Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 30, n. 3, 3302 (2008)www.sbfisica.org.br

Medicao da densidade do oleo: uma discussao sobre sua otimizacao e

diminuicao dos custos via incerteza relativa da medicao(Oil density measurement: a discussion about the optimization and decreasing of the costs via relative uncertainty

of the measurement)

V.L.B. de Jesus1 e D.A. Palma

Centro Federal de Educacao Tecnologia de Quımica de Nilopolis, Nilopolis, RJ, BrasilRecebido em 7/1/2008; Revisado em 18/2/2008; Aceito em 30/3/2008; Publicado em 2/8/2008

No presente trabalho, faz-se uma analise metrologica das incertezas associadas as medicoes da densidade deoleo de cozinha por dois metodos distintos, a saber, o de medicao direta (razao massa-volume) e o metodo detubo em U. A ideia e ajudar o professor na montagem de experimentos de baixo custo. Em relacao ao metodode medicao utilizando um tubo em U, melhorias sao propostas com a substituicao do tubo de vidro por um tubotransparente flexıvel e de baixo custo. Os autores definem o fator de vantagem de um experimento, Fv, comosendo o produto da incerteza da grandeza fısica (δ) pelo seu custo (C), que pode ser utilizado como um criteriopara decidir o impasse entre a qualidade dos resultados obtidos e o custo de um determinado experimento.Palavras-chave: metrologia, densidade do oleo, experimento de baixo custo.

In this work one does a metrological analysis of the associated uncertainties to the kitchen oil density measu-rements using two different methods: the direct measurement (ratio mass-volume) and U tube method. The ideais to help the teacher in the setup of low cost experiments. About the measurement using the U tube method,improvements are proposed substituting the U glass tube for a low cost transparent flexible tube. The authorsdefine the profit factor of an experiment, Fv, as being the product of the uncertainty in the physical quantity(δ) by its cost (C). The profit factor can be used as a criterion to decide between the quality of the obtainedresults and the cost of an experiment.Keywords: metrology, oil density, inexpensive experiment.

1. Introducao

Em meados da decada de 80 constatou-se, a partir dediversos trabalhos, uma preocupacao por parte dos pro-fessores de fısica nos ensinos fundamental e medio com aquestao da experimentacao nos laboratorios, seja comofator motivador, ou como complemento do que e en-sinado em sala de aula. Neste cenario, o professor defısica assume muitas vezes o papel de gestor, sendo res-ponsavel pela compra e montagem de equipamentos decunho didatico em espacos fısicos adaptados para talfim e com verbas reduzidas. A ideia e ajudar o professorna montagem de experimentos de baixo custo utilizandouma analise metrologica das incertezas associadas asmedicoes. Sera utilizada como exemplo a medicao dadensidade de oleo de cozinha por dois metodos distin-tos, a saber, o de medicao direta (razao massa-volume)e o metodo de tubo em U.

A medicao da densidade do oleo de cozinha (ouqualquer outro tipo de oleo) pode ser realizada via sua

definicao padrao, ou seja, a medida de sua massa di-vidida pelo seu volume. Esta e uma pratica comumem nosso laboratorio didatico de fısica. A exatidao damedicao vai depender do tipo de proveta (instrumentocilındrico de medida de volume para lıquidos que podeser fabricado em vidro ou plastico, com volumes quenormalmente variam entre 5 e 2000 mL) e de balancautilizados para as medicoes do volume e da massa, res-pectivamente. Um exemplo e mostrado na Fig. 1.

Uma outra maneira de se medir a densidade do oleoe ilustrada no metodo do tubo em U, normalmente feitode vidro, onde sao colocados agua destilada e oleo. De-pois de atingido o equilıbrio hidrostatico, sao realizadasas medicoes das alturas das colunas de oleo e agua, to-mando como referencia o nıvel inferior da coluna deoleo, conforme mostra a Fig. 2. Utilizando a equi-valencia de pressao nos nıveis inferiores das colunas deagua e oleo em cada ramo do tubo em U, pode-se obteruma expressao onde a densidade do oleo e proporcio-nal a razao das alturas medidas para a coluna de agua

1E-mail: vitor@cefeteq.br.

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e de oleo, respectivamente, vezes a densidade da agua(0,9982 g/cm3 a 20 ◦C). Observa-se aqui que e de fun-damental importancia uma boa medicao das alturas dascolunas de oleo e de agua.

