[Maths] algebra

Mathematics

Algebra02 cbxax

a

acbbx

2

42

22))(( axaxax

...00

)( 1

yx

nx

nyx nnn

Mathematics. Algebra

Algebra. History

Bagdag, 830 A.C.

Mahammed ben Mussa al Jwarizmi(hoy Uzbequistan 780-850 A.C.)“Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala”(Precisiones sobre el cálculo de al-jabr y al-muqabala)

Diophantic equationsDiophantus (Alexandría, 200-284 A.C.):

Linear, quadratic and cubed equationsNiccolo Fontanna Tartaglia (Italy, 1499-1557)

Gerolamo Cardano (Italy, 1501-1576)

2 3 2 3

3 3

2 4 27 2 4 27

n n m n n mx

Algebra.

WHY TO LEARN ALGEBRA?

•Algebra is a powerfull tool for all branchs of Mathematics and Science.

•Algebra is a kind of scientific language you must learn to take advantage in other disciplines

•Understanding Algebra helps people to abstract your mind and stablish new patterns into your brain.

•Exercises your brain muscle as learning an instrument or doing puzzles or some video games.

• Albebra is the universal brain builder (It is like build a railway into your brain).

Algebra. Monomials

a coefficientn exponent / powerx variable

nax42

2

x

34

5

x

1

22x

0x

1

1

x3 2x y

5y

Algebra. Monomials

Operations Examples

Addition

Substration

Multiplication

Division

222 853 xxx 222 253 xxx

422 1553 xxx

2

32332

22

132

23

5

353

5

353

5

3

5

353

5

353

xz

yzxyx

xx

xxxx

xxx

343324 1523 zyxzxxy

?...53 2 xx

Algebra. Polynomials

terms each monomialx variablen degreean xn leading termai xi the ith degree termao constant terman principal coeficientai the ith degree coeficient

1 2 1

1 2 1 0( ) ...

; 0

n n n

n n n

n

P x a x a x a x a x a

n a

Algebra. Polynomials

ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ 3

Algebra. PolynomialsAddition & substration

We define the polynomials: P(x) = -3x4-5x2 +1, Q(x) =3x4-4x3 -5x2 +6 , R(x) = -x3 +6x +4.

Calculate P(x) + Q(x) - R(x)

P(x) -3x4

-5x2

1

Q(x) -3x4

-4x3

-5x2

6

-R(x) x3

-6x -4

Add -6x4

-3x3

-10x2

-6x 3

Algebra. PolynomialsMultiplication

We define the polynomials:

Calculate

1532)( 23 xxxxP

324)( 2 xxxQ

)()( xQxP

2x3

-3x2

+5x -1

4x2

-2x 3

+6x3

-9x2

+15x -3

-4x4

+6x3

-10x2

+2x

+8x5

-12x4

+20x3

-4x2

8x5

-14x4

+32x3

-23x2

+17x -3

Algebra. PolynomialsDivision


Calculate

Quotient 1/2x -1/2

Remainder 11/2 x + 1/2

1532)( 23 xxxxP

324)( 2 xxxQ

)()( xQxP

2x3

-3x2

+5x -1 4x2

-2x +3

-2x3

+x2

3/2 x 1/2 x -1/2

0 -2x2

13/2 x

-2x2

-x +3/2

0 11/2 x ½

Algebra. PolynomialsDivision


Calculate

4x5 – 2x4 + 6x3 – 2x2 + 4x – 3 2x2 – 4x-4x5 + 8x4 2x3 +3x2 + 9x + 17

6x4+ 6x3 – 2x2 + 4x – 3- 6x4 +12x3

18x3 – 2x2 + 4x – 3 Quotient 2x3 +3x2 + 9x + 17 - 18x3+36x2 Remainder 72x – 3

34x2 + 4x – 3 - 34x2 +68x

72x – 3

342624)( 2345 xxxxxxP

xxxQ 42)( 2

)()( xQxP

Algebra. Useful productsDistributive x(y + z)= xy + xz

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Squared binomial (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2

Cubed binomial (x + y) 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Squared trinomial (x + y + z) 2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

Difference of

squares

x2 - y2 = (x + y) (x – y)

x2 + y2 cannot be factorised

Difference of cubes x3 – y3 = (x – y)( x2 + y2 + xy )

Addition of cubes x3 + y3 = (x + y)( x2 + y2 - xy )

Forth difference x4 – y4 = (x + y)(x – y)( x2 + y2 )

Binomio de Newton

)(1 baab

ba

01122110

1....

210)( ba

n

nba

n

nba

nba

nba

nba nnnnnn

FactorisingPARADOJA Demostrar que 1=2Encuentra, si lo hay, el fallo en la siguiente paradoja algebraica:

Consideremos dos números x e y cualesquiera tales que

x = y Multiplicando ambos miembros por xx2 = xy restamos y2

x2 - y2 = xy - y2 sacando factor común y por los productos notables,(x - y)(x + y) = y(x - y) dividámoslo todo por (x - y)(x + y ) = y y puesto que x = y2 x = x y simplificando o dividiendo por x¡2 = 1 !!!

