Edu/MathSciGateway/math.asp

Convem ver. Tem alguns apontadores para sites interessantes.

• http://www.math.unl.edu/~webnotes/contents/contents.htm

Este site e animado com coisas muito basicas.

• http://www.calculus.net/ci2/search/

Clicar no Login to Mathmarks e depois no Pratice Area. E um site animado.

9

10

• http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html

Site interessante com exercıcios resolvido. Vale a pena. Ver em especial a definicao de

derivada.

• http://www.math.unl.edu/~webnotes/contents/chapters.htm

Muito interessante.

• http://www.langara.bc.ca/mathstats/resource/onWeb/precalculus

Tambem com interesse.

• http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/index.html

Lindo.

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests.html

Tem varios testes. Interessante.

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Tecnicas Basicas de Demonstracao Matematica

1. Sejam P e Q duas proposicoes. Complete a tabela com F para falso e V para verdadeiro.

P Q P ∧ Q P ∨ Q P =⇒ Q P ⇐⇒ Q

V V

V F

F V

F F

2. Considere o operador logico ∧. Pronuncie-se sobre o valor logico da frase x > 13 ∧ x < 27

em cada um dos casos seguintes.

(a) x = 36.

(b) x = 27.

(c) x = 20.

(d) x = 0.

3. Considere o operador logico ∨. Pronuncie-se sobre o valor logico da frase x > 13 ∨ x < 27

em cada um dos casos seguintes.

(a) x = 36.

(b) x = 27.

(c) x = 20.

11

12

(d) x = 0.

4. Sabe-se que se a agua do mar esta a mais de 30 graus e o vento sopra a menos de 10km/hora,

entao o Ze vai mergulhar. Responda as seguintes questoes.

(a) Hoje a agua do mar esta a 31 graus e o vento sopra a 15km/h. Tem a certeza que

hoje o Ze vai mergulhar?

(b) Hoje a agua do mar esta a 26 graus e o vento sopra a 8km/h. Tem a certeza que hoje

o Ze vai mergulhar?

(c) Hoje a agua do mar esta a 31 graus e o vento sopra a 8km/h. Tem a certeza que hoje

o Ze vai mergulhar?

(d) Hoje a agua do mar esta a 31 graus e nao ha vento. Tem a certeza que hoje o Ze vai

mergulhar?

5. Sabe-se que se o tempo esta bom, entao o Ze vai mergulhar ou vai fazer surf. Hoje o tempo

esteve bom e o Ze nao foi mergulhar. Que fez o Ze?

6. Sejam (Sn) e (an) duas sucessoes, onde Sn =n∑

k=1

ak. Sabendo que a implicacao

(Sn) e convergente =⇒ (an) converge para 0

e verdadeira o que pode concluir sobre a convergencia de (Sn) ou (an) quando se sabe que:

(a) (Sn) e divergente.

(b) limn→+∞

an = 3.

(c) limn→+∞

Sn = 3.

(d) limn→+∞

an = 0.

7. Sabendo que A =⇒ B e uma afirmacao verdadeira e que B e uma afirmacao falsa, indique

o valor logico de A.

8. Sabendo que A =⇒ B e uma afirmacao verdadeira e que B e uma afirmacao verdadeira,

indique o valor logico de A.

9. Sabendo que A ⇐⇒ B e uma afirmacao verdadeira e que B e uma afirmacao falsa, indique

o valor logico de A.

10. Sabendo que A ⇐⇒ B e uma afirmacao verdadeira e que B e uma afirmacao verdadeira,

indique o valor logico de A.

13

11. Mostre que nao existe um numero natural maior que todos os outros numeros naturais.

12. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e q sao numeros pares, entao pq tambem e par.

13. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e q sao numeros ımpares, entao pq tambem e ımpar.

14. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e par, entao pq tambem e par.

15. Mostre que se p ∈ N e p2 e divisıvel por 5, entao p e divisıvel por 5.

16. Mostre que nao existe qualquer numero racional r ∈ Q tal que r2 = 5.

17. Sendo a e b dois numeros racionais tais que b > a, mostre que existe pelo menos um

racional r tal que a < r < b.

18. Negue as seguintes proposicoes:

(a) A =⇒ B.

(b) A ∧B.

(c) ∀ε > 0 ∃x ∈ A : x < a + ε.

19. 1 Num determinado planeta o clima segue a seguinte regra: se chove um dia, tambem

chove no dia seguinte.

(a) No dia em que o Ze chegou a esse planeta nao choveu. Quais das seguintes conclusoes

pode fazer?

i. Nunca choveu nesse planeta.

ii. Nunca mais chovera no planeta.

iii. No dia anterior a chegada do Ze nao choveu.

iv. Vai chover no dia seguinte a chegada do Ze.

(b) Choveu no dia em que o Ze chegou a esse planeta. Quais das seguintes conclusoes

pode fazer?

i. No planeta chove todos os dias.

ii. Choveu no dia anterior a chegada do Ze.

iii. Vai chover no dia seguinte a chegada do Ze.

iv. Nesse planeta ira chover em todos os dias depois da chegada do Ze.

1Exemplo retirado do site http://www.math.utsc.utoronto.ca/calculus/Redbook/

14

20. Mostre, por inducao finita, que para todo o n ∈ N se tem

1 + 2 + . . . + n = n× n + 12

.

21. Para que valores de n ∈ N se tem 2n > n + 1?

22. (∗) Considere a afirmacao p(n) : 2n > n2.

(a) Verifique a veracidade ou falsidade de S(n) para n = 0, n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 e

n = 5.

(b) Mostre que S(n) e verdadeira para n ≥ 5.

23. Sabendo que1 = 1

1 + 8 = 9

1 + 8 + 27 = 36

1 + 8 + 27 + 64 = 100

o que pode conjecturar sobre a soma 13 + 23 + . . . + n3, onde n ∈ N?

24. (∗) Seja n ∈ N. Demonstre que

13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2.

25. Mostre que, para n ∈ N qualquer, 5n − 1 e divisıvel por 4.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

Apresentamos uma lista de alguns sites da internet que podem interessar. Todos os sites estao

em ingles.

• Sobre Demonstracoes em Geral:

– http://www.jamesbrennan.org/algebra/problems/problem_solving_strategies.

htm

Uma leitura deste site e recomendada.

– http://www.c3.lanl.gov/mega-math/gloss/math/proof.html

– http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml

– http://www.math.ucsd.edu/~ebender/proofs.html

15

– http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof

• Sobre Inducao Finita em Particular:

– http://www.richland.cc.il.us/james/lecture/m116/sequences/induction.html

– http://www.utm.edu/research/primes/largest.html

Solucoes: 1.

P Q P ∧ Q P ∨ Q P =⇒ Q P ⇐⇒ Q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

2. a) F, b) F, c) V, d) F.

3. a) V, b) V, c) V, d) V.

4. a) Nao. b) Nao. c) Sim. d) Sim.

5. Foi surfar.

6. Nada se pode concluir sobre (an). b) (Sn) nao e convergente. Se (Sn) fosse convergente, entao

limn→+∞

an = 0 e tal nao e verdade. c) (Sn) e convergente. Logo (an) converge para 0. d) Nada se pode

concluir sobre (Sn).

7. F. 8. Nada se pode concluir.

9. A e falso. Se A fosse verdadeira e sabendo que B e falso , entao A =⇒ B seria falso. Como a implicacao

A =⇒ B e verdadeira, A tem que ser falso.

10. A e verdadeiro. Se A fosse falso, sendo B verdadeiro, terıamos que ter B =⇒ A falso. Mas sabemos

que B =⇒ A e verdadeiro.

11. Suponhamos que existe p ∈ N tal que p ≥ n para todo o n ∈ N. Entao, por definicao de N, p + 1 ∈ Ne p + 1 > p, o que contraria a hipotese de p ser o maior dos numeros naturais. A contradicao advem

do facto de termos suposto a existencia de um natural maior que todos os outros. Logo nao existe um

numero natural maior que todos os naturais.

12. Sendo p e q dois numeros pares, existem numeros n, m ∈ N tais que p = 2n e q = 2m. Logo

pq = 2(2nm) e 2nm ∈ N. Logo pq e par, porque e da forma 2k, com k = 2nm.

13. Sendo p e q dois numeros ımpares, existem numeros n, m ∈ N∪{0} tais que p = 2n+1 e q = 2m+1.

Logo pq = 2(2nm) + 2n + 2m + 1 = 2(2mn + n + m) + 1. Sendo r = 2nm + m + n, temos r ∈ N ∪ {0} e

pq = 2r + 1. Logo pq e ımpar.

14. Se p e par, entao p = 2n para algum n ∈ N. Ora p q = 2nq e nq ∈ N. Logo pq = 2r, com r = nq, i.e.,

pq e par.

16

15. Suponhamos que p nao e divisıvel por 5. Entao p pode ser escrito na forma p = 5r + s, onde

r ∈ N ∪ {0} e s ∈ {1, 2, 3, 4}. Entao p2 = 25r2 + 10rs + s2. Como p2, 25r2 e 10rs sao divisıveis por 5, s2

tem que ser divisıvel por 5. Mas s2 ∈ {1, 4, 9, 16} e nenhum destes numeros e divisıvel por 5. Logo p tem

que ser divisıvel por 5.

16. Suponhamos que existe um r ∈ Q tal que r2 = 5. Sejam p e q primos entre si tais que r = p/q. Entao

p2 = 5q2. Logo p2 e divisıvel por 5 e, pelo exercıcio anterior, p e divisıvel por 5. Entao existe um s ∈ Ntal que p = 5s e 5q2 = 52s2 o que implica que q2 = 5s2. Logo q e divisıvel por 5. Ou seja, p e q sao

ambos divisıveis por 5. Mas tal contraria o facto de p e q serem primos entre si. Conclusao: nao existe

qualquer r ∈ Q tal que r2 = 5.

17. Se a, b ∈ Q, entao a/2, b/2 ∈ Q ea + b

2∈ Q. Como a < b, temos a = a+a

2 < a+b2 < b = b+b

2 , ou seja,a+b2 e um racional entre a e b.

18. a) A ∧ ¬B, b) ¬A ∨ ¬B, c) ∃ε > 0 ∀x ∈ A : x ≥ a + ε.

19. a) Nao choveu no dia n. Se tivesse chovido no dia k, com k < n, entao teria chovido no dia k+1, logo

teria chovido no dia k+2, etc. Logo teria chovido no dia em que o Ze chegou. Logo i) e verdadeira, i.e., se

nao choveu no dia em que o Ze chegou ao planeta isso quer dizer que nunca havia chovido anteriormente.

Por isso mesmo, a conclusao iii) e valida. No dia anterior a chegada do Ze nao choveu. A conclusao ii) e

a iv) nao sao validas. A regra pela qual se rege o clima do planeta nada nos permite deduzir sobre o que

ira acontecer de futuro uma vez que nao choveu no dia da chegada do Ze.

19. b) Choveu no dia da chegada do Ze. A regra pela qual se rege o clima do planeta permite-nos concluir

que daı em diante ira chover. Nao se sabe se o dia da chegada do Ze foi ou nao o primeiro dia de chuva

do planeta. Assim as conclusoes i) e ii) nao sao validas mas as conclusoes iii) e iv) sao.

20. Seja S ={

n ∈ N : 1 + 2 + . . . + n = n× n + 12

}. A soma que define o conjunto S tem n parcelas.

Vamos comecar por ver se 1 ∈ S. A soma que define S fica reduzida a uma parcela, 1. No segundo membro

da igualdade, substituindo n por 1 obtemos 1× 1 + 12

= 1. Logo 1 ∈ S. Suponhamos que k ∈ S (hipotese

de inducao). Queremos provar que k ∈ S =⇒ k+1 ∈ S. Temos (1+2+. . .+k)+(k+1) = k×k + 12

+(k+1)

por hıpotese de inducao. Ora k × k + 12

+ (k + 1) = (k + 1) ×(k2

+ 1)

= (k + 1) ×(

k + 22

), ou seja,

mostramos que 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1)×(

k + 22

). Entao k + 1 ∈ S. O Axioma da inducao

permite-nos entao concluir que S = N.

21.

n 2n > n + 1 verdade ou falso

0 0 > 1 falso

1 2 > 2 falso

2 4 > 3 verdade

3 6 > 4 verdade

.

17

Vamos provar que 2n > n + 1 para todo o natural n ≥ 2. Ja vimos que para n = 2 a desigualdade e

verdadeira. Seja agora k ≥ 2 qualquer e suponhamos que 2k > k + 1. Somando dois a cada lado desta

desigualdade temos 2k + 2 = 2(k + 1) ≥ k + 3. Mas k + 3 > k + 2. Logo 2(k + 1) > (k + 1) + 1. Logo

2k > k + 1 =⇒ 2(k + 1) > (k + 1) + 1. Portanto 2n > n + 1 para todo o natural n ≥ 2.

22. a)

n 2n > n2 verdade ou falso

0 1 > 0 verdade

1 2 > 1 verdade

2 4 > 4 falso

3 8 > 9 falso

4 16 > 16 falso

5 32 > 25 verdade

.

22. b) Mostrar que S(n) : 2n > n2 e verdadeira para cada natural n ≥ 5. Ja sabemos que 25 > 52.

Suponhamos agora que 2k > k2 para algum k ≥ 5. Esta e a nossa hipotese de inducao (HI). Desejamos

agora mostrar que HI implica 2k+1 > (k + 1)2. Por hipotese de inducao temos 2k+1 = 2k2 > 2k2.

Se conseguimos mostrar que 2k2 ≥ (k + 1)2 para todo o natural n ≥ 5, entao podemos concluir que

S(k) =⇒ S(k + 1). Ora

• mostrar que 2k2 ≥ (k + 1)2 e equivalente a mostrar que 2k2 − k2 − 2k − 1 ≥ 0,

• mostrar que 2k2 − k2 − 2k − 1 ≥ 0 e equivalente a mostrar que k2 − 2k + 1− 2 ≥ 0,

• mostrar que k2 − 2k + 1− 2 ≥ 0 e equivalente a mostrar que (k − 1)2 − 2 ≥ 0,

• mostrar que (k − 1)2 − 2 ≥ 0 e equivalente a mostrar que (k − 1)2 ≥ 2,

• mostrar que (k−1)2 ≥ 2 e equivalente a mostrar que k−1 ≥√

2, porque 2 e k−1 sao numeros nao

negativos e sabemos que para quaisquer numeros a e b nao negativos temos a ≥ b ⇐⇒ a2 ≥ b2,

• mostrar que k − 1 ≥√

2 e equivalente a mostrar que k ≥ 1 +√

2.

Como k ≥ 5, temos k ≥ 1 +√

2. Entao

k ≥ 5 =⇒ k ≥ 1+√

2 =⇒ (k−1)2 ≥ 2 =⇒ (k−1)2−2 ≥ 0 =⇒ k2−2k−1 ≥ 0 =⇒ 2k2−k2−2k−1 ≥0 =⇒ 2k2 ≥ (k + 1)2

Assim temos

• 2k+1 > 2k2 por hipotese de inducao

• 2k2 ≥ (k + 1)2 para todo o k ≥ 5.

Logo 2k+1 > (k + 1)2. Provamos assim que, para k ≥ 5, S(k) =⇒ S(k + 1). Portanto 2n+1 > (n + 1)2

para todo o natural n ≥ 5.

Tente encontrar uma demonstracao mais simples e directa para 22. b)

18

23. Ver exercıcio 20.

24. Seja S ={n ∈ N : 1 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2

}. Note-se que a a soma que define o con-

junto S tem n parcelas. Vamos comecar por ver se 1 ∈ S. As somas que definem S ficam reduzidas a uma

1 parcela. Substituindo n por 1 o primeiro membro da igualdade fica reduzido a 1 e o segundo a 12 = 1.