O metodo direto (medicoes diretas da massa e dovolume do oleo) permite uma boa exatidao quando uti-lizamos uma proveta graduada e uma balanca que medeate decimos ou centesimos de grama. Surpreenden-temente, pode-se alcancar um resultado com exatidaosemelhante, ou ate mesmo melhor, quando utilizamosuma mangueira transparente, facilmente adquirida emqualquer loja de ferragens, como um tubo em U flexıvelque pode variar em seu comprimento, dependendo daexatidao desejada. Certamente, um experimento debaixo custo que ilustra o princıpio dos vasos comuni-cantes, o princıpio de pressao dependente da profundi-dade e ainda permite conseguir uma excelente medicaoda densidade do oleo de cozinha.

O objetivo deste trabalho e abordar a exatidao des-tes experimentos, seus custos, e mostrar que estas ava-liacoes metrologicas sao necessarias. Estas abordagenssao feitas em nossas aulas experimentais da disciplinaFısica Geral IV – Fluidos e Termodinamica - oferecidano curso de licenciatura em fısica do Centro Federal deEducacao Tecnologica de Quımica de Nilopolis/RJ.

2. Metodologias aplicadas na deter-minacao da densidade do oleo de co-zinha

Existem diversos metodos para determinacao da densi-dade de solidos e lıquidos [1]. Na presente secao faz-seuma breve discussao sobre um metodo tradicional uti-lizado em laboratorios didaticos de fısica e/ou quımica,o chamado metodo direto, baseado na determinacao di-reta da massa e volume do oleo [2]. Um outro metodomuito conhecido e utilizado para se determinar a den-sidade de substancias lıquidas nao miscıveis no qual adensidade de um dos lıquidos e conhecida, a saber, ometodo do tubo em U. Uma melhoria e proposta aometodo do tubo em U utilizando material de baixo cus-to e alta eficacia no que tange a reducao da incertezarelativa associada a medicao da densidade do oleo.

2.1. Medicao direta da densidade do oleo

A Fig. 1 ilustra o metodo direto de medicao da densi-dade do oleo de cozinha. Neste experimento utilizamosuma proveta graduada de 500 mL e menor divisao de5 mL. A balanca digital para medicao da massa temcomo ultimo algarismo o centesimo de grama.

Os valores obtidos para a massa, m, e volume, V ,sao respectivamente, (437,72 ± 0,01) g e (480 ± 3) mL.O metodo direto para determinacao da densidade dooleo consiste em calcular a razao

ρ =m

V. (1)

Figura 1 - Medicao experimental direta da densidade do oleo decozinha.

O resultado obtido pela Eq. (1) e o resultado damedicao. Este resultado e uma aproximacao ou esti-mativa para o valor verdadeiro da densidade (mens-urando). A apresentacao de um resultado e completasomente quando acompanhado por uma quantidade quedeclara a sua incerteza [3,4].

A incerteza combinada a partir do metodo direto ecalculada, ate primeira ordem, atraves da equacao [3-5]

δρ2 =(

∂ρ

∂mδm

)2

+(

∂ρ

∂VδV

)2

, (2)

onde δm e a incerteza do tipo B [3-5] do instrumentode medicao da massa (no caso, a balanca digital) e δVe a incerteza do tipo B do instrumento de medicao dovolume (no caso, a proveta). Calculando as derivadas

Medicao da densidade do oleo: uma discussao sobre sua otimizacao e diminuicao dos custos via incerteza relativa da medicao 3302-3

parciais (tambem chamados de coeficientes de sensibi-lidade) chega-se a seguinte expressao para a incertezada densidade do oleo

δρ2 =(

1V

δm

)2

+(− m

V 2δV

)2

. (3)

Dividindo-se a Eq. (3) por ρ obtem-se a incertezarelativa

(δρ

ρ

)2

=(

δm

m

)2

+(

δV

V

)2

. (4)

