MATHEMATIQUES en B.T.S. Maintenance des Véhicules (options V.P. et V.T.R.) - Académie de …pedagogie.ac-limoges.fr/maths/IMG/pdf/exemple_de_sequence_integrant... · 5 t-il mis

MATHEMATIQUES en B.T.S. Maintenance des Véhicules (options V.P. et V.T.R.) Séquence : Qu’est-ce qu’une fonction ?

July FRAUZIOL – [email protected] 21/12/2017

1

Sommaire

Fiche pédagogique de la séquence .............................................................................................. 2

Déroulé de la séquence ................................................................................................................. 4

Supports pédagogiques ................................................................................................................ 6

EN-TÊTE de séquence « Qu’est-ce qu’une fonction ? » .............................................................. 7

ACTIVITÉ « Performances d’un véhicule : de l’Empirique au théorique » .................................... 8

ACTIVITÉ « À la découverte de fonctions »................................................................................ 11

ACTIVITÉ « À la rencontre de John Napier » ............................................................................. 14

L’ESSENTIEL : exemple de fiche construite avec un groupe d’apprentis ................................... 16

APPLICATIONS .......................................................................................................................... 28

ÉVALUATION ............................................................................................................................. 33

EN-TÊTE de la « BOÎTE À OUTILS MATHÉMATIQUES» ......................................................... 36

OUTIL « Résoudre dans IR une équation du 2nd degré» ............................................................ 38

OUTIL « Résoudre une inéquation du 1er degré» ....................................................................... 41

2

FICHE PÉDAGOGIQUE

DE LA SÉQUENCE

Titre : Qu’est-ce qu’une fonction ?

Références au programme officiel de mathématiques :

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence

Fonctions affines.

Fonctions polynômes de degré 2.

Fonction logarithme népérien et

exponentielle de base e.

Fonction racine carrée.

Fonction sinus et cosinus.

Représenter une fonction de

référence et exploiter cette courbe

pour retrouver des propriétés de la

fonction.

En fonction des besoins, on met

l’accent sur des fonctions de référence

les plus utiles.

En cas de besoin lié à la spécialité, on

peut être amené à étudier l’une ou

l’autre des fonctions suivantes :

- la fonction logarithme décimal ;

- des cas particuliers de fonctions

puissances t → tα avec α ϵ IR ou

exponentielles de base a avec a avec a ϵ

]0, +∞[.

Limites de fonctions

Asymptotes parallèles aux axes :

- limite finie d’une fonction à l’infini ;

- limite infinie d’une fonction en un

point.

Interpréter une représentation

graphique en termes de limite.

Interpréter graphiquement une

limite en termes d’asymptote.

La diversité des programmes du lycée

doit particulièrement inciter à veiller

aux connaissances sur les limites

acquises antérieurement ou non par les

étudiants.

Objectifs de la séquence :

À l’issue de la séquence, les apprentis doivent connaître :

o une définition correcte de la notion de fonction,

o les allures des courbes représentatives des fonctions usuelles.

Et ils doivent être capables de :

o déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

o déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa forme algébrique,

o déterminer les variations d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

o déterminer les extrema d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

o déterminer une limite d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

o interpréter graphiquement une limite.

Principes pédagogiques de la séquence :

Au plus tôt, lors de cette séquence, les apprentis sont informés des objectifs (ci-dessus) qu’ils

doivent atteindre et sur lesquels ils seront évalués à l’issue de celle-ci.

Tout au long de cette séquence, les apprentis sont invités à travailler sur des « ACTIVITÉS » (issues

le plus souvent possible de cas concrets) qui permettent la construction progressive, collective et

collaborative d’une fiche (à maîtriser par les apprentis) intitulée « L’ESSENTIEL ».

3

En cas de besoins spécifiques, des fiches d’« OUTILS » transversaux (à classer dans un dossier

transversal « Boîte à outils mathématiques ») peuvent être fournies ou communiquées

numériquement aux apprentis.

Lorsque cette fiche « L’ESSENTIEL » est complète au regard des objectifs à atteindre, une étape

d’assimilation est proposée par le biais d’une fiche « APPLICATIONS ».

Enfin, la séquence s’achève par une ÉVALUATION (non chiffrée) de compétences visées dans

cette séquence (ou travaillées dans une séquence précédente).

Supports et outils employés :

o Supports au format papier :

- Une « EN-TÊTE » (format A3) pliée en 2 : elle constitue un dossier dans lequel les apprentis

sont invités à classer tous les documents qui concernent cette séquence. - Différentes fiches « ACTIVITÉS ». - Une fiche « APPLICATIONS ». - La fiche « L’ESSENTIEL » : feuille de copie vierge fournie par l’apprenti. - Une « ÉVALUATION ».

o Outils numériques : - Application Google Classroom,

- Logiciel GeoGebra,

- Vidéo YouTube «Micmaths – Merveilleux logarithmes »,

- Logiciel SaCoche (évaluation par compétences),

- Chromebooks et comptes individuels Google des apprenants.

