Mecanica de Fluidos Fundamentos

8/16/2019 Mecanica de Fluidos Fundamentos

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Universidad Politécnica de Chiapas

Rogelio Saulés López

Mecánica de Fluidos

Ing. Ricardo Marrou!n "rreola

Reporte de #er Corte

$% de &a'o de $(#)

Suchiapa* Chiapas


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INTRODUCCIÓN

Con el siguiente reporte presentaremos algunos de los principios de la materia

mecánica de fluidos, como Presión en un Fluido, Deducción !nálisis de laecuación "idrostática, entre otros, as# tam$i%n como su aplicación de estos a

pro$lemas prácticos& Nos centraremos principalmente en las propiedades de los

fluidos& 'e presentan aplicaciones en el campo de la mecánica& Una (e) asimilado

el te*to, el lector será capa) de dise+ar anali)ar sistemas prácticos del fluo de

fluidos continuar su aprendi)ae en el campo&


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DESARROLLO

Presión-

p = F / A

.a presión es igual a fuer)a entre área& .a unidad estándar de la presión en el 'I

es el N/m0, llamada pascal 1Pa2& Una unidad con(eniente en el estudio de la

mecánica de fluidos es el 3Pa& .a l$/pie0 es la unidad estándar de la presión en el

'istema Tradicional de 4stados Unidos& .a l$/pulg0 1llamada con frecuencia psi2

es la unidad con(eniente en el estudio de la mecánica de fluidos& 4n este reporte

aprenderá acerca de la presión a$soluta 1la 5ue se mide en relación con un (ac#o

perfecto2 la presión manom%trica 1la 5ue se mide en relación con la presión

atmosf%rica local2& !prenderá a calcular el cam$io de presión 5ue se da con los

cam$ios de la ele(ación de un fluido estático, a aplicar este principio a un

dispositi(o para medir la

presión llamado

manómetro. !l 6acer

cálculos 5ue in(olucren la

presión de un fluido, se

de$en efectuar en

relación con alguna presión de referencia& 4s normal 5ue la atmosfera sea la

presión de referencia& !s#, la presión 5ue arroa la medición del fluido se llama

presión manométrica. .a presión 5ue se mide en relación con un (ac#o perfecto se

denomina presión absoluta. Tiene importancia e*trema 5ue se cono)ca la

diferencia entre estas dos maneras de medir la presión, para poder con(ertir una

en la otra& Una ecuación sencilla 5ue relaciona los dos sistemas-

Pabs= Pman+ Patm

Pabs = Presión a$solutaPman = Presión manom%trica


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Paim 7 Presión atmosf%rica

Para entender la ecuación (eremos lo siguiente-

8& Un (ac#o perfecto es la presión más $aa posi$le& Por tanto, una presión

a$soluta siempre será positi(a&

0& Una presión manom%trica superior a la presión atmosf%rica siempre es

positi(a&

9& Una presión manom%trica inferior a la presión atmosf%rica es negati(a en

ocasiones se le llama vacio.

:& Una presión manom%trica se e*presara en las unidades de Pa1man2 o psig&

;& .a presión a$soluta 6a de e*presarse en las unidades de Pa1a$s2 o psia& ; 3Pa1a$s2 a 8?; 3Pa1a$s2 apro*imadamente, o $ien de 89&@

psia a 8;&9 psia& !l ni(el del mar, la presión atmosf%rica estándar es de 8?8&9

3Pa1a$s2 o8:& psia& ! menos 5ue se de la presión atmosf&

4emplo-

4*prese una presión de 8;; 3Pa1man2 como presion a$soluta& .a presionatmosf%rica local es de >@ 3Pa1a$s2&

