275

Mathematics of the Rubik's cube

  • Upload
    others

  • View
    34

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Mathematics of the Rubik's cube

���������� � ��� � ���� � ��

��������� ������ � � �����

����� �������� ������

Page 2: Mathematics of the Rubik's cube

��� � ��� � �� �� �������� ���� ���� � ����������� ��������� �� � ���� ����� ������ � ������������ �������� � �������� �� ������� ������� � ���� ���� ����� �� �� ����� ���� �� �� ��� ������ � ���� ����� ��� ����� � ���� �������� ������ ����� �� ������ ������� �� �������� ��������� �������� �� ���������� � ������� �� ����� �� � ��� ������ ��� ������ �

���� ��� ������� ����� ������ ��� ����

!�� ���� ������������ "������ ��� ��� #��� �� � �� ���� ������� ������$%&� $'& �� ��� ��� �� � ��

����������������� ���������������������

Page 3: Mathematics of the Rubik's cube

�(���� ��� ���� ��� � ����� ������ ����� "���)��� � ����� ����� �� ��� �� ��������� �� ��� ������� ��� ����� ��"���� (��� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ������� �� ��)�� � ��*� ���� �� )�� ������� ������ �� ���� ���� �� ��� ���� ������ ���� ������ � ��� ��� ������ � �� ��� �� ����� �

������ �� �!"#+!��� , - .������� /,/, .-%%0123,4� 5��� .�����

14� �6778

Page 4: Mathematics of the Rubik's cube

9

Page 5: Mathematics of the Rubik's cube

��������

� ���������� ��

� �� ��� ���� ��

� � :� �� ��� � � -;������ � ������� ������ ������������ �7

� � '��� �<

� �������� ������� �������� ��� ����� ��

� � !������ ��� � !������ � ������� �7

� � � .������ �7� � � �� � �������� �=� � � %����; �������������� ������� �=� � 9 %����������� � ������� �6

� � 5������� �6� 9 >���� ��

� ����������� ��� � 0������ �=� � >���� ������ 9�� � , �� ������ �� ���� ��� ��� ����������� 9=

� ���������� ������� ��

9 � �? ��@@�� ?99 � A����*� ������� +�� .� ���� �� �8 ?<9 � -"����� ��@@�� ?=9 9 5����� %��������� 7�9 ? 5���)*� ����� 77

?

Page 6: Mathematics of the Rubik's cube

7 ��������

9 ? � �� � 5���)*� ���� 779 ? � �� � 5���)*� ���� 769 ? � 9� 9 5���)*� ���� <�9 ? 9 �� � 5���)*� ���� <?

9 7 ')��� <?9 < /�����; <=9 = %� ���; =�9 6 B���� ���������� ��@@��� =?

� ������� � ��? � (�� ��������� ���� ==? � 2����� �#����� =6

? � � (�� 2��� ��� 69? � '�� ����� 67? 9 -;������ �� ����� 6<

? 9 � (�� ������ ���� 6=? 9 � -;�����C (�� ��� �"����� ���� 66

? ? >���������� ���? 7 >�D� ���� ���? < B����� � ������ ��?? = >����� ���? 6 A����*� ,� ������ ���? �� /���������� � �������� � ��9

� ���� � ��� !���"� �� ��� �! ��#7 � >����� ����� ���7 � 2�*� �� ������ ���

7 � � (�� 0����� ��� ��?7 � (�� ���� �� ��� �? ��@@�� ��7

7 � � 2����� �#����� ��<7 9 5����)� � ������������ 1/E����������� ���

� $%�����% ����� �& � � ������ ����� ���

< � A���������� ��?< � ���) ��� � ���������� � �E����� ��<< � '��������� �� ��� ��������� �9�< 9 '��������� �� ��� ���� �9�< ? '��������� �� ��� �������� �9�

Page 7: Mathematics of the Rubik's cube

�������� <

< 7 ,����;C '��������� �� ��� ��������� � �� �9?

� ������� �� ��#= � .������������ �96= � .������������ ����� ���� ���� ������ �?�= � -;������ �� ������������ �?�

= � � >�D� ���� � �� �??= � � ,���C ,������������ �� �� �?7

= 9 F����� � ����� ��� ����� �?<= ? G������ ��� ����� �?6= 7 A����� ������� �7�= < -;������ �7�

= < � (�� ������ � H��� �� ��� 5���)*� ���� �7�= < � (�� ����� ���� �� ��� 5���)*� ���� �7�

= = '���E����� ������� �7== 6 3����� ������� �<�

= 6 � ,��������� �� ���� �� ������� � �� �� �� �<9

# ' � (�)*"� �)� ��� � � +��� ���)��� ���6 � ���) ��� � ���� ����� �<?

6 � � :� �� �<76 � � (���� �<<

6 � (�� ��� ������� �<=6 � 2��������� ��������� � /������ ������ �<66 9 2��������� �������� ��� ����� �� ���� � �7 �=�6 ? (�� ���������� ������� �=?

6 ? � , ���������� ��� ��� ������ �=7

6 ? � /���� �=6

�� ' � �� � (�)*"� �)� ���� �#��� � %����������� ��������� �� ��� �� � ���� ����� �6�

�� � � 1������ �6��� � � >���� ���������� �69�� � � - � ���������� �67�� � 9 (�� ����E����� ������ �6<

�� � '��� �������� ������� �� ���� ������ �6<�� � � '��� ����"����� ���

�� � (�� ������ � ���� �� ��� �"���� � ��@@�� ���

Page 8: Mathematics of the Rubik's cube

= ��������

�� � � (�� ��� ������ ��9

�� � � /���� �� ��� ������� ��7

�� ,� �� (�)*-�*� ������ ����� ��#

�� � B ��� ���� ��������� �� ��� �)��� ��6

�� � %����������� ��������� �� ��� �� � ���� ����� ���

�� � B ��� ���� ��������� �� ��� ������; ��7

�� � � B��������� ��<

�� � � >���� ������ ���

�� � � (�� ���� ��������� ���

�� 9 , ������ �������� ���

�� 9 � 2����� �����)� ���

�� 9 � /����� ������� ���

�� ��������� ��) ����� �& � � �)� ���� ���

�� � (�� �"����� ��� ���� ��7

�� � ���+����8 � ��� ����� �� ��� ���� ��=

�� � � !���� #��� ��=

�� � � %I����� ������������� ���

�� � � (�� ��� ����������� ��?

�� � 9 (�� ������ ��7

�� � ? /���� �� ��� ���� ������� ��7

�� � (�� ����� ����� ��=

�� � � ���+����8 � ������ ��� ���� ��6

�� � � F���*� 9E ���� � ������ ��� ������; �9�

�� .����� � � (�)�� ���

�� � A�� ��� %� �� ���J� �99

�� � ���) ��� � ���� �99

�� � 2�����* ���� ���� �97

�� 9 (�� ��� ������� �9<

�� ? >�� ��� 2���� ��� �9=

�� 7 ��� �� ������ ��� ������ �?�

�� < , ����C , ���� �� ���� ����� �?�

�� < � .����� �������� �?�

�� < � ?E����������� �?�

Page 9: Mathematics of the Rubik's cube

�������� 6

�� /�����01 $��� ������� ������ �� ����9 � (�� ��� ���� ����� �??

�9 � � -;�����C ��� �����E� � ����� �?7�9 � � -;�����C (�������������*� ����� �?<

�9 � �� � 5���)*� ���� �?=�9 � � '����� � ��� ����� ��� ���� �?=�9 � � >����� �� �� � 5���)*� ����������� ����� �?6

�9 � 9� 9 5���)*� ���� �?6�9 9 5����� ���������� �7�

�9 9 � , ������ �� ������ ����� �7��9 ? -"����� ��@@�� �7��9 7 (�� �)��� �77

�9 7 � '����� � �77�9 7 � , ������ �� �)��� ����� �77

�9 < (�� ������; �7<�9 = (�� �� ���; �7=

�9 = � >����� �� ����� �76

Page 10: Mathematics of the Rubik's cube

�� ��������

Page 11: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

���� ������

�(�� ����� � �� ���� ����������� �� � #�� � ����� ��*������� �� �� ���� ���� ������� � �� �� �������� �� ��������� � ����)� �� ��� ����� 0� �� � #�� ����� ��� ���� ���������� ���� ������ ��� �K��� ���� ��� ������ � ���� �� �� �����*� ���� ������ ���� ���� � �� ��*� ����� �

���$��� � ����

�%&'����()* +) ��� ����� ,�� )�-��

2����� ������� �������� 1� ����� �� ���� ���� ����� ��� � ������� �� �������� � �E � �E�������� �������� # ���� '��������� ���� ������ ���� � )�� ���� � ��� ���� �� ��������� ������ �����E���� �������� �������� ��� ������� �������� � +��� �? �� �����8� � ���5���)* � ����� �� ��� D��� � ���

(��� �� � ���) ����� ������ ����� ���� ������ �� ����� �� ��������� ����� (� ���������� ��� 2���� ������������ A��� .������� ������ �� �� ���� ������ �� �� ���) � �� �;����� �� ���� ���� (��5���)*� ���� ���� �� ��� �;����� 3� �������� ��� ���� �� ����� �������� � ����E����������� ���� �� 5���)*� ����E��)� ��@@��� ,����� ����� ������� ������ ��� ��� ������� +��� ��� �? ��@@��� ��� 5���)*� ���� E��� ����� � 9�9�9 �������� ��� �5���) ���������� �� ������;� ����5���) ��������� �� �� ���;� ��� �)���� �"���� �� ��� ������������ ��� �"����� ��@@��8� ����� ��� ����� ���� ���������� ��� ���� ��������)� � ��� ���D��� 3� �� �� � ������� ������ � ������ �� � ���������

��

Page 12: Mathematics of the Rubik's cube

�� ����� �� ������� ��

�L���� �� ������ ��� ��������� �� ������ � ��� ��������� ���� �������

(�� �������� ���� �� �K���� ��� ���� ����� ���� ������ �����������+���� �� 5���� $5&8 � ����

+�8 �� �������@� ��@@��E������ ���� ����������� �;������ ���� ������������

+�8 �� ������ ���� �� ��� ����� ����� �� ������������ +�� � $��&8� �

+�8 �� ���� �� )��� ��� ����� �� ��� �� �������� ��� �� �� �� ��������+���� � ��� ��� ����� �� D� � �� ��*�� )��� �� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� ��� ��� �� M8

(�� ���� �� ���� �� ������� ��� � �� �� ��� �� ��� �;������� ���������� ��� ����� ���� ���� �� ����� ����� ��� ����� �� �� ��� ������� � ����� ����� ������� +������ ��� ������ ����� ��� 5���)*� ����� ������� ���� ���� ����M8 ,�� ��� ���� �� ����� ���� �;���� ��� ����� �� ���� ����� ��� +��� 2��� ���8 ����� ������ ���� ���� ������ E � �������� ������ ���� � ���� �� � ���� ����� ����� ���� � ��� '�� ���� ��������H�� ��� ������� � �9 ? � +������ �� ���E���� ���� �� . 3 :�����8 � 3 .������*� 0����� ��� � �7 � � (��� �� �������� �� ����� ��� ����������� ��;�� ����� ������ � �;������ �� ��� ����C N/��� � ���M�

-;������� ��� ���� ���� � ���� �� )��� �� � ���� ����� ������ �������� �� #��� ��� ����� �� ��� ��������� �������� �� ���� ������� +����9 ? � � ��� �8 � �� ��������� ��� ������ ����� ������ +�8 �� ���������� ��� ����� ��� ��� �� +�8 ���� ���� ����E����������� ���) ��� %�������� ���� �� �� �� ���� ����������� ��� ������� ���� ���� ���) ���

,�)���� �����C %�� �� ��� ����� ��� ����� ���� ������ ������� ���� �� %,/:- '��� �� ��� ����E����������� ����������� +���� ����� ���� �� � ���� ������8 ���� ������� ���� ��� ���� �� 2,/ (������������� ���� ������ ���� � �� ���� 0 ���������� ���) �� ������������ 2� 2����� , :����� O�� %�'���� O���� %��� ��� � '�����5����� ��� ����� ���� � ������������ � ���� �� ��� ������ 0* ���� ��)��� ���) ,� '������ ��� ����������� � ���� �� ��� ���������� ��������$O'& ����� ������� � ������� �9 � A��� '������ ��� ��� �� ���� ��6 < ����� � ���������� �� ������ ������� �� �����

Page 13: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

����� �� ����

�0� �� �� �� ��� �� ��� �� ��� ������������� �� �� �� ��������� �� ���� ��� ���� �������� ������ ��� ���� ���� ������ �� ������� �

,�.�� �� /0��� 1����� �1 ���� 2�0� ,+�� +,�� +���� )�

+#� 3�45

�(�� ����� �� �� �� ��� �� ����������� ���� ����� �� ������������ �� ������������ �

6�����. �����//+)������+ ,�� �(�� ,�� ����� ���,)�� 3�37�

�83

(��� ������� ���� ������ ���� ���) ��� �� ��)� ���� �� ��� �����E��� � � ������ ������� ����� � ������ ������� 0� �� �� ���� �� ��� �� ����� ��������� �� ������������ �� ��

��� �����

, �������� �� � �� ���� �������� ����� �� ������ ���� �� ����� +B� ������ �������� ���� ���� ������� �������� *�#����* �� � �������� 8 '����������� ����� �� ������� �� � �������� �� ����� ��� ������ ����� B� �� ���E��� ������� ��������� ��� � �� �� �������� ��� ��� ��������� *�*�*��*� � *�������* (�� ������ ����� �� � �������� �� ��� � ��� ���*� ����* 3� ����� ���� ��� *�� � ��� ��* � *�;������� ��* ��� ����� ��

��

Page 14: Mathematics of the Rubik's cube

�9 ����� �� ��� � ��� ����

�� �#� � ����� �� � ���� � � ��� ����� ����� ��������� +�� �� ��8

20���� �3�3� �� �� �9 �� ����� "��.�� �:����� �� �. �� � ���� �1�� �� �� �. �9

4������C :�� � � " �� ���������

�������� ������ �������� �

� � " � � " ���D������� �� " � � " ���D������

� ������� " � � " ����������� ��� � �� �� �����

� �� � ��� �� " � �� " ��� � ��� ��������� � �� " +�� ����8 � �� " ��;������� ���

(���� ������C 2��� ��� ������ ������ �� �� �� �� �� ������� ��������� �� � � �� � � �� �� �� � �� �� �� � � ��� ��� ����� ������C

� " � � "

( ( (( ! !! ( !! ! !

� " � � "

( ( (( ! (! ( (! ! !

� " � � "

( ( (( ! !! ( (! ! (

� " � �� "

( ( (( ! !! ( !! ! (

� " � �� "

( ( !( ! (! ( (! ! !

� � �

( !! (

Page 15: Mathematics of the Rubik's cube

���� ��� � �?

20���� �3�3� ;+9 (�.���< ����� �� "� 2� �1 ��� 1�//�" �! �������� � ����9

� �:2�/# ��� �1 ����� �������� � 1/��9

� �:2�/# �"� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# ����� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# 1��� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# =�� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# � : �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# ����� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# � !�� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# � �� �1 ����� �������� �� 1/��9

� �:2�/# ��� �1 ����� �������� �� 1/��9

5�6���� � �� 6 $� ��� ��� �� � " �� ��� �"� ����� ��� .. � �� ;><�. �/� � 2� �� ;?< .�=��. $# ��� 1�//�" �! �$/��

� @ � > @

3 3 53 5 35 3 35 5 5

� @ � ? @

3 3 33 5 55 3 55 5 5

;���� ��" ����� 2 ��� ����� �$/�� �1 A�:2/�� �� ��A +��8 �. A�.A+�89< �� 2// 6 ��� 6��/�� /!�$�9

20���� �3�3� -�� ����� �$/�� �� ��� 1# ��+��!�A� /"�*;< � � +� � �8 �� +� � �8 � +� � �8 �;$< � � +� � �8 �� +� � �8 � +� � �8��. ��� /"� �1 ��!� ��*;2< � +� � �8 �� +� �8 � +� �8 �;.< � +� � �8 �� +� �8 � +� �89

;)�� # "�� �� .� ;<� ;2<� ;.< =���� ���� .�.�2� ;$< 1�� �����9<

Page 16: Mathematics of the Rubik's cube

�7 ����� �� ��� � ��� ����

5�6���� � , /�! 2/ �!���� � ��@���2� �1 �������� ;2//�. �#��������<��� ��� ���� ��� "� 2� �/# ������� � ;2//�. ��� 2��2/�� ��<9

0 ����� ����� � �� ���� �� ���� �� � ���� �������� �� ��� ����

+�� � �� � ��� � ��8� ��

20���� �3�3� -�� ����� �$/�� �� ��� 1# ��� /�! 2/ �!����

++�� �8 � +� � �88� +�� �8�

5�6���� � BC�� //B� "� ���� �� � ��� �� ����/ @��� =��9 B����� �: ���B�"� ���� �� � ��� �: ����� / @��� =��9

, �� $/� � /����� .���� �! ��� ;���� $/# ��D��"�< �$E�2�9 , 2������ � /����� .���� �! ��� ���2 =2� "�//&.�=��. �$E�2�9 , ��� � �� $/� ��2������9

, ���. 2�� � 1��2� ��

� C ����� ���� � �� ��������

20����� � B�F# ��2DB � 2������9 B �. �F# ��2D �� 2�����2��2����B � ���. 2�� ���/� �! �� $/� �. 2������9

����� �������� � � ������ ������ �����������

3�� ������ � ���� �� ��� 5���)*� ����� �� ����� �� ������ �� �� ��E���� ���� P������� ���������P ��� ���������� ���� � ���� �� ������������������� ������� :��*� ���������� ���� ���� � �;�����

20����� � ���� .�� ��� ������� 0�2� ���.��� � �� � 2/�� � ���&� 2� E��09 ��

�+8 � �� � ����������� ��D��� �+8 � �� � ����� � ���� ������

��� �#$�/ 2 1�� ��� �+8��+8�

20���� �3�3� ������� 0������ � �� � 2/�� / D�� ��� ��$ DA� 2�$�0 ���#$�/ 2 1��9

Page 17: Mathematics of the Rubik's cube

���� ���� �<

20���� �3�3� ;+9 (�.��� G(�HI< '��1����� �� ��� '��1����� 6��"� �.'��1����� 6/2D "��� /��2� �! ��!�����9 0���A� � ���D$/�0� � . ��� /.#�0��� ��� ��� �� �� ��� 6/2D� �. 6��"� �. ��� �1 �� �� $/2D � ����� �� $��"� � �� �. ��� �� "� �� � �90

0�� � �.��.0� ��"���. ��� ��� " �� ��� $/2D � � � '��1����� 6/2D$ � ��� � � ��." 2�� 0�. ��� #�� ��� 2�. ��� ��� ��� �� � � 2�/�� ���2� ��� ��J0

��� /.#A� � � � ��� $��"�9 ��� � ��� 2�/�� �1 '��1����� 6/2DA� � �J

"� �� $��"� $/2D /.#�� ��6��"�6/2D/.# �

��� ��

, ��� �� � *����E�#�* ��������� �� ��D���� (�� ��D���� � � ��� ��� ���������� �� ��� ���

(���� ��� ��� ����� ���� �� ������� � ���C+�8 ���� ��� ��� ������� +�� ��� ��� �� #���� � � �� �� �8�+�8 ������� ��� ��� ��� ���������� �� ��� ������� +� � ��� ��� �� ���

��� ��� ��� �� �� ������� �� � � � � ��� ��� � ����� �8

(����* � �� ��� $� / ��/� 2��1�/ "��� .��2� $ �! ���� �� �! ������� ��� �2� ��� B��/1&��1����� /B ������� �� /�. �� 2����. � ���* /��

� � !� �

�� ����� "��.�� 1�� // � � �� !� 9 �� ��� 2�/�� 1 "� �D� � ���� �� � $�2���

� �� !� �� �$� ��� 2����. � ��9 ��� ���$/� � ��� � ��� 0"�//&.�=��.0 ; � �������� ��� � .��� ��� �� �1# ��� ���&������� 2 : �� "� 2� "� " // �D � ����<9

(�� ����� ��� �� ��� ��� ������ � �������� ���� � 4������C :�� � � " �� ���� ,����� ���� � � #

Page 18: Mathematics of the Rubik's cube

�= ����� �� ��� � ��� ����

�������� ������ �������� �

��� �� ������� � � � " � � " ������������� �� ������� � � �� " � � " ���

��� �� ������� � � �� " +�� ����8 �Q" ��������� �K�������� �� ������� �� � � �� ���������� �� � ������ �� " � � " ������

20���� �3�3� -�� ���� . !�� �� ��� 1# ��� ��+��!� /"�*;< � � +" � $8 � +� � " 8 � +� � $8 �;$< � � +" � $8 � +� � " 8 � +� � $8 ��. ��� /"� �1 ��!� ��*;2< +� � " 8� � �� � " ��;.< +� � " 8� � �� � " �9

5�6���� � �� 2// �"� ���� �� " . �E� �� 1 ���# ��� �� �/����� � 2�&��� 9�9� 1

� � " � ���1

� � ��������

"���� ��� ��� ��� ���� �� �� � �" �� . �E� �� ���� ���� "� 2// �� � �� �� ��� � �� �1 �9

20����� � �1

� � �� �� � ������� �� �� ��� � ��� ��� ����

�� � ���������� �� �� ��� � � ��� ����

���� � � �� � �� � ��� � �� �1 ��� ���!��� ��� ��� ��� �1 ���� �. �..����9

�� 7��� � ���% ����� �C O��� �� �� �� ��� ��������� �� ���� ����������� ���� �� ���������� ����� ��� ���� ��� ���� �� ���� �� �������� �� ��� ��� *����������* +��� ���� �� *�*8� *���* +��� ���� �� *��*8� � *���������* +��� ���� �� *� ����*8 (�� ���� �� *�������*�� *������*