4

DÉROULÉ

DE LA SÉQUENCE

La proposition de déroulé suivante est indicative et réalisable dans des conditions optimales

d’enseignement : les contingences et les organisations matérielles et temporelles des lieux de

formation (par exemple des C.F.A.) obligent souvent les enseignants à revoir et à adapter le déroulé

prévu. Aussi, les séances décrites peuvent bien sûr être : supprimées et/ou modifiées dans leurs

contenus ou leurs formes (certaines activités peuvent être travaillées par les apprentis en dehors

des heures de cours), sans pour autant perdre de vue leurs objectifs.

SÉ

AN

CE

CONTENUS Supports format papier Outils informatiques Objectifs

pédagogiques

1

ACTIVITÉ : travail individuel ou en binôme ; Mise en commun collective ou post du corrigé sur Classroom.

Fiche « ACTIVITÉ : Performances d’un véhicules : de l’Empirique au Théorique »

Logiciel GeoGebra.

Manipuler une fonction. Manipuler GeoGebra.

BRAINSTORMING : apporter des éléments de réponse à la question « qu’est-ce qu’une fonction ? »

Post-its

Outil de tableau collaboratif de post-its PADLET.

Définir la notion de fonction. Donner 3 formes de représentations possibles d’une fonction et leurs caractéristiques. Définir et donner les caractéristiques (y compris limites aux bornes des domaines de définition) des fonctions affines et linéaires.

L’ESSENTIEL : début de la construction collective

Support papier vierge fourni par l’apprenti-e

Traitement de texte. Internet (pour recherche d’images). Application Classroom (pour diffusion du document L’ESSENTIEL en construction).

2


Fiche « ACTIVITÉ : À la découverte de fonctions… »

Logiciel GeoGebra.

Manipuler des fonctions et identifier leurs caractéristiques. Manipuler GeoGebra.

L’ESSENTIEL : suite de la construction collective

Support papier fourni par l’apprenti-e


Définir et donner les caractéristiques de fonctions usuelles.

3

MISE EN SITUATION : demander à un apprenti d’effectuer une multiplication au tableau (par exemple : 158 468 x 45 888 337). DISCUSSION OU RECHERCHE INTERNET autour du thème « qui est John NAPIER ? Pourquoi a-

Réfléchir à l’utilité de la mise en place d’outils mathématiques. Découvrir et comprendre la « naissance » de la fonction Ln. Manipuler GeoGebra.

ou bien

5

t-il mis en place des tables de calculs ».

VIDEO YouTube «Micmaths – Merveilleux logarithmes »

Internet.


Fiche « ACTIVITÉ : À la rencontre de John Napier… »

Logiciel GeoGebra.

L’ESSENTIEL : suite de la construction collective

Support papier fourni par l’apprenti-e


Définir et donner les caractéristiques des fonctions Ln et e.

4

APPLICATIONS : travail individuel ou en binôme ; Mise en commun collective ou post du corrigé sur Classroom.

Fiche « APPLICATIONS »

Logiciel GeoGebra.

5 ÉVALUATION Fiche « ÉVALUATION » Logiciel SaCoche (évaluation par compétences).

6

SUPPORTS PÉDAGOGIQUES

7

NOM : ………………………………………………... B.T.S. M.V.

Prénom : ………………………………………………..

Date : ……………………………………………………

Ce dossier contient :

□ Une fiche « Activité - Performances d’un véhicule : de l’Empirique au Théorique »,

□ Une fiche « Activité – À la découverte de fonctions »,

□ Une fiche « Activité – À la rencontre de John Napier »,

□ Une fiche « L’ESSENTIEL »,

□ Une fiche « APPLICATIONS ».

À l’issue de ce dossier, vous devez :

□ connaître une définition correcte de la notion de fonction,

et être capable de :

□ Tracer à main levée les allures des courbes représentatives des fonctions usuelles,

□ Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

□ Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa forme algébrique,

□ Déterminer les variations d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

□ Déterminer les extrema d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

□ Déterminer une limite d’une fonction à partir de sa courbe représentative,

□ Interpréter graphiquement une limite.

MATHÉMATIQUES

Qu’est-ce qu’une fonction ?

8

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

Afin de mesurer les performances de son moteur, on effectue différentes

mesures sur un véhicule. Départ arrêté, le véhicule effectue une

accélération constante de 5m/s2 (aussi noté : m.s-2).