¡Busca donde está el error!

Numbers:1 is equal to 2

PARADOJA Demostrar que 1=2Encuentra, si lo hay, el fallo en la siguiente paradoja algebraica:

Consideremos dos números x e y cualesquiera tales que

x = y Multiplicando ambos miembros por xx2 = xy restamos y2

x2 - y2 = xy - y2 sacando factor común y por los productos notables,(x - y)(x + y) = y(x - y) dividámoslo todo por (x - y)(x + y ) = y y puesto que x = y2 x = x y simplificando o dividiendo por x¡2 = 1 !!!

¡Busca donde está el error!

Numbers:a is equal to b

Si a > b entonces a = b.

Dado que a > b, supongamos c> 0 tal que a = b + c.Multipliquemos los dos miembros de esta igualdad por (a-b)

a ( a-b) = (b + c)(a - b)a2 - ab = ab + ac - b2 - bca2 - ab - ac = ab - b2 - bca ( a - b - c ) = b (a - b - c ) y simplificando por (a - b - c) quedaráa = b

¿Dónde se encuentra el error en esta demostración?

Solving word problems. Strategies

Polya’s four step process

• Familiarize with or understand the problem. Write downthe ideas you have.

• Devise a plan. Draw a picture. Look for different strategies. Choose the best. Estimate the solution. translete the wordproblem into algebraic equations.

• Carry out your plan, I mean, solve the equation.

• Look back over the results. Revise the process and deduce consequences.

Solving word problems.Our 6 steps strategy

1 Read the problem, take your time, be still, until you are sure to understand themeaning perfectly. Look for valid information which can help you.

3 It it is possible, it is really useful to draw a diagram and label it.

2 Identify the variables and choose the letters x, y, z,.. to assign the unkwown valuesyou to want to find out. Be careful, because sometimes you can deduce a letter fromothers

4 Write the equation.

5 Solve the equation

6 Check, discuss, compare with your estimations and interpret the solutions.

Solving equations1 If there are some roots, get rid of them squaring boths sides of equation.

3 Multiply out any brackets

2 Get everything off the bottom of the fractions.

4. Collect all subject terms on one side of the “=“ and non-subject terms on the other.

5 Combine together like terms and solve the equation.• If it is a linear equation Ax = B, you have to make x the subject sliding A

underneath the B.• If it is a quadratic (or higer) equation you can use three methods:

• by formula (always you can transform it into a (bi)quadratic equation)• by factors• by non linear methods (iteration, e.g. Newton-Raphson)

6.215

3939154104518445184104

)52(9)4()52(2

952

423

52

423

52

42 2

2

xxxxxxxx

xxx

x

x

x

x

x

x

The bread

Un gran bollo de pan pesa lo mismo que ¾ partes del bollo más ¾ de kg. ¿cuánto pesa el bollo?

The bread

3 33 3 4 ...

4 4

... 3 4 3 3 3

x x x x

x x x x

The object

Por un objeto se paga 9€más que la mitad de lo que vale.

¿Cuánto vale?

The object

19 18 2 18 2 18

2x x x x x x x

Pythagoras

Se cuenta que en una ocasión se le preguntó a Pitágoras cuál era el número de alumnos que tenía, a lo que él respondió:

“La mitad estudia aritmética, la cuarta parte oratoria, la séptima parte medita en silencio y tres alumnos más no estudian”

¿Cuántos alumnos tenía Pitágoras?

Pythagoras

1Aritmetica

2

1Oratoria

4

1medita

7

3 no estudian

1 1 13 14 7 4 84 28

2 4 7

8484 28 25 84 3 28

3

x

x

x

x x x x x x x x

x x x x

The math examination

Para un examen final de Matemáticas, las 3/5 partes del total de los alumnos aprueban por curso y no tienen que presentarse; los 3/8 del resto, que debían realizar el examen, ya no se presentan y los 20 alumnos restantes aprueban todos la convocatoria.

Calcular el número total de alumnos de Matemáticas.

The math examination

es el numero total de alumnos

3 2aprueban; luego el resto es

5 5

3 2no se presentan

8 5

20 aprueban

3 3 2 3 620 20

5 8 5 5 40

24 6 40 800 10 800 80

x

x x

x

x x x x x x

x x x x x

Diophantus’ biography

En la lápida de la tumba del matemático Diofantoreza el siguiente epitafio:

“¡Caminante!, aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar ¡ohmilagro! cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando de vello cubriose su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan solo la mitad que la de su padre, a la tierra. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

Escribir la biografía de Diofanto.