Page 19: Mathematics of the Rubik's cube

���� ���� �6

��� ������ �� ������ ���������

��� ������������ �

������ ���������������� �K����� �;������� ��

�"��� �� � ��� ��R� �� ���� ����� ������

!�� ���� � �� �� �� ��� ������� ��� ��� �;����� $>& �� $'�&

Page 20: Mathematics of the Rubik's cube

�� ����� �� ��� � ��� ����

Page 21: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

���������� �������� ��������

�� ��������

�0 ���) ����������� �� � ���� ��������� (�� ����)���� ������������� ��� ��� ����)���� �� ������������ ������@���� (������� ������ ���D���� ���� ������ ���� ����� � ����� �� ����� (�� ����� �� � ���� �� ��������� ��������� � ����� #��� 4�� �� �� � ���� ����� � ������ ������� �� ��� �� �� ������������ �� �� ���������� �������� ������� �� �� D��� � ������� �� ��������� �

� // '9 ��������+��� +,���+,���, '��' �� �)� 3��5� �KKH

�>���� ������ ��� ������� �� � �� � '�����

(��� ������� ���� ������� ���� ���"����� ��� �����

��� ��������

:�� � � " �� #��� ����

5�6���� � * , 1��2� �� � 1�� � �� " � ��/� "� 2� ���2 ��� �� �2��/���� � � � �:2�/# ��� �/���� � � " 9 �� " // ��� ��� 1�//�" �! ���� ���

��

Page 22: Mathematics of the Rubik's cube

������� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

1�� �� �*� C � " +�� �� � ������ ���� ' �� (�8�� C � �� � +�� ��� � � ' �� � � (�8�� � � +�8 +�� �� ��� ��� � �� � ��� ��8�

, ������ �� ���� ����� � ���� ����� � �� ������������ 3� ���� ���� ���� �� � � " ��� �� � �� � � � ��� ���

� +�8 � �+�8 � " � � � ���� ��� � �� � (�� R� �� ��� ������ ���� ����� ��+��� !� � �8C

!� ��� � �C R� �� ��� �� � C � "

(�� >������� ������ �� ��� ���� �� " �� ��� ��� �� ����� �� ���������)� ���� ����� ����C

� � " � +�� �8 � � � �� � � "�20����� # �1 � .������ ��� ��� �1 // ��/ ��$��� ���� ��� ����� � ���.&�2� � � � � � �/# ��� �/�� �1 � �� �1 ��/ ��$��� "� �� // 1 / �" ��9

+��� !����//#� "� # ����� �� � ���2��� �. �D� ��� ����� � ���.�2���� ��� �1 ��/ ��$��� " �� ���/1 � � �� ;"���� � � � � �# ���!��< ��

Page 23: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� ��� ��

!�� � � ��� � � ;� � ��<9 �� � �&1�/. ����� � ���.�2� � .�����. ���2����� ���/# $# ��9 ,� �/���� �1 ��� ��� �� " // $� 2//�. ��2��� �� ��&��2��� �� $� ���2 =29

(�� ���� �� � ������ � C � " �� ��� ������

+�� �+�8 � � � � � � � "�0� �� �� �������� ��� ����� ������ �� � � " ��� ���� �� ���� ������

���� � �� " (�� ������� ���� ������#�� �;����� ����� ������� �� ��" ������� �� ��� ���� �� � ������ ���� � �� "

����� �� * �� # � � � " 9 # � ��� !��� �1 1��2� �� 1�� � �� " 1�. ��/# 1� 1�� // +��� ��8 � # �. +��� ��8 � #� "������� �� �� �� "� /����� �� �� ��9

20���� �3�3� ��� 1# �� �9 ;� ��* ��

��� C � � " �+�� �8 �� �

$� ���E�2� �� ���� ��� 3�� 2�������9 ��2// ��� ��� !��� �1 1��2� �� ����� �������# ��� ����� +�8 � /"#� � �!/����9<

5�6���� �� �1 ��� !� �1 ��� 1��2� �� � C � " � // �1 " � 9�9� 1�+�8 � " � ���� "� 2// � ���E�2� �� ;�� 0����0� �� 0 � ���E�2� ��0<9

-"���������� � ������ � ���� ' �� ( �� ���D������ �� ���� � � ( �� ������ � �� ���� � � ' ��� � B����������� ��� ��� ��� ������� ������������� ��� ���D������ �������C

� C � � " +� ����� � ���D�������� ��� "�8�

20���� �3�3� ���� !����/ ��/� "� 2� .���� ��� ����� ��$���� # �1��" "� 2� �� ��� !��� �1 ��� ���E�2� �� 1��2� �� 1�� � �� " 9 ;-�� ������E�2� �� ���� ��� ��2��. 2��������

��� C � � " "+�� �8 � �

� #��� ��/�9<

Page 24: Mathematics of the Rubik's cube

�9����� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

8������C '������ ���� ��� � �" � 0� ����� � ���%����&� ������ � C� " S -;����

5�6���� �� * , 1��2� �� � C � " � 2//�. �E�2� �� ;�� 0���&��&���0�� 0� �E�2� ��0< 1 �2� �/���� � $�/��! �! �� ��� !� �+�8 � ��� !��1 �:2�/# ��� � � �9

0 ����� ����� � �� � �D����� �� ��� ������ �+��8 � �+��8 +��� ������� �� � �8 ������ ������ �� � �� '�������� ��� ����) ������ ������ ����� �� ���� � �D������ ������

� C � ' "�

8������C '������ ���� ��� � �" � 0� ����� � �D������ ������ � C � " S -;����

20���� �3�3� ������� ��� ��� � �" �9 ���" ��� 1��2� �� � C � " ����E�2� �� 1 �. ��/# 1 � � �E�2� ��9

5�6���� �� , 1��2� �� � C � " � 2//�. $ E�2� �� 1 � � $��� �E�2� ���. ���E�2� ��9

-"���������� � ��D����� ���� ' �� ( �� � ������ ��� ����� ���� � � (�� ��� ��� � �� �;����� �� � � '

20���� �3�3� ( �� � /!�� �� 1�� .���� � �! 1 ! ��� =� �� ��$��� #�1 � � " � ��� !��� �1 $ E�2� �� 1�� � �� " 9

5�6���� �� , ��� � � 2//�. 2����$/� 1 ����� �: ��� $ E�2� �� � C � � �� ��� ��� �1 ���!��� �9

20����� �� ��� ��� � �1 // �� ��/ ��$��� � � � � � � 2����$/� � �2�#�� 2� .�=�� � C � � � 1�//�"�* � +�8 � �!�� � +�8 � �!�� � +�8 � �!��� +98 � �!9� �+?8 � �!9� �+78 � �!?� � +<8 � �!?� �+=8 � �!?� �. �� ��9����� �� (+�8 ���� �1 ��� 1�� �!�� "���� � � ��/� ��/# �� � �� � �.(+�8 .������ ��� ��$�� �1 ��� � �� ���!��� /��� ��� �� �@�/ �� � "� 2� ����/� ��/# �� � �� � ; 9�9� ��� �� 2��� �� � . � ����<9 ;( � ���� ��2//�. ��/��A� �� 1��2� ��<9

Page 25: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� ��� �?

20���� �3�3� ( �� � /!�� �� 1�� .���� � �! 1 ! ��� =� �� ��$��� #�1 � � " � ��� !��� �1 $ E�2� �� 1�� � �� " 9

20����� �� �� � $� ��� 2�$� � K&��2� �� �! ���� 2�� � ��� �� ���) � +�� �� �8� �� � +�� �� �8� �� � +�� �� �8� �� � +�� �� �8� � � +�� �� �8� �� �+�� �� �8� �� � +�� �� �8� �� � +�� �� �89 �� ��// /�� ;�� ��� ���� �� "� 2�" // $� ���. ��� /���< .����� ����� $# .$/� .L� .$�� �$/� .1�� �L� �$���1�� ����9 �� � � )���� ���� �� $� ��� ��� �1 ��� � ���� 2�� �1 �� /���� � ��� ��� �*� ��� ��� *�� *�� ��� ��� ��� �*� �� $� ��� ��� �1 ��� �� �.!�� �1�� �. /�� �� � +�,�$�,� �� $� ��� ��� �1 ��� 7 12�� �1 �9 �� � $���� ���� �� �1 �� �� +� �� -8 $# �=� .�!���� $��� ��� ��� �! �����!� ����� ��� +�!�� �!�� �8� +�!�� �!�� �89 ���� ��� � C �� �

� � 1��2� �� "� 2����.� ��� 2�$� � ���� ���/19

��� 2�$� � � � 2����. �* ;��� C ! H9H<*

!� ��� � �C >��� � �A �����

�� � 1��2� �� � �.�2�� ����� 1��2� ���

� C � �� �� C �� ��� �� C �� ���

"���� �� � ��� 1��2� �� "� 2� ���.� � �� �� �� !� �+8 ��.�� � ;"� 2� � ! � � ��<� 1�� � � �� �� �9 �2� �� � $ E�2� ��9

Page 26: Mathematics of the Rubik's cube

�7����� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

�������� �� C � �� ��� /$�/ �! �1 ��� ���� 2�� �. ��� 12�� � ��� $���� 2���� �. .��2� $� �� �. �� �:�/ 2 �/# $# =// �! ��� ��� �$/��

& �+&8 � ��+�8 � ��+�8

����� �� �1 � C � " � $ E�2� �� ���� ����� �: ��� 1��2� �� ��� C" � .�=��. $# ��� 1�//�" �! �������#* 1�� � � � �. � � " � "� ���

���+�8 � � �� � ��� �� � +�8 � ��

20���� �3�3� '���� �� �9

5�6���� �� ��� 1��2� �� ��� � ��� $��� /� � 2//�. ��� ������ 1��2� ���1 � 9

��� �������� �� ������

(��� ������ ������� � ��� ����� ����� ����� ��������� ����� �� �� �� ��� ������ ���� �� ������ ����� ��� ������� �� ������� !�� ������� �E������ ��� �� ��;� � ����� �� ����� ��� �;����� $O1& ����� ��� ������������������� ����� �� ������� ����

����� ������

(�� ������������ ��� #��� �������� � ��D�� ���) ����� ��������� ������������� � �����; �� ���� � ��� ������ ���� ��� :�� ,����� >�����+�=��E�=6?8 �� >����� �� - �� .� ����� � ������ � ��� ������ ������� ������������� ����� ��� �������� � �=?= � �� ���� ���� �� ��

Page 27: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� ��� �� ������ �<

�� �� �� ��� N�������� �� �����; ������� ���� � � ���� �� ��� ��� ���� ������� �� O���� '�������� ��� #��� ���� ��� ���� N�����;�

.��� �� �� �� ��� �������� �;������ ����� �������� >�����C �� �� ��������� �������� ������� +� �8� +�� ��8� � +��� ���8 � ������ ��

�� � T ��� � � �

��� � �� � ����

� �� T ��

��� ��� ����������� ������ +� �8 � +��� ���8 �� ���

��� � �� � �� � �+T �8� +� �8 � ����

� �� T �� � �+T �8 T +� �8 � ���

0� �� � �� >����� � � ���������� ��� ����� ��� � �� ��������� �� ����"���� ����� �� ��� ���L����� ��� �� ����� ��� ����� ������

�� �� ��

��

� �� ���� �

��

� �� �� ��

��

>����� ����� ���� ����� ��� � �� ������ ���� ����� ������ �� �� ���������� ���� ����� ���� ��� #��� ���� ������� �� ��� ����������� �� ������ �� ������ +��� ���8 �� +� �8� (��� ���� ������� ��� ���� �� ��� #�������� � ��� ������ �� ��� ���� ����� !�� �;������ �� �� ��� ���� ���� ����� ����E�� ����� �� ��� ���� ������ >����� �;����� �� �� �������� ��� #��� ��� �� ��� #��� ����� ���� ��� #��� ����� �� ��� ��������� �� �������C �� � � � +��8 T � � +��8� +(�� ����� ������� ���� �� �������� 8 (� �� ��� ���� � ��� ����� �� ��E�� ����� �� ��� ���� �������� ������ ��� #��� ��� �� ��� #��� ����� ���� ��� ���� ����� �� ������� �����C � � � � +��8 T � � �� (� �� ��� ���� � ��� ����� ����E������� �� ��� ���� ������ �� ������ ��� ���� ��� �� ��� #��� ����� ������� #��� ����� �� ��� ���� �����C � � � � +��8 T +��8 � +��8� !������ �� �� ��� ���� � ��� ����� ����E�� ����� �� ��� ���� ������ �� ��������� #��� ��� �� ��� #��� ����� ���� ��� #��� ����� �� ��� ���� �����C�� � � � +��8 T +��8 � �� (�� ����������� ����� �� D��� ������� ���������� ����� ����� ������ �� ����� ������; ��������������

Page 28: Mathematics of the Rubik's cube

�=����� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

����� �� � �������

!����� � �� � �����; �� � �� � ����� �� ���� ������

. �

�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

��

����� ���� � �� �� �����; �������������C

./& �

�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

���� �-

�� �

�� ��T ��� T ��- ��T ��� T ��- ��T ��� T ��-

��

0 ������ �� ���� �� � �����; ���� ���� �� � ������ . C �� ��

20����� �# �1 . � 0�� ��� � � � .��� �# �� :��� � � �

� � �� � �

��

���� 0�/& � /& 1�� // /& � ��9

����� ����� ����������� �����

, ��� �����; +�� ���� ������8 �� � ����� ���� ����� �� ����� �� ���������� � ���� � ���� � � ������ 0� �� ������� ������C

. �

����� �� �� ��� �� �� �� ��� ��

�� �� ��� ��

�� �

(�� +�� %8�� ���� �� . �� �� (�� ��� ��� �� . �� �� �� � � � ��

�+� � � � �8

(�� %�� ����� �� . �� � � �� �� ��

����� +� � % � �8

Page 29: Mathematics of the Rubik's cube

���� ���� ��� �6

, �����; ���� �� ��� ���� �� �� ��� ������ +� � �8 �� ����� ��"���� �����; (�� �"���� �� � �����;

������

� ��� �

� � �

��

�� ����� ��� �� � ������ �����; � ���� 0 �� 0�

����� ��������� �� �����

4�� �� �������� � �� � �����; . �� � �� � �����; , � �� � �� ������; ., (�� +�� %8�� ���� �� ., �� ������� �� �������C

� :�� � � � � � � �

� 0� � � �� ���*�� �� � �� � �� B�������� ������ �� ��� �;�����

� (�)� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� �� . � �������� �� �� ��� ��� ������ ��� %�� ��� �� , :�� �� � ���� T ��*��

9 0������ � �� � � � �� ���� �

0 ����� ����� �������� ���� ������ �� ��� � � . ���� ��� ��������� ���� �� ����� % � ,� � ���� ��� � ��� ��� ������ � ��� +�� %8 ��������� ��� ����� ��� .,

0� . �� � �"���� ��� �����; � �� ����� �� � �����; , ���� ���� ., � 0���� �� ���� , ��� ������ �����; �� .� ���� .��

��� ��������

, ������� � � ��� �� � ������@���� �� ��� ������ �� � ������ ���� ' ��������

5�6���� �� * �� � $� ���9 �1 � ��$��� �1 � � � ���� "� 2// ��/� �� �� �9 �1 +� �8 � ���� "� �# ��� � ��/��. �� �9

Page 30: Mathematics of the Rubik's cube

������� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

3� ��� ���� �� �� � ������� � � �� � ������

C � � � �� ��

0 ���� ����� �� ��� �� ������ �� � +��� � � � �8 �� � +� �8 � � (��� �� � ���� ����� ���� (���� ��� ���� � ���� �� �������� �

����������� E ��"������ �������� �������� ������ ������� ��� ��� ������;������ �� ��������

20����� �� �� � $� �# ��� �. /�� � $� 1��2� �� 1�� � �� ���/19 �� �1��2� �� ! ��� � �� �� ��� ��/� �� �� � .�=��. $# ��� !��� �1 � *

� +� �8 � � � � � � � �+8� ��� � ��

;�� � �����!� �� � 2��������.��2� ��� "� # ��!�. 1��2� �� � ��/&� ��9<

20����� �� �� � $� ��� ��� �1 // ��$���� �1 �� �� ���� �9 �� $� .�=��.$#

� +��� ��8 � �� � ��� �� � �� �� � ������ ��� � ��/� ��9

20���� �3�3� C �. ��/� �� 2��������. �! �� ��� �#$�/ � �� ��� ��// ��9

5�6���� �� �� $� ��/� �� �� ��� �9 �� 2// � �@� �/��2� ��/� �� 1

;< �# �/���� � � � � ��/��. �� ���/1 ;0��L�: ��0<�;$< 1 � � ��/��. �� � ; 9�9� +�� �8 $�/��!� �� �< ���� � � ��/��. �� �

;0�#���#0<�;2< 1 �� � ��/��. �� �� �. �� � ��/��. �� �� ���� �� � ��/��. �� ��

;0���� � � �#0<9

20����� �� ��� �@�/ �# �#$�/ � ���� .�� � �@� �/��2� ��/� �� �� �����/ / ��* /�� 1 � +� 8 � ����9 �� � � � �@� �/��2� ��/� �� �� �����/ / ��* ���� � � 1 �. ��/# 1 +� �8 $�/��!� �� 19

4������C 0� �� � �"�������� ������� � � ��� �� ���� ����� � ��� � � � ����� �� +� �8 � � ��� ����������

Page 31: Mathematics of the Rubik's cube

���� ���� ��� ��

20����� �� C : � ���!�� � � �9 C�� ���!��� � �� .�=�� � � 1 �.��/# 1 � . � .�� � �9 �� �� � 2��� "� �# ��� � 2��!����� �� � �.�9 ��� �@� �/��2� 2/�� �1 � ���� �� ;1�� � ���� 2/ ������< 2//�.��� ��� .�� 2/�� ;�� 2��!����2� 2/��< �1 �. �9 �� � ���� �� "� =��� ����.�2�. $# (��� �

20���� �3�3� ;< �� �+8 � �� /�� � $� ��� ��/ / ��� �. /�� $� ���2��������. �! ��/� �� � � ��� =��� �:�/�9 �� � �@� �/��2� ��/� ��J

;$< �� �+8 � �� /�� � $� ��� ��/ / ��� �. /�� $� ��� 2��������. �!��/� �� � � ��� =��� �:�/�9 �� � �@� �/��2� ��/� ��J

20���� �3�3� �� $� ��� 2��������. �! ��/� �� � � ��� ��2��. �:&�/�9 �� � �@� �/��2� ��/� ��J

�� $� � �@� �/��2� ��/� �� �� ��� �9 C�� � � �� "� 2// ��� ��$���

$�& � � � � � � � �

��� �@� �/��2� 2/�� �1 � � �9

20����� �� C�� ���!��� � �� .�=�� � � 1 �. ��/# 1 � . � .�� � �9��� �@� �/��2� 2/���� ��

$�& � �����7���� �� �� 7� ����$�& � �����?���� �� 9� <� ����$�& � �����9���� �� ?� =� ����

20���� �3�3� ���" ��� 1�� �# �� �. �� � �� "� ��� � ����;< $��& � $��&� ��

;$< $��& � . �E� �� 1�� $��&9

,� � ����"���� �� ���� �;������� �� ��� ���� �� �� � �"��������������� � � ��� ' ��� ��� �"�������� ������� �� �������� � ��� ��D���������� 3� ����� ���� �� � �������� ����� ��� ������ �������� +�� ���������� � �� #��� ��� ����������8C

��� �� ������ �� � �� �������� �� ���� �� ��� �� ��� ��� �������������� �� �������� �� ��� ��� �� � �� ���� !"��#���������� ������������!� ���� ������� � �� ����� ������ ������ ��� ���������� ���� ���������

Page 32: Mathematics of the Rubik's cube

������� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

����� �� * �1 � � =� �� ��� �. � � �@� �/��2� ��/� �� �� � ��������� �� ��$����

�� � �� �� � �� ���� �� � ���� �1# �! ��� 1�//�" �! ������� ��*

;3< � � ��� �� �� �1 // ��� ��A�*

� � �� � �� � ��� � �� � ����;H< ��� ��A� �� . �E� ��* 1�� � � � � �� � � % � �� 1 � �� % ���� �� � �� � �9

;����� /�� �"� ������� �� �# ��� ��� ��A� ��� � �� � � ��� ����� �1 ������� ��� 2�����9<

;K< ��� ��A� �:���� ��� 2�//�2� �� �1 �@� �/��2� 2/���� �1 * 1�� �2�� � � � �� ����� � � �� � � ��2� ���

�� � $��&�

;�� � �/���� �� � 2//�. ���������� �� �1 ��� �@� �/��2� 2/�� ��9<

20����� �� C�� ��/ ��$��� � �� .�=�� � � 1 �. ��/# 1 � � � � ���!��9 ��� �@� �/��2� 2/���� �� �1 ��� 1��

$& � ���� � �� � �� � T �� T �� ����1�� ��/9 �2� �@� �/��2� 2/�� �� �:2�/# ��� ���������� �� � ��� �/1���� �����/ $�� �89

(����* � ��������/#� ! ��� ��� � �� � � ;3<� ����� � � �@� �/��2���/� �� ��2� ��� �� � $��&� 1�� ��� ��� �� � �� "����

$�& � � � � � � � ��� �@� �/��2� 2/�� �1 � " �� �����2� �� 9 ��.��.� "� .�=��

� ������� � ����� � � � �@� �/��2� ��/� �� �. � � � 1 �. ��/# 1 �� � � ��� 1�� ���� � �� �� ���� �9

20���� �3�3� �� � $� ��� ��� � �1 // ���!���9 �� $� ��� ��/� ��.�=��. $# +� �8 � 1 �. ��/# 1 � � � � ���� ��$�� ; 9�9� � ���!���/� �/� �1 H<9

;3< ���" ��� �� � � � �@� �/��2� ��/� ���;H< C �. ��� ���� �� � ��� $��� /� "� 2� ��� � �� ��;K< C �. ���������� �� �1 �2� �@� �/��2� 2/�� ��9

Page 33: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� �� ��

��� ��������

(��� ������ "���)�� ������� ��� ��� ����� ����� ��������� �� ����� ��������

/����� ������C :�� ��� ���� �� ���� ��D��� #��� ���� (��

��� � ��� � ��� � ����T ���T �����

20����� �# �1 ����� �� � $�"/�� �2� 2��� � �! ��� . �� �!� ��$/� �&$/�� �. 1 �� � ��� ��� �1 �$/�� � ��� ��� $�"/ ���� ��� ��$�� �1 "#� ��� 2D �$/� 1�� �:2�/# ��� �1 ��� $�"/� � ����T ���T ����� $# ��� .. � ���� �2 �/�9

