Mecánica para Ingeniería Dinámica [Anthony Bedford, Wallace Fowler]

http://carlos2524.jimdo.com/

, ..

T"


MECNICA PARA INGENIERiA~~~~ MECNICA PARA INGENIERiA'~~~~:1~1

leaAnthony Bedford Anthony Bedfordy

Fowler Wallace FowlerThe University 01 Texas (Austin) UniversityVersin en espaol de Versin espaolJos E. de la Cera Alonso Jos E. de Cera Alonso

Universidad Autnoma Metropolitana Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco, Mxico Unidad Azcapotza/co, Mxico Con la colaboracin de Con la colaboracin de Antonio Martn-Lunas Antonio Martn-Lunas Universidad Autnoma Metropolitana Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco, Mxico Unidad A zcapotza/co, Mxico

MXIco ARGENTI!O "'1-->0

lm 2 sen('e /2) o . sen('e /2) D. 't

Para evaluar este lmite, lo escribimos en la forma lmite, escribimos Para evaluar forma= sen('e /2) de = lm sen('e /2) 'e o.. D dt ~t->O 'e dt "'HO 'e /2 't

En el lmite, cuando M tiende a cero, sen (,1.812)/(,1.812) es igual al, ,1.8/ M tiende cero, cuando (!lBI2)/(!lBI2) igual al, !lB/!lt es igual a d8/dt, y el vector unitario o es perpendicular a e(t) (Fig. 2.19c). vector unitario n perpendicular d/dt, Por tanto, la derivada respecto al tiempo de e es tiempo Por tanto, derivada respecto-

de de de = -o=wo = -D=WD dt dt ' dt dt

(2.33) (2.33)

donde o es un vector unitario que es perpendicular a e y seala en la direcvector unitario perpendicular donde n seala B 2.19d). En siguientes usaremos cin positiva de 8 (Fig. 2.19d). En las siguientes secciones usaremos este positiva resultado deducir expresiones para velocidad aceleracin punresultado al deducir expresiones para la velocidad y aceleracin de un punto en diferentes sistemas coordenados. diferentes sistemas coordenados.

~(a)

~ """-----'----- - - -- - -- - Lo ""'---'---------~--L---------~--L---------LO LO

(b)

Figura 2.19 (a) Vector unitario e y lnea de Vector unitario referencia Lo. referencia Lo' (b) El cambio Lle en e de t a cambio Llt. t + Llt. (e) Cuando Llt tiende cero, (c) Cuando Llt tiende a cero, n resulta perpendicular a e(t). resulta perpendicular (d) Derivada de e respecto Derivada respecto al tiempo. tiempo.

~----------- Lo ""'-------------

~--L--------- LO ~--'----------LO

(e)

(d)


52

CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO DE PUNTO

Ejemplo 2.7El rotor de un motor de reaccin est girando a 10 000 rpm cuando se interrumpe rotor motor reaccin girando 10000 rpm cuando interrumpe el suministro de combustible. La aceleracin resultante es C/ = - 0.02w, donde suministro combustible. aceleracin resultante ex -0.02w, donde velocidad angular rad/s. w es la velocidad angular en rad/s. (a) Cunto tarda el rotor en alcanzar 1000 rpm? rotor rpm? Cunto tarda alcanzar rpm? (b) Cuntas revoluciones gira el rotor mientras desacelera a 1000 rpm? Cuntas revoluciones rotor mientras desacelera

ESTRATEGIA ESTRATEGIAPara analizar movimiento angular Para analizar el movimiento angular del rotor, definimos una lnea L fija al rotor, definimos una L rotor y perpendicular a su eje (Fig . 2.20). Luego examinamos el movimiento (Fig. Luego examinamos movimiento rotor perpendicular de L respecto a la lnea de referencia Le. La posicin, velocidad y aceleracin respecto referencia Lo. posicin, velocidad aceleracin angulares definen angulares de L definen el movimiento angular del rotor. . movimiento angular rotor

Figura 2.20 2.20Lnea L y lnea de referencia Lo que referencia Lo especifican especifican la posicin angular del posicin angular rotor. . rotor

SOLUCiN SOLUCiN conversin La conversin de rpm a rad/ss es rpm rad/

1 rpm rpm

= == =

1 revolucin/min x ( revolucin/ min7r/30 rad/s. 7l"/ 30 rad/ s.

m 27l" rad 27r rad. , ) x ( 1 min ) 16O isn) 1 revolucin revolucin 60 s


2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2.3 MOVIMIENTO CURViLNEO

53 53

(a) La aceleracin angular es (a) La aceleracin angular esex C'l

dw = - = -0.02w = -dt = -0.02w. . dt

dw

Separando variables, Separando variables,dw dw

-

w ea

-O.02dt, = -0.02dt,

integramos, definiendo = O como tiempo que corta combustible: e integramos, definiendo t = Ocomo el tiempo en que se corta el combustible:

1 ft

1000,,/30dw IOOOrr/ 30 dco

-

=

l'o o

-0.02dt. -0.02dt.

IOOOOrr/30 W 10 000,,/30 W

Evaluando integrales despejando obtenemos Evaluando las integrales y despejando t obtenemos

= (_1_) In (10 0001l'/30) = ll5.1 s. (_1_) In (10 00071"/30) 115.10.02 0.02 100071"/30 10001l'

Escribimos aceleracin angular como (b) Escribimos la aceleracin angular comoex C'l

=-

dco dw

dt

- w -0.02w, = - - = -w= = -0.02w, -dO dt de dt dO de

doi dO dw d

dco dw

separamos variables, separamos variables,dw = -0.02dO , dco -0.02de,

e integramos , definiendo () = O como la posicin angular en que se corta el integramos, definiendo (j = como posicin angular corta combustible: combustible:

Despejando () obtenemos Despejando (j obtenemos0= (_1_) [(10 00071"/30) - (100071"/30)] e = (_1_) [(10 0001l'/30) (10001l'/30)] 0.02 0.02

f 1

IOOOrr/ 30 1000,,/30

dw = dco =

1 19 O o

-0.02dO. -0.02de.

10000rr/ 30 10000,,/30

= 15 00071" rad = 7500 revoluciones. 15 0001l' rad 7500revoluciones.


54 54~

CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO

________________________ L---------~

~

_____________________________ _4Problemasl--------------------------~Problemasl

Cules son magnitudes de velocidades angulares 2.85 Cules son las magnitudes de las velocidades angulares (en rad/s) aguja horaria aguja minutera mostradas? (en rad / s) de la aguja horaria y la aguja minutera mostradas?

2.89 La aceleracin angular de una lnea L respecto a una aceleracin angular una lnea L respecto una lnea de referencia Lo es el = 30 - 6t rad / s 2 Cuando t = O, lnea referencia a 30 rad/s-, Cuando O, O = O Y w = O. Cul es la velocidad angular mxima de L O OYw o. Cul velocidad angular mxima L respecto a Lo durante el intervalo de tiempo de t = O a t = respecto durante intervalo tiempo = O 10 s? s? 2.90 Una turbina de gas empieza a girar en t = Ocon aceleraUna turbina empieza girar = O con aceleracin angular el = 6t rad/s 2 durante 3 s y luego desacelera con cin angular a = rad/s- durante luego desacelera con el = - 3 rad / s hasta que se detiene. a -3 rad/s-2 hasta que detiene. (a) Qu velocidad angular mxima alcanza? Qu velocidad angular mxima alcanza? (b) Cul es el ngulo total que gira? Cul ngulo total que gira?

P2.85 P2.85

En Fig. P2.86, sea L una lnea del centro Tierra 2.86 En la Fig. P2.86, sea L una lnea del centro de la Tierra un punto fijo sobre ecuador, sea una lnea referena un punto fijo sobre el ecuador, y sea Lo una lnea de referencia direccin fija. La figura muestra Tierra vista desde cia de direccin fija. La figura muestra la Tierra vista desde arriba del polo norte. arriba del polo norte. (a) Es d/ dt positiva negativa? (a) Es dOl dt positiva o negativa? Cul magnitud de dOldt en rad/s? (b) Cul es la magnitud de dO/dt en rad / s?

2.91 El rotor de un generador elctrico est girando a 200 rpm 2.91 rotor un generador elctrico est girando 200 rpm cuando el motor se apaga . Debido a efectos de friccin, la desacuando motor apaga. Debido efectos friccin, desaceleracin angular del rotor despus de que se apaga el motor celeracin angular rotor despus que apaga motor es el = -O.Olw rad / s 2 , donde w es la velocidad angular en a = -O.Olw rad/s-, donde velocidad angular rad / s. Cuntas revoluciones gira el rotor hasta que se detiene? rad/s. Cuntas revoluciones gira rotor hasta que detiene? 2.92 La aguja de un instrumento de medicin est conectada La aguja un instrumento de medicin est conectada a un resorte torsional que la somete a una aceleracin angular somete una aceleracin angular un resorte torsional que el = - 40 rad/s-, donde ex = -40 rad/s 2 , donde O es la posicin angular de la aguja en posicin angular de la aguja en radianes respecto una direccin de referencia. la aguja radianes respecto a una direccin de referencia. Si la aguja se libera del reposo rad, cul su velocidad angular libera del reposo en O = 1 rad, cul es su velocidad angular O = en O O? en O = O?

P2.86 P2.86

2.87 El ngulo entre una lnea L y una lnea de referencia Lo El ngulo entre una lnea y una lnea de referencia Lo es O = 2t22 rad. es O = 2t rad. (a) Cules son la velocidad y la aceleracin angulares de L res(a) Cules son la velocidad y la aceleracin angulares de respecto a Lo en t = 6 s? pecto a Lo en t 6 (b) Cuntas revoluciones gira L respecto a Lo durante el inter(b) Cuntas revoluciones gira L respecto a Lo durante el intervalo de tiempo de t = O a t = 6 s? valo de tiempo de = O a = 6 s? Estrategia: Use Ecs. (2.31) y (2.32) para determinar la velociEstrategia: Use Ecs. (2.31) y (2 .32) para determinar la velocidad y la aceleracin angulares como funciones del tiempo. dad y la aceleracin angulares como funciones del tiempo. 2.88 En la Fig. P2.88, el ngulo O entre la barra y la lnea 2.88 En la Fig. P2.88, el ngulo O entre la barra y la lnea horizontal es O = tt33 -- 2t22 + 4 (grados). Determine la velocidad horizontal es O 2t 4 (grados). Determine la velocidad y la aceleracin angulares de la barra en tt = 10 s. y la aceleracin angulares de la barra en = 10 s.

P2.92

2.93 El ngulo Ode la Fig. P2.93 mide la direccin del vector 2.93 El ngulo O de la Fig. P2.93 mide la direccin del vector unitario e respecto al eje x. Si w = dOldt = 2 rad / determine unitario e respecto al eje x. Si w = dO/ dt = 2 rad/s, s, determine vector del dt: (a) cuando O = (b) cuando O = 90; (c) cuanel vector del dt: (a) cuando O = O; (b) cuando O = 900; (e) cuan180 do O do O = 1800 . Estrategia: Use la Ec. (2.33) o exprese e en trminos de Estrategia: Use la Ec. (2.33) o exprese e en trminos de su) x y y, y derive respecto al tiempo. componentes x y y, y derive respecto al tiempo. componentes its time derivative. its time derivative. y y

------------~L---~--------x x ------------~~--~--------

eo

P2.93 P2.93

P2.88 P2.88

2.94 En el Probo 2.93 suponga que el ngulo O 2.94 En el Probo 2.93 suponga que el ngulo O Cul es el vector del dt en tt = 4 s? Cul es el vector del dt en = 4 s?

2t rad. 2t2 2 rad.