I) Point de vue graphique :

On a relevé les mesures suivantes :

Points A B C D E F G H I J K L

Temps t (en s) 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5 3 4 5 6

Distance parcourue d (en m) 0 0,16 0,63 1,41 2,5 5,63 10 15,63 22,5 40,1 62,5 90

Sur le logiciel GeoGebra :

1) Dans la fenêtre graphique, à l’aide du bandeau « saisie » (en bas de l’écran) créez les points

A, B, C, …., L dont les coordonnées figurent dans le tableau ci-dessus (en abscisses : le temps t ;

en ordonnées : la distance parcourue d).

2) Dans la fenêtre graphique, recadrez le graphique obtenu.

3) Reliez les points A, B, C … L à main levée (onglet « ABC »/ « Croquis »).

4) Dans le bandeau « saisie », tapez :

5) Observez la fenêtre graphique : que constatez-vous ?

Phrase de réponse : …..…………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….


Activité

Performances d’un véhicule : de l’Empirique au Théorique

9

6) Effacez votre tracé à main levée. Conservez la courbe d.

7) Cliquez sur l’icône « ABC » / « Inspecteur de fonction », puis, dans la fenêtre « Algèbre »,

cliquez sur la fonction d(t).

8) Dans la fenêtre « Inspecteur de fonction », cliquez sur l’onglet « points », et, à l’aide de cette

fonction, répondez aux questions suivantes :

a)

o Quelle est, en m puis en km, la distance parcourue par ce véhicule au bout de 10 secondes ?


o Quelle est, en m/s (aussi noté : m.s-1) puis en km/h (aussi noté : km.h-1), la vitesse moyenne

de ce véhicule au bout de 10 secondes ?

Calcul(s) : …..…………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………….

b)

o Au bout de combien de temps, en s, le véhicule a-t-il parcouru 150 mètres ?


o Quelle est, en m/s (aussi noté : m.s-1) puis en km/h (aussi noté : km.h-1), la vitesse moyenne

de ce véhicule au bout de 7,75 secondes ?

Calcul(s) : …..…………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………….

II) Point de vue algébrique :

On rappelle que la fonction d est définie par : d(t) = 2,5.t 2.

1) Que représentent les expressions t et d(t) ?


………………………………………………………………………………………………….

10

2) Calculez d(10). Que constatez-vous ?

Calcul : …..……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………….

3) a) Résolvez l’équation d’inconnue t : d(t) = 150. Donnez la valeur exacte de la solution, puis

une valeur approchée arrondie à 10-2 :

Calcul : …..……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………….

b) Que constatez-vous ?


………………………………………………………………………………………………….

4) Ouvrez la fenêtre de calcul formel du logiciel GeoGebra (cliquez sur Affichage/calcul

formel).

Dans la fenêtre de calcul formel, saisissez l’équation : 2,5t 2 = 150.

a) Sélectionnez cette équation, puis cliquez sur la touche « résoudre »

Ci-dessous, recopiez le ou les résultat(s) obtenu(s) :

réponse : …..…………………………………………………………………….……………….

b) Sélectionnez l’équation, puis cliquez sur la touche « résoudre numériquement »

Ci-dessous, recopiez le ou les résultat(s) obtenu(s) :

réponse : …..…………………………………………………………………….……………….

11

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

Soient les fonctions :

Utilisez le logiciel GeoGebra pour répondre aux questions suivantes :

1) Quels sont les domaines de définition de ces fonctions ? Reliez chaque fonction à son

domaine de définition :

Fonction : Domaine de définition :

c [0 ; +∞[

f ]-∞ ; +∞[

g [-1 ; 1]

h ]-∞ ; 0[

s IR+

d IR*

j ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[

m IR

k IR

2) Classez les noms de ces fonctions dans le tableau suivant :

Fonctions affines

Fonction racine carrée

Fonctions trigonométriques

Fonction inverse

Fonction polynôme de

degré pair

Fonction polynôme de degré impair


Activité

À la découverte de fonctions…

c : x cos x f : x f(x) = √x g : x g(x) = 2x 2 - 1

h : x h(x) = 1

x s : x sin x d : x d(x) = -x + 5

j : x j(x) = -x3 + 2x2 - 3 m : x h(x) = 3x + 4 k : x k(x) = 2x3 + 4x - 3

+ *

12

3) Reliez chaque fonction au type de courbe qui la représente :

Fonction : Type de courbe :

c sinusoïde

f parabole

g droite

h hyperbole

s autre type de courbe

d

j

m

k

4) Complétez :

Lim g(x) = ……… Lim j(x) = ………

Lim h(x) = ……… Lim f(x) = ………

Lim m(x) = ……… Lim k(x) = ………

Lim h(x) = ……… Lim h(x) = ………

5) Complétez les phrases suivantes en cochant les propositions exactes :

La fonction f est sur son domaine de définition.