.�������% �� ;' !�����/� �� �2 �/�< �1 ����� �� � �$E�2�� ;� !����< "� 2���� $� �/2�. � � ;�� � �< $�:�� ;� !�����/��< ���� ����� � � /��� ���$�: " �� � /��� �T � �$E�2��9

20����� �� �1 #�� �� � ��� " �� � ������ ���� ����� ��� $� � ���� �/��� 4 ����/� #�� D��" �� 4 ����/� #�� .��A� D��" ;��� 2���� �! #�����/1<9�� �� � 2��� ����� �� � � 6 �$E�2�� �. � � � $�:�� ;��� 1� ��. $�: �. �������!�� $�:< �� "� # �D� � � 9 � ��� � !�����/� �� �2 �/�9

9��������� ������C :�� ��� ���� �� ���� #��� ���� (��

��� � ���� ��� � ���� � ��� � �����

20����� �� �1 ����� �� � $�"/�� �2� 2��� � �! ��� . �� �!� ��$/� �&$/�� �. 1 �� � ��� ��� �1 �$/�� � ��� ��� $�"/ ���� ��� ��$�� �1 "#��� � 2D �:2�/# ��� �$/� 1�� �2� �1 ��� $�"/� � ���� � ��� � ����� $# ����/� �/ 2� �� �� �2 �/�9

.�������% �� ��� ��$�� �1 ��.���. ��/�2� ���� �D�� " ����� ����� � ��� �1� �$E�2�� 1�� ��� �1 � �$E�2�� ;� � �< �

�M

+���8M� � � +�� �8 � ��� � +���T �8�

.�������% �� ��� ��$�� �1 ��.���. ��/�2� ���� �D�� " �� ����� � �� /&/�"�.� �1 � �$E�2�� 1�� ��� �1 � �$E�2�� ;� � �< � ��9

Page 34: Mathematics of the Rubik's cube

�9����� �� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����� ��

20����� �� ��� ��$�� �1 �&���/��� " ����� ����� � ��� �1 �$E�2�� 1�� ������ �� �� ���� � �

�M � � � +�� �8 � ��� � ��

20���� �3�3� �� � $� ��� �1 7 . �� �2� 2�/���9 C : 2�$� � ��2�; ! �� � � �� �! � 1���� �1 #�� �� �$/�<9 �� 2// 2�/�� �! �1 ��� 2�$� 2�� 2� �1 �:2�/# ��� 2�/�� ��� � .�9 �� � $� ��� ��� �1 // 2�/�� �!� �1 ���2�$�9 �� �# � � � � �� �@� �/��� 1 �. � !��� 1��� �� �$/� ���� ���1 ��� 2�$�9

;< ���" ��� �� � � � �@� �/��2� ��/� ��9;$< ����� ��� ��$�� �1 �@� �/��2� 2/���� � �9

Page 35: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

�����������

�3��� �� ���� �� ���� �� �� �� ���� �� �� �

,� ����/�

������

�%����������� ���� � �� ���� ��� ���� �� ����� ���� �;E������� ���� ������ � ��� � ����� � ������ ����� ��� ���EH� ������������� ��������� ������� �� �������� ����� ��E���� ��� ��� ��� ��� ������ ���� ���������� � �� ������������ ������ ������� �������� ������� ���� �

��.��� +2 ��

,+��9 +,��9 +���� )� 3�4�

:�� "� � �� �� ���� � �� ��� ��� �� ��� ��� ���� � �� � #;� ����������� �� � 3�� � �� #;� � ����� �� � ���� ���� ��������� �� ���������� ����� " ��� "� , ���������� �� " �� � ��D����� ���� ( �� ������ +,��D����� ��� �#� � A�#���� �� 8 !�� �;������ � ��� � � � 5���)*����� ����� ��� 6 � 7 � ?9 ������ 0� ��� ����� ���� �� �� ���� ?9 +� �� ������ ��)�8 ��� �� ���� �� ��� 5���)*� ���� ��������� �� � ������������ "� 0 ���� ������� �� ������ ���� ����� ������ � ���������� �������������

4������C 3� ��� ���� � ���������� � C " " �� � �� � �����C

� ��

� � ��� ��+�8 �+�8 ��� �+�8

�?

Page 36: Mathematics of the Rubik's cube

�7 ����� �� ������ ���

20����� �� ��� .��� �# ������ ��� .�����. $# �� � ��� ������ ��"� 2� .����A� .� �#�� �!*

0 �

�� � ��� �� � ��� �

5�6���� �� ��

� +�8 � U% � � � �+�8 � �+%8� � � � � �� ��

��

�2 �+� 8 � �+�8 T ���T � +�� �8�

�� 2// �� � ��� �"�� �! ��$�� ;�� /��!�� �1 ��� ������ �� � � �2� �2����� ��� ��$�� �1 � �� � �"�� ��� ��@�/ �# � � � % �� �+�8 � �+%89�1 "� �/�� $�&!��� �1 ��� 1��2� �� � ���� �2 �+�8 2����� ��� ��$�� �1� �� ��� $� � � � � !��� ��� ��� $� � %9 �� 2// � ���� 1 �2 �+�8 ����� �. "� 2// � �.. �����" ��9

��� ��$��

����+�8 � +��8�� ��

� 2//�. ��� � !� �1 ��� ������ �� � 9

20����� �� �� � � �� �� " � �� �� �9 �� # .��2� $� ��� ������ ��� C " " 1�� "� 2� �+�8 � �� �+�8 � �� � +�8 $# �� � ��#

�� � �� � �

�� $# 02���� �! . !�0*

� �

��

��

� �

� �� �

��� ��$�� �1 2������ � �� � . !� � ��� �"�� �! ��$�� �1 1� 1��"� 2� "� 2� ��� ��� ��� ������ �� � �..9

Page 37: Mathematics of the Rubik's cube

�<

20���� �3�3� �:����� � C " " ! ��� $# �+�8 � �� � +�8 � �� �+�8 � ��� ;< �� � ��#� ;$< 2���� �! . !�9 C �. �� �"�� �! ��$�� �.� !�9

5�6���� �# �� � C " " �. � C " " $� �"� ������ ���9 ��2� 2����� ��� �� !�� ������ ������ ��� ��� 2���� � ��� .�����. �� C" " *

� �� �+�8 �� �+�+�88" " "

4������ 3� ����� ������ ����� ������� � ����� ��� �������E���� �� ����������� ��&�-��-� � +(��� �� �� ������ � ������� �� ���� !��&��&/�1� ���������� �� ������� ��� ��� ���� ��� � �������� 8 3��� �������� ���� ���� ��� ������ �� ���� ���� ���� �� ���������� ��������E��� �� ������������ � ���� ��� ��E��E���� ����������� ��� ������������� ��������

3�� � � � ��� �� ����� �� �� � � 0 ������ �� ����� ��� E������������� ����� +� �����8 �� �� -���� ���������� � ��� ��� ������������ ����� �� ���� ��� �� 3 � �� ����� ���� � � � ���� ���� �� � � +0����� ����� �� ��� ��������� ����� � ���������� ��� � ����� ��� ������������� ����� ��� ������ ���������� 8

5�6���� �� ��� �//��� ���!�� 3 � � ��2� ��� �� � � � 2//�. �����.�� �1 � 9

20����� �� �� " � �� �� � �. /��

� �

�� � �� � �

�� �

�� � �� � �

�� ���

�� �

�� � �� � �

�� � � � �� �� � ��

20���� �3�3� ������ ;< �� �. ;$< ��� ��.�� �1 � �. ��� ��.�� �1 ��"����

+ 8 � �

�� � �� � �

�� �

�� � �� � �

+*8 � �

�� � �� � �

�� �

�� � �� � �

Page 38: Mathematics of the Rubik's cube

�= ����� �� ������ ���

20���� �3�3� �1 �� �� � �� ������ ��� �1 " � � +��8� � � +��8J �:�/ �"�#9

��� ������

3� �� ���) �� ��� ���� �� � ������ � C " " � �������+�8 �� �� �� �D�������+�8 �� �� �� ���D�������+�8 ��� ������ ���� �� �� �;����

0��� ���� ��� ���� �� � �� �� ������� ��� ��� � �+" 8 � ���� ����E���� �� � �� ���D������ �� �� (�� ������ �;���� ��� �� � �� �D������ +����� ���� ����� ���D������ �� �;������ � � �8 0�*� ���� �� ������� �� ��H���� ��� ���� �� � ����� ��� �� ���� ;��

����� �� ��� 1�//�" �! �������� �� �@� �/���*;3< � C " " � �E�2� ���;H< � C " " � ���E�2� ���;K< ��+" 8� � �" �9����&C (�� �"�������� �� ��� #��� ��� ��������� �� �� ��� �;������ ��

��� � �� ������� � +�8 �� �"������� �� +�8� �� �#���� �� ���D�������� �

20����� �� ��� ������ �1 �� � �� � �

� �$� ��. $# ��L�2� �! ��� !��� .�� 2��. � C ! K93$��� ��� � � / �� ;��� C ! K9H<*

20���� �3�3� (��� �. .���� �� ��� ������� �1 ��� 1�//�" �! �����&� ���*

+ 8 � �

�� � �� � �

+*8 � �

�� � � 9� � 9 �

+�8 � �

�� � � 9 ?� � ? � 9

Page 39: Mathematics of the Rubik's cube

���� ������ �6

!� ��� � �C

!� ��� � �C

Page 40: Mathematics of the Rubik's cube

9� ����� �� ������ ���

(���� ��� ��� ���� ������� ��� ���� �� �;������ � ���������� (�� #��� �� ��� ������; �������C

5�6���� �� �� ������ �� � C " " � ! ��� $#

� �

�� � ��� ��+�8 �+�8 ��� �+�8

"� ���2 �� �� � ��� �� : � +�8 �1 ��� �. ��� .�=��. � 1�//�"�* ��� �%&������# �1 � +�8 � � 1 % � �+�8 �. � 5 �����" ��9

+, ����� ��������� �� �������� �� ��� � ��� �����; 8

5�6���� �� , �@��� �� : "� 2� �� �:2�/# ��� 3 ��� ��" �. ���2�/�� ;� � +�8 .���< � 2//�. ������ �� �� : 9

����� �� ����� �� �M . �� �2� �� � ������ �� �� 2�� �. ����� ���M . �� �2� ������ ��� �1 ��� ��� �� �� ���� �9

20���� �3�3� '���� �� � �� �! ��� �/� �/ 2� �� 2���� �! �� �2 �/� 1����� ��2� �� �� 2���� �! � ��� ���� ��� 2�����9