2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2,3 MOVIM IENTO C URViLNEO

55 55

2.95 2.95 La lnea OP tiene longitud constante R. El ngulo () = constante () dondeo wot, donde ,wo es una constante. constante. (a) Use las relacionesVxVx

y y

==-, == dt' dt

dx dx

vy vy = dt

dy dy

para determinar la velocidad del punto P respecto a O. determinar punto para determinar velocidad de (b) Use Ec. (2.33) para determinar la velocidad de P respecto a O, y vea que su resultado coincida con el de la parte (a). resultado coincida con el de la parte (a). Estrategia: En la parte (b), escriba el vector posicin de P Estrategia: parte vector posicin de respecto a O como r = Re, donde e es un vector unitario que unitario que apunta P. apunta de O a P.

------o~-~-----x

------o~-~-----x

Componentes normal tangencial Componentes normal y tangencial''\ \

P2.95 P2.95

Al describir el movimiento curvilneo especificamos la posicin de un pundescribir movimiento curvilneo especificamos posicin punposicin medida largo de su trayectoria, expresamos to por su posicin medida a lo largo de su trayectoria, y expresamos la velocidad aceleracin componentes tangencial normal velocidad y la aceleracin en sus componentes tangencial y normal (perpendicular) a la trayectoria. Estas componentes son muy tiles cuando trayectoria. Estas componentes cuando pendicular) un punto se mueve en una trayectoria circular, y permiten observar el capunto una trayectoria circular, permiten observar rcter velocidad aceleracin movimiento curvilneo. rcter de la velocidad y la aceleracin en el movimiento curvilneo. Considere punto una trayectoria plana curvilnea Considere un punto P que sigue una trayectoria plana curvilnea (Fig. 2.21a). vector 2.21a). El vector de posicin r especifica la posicin de Prespecto al punto posicin especifica posicin Prespecto punto de referencia O, y la coordenada s mide la posicin de P respecto a un referencia coordenada s respecto posicin punto O' sobre su trayectoria. La velocidad de P respecto a O es sobre trayectoria. velocidad P respecto punto

v = dr = lm r(t = dr = r(t dt L'.t40 dt t.t--+O

+ !J.t) M)~t ~t

r(t) r(t)

=

lm ~r ~rL'.t40 ~t t.t--+O ~t '

(2.34)

donde M = r(t ~t) 2.21b). Denotamos distancia donde M = r(t + !::.t) - r(t) (Fig. 2.21b). Denotamos con as la distancia r(t) /).S recorrida entre toma vector unitario definido apuntan-. recorrida entre t y t + !::.t.Si se toma un vector unitario e definido apuntan-o /).t. direccin !::.r, podemos escribir como do en la direccin de /).r, podemos escribir la Ec. (2.34) comoSs , ~s 11m -e. Hfl v= 1 - e. L'.t-+O ~t t.t---+O ~t

Figura 2.21

Cuando !::.ttiende cero, ~s/!::.t ds/ dt vector unitario Cuando !::.t tiende a cero, ~s/!::.t se vuelve ds/ dt y e es un vector unitario tangente trayectoria tiempo denotamos tangente a la trayectoria en la posicin de P en el tiempo t, que denotamos posicin con el (Fig. 2.21c):ds ds = -et. v= vet = -et. dt dt

(2.35)

(a) La posicin de P a lo largo de su trayectoria trayectoria se especifica con la coordenada coordenada s. (b) Posicin de P en el tiempo t y en el tiempo t + M. (e) (c) El lmite de e cuando M - O es un cuando M ~ O es vector unitario tangente a la trayectoria. unitario tangente trayectoria.

.

P(t) P(t)

o(a) (b)

o(e)

o


56

CAPTU LO 2 MOVIM IENTO DE UN PUNTO PUNTO CAPTULO MOVIMIENTO DE

La velocidad de un punto en movimiento curvilneo un vector cuya La velocidad de un punto en movimiento curvilneo es un vector cuya magnitud igual la razn de cambio de la distancia recorrida largo magnitud es igual a la razn de cambio de la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria cuya direccin tangente sta. de la trayectoria y cuya direccin es tangente a sta. Para la aceleracin tiempo la Ec. (2.35): Para la aceleracin de P, derivamos respecto al tiempo la Ec. (2.35): P, derivamos respecto

a

dv dv dt dt

del del u_o u_o

dt dt

(2.36) (2.36)

Si la trayectoria no es una lnea recta, el vector unitario el gira conforme la trayectoria no una lnea recta, vector unitario gira conforme P se mueve. En consecuencia, la derivada respecto al tiempo de e t no es mueve. En consecuencia, la derivada respecto tiempo de el no cero. En la seccin anterior dedujimos una expresin para la derivada rescero. En la seccin anterior dedujimos una expresin para la derivada respecto al tiempo de un vector unitario en rotacin en trminos de la velocipecto tiempo de un vector unitario en rotacin en trminos de la velocidad angular del vector unitario, Ec. (2.33). Para usar resultado, dad angular del vector unitario, Ec. (2.33). Para usar ese resultado, definimos ngulo trayectoria O que especifica la direccin de el resdefinimos el ngulo de trayectoria O que especifica la direccin de e t respecto una lnea de referencia (Fig. 2.22). Entonces, de Ec. (2.33), pecto a una lnea de referencia (Fig. 2.22). Entonces, de la Ec. (2.33), la derivada respecto tiempo de derivada respecto al tiempo de el es

donde en un vector unitario normal que apunta en la direccin podonde en es un vector unitario normal a el que apunta en la direccin positiva de O si dO/dt es positiva (Fig. 2.22). Sustituyendo esta expresin en dOldt positiva (Fig. 2.22). Sustituyendo esta expresin en sitiva de la Ec (2.36) obtenemos la Ec.. (2.36) obtenemos la aceleracin de P: aceleracin de (2.37) (2.37)

oFigura 2.22ngulo () de la trayectoria. ngulo () trayectoria.

Podemos deducir este resultado de una manera menos rigurosa pero Podemos deducir este resultado de una manera menos rigurosa pero que aclara que aclara el significado de las componentes tangencial y normal de la significado de las componentes tangencial normal de aceleracin. La Fig. 2.23(a) muestra la velocidad de en los tiempos aceleracin. La Fig. 2.23(a) muestra la velocidad de P en los tiempos t ilt. En la Fig. 2.23(b) puede ver que cambio en la velocidad, y t + ilt. En la Fig. 2.23(b) se puede ver que el cambio en la velocidad, v(t + ilt) - v(t), consiste en dos componentes . La componente ilu, tangenilt) v(t), consiste en dos componentes. La componente Llu, tangenv(t te la trayectoria en tiempo debe cambio en la magnitud de te a la trayectoria en el tiempo t, se debe al cambio en la magnitud de la velocidad. La componente uilO, que perpendicular a la trayectoria la trayectoria la velocidad. La componente uLlO, que es perpendicular en el tiempo t, se debe al cambio de direccin del vector de velocidad. . tiempo debe cambio de del vector de velocidad en As, As, el cambio en la velocidad es (aproximadamente) cambio en la velocidad (aproximadamente)v(t v(t

+

Llt) - v(t) = Lluelt ilt) v(t) = ilue

+ uLlOenn uilOe

Figura 2.23 Velocidad (a) Velocidad de P en t y en t + t:J.t. (b) Componentes tangencial y normal del Componentes tangencial normal del cambio en la velocidad . la velocidad. cambio

(a)

(b)


MOVIMIENTO CURVILNEO 57 2.3 MOVIM IENTO CURViLNEO 57

Para obtener aceleracin dividimos Para obtener la aceleracin dividimos esta expresin entre I1t y tomamos expresin entre !1t tomamos el lmite cuando M --. O: lmite cuando M ~ O:!1v ,[!1V !1(J ] , 11 v l1e a= lm 11 v lm a = M-+O -t:..t= Llt-+O[ -t:..tet + v- en ] 11m -et+v-en t:..t M~O I:!..t tl t ~O I:!..t I:!..t

dv de dv de = - et + v- en = -et+v-en' dt dt dt dt

nuevo Pero, deduccin seala claraAs, obtuvimos de nuevo la Ec. (2.37). Pero, esta deduccin seala claraobtuvimos mente razn mente que la componente tangencial de la aceleracin proviene de la razn componente tangencial aceleracin proviene de cambio de la magnitud de la velocidad, mientras que la componente magnitud velocidad, mientras componente cambio normal proviene razn cambio vector velocinormal proviene de la razn de cambio de la direccin del vector de velocidireccin dad. Si la trayectoria es una lnea recta en el tiempo t, la componente nortrayectoria una lnea recta tiempo dad. componente norigual porque dOl dt mal de la aceleracin es igual a cero porque d/dt es cero . aceleracin cero. Podemos expresar menudo Podemos expresar la aceleracin en otra forma que a menudo es ms aceleracin otra forma conveniente. posiciones sobre trayectoria alcanconveniente. La Fig. 2.24 muestra las posiciones sobre la trayectoria alcanFig. muestra zadas por tiempos dt trayectoria curva, zadas por P en los tiempos t y t + dt.. Si la trayectoria es curva, las lneas puntos perpendicularmente trayecrectas que se extiendan desde esos puntos perpendicularmente a la trayecextiendan toria intersecarn como muestra. trayectoria toria se intersecarn como se muestra. La distancia p de la trayectoria al distancia punto donde intersecan llama radio punto donde esas dos lneas se intersecan se llama radio de curvatura inscurvatura tantneo trayectoria trayectoria circular, tantneo de la trayectoria (si la trayectoria es circular, p es simplemente simplemente el radio de ella). El ngulo dO es el cambio en el ngulo de la trayectoria, radio ngulo trayectoria, cambio ngulo ds M relacionada ds por y ds es la distancia recorrida entre t y t + M. . p est relacionada con ds por distancia recorrida entreds = pde. ds = o d.

Figura 2.24 Figura 2.24curvatura instantneo. Radio de curvatura p instantneo.

Dividiendo entre dt obtenemos Dividiendo entre dt obtenemosds de ds de - v -v-p p dt dt dt

Usando esta relacin, podemos escribir la Ec. (2.37) como Usando relacin, podemos escribir Ec. como

Para un valor dado de v, la componente normal de la aceleracin depende aceleracin depende Para valor dado u, componente normal curvatura instantneo. Cuanto mayor curvatura del radio de curvatura instantneo. Cuanto mayor es la curvatura de la radio http://carlos2524.jimdo.com/

58 58

CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO

trayectoria, mayor es la componente normal de la aceleracin. Cuando la trayectoria, mayor es la componente normal de la aceleracin. Cuando la aceleracin se expresa de esta manera, el vector unitario en debe definirse aceleracin se expresa de esta manera, el vector unitario en debe definirse de manera que apunte hacia el lado cncavo de la trayectoria (Fig. 2.25). de manera que apunte hacia el lado cncavo de la trayectoria (Fig. 2.25).Figura 2.25 Figura 2.25El vector unitario normal la trayectoria El vector unitario normal a la trayectoria apunta hacia lado cncavo de sta. apunta hacia el lado cncavo de sta.

As, la velocidad y la aceleracin en componentes normal y tangencial velocidad aceleracin componentes normal tangencial son (Fig. 2.26). - - - - - ------,1 '

ds v = vet = -e, v = vel = -el, dt

(2.38) (2.38) (2.39) (2.39)

donde dondedv dv at=-, al = dt' dtan = v - = - . n = v- =-. dt dt p

de

2 v2

(2.40) (2.40)

Figura 2.26 2.26Componentes normal y tangencial de la Componentes normal y tangencial de la velocidad (a) y la aceleracin (b). velocidad (a) y la aceleracin (b).

Movimiento circular Si un punto P se mueve en una trayectoria circuMovimiento circular Si un punto P se mueve en una trayectoria circular de radio R (Fig. 2.27), la distancia s est relacionada con el ngulo (J por lar de radio R (Fig. 2.27), la distancia s est relacionada con el ngulo e pors = Re. s = Re. Figura 2.27 Figura 2.27Punto movindose en una trayectoria circular. Punto movindose en una trayectoria circular.