A Eq. (4) nos ajuda no entendimento de que exis-tem tres formas basicas de melhorar nosso experimentono sentido de diminuir a incerteza relativa. Uma ediminuir a incerteza associada a medicao da massaadquirindo uma balanca mais sensıvel e, portanto, maisonerosa (o que e inviavel para muitos estabelecimentosde ensino). Outra seria diminuir a incerteza associada amedicao do volume utilizando uma bureta (instrumentocilındrico de medida de volume para lıquidos, de vidro,colocado na vertical com a ajuda de um suporte, con-tendo uma escala graduada rigorosa. Possui na extre-midade inferior uma torneira de precisao para dispensade volumes rigorosamente conhecidos.). Em geral, bu-retas possuem volumes maximos reduzidos comparadosas provetas. Em nosso caso, a reducao da incerteza as-sociada a medicao do volume pode nao reduzir de formasignificativa a incerteza relativa ja que o volume e amassa serao tambem reduzidos (ver Tabela 2). Umaterceira maneira, e com certeza a menos custosa, se-ria aumentar a massa e, consequentemente, o volumede oleo visto que essas quantidades aparecem explici-tamente nos denominadores da Eq. (4). Esse exemplosimples ilustra como uma analise metrologica subsidianas decisoes tomadas num laboratorio didatico, inclu-sive, na questao de aquisicao e manuseio de materiais.Esta analise e valida para qualquer grandeza fısica ba-seada na razao entre duas outras grandezas fısicas. Osresultados obtidos serao reportados na secao 4.

2.2. Medicao utilizando o tubo de vidro em U

A Fig. 2 ilustra um tubo de vidro em U utilizado nor-malmente para demonstrar a diferenca de densidadeentre agua e oleo, alem de mostrar a possibilidade damedicao da densidade relativa via os valores das colu-nas de agua e oleo, tendo como referencia o nıvel dasuperfıcie de separacao entre os dois lıquidos. O tubode vidro em U utilizado tem altura maxima de 10 cm.As medicoes das alturas das colunas de agua e oleo fo-ram, respectivamente, (7,7 ± 0,1) cm e (8,1 ± 0,1) cm.Foi utilizada uma regua milimetrada e nao foi possıvelatribuir as alturas das colunas de lıquido incerteza me-nor que 0,1 cm, devido a nao uniformidade da superfıcieque separa a agua do oleo [5].

Figura 2 - Medicao experimental da densidade do oleo de cozinhautilizando um tubo de vidro em U de altura 10,0 cm.

Utilizando o princıpio de Pascal, podemos escreverpara as pressoes absolutas nos pontos da superfıcie quesepara a agua do oleo e seu equivalente do lado opostocomo sendo

ρo =hw

hoρw, (5)

onde ρo e a densidade da oleo, ρw e a densidade daagua, h0 e a altura da coluna de oleo e hw e a alturada coluna de agua. Com o objetivo de expressar a den-sidade do oleo com sua incerteza associada, ou seja, naforma (ρ0 + δρ0) deve-se combinar as diferentes incer-tezas associadas as quantidades encontradas na Eq. (5).A incerteza combinada e calculada, ate primeira ordem,da seguinte maneira [3-5]

δρ20 =

(∂ρ0

∂hwδhw

)2

+(

∂ρ0

∂h0δh0

)2

+(

∂ρ0

∂ρwδρw

)2

. (6)

Sendo assim, obtem-se que a incerteza combinadada densidade do oleo e dada por

(δρ0)2 =

(ρwδhw

h0

)2

+(−hwρwδh0

h20

)2

+(

hwδρw

h0

)2

.

(7)Dividindo a Eq. (7) por ρ0 obtem-se a relacao

3302-4 Jesus e Palma

(δρ0

ρ0

)2

=(

δhw

hw

)2

+(

δh0

h0

)2

+(

δρw

ρw

)2

, (8)

que e a incerteza relativa de nossa medicao. Uma ana-lise mais apurada e realista da Eq. (8) nos subsidia nadecisao do que fazer para tornar a medicao da densi-dade do oleo mais exata, sem perder de vista o com-promisso com o custo. A Eq. (8) pode ser simplificadaassumindo que a densidade da agua possui incertezanula δρw ≡ 0, ja que e conhecida com exatidao bemmaior que as outras variaveis envolvidas no problema,e que δhw = δh0 pois o mesmo instrumento de medicaoe utilizado para medir ambas as alturas das colunasde agua e de oleo. A partir daı nota-se que existemduas maneiras de diminuir a incerteza relativa. A pri-meira e diminuir a incerteza associada as medicoes dasalturas das colunas de lıquido. Isso seria possıvel, porexemplo, substituindo a regua comum por uma regua(opcao mais onerosa) que apresente incerteza (do tipoB) dez vezes menor. Essa opcao deve ser descartada,nesse caso em especial, devido a interface oleo-agua terum volume de interpenetracao consideravel. Este fatoanularia a vantagem experimental de utilizar tal reguae conseguir leituras com exatidao da ordem de decimosde milımetro.