20����� �� ��� �� : �1 ��� ������ �� 1 ! ��� $#

� �

�� � �� � �

� +�8 �

�� � � �

� � �� � �

��

���� ��� �� : �/� �/ 2� �� ! ���

�� � � �

� � �� � �

���� �

��

�� �

�� �

��

��

1�� "� 2� "� 2� ��2���� ��� �� � ��#9

Page 41: Mathematics of the Rubik's cube

���� ������ 9�

' ����� �� �1 � C " " � ������ �� ����

+ 8 � +� 8

�����

��999�

�� �

������+�8�+�8

999�+�8

��

C���������� ��� ������ �1 ��� �� : �1 ��� ������ �� � ��� �� : �1��� ������ �1 ��� ������ ��*

;$< � +�8�� � � +���8��. ��� �� : �1 ��� ���.�2� � ��� ���.�2� �1 ��� �� 2��*;2< � +��8 � � +� 8� +�89

����&C 0� /& �� ��� ����� ������ ���� ������ &�� &�� ���� &� +��� &� ������������ ���� ������8 ��� � +� 8/& �� ��� ����� ������ ����� ��� ���������� �"��� �� &� �� � ��� � �� %� �� �#���� �� � +� 8 '���� � ���� �����% � �+�8 +���� �� ����� �+�8 �� ���� ��� ��� � �� � ��� ��� ����������� � * ��� ���� � � ������ ��� ��� � ��� � � ��� ����8� ���� ������� ����� +� 8/& �� ��� ����� ������ ���� ������ &���� &���� ���� &��� (��� ������ +�8

1��� +�8 �� � ����"���� �� +�8 �� �� �� ��� ����� +�8 3� �������� +��8/& � � +� 8� +�8/& �� ��� ���� ������ �� � +�8� �� # ���� ������ �������� �� � +��8/& �� &������ '��������� ��� ��� �������� �� � +�8/& ��&�� � &���� (��������� ��� ��� �������� �� � +�8+� +�8/&8 �� &���� � &������ �

&������ (��� ������� � +��8/& � � +� 8� +�8/& '��� ��� &� ���� ��������� ����������� ���� ������� ��� ������� �

20����� �# ��

� �

�� � �� � �

�� � �

�� � �� � �

�� � �

�� � �� � �

��

�� � � ���� � � ���� � � ��9 +��������

� +�8 �

�� � � �

� � �� � �

�� � � +�8 �

�� � � �

� � �� � �

�� �

, . ��2� �� : 2/2�/� �� ��� =�� ��� � +�8� +�8 � � +��8 � � +�8 �.� +���8 � � +������8 � � +���8� +���8 � � +�8� +�8� � ���. 2��. $# ���$��� ������9

Page 42: Mathematics of the Rubik's cube

9� ����� �� ������ ���

(�� �����; �� �� ������� ���� ��� ���� �� ��� ������ � C " "�� �������C � ��� � � � �� �� ��� ��� ����� +� �8� ���� � � ��� ��������� � � � ��������� #�� � ��� ��� ������ ����� ���� ��� � ��� ���������� ����� ���� ��� (�� ������� �� � ����� �� ��� �����; � +�8

5���)*� ������ ���� ����� ������� )��� �� �������� ��� ��� ������� ����� �� ����� ����� ����C

����� �� �� � � �� .����� �# ������ �� �. /�� �� % .����� . �� �2� ���!��� $�/��! �! �� �� �� ���� �9 �� � .����� ��� ������ �� ���. �! � ��%*

+�8� � %�

���� �� � ����� � ��� ������ �� ���. �! +�8� �� +%8�*

��++�8�8 � +%8��

+��� ���2 =2//# ;�. �� � � ��� ���2 =2 2�� "� 2� �� � /� � ����1��� ��/ �.<* /�� ��� ��� ���� �� .����� . �� �2� ���!��� $�/��! �! �� �� �� ���� �9 �� � .����� ��� ������ �� ���. �! �� �� ����*

�+��8 � ����� � � % � �� �+��8 � ��� �+�8 � �� �� !� ��� ���� ���

���� �� � ����� � ��� ������ �� ���. �! +��8� �� +����8�*

��++��8�8 � +����8�� � � % � �� ��++��8�8 � +��8�� ��+�8 � �� �� !� +��8�� ���� +��8

0 ����� ����� �� ��� ���� � ���� � ����� �� � �E����� � � ����������� ��� ���

�� �� �� �� �� �� ���

� ������ ���� � ����� ��� ����� � �� ��������� ����� ��� � � + �

�� ���� � C �� �� �� ��� ������ ��� ����� � �� ����� ��� ����� �� �������������

�� �� �� �� �� �� ���

(�� ��M

, ����� �� ���� ����� ���� �� ��� � ������� =

Page 43: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� ����� �� 9�

��� ���� ��������

(�� ���� ����� ������ ��� � ���������� �� �������� ��� ������ ���E���� (�� ������

+ � � ��� �8 +���� � ���� ��� �� �"��� �� 8

����� ��� ���������� � �� " ����� �� �#� ��

�+ �8 � �� �+ �8 � �� ���� �+ �8 � ��

� �+�8 � �� �� � �� �� �"��� �� �� �� ��� �� ���� � '��� � ���������� ������� ������ (�� ����� � �� ����� ��� �� �� �� ��� �����

3� ���� ��� ���� ������ + � � ��� �8 � +*� *� ��� *�8 ��D��� �� ��� ���� �� �� ���� � � *�� *�� ���� *� ��� ��D���

����� �� �1 � �. � �� . �E� �� 2#2/ 2 ������ ��� �1 " ���� �� � �� 9

����&C (��� �� ����� ���� ��� ����������� � � �� ( �K��� ��D������������� �� ��� ���� �� ��� ����������� ��� �� �������� � ������ ���� �

����� �� ��� 2#2/ 2 ������ �� + � � ��� �8 �� ��.�� �9

����&C 1��� �+ �8 � �� � �+ �8 � �� � � ���+ �8 � �� � �+ �8 � �� ���#���� �� � :�)������ ��� �� � � �� ���� �� �� ���� � �+ �8 � � �

' ����� �� ����# ������ �� � C �� �� ���� � �� �� ���� � � ��� ���.&�2� �1 . �E� �� 2#2/ 2 ������ ���9 +��� ���2 ��/#� 1 � � ������ �� �1�� �� ���� � ;" �� � � �< ���� ����� �� ���&���# . �E� �� ��$���� �1 . �� �2� ���!���

�� � ��� ���� ���� � �� �� ���� ���� � ��� ���� ���� � �� �� ���� ��

������ � ��� ���� �����

��2� ���

�� �� ���� � � �� � ��� � ��� � � �� T �� T ���T ���

�.� � + ��� ���� ����8���+ ��� ���� ����8�

Page 44: Mathematics of the Rubik's cube

99 ����� �� ������ ���

(��� ������ �� ����� � ����� ����������� �� � 0� �� ������ � �������������� �� �� ����� ���� �� � ������� ����� ��� �� ����� ���� ��

��� � ��� � ��� � ����

��� ��� �E����� +���� ���� ���8 �� ����� ��� ����� ��������� �� � � � �� �����

� +���� ���� ���8E����� !�� �;������ +�� �8+�� 9� ?8 �� � +�� �8E�����

����&C (�� ����� �� ����������� :�� � C " " �� � ���������� :��� ��� ��� �������

�� � �� ��� � �+�8� ��� � � �+�8� ��� � ��+�8� ����

+����� ����� �� ������� �� #��� � ����� ��� �� �� ���� ��� ����� ����� �� ������ �� � �8 (��� �� ����� ��� ������ �� � ��� �� 1�� ���� ���������� � ��� ������ �� ��C

�� � �� ��� � �+�8� ��� � � �+�8� ��� � ��+�8� ����

� �� � ���� �� �� �� ��� ������ �� ��C

�� � �� ��� � �+�8� ��� � ��+�8� ��� � � �+�8� ����

0� ��� ���) �� ��� �� ����� ����� ���� ���� ������ �� ��� ���� +�� ������� 8 �� ��D��� A���� ��� ��� ������ ������ ����� ����� �� �������� ������� �� )�� ���� )� +0� ���*� ������ ���� ���� ��� ����� ���� ��� � ���� ���� ��� ����� ��� ������� � ���� ������� ����� 8 '����������

)� � ��� ���� ���� �� �)�� � ���)� � ��� ���� ���� �� �)�� � ���

���

)� � ��� ���� ���� �� �)�� � ���

0 ���� ����� �� T �� T ��� T �� � �� ���� �"������ �� � ��� �� �� �� ��������� �� � �� ���� (�� ����� ������ �� � �� ��� �;�������

+ �� ����� ����8���+ �� �� ��� ����8�

Page 45: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� ����� �� 9?

20����� �� � ��� 2#2/� ���� �� 1��

�� � �� � �

� +� �89

� ��� 2#2/� ���� �� 1�� �� � �� � �

� +� � �89

� ��� 2#2/� ���� �� 1�� �� � � 9� 9 � �

� +� �8+� 98 � +� 98+� �89

� ��� 2#2/� ���� �� 1��

�� � � 9 ?� 9 � ? �

� +� �8+� 9 ?8 � +9 ? �8+� �89

� ��� . �E� �� 2#2/� .�2���� � �� �1 +�� �� <8+�� <� ��8 � +�� �8+<� ��89

20���� �3�3� � � .� �@��� ��� � ��$�@���� ;012���0< �. /$�/ ����� �� �� 99 C�� �:�/��

�����������������

� � �

� � � � �

� � �

�����������������

� � �

� � � � �

� � �

�����������������

Page 46: Mathematics of the Rubik's cube

97 ����� �� ������ ���

�� � .����� 2������2/�2D" �� ���� �� $# �5 .�!����9 ����� � ���&��� �� �� ��� 12���� � � +� � 9 �89 �� �� .����� ��L�2� �� $��� ������ M��/ / �� . � . �! ��� �@��� � �"�� /�� �� .����� ��L�2� �� $��� ������� 2/ / �� . � . �! ��� �@��� � �"�9 -�� ��� 2#2/� ���� �� �� .���� ����� ������ ��� �1 ��� 12���

;< ��

;$< ���;2< ���;.< ���;�< �� � � � ���;1< �� � ��9

20���� �3�3� $�/ ��� H� 12��� �1 ��� �� � ��$ DA� 2�$� � 1�//�"�*

Page 47: Mathematics of the Rubik's cube

���� ����� ����� �� 9<

����������������

� � � �

� �

� � � �

�������������������������������������������������������������

� � � � � �� � �� �� � � �! �

� � � � � � " �

� ! � �� �� � �� �� � �� �� �

�������������������������������������������������������������

� �� �� �

� � �

� �� �� �

����������������

;)�� # "�� �� :���: �� � �!� ���� 2�� �� � 2�$� ��� �. ��� � ��&!����� 1�� �� � �:��2 ��9< �� # .����� ���� �� 2/�2D" �� $# �5 .�!���� �1��� 12� /$�/�. � "���� � �� �� �� *� �� � ;��� 1�� �:�/�� 1 � � ����# � + <9 -�� ��� 2#2/� ���� �� �� .���� �� ��� ������ ��� �1 ��� 12���! ��� $#

;< �;$< ��;2< + �;.< ,�;�< $ �;1< 19

����� �� , 2#2/ 2 ������ �� � ���� 1 �. ��/# 1 ��� /��!�� �1 �� 2#2/� � �..9 , !����/ ������ �� � C " " � �.. 1 �. ��/# 1 ��� ��$�� �12#2/�� �1 ���� /��!�� � �� 2#2/� .�2���� � �� � �..9