Trayectoria circular Trayectoria circular

R

o


2.3 MOVIMIENTO C URViLNEO 2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO

59

Esta relacin significa que podemos especificar la posicin de P Esta relacin significa que podemos especificar la posicin de P a lo largo largo s (). Derivando respecto tiempo de la trayectoria circular por medio de s o (). Derivando respecto al tiempo trayectoria circular por medio esta ecuacin, obtenemos una relacin entre = ds/ dt la velocidad anguesta ecuacin, obtenemos una relacin entre v = ds/ dt y la velocidad angular lnea que va del centro trayectoria lar de la lnea que va del centro de la trayectoria a P: = R= RJ. v = R - = R). dt dt

de

Trayectoria Trayectoria circular

(2.41) (2.41)

Derivando Derivando de nuevo, obtenemos una relacin entre la componente tangennuevo, obtenemos una relacin entre la componente tangencial aceleracin a, dv dt aceleracin angular: dv / dt y la aceleracin angular: cial de la aceleracin at

d) dJ at = R- = Ra. R - Ra. dt dt

Trayectoria Trayectoria circular

(2.42) (2.42)

Para trayectoria circular, radio curvatura instantneo Para la trayectoria circular, el radio de curvatura instantneo p que componente normal de aceleracin lo que la componente normal de la aceleracin esTrayectoria Trayectoria circular

= R, por = R, por

(2.43) (2.43)

Como problemas que implican movimiento circular son comunes, vale Como los problemas que implican movimiento circular son comunes, vale pena recordar estas expresiones. Tenga cuidado de usarlas slo cuanla pena recordar estas expresiones. Tenga cuidado de usarlas slo cuantrayectoria sea circular. do la trayectoria sea circular.

Los siguientes ejemplos muestran uso Los siguientes ejemplos muestran el uso de las Ecs. (2.38) y (2.39) para Ecs. (2.38) (2.39) para analizar los movimientos curvilneos los cuerpos. Como las ecuaciones analizar los movimientos curvilneos de los cuerpos. Como las ecuaciones que relacionan componente tangencial de que relacionan s, v y la componente tangencial de la aceleracin, aceleracin,

ds v= v= dt' dt' dv a-a t -- - ' dt dt'tienen una forma idntica ecuaciones que rigen movimiento tienen una forma idntica a la de las ecuaciones que rigen el movimiento un punto largo una lnea recta, de un punto a lo largo de una lnea recta, en algunos casos se pueden resolalgunos casos se pueden resolusando los mismos mtodos aplicables al movimiento en lnea recta. ver usando los mismos mtodos aplicables al movimiento en lnea recta.


60 CAPTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO 60 CAPiTULO 22 MOVIMIENTO DE UN PUNTO

Ejemplo 2.8 Ejemplo 2.8La motocicleta de la Fig. 2.28 parte del reposo en tt = Osobre una pista circular La motocicleta de la Fig. 2.28 parte del reposo en = O sobre una pista circular de 400 m de radio. La componente tangencial de su aceleracin es al = 2 + de 400 m de radio. La componente tangencial de su aceleracin es al = 2 + 0 .2t m/ s2 . En tt = 10 ss determine: (a) la distancia que ha recorrido a lo largo 0.2t rn/s-. En = 10 determine: (a) la distancia que ha recorrido a lo largo de la pista; (b) la magnitud de su aceleracin. de la pista; (b) la magnitud de su aceleracin.

ESTRATEGIA ESTRATEGIASea s la distancia desde la posicin inicial O de la motocicleta a su posicin Sea s la distancia desde la posicin inicial O de la motocicleta a su posicin en el tiempo tt (Fig. a). Conociendo la aceleracin tangencial en funcin del en el tiempo (Fig. a). Conociendo la aceleracin tangencial en funcin del tiempo, podemos integrar para determinar u y s como funciones del tiempo. tiempo, podemos integrar para determinar v y s como funciones del tiempo.

SOLUCiN SOLUCiNLa aceleracin tangencial es (a) La aceleracin tangencial es

Figura Figura 2.28al al

= - = 2 + 0.2t

dv dt

mls mis2. .

2

Integrando, Integrando ,

1vdv = dv =

1 [(22 1'(v

+ 0.2t)dt , 0.2t) dt,

obtenemos v en funcin del tiempo: obtenemos v en funcin del tiempo:

V

ds ds 2t O.lt mis. = - = 2t + O.lt2 mis. dt dt

Integrando esta ecuacin, Integrando esta ecuacin,

(a) La coordenada s mide la La coordenada mide la distancia a lo largo de la pista. distancia a lo largo de la pista.

1 l's s

1

ds = ds =

(2t (2t

0.lt dt, + 0.lt2)2 ) dt,

la coordenada en funcin del tiempo es la coordenada s en funcin del tiempo ess =t t s=2 2

0.1 0.1 + -tt33 m.. m3 3

En En tt

10 s, la distancia recorrida a lo largo de la pista es 10 s, la distancia recorrida a lo largo de la pista ess = (10) s = (10)2 2

0.1 + 3(10) 33 = 133.3 ID. + 0.1 3(10) = 133.3 m.

(b) En tt (b) En

10 s, la componente tangencial de la aceleracin es 10 s, la componente tangencial de la aceleracin esal

= 2 + 0.2(10) = 4 mls2.

Tambin debemos determinar la componente normal de la aceleracin. El radio Tambin debemos determinar la componente normal de la aceleracin. El radio de curvatura instantneo de la trayectoria es el radio de la pista circular, p de curvatura instantneo de la trayectoria es el radio de la pista circular, p 400 m. La magnitud de la velocidad en = 10 es 400 m. La magnitud de la velocidad en tt = 10 ss es

= 2(10) + 0.1(10)2 = 30 mis. vv = 2(10) + 0.1(10)2 = 30 mis.Por tanto, Por tanto,


2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2.3 MOVIMIENTO CURViLNEO2 v2 (30)2 2 =- = - = an = - = -- - = 2.25 mis . p 400 p

61 61

La magnitud de la aceleracin en t = 10 s es magnitud aceleracin

Ejemplo 2.9Un satlite est en rbita circular de radio R alrededor de la Tierra. Cul es satlite rbita circular radio alrededor Tierra. Cul velocidad? su velocidad?

ESTRATEGIA ESTRATEGIALa aceleracin debida a la gravedad a una distancia R del centro de la Tierra aceleracin debida gravedad distancia centro Tierra es gRV R2, donde RE es el radio de la Tierra. Usando esta expresin junto con gRV donde radio Tierra. Usando esta expresin junto la ecuacin para la aceleracin en trminos de sus componentes normal y tanecuacin para aceleracin trminos componentes normal tanpodemos obtener una ecuacin para velocidad satlite. gencial, podemos obtener una ecuacin para la velocidad del satlite.

SOLUCiN SOLUCiNEn componentes normal y tangencial (Fig. 2.29), la aceleracin del satlite es componentes normal tangencial aceleracin satlitedv a= -et+dt

R

v2 -en'

aceleracin gravedad hacia centro Esta expresin debe ser igual a la aceleracin de la gravedad hacia el centro expresin Tierra: de la Tierra: dv v2 gR~ gR~ -et+-en=-2-e. -e,+-en = -2 -e.dt RR

Como componente et derecho, concluimos magnitud Como no hay componente e, en el lado derecho, concluimos que la magnitud velocidad satlite constante: de la velocidad del satlite es constante: dv.= O. - ,=0. dt Igualando componentes eny despejando obtenemos Igualando las componentes en y despejando v obtenemos dv

Figura 2.29 Descripcin del movimiento del satlite movimiento Descripcin trminos componentes normal en trminos de las componentes normal y tangencial. tangencial.

v

= Jg~~.

Jg~~.

COMENTARIO COMENTARIOdeterminamos velocidad cuerpo viaja En el Ej. 2.5 determinamos la velocidad de escape de un cuerpo que viaja en recta alejndose Tierra, distancia lnea recta alejndose de la Tierra, en trminos de su distancia inicial desde trminos centro Tierra. velocidad cuerpo una distancia el centro de la Tierra. La velocidad de escape de un cuerpo a una distancia centro Tierra, Vesc .J 2gR~/ R, velocidad R del centro de la Tierra, Vese = --J 2gR~/ R, es slo V2 veces la velocidad de cuerpo una rbita circular radio R. por posible un cuerpo en una rbita circular de radio R . Esto explica por qu fue posible empezar lanzar sondas otros planetas poco despus pusieron empezar a lanzar sondas a otros planetas poco despus de que se pusieron en rbita primeros satlites. rbita los primeros satlites.


62 CAPTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO 62 CAPTULO 22 MOVIMIENTO DE UN PUNTO

1.---------~----_i1 Ejemplo 2.10 h - - - - - - - - - - ---il Ejemplo 2.10 I _~____~____~J111 ....

JI

Durante un vuelo en que un helicptero parte del reposo en tt = O, las componenDurante un vuelo en que un helicptero parte del reposo en = O,las componentes cartesianas de su aceleracin son tes cartesianas de su aceleracin son

Cules son las componentes normal y tangencial de su aceleracin y el radio Cules son las componentes normal y tangencial de su aceleracin y el radio de curvatura instantneo de su trayectoria en tt = 4 s? de curvatura instantneo de su trayectoria en = 4 s?

ESTRATEGIA ESTRATEGIAPodemos integrar las componentes cartesianas de la aceleracin para determiPodemos integrar las componentes cartesianas de la aceleracin para determinar las componentes cartesianas de la velocidad en tt = 4 s. El vector de velocinar las componentes cartesianas de la velocidad en = 4 s. El vector de velocidad es tangente a la trayectoria, por lo que el conocimiento de las componentes dad es tangente a la trayectoria, por lo que el conocimiento de las componentes cartesianas de la velocidad nos permite determinar el ngulo de la trayectoria. cartesianas de la velocidad nos permite determinar el ngulo de trayectoria.

SOLUCiN SOLUCiN Figura 2.30 Figura 2.30y y

Integrando las componentes de la aceleracin respecto al tiempo (vase el Ej. Integrando componentes aceleracin respecto 2.6), las componentes cartesianas de la velocidad son componentes cartesianas velocidadvx0.3t = 0.3t22

mis,

vy l.8t 0.18t2 v y = 1.8t - 0.18t 2 mis.En t = 4 s, Vx = 4.80 miss y vy = 4.32 mis. Por tanto, el ngulo de la trayectomi uy mi s. Por tanto, ngulo trayectoria (Fig. a) es(J e = arctan

4.32) 4.32) --( -4.80 4.80

42.0o = 42.0.. son 4 s son

L---------------

~-------------------------------x

x

Las componentes cartesianas aceleracin en Las componentes cartesianas de la aceleracin en t

(a) Componentes cartesianas de la (a) Componentes cartesianas de la

velocidad y ngulo () de velocidad y ngulo () de la trayectoria. la trayectoria.

ay = l.8 - 0.36(4) = 0.36 mls22. ay = 1.8 - 0.36(4) = 0.36 mls .Calculando las componentes de esas aceleraciones en las direcciones tangencial Calculando las componentes de esas aceleraciones en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria (Fig. b), obtenemos al Y a : y normal a la trayectoria (Fig. b), obtenemos al Y ann :al al

= (2.4) cos 42.0 + (0.36) sen 42.0 = 2.02 m/ s2 = (2.4) cos 42.0 + (0.36) sen 42.0 = 2.02 rri/s-, ,

a = (2.4) sen 42.0 (0 .36) cos 42.0 = 1.34 m/s ann = (2.4) sen 42.0 -- (0.36) cos 42.0 = l.34 m/s-.2 .

(b) Determinacin de las componentes (b) Determinacin de las componentes

Para determinar el radio de curvatura instantneo de la trayectoria, usamos Para determinar el radio de curvatura instantneo de la trayectoria, usamos la relacin a = 2 2 / La magnitud de la velocidad en = 4 es la relacin ann = vulp.p. La magnitud de la velocidad en tt = 4 ss es

tangencial y normal de la tangencial y normal de la aceleracin aa partir de las aceleracin partir de las componentes. cartesianas. componentes cartesianas.