La fonction h est sur ,puis sur .

La fonction d est sur son domaine de définition.

x +∞ x -∞

x 0 x < 0

x 0 x > 0

x -1 x 2

x -∞ x +∞

□ croissante

□ décroissante

□ croissante

□ décroissante

□ ]-∞ ; 0[

□ ]0 ; +∞[ □ croissante

□ décroissante

□ ]-∞ ; 0[

□ ]0 ; +∞[

□ croissante

□ décroissante

13

Pour la courbe représentative de la fonction h, l’axe des abscisses est une

Le coefficient directeur de la fonction d

Sur son domaine de définition, la fonction j est , puis

, puis .

La fonction g admet un au point d’abscisse

□ droite.

□ asymptote.

□ tangente.

□ hyperbole.

□ limite.

□ est 1.

□ est 0.

□ est 5.

□ est -1.

□ n’existe pas.

□ croissante

□ décroissante □ croissante

□ décroissante

□ croissante.

□ décroissante.

□ minimum

□ maximum

□ 0.

□ 1.

□ 2.

□ 4.

□ -1.

14

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

I) Étude graphique de la fonction logarithme népérien :

Sur le logiciel GeoGebra, tracez la courbe représentative de la fonction logarithme népérien

Ln.

1) Quel est le domaine de définition de la fonction Ln ?

Phrase de réponse : ………………………………………………………………………………...

2) Complétez :

Lim Lnx = ……… Lim Lnx = ………

3) Complétez le tableau de variation de la fonction Ln suivant :

Valeurs de x :

Variations de Lnx :

4) Complétez :

Ln 1 = …….. Ln …….. = 1


Activité

À la rencontre de John Napier

John NAPIER - 1550 - 1617

x +∞ x 0 x > 0

15

II) Étude algébrique de la fonction logarithme népérien :

1) Complétez la forme algébrique de la fonction Logarithme népérien suivante :

Ln : ………. ……….

………. ……….

2) a) À l’aide votre calculatrice, complétez le tableau suivant.

Arrondissez les résultats à 10-2 :

a 2 0.25 8 1,5 90

b 4 3 5 120 425

Ln(a x b)

Lna + Lnb

b) Concluez en complétant la formule suivante :

Ln(a x b) = ……………………………

3) a) À l’aide votre calculatrice, complétez le tableau suivant.

Arrondissez les résultats à 10-2 :

a 2 0.25 8 1,5 90

b 4 3 5 120 425

Ln( )

Lna - Lnb

b) Concluez en complétant la formule suivante :

…………………………… = ……………………………

a

b

16

I) Définition :

Illustrations :

II) Comment représenter une fonction ?

1) Par un tableau de valeurs :

Exemple : voir activité « performances d’un véhicule ».


L’ESSENTIEL

Une fonction mathématique (souvent notée f) est une relation entre :

- Une valeur d’ « entrée » appelée variable, ou argument, souvent notée x,

- et une valeur de « sortie » appelée image de x par la fonction f, notée f(x).

Arguments

Images des arguments

par la fonction f

Variable x

Image de la variable

x par la fonction f

Variable t –

liste des

arguments

Lise des images des

arguments par la

fonction d

17

2) Par un graphique :

3) Par une formule algébrique :

- Exemple 1 :

f : IR IR

x | f(x) = x2

Le Domaine de définition de la fonction f est l’ensemble des valeurs qui « peuvent entrer dans la

fonction ».

Le Domaine d’« arrivée » de la fonction f est l’ensemble des valeurs qui « sortent de la fonction ».

Axe des ordonnées sur lequel

on représente les images

(valeurs de « sortie ») des

arguments par la fonction d

Axe des abscisses sur lequel

on représente les arguments

(valeurs d’ « entrée ») de la

variable t

t

d(t)

Courbe représentative

de la fonction d. Dans

ce repère, cette courbe

a pour équation :

y = d(t).

t

y

Domaine de définition de la

fonction f.

Nom de la

fonction.

Domaine d’« arrivée » de la

fonction f.

Variable de

la fonction. Image de la variable x

par la fonction f.

Formule permettant de

calculer l’Image.

18

Remarques :

IR désigne l’ensemble des nombres réels.

IR se note aussi sous la forme de l’intervalle : ]-∞ ; +∞ [

- Exemple 2 :

g : IR* IR*

x | g(x) =

Remarques :

IR* désigne l’ensemble des nombres réels non nuls.

IR* se note aussi sous la forme de l’intervalle : ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞ [.

La division par 0 n’existe pas ! C’est la raison pour laquelle le nombre 0 n’appartient pas

au domaine de définition de la fonction g.