Logo 1 ∈ S. Suponhamos que k ∈ S (hipotese de inducao). Queremos provar que k ∈ S =⇒ k + 1 ∈ S.

Ora(1 + 2 + . . . + k + (k + 1))2 = (1 + . . . + k)2 + 2(1 + . . . + k)(k + 1) + (k + 1)2

= (1 + . . . + k)2 +(2(1 + . . . + k) + (k + 1)

)(k + 1)

(pelo exercicio 18) y

= (1 + . . . + k)2 +(

2k × k + 12

+ (k + 1))

(k + 1)

= (1 + . . . + k)2 + ((k + 1)(k + 1)) (k + 1)

= (1 + . . . + k)2 + (k + 1)3

(por hipotese de inducao) y= 1 + 23 + . . . + k3 + (k + 1)3

Quer isto dizer que k + 1 ∈ S. O Axioma da inducao permite-nos entao concluir que S = N.

25. Dizer que um certo numero p ∈ N e divisıvel por 4 e dizer que existe um r ∈ N tal que p = 4r.

Seja S = {n ∈ N : 5n − 1 e dividıvel por 4}. Queremos mostrar que S = N. Comecamos por verificar

se 1 ∈ S. Ora se n = 1, entao 5n − 1 e 4 e 4 e divisıvel por ele mesmo. Logo 1 ∈ S. Suponhamos

agora que 5k − 1 e divisıvel por 4 para k ≥ 1. Quer isto dizer que supomos que existe um r ∈ N tal que

5k − 1 = 4r para algum k ≥ 1 (hipotese de inducao). Queremos provar que k ∈ S =⇒ k + 1 ∈ S. Ora

5k+1 − 1 = 5k5− 1. Por hipotese de inducao, 5k = 4r + 1. Usando a hipotese de inducao e considerando

q = 5r temos 5k+1 − 1 = 5k5− 1 = 5(4r + 1)− 1 = 4q + 5− 1 = 4q + 4 = 4(q + 1) = 4p onde p = 5r + 1.

Logo k + 1 ∈ S. Concluımos pois que S = N.

Capıtulo 2

Nocoes de Matematica Elementar

Toda a materia sobre a qual incide este capıtulo consta dos programas do ensino secundario da disciplina

de Matematica.

2.1 O Corpo dos Reais

1. Defina em termos matematicos os seguintes conjuntos:

(a) o conjunto dos numeros naturais N.

(b) o conjunto dos numeros inteiros Z.

(c) o conjunto dos numeros racionais Q.

(d) o conjunto dos numeros reais R.

2. Defina

(a) Numero primo.

(b) Numeros primos entre si.

(c) Mınimo multiplo comum entre dois numeros naturais n e m (m.m.c.{n, m}).

(d) Maximo divisor comum entre dois numeros naturais n e m (m.d.c.{n, m}).

(e) Numero racional na forma irredutıvel.

3. De exemplos de:

(a) Numeros primos.

(b) Numeros primos entre si.

(c) Mınimo multiplo comum entre dois numeros naturais n e m (m.m.c.{n, m}).

(d) Maximo divisor comum entre dois numeros naturais n e m (m.d.c.{n, m}).

19

20

(e) Numero racional na forma irredutıvel.

4. Identifique nos apontamentos de AM1

(a) as propriedades de ordem do conjunto dos numeros reais.

(b) a definicao do valor absoluto de um numero real a.

(c) a propriedade distributiva da adicao de reais em relacao a multiplicacao de reais.

(d) a propriedade associativa da multiplicacao de numeros reias.

5. Calcule

(a)13− 3

15+−25

=

(b) −2 +131

+3993

=

(c) 5× 102 + 2× 10 + 3× 100 + 5× 10−1 + 4× 10−2 =

6. Complete as seguintes afirmacoes usando os sımbolos ⊂, ⊃, ∈, /∈, ∀.

(a) N . . . Z.

(b) 0 . . . N.

(c) . . . r ∈ Q, r ∈ R.

(d) Q . . . Z

7. Considere o conjunto A ={−√

3, π,−e,√

12, 13 ,√

100,−π2 ,√−2}.

(a) Determine o conjunto A ∩ R.

(b) Determine o conjunto A ∩Q.

(c) Determine o conjunto A ∩ N.

(d) Determine o conjunto {x ∈ A : x /∈ R}.

8. Considere o conjunto P = {a ∈ R : a > 0}. Complete as seguintes frases de forma a obter afirmacoes

verdadeiras.

(a) Se a e b sao reais tais que b− a ∈ P , entao . . ..

(b) Se a e b sao reais tais que ab ∈ P , entao . . ..

(c) Se a, b e c sao reais tais que b− c ∈ P e c− a ∈ P , entao . . ..

(d) Se a e b sao reais tais que −ab ∈ P , entao . . ..

9. Considere a figura. Calcule o comprimento das hipotenusas de todos os triangulos (todos rectangulos)

e classifique os numeros calculados em racionais e irracionais.

21

10. Sejam a e b dois reais.

(a) Mostre que | a + b | ≤ | a | + | b |.

(b) Mostre que | a | − | b | ≤ | a− b |.

(c) Mostre que∣∣ | a | − | b |

∣∣ ≤ | a− b |.

11. Determine x ∈ R tal que

(a) | x− 5 |≤ 2.

(b) | x− 5 |≥ 1.

(c) | x + 5 |≤ 2.

(d) | x + 5 |≥ 1.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.bymath.com/studyguide/ari/ari_topics.html

• http://www.jamesbrennan.org/algebra/numbers/real_number_system.htm

Informacao sobre numeros naturais, inteiros, racionais e reais.

• http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/real_exponents.htm

Um site muito simpatico sobre xn. Optimo para relembrar conceitos ja esquecidos.

22

• http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/square_roots.htm

Um site muito simpatico sobre n√

x. Optimo para relembrar conceitos ja esquecidos.

• http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/RealWorld/tut_alg_review/framesA_1.

html

Contem varias questoes para os alunos resolverem e fornece as respostas.

Solucoes: 1–4. Procure as respostas a essas questoes nos apontamentos da disciplina ou em livros do

ensino secundario.

5. a)−415

; b) −4831

; c) 523.54

6. a) ⊂; b) /∈; c) ∀; d) ⊃7. a)

{−√

3, π,−e,√

12, 13 ,√

100,−π2

}; b)

{13 ,√

100}; c)

{√100}; d)

{√−2}.

8. a) b > a, b) (a ∈ P ∧ b ∈ P ) ∨ (−a ∈ P ∧ −b ∈ P ), c) a < c < b, d) (a ∈ P ∧ −b ∈ P ) ∨ (−a ∈P ∧ b ∈ P )

9.√

2,√

3,√

4, etc.

10. a) Observe que ∀ a, b ∈ R | a + b |≥ 0 e que ∀c ∈ R c ≤| c |. Para todo o a e b reais temos

| a + b |2 = (a + b)2

= a2 + 2ab + b2

≤ a2 + 2 | ab | +b2

= | a |2 +2 | a || b | + | b |2

= (| a | + | b |)2

Note que | a | + | b |≥ 0 e recorde que para quaisquer numeros c e d nao negativos temos c ≥ d ⇐⇒c2 ≥ d2. Como | a + b |2≤ (| a | + | b |)2, tem-se | a + b | ≤ | a | + | b |.

b) Sejam x e y dois reais quaisquer e sejam a = x + y e b = y. Entao a e b sao reais quaisquer. Ora, pela

alınea anterior, temos | a |=| x + y |≤| x | + | y |. Concluımos entao que | x + y | − | y |≤| x |, ou seja,

| a | − | b |≤| a− b | c.q.d..

c) Basta notar que por definicao de modulo∣∣ | a | − | b |

∣∣ =| a | − | b | ou∣∣ | a | − | b |

∣∣ =| b | − | a |.Pela alınea anterior temos | a | − | b |≤| a − b | e | b | − | a |≤| b − a | . Como | b − a |=| a − b |, o

resultado segue.

11. a) x ∈ [3, 7], b) x ∈ (−∞, 4] ∪ [6,∞), c) x ∈ [−7,−3], d) x ∈ (−∞,−6] ∪ [−4,∞)

2.2 Conjuntos de numeros reais

1. Escreva em linguagem matematica cada uma das seguintes afirmacoes:

(a) O conjunto S ⊂ R e limitado superiormente.

(b) O conjunto S ⊂ R e limitado inferiormente.

(c) O conjunto S ⊂ R e limitado.

23

(d) K ∈ R e um majorante do conjunto S ⊂ R.

(e) k ∈ R e um minorante do conjunto S ⊂ R.

2. Seja S um conjunto de numeros reias. Complete

(a) Se s ∈ S e s ≥ s∀s ∈ S, entao . . .

i. s e minorante de S.

ii. S = {s}.

iii. s e o ınfimo de S.

iv. s e o maximo de S.

(b) Se s ∈ S e ∀ ε > 0, (s− ε, s + ε) ∩ S = {s}, entao . . .

i. S e um conjunto vazio.

ii. S = {s}.

iii. S e um conjunto aberto.

iv. S e um conjunto que nao e fechado e nao e aberto.

(c) Se S = (−∞, 1] ∪ [2,∞), entao o seu complementar, R\S, e o intervalo (1, 2) e . . .

i. S e um conjunto fechado, porque R\S e um conjunto fechado.

ii. S e um conjunto aberto, porque R\S e um conjunto aberto.

iii. S e um conjunto fechado, porque R\S e um conjunto aberto.

iv. S e um conjunto aberto, porque R\S e um conjunto fechado.

(d) Se ∀ s ∈ S ∃ε > 0 : s− ε ∈ S, entao

i. S nao e limitado superiormente mas tem maximo.

ii. S tem necessariamente supremo mas e limitado inferiormente.

iii. S nao tem mınimo.

iv. S e um conjunto aberto.

3. Seja S um conjunto de numeros reias. De exemplos de conjuntos que satisfazem a

(a) ∃s ∈ S : s ≥ s∀s ∈ S.

(b) ∃s ∈ S : ∀ε > 0 (s− ε, s + ε) ∩ S = {s}.

(c) ∀ s ∈ S ∃ ε > 0 : s− ε ∈ S

4. Seja S um conjunto de numeros reias. De exemplos de conjuntos que nao satisfazem a condicao

(a) ∃s ∈ S : s ≥ s∀s ∈ S.

(b) ∃s ∈ S : ∀ε > 0 (s− ε, s + ε) ∩ S = {s}.

(c) ∀ s ∈ S ∃ε > 0 : s− ε ∈ S

5. Marque todas as respostas certas:

24

(a) “O conjunto S = { 1n : n ∈ N} ”

i. verifica a condicao ∀ s ∈ S ∃ε > 0 : s− ε ∈ S.

ii. verifica a condicao ∀ s, s′ ∈ S, s+s′

2 ∈ S.

iii. tem ınfimo, nao tem mınimo e tem maximo.

iv. verifica a condicao ∀ ε > 0 : (0, ε) ∩ S 6= ∅.

(b) “O conjunto {a ∈ R : | a + 5 |=| a | +5} e igual a”

i. R.

ii. [−5,+∞)

iii. (−∞,−5) ∪ (5,+∞).

iv. [0,+∞).

(c) “O conjunto{5 + 1

2n : n ∈ N}∪ {5} e”

i. aberto e limitado.

ii. tem mınimo e tem maximo.

iii. e aberto e nao e limitado.

iv. e fechado e limitado.

(d) “ O conjunto S = [1, 3] satisfaz a”

i. ∃ M ∈ R ∀s ∈ S : s ≥ M e S tem mınimo.

ii. ∀ M ∈ R ∃s ∈ S : s ≥ M e S tem mınimo.

iii. ∀ s, s′ ∈ S ∀λ ∈ [0, 1] : λs + (1− λ)s′ ∈ S e S e fechado.

iv. ∀s ∈ S ∀λ > 0 : λs ∈ S.

6. Considere os conjuntos

S1 = [0, 1); S2 = { 1n

: n ∈ N}; S3 = {0.1 + n : n ∈ N}; S4 = {−5− 1n

: n ∈ N}; S5 = (−∞, 1].

(a) Quais sao os conjuntos que sao limitados superiormente?

(b) Quais sao os conjuntos que sao limitados inferiormente?

(c) Quais sao os conjuntos que sao limitados (sao limitados superiormente e limitados inferior-

mente)?

(d) Quais dos conjuntos tem mınimo?

(e) Quais dos conjuntos tem maximo?

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.math.unl.edu/~webnotes/misc/closed.htm

25

Solucoes: 1. a) ∃M ∈ R : s ≤ M ∀ s ∈ S. b) ∃m ∈ R : s ≥ m∀ s ∈ S. c) ∃M ∈ R : | s |≤ M ∀ s ∈ S.

d) ∀s ∈ S : s ≤ K. e) ∀s ∈ S : k ≤ s.

2. a) iv); b) ii); c) iii); d) iii).

3. a) S = (−∞, 1] onde s = 1, ou S = {1} com s = 1, ou S = [0, 1] com s = 1, etc. b) S = {s}. c) S = R,

S = (−∞, 1), S = (−∞, 1], S = (0,+∞], etc.

4. a) S = R, ou S = [1, 2), ou S = [1,+∞), etc. b) S = {1, 2, }, etc. c) S = [0,+∞), etc.

5. a) i), iii) e iv). Justificacao: i) e verdadeira. Realmente seja n ∈ N qualquer e considere-se ε = 1n−

1n+1 .

Entao 1n ∈ S, ε > 0 e 1

n−ε = 1n+1 ∈ S. ii) e falsa. Basta considerar s = 1 e s′ = 1/3. Entao s+s′

2 = 23 /∈ S.

iii) e verdadeira, porque 0 e ınfimo de S e 0 /∈ S (logo S nao tem mınimo) e 1 e maximo de S. iv) e

verdadeira. Se ε ≥ 1, entao (0, ε) ∩ S = S. Se ε ∈ (0, 1), entao existe sempre um n ∈ N tal que 1n < ε.

Logo 1n ∈ (0, ε) ∩ S.

b) iv) . Justificacao: (| a + 5 |)2 = (| a | +5)2 ⇐⇒ (a + 5)2 = a2 + 25 + 10 | a | ⇐⇒ 10a = 10 | a | ⇐⇒a =| a | ⇐⇒ a ≥ 0.

c) ii) e iv). Justificacao: como se pode facilmente ver S e um conjunto fechado, limitado, com mınimo

que e 5 e com maximo que e 5 + 12 .

d) i) e iii). Justificacao: como se pode facilmente ver S e um conjunto fechado e limitado com maximo

3 e mınimo 1. A condicao (i) e a conjuncao de duas condicoes. A primeira condicao e satisfeita por S:

basta considerar M = 1. A segunda condicao e satisfeita, porque S tem mınimo e que 1. A condicao

(ii) e tambem a conjuncao de duas condicoes. Se a primeira condicao fosse satisfeita, entao S nao teria

maximo. Como S tem maximo, essa primeira condicao nao e satisfeita. A condicao (iii) e a conjuncao de

duas condicoes. A primeira das condicoes dessa conjuncao significa que qualquer segmento de recta que

une dois quaisquer pontos de S tem que estar contido em S. Ora S satisfaz essa condicao. Alem disso, e

um conjunto fechado. Logo S satisfaz (iii). Por fim, S nao satisfaz iv). De facto, considerando s = 3 e

λ = 2, vem λ s = 6 e 6 /∈ S.

6. a) S1, S2, S4, S5. b) S1, S2, S3, S4. c) S1, S2, S4. d) S1, S3, S4. e) S2, S5.