Pabs= Pman+ Patm

Pa$s 7 l;;3Pa1man2 A >@3Pa1a$s2 7 0;9 3Pa1a$s2

Con el 6ec6o de 5ue conforme se sumerge en un fluido, una al$erca por eemplo,la presión se incrementa& 4*isten circunstancias en las 5ue es importante sa$er

cómo (aria la presión con un cam$io en la profundidad o ele(ación& 4n este li$ro,

el termino elevación significa la distancia (ertical entre un ni(el de referencia un

punto de inter%s 5ue se denotara como z. Un cambio en la ele(ación entre dos


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puntos se llama h. .a ele(ación siempre se mide en forma positi(a en dirección

6acia arri$a& 4n otras pala$ras, un punto más ele(ado tiene una ele(ación maor

5ue otro más $ao& 4l ni(el de referencia puede ser cual5uiera, como se ilustra en

la siguiente imagen donde se muestra a un su$marino $ao el agua&

4n la parte 1a2 de la figura, se toma como referencia el fondo del mar, mientras

5ue en la parte 1$2, el ni(el de referencia es la posición del su$marino& De$ido a

5ue los cálculos de la mecánica de fluidos por lo general toman en cuenta las

diferencias de ele(ación, es aconsea$le 5ue se elia al punto más $ao de inter%sen un pro$lema como el ni(el de referencia, a fin de eliminar el uso de (alores

negati(os para z- 4sto tendrá importanciaBespecial más adelante& 4n un l#5uido

6omog%neo en reposo el cam$io de presión, de$ido a un cam$io en

la ele(ación, se calcula por medio de-


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∆ p=γh

∆ p=Cambio en la presión

γ = peso especifico del liquido

h=cambioenlaelevación

8& .a ecuación solo es (álida para un l#5uido 6omog%neo en reposo&0& .os puntos en el mismo ni(el 6ori)ontal tienen la misma presión&9& 4l cam$io en la presión es directamente proporcional al peso espec#fico dell#5uido&:& .a presión (ar#a en forma lineal con el cam$io en la ele(acion o profundidad&

;& Una disminución de la ele(ación ocasiona un incremento de la presión& 14sto eslo 5ue ocurre cuando alguien se sumerge en una al$erca&2


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4l paralelep#pedo está sometido a las fuer)as e*teriores o másicas, aplicada la

resultante en su centro de gra(edad 1cdg2, es decir, el peso propio, a las

presiones so$re sus caras e*teriores o empue eercidas por el l#5uido circundante&

O$s%r(ese 5ue las presiones so$re las caras 5ue forman el triedro 5ue pasa por !

son iguales 1P2, segn se demostró en el apartado anterior& .as condiciones de

e5uili$rio del paralelep#pedo se plantean igualando a cero la suma de todas las

fuer)as 5ue actan so$re %l, proectándolas so$re cada uno de los ees& 1*, , )2

ser#an las componentes de la resultante de las fuer)as e*teriores segn los tres

ees&

Proecciones so$re O-


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Componentes de las fuer)as e*teriores BE p∙ dx ∙ dy ∙ dz ∙ x


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Presión total so$re la cara !CD BE p∙ dy ∙ dz

Presión total so$re la cara 4F BE ( p+

∂ P

∂ X ∙ dx

)∙dy∙dz

.as presiones 5ue actan so$re las demás caras dan proecciones nulas so$re elee

O& G Proecciones so$re O 7 ?

p∙ dx ∙ dy ∙ dz ∙ x+ P∙ dy ∙ dz−

( ∂ P

∂ X ∙dx

)∙dy∙dz=0

( P ∂ P∂ X ∙ dx)dy∙dz= p ∙ dx ∙ dy ∙ dz ∙ x+ P ∙ dy ∙ dz


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P∙ dy ∙ dz+∂ P

∂ X ∙dx ∙dy∙dz= p ∙ dx ∙ dy ∙dz + P ∙ dy ∙ dz

'implificando se o$tiene-

∂ P

∂ x = p ∙ x

Operando de igual modo so$re los ees OH O, las condiciones de e5uili$rioser#an, respecti(amente-