J + v; J (4 .8W + (4.32)2 6.46 mis, vv== Jv;v; + v; == J(4.8W + (4.32)2 == 6.46 mis,por lo que el valor de pp en tt = 44 ss es por lo que el valor de en = esPP= -=2 vv 2 (6.46)2 (6.46)2 = ---- - - = 3l.2m.ffi . = -= 31.2 aan l.34 1.34 n


2.3 MOVIMIENTO CURVILNEO 2.3 MOVIMIENTO CURViLNEO

63 63

~~~~~~~~~~~~~~~ Problemas ~

____________________~____~

2.96 La armadura de un motor elctrico gira a razn constan2_96 La armadura de un motor elctrico gira a razn constante. La magnitud de la velocidad del punto P respecto a O es te. La magnitud de la velocidad del punto P respecto a O es 4 mis. 4 mis. (a) Cules son las componentes normal y tangencial de la acele(a) Cules son las componentes normal y tangencial de la aceleracin de P respecto a O? racin de P respecto a O? (b) Cul es la velocidad angular de la armadura? (b) Cul es la velocidad angular de la armadura?

2.99 2.99 Una lancha de motor parte del reposo y es conducida Una lancha de motor parte del reposo y es conducida

en una trayectoria circular de 40 pies de radio. La magnitud en una trayectoria circular de 40 pies de radio. La magnitud de su velocidad aumenta a una razn constante de 2 piel S2..'En de su velocidad aumenta a una razn constante de 2 pie/s 2 En trminos de las componentes normal y tangencial, determine: trminos de las componentes normal y tangencial, determine: (a) la velocidad en funcin del tiempo; (b) la aceleracin en fun(a) la velocidad en funcin del tiempo; (b) la aceleracin en funcin del tiempo. cin del tiempo.

,/ ,/

/

/

-- --/

------ -- - ---

/ / / / / /

I I I I I I 1 I

1I1I

1 \\\ \ \\ \ \ \ \ \

P2.96 P2.96

, ,, ,-, ,

1 -4 0 f:J.t f:J.t/')"r

so

]


dr dr = -- er =dt dt

+ rJeo rJee

2.3

MOVIMIENTO

CURVILNEO

67

Una componente de la velocidad est en la direccin radial y es igual a la razn de cambio de la posicin radial r. La otra componente es normal, o transversal a la direccin radial, y es proporcional a la distancia radial y a la razn de cambio de O. Tenemos la aceleracin de P derivando respecto al tiempo Ec. (2.47):Figura 2.33 Derivadas respecto al tiempo de e,y eo.

(2.48) +r-ee+r--. 2dt d2e de dee dt dt

La derivada respecto al tiempo del vector unitario er debido a la razn de cambio de O est dada por la Ec. (2.46). Cuando P se mueve, eo tambin gira con velocidad angular d/ dt (Fig. 2.33). En esta figura se puede ver que la derivada respecto al tiempo de e, tiene la direccin +e, si dO/ dt es positiva:

-

dee dt

= --erdt

de

Sustituyendo esta expresin y la Ec. (2.46) en la Ec. (2.48), obtenemos la aceleracin de P:2

a=

dr --r [ dt2

(de -

dt

)2]dr dt

dr er+ [d e 2 r-+2-- de] dt dt dt

2

ee.

As, la velocidad y la aceleracin son (Fig. 2.34)v

=

Vr er

+ Ve ee = -

er

+ r cu ee

(2.49)

y

I

a = a; e,

+ ae ee, I

(2.50)

y././ ./ ./ ./

Figura 2.34\ \V \

voeo

\

Componentes radial y transversal de la velocidad (a) la aceleracin (b).

y

O(a)

x

O (b)

x


68

CAPTULO MOVIMIENTO DE PUNTO CAPTULO 2 MOVIM IENTO DE UN PUNTO

y y

donde donde

(2.51)tI"'------''----+--x ementode inercia masa pesa 5 lb Y tiene un m~ mento de inercia de masa de 0.01 slugpie". ruedas el traseros forman cuerpo pie 2 Las dos ruedas y el eje traseros forman un solo cuerpo Y momento inercia masa rgido que pesa 40 lb Y tiene un momento de inercia de masa 0.1 slug-pie/. total conductor vehculo, de 0.1 slug-pie 2 El peso total del conductor y el vehculo, incluyendo ruedas lb. vehculo parte reposo, cluyendo las ruedas es de 240 lb . El vehculo parte del reposo, motor constante 15pie-lb sobre el trasero su motor ejerce un par constante de 15 pie-lb sobre el eje trasero ruedas resbalan. ignoran friccin resistencia y sus ruedas no resbalan. Si se ignoran la friccin y la resistencia aerodinmica, velocidad vehculo cuando aerodinmica, qu velocidad tiene el vehculo cuando ha recorrido rrido 50 pies?

barra esbelta mostrada 30 y cilndrico 8.30 La barra esbelta mostrada pesa 30 lb Yel disco cilndrico reposo barra horizontal. 20 lb. El sistema se libera del reposo con la barra horizontal. Determine magnitud velocidad angular barra cuanDetermine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuansi barra estn soldados A. do est vertical si la barra y el disco estn soldados en A.

o

~~----

--r. pies ----"-.::---,.--i 4 pies ------'y--....,P8.30

11--_ .

1_.---------4____

determine magnitud 8.31 En el Probo 8.30, determine la magnitud de la velocidad velocidad angular barra cuando alcanzado posicin vertical angular de la barra cuando sta ha alcanzado la posicin vertical barra estn conectados por si la barra y el disco estn conectados por un pasador liso en A.. pasador A 8.32 EnlaFig. P8.32lacajade 100 lb es jalada por el malacate EnlaFig. P8.32lacajade 100lb jalada por malacate hacia arriba sobre plano inclinado coeficiente friccin hacia arriba sobre el plano inclinado. . El coeficiente de friccin cintica entre caja superficie J.tk cintica entre la caja y la superficie es .tk = 0.4. El momento 0.4. momento de inercia de masa del tambor en que est enrollado el cable, inercia masa tambor est enrollado cable, incluido ste, es lA = 3 slug-pie-, El motor ejerce un par M incluido slug-pie 2 motor ejerce un par = 40 pie-lb constante sobre el tambor. Si la caja parte del repoconstante sobre tambor. caja parte reposo, use el principio del trabajo y la energa para determinar su trabajo principio energa para determinar velocidad cuando se ha desplazado 2 pies. velocidad cuando desplazado

1------pulg 1-- - - - - - 60 60 pulg

P8.27

8.28 Determine la potencia mxima y la potencia media que Determine potencia mxima potencia media recibe de su motor el vehculo del Probo 8.27. motor vehculo 8.29 En la Fig. P8.29 cada caja pesa 50 lb, el momento de P8.29 cada caja pesa momento inercia de la polea es de 0.6 slug-pie/2 y la friccin se puede iginercia polea slug-pie friccin puede norar. Si las cajas parten del reposo, determine la magnitud de cajas parten reposo, determine magnitud norar. sus velocidades cuando se han movido 4 pies desde sus posiciovelcidades cuando han movido desde posiciones iniciales. iniciales.

I~

30

P8.32 P8.32

P8.29 P8.29


8.3 POTENCIA 8.3 POTENCIA

387 387

8.33 En la Fig. P8.33, cada una de las barras esbeltas de 2 8.33 En la Fig. P8.33, cada una de las barras esbeltas de 2 pies pesa 4 lb Y la placa rectangular pesa 20 lb. Si el sistema pies pesa 4 lb Y la placa rectangular pesa 20 lb. Si el sistema se libera ddl reposo en la posicin mostrada, cul ser la velocise libera del reposo en la posicin mostrada, cul ser la velocidad de la placa cuando las barras estn verticales? dad de la placa cuando las barras estn verticales?

8.35 La longitud del resorte sin estirar es de 1.5 m y su cons8.35 La longitud del resorte sin estirar es de 1.5 m y su constante es k = 50 N/m. Cuando la barra esbelta de 15 kg est tante es k = 50 N/ m. Cuando la barra esbelta de 15 kg est horizontal, su velocidad angular es de 0.1 rad/s. Cul es su horizontal, su velocidad angular es de 0.1 rad/s. Cul es su velocidad angular cuando est en la posicin mostrada? velocidad angular cuando est en la posicin mostrada?

-2m -2m

P8.33 P8.33

8.34 sistema mostrado parte reposo con barra esbelta 8.34 El sistema mostrado parte del reposo con la barra esbelta cilindro suspendido horizontal. La masa de 4 kg horizontal. La masa del cilindro suspendido es de 10 Cul velocidad angular barra cuando est kg. Cul es la velocidad angular de la barra cuando est en la posicin mostrada? posicin mostrada?

P8.35

8.36 La polea A mostrada pesa 4 lb, lA = 0.060 slug-pie? 2 e 8.36 La polea mostrada pesa lA slug-pie lB = 0.014 slug-pie-, Si el sistema parte del reposo, cul es lB slug-pie 2 sistema parte reposo, cul la velocidad del peso de 16 lb cuando ha cado 2 pies? velocidad cuando ha cado

~ 2m ~

P8.34 P8.34

P8.36 P8.36


388 8.37

CAPTULO 8 ENERGA Y CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

EN LA DINMICA

PLANA DE CUERPOS RGIDOS

La escalera de 18 kg mostrada se libera del reposo con = 10. La pared y el piso son lisos. Modelando la escalera como una barra esbe ta, use la conservacin de la energa para determinar su velocidad angular cuando e = 40.

e

8.40 El sistema est en equilibrio en la posicin mostrada. La masa de la barra esbelta ABC es de 6 kg, la masa de la barra esbelta BD es de 3 kg Yla masa del deslizador en C es de 1 kg. La constante del resorte es k = 200 N/m. Si se aplica en A una fuerza constante de 100 N hacia abajo, cul es la velocidad angular de la barraABC cuando ha girado 20 desde su posicin inicial?

P8.37

P8.40

8.38 En la Fig. P8.38, la barra esbelta de 4 kg est articulada a un deslizador A de 2 kg Y a un disco cilndrico homogneo de 4 kg en B. Ignore la fuerza de friccin sobre el deslizador y suponga que el disco rueda. Si el sistema se libera del reposo con e = 60, cul es la velocidad angular de la barra cuando e = O?

8.41 En la Fig. P8.41 la barra AB pesa 10 lb Y la barra BC 6 lb. Si el sistema se libera del reposo en la posicin mostrada, cules son las velocidades angulares de las barras en el instante inmediato anterior en que la junta B toca el piso liso?

A

B

T1 pie

~

e

'

l

2 pies

------1-1

Pie--j P8.41

8.42 Si la barra AB del Probo 8.41 est girando a 1 rad/s con direccin horaria en el instante mostrado, cules son las velocidades angulares de las barras en el instante inmediato anterior en que la junta B toca el piso liso? P8.38

Si el sistema del Probo 8.38 se libera del reposo con e = 80, cul es la velocidad angular de la barra cuando e = 20?8.39


8.4 PRINCIPIOS DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 8.4 PRINCIPIOS DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

389 389

8.4 Principios del impulso d~1 impulso y la cantidad de movimiento y la cantidad de movimientoAqu repasamos el principio del impulso y la cantidad de movimiento liAqu repasamos el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales del Cap 5 deducimos el principio del impulso el momento anguneales del Cap. . 5 y deducimos el principio del impulso y el momento angulares para un cuerpo rgido Estos principios relacionan integrales de tiemlares para un cuerpo rgido, . Estos principios relacionan integrales de tiempo de las fuerzas pares sobre un cuerpo rgido, con cambios en la po de las fuerzas y pares sobre un cuerpo rgido, con cambios en la velocidad de su centro de masa y su velocidad angular, y se pueden usar velocidad de su centro de masa y su velocidad angular, y se pueden usar para determinar los efectos de fuerzas y pares impulsores sobre el movipara determinar los efectos de fuerzas y pares impulsores sobre el movimiento del cuerpo, as como las velocidades de los centros de masa y las miento del cuerpo, as como las velocidades de los centros de masa y las velocidades angulares de los cuerpos despus de que han sufrido colisiones. velocidades angulares de los cuerpos despus de que han sufrido colisiones.