2.3 Algebra

1. Designa-se por proporcao de um rectangulo a razao entre os comprimentos do lado maior e menor.

Diz-se que um rectangulo tem razao de oiro se este pode ser decomposto num quadrado e num outro

rectangulo com a mesma proporcao. Considere que o comprimento do lado menor do rectangulo e

1 como na figura.

26

(a) Mostre que a razao de oiro e solucao da equacao x = 1 +1x

.

(b) Determine as solucoes desta equacao α e β e verifique que satisfazem a β = − 1α

.

2. Determine as raızes reais das seguintes equacoes, se existirem.

(a) x2 − 2x + 2 = 0.

(b) −5x2 + 6x + 1 = 0.

(c) x2 + 2x + 1 = 0.

(d) 2x(x−√

2)2((x− 2)2 + 9

)2 = 0.

3. Determine o numero representado por

(a) 2× 105 + 5× 102 + 3× 100 + 3× 10−1 + 7× 10−3.

(b) 8× 104 + 5× 103 + 5× 102 + 9× 100 + 3× 10−3 + 7× 10−4.

(c) 8× 103 + 3× 102 + 1× 101 + 9× 100 + 3× 10−2 + 7× 10−3.

(d) 1× 106 + 5× 103 + 2× 100 + 6× 10−1 + 7× 10−2.

4. Represente os seguintes numeros na forman∑

k=−n

ak×10k onde n ∈ Z e an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

(a) 10456.0005.

(b) 897.01.

(c) 295.2.

(d) 111.11

5. Defina ou calcule

(a) 0!, 2!, 5! e n! onde n ∈ N.

(b)

(5

4

),

(6

2

),

(6

4

).

(c)

(n

k

), onde n, k ∈ N e n > k.

27

(d) (a + b)3, a, b ∈ R

(e) (3 + b)n, b ∈ R.

(f) (−1 + b)n, b ∈ R.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.bymath.com/studyguide/alg/alg_topics.html

Solucoes: 1. a) Relativamente ao rectangulo maior, a proporcao elado maiorlado menor

= x. Relativamente

ao rectangulo mais pequeno a proporcao e 1x−1 . Se o rectangulo tem razao de oiro, entao devemos ter

1x−1 = x. Como x 6= 0, obtemos 1

x = x− 1, ou seja, x = 1 + 1x . b) α =

1 +√

52

, β = 1−√

52 .

2. a) Nao tem raızes reais, porque ∆ = −4 < 0. b) Raızes sao 35 + 1

5

√14 e 3

5 −15

√14. c) So uma raiz

que e −1 (e raiz dupla). d) 0 e√

2.√

2 e raiz dupla.

3. a) 200503.307, b) 85509.0037, c) 8319.037, d) 1005002.67.

4. a) 1 × 104 + 4 × 102 + 5 × 10 + 6 × 100 + 5 × 10−4, b) 8 × 102 + 9 × 101 + 7 × 100 + 1 × 10−2, c)

2× 102 + 9× 10 + 5× 100 + 2× 10−1, d) 1× 102 + 1× 101 + 1× 100 + 1× 10−1 + 1× 10−2.

5. Ver apontamentos da disciplina.

2.4 Geometria

Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos do plano R2.

1. Calcule

(a) a distancia entre os pontos P1 e P2.

(b) coordenadas do ponto medio entre os ponstos P1 e P2.

(c) equacao cartesiana da recta que passa pelos pontos P1 e P2 supondo que x1 6= x2.

(d) equacao parametrica da recta que passa pelos pontos P1 e P2 supondo que x1 6= x2.

(e) equacao cartesiana da recta que passa pelos pontos P1 e P2 supondo que x1 = x2.

(f) o declive da recta que passa pelos pontos P1 e P2 supondo que x1 6= x2.

(g) a equacao da recta horizontal que passa pelo ponto P1.

(h) a equacao da recta vertical que passa pelo ponto P1.

28

(i) a famılia de rectas paralelas a recta que passa pelos pontos P1 e P2 supondo x1 6= x2.

(j) a equacao geral da recta perpendicular a recta que passa pelos pontos P1 e P2, supondo

x1 6= x2, e que passa pelo ponto P1.

2. Calcule

(a) a distancia entre os pontos (1, 2) e (2, 1).

(b) coordenadas do ponto medio entre os pontos (5, 1) e (1, 3).

(c) equacao cartesiana da recta que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 1).

(d) equacao parametrica da recta que passa pelos pontos (0, 1) e (−1, 2).

(e) equacao cartesiana da recta que passa pelos pontos (1, 2) e (1, 3).

(f) o declive da recta que passa pelos pontos (2, 3) e (−1, 2).

(g) a equacao da recta horizontal que passa pelo (1, 2).

(h) a equacao da recta vertical que passa pelo (1, 2).

(i) a famılia de rectas paralelas a recta que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 1).

(j) a equacao geral da recta perpendicular a recta que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 1) e que

passa pelo ponto (1, 2).

3. Trace o(s) grafico(s) da(s) recta(s) do exercıcio anterior.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.jamesbrennan.org/algebra/lines/straight_lines.htm

Um site simples e simpatico sobre rectas.

• http://www.bymath.com/studyguide/angeo/angeo2.htm

Solucoes: 1. Ver apontamentos da disciplina ou do ensino secundario. 2. Usar expressoes obtidas no

exercıcio anterior. 3. . . .. Se nao e capaz de tracar algum dos graficos pedidos, volte a estudar pelos

livros ou apontamentos do ensino secundario.

29

2.5 Trigonometria

Ahah!!! Nesta sessao nao sao dadas as solucoes de qualquer um dos exercıcios. Cabe ao aluno a

verificacao da veracidade das suas proprias respostas. Para tal devera consultar o material que

considerar conveniente.

1. Considere um triangulo rectangulo. Defina seno e cosseno de dois angulos que nao sao rectos em

termos da hipotenusa, base e altura do triangulo.

2. Complete de forma a obter expressoes verdadeiras. Considere que a e b sao reais.

(a) sin(a + 2π) =

(b) cos(a + 2π) =

(c) sin (a− b) =

(d) cos (a + b) =

(e) cos (a− b) =

3. Determine o conjunto de todos os numeros reais α para os quais a funcao trigonometrica dada nao

esta definida.

(a) tan(α).

(b) cot(α).

(c) sec(α).

(d) csc(α).

4. Trace o cırculo trigonometrico e represente os seguintes angulos: α = 5π4 , β = 7π

4 , γ =−3π

4 , δ = − 120π2 .

5. Complete a tabela

30

α\ sin(α) cos(α) tan(α) cot(α) sec(α) csc(α)

6

π

4

π

3

π

2

3

4

6

π7π

6

4

3

2

3

4

6

31

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig/

Um curso sobre trigonometria. Em ingles.

• http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig/identities.html

Pode ser acedido a partir do de cima. Tem lista de formulas.

• http://www.sosmath.com/trig/Trig5/trig5/trig5.html

Site em ingles. Tem uma lista de formulas.

• http://jurere.mtm.ufsc.br/~taneja/formulas/indices/indtri.html

Site brasileiro.

• http://www.terra.com.br/matematica/arq4-2.htm

Site brasileiro. Tem exercıcios resolvidos.

• http://www.terra.com.br/matematica/arq4-10.htm

Site brasileiro. Tem exercıcios resolvidos.

• http://pup.princeton.edu/books/maor/

Curioso.

2.6 Inequacoes

Resolva as seguintes inequacoes:

1. x− 2 < 1.

2. 2x2 + 2x− 4 < 0.

3. −2x2 + 2x + 4 < 0.

4. 2(x− 1)(x + 2)(x2 − 4x + 11) ≥ 0.

5.x2 − 4x + 11

x− 1> 0.

6. 2x2 + x− 1 < 3− x.

7. | x |≥ 2.

8. | 2x2 + 2x− 4 |< −4.

9. | x2 − 5x + 6 |≥ 6.

32

Um Site com Exercıcios e Solucoes

http://www.bymath.com/solproblems/problems_topics.htm

Solucoes: 1. x ∈ (−∞, 3), 2. x ∈ (−2, 1), 3. x ∈ (−∞,−1) ∪ (2,+∞), 4. x ∈ (−∞,−2] ∪ [1,+∞), 5.

x ∈ (1,+∞), 6. x ∈ (−2, 1), 7. x ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞), 8. x ∈ ∅, 9. x ∈ (−∞, 0] ∪ [5,+∞).

Capıtulo 3

Sucessoes e Series Numericas

3.1 Sucessoes

1. Procure nos apontamentos de AM1 a resposta a cada uma das seguintes perguntas e transcreva-a:

(a) O que e uma sucessao de numeros reais?

(b) Qual e o termo geral de uma sucessao aritmetica?

(c) Qual e o termo geral de uma sucessao geometrica?

(d) Como se define uma sucessao por recorrencia?

(e) Como pode definir uma sucessao aritmetica por recorrencia?

(f) Como pode definir uma sucessao geometrica por recorrencia?

(g) Quando e que uma sucessao se diz monotona?

(h) Quando e que uma sucessao e nao decrescente?

(i) O que quer dizer que uma sucessao (an) e limitada?

(j) Em linguagem matematica o que significa limn→+∞

an = a ?

(k) Quando e que se diz que uma sucessao e um infinitesimo?

(l) Quando e que uma sucessao (an) e um infinitamente grande negativo?

(m) Quando e que uma sucessao (an) e um infinitamente grande?

2. Apresentam-se os primeiros termos de sucessoes. Em cada caso determine o termo seguinte e defina

cada uma das sucessoes por recorrencia.

(a) 6, 10, 14, 18.

(b) 2, 6, 18, 54.

(c) 3, 4, 7, 11, 18, 29.

33

34

3. Procure nos apontamentos das aulas teoricas os exemplos que de seguida sao pedidos e transcreva-o.

(a) De um exemplo de uma sucessao geometrica.

(b) De um exemplo de uma sucessao cujo contradomınio e {1,−1}.

(c) De um exemplo de uma sucessao limitada.

(d) De um exemplo de uma sucessao crescente.

(e) De um exemplo de uma sucessao cujo limite e −5.

(f) De um exemplo de uma sucessao cujo limite e e.

(g) De um exemplo de uma sucessao que e um infinitesimo.

(h) De um exemplo de uma sucessao que e um infinitamente grande.

4. Complete

(a) Se an = (n+1)n2 , o termo de ordem 5 e . . ..

(b) Se bn = 2 + 3n, b10 = . . ..

(c) Se c1 = 3 e cn =√

5 + c2n−1, com n > 1, entao o termo de ordem 4 e . . ..

(d) Se d1 = 9, d2 = 4 e dn =√

dn−1 + dn, com n > 2, entao d5 = . . ..

(e) Se un =1n

e Sn =n∑

k=1

u2n, entao S3 = . . ..

5. Indique qual(is) a(s) resposta(s) certa(s) as seguintes perguntas, se existir(em):

(a) Considere a sucessao de termo geral an = 1n . O termo geral da subsucessao de termos ımpares

de (an) e

i. 13n .

ii. an+1

iii. 12n+1

iv. 12n .

(b) A sucessao un = n2+1n3 e

i. um infinitesimo.

ii. infinitamente grande positivo.

iii. convergente para 1.

iv. um infinitamente grande negativo.

(c) Considere a sucessao bn = (−2)n. Esta sucessao

i. e limitada.

ii. tem uma subsucessao convergente para 2 e outra convergente para 0.

iii. tem uma subsucessao convergente para 2 e outra convergente para −2.

iv. e convergente.

35

6. Classifique as afirmacoes seguintes como verdadeiras (V) ou falsas (F).

(a) Se limn→+∞

an = a, a ∈ R, e bn = an − a, entao limn→+∞

bn = 0.

(b) Se limn→+∞

an = a, com a 6= 0, entao existe um p ∈ N tal que | an |> |a|2 para todo o n ∈ N

maior que p.

(c) Se existem p ∈ N e a ∈ R\{0} tal que | an |> |a|2 para todo o n ∈ N maior que p, entao

limn→+∞

an = a.

(d) Se limn→+∞

(anbn) = r, r ∈ R, entao os limn→+∞

an e limn→+∞

bn existem (sao finitos).

(e) Se an ≤ bn ≤ cn para todo o n ≥ 10 e se limn→+∞

an = limn→+∞

cn = 5, entao limn→+∞

bn = 5.

(f) Se an ≤ bn ≤ cn para todo o n ≥ 10 e se limn→+∞

bn = limn→+∞

cn = 5, entao limn→+∞

an = 5.

7. Determine p ∈ N tal que

(a) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 5− 3n < 2.

(b) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, n− 12

> 1000.

(c) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, (−1)n

√n

< 10−4.

(d) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 1− 3√

n < −99.

8. (∗) Determine p ∈ N em funcao de K ∈ R, K > 0, tal que

(a) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 5− 3n < K.

(b) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, n− 12

> K.

(c) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, (−1)n

√n

< K.

(d) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 1− 3√

n < −K.

9. Seja a ∈ R. Complete

(a) Sabendo que para todo o ε ∈ (0, 1] existe um p ∈ N tal que para todo n ∈ {n ∈ N : n > p} se

tem | an − a |< ε, entao limn→+∞

an . . .

(b) Sabendo que para todo o n ∈ N se tem | an − a |> 0.01, entao limn→+∞

an . . .

(c) Sabendo que limn→+∞

a2n = a e limn→+∞

a2n+1 = a, entao limn→+∞

an . . .

(d) Sabendo que limn→+∞

a2n = 2 e limn→+∞

a3n = 3, entao limn→+∞

an . . .

10. (∗) Considere que a e b sao numeros reais. Demonstre os seguintes resultados:

(a) Se limn→+∞

an = a e un = an − a, entao limn→+∞

un = 0.

(b) Se limn→+∞

an = a e r ∈ R, entao limn→+∞

ran = ra.

(c) Se limn→+∞

an = a, limn→+∞

bn = b e un = an + bn, entao limn→+∞

un = a + b.

(d) Se limn→+∞

an = 0, limn→+∞

bn = 0 e un = anbn, entao limn→+∞

un = 0.

36

(e) Se limn→+∞

an = a, limn→+∞

bn = b e un = anbn, entao limn→+∞

un = ab.

(f) Se limn→+∞

bn = b 6= 0, entao ∃p ∈ N tal que para todo o n > p se tem | bn |>| b |2

.

(g) Se limn→+∞

bn = b 6= 0, entao limn→+∞

1bn

=1b.

(h) Se limn→+∞

an = a, limn→+∞

bn = b 6= 0 e un =an

bn, entao lim

n→+∞un =

a

b.

(i) Se limn→+∞

an = a e p ∈ N, entao limn→+∞

apn = ap.

(j) Se limn→+∞

an = a e, para algum k ∈ N, bn = an+k, entao limn→+∞

bn = a.

11. Pronuncie-se sobre a veracidade das seguintes afirmacoes.

(a) Seja (an) uma sucessao limitada. Entao o conjunto {a1, a2, . . . , an, . . .} tem supremo.

(b) Seja (an) uma sucessao nao decrescente e tal que o conjunto {a1, a2, . . . , an, . . .} tem supremo

S. Entao ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p =⇒ an − S > −ε.

(c) Seja (an) uma sucessao limitada e nao decrescente. Entao (an) e convergente.

12. Demonstre todas as afirmacoes verdadeiras apresentadas no exercıcio anterior.

13. Calcule

(a) limn→+∞

2n3

5 + 2n3

(b) limn→+∞

√2− 8n

1− 2n

(c) limn→+∞

1− n2

n2 + 1(d) lim

n→+∞(√

n + 1−√

n)

(e) limn→+∞

3n + 4n

5n + 62n

(f) limn→+∞

(1 +

3n

)n

(g) limn→+∞

(1 +

a

n

)n

, com a > 0.