- Exemple 3 :

h : IR+ IR+

x | h(x) = √x

Remarques :

IR+ désigne l’ensemble des nombres réels positif ou nuls.

IR+ se note aussi sous la forme de l’intervalle : [0 ; +∞ [.

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas ! C’est la raison pour laquelle les

nombres réels négatifs n’appartiennent pas au domaine de définition de la fonction h.

III) Fonctions usuelles :

1) Les fonctions affines :

- Représentation graphique :

La courbe représentative d’une fonction affine est une droite qui ne passe pas par l’origine du

repère.

1 x

Droite d’équation y = ax + b

avec a > 0

Droite d’équation y = ax + b

avec a < 0

19

- Formule algébrique :

f : IR IR

x | f(x) = ax + b

Exemples :

f1 : IR IR

x | f(x) = 2x + 8

g : IR IR

x | g(x) = -x - 3

- Limites aux bornes du domaine de définition :

Le domaine de définition d’une fonction affine est : ]-∞ ; +∞[.

Si a > 0 : (la droite représentative de f est croissante – voir graphique page 3)

lim f(x) = - ∞ lim f(x) = + ∞

Si a < 0 : (la droite représentative de f est décroissante – voir graphique page 3)

lim f(x) = + ∞ lim f(x) = - ∞

a est le coefficient directeur de la

fonction f (c’est-à-dire la pente de la

droite représentative de la fonction f).

b est l’ordonnée à l’origine de

la fonction f.

Le coefficient directeur

de la fonction f1 est :

a = 2.

L’ordonnée à l’origine

de la fonction f1 est :

b = 8.

Le coefficient directeur

de la fonction g est :

a = -1.

L’ordonnée à l’origine

de la fonction g est :

b = -3.

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

20

2) Les fonctions linéaires :


La courbe représentative d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.


f : IR IR

x | f(x) = ax


Le domaine de définition d’une fonction linéaire est : ]-∞ ; +∞[.

Si a > 0 : (la droite représentative de f est croissante – voir graphique ci-dessus)

lim f(x) = - ∞ lim f(x) = + ∞

Si a < 0 : (la droite représentative de f est décroissante – voir graphique ci-dessus)

lim f(x) = + ∞ lim f(x) = - ∞

Droite d’équation y = ax

avec a > 0

Droite d’équation y = ax

avec a < 0

a est le coefficient directeur de la

fonction f (c’est-à-dire la pente de la

droite représentative de la fonction f).

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

21

3) La fonction « carrée » :


f : IR IR+

x | f(x) = x2



Le domaine de définition de la fonction « carrée » est : ]-∞ ; +∞[.

lim f(x) = + ∞ lim f(x) = + ∞

ou bien :

lim x2 = + ∞ lim x2 = + ∞

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

La courbe représentative de la fonction

« carrée » est la parabole d’équation :

y = x2.

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

22

4) La fonction « cube » :


f : IR IR

x | f(x) = x3



Le domaine de définition de la fonction « cube » est : ]-∞ ; +∞[.

lim f(x) = - ∞ lim f(x) = + ∞

ou bien :

lim x3 = - ∞ lim x3 = + ∞

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

L’équation de la courbe représentative

de la fonction « cube » est : y = x3.

x → - ∞ x → - ∞ x → + ∞

23

5) La fonction « racine carrée » :


f : IR+ IR+

x | f(x) = √x



Le domaine de définition de la fonction « racine carrée » est : [0 ; +∞[.

lim √x = 0+ lim √x = + ∞

6) La fonction « inverse » :


f : IR* IR*

x | f(x) =

-

x → 0

x > 0

x → + ∞

y = √x

1 x

24



Le domaine de définition de la fonction « inverse » est : ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[.

lim = 0- lim = - ∞

lim = + ∞ lim = 0+

On dit que :

La droite d’équation y = 0 (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe

représentative de la fonction « inverse » aux voisinages de - ∞ et de + ∞.

La droite d’équation x = 0 (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe représentative

de la fonction « inverse » aux voisinages de 0- et de 0+.

7) La fonction logarithme népérien :


Ln : IR+* IR

x | Ln x

x → 0

x > 0 x → + ∞

Hyperbole

d’équation y = 1 x

Asymptote verticale

à la courbe

représentative de f

Asymptote horizontale à

la courbe représentative

de f

Une asymptote à la courbe représentative d’une fonction est une droite que cette courbe

représentative vient « frôler » à un certain voisinage de x.

1 x x → - ∞

1 x x → 0

x < 0

1 x

1 x

quand x tend vers - ∞ et quand x tend vers + ∞.

quand x tend vers 0- et quand x tend vers 0+.