Cantidad de movimiento lineal Cantidad de movimiento linealLa segunda ley de Newton integrada respecto al tiempo da principio La segunda ley de Newton integrada respecto al tiempo da el principio del impulso la cantidad de movimiento lineales para un cuerpo rgido del impulso y la cantidad de movimiento lineales para un cuerpo rgido: :

1.'2 12(,

EFdt = mV2 mVI, 'EF dt = mV2 - mv,

(8.25) (8.25)

'1 t

masa los tiempos t donde V Y V son las velocidades del centro donde VI I Y V22 son las velocidades del centro de masa en los tiempos tii y t22 (Fig . 8.13). Si se conocen las fuerzas externas que actan sobre un (Fig. 8.13), conocen las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido cuerpo rgido en funcin del tiempo, podemos determinar el cambio en la funcin del tiempo, podemos determinar cambio en la velocidad del centro de masa durante un intervalo de tiempo. En funcin tiempo. En funcin velocidad del centro masa durante un intervalo del promedio respecto al tiempo de la fuerza total entre ti y t2,, promedio respecto tiempo fuerza total entreI:Fmedia = -- 1 I:Fmedia = -1t2 - ti tz

1. 112 t2 11 t,

EF dt, 'EF dt,

podemos escribir la Ec . (8.25) como podemos escribir Ec. (8,25) como(8.26) (8.26)

Esta forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales Esta forma principio impulso cantidad movimiento lineales suele ser til cuando un cuerpo est sometido a fuerzas impulsoras. suele til cuando cuerpo est sometido fuerzas impulsaras. Si las nicas fuerzas que actan sobre dos cuerpos rgidos A y B son nicas fuerzas que actan sobre dos cuerpos rgidos A B son las fuerzas que se ejercen entre s, o si otras fuerzas son insignificantes, fuerzas que ejercen entre otras fuerzas son insignificantes, su cantidad de movimiento lineal total se conserva: cantidad movimiento lineal total conserva:(8,27) (8.27) Figura 8.13 Figura 8.13 Principio del y la cantidad de Principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal. movimiento lineal.


390 390

CAPTULO ENERGA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DINMICA PLANA DE CUERPOS RGIDOS CAPTULO 8 ENERGA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA DINMICA PLANA DE CUERPOS RGIDOS

Momento angular Momento angularCuando aplicamos principios cantidades movimiento Cuando aplicamos los principios de las cantidades de movimiento a cuerpos rgidos, nos interesan las velocidades de sus centros de masa y sus rgidos, interesan velocidades centros masa velocidades angulares. Para esto, no basta el principio del impulso y la velocidades angulares. Para basta principio impulso cantidad movimiento Ahora deducimos principio impulso cantidad de movimiento lineal. Ahora deducimos el principio del impulso y el momento angulares para un cuerpo rgido en movimiento plano . momento angulares para cuerpo rgido movimiento plano. Consideremos un cuerpo rgido en movimiento plano general respecto Consideremos cuerpo movimiento plano general respecto a un punto de referencia O fijo (Fig. 8.14). En el Cap. 7, expresamos la punto referencia Cap. expresamos relacin entre el momento total respecto a O debido a fuerzas y pares exterrelacin entre momento total respecto debido fuerzas pares razn cambio momento angular cuerpo respecto nos y la razn de cambio del momento angular del cuerpo rgido respecto forma y a O en la forma (vanse las Ecs. 7.11 Y 7.20) 'EMo = -[(r x mv) k+ !w], "bMo = - [(rx mv). k + [w],d dt dt

oFigura 8.14Cuerpo movimiento plano Cuerpo rgido en movimiento plano con velocidad velocidad angular velocidad v y velocidad anglJlar w.

(8.28)

donde 1 momento inercia masa cuerpo rgido respecto donde 1 es el momento de inercia de masa del cuerpo rgido respecto a masa. Esta ecuacin expresa momento angular como su centro de masa. Esta ecuacin expresa el momento angular como la centro suma momentos angulares respecto debido velocidad suma de los momentos angulares respecto a O debido a la velocidad del centro masa momento angular respecto centro masa. vector centro de masa y el momento angular respecto al centro de masa. El vector unitario unitario k es perpendicular al plano de movimiento, y su direccin es defiperpendicular plano movimiento, direccin definida por eleccin direccin positiva para momento velocidad nida por la eleccin de la direccin positiva para el momento y la velocidad angular. definen momentos antihorarios velocidades angulares antiangular. Si se definen momentos antihorarios y velocidades angulares antihorarias como positivos, k apunta hacia afuera de la pgina (Fig. 8.15). 8.15). horarias como positivos, apunta hacia afuera pgina En vez de usar el producto vectorial para evaluar el momento angular usar producto vectorial para evaluar momento angular de un cuerpo rgido en movimiento plano, se puede proceder como se hizo cuerpo rgido movimiento plano, puede proceder comoFigura 8.15 Determinacin de la direccin de k. Determinacin direccin

r--, r \/I,\

ro

/

\II

)I

-j


8.4 PRINCIPIOS IMPULSO CANTIDAD MOVIMIENTO 8.4 PRINCIPIOS DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

391

para determinar los momentos de fuerzas en problemas bidimensionales. fuerzas para determinar momentos problemas bidimensionales. "momento" cantidad La magnitud del "momento" de la cantidad de movimiento lineal (r x magJ}.itud movimiento mv) . k es igual al producto de la magnitud de la cantidad de movimiento igual producto cantidad mv) magnitud movimiento lnea accin cantidad por distancia perpendicular lineal por la distancia perpendicular de O a la lnea de accin de la cantidad "momento" tiene de movimiento lineal (Fig. 8.16). Es positivo si el "momento" tiene la movimiento positivo direccin direccin opuesta. direccin de la w positiva y negativo en direccin opuesta. positiva negativo

\ \\ \

Figura 8.16 Figura 8.16v

~

v\ \ \ \

Determinacin Determinacin del momento angular momento angular respecto a O calculando el "momento" calculando "momento" respecto de la cantidad de movimiento lineal. cantidad movimiento

\ \

Momento angular Momento angular = D(mlvl) + [ro = D(mlvl) Ico

Momento angular Momento angular = -D(mlvl) /ro = -D(m lv l) + Ito

Integrando principio Integrando la Ec. (8.28) respecto al tiempo obtenemos el principio del respecto tiempo obtenemos impulso angular momento angular: impulso angular y el momento angular:

1. 1.

t2

'i',Modt 'E,Modt

=

[(r mv) k + /wh mv) k + /w] [(r x mv) k+ /wh - [(r x mv) k+ /w]. .

(8.29)

z t, t

El impulso angular respecto a O durante el intervalo de ti a t 2 es igual impulso angular respecto durante intervalo t, 2 cambio cuerpo rgido respecto al cambio en el momento angular del cuerpo rgido respecto a O (Fig. 8.17). momento angular Tambin podemos expresar principio impulso angular Tambin podemos expresar el principio del impulso angular y del momenmomento angular en funcin del momento total respecto al centro de masa. Inteangular funcin momento total respecto centro masa. Integrando grando la Ec. (7.23) con respecto al tiempo obtenemos respecto tiempo obtenemos

1. 1.t, /,

t?

r,

'i',M dt = /W2 'E, M dt = /W2 - l co. /Wt.

(8.30)Figura 8.17 Figura 8.17

Principio del impulso angular y el impulso angular Principio momento angular. momento angular.

(r l x mvl) k + 10)11 + f'I.M odt=(r2 x (rl xmv l )ok+/ro 'I.Modt = (r 2 XmV 2 )ok+[ro2 k + 10)2

J"

, .

=:

.

"

El promedio del momento respecto a O con el tiempo entre tI y t2 es promedio momento respecto tiempo entre tI 2('i',Mo)media = - ('E,Mo)mcdia = ---1t2 - ti ti

1

1./ 1.t, /,

12 2

'i',Modt, 'E,Modt ,


392 392

CAPTULO CAPTULO 8 ENERGA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN lA DINMICA PLANA DE CUERPOS RGIDOS ENERGAY DE EN lA DINMICA PLANA DE CUERPOSRGIDOS

por lo que podemos escribir la Ec. (8.29) como por podemos escribir comoA

(t2 - t\)CEMo)media = [(r x mv) k t\)CEMo)media = [(r mv)

+ [wh lwh(8.31 ) (8.31)

-[(r x mv) k -ter mv)

+ lw]\. [w]\.

Esta ecuacin se puede usar para determinar el cambio en el momento cambio momento Esta ecuacin puede usar para determinar angular de un cuerpo rgido sometido a fuerzas y pares impulsores. pares impulsores. angular cuerpo rgido sometido fuerzas Tambin podemos usar la Ec. (8.29) para obtener una ecuacin de conTambin podemos usar para obtener una ecuacin servacin del momento angular total de dos cuerpos rgidos. Supongamos cuerpos rgidos. Supongamos servacin momento angular total que A y B se mueven en el mismo plano y que estn sometidos slo a las mueven mismo plano estn sometidos fuerzas y pares que se ejercen entre s, o que las otras fuerzas y pares son otras fuerzas pares fuerzas pares ejercen entre insignificantes. momento respecto MOA punto debido insignificantes. Sea MOA el momento respecto a un punto fijo O debido a las fuerzas y pares que actan sobre A, Ysea MOB el momento respecto momento respecto fuerzas pares actan sobre Ysea M hicimos a O debido a las que actan sobre B. Con la misma hiptesis que hicimos debido actan sobre Con misma hiptesis al deducir as ecuaciones de movimiento (las fuerzas entre cada par de deducir las ecuaciones movimiento fuerzas entre cada par partculas actan en la lnea entre stas), MOA = -MoB Por ejemplo, en MOA = - MoB Por ejemplo, partculas actan entre Fig. ejercen fuerzas contacto entre momentos la Fig. 8.18 A Y B ejercen fuerzas de contacto entre s. Los momentos resultantes respecto a O son MOA = r p x R y M OB = rp X (- R) = -rr p MOA r x (-R) resultantes respecto r X YM OB X Aplicamos principio impulso momento angulares x R. Aplicamos el principio del impulso y el momento angulares a A y para tiempos arbitrarios obtenemos B para los tiempos arbitrarios ti y t 2 Y obtenemosFigura 8.18 FiguraCuerpos ejerciendo por Cuerpos rgidos A y B ejerciendo por contacto entre contacto fuerzas entre s.

1 1/[/)

/2

MOA dt = [(rA x mAvA)/2

k+ IAWAh

- [(rA x mAvA)

k+ IAwAh,

MOB dt = [(rB x mBVB) k

+ IBwBh

- [(rB x mBVB)

k

+ IBwB]\.

Sumando, trminos izquierda cancelan Sumando, los trminos de la izquierda se cancelan y obtenemos obtenemos

momento angular total respecto El momento angular total de A y B respecto a O se conserva: conserva:

(r A

X

mA vA) k

+ IAwA + (rB

x mBVB) k

+ IBwB

= constante. (8.32)

Observe resultado vlido aunque Observe que este resultado es vlido aunque A y B estn sometidos a fuerestn sometidos pares externos momento total respecto debido fuerzas zas y pares externos si el momento total respecto a O debido a esas fuerzas y pares es cero. A veces se puede escoger O de manera que esta condicin puede manera pares esta condicin satisfaga. tambin nmero arbitrario se satisfaga. Esto tambin se aplica a un nmero arbitrario de cuerpos aplica cuerpos momento angular total respecto rgidos: su momento angular total respecto a O se conserva si el momento conserva momento total respecto debido fuerzas pares externos total respecto a O debido a fuerzas y pares externos es cero.