(h) limn→+∞

(1 +

a

n− a

)n

, com a > 0.

(i) (∗) limn→+∞

(1− 4

n

)n

(j) limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n

(k) limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n+2

(l) limn→+∞

(1− 1

n2

)n

14. Seja (an) uma sucessao nao convergente tal que | an |≤ M para algum M > 0.

37

(a) Seja ainda (bn) uma sucessao tal que limn→+∞

bn = 0. Mostre que limn→+∞

(anbn) = 0.

(b) Calcule limn→+∞

1n + 1

+cos(n)n + 1

15. (∗) Sejam a, b ∈ R e considere a sucessao

an = a

(1 +

√5

2

)n

+ b

(1−

√5

2

)n

.

(a) Verifique que esta sucessao pode ser definida recursivamente por an = an−2 +an−1 para todo

o n ≥ 2.

(b) Determine a e b tal que a0 = a1 = 1.

16. Considere a sucessao de Fibonacci a0 = 1, a1 = 1 e an = an−2 + an−1 para todo o n ≥ 2. Seja

b1 = 1 e bn = 1 +1

bn−1. Verifique que bn = an

an−1.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.math.unl.edu/~webnotes/classes/class10/class10.htm

Este site tem alguns exercıcios sobre alguns limites. As respectivas respostas podem ser vistas.

Sugere-se ao aluno que teste as suas capacidades fazendo alguns destes exercıcios.

• http://www.math.unl.edu/~webnotes/classes/class08/class08.htm\#sequences

Este site, agora so com sucessoes, tem interesse.

Solucoes: 2. a) 22. a1 = 2 e an+1 = an + 4. b) 162. a1 = 2 e an+1 = 3an. c) 47. a1 = 3, a2 = 4 e

an+1 = an + an−1 para n ≥ 2.

4. a) 15, b) 32, c) 2√

6, d)√√

13 +√

4 +√

13, e) 1 +14

+19.

5. a) iii). b) i). c) Nenhuma das respostas esta certa.

6. a) Verdadeira. Ver resposta a 9. a).

b) Verdadeira. Ver resposta a 9. f).

c) Falsa. Pode-se dar muitos exemplos mostrando que esta afirmacao e falsa. Basta considerar um

exemplo. Por exemplo, se an = 2 + n, entao para p = 1 e a = 2 temos an > 1 para todo o n > p e

limn→+∞

an nao existe.

d) Falsa. Basta considerar an = n, bn = 1n e r = 1. Temos lim

n→+∞(anbn) = lim

n→+∞1 = 1 mas lim

n→+∞an

nao existe (e +∞).

e) Verdadeira. Este e o Teorema das sucessoes enquadradas.

f) F. Basta verificar que12n

≤ 5 +12n

≤ 5 +1n

, limn→+∞

5 +12n

= 5 = limn→+∞

5 +1n

mas limn→+∞

12n

= 0.

38

7. a) p = 1, b) p = 2001, c) p = 108, d) p = 106.

8. a) p = max{1,5−K

3}, b) p = max{1, 2K + 1}, c) p = max{1,

1K2

}, d) p = max{1, (K + 1)3}.

9. a) limn→+∞

an = a. Justificacao: Seja ε > 1. Entao1ε∈ (0, 1] e existe um p ∈ N tal que para todo o

n > p se tem | an − a |< 1ε

< ε. Logo para todo o ε > 0 existe uma ordem p ∈ N tal que para todo o

n > p se tem | an − a |< ε.

b) limn→+∞

an, se existir, nao e a. O que se afirma em b) e que existe um ε = 0.01 tal que para todo o

n ∈ N | an − a |> ε, ou seja, todos os elementos da sucessao estao a uma distancia de a maior do que

0.001.

c) limn→+∞

an = a. As subsucessoes dos termos ımpares e dos termos pares sao ambas convergentes para o

mesmo a. Logo a sucessao an converge para a.

d) limn→+∞

an nao existe. Se existisse, qualquer sua subsucessao convergia para o mesmo numero.

10. a) Seja ε > 0 qualquer. Como limn→+∞

an = a sabemos que existe um p ∈ N tal que para todo o n > p

se tem | an − a |=| un |< ε. Ora isto quer dizer que limn→+∞

un = 0.

b) Se r = 0, entao a sucessao ran e a sucessao nula, ran = 0, e o resultado segue. Seja r 6= 0 e seja ε > 0

qualquer. Entao η =ε

| r |> 0. Como lim

n→+∞an − a = 0, sabemos que existe um p ∈ N tal que para todo

o n > p se tem | an − a |< η. Assim, para todo o natural n > p, temos | r(an − a) |=| r | | an − a |< ε.

Tal permite-nos concluir que limn→+∞

ran = ra.

c) Seja ε > 0 qualquer. Entao existem p1, p2 ∈ N tais que para todo o n > p1 tem-se | an− a |< ε

2e para

todo o n > p2 tem-se | bn − b |< ε

2. Seja p = max{p1, p2}. Entao para todo o n > p tem-se | an − a |< ε

2e | bn − b |< ε

2. Logo, para todo o n > p tem-se | an + bn − a− b |≤| an − a | + | bn − b |< ε. Isto quer

dizer que limn→+∞

an + bn = a + b.

d) Seja ε > 0 qualquer. Entao existem p1, p2 ∈ N tais que para todo o n > p1 tem-se | an |<√

ε e para

todo o n > p2 tem-se | bn |<√

ε. Seja p = max{p1, p2}. Entao para todo o n > p tem-se | an |<√

ε

e | bn |< ε. Como | un |=| an | | bn |, concluımos que para todo o n > p se tem | un |< ε, ou seja,

limn→+∞

un = 0.

e) Sejam xn = an − a e yn = bn − b. Entao limn→+∞

xn = limn→+∞

yn = 0. Facilmente se verifica que

anbn = (xn + a)(yn + b) = ab + ayn + bxn + xnyn. Usando os resultados da alıneas b), c) e d) deduzimos

que limn→+∞

anbn = limn→+∞

(ab + ayn + bxn + xnyn) = ab.

f) Consideramos dois casos, b > 0 e b < 0. Se b > 0, seja ε =b

2. Como lim

n→+∞bn = b, sabemos que existe

uma ordem p ∈ N tal que para todo o n > p se tem −ε < bn − b < ε. Logo bn > −ε + b =b

2para todo o

n > p.

Seja agora b < 0. Entao −bn tende para −b e pelo resultado anterior sabemos que existe uma ordem

p ∈ N tal que para todo o n > p, −bn > − b

2. Como, neste caso e para todo o n > p se tem | bn |= −bn

e | b |= −b, o resultado fica demonstrado.

g) Observe-se que

1bn− 1

b=

1b

1bn

(b− bn).

39

Sabemos que limn→+∞

(b − bn) = 0. Logo, para todo o ε > 0, existe um p1 ∈ N tal que | b − bn |<ε

2| b |2.

Podemos concluir da alınea anterior que existe um p2 ∈ N tal que, para todo o n > p2,1

| bn |<

2| b |

.

Seja p = max{p1, p2}. Entao para todo o n > p tem-se

1| bn |

<2| b |

e | b− bn |<ε

2| b |2 .

Logo, para todo o n > p tem-se ∣∣∣ 1bn− 1

b

∣∣∣ ≤ 1| b |

2| b |

| b− bn |< ε.

Ou seja limn→+∞

1bn

=1b.

h) Basta ver quean

bn= an

1bn

. Pela alınea anterior e pela alınea e) concluımos que limn→+∞

an

bn=

a

b.

i) Basta aplicar o resultado da alınea e) p vezes.

j) Seja ε > 0 qualquer. Como limn→+∞

an = a sabemos que existe um p ∈ N tal que para todo o m > p se

tem | am−a |< ε. Seja q = k+k. Entao, para n > q, tem-se n−k > q−k > p e | bn−a |=| an−k−a |< ε.

Isto quer dizer que limn→+∞

bn = a.

11. e 12. a) Verdadeira. Qualquer conjunto limitado e limitado superiormente e qualquer conjunto

limitado superiormente tem supremo.

b) Verdadeira. A sucessao e nao decrescente. Como o contra-domınio da sucessao tem supremo, a

sucessao e limitada. Seja S o supremo do contra-domınio da sucessao, como no enunciado. Como (an)

e nao decrescente, dizer que S e o supremo de {a1, a2, . . . , an, . . .} e equivalente a dizer que para todo o

ε > 0 existe um p ∈ N tal que, para todo o n > p se tem an ∈ (S − ε, S), ou seja, an − S > −ε.

c) Verdadeira. Pela alınea anterior sabemos que para todo o ε > 0 existe um p ∈ N tal que, para todo o

n > p se tem an ∈ (S − ε, S). Assim temos an − S < 0 e an − S > −ε. Entao | an − S |= S − an < ε.

Isto quer dizer que an converge para S, o supremo do seu contradomınio.

13. a) 1, b) 2, c)−1, d) 0, e) 0, f) limn→+∞

(1 +

3n

)n

= limn→+∞

((1 +

1n/3

)n/3)3

= e3. g) limn→+∞

(1 +

a

n

)n

=

limn→+∞

((1 +

1n/a

)n/a)a

= ea. h) limn→+∞

(1 +

a

n− a

)n

= limn→+∞

(1 +

1n−a

a

)n−a

limn→+∞

(1 +

1n−a

a

)a

=

limn→+∞

((1 +

1n−a

a

)n−aa

)a

limn→+∞

(1 +

1n−a

a

)a

= ea. i) limn→+∞

(1− 4

n

)n

= limn→+∞

1(1 + 4

n−4

)n = e−4.

j) limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n

= limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n+1(1− 4

n + 1

)−1

= e−4. k) limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n+2

=

limn→+∞

(1− 4

n + 1

)n+1(1− 4

n + 1

)= e−4.

l) limn→+∞

(1− 1

n2

)n

= limn→+∞

(n2 − 1

n2

)n

= limn→+∞

((n− 1)

n

(n + 1)n

)n

= limn→+∞

(1− 1

n

)n(1 +

1n

)n

=

e−1e = 1.

14. a) E facil verificar que se tem sempre −M | bn |≤| anbn |≤ M | bn |. Como limn→+∞

bn = 0, tem-se,

pelo teorema das sucessoes enquadradas, limn→+∞

anbn = 0. b) 0.

40

15. a)

an−1 + an−2 = a(

1+√

52

)n−1

+ b(

1−√

52

)n−1

+ a(

1+√

52

)n−2

+ b(

1−√

52

)n−2

= a(

1+√

52

)n−1(

21 +

√5

+ 1)

+ b(

1−√

52

)n−1(

21−

√5

+ 1)

= a(

1+√

52

)n−1(

3 +√

51 +

√5

)+ b

(1−√

52

)n−1(

3−√

51−

√5

)

= a(

1+√

52

)n−1(

1 +√

52

)+ b

(1−√

52

)n−1(

1−√

52

)

= a(

1+√

52

)n

+ b(

1−√

52

)n

= an

b) a =5 +

√5

10e b =

5−√

510

.

16. Seja {n ∈ N : bn =an

an−1}. Vamos provar que S = N por inducao finita ou matematica. Comecamos

por verificar se 1 ∈ S. Ora b1 = 1 ea1

a0= 1 = b1. Logo 1 ∈ S. Suponhamos que algum n ≥ 1

pertende a S, ou seja, que bn =an

an−1. Esta ultima igualdade e a hipotese de inducao. Temos agora

que verificar que n ∈ S =⇒ n + 1 ∈ S. Ora bn+1 = 1 +1bn

= 1 +an−1

anpor hipotese de inducao. Logo

bn+1 =an + an−1

an=

an+1

an. Ou seja, n + 1 ∈ S. Concluımos pois que S = N.

3.2 Series Numericas

1. Sejam ak, bk ∈ R para todo o k ∈ N ∪ {0}. Sejam ainda p ∈ Z, a, α ∈ R e m, n ∈ N com

m < n. Complete transcrevendo dos apontamentos das aulas teorica as definicoes e propriedades

dos seguintes somatorios:

(a)n∑

k=m

ak = . . .

(b)n∑

k=m

ak =n+p∑

k=m+p

. . .

(c)n∑

k=0

a = . . .

(d)n∑

k=m

a = . . .

41

(e)n∑

k=0

ak +n∑

k=0

bk =n∑

k=0

. . .

(f) αn∑

k=0

ak = . . .

(g)m∑

k=0

ak +n∑

k=m+1

ak = . . .

(h)m∑

k=0

(ak+1 − ak) = . . ..

2. Seja ak =1

n + 1e bn =

2n + 1n + 1

. Verifique a veracidade das formulas do exercıcio anterior nos

seguintes casos:

(a)6∑

k=3

ak = . . .

(b)4∑

k=2

ak =7∑

k=5

. . .

(c)10∑

k=0

2 = . . .

(d)98∑

k=56

1 = . . .

(e)5∑

k=0

ak +5∑

k=0

bk =n∑

k=0

. . .

(f) 27∑

k=0

ak = . . .

(g)3∑

k=0

ak +6∑

k=4

ak = . . .

(h)7∑

k=0

(ak+1 − ak) = . . ..

3. Calcule:

(a)4∑

k=1

(−2)k.

(b)5∑

k=1

(−2)k.

(c)10∑

k=1

(1

2k + 1− 1

2k − 1

).

(d)5∑

k=1

12k

.

42

(e)10∑

k=1

1k

.

(f)10∑

k=1

1k2

.

(g)5∑

k=1

2k + 3k

6k.

(h)5∑

k=1

(ln(k + 1)− ln(k)) = . . ..

(i)10∑

k=1

910k

.

4. Considere a sucessao Sn =n∑

k=1

910k

. Seja an = 910n .

(a) Calcule a1, a2, a3, a4, a5 e a6.

(b) Calcule limn→+∞

an.

(c) Calcule S1, S2, S3, S4, S5 e S6.

(d) Calcule ε1 = 1− S1, ε2 = 1− S2, ε3 = 1− S3, ε4 = 1− S4, ε5 = 1− S5 e ε6 = 1− S6.

(e) Com base nas respostas as alıneas anteriores, sera que pode prever qual o limn→+∞

Sn?

(f) Considere a dızima infinita periodica S = 0.99999 . . . 9 . . . e calcule 1− S.

(g) Seja L =+∞∑n=1

an. Relacione limn→+∞

Sn com L.

5. Considere a sucessao an e a serie∞∑

n=1

an.

(a) Identifique a sucessao geradora da serie.

(b) Defina a sucessao das somas parciais da serie.

(c) Defina soma da serie.

(d) Diga o que entende por estudar a convergencia da serie.

(e) Quando e que a serie e convergente?

(f) Quando e que a serie se diz divergente?

6. Considere a sucessao Sn =n∑

k=1

a

2konde a > 0.

(a) Calcule S1, S2, S3, S4 e S5.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Demonstre por inducao matematica

a

2+

a

4+ . . . +

a

2n=(

2n − 12n

)a

43

(d) Verifique se a serie∞∑

n=1

a

2ne convergente e em caso afirmativo calcule a soma da serie.

7. Considere a sucessao Sn =n∑

k=0

12k

.

(a) Calcule S1, S2, S3, S4 e S5.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Demonstre por inducao matematica

1 +12

+14

+ . . . +12n

= 1 +2n − 1

2n

(d) Verifique se a serie∞∑

n=0

12n

e convergente e em caso afirmativo calcule a soma da serie.

8. Considere a sucessao Sn =n∑

k=1

2k.