1 1 1 15 4 14 7 12 42 756 84

6 12 7 2

756756 84 75 9 756 84

9

x x x x x x x x x x

x x x x

Duración vida de Diofanto x

Infancia 1/6 x

Adolescencia 1/12 x

Matrimonio esteril 1/7 x

Nacimiento hijo 5 años

Vida del hijo 1/2 x

Sobrevivió al hijo 4


Duración vida de Diofanto x 84 años

Infancia 1/6 x 14 años

Adolescencia 1/12 x 6 → 21 años

Matrimonio esteril 1/7 x 12 → 33 años

Nacimiento hijo 5 años 5 → 38 años

Vida del hijo 1/2 x 42 → 80 años

Sobrevivió al hijo 4 4 → 84 años

The hens and the rabbits

Una granja tiene gallinas y conejos. Si sumamos el número de patas resultan 140, pero si sumamos las cabezas son solo 40. Calcular cuantas gallinas y cuántos conejos tiene la granja.

The hens and the rabbits

2 40 4 1402 4 140

40 40

80 2 4 140 2 60 30

40 30 10

y yx y

x y x y

y y y y

x

Cabezas Patas

Nº Gallinas x 2x

Nº conejos y 4y

The horse and the donkey

Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. El caballo se lamentaba de su pesada carga a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya, en cambio si te doy uno de mis sacos, nuestras cargas serían iguales”. ¿Cuántos sacos llevaba cada uno?

The horse and the donkey

1 2 1 2 2 32 3 5

2 5 2 71 1

y x x xy x x

y x yy x

Nº sacos del caballo x

Nº sacos del mulo y

The number

La suma de las dos cifras de un número es igual a 10; además, si invertimos el orden de las cifras, se obtiene otro que es el triple del primero, disminuido en dos unidades.

¿Cuál es el número de partida?

The number

10 10

10 3 10 2 10 30 3 2 29 7 2

29 10 7 229 7 2 290 29 7 2

10 8 2288

288 36 836

x y x y

y x x y y x x y x y

y yx y y y

x

y y

Sean ‘x’ e ‘y’ las cifras de las decenas y la de las unidades respectivamente del número pedido

St.Peter and Paul

Pedro dice a Pablo : “Tengo dos veces la edad que

tenías cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, la suma de las dos edades será de 63 años”.

¿Cuáles son las edades actuales?

St.Peter and Paul

2(2 ) 4 2 2 3

(2 ) 63 3 63 3 63

1892 9 189 7 189 272 3 3 63

7

3 27 63 18

y y x y y x x y

x y x x y y x

x x x xx x

y

Hoy Cuando yo tenía la edad que tu tienes

Cuando tu tengas la edad que yo tengo

St Peter x y x+(x-y)=2x-y

St Paul y y-(x-y)=2y-x x

2(2 )y y x (2 ) 63x y x

Palms, birds and fishEn ambas orillas de un río crecen

dos palmeras, una frente a la otra y separadas por una distancia de 50 pies. La altura de una es 30 pies y la de la otra 20 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro.

Súbitamente los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y alcanzan el pez también al mismo tiempo.

¿A qué distancia de la palmera mayor apareció el pez?

Palms, birds and fish

2 2 2

22 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

30

50 20

900

2500 100 400

900...

900 2900 1002900 100

100 2000 20

900 900 20 1300 36,05

y x

y x

y x

y x x

y x

xy x x

x x

y x

The taps

Un grifo tarda 3 horas en llenar un depósito. Mientras que otro solo tarda 2 horas en llenarlo.

¿Cuánto tardarán en llenar el depósito los dos grifos a la vez?

The taps

1 1 51 1 ...

3 2 6

6 1... horas 1 1 hora y 12minutos

5 5

x x

x horas

Lleno en 1 hora

Grifo A 3 horas 1/3 3(1/3)=1

Grifo B 2 horas 1/2 2(1/2)=1

Grifos A +B X horas 1/3 + 1/2 x(1/3 + 1/2)=1

Mother and sonUna madre es 21 años mayor

que su hijo y en 6 años el niño Será 5 veces menorque ella. Calcula la edad del hijo

Mother and son

21

6 5 6 21 6 5 30

43 4

3

y x

y x x x

x x

Operations

BASIC OPERATIONS

+ Addition / plus

- Substration / minus

* Multiplication

/ Division

^ Exponentiation; power

square root; cube root3

Numbers: Powers, surds and logarithmsPowers Surds Logarithms

mnmn xxx yxxy loglog)log(

mn

m

n

xx

x yxy

xlogloglog

nmmn xx nmn m xx xnxn loglog

10 x

xx 11log bb

n

n

xx

1

nmn yxyx )( nnn yxyx

n

n

n

y

x

y

x

n

n

n

y

x

y

x

nn xx

1n mn

m

xx x

nxn log

1log

n nn yxyx b

xx

a

ab

log

loglog

10log b

11 x

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