En los siguientes ejemplos mostramos el uso de los principios del impulso siguientes ejemplos mostramos principios impulso cantidad movimiento impulso y la cantidad de movimiento lineal y del impulso y el momento angulares momento angulares para analizar movimientos de cuerpos rgidos. Se debe considerar el uso cuerpos para analizar movimientos debe considerar cantidad movimiento cuando conocen de la cantidad de movimiento cuando se conocen las fuerzas y pares sobre fuerzas pares sobre cuerpo en funcin tiempo relacionar cambios un cuerpo enfuncin del tiempo y se les quiere relacionar con los cambios velocidad centro masa en la velocidad de su centro de masa y con su velocidad angular. velocidad angular. http://carlos2524.jimdo.com/

8.4 PRINCIPIOS DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIM IENTO 8.4 PRINCIPIOS IMPULSO CANTIDAD MOVIMIENTO

393 393

Ejemplo 8.4El disco A de la Fig. 8.19 tiene inicialmente una velocidad angular antihoraria inicialmente una velocidad angular antihorariaWo y el disco B est en reposo. . En t = O, los discos se ponen en contacto. Debireposo ponen contacto. Debiest =

do a la friccin en el punto de contacto, la velocidad angular de A disminuye punto velocidad angular friccin contacto, disminuye y la de B aumenta hasta que no hay resbalamiento entre ellos. Cules son resbalamiento entre ellos. Cules aumenta hasta sus velocidades angulares finales W A Y WB? Los discos estn soportados en sus velocidades angulares WA Y estn soportados centros de masa, y sus momentos de inercia de masa son lA e lB' masa, masa centros momentos inercia lB'

6 6

"--~.=...J "'-----'

ESTRATEGIA ESTRATEGIAComo los discos giran respecto a ejes fijos que pasan por sus centros de masa pasan por Como giran respecto fijos centros masa mientras estn en contacto, podemos aplicar el principio del impulso y el momomientras estn contacto, podemos aplicar principio impulso mento angulares resbalamento angulares segn la Ec. (8 .30) a cada disco. Cuando ya no hay resbala(8.30) cada Cuando miento entre velocidades punto miento entre los discos, sus velocidades son iguales en su punto de contacto. discos, contacto. Con expresiones obtienen Con esta relacin cinemtica y las expresiones que se obtienen con el principio relacin cinemtica principio del impulso y el momento angulares, podemos determinar las velocidades finales. momento angulares, podemos determinarSOLUCiN SOLUCiN dibujamos diagramas cuerpo mientras En la Fig. (a) dibujamos los diagramas de cuerpo libre de los discos mientras resbalan, mostrando las fuerzas normales y de friccin que ejercen entre s. friccin ejercen entre resbalan, mostrando normales Para aplicar Para aplicar la Ec. (8.30) al disco A, hacemos coincidir el punto fijo O con A, hacemos coincidir punto centro. su centro. Si ti es el tiempo en que el resbalamiento cesa, tiempo resbalamiento

Posicin Posicin inicial

Tiempo Tiempo t

= = O

Figura 8.19

t!

j 1t, tI

t2 2t

'L,Modt bModt

IW2 = lJ2 -

IWI lJ :

-RA A dt -R! ! dt

=

IAwA - IAJo. IAwo. IAJA

Tambin aplicamos Tambin aplicamos la Ec. (8.30) al disco B:

t! t!

j l

t t2 2

'L,Modt bModt -RB! dt B! dt

IW2 -lwI = lJ2-lJ ::

t, tI

-IBwB = -IBJB -

O.

(Observe direccin horaria.) (Observe que hemos definido WB como positiva en la direccin horaria.) Divihemos definido WB como positiva dimos segunda escribimos dimos la primera ecuacin entre la segunda y escribimos el resultado como primera ecuacin entre resultado como(a) Diagramas de cuerpo libre de los Diagramas cuerpo

discos. discos. contacto: Sin resbalamiento, las velocidades son iguales en el punto de contacto: resbalamiento, velocidades punto

Resolviendo ecuaciones obtenemos Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos

WA WA

Observe tienen mismo radio momento inercia masa, Observe que si los discos tienen el mismo radio y momento de inercia de masa, = !wo Y WB = !wo' y WB ~wo'

iwo


394

CAPTULO 8 ENERGA Y CANTIDAD DE MOVIM IENTO EN LA DINMICA PLANA DE CUERPOS RGIDOS CAPTULO ENERGA CANTIDAD MOVIMIENTO DINMICA PLANA CUERPOS RGIDOS

-------:--------11

Ejemplo 8.5 Ejemplo 8.5

I---------~-------'

Se quiere disear un poste de alumbrado pblico que falle al nivel del suelo nivel del suelo quiere disear un poste de alumbrado pblico que falle al ser golpeado por un vehculo, a fin de prevenir daos a los pasajeros (Fig. ser golpeado por un vehculo, fin de prevenir daos los pasajeros (Fig. 8.20). En una prueba del impacto la velocidad angular del poste de 0.74 rad/s 8.20). En una prueba del impacto la velocidad angular del poste es de 0.74 rad/s y la velocidad horizontal de su punto central es de 22 pie/s s despus del impacto, la velocidad horizontal de su punto central de 22 pie/ despus del impacto, cuya duracin es de At = 0.01 s. Si el poste se modela como una barra esbelta poste modela como una barra esbelta cuya duracin de At 0.01 de 20 pies y 140 lb, Y si se supone que el auto lo golpea a 2 pies sobre el terreno pies sobre terreno de 20 pies lb, supone que auto golpea par ejercido sobre poste por sus soportes puede ignorar, qu y que el par ejercido sobre el poste por sus soportes se puede ignorar, qu que poste? fuerza media cortar los pernos que soportan al poste? fuerza media cortar los pernos que soportan

ESTRATEGIA ESTRATEGIAPodemos usar los principios del impulso angular momento angular, exprePodemos usar los principios del impulso angular y el momento angular, expresados en funcin de fuerza media sados en funcin de la fuerza media y el momento medio ejercidos sobre el momento medio ejercidos sobre poste, para determinar la fuerza cortante media. poste, para determinar la fuerza cortante media.

SOLUCiN SOLUCiNEn Fig. (a) dibujamos En la Fig. (a) dibujamos el diagrama de cuerpo libre del poste, donde F es la diagrama de cuerpo libre del poste, donde fuerza media ejercida por el auto y S es la fuerza cort wy = Iwley y Wz = I lezz. Usando estas expreW manera Iwlex> y Iwley IWle Usando x z momento angular respecto Lo sione y las Ecs. (9.5), el momento angular respecto a Lo es

Igualando expresiones para Ho obtenemos Igualando las dos expresiones para H obtenemos

Observe momento inercia respecto arbitrario depende Observe que el momento de inercia respecto a un eje arbitrario depende productos inercia momentos inercia respecto de los productos de inercia y de los momentos de inercia respecto a los coordenados. conoce matriz inercia cuerpo, puede ejes coordenados. Si se conoce la matriz de inercia de un cuerpo, se puede usar la Ec. (9.17) para determinar su momento de inercia respecto a un usar para determinar momento inercia respecto por direccin dada por vector unitario eje que pase por O y cuya direccin est dada por el vector unitario e. http://carlos2524.jimdo.com/

438 438

CAPTULO CINEMTICA DINMICA TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS RGIDOS CAPTULO 9 CINEMTICA Y DINMICA TRIDIMENSIONALES DE CUERPOS RGIDOS

Ejes principales Ejes principalesPara cualquier cuerpo origen 0, existe por menos un sistema coordePara cualquier cuerpo y origen 0, existe por lo menos un sistema coordenado para cual los productos inercia son cero: nado para el cual los productos de inercia son cero:IXX X IX

oI yy

[I]= [1] =

[

~ ~

O] . OI zz

(9.18) (9.18)

O

Esos ejes coordenados llaman ejes principales los momentos de inercia Esos ejes coordenados se llaman ejes principales y los momentos de inercia denominan momentos inercia principales. se denominan momentos de inercia principales. conoce matriz de inercia de un cuerpo rgido en un sistema coorSi se conoce la matriz de inercia de un cuerpo rgido en un sistema coordenado x'v' los productos inercia son cero, x'y'Z' un conjunto denado x'y'z' y los productos de inercia son cero, x'y'Z' es un conjunto ejes principales. Suponga que los productos inercia no son cero de ejes principales. Suponga que los productos de inercia no son cero y que quiere encontrar un conjunto de ejes principales los corresponque se quiere encontrar un conjunto de ejes principales xyz y los correspondientes momentos de inercia principales (Fig. 9.16). puede demostrar dientes momentos de inercia principales (Fig. 9.16). Se puede demostrar que los momentos de inercia principales son races de la ecuacin cbica que los momentos de inercia principales son races de la ecuacin cbica

(9.19) (9.19)

Figura 9.16sistema x'y' origen El sistema xy' z' con su origen en O y un conjunto principales xyz. conjunto de ejes principales xyz.y'

y y

z zx'

z'x

Para cada momento de inercia principal 1, vector con componentes Para cada momento de inercia principal 1, el vector V con componentes

(9.20) (9.20)

paralelo correspondiente eje principal. es paralelo al correspondiente eje principal. Para determinar los momentos principales de inercia deben obtener Para determinar los momentos principales de inercia se deben obtener las races de la Ec. (9.19) sustituir uno los momentos principales de las races de la Ec. (9.19) Y sustituir uno de los momentos principales de inercia las Ecs. (9.20) para obtener las componentes de un vector painercia de las Ecs. (9.20) para obtener las componentes de un vector pa-


9.3 MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA 9.3 MOMENTOS PRODUCTOS INERCIA

439 439

ralelo al eje principal correspondiente. Repitiendo esto para cada momenprincipal correspondiente. Repitiendo para cada momento principal, se pueden determinar los tres ejes principales. Si no se obtiene princip,al, pueden determinar principales. obtiene una solucin de las Ecs. (9.20), se debe escoger otro de los momentos prinuna solucin otro momentos principales. Se pueden elegir arbitrariamente los ejes x, y, Z, aunque se debe y, cipales. pueden arbitrariamente aunque cuidar que el sistema coordenado sea dextrgiro. Vase el Ej. 9.5. cuidar sistema coordenado dextrgiro. Los ejes en O respecto a los cuales el momento de inercia de un cuerpo respecto momento inercia cuerpo es mnimo o mximo son los principales. Si los tres momentos de inercia principales. mnimo mximo momentos inercia principales principales son iguales, cualquier sistema coordenado con origen en O es iguales, cualquier sistema coordenado origen un conjunto de ejes principales y el momento de inercia tiene el mismo conjunto momento inercia mismo principales valor respecto a cualquier eje por O. Esto ocurre si, por ejemplo, el cuerpo valor respecto cualquier por Esto ocurre por ejemplo, cuerpo es una esfera homognea con origen en su centro (Fig. 9.17a). Si dos de los una esfera homognea con origen centro 9.17a). momentos son iguales, se puede determinar un eje principal nico a partir principal nico partir momentos puede determinar del tercero, y cualesquier ejes perpendiculares a dicho eje son principales. perpendiculares dicho principales. tercero, cualesquier Esto sucede cuando un cuerpo tiene un eje de simetra rotacional y el origen Esto cuando cuerpo simetra rotacional origen est sobre l (Fig. 9.17b). El eje de simetra es el eje principal nico. sobre 9.17b). simetra principal nico.