Page 48: Mathematics of the Rubik's cube

9= ����� �� ������ ���

3� ����� �� ����� ���� ���� +!�� � ������ ��� (������ � � � 2� ����$2&� �� � 8

����� �� ��� ��.�� �1 ������ �� � ��� /��� 2��� �/� �/� ;/2<�1 ��� /��!��� ��� ��� ���� �� �1 ��� . �E� �� 2#2/�� � �� 2#2/� .�2���� � ��9

20����� �� ��� ��.�� �1 +� �8+� 98 � �9 �� � ����9 ��� ��.�� �1 +� �8+� 9 ?8 � 79 �� � �..9

��� �� ��������� �� ���� ��� �� �����������

0 %���� 2����*� '�����#� ,������ ������� $2���& � �� ������ �� ��E���� ����� ����� ��� ��� ����������� �� �� �� ���� � (��� �� ������� ����� ����� �� ��� ������������ .� � '�������� ���� ��� ������� )������� �� ����� ��� ����������� �� �� �� ���� �

3� ����� ���� ���� ���������� �� ��� ���� ��� � ��� � � � �����������

!�� �;������ � ��� ���� � � �C

� �� �

��� ��� ����������� (� ��� ��� ���� � � �� ��� ��� �� ��+�8 ����� �� ���� ��� � � � ����� ���� �� �������C

� �� �� �� �� �� �

+�8 ������� � � � �� �������

� � �� � �� � �� � �� � �� � �

Page 49: Mathematics of the Rubik's cube

���� �� ���� ��� �� � �� ��� ��� ������ ��� 96

0 ���� � � 9� ��� ��� �� ��

+�8 ����� �� ���� ��� � � 9 ����� ���� �� �������C

� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �

Page 50: Mathematics of the Rubik's cube

?� ����� �� ������ ���

+�8 �� ������� � 9 �C

� � � 9� � 9 �� 9 � �9 � � �9 � � �� 9 � �� � 9 �� � � 9� � � 9� � 9 �� 9 � �9 � � �9 � � �� 9 � �� � 9 �� � � 9� � � 9� � 9 �� 9 � �9 � � �9 � � �� 9 � �� � 9 �� � � 9

0 ������ �� ���� ��� �������

' ����� �� ;��� ����< ����� � ��@���2� �1 ;��� ��2���� /# . �� �2�<H&2#2/��� + �� *�8�999�+ � � *�8� "���� 3 � �M � �� ��2� ��� �2� ���&�� � /������ �� � �1 �� �� ���� � # $� �:������. � ��� 1��

� ������

+ �� *�8�

1�� ��� �� � � � � 3 9 C���������� ����� ���.�2�� ;1�� � � �� �� ���� 3< ��// . �� �2�9

Page 51: Mathematics of the Rubik's cube

���� �� ���� ��� �� � �� ��� ��� ������ ��� ?�

0 ����� ����� ���� ���������� ��� �� ������ �� � ������ �� +������������ ��D���8 �E������ (��� ���� �� ����� � ������ ? �� � >��E����� � �����

(���� �� � ���� ��� ������ ���� ��� ��� ���� �����������C ���� ������������� ��� �� ������ �� � ������ �� +�� ���������� ��D���8 �E������ (��� ���� �� ����� ���� ��������� +� �����8 ����� E ��� /����������?6

Page 52: Mathematics of the Rubik's cube

?� ����� �� ������ ���

Page 53: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

���������� �������

�.�� �� �� �� ���� ������������ ��� ����� ��� � �������� ���� ���� �� ������ �� �;�������� �� �� ������������� �� ��� ��D���� �� �������S�

,/$��� � ���� �

�(��� � ���� �� ������ ��� ����� �� ����� �*� ���D������

3� ����� ������� ������� ���������� ��@@��� � ���� ������� , �� ����� ��� �� � ��"���� �� ����� ������� ������ ����� �������E

� ����� ��� #����� ��� ����� �� ���� ��� ��

� ����� �� � #��� ��"���� �� ����� ����� ����� � ��������

� ����� ��� � ����� �� ���� ������

� ����� �� �������� ��������� ����� ���� �����

� ���� ���� ���� ��� � ��� ������ �������� �� � ��� �;������ ���E�;������ �� � ������ �������� ���� +���� �� ������ ����� ������ �� ��� ���� �� �� ��� )� ��� ��� ���� ����������8

, ���������� ��@@�� �� � �� ����� ��� +���������8 ���� ��� ������� #�� ���������� ����� ����� ������ ����� ��� ����������� �� �#� ��� ���@E@�� �������� �� �� ��� ��� �� ��� �������� �� �� ����� (�� #�� ���������� ��� ���������� ��@@�� ���C

?�

Page 54: Mathematics of the Rubik's cube

?9 ����� �� ������ �� ������

� ��� ���� � � � ���� ��� � ��� ��@@��*� ����������� ���� ������ ��� ��@@�� ��������� �� � ��"�� ���������� �� ��� ������ �" � �� �� ���� ��

� �� ��� ���������� �� " � +�8 ��������� �� ���� ��� �� ��@@������ ��� ��� ��� ��� �������� ������ �� ����� ��� ���������� ��������� �� ����� ���������

� ���� ����� ��� � � ���� �� ����������� � ��� ���� ���� ����� �����;��� ������ ����� ��� ���� ����� �������� ��� ��@@�� �� ��� ��������� ��� �� ������ � ��� ���������

9 �� �� �� � ���� ��������� �� � ���������� �� �� " � �� �� �� ����� ��������� �� � ���������� �� �� " ��� �� ��� +��� ������ ������� �� ��� ���� ��8 �� ������

� �� � �� �� ����� ��

� ��������� �� ��� ���������� �� � ��

4������C ,� � ���� 9 ������ �� ����� ������ ����� ���������� ��@@������� /�1�&��&� !��

��� �� �����

B� �� ��� �������� � ���� ������� ���������� ��@@��� �� ��� ��? ��@@��� (�� ������ �������� ���)� ��)� +��� !� 9 �8

(���� ������ �"���� �������� ���� ����)� ����� �� ��� ������� ��� ���) �"���� 3� ����� ��������� ����� ��� ���) �"���� �� ��7� ����������� (�� ����� �� ��� ��@@�� ������ �� ���� ������ �"�����+���� �� ��� ��� �;�����8 ��� ��� ���) �"���� +� � ������ �� ���� �78 0 ���� ���� ���� ���� �� ���� ��@@�� ��� �� �� ��� �� � ���������� ����� ��� ��� � �� �� ���� �7

20���� �3�3� ���2D ��� ��� =�� 2��. � ��� �1 ������ �� ��MM/� ���� �=�. $# ��� 34 ��MM/�9

1�� ����� ���������� �� ��� �� �� ���� �7 ��������� �� � �������� ��E����� �� ��� ��@@�� !�� �;������ ��� ������� +��� !� 9 �8

Page 55: Mathematics of the Rubik's cube

���� �� ����� ??

!� ��� 9 �C (�� �? /�@@��

!� ��� 9 �C (�� �9E�? /�@@��

Page 56: Mathematics of the Rubik's cube

?7 ����� �� ������ �� ������

���� �� ������ ���� ��� �������� ������� +(�� ������������ ����� ������� �� �;����� � 7 � ������ ��� �;����� 8 ,��������� ��� ��@@�� ������'�� :�� ������ ��� � V ' ����� ��� ��� ����� ��@@�� +��� �� ���� ��� �9��? ������8 ��� ���� �� ���� �� �� ������� E � � � ��� � ��� ������� ������ �� ���� �? E � ���)� ���� ���� �� �������� �� ��� ����� ��� ��� +(��� �� � ����� �� ��� ���� ���� ����� ���� ��������� ������� �� ���� ���� ���)�� ������ 8

(�� ����� �� ��� �? ��@@�� ��� �� ���� �� �������C ������� �� ���� � ������� ���� �� +��� !� 9 �8

!� ��� 9 �C (�� �? /�@@��

(�� �������� ����� ���

� ������� � +� �78 � ���� � � �7�� � �������� � +� �78 � ���� � � �7�$ � $������� � +� �78 � ���� � � �7�1 � 1������� � +� �78 � ���� � �7�

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� =�� .�=� �! ������� �� �1 ������ �� ��M&M/� �� �� �=�. $# �� � �:�/�9

3� ����� ���� ��� �? ��@@�� � ����� ��@@�� ���� ��� ��� ������ ��� � � H������

Page 57: Mathematics of the Rubik's cube

���� ��� ��� � ���� �� ����� �� ���� ?<

��� ���!� ������ "�� #�������� �����$

(��� �� � ����� ��@@�� ������� �� ��� �� ���� �������� ������ ���� ������� ��� ������� ������ +�� ������ �� ������8 ������� ���� �� ����� ������� �� ���� ��� �� ���� , ��@@�� ���� ������� �� ������ � ���� ���� �� ���� ����������� � ���� ��� ��� ������ � ��� ��� ��� ����*� ����� ����) (�� ������ ��� �"����� ����� ����� +� ����� �� ��� ����������� �����8 � ����� ������ ����� ��� � ���� ��� �� ���� �� ������ ��� ������ ����

!�� ����������� ������ ��� ��@@�� ������� �� ��� ��� ������ ���� ���E� 7 ������C +��� !� 9 98

!� ��� 9 9C .� ���� �� �

(�� ������ � � � �� �� ���� ��� ������ ���� 1��� ���� ���� ������������� �� � ��"�� ���������� �� ��� ������ � �� �� ���� �� !���;������ ������ ��� �� ��E�� ���� ����)���� �� ������� ����������� ��� ����������

� � � 9 ? 7 < = 6 ��7 � � � 9 ? < = 6 ��

����� �� ��� ����� � ����� ������ �� +7 ? 9 � � �8

Page 58: Mathematics of the Rubik's cube

?= ����� �� ������ �� ������

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� =�� .�=� �! ������� �� �1 ������ �� ��M&M/� �� �� �=�. $# �� � �:�/�9

��� %&����� �����

(��� ��@@�� �� � ��� ����� �� � ������ ��� ��� � �������� ��� ������� � ������� ���� ���� �� �"����E������ ������ � ���� �� ��������� ���� ����� �� � 6� � ��� � �� -��� ���� �� ������� ��������� �� ��� �������� ������ � �� ���� ���� �� ����� �� � ��@@�� ����� ����� �� ��� ����������� ��� (���� ��� 7 ��� ����� (�� ����� ����� �� ������� �������� ��������� � � ��� 7 � ��

B ���� ��@@��� ��� ������ �� ����� � ��� �� ��� ������ ������ ���������� ��@@�� ������ (�� ��� � ���� ���� �� ������� �� ������ � ���������� �������C +��� !� 9 ?8

!� ��� 9 ?C '���� ���������� +����8

!�� ����������� ������� �� ��� ���)� �� � ���� �"����� ��@@�� (���� ������ �� ������� ��� �"������ �� ��������� �� ������ ����� �1���� ,������ � ��� ����� ��������� �� ������ ����� � -����� �,����� , ���� �� ��� ��@@�� ������� �� ������ �� �� ��� ��� +��� ���� ��� ��� ������ �� ������8 � ������ ������� '��������� ��@@�� �����

Page 59: Mathematics of the Rubik's cube

���� � ���� ����� ?6

��� ��� � ��� ����������� �� � ������ �� �� ���� ��� ����� 3�� ��� �������� ��� ���� ���� ��� ��@@�� �� � ������� ��� �� ��� -���� ��� �� ���� ���������� �������

!�� ���� �� ���� � ��� �� ����� ��� ���� �� ��� -���� ��� ��� �%��E����� ���D������� � � � �� � ���� ���C

� � � �

� �� �� ��

� �� �� ��

� �� �� �� �� �� �� � �! �� �� ��

� �� � ��

� � ! �!