25



Le domaine de définition de la fonction Logarithme népérien est : ]0 ; +∞[.

lim Lnx = - ∞ lim Lnx = + ∞

- Formules :

y = Lnx

e

Constante d’Euler

x → 0

x > 0

x → + ∞

Conséquence graphique :

La droite d’équation x = 0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la

courbe représentative de la fonction Ln au voisinage de 0+.

quand x tend vers 0+.

Ln 1 = 0

Ln e = 1

Ln (a x b) = Ln a + Ln b

Ln ( ) = Ln a - Ln b

Ln (an) = n x Ln a

a

a b

26

8) La fonction exponentielle :


e : IR IR+*

x | ex



Le domaine de définition de la fonction Logarithme népérien est : ]- ∞ ; +∞[.

lim ex = 0+ lim Lnx = + ∞

- Formules :

e1 = e

Constante d’Euler

x → -∞ x → + ∞

Conséquence graphique :

La droite d’équation y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la

courbe représentative de la fonction e au voisinage de -∞.

quand x tend vers -∞.

Pour tout réel x : ex > 0

e1 = e

e0 = 1

eLn a = a

Ln(e a) = a

27

ea + b = ea x eb

ea - b =

ebLn a = ab

9) Fonctions polynômes :

Exemples :

f(x) = -3x5 – 12x4 + 2x3 +x2 – 4x +3

g(x) = 5x2 – 2x + 23

Courbes représentatives :

Soit la fonction polynôme f de degré n définie par :

f(x) = axn + bxn-1 + ….. + cx + d

Si n est pair (f est une fonction polynôme de degré pair) :

Si n est impair (f est une fonction polynôme de degré impair) :

Si a > 0 : Si a > 0 :

Si a < 0 : Si a < 0 :

ea eb

Fonction polynôme de degré 5 (impair)

Fonction polynôme de degré 2 (pair)

28

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

Application n°I :

Question Compétences travaillées Auto-

évaluation

1)

Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa représentation

graphique

Écrire un ensemble sous forme d’intervalle de IR

2) Déterminer une limite d’une fonction à partir de sa représentation graphique

3) Interpréter graphiquement une limite

4) Déterminer les variations d'une fonction à partir de sa courbe représentative

Soit f, une fonction dont l’allure de la courbe représentative est donnée ci-dessous :

1) À partir de ce graphique, déterminez le domaine de définition Df de la fonction f. Vous

exprimerez Df sous la forme d’un intervalle de IR.

2) Recopiez et complétez :

Lim f(x) = ……… Lim f(x) = ………

Lim f(x) = ……… Lim f(x) = ………


APPLICATIONS

x - ∞ x 3

x < 3

x 3

x > 3

x + ∞

29

3) Exprimez à l’aide d’une phrase complète ce que représente la droite d’équation x = -3 pour

la courbe représentative de f.

4) Dressez le tableau des variations de f sur son domaine de définition.

Application n°II :


évaluation

1) Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa représentation

graphique



4) Déterminer les variations d'une fonction à partir de sa courbe représentative

Soit g, une fonction dont l’allure de la courbe représentative est donnée ci-dessous :

1) Vrai ou faux ?

Si la proposition suivante est vraie, recopiez-la ; si elle est fausse, recopiez- la en la corrigeant :

« le domaine de définition de de la fonction g est : Dg = ]-∞ ; 2[ U ]2 ; +∞[. »

2) Recopiez et complétez :

Lim g(x) = 2- Lim g(x) = + ∞

Lim g(x) = - ∞ Lim g(x) = 2+

…..…. …..….

…..…. …..….

30

3) On donne l’information suivante : lim g(x) = 2-.

Donnez une interprétation graphique de cette information.

4) Dressez le tableau des variations de g sur son domaine de définition.

Application n°III :


évaluation

1) Tracer à main levée une allure d’une courbe représentative

2)


graphique




Ci-dessous, on donne le tableau des variations de la fonction h :

x -∞ -1 1 4 +∞

Variations de h :

1) Tracez à main levée une allure de la courbe représentative de la fonction h.

2) Donnez, sous forme d’intervalle de IR, le domaine de définition Dh de la fonction h.

3) Donnez les limites de la fonction h aux bornes de son domaine de définition.

4) Donnez les équations des asymptotes à la courbe représentative de la fonction h.

x - ∞

2

1

+∞

-∞

+∞

1

+∞

31

Application n°IV :


évaluation

1) Tracer à main levée une allure d’une courbe représentative

2)


graphique




5) Déterminer les extrema d'une fonction à partir de sa courbe représentative

Ci-dessous, on donne le tableau des variations de la fonction f :

x -∞ -3 -1 2 +∞

Variations de f :

4

0

1

1) Tracez à main levée une allure de la courbe représentative de la fonction f.