(a) Calcule S1, S2 e S3.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Verifique se a serie∞∑

n=0

2n e convergente.

9. Considere a sucessao Sn =n∑

k=1

(−1)k.

(a) Calcule S1, S2 e S3.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Verifique se a serie∞∑

n=0

(−1)n e convergente.

10. Considere a sucessao Sn =n∑

k=1

(1

k + 1− 1

k

).

(a) Calcule S1, S2 e S3.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Demonstre por inducao matematica(12− 1

1

)+(

13− 1

2

)+ . . . +

(1

n + 1− 1

n

)=(

1n + 1

− 1)

(d) Verifique se a serie∞∑

n=1

(1

n + 1− 1

n

)e convergente e em caso afirmativo calcule a soma da

serie.

11. Considere a sucessao Sn =n∑

k=1

rk, onde | r |< 1.

44

(a) Calcule S1, S2 e S3.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Verifique se a serie∞∑

n=1

rn, onde | r |< 1, e convergente e em caso afirmativo calcule a soma

da serie.

(d) Verifique que a serie∞∑

n=1

rn, onde | r |≥ 1, e divergente.

12. Considere a sucessao Sn =n∑

k=0

rk, onde | r |< 1. Cuidado, esta serie difere da anterior,

porque comeca em 0 e nao em 1.

(a) Calcule S1, S2 e S3.

(b) Determine uma forma fechada para o termo geral de Sn.

(c) Verifique se a serie∞∑

n=0

rn, onde | r |< 1, e convergente e em caso afirmativo calcule a soma

da serie.

(d) Verifique que a serie∞∑

n=0

rn, onde | r |≥ 1, e divergente.

13. Complete as seguintes afirmacoes de forma a obter proposicoes verdadeiras:

(a) Se∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn sao series convergentes e se α, β ∈ R, entao a serie∞∑

n=1

(an + bn) e . . . . . . e

∞∑n=1

(αan + βbn) = . . . . . ..

(b) Se∞∑

n=1

an e uma serie convergente e∞∑

n=1

bn e divergente, entao a serie∞∑

n=1

(an + bn) e . . . . . ..

(c) A serie∞∑

n=1

(an+1−an) converge se e so se a sucessao . . . converge. Neste caso a soma da serie

∞∑n=1

(an+1 − an) = L− a1 onde L = . . . . . ..

(d) A serie∞∑

n=1

rn converge se e so se . . . e neste caso∞∑

n=1

rn = . . ..

14. Estude a convergencia das series

(a)∞∑

n=1

1(2n + 1)(2n + 3)

(b)∞∑

n=1

4n + 5n

20n.

(c)∞∑

n=1

ln(

n + 1n + 2

).

45

15. Enuncie uma condicao necessaria para a convergencia da serie∞∑

n=1

an.

16. Classifique as seguintes afirmacoes como Verdadeiras (V) ou falsas (F).

(a) Como limn→+∞

an = 0, a serie∞∑

n=1

an e convergente.

(b) Como limn→+∞

an = 3, a serie∞∑

n=1

an e divergente.

(c) Como a serie∞∑

n=1

an e divergente, concluımos que limn→+∞

an 6= 0.

(d) A serie∞∑

n=1

an e convergente. Logo limn→+∞

an 6= 0.

17. De um exemplo de uma serie∞∑

n=1

an divergente tal que limn→+∞

an = 0.

18. (∗) Demonstre o seguinte resultado: Se a serie∞∑

n=50

an diverge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem diverge.

19. Sejam an e bn duas sucessoes tais que 0 ≤ an ≤ bn para todo o n ∈ N. Classifique as seguintes

afirmacoes como Verdadeiras (V) ou falsas (F).

(a) Se a serie∞∑

n=1

an converge, entao a serie∞∑

n=1

bn tambem converge.

(b) Se a serie∞∑

n=1

an diverge, entao a serie∞∑

n=1

bn tambem diverge.

(c) Se a serie∞∑

n=1

bn converge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem converge.

(d) Se a serie∞∑

n=1

bn diverge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem diverge.

(e) Se a serie∞∑

n=1

an converge, entao a serie∞∑

n=50

an tambem converge.

(f) Se a serie∞∑

n=1

an diverge, entao a serie∞∑

n=50

an tambem diverge.

(g) Se a serie∞∑

n=50

an converge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem converge.

(h) Se a serie∞∑

n=50

an diverge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem diverge.

(i) Se a serie∞∑

n=50

bn converge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem converge.

(j) Se a serie∞∑

n=50

an diverge, entao a serie∞∑

n=1

bn tambem diverge.

46

20. Estude a convergencia das series:

(a)∞∑

n=1

n + 1(n + 3)3n

.

(b)∞∑

n=1

2(n + 1)!

.

(c)∞∑

n=1

5n + 13n

.

21. Sejam an e bn duas sucessoes tais que an ≥ 0, bn > 0 e limn→+∞

an

bn= L ∈ R. Complete as frases

seguintes de forma a obter proposicoes verdadeiras:

(a) Se L 6= 0 e se∞∑

n=1

an e convergente, entao∞∑

n=1

bn e . . ..

(b) Se L 6= 0 e se∞∑

n=1

an e divergente, entao∞∑

n=1

bn e . . ..

(c) Se L 6= 0 e se∞∑

n=1

bn e convergente, entao∞∑

n=1

an e . . ..

(d) Se L 6= 0 e se∞∑

n=1

bn e divergente, entao∞∑

n=1

an e . . ..

(e) Se L = 0 e se∞∑

n=1

an e divergente, entao∞∑

n=1

bn e . . ..

(f) Se L = 0 e se∞∑

n=1

bn e convergente, entao∞∑

n=1

an e . . ..

22. Seja an uma sucessao tal que an ≥ 0 e limn→+∞

n√

an = R. Complete as frases seguintes de forma a

obter proposicoes verdadeiras:

(a) Se R < 1, a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(b) Se R > 1, a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(c) Se R = ∞, a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(d) Se R = 1, . . ..

23. Seja an uma sucessao tal que an ≥ 0 e limn→+∞

an+1

an= R. Complete as frases seguintes de forma a

obter proposicoes verdadeiras:

(a) Se R > 1, a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(b) Se R = ∞, a serie∞∑

n=1

an e . . ..

47

(c) Se R < 1 a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(d) Se R = 1, . . ..

24. Estude a convergencia das seguintes series:

(a)∞∑

n=1

1n + 1

.

(b)∞∑

n=1

(1− 1

n

)n2n

(c)∞∑

n=1

1n(n + 1)(n + 3)

. Sugestao: A serie∞∑

n=1

1n3

e convergente.

(d)∞∑

n=1

1n3 + 2

.

(e)∞∑

n=1

1n!

.

(f)∞∑

n=1

(1− 1

n

)n2

.

(g)∞∑

n=1

(1 +

1n

)n2

.

(h)∞∑

n=1

en

n2 + 1

(i)∞∑

n=1

2nn!nn

.

25. Defina serie alternada. De exemplos de series alternadas.

26. Considere a serie alternada∞∑

n=1

(−1)nan onde an e uma sucessao de termos positivos. Enuncie uma

condicao suficiente para a convergencia desta serie.

27. Defina serie absolutamente convergente.

28. O que quer dizer “ A serie∞∑

n=1

an e condicionalmente convergente”. De um exemplo de uma serie

condicionalmente convergente.

29. Considere a serie∞∑

n=1

an. Complete as frases seguintes de forma a obter proposicoes verdadeiras:

(a) A serie dada e absolutamente convergente. Entao a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(b) Se a serie∞∑

n=1

| an | e convergente, entao

∣∣∣∣∣∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣ . . .∞∑

n=1

| an |.

48

(c) Se limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L < 1, entao a serie∞∑

n=1

an e . . ..

(d) Se limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L e L > 1 ou L = ∞, entao a serie∞∑

n=1

an e . . ..

30. Classifique as seguintes series em divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente con-

vergente.

(a)∞∑

n=1

(−1)n 2n

n + 1.

(b)∞∑

n=1

(−1)n e−n

n + 1.

(c)∞∑

n=1

(−1)n2 1n2n

.

(d)∞∑

n=1

(−1)2n 1n + 1

.

(e)∞∑

n=1

(−1)n 1n + 1

.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.ies.co.jp/math/java/calc/kaisa/kaisa.html

Sobre somatorios.

• http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/calculus/series/geometric/learn.htm

Radio actividade e series.

• http://www.ltcconline.net/greenl/courses/107/Series/ALTSER.HTM Sobre series alternadas.

• http://math.rice.edu/~lanius/Lessons/Series/infinite.htm

• http://www.math.utah.edu/~carlson/teaching/calculus/series.html

• http://www.sosmath.com/calculus/series/convergence/convergence.html

Sobre convergencia de series. Tem exemplos resolvidos.

• http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma2001/notes/node47.html

Solucoes: 3. a) 10, b) −22, c) −2021

, d) 0.96875 . . ., e) 2.928968 . . ., f) 1.549768 . . ., g) 1.466692 . . ., h)

ln(6), i) 0.9999999999.

4. a) 0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, 0.00009 e 0.000009. b) 0, c) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999 e 0.999999. d)

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 e 0.000001. e) Sera 1, f) 1− S = 0, g) O mesmo.

5. e 6. Ver apontamentos. 7. a), b) e d): Basta notar que Sn =n∑

k=0

12k

= 1 +n∑

k=1

12k

e usar os resultados

49

do exercıcio anterior paran∑

k=1

12k

.

7. c) Fazer este exercıcio usando os mesmos argumentos que foram utilizados em 6 c).

8. a 11. Ver apontamentos. 12. Basta notar que Sn = 1 +n∑

k=1

rk. 13. Ver apontamentos. 14.

a) Trata-se de uma serie telescopica convergente. Temos1

(2n + 3)(2n + 1)=

A

2n + 3+

B

2n + 1=

2n(A + B) + A + 3B

(2n + 3)(2n + 1). Logo A = −B = −1/2. Assim

1(2n + 3)(2n + 1)

− 12

(1

2n + 3− 1

2n + 1

). Seja

an = 12n+1 . Entao

k∑n=1

1(2n + 3)(2n + 1)

= −12

(lim

n→+∞an+1 − a1

)=

16.

b)4n + 5n

20n=

15n

+14n

. A serie e soma de duas series geometricas de razao respectivamente 1/5 e

1/4. Logo converge e∞∑

n=1

4n + 5n

20n=

14

+13. c) Trata-se de uma serie telescopia:

∞∑n=1

ln(

n + 1n + 2

)=

−∞∑

n=1

(ln(n + 2)− ln(n + 1)). Diverge porque limn→+∞

ln(n + 1) = +∞.

15. limn→+∞

an = 0. 16. a) F. A serie∞∑

n=1

1n

e divergente mas 1n converge para 0. b) V. Se a serie

convergisse, entao limn→+∞

an teria que ser 0. c) F. A serie∞∑

n=1

1n

e divergente mas 1n converge para 0. d)

F. Se a serie converge, entao limn→+∞

an = 0.

17.∞∑

n=1

1n

.

18. Seja Sn =n∑

k=50

ak. Como a serie∞∑

k=50

an diverge, sabemos que limn→+∞

Sn ou e ∞ ou nao existe. Seja

sn =n∑

k=1

ak para n ≤ 49. e sn =49∑

k=1

ak + Sn para n ≥ 50. A sucessao sn e a sucessao das somas

parciais da serie∞∑

n=1

an. Seja A =49∑

k=1

ak. Se limn→+∞

Sn = ∞, entao limn→+∞

sn = A + limn→+∞

Sn = ∞

e, consequentemente, a serie∞∑

n=1

an diverge. Se limn→+∞

Sn nao existe, entao tambem nao pode existir

limn→+∞

sn, porque se existisse limn→+∞

sn existiria limn→+∞

Sn, pois, para n ≥ 50, Sn = sn − A. Se limn→+∞

sn

nao existe, entao∞∑

n=1

an diverge.

19. a) Falsa. Se an =1n2

e bn =1n

, temos 0 ≤ an ≤ bn. A serie∞∑

n=1

an converge, mas a serie∞∑

n=1

bn

diverge.

b) e c) Ambas verdadeiras. Ver teste de comparacao em apontamentos.

d) Falsa. Se an =1n2

e bn =1n

, temos 0 ≤ an ≤ bn. A serie∞∑

n=1

bn diverge, mas a serie∞∑

n=1

an converge.

50

e), f) g) e h) sao todas verdadeiras. A convergencia das series nao se altera quando somamos ou sub-

traımos um numero finito de termos.

i) Se∞∑

k=50

bn converge, entao a serie∞∑

n=1

bn tambem converge. Logo a serie∞∑

n=1

an tambem converge.

j) Se∞∑

k=50

ak diverge, entao a serie∞∑

n=1

an tambem diverge. Logo a serie∞∑

n=1

bn tambem diverge.

20. a) 0 ≤ n + 1(n + 3)3n

≤ 13n

e a serie∞∑

n=1

13n

converge, porque e uma serie geometrica de razao13. Logo a

serie∞∑

n=1

n + 1(n + 3)3n

converge.

b) 0 ≤ 2(n + 1)!

≤ 2n2

e a serie∞∑

n=1

2n2

converge. Logo a serie∞∑

n=1

2(n + 1)!

converge.

c) A serie diverge, porque limn→+∞

5n + 13n

= +∞.

21. a) Conv., b) Div., c) Conv., d) Div., e) Div., f) Conv.

22. a) Conv., b) Div., c) Div., d) Nada se pode concluir.

23. a) Div., b) Div., c) Conv., d) Nada se pode concluir.

24. a)∞∑

n=1

1n

e divergente e limn→+∞

1n+1

1n

= limn→+∞

n

n + 1= 1 6= 0. Logo

∞∑n=1

1n + 1

e divergente.

b) limn→+∞

n

√(1− 1

n

2

)n

= limn→+∞

1− 1n

2=

12

< 1. Logo a serie dada converge.

c) n(n + 1)(n + 3) > n3 =⇒ 1n(n + 1)(n + 3)

<1n3

e∞∑

n=1

1n3

converge. Logo a serie dada converge.

d) n3 + 2 > n3 e∞∑

n=1

1n3

converge. Logo a serie dada converge.

e) limn→+∞

1n!1

n2

= limn→+∞

(n

n− 1

)(1

(n− 2)!

)= 0 (porque, para n > 2, tem-se 1

(n−2)n ≤ 1(n−2)! ≤

1n−2 ,

limn→+∞

1(n− 2)n

= 0 e limn→+∞

1n− 2

= 0). Ora a serie∞∑

n=1

1n2

converge. Logo a serie dada converge.

f) limn→+∞

n

√(1− 1

n

)n2

= limn→+∞

(1− 1

n

)n

=1e

< 1. Logo a serie dada converge.

g) limn→+∞

n

√(1 +

1n

)n2

= limn→+∞

(1 +

1n

)n

= e > 1. Logo a serie dada diverge.

h) limn→+∞

en+1

n2+2n+2en

n2+1

= e > 1. Logo a serie dada diverge.

i) limn→+∞

2n+1(n + 1)n!(n + 1)n(n + 1)

nn

2nn!= lim

n→+∞2(

n

n + 1

)n

== limn→+∞

2(1 + 1

n

)n =2e

< 1. Logo a serie dada

converge.

25. Ver apontamentos. 26. Ver apontamentos. Condicao suficiente: (an) e uma sucessao decrescente e

limn→+∞

an = 0. Lembrar que ja se supoe que an > 0 para todo o n ∈ N.

27. Ver apontamentos. 28. Ver apontamentos. Exemplo pedido:∞∑

n=1

(−1)n 1n

.

29. a) convergente, b) ≤ , c) Absolutamente convergente, d) divergente.