∂ P

∂ y= p ∙ y

∂ P

∂ z = p ∙ z

Jultiplicando las ecuaciones 8, 0 ,9 por dx, dy y dz , respecti(amente, sumándolas, se o$tiene-

∂ P

∂ x ∙ dx+

∂ P

∂ y ∙ dy+

∂ P

∂ z ∙ dz= p ∙( x ∙ dx+ y ∙ dy+ z ∙ dz)

4l primer miem$ro es una ecuación diferencial total, con lo 5ue se puede poner dela forma-

dP 7 ⋅1* ⋅ d* A ⋅ d A ) ⋅ d)2

4sta ecuación se conoce como 4cuación de e5uili$rio de una masa l#5uida o4cuación Fundamental de la "idrostática&

.as superficies de ni(el son a5uellas 5ue tienen la misma presión en todos suspuntos, por lo 5ue al ser P 7 cte, dP 7 ?, 5uedando la ecuación fundamental de laforma-

1* ⋅ d* A ⋅ d A ) ⋅ d)2 7 ?

Kue es la ecuación diferencial de las superficies de ni(el o e5uipotenciales&

EJEMPLOS

Calcula la presión a una profundidad de 0? metros en el mar sa$iendo 5ue ladensidad del agua del mar es de 8,?9 3g/.&

!plicamos la e*presión p 7 d L g L 6, antes de nada de$emos pasar la densidaddel agua de mar a 3g/m9, para ello utili)amos factores de con(ersión-

(1)

(3)

(2)


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S p F +=S

F p =

Por tanto- p 7 d L g L 6 7 8?9? L >,@ L 0? 7 0?8@@? Pa

!alcula la "uerza #ue act$a sobre una chapa cuadrada de %& cm de lado sumer'ida en

a'ua a una pro"undidad de (& cm. )ensidad del a'ua %&&& *'/m+.

Calculamos la presión a esa profundidad- p 7 d L g L 6 7 8??? L >,@ L ?,: 7 9>0? Pa, a6ora despeamos la fuer)a de la ecuación de definición de la presión-

De$emos calcular la superficie de la c6apa 5ue como es un cuadrado será ?,8 L ?,8 7?,?8 m0

H a podemos calcular la fuer)a so$re la c6apa F 7 p L ' 7 9>0? L ?,?8 7 9>,0 N

FUERAS H!DROS"A"!#AS$ FLO"A#!%& ' EU!L!R!O

Su*+r,ici+s Hori-onta.+s

Una superficie plana en una posición 6ori)ontal en un fluido en reposo está sueta a una

presion constante& .a magnitud de la fuer)a 5ue acta so$re la superficie es-

Fp 7 M p d! 7 p M d! 7 p!

Todas las fuer)as elementales pdA 5ue actan so$re A son paralelas tienen el mismo

sentido& Por consiguiente, la suma escalar de todos estos elementos es la magnitud de la

fuer)a resultante&


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Figura 8

'u dirección es perpendicular a la superficie 6acia esta si p es positi(a& Para

encontrar la l#nea de acción de la resultante, es decir, el punto en el área donde elmomento de la fuer)a distri$uida alrededor de cual5uier ee a tra(%s del punto es

?, se seleccionan ar$itrariamente los ees xy, tal como se muestra en la figura&8&

Puesto 5ue el momento de la resultante de$e ser igual al momento del sistema de

fuer)as distri$uidas alrededor de cual5uier ee, por eemplo el ee y ,

p!* 7 M ! *p d!