Observe que as medicoes das alturas das colunasde lıquido, (7,7 ± 0,1) cm e (8,1 ± 0,1) cm, sao dife-rentes, mas como o resultado depende da razao entreelas, seria muito melhor obte-las com uma incerteza re-lativa menor. Em outras palavras, a diferenca entreestas medicoes e da ordem de grandeza da incerteza as-sociada. Seria interessante que a diferenca entre estasmedicoes fosse maior que a incerteza associada a cadauma delas.

A partir daı, observa-se que a medicao obtida naotem um valor muito exato devido a dificuldade de semedir as alturas a partir da superfıcie que separa aagua do oleo. A incerteza dessas medicoes nao podeser melhorada. Observe na secao seguinte uma modi-ficacao simples e que diminui em muito o custo do expe-rimento (pois nao precisarıamos comprar tubos de vidroem U com um comprimento muito maior que 10 cm) eainda facilita o nivelamento cuidadoso do tubo em U.Os resultados obtidos com o metodo do tubo em U tra-dicional sao reportados na secao 4.

2.3. Medicao da densidade do oleo utilizandoum tubo flexıvel em U – uma mangueiratransparente de 3 m de comprimento

A Fig. 3 mostra uma modificacao simples e muito eficazque tem por objetivo reduzir muito a incerteza relativaenvolvendo a medicao da densidade do oleo utilizandoum tubo em U. Neste experimento trocamos o tubo emU de vidro por uma mangueira transparente de 3 m de

comprimento (que pode variar de acordo com a von-tade do experimentador, dependendo de seu interesseem melhorar a medicao) acomodada em um tripe comgarras que mantem a mangueira dobrada e com seus ra-mos proximos um do outro. Dessa maneira, a medicaodas alturas acontece de forma muito menos complicada,facilitando o nivelamento e ainda com a utilizacao deuma regua milimetrada muito maior, tendo como re-sultado uma reducao da incerteza relativa das medicoesdas alturas de coluna de agua e de oleo.

Figura 3 - Aparato experimental para a medicao da densidade dooleo de cozinha utilizando uma mangueira transparente flexıvelcomo tubo em U.

A sequencia de fotos mostrada na Fig. 4 indica queagora a flutuacao da medicao devido a nao uniformi-dade da superfıcie que separa a agua do oleo nao e taocrıtica a ponto de modificar notavelmente o resultadoda medicao.

As medicoes sao (62,6 ± 0,1) cm e (57,5 ± 0,1) cmpara as alturas das colunas de oleo e agua, respecti-vamente. A partir da Eq. (8) conclui-se que este au-mento nas alturas das colunas de oleo e de agua e muitodesejavel, visto que ambas as quantidades encontram-se explicitadas no denominador. Os resultados obtidoscom o metodo proposto neste trabalho sao reportadosna secao 4.

Medicao da densidade do oleo: uma discussao sobre sua otimizacao e diminuicao dos custos via incerteza relativa da medicao 3302-5

Figura 4 - Medicao experimental da densidade do oleo de cozinha utilizando uma mangueira transparente flexıvel como tubo em U.

3. O coeficiente de vantagem de um ex-perimento

Em qualquer tipo de laboratorio de fısica experimen-tal existe um impasse entre a qualidade dos resultadosobtidos e o custo que isso acarreta para a instituicaomantenedora do mesmo. Ate mesmo em laboratoriosde simulacao computacional, onde calculos mais rapidose acurados sao cada vez mais necessarios, deve-se pe-sar o quanto a compra de maquinas mais possantes e,consequentemente, mais rapidas, sao realmente vanta-josas. O gestor do ambiente de pesquisa pode adotaruma serie de criterios para decidir como pesar os fatoresexatidao e custo.

Tratando-se de experimentos de cunho didatico,porem mantendo compromisso com a qualidade dos da-dos apresentados, e desejavel que os mesmos apresen-tem incertezas relativas tao pequenas quanto possıveis,sem deixa-los demasiadamente onerosos. No presentetrabalho, o um criterio para escolha de um entre variosexperimentos, ou configuracoes de experimentos, e pro-posto. Define-se aqui o fator de vantagem de um expe-rimento como o produto da incerteza da grandeza fısicamedida (δ) pelo seu custo (C)

Fv = δ × C. (9)

A Eq. (9) e definida de forma que os experimentosmais desejaveis (alta qualidade das medicoes e baixocusto) sao aqueles que apresentam coeficientes de van-tagem baixos. Na proxima secao sao apresentados osresultados obtidos e sao analisados seus respectivos co-eficientes de vantagem.