51

30. a) Divergente, porque limn→+∞

(−1)n 2n

n + 1nao existe.

b) Absolutamente convergente, porque limn→+∞

1en+1(n+2)

1en(n+1)

= 1/e < 1.

c) Absolutamente convergente, porque a serie dos modulos,∞∑

n=1

1n2n

, converge uma vez que 0 ≤ 1n2n ≤ 1

2n

e∞∑

n=1

12n

e convergente.

d) Divergente, porque∞∑

n=1

(−1)2n 1n + 1

=∞∑

n=1

1n + 1

e a serie∞∑

n=1

1n + 1

e divergente.

e) Condicionalmente convergente, porque a serie dos modulos∞∑

n=1

1n + 1

e divergente e a serie∞∑

n=1

(−1)n 1n + 1

e alternada sendo an = 1n+1 uma sucessao de termos positivos, decrescente e com lim

n→+∞

1n + 1

= 0. Ou

seja, a serie∞∑

n=1

(−1)n 1n + 1

e convergente mas a serie dos modulos e divergente.

Capıtulo 4

Funcoes

4.1 Funcoes

1. Sejam D e B dois conjuntos nao vazios. Seja x um elemento de D e f : D → B uma funcao de D

em B. Indique ou defina:

(a) Conjunto de chegada.

(b) Conjunto de partida.

(c) Domınio de f .

(d) Contradomınio.

(e) Imagem por f de x.

2. Seja D = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {100, 200, 300, 400, 500}. Considere as correspondencias f : D → B e

g : D → B definidas pela tabela.

f 1 2 3 4 5 g 1 2 3 4 5

100 X X 100

200 X 200

300 X 300 X X

400 X 400 X X

500 500

(a) A correspondencia f nao e uma funcao. Porque?

(b) Determine o domınio de g.

(c) Determine o contradomınio de g.

(d) Verifique se g e injectiva.

3. Considere uma funcao real de variavel real f : R → R.

52

53

(a) Defina em linguagem matematica os conjuntos D(f), Im(f) e Gra(f) (domınio, imagem ou

contra-domınio e grafico de f).

(b) Que condicao devera f satisfazer para ser injectiva?

(c) Que condicao devera f satisfazer para ser sobrejectiva?

(d) Que condicao devera f satisfazer para ser uma funcao monotona nao decrescente?

(e) Que condicao devera f satisfazer para ser uma funcao monotona nao crescente?

(f) Que condicao devera f satisfazer para ser uma funcao periodica?

4. De um exemplo de uma fyncao real de variavel real que satisfaz cada um dos casos seguintes

(a) injectiva

(b) bijectivas

(c) par

(d) ımpar

(e) periodica

(f) monotona nao crescente

(g) monotona nao decrescente

5. Classifique cada uma das funcoes dadas f : D ⊂ R → R em injectiva, sobrejectiva, bijectiva, par,

ımpar, periodica, monotona nao crescente (mnc) e monotona nao decrescente (mnd).

(a) f(x) = ex

(b) f(x) = x

(c) f(x) = ln(x)

(d) f(x) = sin(x)

(e) f(x) = cos(x)

(f) f(x) = x2

(g) f(x) = x3

(h) f(x) = −x3

6. Considere as seguintes funcoes reais de variavel real

f1(x) =√

3x2 − 3, f2(x) =

√x2 + x− 6

x2 − 1, f3(x) = ln(x2)

√−2x2 − 2x + 12

Indique o domınio de cada uma destas funcoes.

7. Determine o subconjunto do domınio em que a funcao dada e estritamente crescente:

(a) f(x) = ex

(b) f(x) = x2

54

(c) f(x) = x2 − 1

(d) f(x) = cos(x)

8. Como define uma funcao limitada?

9. Como classifica uma funcao f : R → R que satisfaz a condicao seguinte?

(a) ∀x, y ∈ Df : x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y).

(b) ∃M > 0 : | f(x) |< M, ∀x ∈ Df .

(c) ∃x, y ∈ Df : x 6= y ∧ f(x) = f(y).

(d) ∀x, y ∈ Df : x < y =⇒ f(x) < f(y).

(e) ∀ y ∈ R ∃x ∈ Df : y = f(x).

10. Considere a funcao f(x) = sin(cos(x + 1)) e escreva-a como funcao composta de tres funcoes.

11. Considere as duas funcoes que sao dadas e verifique em que caso pode definir uma nova funcao

usando essas duas funcoes e a operacao de composicao. Em caso afirmativo, defina a(s) funcao(oes)

composta(s).

(a) f(x) = cos(x), g(x) = x2.

(b) f(x) = sin(x), g(x) = x3.

(c) f(x) = ex, g(x) = −x2 + x− 3.

(d) f(x) = ln(x), g(x) = −x2 + x− 3.

12. Sabendo que f tem inversa em todo o seu domınio, o que podera concluir sobre f?

13. Sendo f uma funcao com domınio R e que tem inversa, como pode geometricamente relacionar os

graficos de f e f−1?

14. Verifique quais as funcoes que tem inversa e em caso afirmativo defina a funcao inversa nao esque-

cendo de explicitar o domınio desta nova funcao.

(a) f : [0,+∞) → R e f(x) = x2

(b) f(x) = ln(x).

(c) f(x) = x.

(d) f : [0, π] → R, f(x) = cos(x).

(e) f : [−π2 , π

2 ] → R e f(x) = sin(x).

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/fun1/grongr.html

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/fun1/erkennen.html

55

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/fun1/eigensch.html

Estes tres sites tem testes. Recomenda-se que o aluno os faca.

Solucoes:1. a) B, b) D, c) Df e um subconjunto de D, Df ⊂ D que contem todos os pontos onde f esta

definida, d) CDf = {y ∈ B : y = f(x), x ∈ Df}, e) f(x) ∈ B

2. a) 1 tem duas imagens por f . O mesmo para 5. b) Dg = {2, 3, 4, 5}, c) CDg = {300, 400}. d) Nao.

g(2) = g(3). 3. Procurar as respostas nos apontamentos. 4. a)f(x) = ex, etc, b) f(x) = x, etc c)

f(x) = x2, etc, d)f(x) = x3 , etc, e) sin(x), etc, f) f(x) = −x, etc, g) f(x) = x, etc.

5. a) injectiva, mnd. b) inj, sobrej, bij, mnd, ımpar c) inj, mnd, sobrej. d) ımpar, perio. e) par,

perio. f) par. g) inj, sobrej, biject, ımpar, mnd. h) inj, sobre, biject, ımpar, mnc 6. Df1 = (−∞,−1] ∪[1,+∞), Df2 = (−∞,−3] ∪ (−1, 1) ∪ [2,+∞), Df3 = [−3, 0) ∪ (0, 2]. 7. a) R b) [0,+∞), c) [0,+∞), d)⋃k∈Z

[2kπ−π, 2kπ]. 8. Ver apontamentos. 9. a) inj, b) limitada, c) nao injectiva, d) estritamente crescente,

e) sobrej. 10. f1(x) = x+1, f2(x) = cos(x), f3(x) = sin(x), f(x) = f3◦f2◦f1(x). 11. a) g◦f(x) = cos2(x)

e f◦g(x) = cos(x2), b) g◦f(x) = sin3(x) e f◦g(x) = sin(x3), c) g◦f(x) = −e2x+ex−3, f◦g(x) = e−x2+x−3

d) CDg ∩ Df = ∅. Logo f ◦ g nao existe mas g ◦ f(x) = − ln2(x) + ln(x) − 3. 12. e injectiva. 13. O

grafico de uma funcao e a reflexao do grafico da outra relativamente a recta y = x. 14. a) tem inversa e

e g(x) =√

x, com Df = [0,+∞). b) tem inversa e e g(x) = ex, com Dg = R. c) tem inversa e esta e a

propria funcao. d) Tem inversa e e g(x) = arccos(x) com Dg = [−1, 1]. e) Tem inversa, g(x) = arcsin(x)

e Dg = [−1, 1].

Capıtulo 5

Continuidade

5.1 Limites

1. Seja yn =xn

xn + 1e xn = (−1)n 1

n. Calcule lim

n→+∞yn.

2. Sendo f uma funcao real de variavel real e seja x ∈ R para o qual existe um ε > 0 tal que

(−ε + x, x + ε)\{x} ⊂ Df . Sabe-se que para toda a sucessao xn tal que limn→+∞

xn = x se tem

limn→+∞

yn = y, onde yn = f(xn) e y ∈ R. Que pode concluir sobre limx→x

f(x)?

3. Sendo f uma funcao real de variavel real e seja x ∈ R para o qual existe um ε > 0 tal que

(−ε+x, x+ε)\{x} ⊂ Df . Sabe-se que existe uma sucessao xn tal que limn→+∞

xn = x e limn→+∞

f(xn) =

l. Que pode concluir sobre limx→x

f(x)?

4. Sendo f uma funcao real de variavel real. Defina em linguagem matematica:

(a) limx→x

f(x) = L.

(b) limx→x+

f(x) = L.

(c) limx→x−

f(x) = L.

5. Sabe-se que limx→x

f(x) = L. Que pode concluir sobre os limites laterais de f?

6. Sabe-se que limx→x+

f(x) = L e que limx→x−

f(x) = M . Que pode concluir sobre limx→x

f(x)?

7. Trace o grafico de funcoes para as quais limx→x+

f(x) e limx→x−

f(x) existam e limx→x

f(x) nao exista.

8. Demonstre o seguinte resultado: “Se limx→x

f(x) existe, entao ele e unico”.

9. Demonstre o seguinte resultado:

limx→x

f(x) = l ⇐⇒ limx→x

(f(x)− l) = 0 ⇐⇒ limx→x

| f(x)− l |= 0.

10. (∗) Demonstre:

56

57

(a) limx→x

f(x) = l =⇒ limx→x

| f(x) |=| l |.

(b) limx→x

f(x) = 0 ⇐⇒ limx→x

| f(x) |= 0.

11. Considere a funcao

f(x) =

{−1 se x > 0

1 se x ≥ 0

(a) Calcule limx→0

| f(x) |.

(b) Calcule limx→0

f(x) = 0.

(c) O que pode concluir?

12. Sendo f uma funcao real de variavel real e seja x ∈ R para o qual existe um ε > 0 tal que

(−ε + x, x + ε)\{x} ⊂ Df . Traduza em linguagem matematica:

(a) limx→x

f(x) = +∞.

(b) limx→x

f(x) = −∞.

(c) limx→x

f(x) = ∞.

13. Esboce o grafico e calcule limx→a

f(x) onde

(a) f(x) =1x

, a = 0.

(b) f(x) =1x2

, a = 0.

(c) f(x) =1

x− 1, a = 1.

(d) f(x) =1

x2 − 1, a = 1.

14. Escreva uma condicao equivalente a dada usando limites.

(a) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒ f(x) > M .

(b) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒| f(x) |> M .

(c) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒ f(x) < −M .

(d) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒ f(x) > M .

(e) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒| f(x) |> M .

(f) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒ f(x) < −M .

15. Suponha que limx→c

f(x) = l, limx→c

g(x) = m. Seja α ∈ <. Complete:

(a) limx→c

(f(x) + g(x)) = . . .

(b) limx→c

f(x)g(x) = . . .

(c) limx→c

αf(x) = α limx→c

f(x) = . . .

58

16. De exemplos de duas funcoes f e g, tais que os respectivos limites quando x tende para 0 sao

infinitos mas limx→0

(f(x) + g(x)) = 0.

17. De exemplos de duas funcoes f e g, tais que limx→1

f(x) = 0, limx→1

g(x) = ∞, mas limx→1

f(x)g(x) = 1.

18. Suponha que limx→c

f(x) = l, limx→c

g(x) = m e m 6= 0. Complete:

(a) limx→c

1g(x)

= . . .

(b) limx→c

f(x)g(x)

= . . .

19. Sabe-se que limx→c

f(x) = l se e so se para qualquer sucessao (xn) tal que limn→+∞

xn = c se tem

limn→+∞

f(xn) = l. Utilize este resultado para demonstrar as seguintes proposicoes:

(a) Se limx→c

f(x) = l e limx→c

g(x) = m, entao limx→c

(f(x) + g(x)) = l + m.

(b) Se limx→c

f(x) = l e limx→c

g(x) = m, entao limx→c

f(x)g(x) = l m.

(c) Se limx→c

f(x) = l e α ∈ R, entao limx→c

αf(x) = α limx→c

f(x) = αl.

(d) Se limx→c

f(x) = l, limx→c g(x) = m e m 6= 0, entao limx→c

f(x)g(x)

=l

m.

(e) Se f , g e h sao tres funcoes definidas em [a, b], com a < b e c ∈ (a, b), tais que f(x) ≤ g(x) ≤h(x) para todo o x ∈ [a, b] e lim

x→cf(x) = l = lim

x→ch(x), entao lim

x→cg(x) = l.

20. Calcule

(a) limx→2

x

x2 − 4.

(b) limx→+∞

1x2

.

(c) limx→+∞

1− 3x2

x + 5x2.

(d) limx→8

12− 3

√x

.

(e) limx→0

| x− 1 |.

(f) limx→0+

√x

x.

(g) limx→+∞

√x

x.

(h) limx→0+

3√

x√x

.

(i) limx→+∞

√x

3√

x2.

(j) limx→+∞

1 + x

2x +√

x.

(k) limx→+∞

1 +√

x

x + 3√

x.

59

(l) limx→+∞

√x−

√2

x− 2.

(m) limx→0

√x + 1− 1

x.

(n) limx→0

√| a | −

√2

x− 1, a e uma constante.

(o) limx→0

1− cos(x)x

.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon01/limcon01.html

• http://www.math.fau.edu/maxwell/ConceptMap/limitcontinuity.html

Solucoes: 1. 0, 2. E y. 3. Nada se pode concluir. 4. Ver apontamentos. 5. Existem e sao ambos L. 6.

So existe se L = M . 7. 8. e 9. Ver apontamentos.

10. a) Seja ε > 0. Sabemos que existe um δ > 0 para todo o x ∈ ((x− δ, x + δ)\{x})∩Df se tem | f(x)−l |< ε. Como | | f(x) | − | l | | ≤| f(x)−l | deduzimos ∀ ε ∃ δ tal que para todo o x ∈ ((x− δ, x + δ)\{x})∩Df

se tem | | f(x) | − | l | | < ε, i.e., limx→x

| f(x) |=| l |.10. b) A implicacao =⇒ foi provada em a) (considerando l = 0). Falta agora provar a implicacao

⇐=. Seja ε > 0. Sabemos que existe um δ > 0 tal para todo o x ∈ ((x− δ, x + δ)\{x}) ∩ Df se tem

| | f(x) | | =| f(x) |< ε. Mas isto quer dizer que limx→0

| f(x) |= 0.

11. a) Como | f(x) |= 1 para todo o x temos limx→0

| f(x) |= 1. b) Nao existe. c) Concluımos que

limx→x | f(x) |=| l | ∧ l 6= 0 =⇒\ limx→x f(x) = l.

12. Ver apontamentos.

13.

60

14. e 15. Ver apontamentos.

16. f(x) = 1x e g(x) = − 1

x . 17. f(x) = x− 1 e g(x) = 1x−1 .

18. Ver apontamentos. 19. Utiliza os teoremas sobre a algebra dos limites das sucessoes.

20. a) ∞, b) 0, c) −3/5, d) ∞, e) 1, f) ∞, g) 0, h) ∞, i) 0, j) 1/2, k) 0, l) 0, m) 1/2, n)√

2−√| a |, o) 0.

5.2 Continuidade

1. Seja f definida num intervalo (c− ε, c + ε), onde ε > 0. O que quer dizer “A funcao f e contınua

em c”?

