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Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 11
d12
d34
d56
d12 = ca. 60km
d34 = ca. 61km
d56 = ca. 66km
?
Kalifornien
Abb.2
Ozonwerte in Kalifornien
Quelle:
ArcGIS (Beispieldatensatz)
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 22
GeostatistikGeostatistik
2 Kriging2 Kriging
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 33
I. Einstieg in Kriging- was ist Kriging- Rückblick auf deterministische Verfahren- Ziel des Krigings
II. Signalbehandlung
- Statistische Grundbegriffe
- Semivarianz
- Semivariogramm
III. Kriging
- Analysen im Semivariogramm
- Beispielrechnung
- verschiedene Krigingverfahren
- ArcInfo
Inhaltsübersicht dieses Vortrags:
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 44
Kriging (1)
Benannt nach D. G. Krige : Bergbauingenieur, Südafrika
Der Name: „Kriging“
Kriging (2)
Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren
seit Anfang der 60er
entwickelt durch G. Matheron, Frankreich
für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen
weiterentwickelt (um 1969) Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren.
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 55
Rückblick: deterministische Verfahren
Globale Methoden (z.B. Regression) Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours)
Grundsätze:
Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (xu,yu)
Flächenhafte Information aus Punktdaten (xi,yi)
Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (xi,yi) zu berücksichtigen ( Gewichtung)
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 66
Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet.
Deterministisches Verfahren Gewichtung der Punktdaten
• Polynom-Interpolation Unterschiedlich (Funktionswerte)
• Invers distance weighting Über die Distanz (i. A. Kehrwert)
• nearest neighbours Einheitlich für Voronoi-Region
Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten.
??
?
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 77
Ziel des Krigings:
Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung
eines Punktes, der nicht beobachtet wurde.
Genauigkeit des geschätzten Attributwertes
Motivationsbeispiel:
Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen.
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 88
II. Das Signal
Statistik:
Deterministisches Modell: l + v = f(x) oder l = f(x) + v
bzw. l + v = Ax
Neu:
Stochastisches Signal: s
Formel: l = f(x) + s + n
Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine
Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ].
Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und
ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet.
v
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 99
Der Attributwert einer Zufalls-variablen wird mit z bezeichnet:
z(x) = f (x) + s + n
Unterschied von z(x) und l:
l ... Beobachtung
z(x) ... Attributwert auch für unbeprobte Stellen
Abb. 1
Geostatistik-Modell
Quelle:
Prof. Dr. W.-D. Schuh
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1010
II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe
l = f(x) +s + n
Der Erwartungswert [ E ]:
Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null E { s } = 0 vgl. E { v } = 0
E { s } = 0
E { si } = si
Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal E { si } = si
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1111
P1
P2 P3
P4
P5
P6
II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe
Lokale Betrachtung des Signals:
Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich
Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten Pi(xi,yi)
Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen
Distanzabhängigkeit
l = f(x) +s + n
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1212
z4z3
z2
z1
II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe
Stationarität:
Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz Stationarität
P3
P4
P1
P2
d12
d34
Stationarität heißt, wenn d12 = d34 E{ z12 } = E{ z34 }
und ist eine Voraussetzung für Kriging
l = f(x) +s + n
In Pi wird zi beobachtet:
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1313
Definition: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ²
(d) ... Semivarianz für die Distanz d
z(P) ... Attributwert im Punkt P(x,y)
z(P+d) ... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist
Verknüpfung von Distanz und Signal (1)
- Semivarianz -
Problem:
Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden.
[Komplexität] = O(n²) ;
n ... Anzahl der Punkte
Vereinfachung:
Bildung von Entfernungs-klassen:
Bsp.: 0 ... 40km
40 ... 80km
80 ...
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1414
Verknüpfung von Distanz und Signal (2)
- Entfernungsklassen (Bsp.) -
1. Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse42, 44, 49, 51, 57, 67, 71 40 - 80
2. Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse 54,43
3. Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse6+5+4+3+2+1 = 21 Semivarianzen
4. Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse
eine Semivarianz pro Entfernungsklasse
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1515
Verknüpfung von Distanz und Signal (3)
- Semivariogramm -
Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird.
P1
P2
d12
z1 z2
d12
(d)
d
(d12)
(d12) = ½ { z1 – z2 } ²
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1616
Empirisches Semivariogramm
d
(d)
Problem (u.a.):
- ...
- nur punkthafte Information
?
Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm
- Approximation der Punkte durch eine Funktion
d
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1717
III. Kriging
Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms
Vorteil: Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar.
Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill.
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1818
Analysen im Semivariogramm
• Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler):
Semivarianz für d = 0: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) = 0
• Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren:
Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende.
• Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte.
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 1919
?Range
Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte:
• geg.: Punktdatensatz
• ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ort
2) Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ij]
3) Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält
4) Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging-Schätzer
Zu 1) Im Normalfall Entfernungsklassen berücksichtigen
Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen
1) Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 2020
11 . . .16 1 1 10
: : : : :
61 . . .66 1 * 6 = 60
1 . . . 1 0 m 1
?Semivarianz für die Punkte 1 und 6
1
6
23
4
5
0
Zu 4) Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind 1- 6 .:
Lösung: z0 = 1*l1 + 2*l2 + ... + 6*l6
Warum ? Ausarbeitung
Zu 3) Matrix der SemivarianzenI. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 2121
l
s
Verschiedene Krigingverfahren
1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination
1.1 Simple Kriging
1.2 Ordinary Kriging
1.3 Universal Kriging
2. Indicator Kriging
3. Probability Kriging
4. Disjunctive Kriging
5. Co-Kriging
1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination
1.1 Simple Kriging
1.2 Ordinary Kriging
1.3 Universal Kriging
2. Indicator Kriging
3. Probability Kriging
4. Disjunctive Kriging
5. Co-Kriging
1.1 Simple KrigingDer Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein:
f (x) =
1.1 Simple Kriging
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 2222
1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination
1.1 Simple Kriging
1.2 Ordinary Kriging
1.3 Universal Kriging
2. Indicator Kriging
3. Probability Kriging
4. Disjunctive Kriging
5. Co-Kriging
Verschiedene Krigingverfahren
1.2 Ordinary KrigingDer Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert.
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
l
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 2323
1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination
1.1 Simple Kriging
1.2 Ordinary Kriging
1.3 Universal Kriging
2. Indicator Kriging
3. Probability Kriging
4. Disjunctive Kriging
5. Co-Kriging
Verschiedene Krigingverfahren
1.3 Universal KrigingDer Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung:
l
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
-Parameterschätzung
-verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten
-Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 2424
1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination
1.1 Simple Kriging
1.2 Ordinary Kriging
1.3 Universal Kriging
2. Indicator Kriging
3. Probability Kriging
4. Disjunctive Kriging
5. Co-Kriging
Verschiedene Krigingverfahren
2. Indicator KrigingEntwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird.
l
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren
Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 2525
1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination
1.1 Simple Kriging
1.2 Ordinary Kriging
1.3 Universal Kriging
2. Indicator Kriging
3. Probability Kriging
4. Disjunctive Kriging
5. Co-Kriging
Verschiedene Krigingverfahren
5. Co-KrigingCo-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B. Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält.
l
Vorteil:
Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden.
[Multivariates Kriging]
I. Kriging – Einstieg
-Der Name :“Kriging“
-Rückblick
-Ziel
II. Signalbehandlung
-statistische Grundbegriffe
-Semivarianz
-Semivariogramm
III. Kriging
-Analysen im Semivariogramm
-Beispielrechnung
-verschiedene Krigingverfahren