Donde * es la distancia desde el ee y 6asta la resultante& Como p es constante,

*7 8/! M ! * d! 7 *g

en la cual x ' es la distancia al centroide del área& Por consiguiente, para un área

6ori)ontal sueta a una presión estática, la resultante pasa a tra(%s del centroide

del área&

Su*+r,ici+s P.anas !nc.inadas

4n la figura 0 se indica una superficie plana por la l#nea !& 4sta se encuentra

inclinada un ángulo desde la 6ori)ontal& .a intersección del plano del área la

superficie li$re se toma como el ee x. el ee y se toma como el plano del área, con

el origen O, tal como se muestra en la superficie li$re& 4l área inclinada ar$itraria


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esta en el plano xy & .o 5ue se $usca es la magnitud, dirección l#nea de acción

de la fuer)a resultante de$ida al l#5uido 5ue acta so$re un lado del área&

Figura 0

.a magnitud de la fuer)a /F 5ue acta so$re un electo con un área /A en forma

de $anda con espesor /0 con sus $ordes largos 6ori)ontales es-

F 7 p ! 7 Q6 ! Q sen !

De$ido a 5ue todas estas fuer)as elementales son paralelas, la integral so$re el

área es la magnitud de la fuer)a F, 5ue acta so$re un lado del área&

F 7 M ! pd! 7 Q sen M d! 7 Q sen ! 7 Q6! 7 p !

con la relaciones tomadas de la figura ysen =h p 7Q6 la presión en el centroide del

área& 4n pala$ras, la magnitud de la fuer)as eercida en uno de los lados del área plana

sumergida en un l#5uido es el producto del área por la presion en su centroide& 4n esta

forma se de$e notar 5ue la presencia de una superficie li$re no es necesaria& Paradeterminar la presión en el centroide cual5uier medio se puede utili)ar& 4l sentido de la

fuer)a es empuar el área si p es positi(a& Como todos los elementos de fuer)as son

perpendiculares a la superficie, la l#nea de acción de la resultante tam$i%n es

perpendicular a la superficie& Cual5uier superficie puede rotarse alrededor de cual5uier


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ee 5ue pase por su centroide sin cam$iar la magnitud de su resultante, si el área total

permanece sumergida en el l#5uido estático&

#+ntro d+ Pr+sión

.a l#nea de acción de la fuer)a resultante tiene su punto de aplicación so$re la

superficie en un punto conocido como centro de presión, con coordenadas x p , y p

aprecia$le tam$i%n en la figura& ! diferencia de lo 5ue ocurre con una superficie

6ori)ontal, el centro de presión de una superficie inclinada no se encuentra en el

centroide& Para encontrar el centro de presión, se igualan los momentos de la

resultante x pF y pF al momento de las fuer)as distri$uidas alrededor de los ees

x y , respecti(amenteS por consiguiente,

*pF 7 M ! *p d! pF 7 M ! p d!

4l elemento de área de x pF de$e ser *& !l resol(er las coordenadas para el

centro de presión se o$tiene-

*p 7 8/F M ! *p d! p 7 8/F M ! p d!

en muc6as de las aplicaciones de estas ecuaciones pueden ser e(aluadas en una

forma más con(eniente a tra(%s de una integración gráficaS para áreas simples,

%stas pueden transformarse en ecuaciones generales as#-

*p 7 8/1Qg !sen2 M ! *Qsen d! 7 8/1g !2 M ! * d! 7 I*/g !

o$teniendo finalmente-

*p 7 I* g/g ! A *g

a5u# de$emos aclarar para x p 5ue-

*p E *g, entonces el centro de presión está a la i)5uierda del centro de gra(edad&

*p *g, el centro de presión está a la derec6a del centro de gra(edad&


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*p 7 ?, el centro de presión esta ustamente por de$ao del centro de gra(edad

el I* g 7?

Cuando cual5uiera de los ees centroidales x=x ' y=y ' se encuentra so$re un ee

de simetr#a de la superficie, 0 xy ' desaparece el centro de presión se encuentra

en x=x ' . De$ido a 5ue 0 xy ' puede ser positi(o o negati(o, el centro de presión

puede estar a cual5uier lado de la l#nea x=x & Para calcular y p procedemos as#-

p 7 8/1Qg !sen2 M ! Qsen d! 7 8/1g !2 M ! 0 d! 7 I*/g !