2. Escreva uma condicao equivalente a limx→c

f(x) = f(c).

3. O que se entende por “a funcao f e contınua em todo o intervalo [a, b]”?

4. Complete de forma a obter uma proposicao verdadeira: Se g e contınua em c e f e contınua em

. . . . . ., entao f ◦ g e contınua em c.

5. Seja f uma funcao contınua em c e f(c) > 0. Mostre que existe um intervalo da forma I =

(c− δ, c + δ) para algum δ > 0 , tal que f(x) > 0 para todo o x ∈ I.

6. Seja f uma funcao contınua em c e f(c) < 0. Mostre que existe um intervalo I = (c − δ, c + δ)

com δ > 0, tal que f(x) < 0 para todo o x ∈ I.

7. Suponha que f e g sao duas funcoes contınuas em (a, b) para as quais existe um c ∈ (a, b) tal que

f(c) > g(c). Mostre que existe um intervalo I = (c − δ, c + δ) com δ > 0 , tal que f(x) > g(x)

para todo o x ∈ I.

8. Demonstre geometricamente que

(a) limx→0

sin(x) = 0.

(b) limx→0

sin(x)x

= 1.

9. Determine os pontos de continuidade das funcoes dadas. Trace tambem os graficos destas funcoes.

(a) f(x) =| x |.

(b) f(x) = 3 + 2 | x− 1 |.

(c) f(x) =

{32x + 1 se x 6= 2

3 se x 6= 2

(d) f(x) =

{0 se x ∈ Z

x2 se x ∈ R\Z

(e) f(x) =

{3x2 se x < 3

2x− 1 se x ≥ 3

(f) f(x) = x− C(x) onde C(x) = n se n ≤ x < n + 1 para n ∈ Z.

61

(g) f(x) =

{12x2 se | x |≤ 2

7 se | x |> 2

(h) (∗) f(x) = max{| x− 2 |,−x2 + 4x− 3}.

(i) (∗) f(x) = min{| x− 2 |,−x2 + 4x− 3}.

(j) (∗) f(x) = limn→+∞

nx

1 + nx.

(k) (∗) f(x) = limn→+∞

n | x |1 + nx

.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/stet/stetigunstetig.html

• http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon05/limcon05.html

• http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/continuity/

• http://karlscalculus.org/calc3_0.html

Solucoes: 1 a 4. Ver apontamentos.

5. Como f(c) > 0 e f e contınua, tomando ε = f(c)/2 > 0 sabemos que existe um δ > 0 tal que para todo

o x ∈ (c− δ, c+ δ) se tem f(c)− ε < f(x) < f(c)+ ε. Concluımos entao que para todo o x ∈ (c− δ, c+ δ)

se tem f(x) > f(c)− ε = f(c)/2 > 0 c.q.d..

6. Exactamente como o anterior mas considerando ε = −f(c)/2.

7. Seja h(x) = f(x)−g(x). Esta funcao e contınua porque e a diferenca de duas funcoes contınuas. Como

f(c) > g(c), tem-se h(c) > 0. Entao pelo exercıcio 5 sabemos que existe um δ > 0 tal que para todo o

x ∈ (c− δ, c + δ) se tem h(x) > 0, ou seja, f(x) > g(x) c.q.d..

8. Ver apontamentos.

9. a) R, b) R, c) R\{2}, d) R\Z ∪ {0}, e) R\{3}, f) R\Z, g) R\{−2, 2}, h) R, i) R, j) R\{0}, k) R\{0}.

Funcao definida em j): f(x) =

{0 se x = 0

1 se x 6= 0.

Funcao definida em k): f(x) =

0 se x = 0

1 se x > 0

−1 se x < 0

.

Graficos de algumas das funcoes:

62

5.3 Teoremas Basicos sobre Continuidade

1. Seja f uma funcao definida em D ⊂ R. Quando e que se diz que f tem maximo? E quando e que

se diz que tem mınimo?

2. Demonstre os seguintes resultados:

(a) Seja f uma funcao contınua em [a, b] e nao constante. Seja C ∈ R tal que C esta entre f(a)

e f(b). Entao existe um c ∈ [a, b] tal que f(c) = C.

(b) Se f e contınua em [a, b], entao f tem maximo e mınimo.

3. Demonstre o Teorema do valor medio.

4. Verifique se as funcoes dadas tem maximos e mınimos locais e globais e, em caso afirmativo,

calcule-os.

(a) f(x) = x− C(x) onde C(x) = n se n ≤ x < n + 1 para n ∈ Z.

(b) f(x) =1

x2 − 1.

(c) f(x) = x2 − 8x + 15.

(d) f(x) =

{1 se x ∈ [0, 1]

0 se x /∈ [0, 1]

(e) f(x) =∣∣∣ | x | −5

∣∣∣.(f) f(x) =| x2 − 1 |.

Solucoes: 1–3: Ver apontamentos. 4. a) Ver grafico desta em 5.2, pergunta 9. Trata-se de uma funcao

limitada tal que f(x) ∈ [0, 1) para todo o x ∈ R. Esta funcao nao tem maximos locais nem globais. O

63

mınimo global (e local) e 0 e os pontos de mınimo sao qualquer n ∈ Z. b) Nao tem maximo global ou local.

Nao teem mınimo global. Observe-se que, por exemplo, limx→1+

f(x) = +∞ e limx→1−

f(x) = −∞. Tem um

mınimo local em x = 0 com valor −1. Ver grafico desta em 5.1, pergunta 13. c) O grafico desta funcao e

uma parabola virada para cima que corta o eixo dos x’s em x = 3 e x = 5 e com vertice no ponto (4,−1).

Nao tem maximo global ou local. Observe-se que lim x → +∞f(x) = +∞ e lim x → −∞f(x) = +∞.

A funcao e limitada inferiormente. O mınimo global e −1 atingido em x = 4. d) Grafico muito facil de

tracar. O mınimo global e 0 e e atingigo para qualquer x /∈ [0, 1] e o maximo global e 1 atingido quando

x ∈ [0, 1].

e) Observe-se que f(x) =

{| x | −5 se x ∈ (−∞,−5] ∪ [5,+∞)

5− | x | se x ∈ (−5, 5). O grafico de f e agora facil de

tracar. Esta funcao nao tem maximo global, pois limx→+∞

f(x) = +∞ e limx→−∞

f(x) = +∞. Tem um

maximo local em x = 0 e e 5. A funcao e limitada inferiormente, pois f(x) ≥ 0 e o mınimo global e 0

atingido em 5 e −5. Os pontos 5 e −5 sao tambem mınimos locais.

f) Observe-se que f(x) =

{x2 − 1 se x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

1− x2 se x ∈ (−1, 1). Tem-se lim

x→+∞f(x) = +∞ e

limx→−∞

f(x) = +∞ e a funcao nao tem maximo global. Tem um maximo local em x = 0 e e 1. Tem

mınimo global e e 0 atingido em 1 e −1. Estes dois pontos sao ainda pontos de mınimo local.

Capıtulo 6

Derivabilidade

6.1 Definicao de Derivada

1. Determine o declive das rectas que passam pelos pontos dados e a equacao de cada uma das rectas:

(a) (1, 1) e (2, 2).

(b) (1,−1) e (2, 3).

(c) (1, 2) e (2,−3).

2. Seja D ⊂ R. Diz-se que x e um ponto interior de D ( e escreve-se x ∈ intD) se existe um ε > 0

tal que (x− ε, x + ε) ⊂ D. Mostre que se D e um conjunto aberto, entao qualquer ponto x ∈ D e

um ponto interior de D.

3. Newton definiu tangente a uma curva C = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x)} (onde f e uma funcao real

de variavel real) num ponto P = (x0, y0), com y0 = f(x0), como o limite de uma sucessao de

rectas secantes geradas pelo movimento de um ponto Q ∈ C quando este se move sobre a curva em

direccao a P . Considerando o esquema apresentado na figura, seja (xn) uma sucessao decrescente

cujo limite e x0 e (yn) a sucessao cujo termo geral e yn = f(xn). Calcule o declive da recta tangente

a curva no ponto P .

64

65

4. Considere a curva definida pelo grafico da funcao f(x) =| x |. Seja P = (0, 0) e considere a sucessao

xn = (−1)n 1n

, n ∈ N. Considere as rectas secantes que passam em P e Qn = (xn, | xn |). O que

pode concluir sobre a existencia de recta tangente ao grafico desta funcao no ponto P tendo em

conta a definicao de tangente dada por Newton?

5. Seja f : R → R e seja x0 um ponto do interior do domınio de f . Defina derivada de f em x0.

6. Seja f : D → R, onde D ⊂ R e o domınio de f e e um conjunto aberto. O que significa dizer que

f e uma funcao diferenciavel?

7. Seja f : D → R, onde D ⊂ R e o domınio de f e e um conjunto aberto. Suponha que x ∈ D e que

f e derivavel em x com derivada f ′(x). Qual a relacao entre f ′(x) e a recta tangente ao grafico de

f em (x, f(x))?

8. Como se define a recta normal ao grafico de uma funcao f no ponto (x, f(x))?

9. De exemplo de uma funcao que e contınua num ponto P mas nao e derivavel.

10. Mostre que qualquer funcao f : D → R derivavel em x ∈ intD e contınua em x.

11. Complete a seguinte tabela usando =⇒, ⇐⇒ ou =⇒\ .

f derivavel em x f contınua em x.

f contınua em x f derivavel em x.

66

12. Mostre, utilizando a definicao de derivada, que

(a) a funcao f(x) =| 2x− 1 | nao e derivavel em 1/2.

(b) sin′(0) = 1.

(c) a derivada de f(x) =1x

em x0 ∈ Df e − 1x2

0

.

(d) a derivada de f(x) =√

x (com x ≥ 0) em x0 > 0 e1

2√

x0.

13. Considere as funcoes cujos graficos estao representados na figura. Em cada um dos casos indique

os pontos onde as funcoes nao sao derivaveis.

Solucoes: 1) a) Declive: 1, eq. recta y = x, b) Declive: 4, eq. recta y = 4x− 5, c) Declive: −5, eq. recta

y = −5x + 7.

2. Nada ha a demonstrar. Como D e aberto tem-se ∀ x ∈ D ∃ ε > 0 : (x − ε, x + ε) ⊂ D. Entao se

x ∈ D, x ∈ intD.

3. limn→+∞

yn − y0

xn − x0.

67

4. Como limn→+∞

| xn |xn

nao existe, concluımos que esta funcao nao tem recta tangente, tal como definida

por Newton.

5. a 8. Ver apontamentos.

9. f(x) =| x |.10. Ver apontamentos.

11. =⇒ e, na linha de baixo, =⇒\ .

12. a) limx→1/2+

| 2x− 1 |x− 1/2

= 2 e limx→1/2−

| 2x− 1 |x− 1/2

= −2. Logo limx→1/2

| 2x− 1 |x− 1/2

nao existe o que quer dizer

que a funcao nao e derivavel em 1/2.

b) limx→0

sin(x)x

= 1.

c) limx→x0

1x −

1x0

x− x0= lim

x→x0

x0−xxx0

x− x0= lim

x→x0− 1

xx0= − 1

x20

.

d) limx→x0

√x−√x0

x− x0= lim

x→x0

1√x +

√x0

=1

2√

x0.

13 a) {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, b) {−1, 2}, c) {1, 2, 4}, {−2,−1, 0, 1, 2}.

6.2 Diferencial

1. Seja f : D → R, onde D ⊂ R e o domınio de f e e um conjunto aberto. Suponha que x ∈ D e que

f e derivavel em x com derivada f ′(x). Calcule

limh→0

f(x + h)− f(x)− hf ′(x)h

2. Seja f : D → R, onde D ⊂ R e o domınio de f e e um conjunto aberto. Suponha que x ∈ D e que

f e derivavel em x com derivada f ′(x). Defina incremento de f de x para x + h, ∆f , onde h ∈ Re tal que (x− | h |, x+ | h |) ⊂ D. Defina tambem diferencial de f (df) em x com incremento h.

3. Seja f : D → R, onde D ⊂ R e o domınio de f e e um conjunto aberto. Suponha que x ∈ D e que

f e derivavel em x com derivada f ′(x). Seja h ∈ R tal que (x− | h |, x+ | h |) ⊂ D. Para valores

de h “pequenos” como podera utilizar o diferencial de f em x com incremento h, df = f ′(x)h para

calcular valores aproximados de f(x + h)?

4. Usando diferenciais, calcule valores aproximados de

(a)√

102 (note que√

102 = 10.099504938362 . . .).

(b)√

48 (note que√

48 = 6.9282032302755 . . .).

(c)117

(note que117

= 0.05882352914 . . .).

Solucoes: 1. 0, 2. Ver apontamentos. 3. f(x + h) ≈ f(x) + f ′(x)h.

4. a) f(x) =√

x, x = 100, h = 2, f(100) = 10, f ′(x) =1

2√

x, f ′(100) = 0.05. Logo f(102) =

68

10 + f ′(100)h = 10.1. Compare com o valor√

102 obtido com a maquina de calcular.

b) f(x) =√

x, x = 49, h = −1, f(49) = 7, f ′(x) =1

2√

x, f ′(49) =

114

. Logo f(48) = 7 + f ′(49)h ≈

6.928571. Compare com o valor√

48 obtido com a maquina de calcular.

c) f(x) =1x

, x = 16, h = 1, f ′(x) = − 1x2

, f(16) = 0.0625, f ′(16) = −0.00390625. Logo f(17) =

0.0625 + f ′(16)h ≈ 0.05859375. Compare com o valor de f(17) obtido com a maquina de calcular.

6.3 Derivadas de Ordem Superior

1. Relacione as seguintes funcoes:

(a) f(x) = n!x, g(x) = nxn−1 e h(x) = 0, sendo n ≥ 4.

(b) f(x) = (2 + 4x + x2)ex e g(x) = x2ex.

(c) f(x) = − 1x2

e g(x) = ln(x).

2. Calculedy

dxe

d2y

dx2em cada um dos casos:

(a) y =x2w − 3

w3, onde w e uma constante real.

(b) y = u2eux + x2, onde u e uma constante real..

3. Calcule todas as derivadas da funcao dada no ponto x. Determine, sempre que possıvel, uma

expressao para f (n)(x).

(a) f(x) = ex, x = 0.

(b) f(x) = sin(x), x = 0.

(c) f(x) = cos(x), x = 0.

(d) f(x) = cos(x), x =π

2.

(e) f(x) = ln(x), x = 1.

Solucoes: 1. a) f(x) = g(n−2)(x), h(x) = g(n)(x) e h(x) = f ′′(x). b) f(x) = g′′(x). c) f(x) = g′′(x).

2. a)dy

dx=

2x

w2e

d2y

dx2=

2w2

. b)dy

dx= u3eux + 2x e

d2y

dx2= u4eux + 2.

3. a) f (n)(0) = 1. b) f (n)(0) =

{0 se n = 2k

(−1)k se n = 2k + 1com k ∈ N ∪ {0}.

c) f (n)(0) =

{0 se n = 2k + 1

(−1)k se n = 2kcom k ∈ N ∪ {0}.

d)f (n)(π2 ) =

{0 se n = 2k

(−1)k+1 se n = 2k + 1com k ∈ N ∪ {0}.

e) f (n)(1) = (−1)n+1(n− 1)!.

69

6.4 Regras de Derivacao

1. Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis no intervalo aberto (a, b) e α ∈ R. Complete:

(a) f + g e f − g sao diferenciaveis em (a, b), (f + g)′(x) = . . . . . . e (f − g)′(x) = . . . . . ..

(b) αf e diferenciavel em (a, b) e (αf)′(x) = . . .