2) Donnez, sous forme d’intervalle de IR, le domaine de définition Df de la fonction f.

3) Donnez les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition.

4) Donnez les équations des asymptotes à la courbe représentative de la fonction f.

5) Donnez les extrema de la fonction f.

Application n°V :

Compétences travaillées Auto-évaluation

Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa forme algébrique

Résoudre une équation du premier degré


Soit la fonction f définie par : f(x) =

Déterminez, sous la forme d’un intervalle de IR, le domaine de définition de la fonction f.

x - 4

(x + 3)(x – 1)

- ∞

+ ∞

- ∞

32

Application n°VI :



Résoudre une inéquation du premier degré


Soit la fonction h définie par : h(t) = √3t – 1

Déterminez, sous la forme d’un intervalle de IR, le domaine de définition de la fonction h.

Application n°VII :



Résoudre une équation du second degré


Soit la fonction g définie par : g(x) =

Déterminez, sous la forme d’un intervalle de IR, le domaine de définition de la fonction g.

2x + 4

x2 – 3x - 4

33

EXERCICE n°I :

Compétences évaluées

Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa représentation graphique


Déterminer une limite d’une fonction à partir de sa représentation graphique

Interpréter graphiquement une limite

Déterminer les variations d'une fonction à partir de sa courbe représentative

Sur le graphique ci-dessous sont données la courbe représentative d’une fonction f ainsi que deux

droites d1 et d2 :

1) Exprimez sous la forme d’un intervalle de IR le domaine de définition Df de la fonction f.

2) Recopiez et complétez les propositions suivantes :

lim f(x) = ……… lim f(x) = ……… lim f(x) = ………

lim f(x) = ……… lim f(x) = ……… lim f(x) = ………

3) Interprétez graphiquement les droites : d1, d2 et la droite d’équation y = 0 (axe des abscisses).

4) Recopiez et complétez le tableau des variations de f suivant :

ÉVALUATION

x - ∞ x - ∞ x - 2

x < - 2

x - 2

x > - 2

x 1

x < 1

x 1

x > 1

x + ∞

34

Valeurs de x : - ∞ …… …… - ∞

Variations de f :

EXERCICE n° II :



Résoudre une équation du second degré


Soit la fonction g définie par : g(x) =

Déterminez et donnez sous la forme d’un intervalle de IR le domaine de définition Dg de la fonction

g.

EXERCICE n° III :



Résoudre une inéquation du premier degré


Soit la fonction f définie par : f(t) = √(-2t + 18)

Déterminez et donnez sous la forme d’un intervalle de IR le domaine de définition Df de la fonction

f.

x2 – 3x – 4

4x - 1

35

NOM : …………………………………….

Prénom :………………………………………...

EXERCICE n°IV :

Compétence évaluée

Connaître les allures des courbes représentatives des fonctions usuelles

Lorsque c’est possible, reliez chaque fonction (à gauche) à son allure de courbe représentative (à

droite) :

La fonction « carrée » :

x → x2

◦ ◦

Une fonction affine de coefficient

directeur positif ◦ ◦

Une fonction polynôme de degré impair

à coefficient de plus haut degré négatif

◦

◦

La fonction Logarithme népérien :

x → Ln x

◦

◦

La fonction exponentielle :

x → e x

◦

◦

La fonction « racine carrée » :

x → √x

◦

◦

La fonction « inverse » :

x → 1 / x

◦

◦

La fonction « cube » :

x → x3

◦

◦

36

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

BOÎTE À OUTILS

Cette boîte à outils mathématiques a pour objectif de vous

permettre de revoir ou d’approfondir certaines « techniques »

indispensables à la poursuite de votre formation en B.T.S..

Tout au long de votre formation, cette « boîte à outils

mathématiques » s’enrichira de différentes fiches « outils ».

Il vous appartient de classer soigneusement ces fiches

« outils » dans cette « boîte à outils », de les travailler très

sérieusement et régulièrement, et de renseigner

scrupuleusement la rubrique « contenu de ma boîte à outils »

afin d’en gérer au mieux l’organisation.

37

Contenu de ma boîte à outils :

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

□ Outil « ……………………………………………………..………………. »

38

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

Une équation du 2nd degré est une équation d’inconnue x de la forme :

ax2 + bx + c = 0

où a, b et c sont trois nombres réels.

Algébriquement : Géométriquement :

Soit la fonction f, la fonction polynôme de degré pair définie par :

f(x) = ax2 + bx + c

La courbe représentative Cf de la fonction f est une parabole, par exemple :

Résoudre l’équation : ax2 + bx + c = 0,

c’est

résoudre l’équation : f(x) = 0

Résoudre l’équation : ax2 + bx + c = 0,

c’est

déterminer la (les) abscisse(s) x du (des) points

d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des

abscisses.