4n el teorema de ees paralelos para momentos de inercia

I* 7 I A g0 !

en el cual 0 es el segundo momento de área alrededor de su ee centroidal 6ori)ontal& 'i0 x se elimina de la ecuación, tenemos-

p 7 I /g ! A g o p g 7 I/g !

0 siempre es positi(o, por consiguiente, y p 1 y ' siempre es positi(o el centro depresión siempre está por de$ao del centroide de la superficie& 'e de$e enfati)ar

5ue y ' y p 1 y ' son distancias en el plano de la superficie&

E,+ctos d+ .a Pr+sión Atos,rica So4r+ .as Fu+r-as +n 5r+as P.anas

4n la discusión so$re fuer)as de presión, la presión datum no se mencionó& .as

presiones se calcularon mediante p=2h en donde h es la distancia (ertical por

de$ao de la superficie li$re& Por consiguiente el datum tomado fue una presión

manom%trica ?, o la presión atmosf%rica local& Cuando el lado apuesto de la

superficie se encuentra a$ierto a la atmósfera, se eerce una fuer)a so$re %sta,


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causada por la atmósfera, igual al producto de la presión atmosf%rica p& al área

p& A, $asado en el ? a$soluto como datum& 4n el lado l#5uido la fuer)a es-

M 1p? A Q62 d! 7 p? ! A QM 6 d!

4l efecto de p& A de la atmósfera acta en forma igual a am$os lados no

contri$ue a la fuer)a resultante o a su locali)ación&

Jientras se seleccione la misma presión datum para todos los lados de un cuerpo

li$re, la fuer)a resultante el momento pueden determinarse construendo una

superficie li$re a presión ? de este datum utili)ando los m%todos anteriores&

EU!L!R!O DE LOS #UERPOS E& FLO"A#!%&

4l e5uili$rio de un cuerpo en flotación es igual a decir 5ue ese cuerpo está siendo

afectado por fuer)as, cua diferencia es nula, o es decir el estado en el 5ue se

encuentra un sistema f#sico, 5ue está siendo afectado por (arias fuer)as, cuo

producto es nulo&

4l e5uili$rio de los cuerpos flotantes, o en flotación es proporcionado por la masa

del cuerpo 5ue reposa so$re el l#5uido, de tal forma 5ue la parte más densa del

cuerpo, es la 5ue tiende a 6undiese, pro(ocando as# un peso en cierta parte del

cuerpo, u$icando una dirección en este& Por esta ra)ón, los cuerpos en flotación

tienden a permanecer en una posición determinada, o tienden a ad5uirir la

posición en donde la parte más densa del cuerpo 5uede 6acia a$ao& Un cuerpo

flotante es a5uel 5ue se mantiene en la superficie o dentro de un l#5uido sin irse al

fondo&

"RASLA#!%& ' RO"A#!%& DE MASAS L6U!DAS

4n algunas situaciones los fluidos pueden estar sometidos a aceleración

constante, es decir sin mo(imiento relati(o entre sus part#culas, como cuando


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están e*puestos a mo(imientos de rotación traslación& 4n general no e*iste

mo(imiento entre el fluido el recipiente 5ue lo contiene& Teniendo en cuenta 5ue

estos pueden e*perimentar mo(imientos 6ori)ontales (erticales& 4n este caso la

superficie li$re del l#5uido adopta una posición inclinada plana, 5ue está

determinada dic6a pendiente por la relación entre la aceleración del recipiente la

aceleración de la gra(edad&

tanθ=aceleracióndel recipiente

ravedad

4n este caso 6a (ariaciones dentro del (olumen del l#5uido de tal forma 5ue la

presión en cual5uier punto del l#5uido se determina considerando el producto de la

presión 6idrostática la relación entre la aceleración del recipiente la gra(edad,

sumada o restada una unidad dependiendo si la aceleración aumenta o disminue&

1! aceleración del recipiente

ravedad

P=γh¿

.a forma de la superficie de un l#5uido 5ue gira con el recipiente 5ue lo contiene