(c) f · g e diferenciavel em (a, b) e (f.g)′(x) = . . . . . .

(d) Suponhamos que g(x) 6= 0 para todo o x ∈ (a, b). Entao disp 1g e diferenciavel e

(1

g(x)

)′=

. . . . . .

(e) Suponhamos que g(x) 6= 0 para todo o x ∈ (a, b). Entao fg = f · 1g e diferenciavel e

(f(x)g(x)

)′=

. . . . . .

2. Complete

(a) Seja h = f ◦ g onde f e g sao funcoes diferenciaveis nos respectivos domınios. Entao h e

derivavel e a sua derivada e . . .

(b) Seja f uma funcao invertıvel e diferenciavel em todo o seu domınio. Entao a sua inversa, f−1,

e diferenciavel e a sua derivada e . . ..

3. Complete a seguinte tabela

f f ′

k

ax + b

xn, n ∈ Z\{−1}ex

sin(x)

cos(x)

ln(x)

4. Seja u = v sin(v), v = ln(w), w = 2y2−13 e y = x2. Calcule

(a)du

dv.

(b)dv

dw.

(c)dw

dy.

(d)dy

dx.

(e)dw

dx.

(f)dv

dx.

70

(g)du

dx.

5. Calcule a derivada da funcao f(x) = sin(x2 sin(x2)

).

6. Seja x ∈ [0,+∞). Utilize a regra da derivada da funcao inversa para calcular a derivada de

f(x) = n√

x, onde n ∈ N.

7. Utilize a regra da derivada da funcao inversa para calcular a derivada da funcao inversa de f(x) =

sin(x), considerando x ∈ [−π

2,π

2].

8. Utilize a regra da derivada da funcao inversa para calcular a derivada da funcao inversa de f(x) =

cos(x), considerando x ∈ [0, π].

9. Utilize a regra da derivada da funcao inversa para calcular a derivada da funcao inversa de f(x) =

tan(x), considerando x ∈ (−π

2,π

2).

10. Sabe-se que existe uma funcao f tal que y = f(x) satisfaz a equacao 3x3y + sin(y)− 2x = 0 para

todo o x num dado intervalo (−ε, ε) (ε > 0). Alem disso, sabe-se que 3x3 + cos(f(x)) 6= 0 para

todo o x ∈ (−ε, ε). Calcule f ′(x), x ∈ (−ε, ε). Sabendo que f(0) = π, verifique que (0, π) e solucao

da equacao dada e que f ′(π) = −2.

11. Calcule a derivada de cada uma das funcoes:

(a) f(x) =(x + 1)2

3x.

(b) f(x) =1

(ax + b)n.

(c) f(x) =1−

√x

x.

(d) f(x) =3√

x− x

x2.

(e) f(x) = 4√

x2 − 3x + 2.

(f) f(x) = 3√

x−√

x2 + 1.

(g) f(x) =

√x− 1x + 1

.

(h) f(x) = arcsin(

x

1 +√

x

).

(i) f(x) = ln(esin(x) + 2x).

(j) f(x) = arctan

(√1x

).

(k) f(x) = cos(√

x) + arccos( 3√

x2).

Solucoes: 1. Ver apontamentos da disciplina ou do ensino secundario.

2. Ver apontamentos da disciplina ou do ensino secundario.

71

3. Ver apontamentos da disciplina ou do ensino secundario.

4.a) sin(v) + v cos(v), b)1w

, c)4y

3, d) 2x, e)

83x3, f)

8x3

2x4 − 1,

g)[sin(

ln(

2x4 − 13

))+ ln

(2x4 − 1

3

)cos(

ln(

2x4 − 13

))]8x3

2x4 − 1.

5. Sejam u = sin(v), v = y sin(y), y = x2. Entao

du

dx=

du

dv

dv

dy

dy

dx

= cos(v)[sin(y) + y cos(y)]2x

= cos(x2 sin(x2))(sin(x2) + x2 cos(x2)

)2x

6. Seja g(y) = yn. A funcao inversa de g e f(x) = n√

x. Note-se que x = g(y), y = f(x) e

f ′(x) =1

g′(g−1(x))=

1g′(f(x))

. Temos g′(y) = nyn−1. Atendendo a que x = yn e yn−1 = n√

xn−1,

vem f ′(x) =1

nn√

xn−1.

7. Ver apontamentos. 8. x ∈ [0, π] =⇒ sin(x) ∈ [0, 1]. Seja y = cos(x) e x = arccos(y). Sabemos que

cos′(x) = − sin(x). Entao

arccos′(y) =dx

dy= − 1

sin(x)= − 1

sin(arccos(y)).

Atendendo a que y = cos(x), sin2(x) = 1− cos2(x) e sin(x) ∈ [0, 1], vem sin(x) =√

1− y2. Logo

arccos′(y) = − 1√1− y2

.

9. Seja y = tan(x) e x = arctan(y). Sabemos que tan′(x) =1

cos2(x). Entao

arctan′(y) =dx

dy= cos2(x).

Atendendo a que y2 =sin2(x)cos2(x)

, vem cos2(x)y2 = sin2(x). Como sin2(x) = 1−cos2(x), tem-se cos2(x)y2 =

1− cos2(x). Logo cos2(x) =1

1 + y2. Concluımos pois que

arctan′(y) =1

1 + y2.

10. Derivando a equacao vem

9x2f(x) + 3x3f ′(x) + f ′(x) cos(f(x))− 2 = 0

Como 3x3 + cos(f(x)) 6= 0, vem f ′(x) =2− 9x2f(x)

3x3 + cos(f(x))para todo o x ∈ (−ε, ε). Vejamos que o par

(0, π) e solucao da equacao 3x3y + sin(y)− 2x = 0. Ora 0 + sin(π) = 0. Logo (0, π) e solucao da equacao

dada. Alem disso, f ′(0) =2−1

= −2.

72

11. a) f ′(x) =x2 − 13x2

, b) f ′(x) = − an

(ax + b)n+1, c) f ′(x) =

√x− 22x2

, d) f ′(x) =−5 3√

x + 3x

3x3, e)

f ′(x) =2x− 3

4 4√

(x2 − 3x + 2)3, f) f ′(x) =

√x2 + 1− x

3 3√(

x−√

x2 + 1)2√

x2 + 1, g) f ′(x) =

1(x + 1)2

√x + 1x− 1

,

h) f ′(x) =1√

(1 +√

x)2 − x2

2 +√

x

2(1 +√

x), i) f ′(x) =

cos(x)esin(x) + 2esin(x) + 2x

, j) f ′(x) = −√

x

2x2 + 2x,

k) f ′(x) =−12√

xsin(

√x)− 2

3 3√

x√

1− x 3√

x.

6.5 Os Teoremas do Valor Medio

1. Defina vizinhanca de um ponto x ∈ R.

2. Defina ponto de maximo local e ponto de mınimo local de uma funcao f : D → R onde D ⊂ R.

3. Seja f : [a, b] → R uma funcao tal que f tem um ponto de maximo local em x ∈ (a, b) e f ′(x)

existe. Demonstre que f ′(x) = 0.

4. Diga o que entende por ponto crıtico de uma funcao f : D → R onde D ⊂ R.

5. Complete de forma a obter proposicoes verdadeiras:

(a) Sejam f e g funcoes contınuas em [a, b] e diferenciaveis em (a, b). Existe um c ∈ (a, b) tal que

(f(b)− f(a)) · g′(c) = . . . . . ..

(b) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Existe um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = . . . . . ..

(c) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ (a, b), entao

f e . . ..

(d) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Se f ′(x) = 0 para todo o x ∈ (a, b), entao

f e . . ..

(e) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Se f ′(x) < 0 para todo o x ∈ (a, b), entao

f e . . ..

(f) Seja f contınua em [a, b], com f(a) = f(b), e diferenciavel em (a, b). Entao ∃c ∈ (a, b): . . ..

6. Considere as funcoes seguintes. Em cada caso determine, se existirem, pontos de maximo local

e pontos de mınimo local das funcoes e intervalos onde sao (i) crescentes, (ii) decrescentes e (iii)

constantes.

(a) f(x) = x3 − 12x + 7.

(b) f(x) =x− 1x + 2

.

(c) f(x) = x +1x

.

(d) f(x) = 9x2 − 18x + 3.

73

7. Exprima a area de um rectangulo com perımetro igual a 20 como funcao de um dos lados x.

Determine o valor de x para o qual a area e maxima.

8. A soma de dois numeros x e y e constante e igual a c. Qual e o maximo do produto dos dois

numeros?

9. O produto de dois numeros positivos x e y e constante e igual a c. Quando e que a soma dos dois

numeros e mınima?

10. Considere todos os triangulos rectangulos cuja hipotenusa mede 6 unidades. Determine o triangulo

com area maxima.

11. Pretende-se construir uma caldeira cilındrica, fechada, com volume fixo V = πr2h, onde r e o raio

da base e h a altura, de modo a que a area total A = 2πr2 + 2πrh, seja mınima. Determinar r e h

nestas condicoes.

12. Demonstre os seguintes resultados

(a) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Existe um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

(b) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ (a, b), entao

f e crescente.

(c) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Se f ′(x) = 0 para todo o x ∈ (a, b), entao

f e constante.

(d) Seja f contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Se f ′(x) < 0 para todo o x ∈ (a, b), entao

f e decrescente.

(e) Seja f contınua em [a, b], com f(a) = f(b), e diferenciavel em (a, b). Entao ∃c ∈ (a, b):

f ′(c) = 0.

Sugestoes de Alguns Sites da Internet

Nota: Estes sites sao sobre derivadas em geral.

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/diff1/defabl.html

Sobre nocoes basicas.

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/diff1/ablerkennen.html Relaciona funcoes

com as suas derivadas.

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/diff1/poldiff.html Deriva Polinomios.

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/diff2/diffbar.html Funcoes com valores

absolutos: derivaveis ou nao?

74

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/diff2/wdiffbar.html Funcoes trigonometricas

com valores absolutos.

• http://www.ies.co.jp/math/java/calc/doukan/doukan.html Sem falta. Animado.

• ttp://www.ies.co.jp/math/java/calc/ Faz parte do anterior mas tem mais coisas. Muito en-

gracado.

Solucoes: 1. a 5. Ver apontamentos das aulas teoricas ou apontamentos da disciplina. 6. a) −2 e pt. de

maximo local e 2 e ponto de mınimo local. f e crescente em (−∞,−2) e em (2,+∞) e decrescente em

[−2, 2]. b) Nao tem pontos de maximo ou mınimo. Crescente em todo o domınio R\{−2}. c)−1 e pt.

de maximo local e 1 e ponto de mınimo local. Crescente em (−∞,−1) e em (1,+∞) e decrescente em

[−1, 0) ∪ (0, 1]. d) 1 e ponto de mınimo local. f e crescente em (1,+∞) e decrescente em (−∞, 1].

7. A = x(10−x), x = 5. 8. x = y = c/2, 9. x = y =√

c, 10. x = y = 3√

2, 11. h = 2r e r = 3

√V

2π. 12.a)

Basta aplicar o Teorema 6.5.3 dos apontamentos de AM1 com g(x) = x. b) Seja x ∈ (a, b) qualquer.

Como f ′(x) existe e e positivo, tem-se limh→0+

f(x + h)− f(x)h

> 0. Sabemos entao que existe um δ1 > 0

e que para todo o h ∈ (0, δ1) se tem f(x + h) > f(x). Observe-se que x + h > x neste caso. Logo f e

crescente em (x, x + δ1). Alem disso, sabemos tambem que limλ→0−

f(x + λ)− f(x)λ

> 0. Sabemos entao

que existe um δ2 > 0 e que para todo o λ ∈ (−δ2, 0) se tem f(x + λ) < f(x). Observe-se que x + λ < x

neste caso. Logo f e crescente em (x − δ2, x). Seja δ = min{δ1, δ2}. Concluimos pois que f e crescente

em (x− δ, x + δ). Como x e qualquer concluımos que f e crescente em (a, b).

c) Seja x ∈ (a, b) qualquer e seja h > 0 tal que x + h < b e x− h > a. Entao existe um c ∈ (x− h, x + h)

tal que f ′(c) = f(x+h)−f(x−h)2h . Mas f ′(c) = 0. Logo f(x + h) = f(x − h) para todo o h nas condicoes

mencionadas. Como f e contınua, f e constante em [a, b].

d) Seja x ∈ (a, b) qualquer e seja h > 0 tal que x − h > a. Como f ′(x) = limh→0

f(x− h)− f(x)−h

< 0,

sabemos que para algum δ > 0 e para todo o h ∈ (0, δ) se tem f(x− h) > f(x). Logo f e decrescente em

(x− δ, x). Como x e qualquer concluımos que f e decrescente.

e) Usar o resultado da alınea a) com f tal que f(a) = f(b).

6.6 Testes da Primeira e Segunda Derivada

1. Defina ponto crıtico e ponto singular de uma funcao real de variavel real.

2. Defina ponto de inflexao de uma funcao real de variavel real.

3. O que se entende por funcao com grafico concavo? E convexo?

4. Qual a condicao necessaria e suficiente para que uma funcao f diferenciavel no intervalo (a, b) tenha

o grafico concavo em (a, b)? E convexo?

5. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Sabe-se que x ∈ (a, b) e

ponto de inflexao de f . O que pode concluir sobre f ′′(x)?

75

6. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Sabe-se que x ∈ (a, b) e

ponto crıtico de f e f ′′(x) > 0. O que pode concluir sobre x?

7. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Sabe-se que x ∈ (a, b) e

ponto crıtico de f e f ′′(x) < 0. O que pode concluir sobre x?

8. Seja f uma funcao diferenciavel em (a, b). Seja m(x) o declive da recta tangente ao grafico de f

no ponto (x, f(x)) onde x e qualquer ponto em (a, b).

(a) Sabe-se que m e uma funcao diferenciavel e crescente. O que pode concluir sobre o grafico

de f?

(b) Sabe-se que m e uma funcao diferenciavel e decrescente. O que pode concluir sobre o grafico

de f?

(c) Sabe-se que m e uma funcao diferenciavel e constante. O que pode concluir sobre o grafico

de f?

Solucoes: 1 a 7: Ver apontamentos. 8. a) Note-se que m(x) = f ′(x). Logo f ′ e uma funcao crescente.

Portanto o grafico de f e convexo. b) Grafico de f e concavo. c) Grafico de f e uma recta nao vertical.

6.7 Regra de L’Hopital

1. Verifique que

(a) limx→+∞

1 + 1x

3(x + 1)= 0.

(b) limx→+∞

(1 +√

x)(1 + x2) = +∞.

(c) limx→+∞

3 + 1x

1 +√

x= 0.

(d) limx→2

x2 − 4x− 2

= 4.

(e) limx→−3

5x + 15x3 + 5x2 + 3x− 9

= ∞.

(f) limx→2

(x− 2)(x + 1)x2 − 7x + 10

= −1.

(g) limx→3

1x− 3

− 5(x + 2)(x− 3)

=15.

2. Calcule

(a) limx→+∞

ln(x2)x3

.

(b) limx→+∞

x5

ex.

76

(c) limx→0+

x3x.

(d) limx→0

sin(x2)x2

.

(e) limx→0+

x2 ln(x).

(f) limx→0

csc(x)− 1x

.

(g) limx→π/2

(5π

2− 5x

)cos(x)

.

(h) limx→+∞

(1− 3

x

)x

.

(i) limx→0

(1x2

− cos(3x)x2

).

(j) limx→0

ex − 1x3

.

Solucoes: 2 a) 0, b) 0, c) 1, d) 1, e) 0, f) 0, g) 1, h) e−3, i) 9/2, j)+∞.