Pour résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0 :

Étape 1 : calculer le discriminant Δ

Δ = b2 – 4ac

Étape 2 : conclure et calculer la (les) solutions

de l’équation en fonction du signe de Δ :

- Si Δ > 0 :

L’équation admet deux solutions réelles x1 et x2 :

x1 = et x2 =

Donc : S = { x1 ; x2}

- Si Δ > 0 : la courbe Cf admet deux points

d’intersection d’abscisses x1 et x2 avec l’axe des

abscisses :

BOÎTE À OUTILS

OUTIL

Résoudre dans IR une équation du 2nd degré

Cf

- b - √Δ 2a

- b + √Δ 2a

Cf

0 x

y

x1 x2

39

Algébriquement : Géométriquement :

- Si Δ = 0 :

L’équation admet une solution réelle double x1 et

x2 :

x1 = x2 =

Donc : S = { x1 = x2}

- Si Δ = 0 : la courbe Cf admet un point

d’intersection d’abscisse x1 = x2 avec l’axe des

abscisses :

- Si Δ < 0 :

L’équation n’admet pas de solution réelle.

Donc : S = ø

- Si Δ < 0 : la courbe Cf n’admet aucun point

d’intersection avec l’axe des abscisses.

À vous de jouer …

Résolvez les équations suivantes dans IR :

1) – x2 + 6x – 10 = 0

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

- b 2a

Cf

0 x

y

x1 = x2

0

y

x

Réponse : Δ

< 0

; L’é

quatio

n n

’adm

et p

as d

e s

olu

tion ré

elle

: S =

ø

40

2) x2 + 4x = 21

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

3) 9x2 + 1 = - 6x

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

Réponse : Δ

= 1

00 ; L

’équatio

n a

dm

et d

eux s

olu

tions ré

elle

s : S

= {-7

; 3}

Réponse

: Δ =

0 ; L

’équatio

n a

dm

et u

ne

solu

tion ré

elle

: S =

{-1/3

}

41

NOM : ………………………………………………………..……... B.T.S. M.V.

Prénom : ……………………………………………..……………..

Date : ……………………………………………..…………………

Souvenirs…

Exemples :

1) Résolvons l’inéquation : 3x – 4 > -5x + 10

3x – 4 > - 5x + 10

3x + 5x > 10 + 4

8x > 14

x > .

x > .

Donc, l’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S = ] ; + ∞ [

BOÎTE À OUTILS

OUTIL

Résoudre une inéquation du 1er degré

Une inéquation est une inégalité (avec <,>, ≤ ou ≥) dans

laquelle une des valeurs a été remplacée par une lettre. Cette

lettre (souvent x) est appelée l’inconnue de l’inéquation.

Une inéquation du 1er degré est une inéquation dans laquelle

l’inconnue apparaît une ou plusieurs fois, mais toujours au degré

1 (il n’y pas de x2 ou de x3…).

Résoudre une inéquation, c’est déterminer les valeurs de

l’inconnue pour lesquelles l’inégalité est juste, vérifiée.

En général, une inéquation a une infinité de solutions. On écrit

alors l’ensemble des solutions d’une inéquation sous la forme

d’un intervalle de IR.

14

8 7

4

7

4

42

2) Résolvons l’inéquation : -3x – 6 ≤ 4x + 8

-3x - 4x ≤ 8 + 6

-7x ≤ 14

x ≥ .

x ≥ - 2

Donc, l’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S = [ - 2; + ∞ [

À vous de jouer …

Résolvez les inéquations suivantes dans IR :

4) 6x - 3 ≥ -8x + 4 4) 2x – 3 + x – 5 < 4 - x

5) 2(x + 1) < 3(x - 2) 5) -5x + 8 < 3(2 – x)

6) t - 3 > - t - 2

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………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

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………………………………………………………………………………………………….

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………………………………………………………………………………………………….

Réponses : 1

) S =

[1/2

; + ∞

[ ; 2) S

= ]8

; + ∞

[ ; 3) S

= ]1

/2 ; +

∞[ ; 4

) S =

[- ∞ ; 3

[ ; 5) S

= [1

; + ∞

[

14

-7

ATTENTION !

En « passant à droite », « x (-7) »

devient « : (-7) » et, parce que -7 est

négatif, le sens de l’inégalité est inversé

(« ≤ » devient « ≥ »)

43

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Documents

MATHEMATIQUES en B.T.S. Maintenance des Véhicules (options V.P. et V.T.R.) - Académie de …pedagogie.ac-limoges.fr/maths/IMG/pdf/exemple_de_sequence_integrant... · 5 t-il mis