y yx

Figura 9.17(a) Esfera homognea. Cualquier sistema Esfera homognea. Cualquier sistema coordenado origen centro coordenado con su origen en el centro es un conjunto de ejes principales. conjunto principales. (b) Cuerpo rotacionalmente simtrico. El Cuerpo rotacionalmente simtrico. eje de simetra es un eje principal y simetra principal cualesquier ejes perpendiculares son ejes cualesquier perpendiculares principales. principales.x

z z(a)

y y

z z(b)

siguientes ejemplos determinamos momentos productos En los siguientes ejemplos determinamos momentos y productos de inercia de cuerpos simples, aplicamos los teoremas de los ejes paralelos y evaluaparalelos evaluacuerpos simples, aplicamos teoremas mos los momentos angulares de cuerpos rgidos. . mos momentos angulares cuerposhttp://carlos2524.jimdo.com/

440

CAPTULO CINEMTICA DINMICA TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RGIDOS CAPTU LO 9 C INEMTICA Y DINMICA TRIDIM ENSIONALES DE C UERPOS RG IDOS

Ejemplo 9.3El aguilnAB de la gra de la Fig. 9.18 tiene una masa de 4800 kg Yel pescante una masa aguilnAB gra Yel pescante Betiene una masa de 1600 kg Yes perpendicular aAB. Modelando cada uno coBe tiene una masa 1600kg Yes perpendicular a AB. Modelando cada uno mo una barra esbelta y tratndolos como un slo cuerpo, determine los momencuerpo, determine una barra esbelta tratndolos como momenproductos inercia muestra. tos y productos de inercia del cuerpo en el sistema coordenado que se muestra. cuerpo sistema coordenadaFigura 9.18 Figura 9.18

ESTRATEGIA ESTRATEGIAPodemos aplicar los teoremas de los ejes paralelos a cada barra para determinar paralelos cada barra para determinar Podemos aplicar teoremas sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenado dado. Los momomentos productos inercia sistema coordenada dado. mentos productos mentos y productos de inercia del cuerpo combinado son las sumas de los de inercia cuerpo combinado sumas las dos barras. barras.SOLUCiN SOLUCiNX, X' X, X'

Aguiln Aguiln AB

En la Fig. (a) fijamos un sistema coordenado xy' z' paralelo con fijamos sistema coordenada x'y' paralelo masa su origen en el centro de masa del aguiln AB. En el sistema x'y' z', la matriz origen centro aguiln sistema x'y' z', matriz de inercia del aguiln AB es inercia aguiln AB

[1']== [~ [J' ]

[~

ofirnz2O O o

~~l2] ~~l2]12

= [~

[~

12 (4800)(18)2 fi (4800)(18)2O O

fi (4800)(18)2 12 (4800) (18)2

O O O O

] ] kg_m2 kg-rn".

(a) Aplicacin de los teoremas de los Aplicacin teoremas paralelos aguiln ejes paralelos al aguiln AB.

Las coordenadas del origen del sistema xyz'z' respecto a xyz son dx = 9 m, coordenadas origen sistema x'y' respecto d; dy = O, d z = O. Aplicando los teoremas de los ejes paralelos tenemos paralelos tenemos d; O, d, O. Aplicando teoremas

518400 kg-m2 = 518 400 kg-m",,


PRODUCTOS INERCIA 9.3 MOMENTOS 9 .3 MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

441

Izzt

= In

+ (d; +

d~)m =

11 (4800)(18)2 + (9)2(4800) 2

= 518400 kg-m", , 518400 kg_m2

Pescante fijamos sistema coordenado x'y'z' paralelo Pescante Be En la Fig. (b) fijamos un sistema coordenado xyz' paralelo sistema x'y'z' masa matriz con su origen en el centro de masa de BC. En el sistema x' y' z,, la matriz de origen centro inercia de BC es BC inercia-&,rnz2[1']

y'

x

6m 6m

o oO O O O

=

[

~

1-~l2]12

x/ ' .>

o oO O O O

o o O

] ] kg-nr'.. kg-m2y y

-&.(1600)(6)2 12(1600)(6)2

d; dy

Las coordenadas del origen del sistema x'y'Z' respecto a xyz son d x = 18 m, coordenadas origen sistema x'y'Z' respecto xyz d; = 18 = - 3 m, d, = O. Aplicando los teoremas de los ejes paralelos tenemos = -3 d z = O. Aplicando teoremas paralelos tenemos(b) Aplicacin de los teoremas de los Aplicacin teoremas ejes paralelos al pescante BC. paralelos pescante

= 19200 kg-m", , 19200 kg_m2

= 537 600 kg-m", , kg-m2Ixy Ixy

= Ix'y" + dxdyrn = 0 + (18)(- 3)(1600) = - 86400 kg-m", , -86400 kg-m2 Ix'y' + dxdym O + (18)(-3)(1600)

Sumando inercia Sumando los resultados para las dos barras, obtenemos la matriz de inercia resultados para barras, obtenemos matriz cuerpo compuesto: del cuerpo compuesto: 19200 19200[1]

= [ - (- 8g 400) -( -8g19.200 19.200 = 86400 = [ 86400 O O

- ( - 86400) -( -86400) 518400 + 518400 + 518 400 O

O ] O] O 518400 + 518400 + 537 600

86400 86400 1036800 1036800 O O

~

~

] kg-m". . kg_m2

1056000 1056000


442

CINEMTICA DINMICA TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RGIDOS CAPTULO CAPTU LO 9 CINEMTICA Y DINMICA TRIDIM ENSIONALES DE CUERPOS RGIDOS

Ejemplo 9.4La placa rectangular de 4 kg de la Fig. 9.19 se halla en el plano x -y del sistema rectangular Fig. 9.19 se halla en el plano x-y coordenado coordenado fijo al cuerpo. cuerpo. (a) Determine los momentos y productos de inercia de la placa. momentos productos la placa. (b) Determine el momento de inercia de la placa respecto al eje diagonal Lo. momento la placa respecto al eje diagonal L o. (e) (c) Si la placa est girando respecto al punto fijo O con velocidad angular w girando al punto fijo O con velocidad angular 4i 4i - 2j (rad/s), cul es el momento angular de la placa respecto a O? (rad/ s), momento angular de la placa respecto a O?

Figura 9.19

z z

x

ESTRATEGIA ESTRATEGIA(a) En el Ap. B podemos obtener los momentos y productos de inercia del rea obtener momentos productos rectangular Ecs (9.13) para encontrar momentos rectangular de la placa y usar las Ecs.. (9. 13) para encontrar los momentos y productos productos de inercia. (b) Una vez conocidos los momentos y productos de inercia, podemos usar momentos productos podemos usar (9.17) para determinar la Ec. (9.17) para determinar el momento de inercia respecto a Lo. momento inercia respecto a (e) (c) El momento angular respecto a O est dado por la .Ec. (9.8). momento angular O est dado por la .Ec.SOLUCiN SOLUCiN

(a) Del Ap. B, los momentos de inercia del rea de la seccin transversal de momentos inercia del rea de la seccin transversal de la placa son (Fig. a):1x~bh3 = ~bh3 ' 3

Iy =

~hb331

'333

Io Jo

=

3(bh +hb). 3(bh +hb).

z z

y y

h = 600mm h=600mmx

~ ~ -.>. ~

= 300 b = 300 mm

Determinacin (a) Determinacin de los momentos de inercia del rea de la placa. momentos inercia del placa.


9.3

MOMENTOS

Y PRODUCTOS DE INERCIA

443

Por tanto, los momentos

y

productos de inercia son

Ixx

= -X/x = = -Xly =m = Alxy A =m

m

(0.3)(0.6)

(4)

Iyy

(4) (0.3)(0.6)

(1) (1)"3 "3

(0.3)(0.6)

3

= 0.48 kg-m , = 0.12 kg-m ,.. 2

2

(0.6)(0.3)

3

Ixy

(4) (1) (0.3)(0.6)

4"3

2 2 2 (0.3) (0.6) = 0.18 kg-m ,

Izz Ixz

=m Ajo

=

(0.3)(0.6)

(4)

(1)

[(0.3)(0.6)

3

+ (0.6)(0.3) 3 1 = 0.60

kg-m ,

2

= Iyz = O. r:..

(b) Para aplicar la Ec. (9.17) debemos determinar las componentes de un vector unitario paralelo a Lo: e

=

300'1

1300i

+ 600'J = 0.447 i + 0.894 i, + 600jl J

El momento de inercia respecto a Lo es

=

(0.48)(0.447)2 kg-m",

+ (0.12)(0.894)2

- 2(0.18)(0.447)(0.894)

= 0.048

(e) El momento angular de la placa respecto a O es [HOX] Hoy Hoz

= [Ixx -Iyx-Izx[ 0.48 -0.18 O 2.28] -0~6

-Ixy Iyy -Izy-0.18 0.12 O

=Ixz] Iyz Izz

x [wwy ]W

z

=

o~J[-i]

=

[

kg-m2/s.


444

CAPTULO 9 CINEMTICA

Y DINMICA

TRIDIMENSIONAlES

DE CUERPOS RGIDOS

Ejemplo 9.5En un sistema coordenado x'y'z' con su origen en el centro de masa, la matriz de inercia de un cuerpo rgido es

Determine los momentos de inercia principales y las direcciones de ejes principales respecto al sistema x'y' z',20

de un conjunto

15 105

O -5 -10 -15-20 0

I

r

I I I....

SOLUCiNSustituyendo la ecuacin en la Ec. (9.19) los momentos y productos de inercia, obtenemos

'"'""-

del cuerpo respecto al sistema coordenado xyz se supone constante (Fig. respecto sistema coordenado xyz supone constante cuerpo 9.28). nutacin (), inclinacin 9.28). El ngulo de nutacin (), es decir, la inclinacin del eje de giro z ngulo respecto al eje Z, se supone constante; y la razn de precesin if;, que es supone constante; razn precesin {;, respecto la razn a la que el sistema xyz gira respecto al eje Z, tambin se supone razn sistema xyz respecto tambin supone constante. La ltima hiptesis explica el nombre dado a este movimiento. ltima hiptesis nombre dado movimiento. constante. Con hiptesis, Ecs. reducen Con estas hiptesis, las Ecs. (9.36) a (9.38) se reducen a(a)

EMx = (/zz - I xx )1/! senO cosO

2

+ Izz1/! senO,

. .

(9.39)(9.40) (9.40) (9.41) (9.41)

z z

z

~My = O, EMy =

y y

Analizaremos ejemplos: precesin permanente Analizaremos dos ejemplos: la precesin permanente de un trompo que trompo que gira cuerpo axialmente simtrico libre gira y la precesin permanente de un cuerpo axialmente simtrico libre precesin permanente momentos externos. de momentos externos.y

~ -----~------y

x(b)

x

Figura Figura 9.29

(a) Un trompo girando parece que desafa trompo girando parece desafa la gravedad. (b) El ngulo de precesin .; y el ngulo precesin if; de nutacin e especifican la orientacin nutacin e orientacin del eje de giro.

Precesin trompo. peculiar comportamiento trompo Precesin de un trompo. El peculiar comportamiento de un trompo (Fig. motiv algunos primeros anlisis movimientos (Fig. 9.29a) motiv algunos de los primeros anlisis de los movimientos tridimensionales cuerpos rgidos. Cuando trompo movitridimensionales de cuerpos rgidos. Cuando el trompo se pone en movipone miento, inicialmente vertical, trompo est miento, su eje de giro es inicialmente vertical, y se dice que el trompo est dormido. Conforme friccin reduce razn giro, dormido . Conforme la friccin reduce la razn de giro, el eje de giro inclina girando alrededor vertical. Esta movimiento se inclina girando alrededor del eje vertical. Esta fase del movimiento se aproxima precesin permanente razn disminuye debido aproxima a la precesin permanente (la razn de giro disminuye debido a friccin, pero precesin permanente suponemos constante). la friccin, pero en la precesin permanente suponemos que es constante). Para analizar movimiento, colocamos sistema referencia XYZ Para analizar el movimiento, colocamos el sistema de referencia XYZ origen punta trompo hacia arriba. Luego alineacon su origen en la puqt~ del trompo y el eje Z hacia arriba. Luego alineaz sistema xrz 9.29b). Suponemos mos el eje z del sisterraxyz con el eje de giro (Fig. 9.29b). Suponemos que http://carlos2524.jimdo.com/