adopta la forma de un para$oloide de re(olución& Kue cual5uier plano (ertical 5ue

pase por el ee de re(olución corta la superficie li$re segn una pará$ola& Dic6a

ecuación está dada por-

" =( #2

2 ) x2

H son coordenadas

V 7 (elocidad angular constante 1rad/seg2&


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Como en el caso de las $om$as tur$inas la rotación de una masa en un fluido, o

en caso 5ue gire el recipiente 5ue lo contiene, se genera un incremento en la

presión entre un punto situado en el ee uno a una distancia del ee en el

mismo plano 6ori)ontalS está dada por -

P=" ( #2

2 ) x2

H el aumento de la altura de presión será-

P

" =" ( #

2

2 ) x2

Kue es una ecuación parecida a la aplica$le a recipientes a$iertos en rotación&

.a (elocidad lineal W 7 X

el t%rmino x

2

2 = x2 #2 da la altura de (elocidad&

#A6DA DE PRES!%& E& "UER!AS

Cuando 6acemos circular un fluido a tra(%s de una tu$er#a, o$ser(amos 5ue e*iste

una p%rdida de energ#a de$ida a la fricción e*istente entre el fluido la tu$er#a&

4sta p%rdida de energ#a se manifiesta como una disminución de la presión del

fluido& 4sta ca#da de presión en una tu$er#a 6ori)ontal, sin accesorios se puede

calcular de la siguiente manera-

,l -luo en el la sección de tubo a &edir se o/tiene do la siguiente &anera0

−∆ P p =[12 $ −2]( % & f )


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4l fluo en el la sección de tu$o a medir se o$tiene do la siguiente manera-

'tubo=

√

( 2

&2 (−∆ P )

8 p( %

& ) f

Donde-

∆ P es la ca#da de presión 5ue 5ueremos medir,

p es la densidad del fluido 5ue estamos midiendo,

" es el factor de fricción,. es la longitud del tramo de tu$er#a,

D es el diámetro de la tu$er#a, v es la (elocidad promedio del fluido dentro de la tu$er#a&

.a ca#da de presión 5ue ocurre a tra(%s de un tramo de tu$er#a puede

determinarse con la auda de un manómetro diferencial conectado en los

e*tremos de la tu$er#a& 4l manómetro diferencial consta de dos mangueras 5ue se

conectan a un par de tu$os pie)om%tricos graduados, donde el agua se le(anta

6asta un ni(el nos permite apreciar una diferencia de alturas& Para calcular la

diferencia de alturas el diferencial de presión se utili)a la siguiente ecuación-

∆ P= paua ∙ ∙ ∆ h

Para determinar la (elocidad promedio del fluido dentro de la tu$er#a se utili)a un

medidor (enturi, 5ue consiste en una disminución gradual en el diámetro de latu$er#a como se muestra en la siguiente figura-


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!plicando la ecuación de ernoulli para esta sección, podemos encontrar 5ue una

apro*imación de la (elocidad está dada por-

.a ca#da de presión a tra(%s del medidor (enturi se puede medir con la auda de

los tu$os pie)om%tricos& !lgo tam$i%n importante es el cálculo del factor de fricción

f& 4ste factor depende de las propiedades f#sicas del fluido 1como su (iscosidad

su densidad2, del fluo& !demás depende de las propiedades de la tu$er#a comoson el diámetro la rugosidad&


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#OLUS!%&

! lo largo de este reporte pudimos anali)ar, e*aminar determinar algunas de las

ecuaciones 5ue ocuparemos para poder dar resolución a los pro$lemas de

Jecánica de Fluidos, as# tam$i%n pudimos comprender algunas definiciones$ásicas para tomar en cuenta de lo 5ue estaremos tratando, entendimos

diferentes conceptos 5ue nos audaran a integrar los conocimientos ad5uiridos

6asta a6ora&

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