Matrices Pág. 1

MENORES Y

COFACTORES

Matrices Pág. 2

MenoresMenores

Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden n (n≥2), el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A.

23028657475

64

12

2 34

7516M11 =

Matrices Pág. 3

Pasos para hallar los MenoresPasos para hallar los Menores

Dada la matriz A, hallar el menor M11 y describa los pasos

1.- Suprimimos la fila i y la columna j según corresponda:

2.- Formamos el determinante con los números sobrantes

3.- Hallamos el determinante

Matrices Pág. 4

EjerciciosEjercicios

Dada la matriz A. Hallar el menor M12, M22 y M32

Matrices Pág. 5

CofactoresCofactores

El cofactor A i j de la entrada a i j se define como el menor M i j multiplicado por:

ijjiij MA 1

El cofactor nos da como resultado el signo del menor.

Matrices Pág. 6

Signos de los CofactoresSignos de los Cofactores

En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:

Matrices Pág. 7

EjercicioEjercicio

Dada la matriz A, hallar los cofactores A11, A12, A22, A32

2211 1111

ijji MA

8811 312

2112 MA

4411 2222

22 MA

0011 3223

32 MA

MENOR COFACTOR

M12 = 8

M22 = 4

M32 = 0

M11 = -2

Matrices

Para la matriz A:

987

654

321

A

a. El menor de a31 b. El menor de a22

c. El cofactor de a23 d. El cofactor de a32

Calcule lo siguiente:

EjercicioEjercicio

Matrices Pág. 9

MATRIZDE

COFACTORES

Matrices

nnnn

n

n

c

ccc

ccc

ccc

A

21

22221

11211

Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz y se denota por AC

Matriz de CofactoresMatriz de Cofactores

Matrices Pág. 11

Ejercicio de Matriz de CofactoresEjercicio de Matriz de Cofactores

Encontrar la matriz cofactor de:

Matrices Pág. 12

Ejercicio de Matriz de CofactoresEjercicio de Matriz de Cofactores

Respuesta: La Matriz cofactor de A es:

Matrices

Para la matriz A:

987

654

321

A

Encuentre la matriz cofactor AC

EjercicioEjercicio

Matrices Pág. 14

MATRIZADJUNTA

Matrices

nnnn

n

n

tc

ccc

ccc

ccc

AAAdj

21

22212

12111

)(

Donde AC es la matriz de cofactores

La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores.

Matriz AdjuntaMatriz Adjunta

Matrices

Ejercicio de Matriz AdjuntaEjercicio de Matriz Adjunta

221

541

312

A

Obtenga la matriz adjunta de A

952

777

17418

AAdj

Solución

Matrices Pág. 17

DETERMINANTEDE

UNA MATRIZ

Matrices

DeterminanteDeterminante

El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por det (A) o | A |, es un valor escalar.

Matrices

Sea A=[a11] una matriz de orden 1. Se define

el determinante de A, como:

11)det( aA

4AEjemplo:

4)det( A

Determinante de una matriz de orden 1Determinante de una matriz de orden 1

Matrices

Cuando la matriz A es de orden 2, el

determinante es:

12212211det aaaaA

2221

1211

aa

aaA

Se observa que es la diferencia de los productos de los elementos de las diagonales en el orden dado:

- a21a12

+ a11a22

Determinante de una matriz de orden 2Determinante de una matriz de orden 2

Matrices

14)det( A

12

-2

41

23

A

EjemploEjemplo

14)1)(2()4)(3(41

23

A

Matrices

1. Evalúe el determinante de la siguiente matriz:

65

48

155

32

x

2875

2

x

x

2. Encuentre el valor de x, si:

EjerciciosEjercicios

Matrices

Cuando la matriz A es de orden 3, el determinante es:

Determinante de una matriz de orden 3Determinante de una matriz de orden 3

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

Matrices

ObservaciónObservación

El determinante de una matriz A de orden n (n ≥ 2) puede calcularse multiplicando cada entrada de cualquier fila o columna por su respectivo cofactor y sumando los productos resultantes.

Matrices

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11.(-1)1+1

a22 a23

a32 a33 + a21

.(-1)2+1 a12 a13

a32 a33 + a31

.(-1)3+1 a12 a13

a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a31.(-1)3+1

a12 a13

a22 a23 + a32

.(-1)3+2 a11 a13

a21 a23 + a33

.(-1)3+3 a11 a12

a21 a22

Calculo del determinante usando la primera columna y sus respectivos cofactores

Calculo del determinante usando la tercera fila y sus respectivos cofactores

Determinantes con el uso de cofactoresDeterminantes con el uso de cofactores

Matrices

034

120

312

A

Calcular el determinante de A usando cofactores

131211 3)1(2det AAAA

Sea:

26834)1(32

EjemploEjemplo

Matrices

EjemploEjemplo

321

542

356

A

Hallar el determinante de A utilizando los cofactores de la primera columna

Matrices

1. Si todos los elementos de una fila (renglón) o columna de A son nulos, entonces |A| = 0.

0

000

132

716

A

2. Si dos filas o columnas de A son idénticas, entonces |A| = 0.

0

101

232

616

A 0

341

115

341

B

Propiedades de los determinantesPropiedades de los determinantes

Matrices

3. El determinante del producto de dos matrices de orden n es: |AB| = |A||B|.

4. |AT| = |A|

5. |I| = 1

Propiedades de los determinantesPropiedades de los determinantes

Ejemplos:

· El determinante de la matriz I3 = èççæ

ø÷÷ö

1 0 0 0 1 0 0 0 1

es igual a 1.

Matrices

134

327

145

A

111

122

110

B

1. Evalúe el determinante de las siguientes

matrices:

2. Para que valor de a el determinante es cero:

a

a

a

42

012

321

EjerciciosEjercicios