DE EULER 467 9.5 NGULOS DE EULER 467

la punta del trompo descansa en una pequea depresin, de modo que modo punta trompo descansa una pequea depresin, permanece en un punto fijo. El ngulo de precesin l/; y el de nutacin precesin nutacin permanece punto ngulo eespecifIcan el eje de giro, y la razn de giro respecto al sistema xyZ es 1>. respecto sistema xyZ e especifican razn El peso del trompo ejerce un momento M,x = mgh sen e respecto al trompo momento M = mgh e respecto origen, y los momentos M y = O Y M z = O. Sustituyendo M; = mgli sen momentos M; = O Y M, origen, Sustituyendo Mx = mgh e en la Ec. (9.39), obtenemos e obtenemos= (lzz Ixx)1/I e I zz -~

,\./ /

y

'\, '

ljf~ lI'

/

X

X X

'\

'-

,~_/ '-_/

/

(e) (e)


9.5 NGULOS

DE EULER

469

Definiciones Empezamos con una posicin de referencia en la que los sistemas xrz y XYZ estn sobrepuestos (Fig. 9.31a). Primero giramos el sistema xyz a travs del ngulo de precesin l/; respecto al eje Z (Fig. 9.31b) Y lo denotamos con xy's: en esta orientacin intermedia. Luego giramos el sistema xyz a travs del ngulo de nutacin O respecto al eje x' (Fig. 9.31c), y lo denotamos con x'j/'z". Obtenemos la orientacin final del sistema xyz girndolo a travs del ngulo cf> respecto al eje z" (Fig. 9.3 I). Observe que hemos usado una rotacin ms del sistema xyz que en el caso de un cuerpo axisimtrico.

z, z

z z'y' Y,y

y

X,x (a)

X (b)

Z, z'

y y"

y"

z", zz"y'

x

y

(e)

(d)

Figura 9.31 (a) Posicin de referencia. (b) Rotacin 1/; respecto al eje Z. (e) Rotacin () respecto al eje x', (d) Rotacin cp respecto al eje z',

Por medio de estas tres rotaciones podemos obtener cualquier orientacin del sistema coordenado fijo al cuerpo respecto al sistema coordenado de referencia. Escogemos l/; y O para obtener la direccin deseada del eje z y luego elegimos cf> para obtener la orientacin deseada de los ejes x y y. Como en el caso de un cuerpo con simetra rotacional, debemos expresar las componentes de la velocidad angular del cuerpo rgido en funcin


470

CAPTULO 9 C INEMTICA Y DINMICA TRIDIMENSIONALES DE CUERPOS RGIDOS CAPTULO CINEMTICA DINMICA TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RGIDOS

Figura 9032 Figura

(a) Rotacin 1/; y velocidad angular ..j;o Rotacin l/; velocidad angular fo (b) Rotacin f), velocidad angular iJ y Rotacin 8, velocidad angular componentes de ..j; en el sistema x'y" z" o componentes f sistema x"y" z" (c) Rotacin o Rotacin ~ velocidad angular c>0 (d), (e) Componentes de las velocidades Componentes velocidades angulares ..j; sen f) y 8 en el sistema XyZo angulares f 8 sistema XyZo Velocidades angulares w x w Wzo (f) Velocidades angulares wx' ' wy y Wz oo

de los ngulos de Euler para obtener las ecuaciones del movimiento angude los ngulos Euler para obtener ecuaciones del movimiento angular oLa Figo 90 32(a) muestra la rotacin if; desde la orientacin de referencia lar La Fig 9032( a) muestra la rotacin desde la orientacin de referencia del sistema xyz hasta la orientacin intermedia x'y' z' o La velocidad angudel sistema xyz hasta la orientacin intermedia x'y' La velocidad angular del sistema coordenado fijo al cuerpo debido a la razn de cambio de if; lar del sistema coordenado fijo cuerpo debido la razn de cambio se representa con el vector ~ apuntando en la direccin z' o La Figo 9032(b) representa con vector ~ apuntando en la direccin La Fig. 9 032(b) muestra la siguiente rotacin () que lleva al sistema fijo al cuerpo a la orienmuestra la siguiente rotacin ()que lleva sistema fijo al cuerpo la orientacin intermedia xy" z" oLa velocidad angular debida a la razn de cambio tacin intermedia x'y" La velocidad angular debida la razn cambio de () representa con vector apuntando en la direccin x" Aqu tamde () se representa con el vector (j apuntando en la direccin x" oAqu tambin mostramos las componentes del vector de velocidad angular ~ en las bin mostramos las componentes del vector de velocidad angular ~ en las direcciones y" La Fig, 9032(c) muestra la tercera rotacin que lleva direcciones y" y z" o La Figo 9032(c) muestra la tercera rotacin cf> que lleva cuerpo su orientacin final definida por los tres ngulos al sistema fijo al sistema fijo al cuerpo a su orientacin final definida por los tres ngulos de Euler La velocidad angular debido la razn de cambio de de Euler o La velocidad angular debido a la razn de cambio de cf> se reprerepresenta con vector c> apuntando en la direccin Zo senta con el vector c> apuntando en la direccin z, Para determinar wxx' , wy y wzz en funcin de los ngulos de Euler, necesiPara determinar W en funcin los ngulos de Euler, necesiy tamos determinar las componentes de las velocidades angulares de la Fig o tamos determinar las componentes las velocidades angulares la Fig. 9032(c) en las direcciones de los ejes x, 9032(c) en las direcciones de los ejes x, y y z. Los vectores c> y ~ cos () z o Los vectores c> ~ cos () apuntan en la direccin del ejezoEn las Figs 0 9032(d) (e), que estn dibujaapuntan en la direccin del eje z. En las Figs09032(d) y (e), que estn dibujadas con el eje Z hacia afuera de la pgina, determinamos las componentes das con eje Z hacia afuera la pgina, determinamos las componentes de los vectores ~ sen () y (j en las direcciones de los ejes x y yo yo de los vectores ~ sen () en las direcciones de los ejes Sumando las componentes de las velocidades angulares en las tres direcSumando las componentes de las velocidades angulares en las tres direcciones coordenadas (Figo 9032f), obtenemos ciones coordenadas (Fig. 9032f), obtenemoso o o o o o o o

Wx Wx

= = 1r sen

e 4J ecos 4J, esen f/J + iJ cos f/J,

W

yy = 1r sen ecos f/J -- iJ sen f/J ,, = 4J ecos 4J= cos = 1r cos

e

(9044)

W W zz

e (p e + P

o o

z; z, z'

z'

y

y"

z", Zz ~ Z "'y''-Il:_ _- r x X~~---- y

k' (Fig. d). precesin f, ngulo nutacin () ngulo ~ componentes velocidad angular cuerpo respecto Las componeptes de la velocidad angular del cuerpo rgido respecto sistema XYZ estn dadas por al sistema XYZ estn dadas porWx x

zy

x z~-I---Y- Y IB---"--

= 1,sen ()sen ifJ = 1 sen Osen cf>

+ cos cf>, ifJ, sen cf> ,, ifJEc. (9.44)

Wy y

= 1,sen ()cos ifJ = 1 sen Ocos cf> = 1,cos () (po = 1 cos O + (po

W Wzz

x(d)

xyz conjunto principales, ecuaciones movimiento Si xyz es un conjunto de ejes principales, las ecuaciones del movimiento angular funcin ngulos angular en funcin de los ngulos de Euler estn dadas por las Ecs. (9.46). Euler estn dadas por


480

CAPTULO 9 CINEMTICA Y DINMICA TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS RGIDOS CAPTULO CINEMTICA Y DINMICA TRIDIMENSIONALES DE CU ERPOS RGIDOS

Problemas de

repaso----'----' ..... -'-

........ .:....;....:....;.,;-'-'""""'"' ................. ;..;..;,

9.92 barra esbelta longitud Iy masa figura 9.92 La barra esbelta de longitud Iy masa m de la figura est articulada barra forma barra articulad a a la barra en forma de L en O. La barra en L gira respecto vertical una velocidad angular constante Wo. respecto al eje vertical con una velocidad angular constante Wo. Determine valor necesario para barra permaDetermine el valor de Wo necesario para que la barra permanezca con un ngulo constante {3respecto a la vertical. ngulo constante (3 respecto vertical.

9.94 Una placa delgada masa gira alrededor 9.94 Una placa delgada de masa m gira alrededor de un eje vertical plano perpendicular piso. esquina vertical con su plano perpendicular al piso. La esquina en O descansa una ranura manera permanece mismo descansa en una ranura de manera que permanece en el mismo punto. velocidad angular ngulo {3son constantes. punto. La velocidad angular Wo y el ngulo {3 son constantes. (a) Demuestre que la velocidad angular Wo est relacionada con Demuestre velocidad angular est relacionada ngulo {3por el ngulo {3 porhJ~ hJ~g

=

2 cos f3 - senfJ fJ - senf3 sen fJ - senf3 sen22 f3 - 2 sen fJ cos f3 - cos2 f3. . fJ fJ

(b) La ecuacin obtenida en la parte (a) indica que Wo = O ecuacin obtenida parte indica O Qu significa resultado? cuando cuando 2 cos {3 - sen {3 = O. Qu significa este resultado? {3{3 =

P9.92 P9.92

9.93 Una barra esbelta de longitud I y masa m est rgidamen9.93 Una barra esbelta longitud masa rgidamente unida al centro de un disco circular delgado de radio R y masa circular delgado radio masa unida centro m. El cuerpo compuesto est sometido a un movimiento en el sometido cuerpo compuesto movimiento que la barra gira en un plano horizontal con velocidad angular barra plano horizontal velocidad angular constante Wo respecto al centro de masa del cuerpo compuesto, constante respecto centro masa cuerpo compuesto, y el disco rueda sobre el piso. Demuestre que Wo = 2"; g/R. . rueda sobre piso. Demuestre = 2.) g/ R

o

P9.94 P9.94

9.95 En el Proboo 9.94, determine el intervalo de valores del 9.95 Prob determine intervalo valores ngulo {3 para los cuales la placa permanecer en el movimiento para placa permanecer movimiento ngulo {3 permanente descrito. permanente descrito.~--l--I ~--

,

l --I

P9.93 P9.93


PROBLEMAS DE REPASO REPASO PROBLEMAS

481 481

9.96 El brazo Be tiene una masa de kg Y sus momentos 9.96 El brazo Be tiene una masa de 12 kg Y sus momentos y prod uCto~ de inercia respecto al sistema coordenado de la figuy productos de inercia respecto al sistema coordenado de la figura son Ixx 0.03 kg-m 2 Iyy = Izz = 4 kg-m 2 Ixy = IyZ = I xz ra son Ixx = 0.03 kg-m-, , Iyy = Izz = 4 kg-m-, , Ixy = IyZ = Ixz = O. En instante mostrado, brazo AB est girando en un = O. En el instante mostrado, el brazo AB est girando en un plano horizontal con una velocidad angular constante de plano horizontal con una velocidad angular constante de 1 rad/s en direccin antihoraria visto desde arriba. Respecto al rad/s en direccin antihoraria visto desde arriba. Respecto al brazo AB, brazo Be est girando respecto al eje z con velocibrazo AB, el brazo Be est girando respecto al eje z con velocidad angular constante de rad/s Determine la fuerza y par dad angular constante de 2 rad/s. . Determine la fuerza y el par ejercidos sobre brazo Be en ejercidos sobre el brazo Be en B.

9.99 En la Fig. P9.99la masa de la placa delgada homognea 9.99 En la Fig. P9.99la masa de la placa delgada homognea es de 1 kg. Para un sistema coordenado con origen en 0, deteres de kg. Para un sistema coordenado con origen en 0, determine los momentos de inercia principales y las direcciones de mine los momentos de inercia principale

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Mecánica para Ingeniería Dinámica [Anthony Bedford, Wallace Fowler]