4. Resultados

Na presente secao, sao apresentados os resultados obti-dos por diferentes metodos, e configuracoes, para amedicao da densidade do oleo de cozinha e suas respec-tivas incertezas. De posse desses resultados o professorpodera avaliar a incerteza e o custo de um experimentoproposto. A Tabela 1 mostra as diferentes configuracoespara os dois metodos tratados neste trabalho.

A partir das Eqs. (1) e (5) foram obtidos, respecti-vamente, a densidade do oleo de cozinha pelo metododireto e pelo metodo do tubo em U. As Eqs. (3) e (7)fornecem suas respectivas incertezas associadas. O fa-tor de vantagem do experimento e dado pela Eq. (9). ATabela 2 resume os resultados obtidos para as diferentesconfiguracoes e metodos apresentados na Tabela 1.

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Tabela 1 - Metodos de determinacao da densidade do oleo e custo aproximado. Os respectivos (volume maximo - menor divisao) daproveta e bureta sao, respectivamente, (500 mL - 5 mL) e (50 mL - 0,5 mL).

ConfiguracaoI Descricao do experimento Custo (R$)

1I Metodo direto: balanca digital (2 kg - 0,1 g) + proveta graduada 750,002 Metodo direto: balanca digital (2 kg - 0,01 g) + proveta graduada 1000,003 Metodo direto: balanca digital (2 kg - 0,1 g) + bureta 800,004 Metodo direto: balanca digital (2 kg - 0,01 g) + bureta 1050,005 Metodo do tubo em U comercial + regua metalica + nıvel 120,006 Metodo do tubo em U flexıvel: mangueira transparente + regua metalica 40,00

Tabela 2 - Resultados obtidos para a densidade do oleo com sua respectiva incerteza e fator de vantagem.

Configuracao I Incertezas ρ0(g/cm3) δρ0(g/cm3) Fator de vantagem

1 I δm = 0, 1 g e δV = 3 mL 0,9117 0,0057 4,32 δm = 0, 01 g e δV = 3 mL 0,9117 0,0057 5,73 δm = 0, 1 g e δV = 0, 3 mL 0,9117 0,0061 4,94 δm = 0, 01 g e δV = 0, 3 mL 0,9117 0,0057 6,05 δho = δhw = 0, 1 cm 0,951 0,017 2,06 δho = δhw = 0, 1 cm 0,9185 0,0022 0,1

�

A partir dos dados apresentados na Tabela 2, e ba-seado no fator de vantagem, conclui-se que a melhorconfiguracao para se medir a densidade do oleo de co-zinha em um laboratorio didatico, desde que se desejeum balanco entre exatidao e baixo custo, e a Confi-guracao 6, proposta neste artigo.

5. Conclusoes

A abordagem experimental e do calculo de incertezarelativa dada neste artigo tem por objetivo estimularos futuros professores de fısica do curso de licencia-tura a analisar diferentes experimentos e configuracoespossıveis para a realizacao de medicoes e de inter-pretacao dos resultados. O fator de vantagem propostoneste artigo (Eq. (9)), pode fornecer uma estimativa dareal necessidade de se modificar ou comprar equipamen-tos para a realizacao de um determinado experimento.

Este exemplo simples de um experimento de vasoscomunicantes e medicao da densidade do oleo de co-zinha pode ilustrar como uma analise da incerteza re-lativa pode levar a um olhar diferente e a confeccao de

experimentos mais simples e de baixo custo, fornecendodados experimentais de qualidade.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer ao professor SergioHenrique Silva Junior, que leciona as disciplinas Me-trologia Dimensional e Quımica em nossa instituicaode ensino, por suas valiosas sugestoes neste trabalho.

Referencias

[1] V.C. Barbosa e A.M.S. Breitschaft, Revista Brasileirade Ensino de Fısica 28, 115 (2006).

[2] P.A. Tipler, Fısica (Ed. LTC, Rio de Janeiro, 2000),v. 1, 5a ed.

[3] A. Mendes e P.P. Rosario, Metrologia e Incerteza deMedicao (Ed. Epse, Sao Paulo, 2005).

[4] J.H. Vuolo, Fundamentos da Teoria dos Erros (Ed.Edgard Blucher, Sao Paulo, 1996), 2a ed.

[5] J.H. Vuolo, Revista Brasileira de Ensino de Fısica 21,350 (1999).