#� $%��& �$ ��%'�'��

'�������� �� ����� ���� ���� � �� 1/ +����� �����8 � < �� '/+������ �����8

(��� ��������� �� � ������ ������� �� �� ��� ���� ���� �� ����� �� ������ ����� �� ��� ��� ��� �;������ ������� �� �� ����� �� �� �� 3� ������ ��� ���� ������� ��� �� � ������ ������� ��� � ���� �K���� ���������� �� � ����� 3� ��� ���� ��� ����� ������ ���� �� ���� �� ���-"����� ��@@�� ��������� �� � ��"�� ���������� �� ��� ��� ��� � �� �� � �� !�� �;������ ��� ���� ����� ������� ��� �"����� ����E��E���� �� ��� ���� ��������� �� ��� ����������

+9 �� �6 �� �= �< �� �7 �? �? �9 ��8�

1�� �� ����� ���� �� ���� � ��������� �� � ����� 3� ����� �� �� ���������� +����� ��� ����� ���� ������ � ������� �� ���� � �� ��� ������� ��������8 �� � ��� �� �� � ��� �� � !����� �� � ����� �� �� � ��� ��������������� �� ��� � ��������� �� � 0� � ����� �� � ��� ������� ������� ����� ��� � �� �� �� �� �� ���� � ��� � �� ���� ��� ������� � �� +� � � ���� �� ��� ����� ��� � ��� ������� �������8C

Page 60: Mathematics of the Rubik's cube

7� ����� �� ������ �� ������

� ������������������� �

20����� �# , � �2� "� 2� �� $��� �����. $# �5 .�!���� 2������2/�2D" ��1�� �� 2����2� �� ���� �� !��� � �� ���� �� �1 K9

0 ������ ��� ������ ��� ��� ������ �� ��� -"����� ��@@�� ����� �������� ���� ��� ��� ��� �� ��� >������� ������ �� ��� ��� �� ��� ������ �� ����� ��� ��������� �� �� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� �������� ����������C

� � �� �� ���� �� � �� �� �� � � +���8 � � � � � ��� � � � � ��

-��� ���� �� ��� -"����� ��������� �� � ��"�� ���������� �� ������ � (���� ��� ��� ������� �� ��� ��� ����

� � ��� ��� ���� ����

0� �� ������ ��� ��� � ���� ��� ��� " � �� ���� ��� ��� �� ���� �� ���-"����� ��������� �� � ��"�� ���������� �� ��� ��� "

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� �@���� ��MM/� �� �=�� ��� =�� .�=� �! ����&��� �� �1 ������ �� ��MM/�9

8������C >� ��� ���� ��� ������� C 0� � ����� �� ��������� ��������� ��� ������� ����� �� ���� ��������� ������S

4������C 3� ������� ������ ��� � ����� ����� �� ��� -"����� ��@@������� ������ ��� �������� ��;@@�� ����� :�� �� ����� ��� ����� ����������� � ��� ���� �� >�� >�� � >� :�� >� �� ��� �� ������ � �������� �������� ������ ��� ������ ������ �� �� � ��� ��� >� �� ��� ��

Page 61: Mathematics of the Rubik's cube

���� � �!�" �����!��� 7�

������ � ��� ����� �������� ������ ��� ������ ������ <� ��� � ��� ���� >� �� ��� �� ������ � ��� ����� �������� ������ ��� ������ � ����"�����

:�� �� �� ��� ��@@�� ���� ��������� �� ��� ������� �� >� ��� ��

� � � 9 ? 7 < = 6 �� �� ��� � 9 ? 7 < = 6 �� �� �� �

:�� �� �� ��� ��@@�� ���� ��������� �� ��� ������� �� >� ��� ��

� �� �9 �? �7 �< �< �= �6 �� �� ���� �9 �? �7 �< �< �= �6 �� �� �� �

:�� �� �� ��� ��@@�� ���� ��������� �� ��� ������� �� >� ��� ��

9 �� �9 �? �? �7 �� �< �= �� �6 ���� 9 �� �9 �? �? �7 �� �< �= �� �6

0� �� ����� ����� � ������ ���� �� ���� ���� �� ����� ����� ��������� �� ����������� �� ��� ��� �������W��������� ������ �� ��� ������ �� ��� �"�������@@�� !����������� ���� � ���������� �������� ��� ��@@�� ���������"���� ���� �� �����#�� ��� �����*� ������� � ���������

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� �� � �! ������� �� �1 ������ �� ��MM/��� �� �=�.9

��� ����'�( )����'���

'��� ����� ��� ��� ������ ���������� +������� �� ������ �� ������������� ��� ������� 8C , ���������� ������ ��� �� ����� �� = ������ ������ 3������ ������ ���� ��� ���������� �� � � #;� ������� � ������ �������� ��� ��� � , ������ ���� ���� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ������� � �� ������ ��� � � ����� ������ ���� �������� �� ��� �"������� ����� � ��������� ��� (���� ��� = �� ������ ���� � � ������������� 0 ��������� ���������� ��� �� ������ ���� ��� �� ��� � ��� �������� ��������� �� 4!9 +� � � �� 5 � �4!9� � � �� ��� =8 � ��� ��������� ������� �� ( � 4!9� 4!�� �4!9 +.��� 4 � ���9�?6���� �� ����� 8 +��� !� 9 78

(�� ������ ����� �� ������ �� ��� �� ��E�� ���� E ��� ����� �� ����� �� �� ������ ��� ��� ����� �;�� ����� ������ ��� ���� ���� 3�

Page 62: Mathematics of the Rubik's cube

7� ����� �� ������ �� ������

!� ��� 9 7C

������ ���� �� �� ��� �� ������ ���� ��� ��� #;� ��� � ��� ��� (���#;� ��� ����� �� ������ ���� ��� �;� ��� +���� ������� �� ��� ��������������8 �� ���� � �� �

,����� �����C B� ��� ������ ��� ���������� ����E��E���� �� ����������� 4!9 ��� ���� �� ��� 9 ��������� ��� �� �� ��������� �� 4 ��� ������ ��� = �� ������ ����

, ����� ���� �� �� �� ��� �� ���������� �� ��� ���������� ������ ������� ������� , ����� ����� �� �� ��� �� �������� �������� � ��� ������� ������ ������ �� � ��� �� � � �� ���� �� �� �� � ���� +�� %8 � $�� 9&�$�� =&���������� �� ���� ������� �� ��� ���� 0� � ����� ��� ������ ��� �������� �� ��� ����� ���� �� � �����; ��� �� ���� �� � ����� +�� �����8 ����� B��������� �� ���� � ����� ��� � +�� ���� �� �"��������8 , ������ �� ������������� ���� �� � ������ �� ���� ����� �� �� �� ��� = ������ � ���� ���� ����

+�8 ���� �� ��� = ������ ������ �;����� ����� � ��� ��� �� ��� �7 ������������

+�8 ���� �� ��� = ������ ������ �;����� ����� � ��� ��� �� ��� �7 ��� �������

, ���� �� ��� ���������� ���� �� � ��� � � ��� ������ �� ��� ������������������� �� � ��"���� �� �������� �� ������� �����

Page 63: Mathematics of the Rubik's cube

���� � �!�" �����!��� 7�

0� �� �� ������ ���� �� ��� = ������ ���� � ��� �� � �� ���� = ������� ��� ��������� �� ������ �� ��� ���������� ���� � 9�= ����� �� ��� ���� ���� �� � (� ����� � ����� �� ����� �� � ����������� ��"���� ������� ��������� �� ��� ����� ������� �������� �� ��� ����������� ������� ����� ��� � �������� ������� �� ���� ��� �����; ������ �� ���� �������� ��� ���� ����� (��� ��� �����

� � � 9 ? 7 < =� � � 9 ? 7 < =� � � 9 ? 7 < =� � � 9 ? 7 < =

�� ������� (�� �����

7 < = � � � 9 ?� � � 9 ? 7 < =� � � 9 ? 7 < =� � � 9 ? 7 < =

��������� �� � ������� �� ��� ���� ���� ������ �� �4!9

4������ 3� ��� �����; ������ �� ���� ��� �� ������ �� ��� ���E������� (�� �������� ��� ��� ��������� �������� ��� ���� ��� ��� ��� � !�� �;������ �� ���

�� �� �� �9 �? �7 �< �=�� �� �� �9 �? �7 �< �=�� �� �� �9 �? �7 �< �=9� 9� 9� 99 9? 97 9< 9=

���� �� �9 �? �7 �< �= ���� �� �� �9 �? �7 �< �=�� �� �� �9 �? �7 �< �=9� 9� 9� 99 9? 97 9< 9=

����� �� ������� ��C +��� !� 9 <8

,� ��� ���) �� �� ��� ���� ���� ��� ���� ����� ���� ���� ������� ������� ����)���� (�� ����� ����� ��� ��� � ������ ��� ��������� �� �� ������� � ��� ���� ������� E ����)���� �� ����� ���� ��� ���� ����

Page 64: Mathematics of the Rubik's cube

79 ����� �� ������ �� ������

!� ��� 9 <C

(�� �������� ��� ��� �� ������ �������� ��� ���� ��� ��� ���� � !���;������ �� ���

�� �� �� �9 �? �7 �< �=�� �� �� �9 �? �7 �< �=�� �� �� �9 �? �7 �< �=9� 9� 9� 99 9? 97 9< 9=

��99 9� 9� 9� �7 �< �= ���9 �� �� �� �? �7 �< �=�9 �� �� �� �? �7 �< �=�? �9 �� �� 9? 97 9< 9=

����� �� ������� ��C +��� !� 9 =83��� ����� ������ �� �� ����) ��� �������

�� � �� � �� � �� � � � �� � �� � �� � �� � ��20���� �3�3� C �. � /� .��� � �� 1�� ��� ��� � 9

,���� �� �� ����) ����

�� � +�� � ��8�� � ��� � �� � ���

Page 65: Mathematics of the Rubik's cube

���� � �!�" �����!��� 7?

!� ��� 9 =C

20���� �3�3� ����� �� � /� .��� � �� 1�� ��� ��� �9 C �. ���9

0����� ��� ������ �� ��� ���������� ���� ��� ������ �� ��� �����

= < 7 ? 9 � � ��7 �? �9 �� �� �� �� 6�9 �� �� �� �� �6 �= �<�� �� �� �6 �= �< �7 �?

+����� �� � ����� ��� ������ ��� ������ ����)����� ��)� ���� ��� ��*� �� ��E������8 3� ��� �;����� ��� �������� �� ��� ���������� ���� � ��D���

Page 66: Mathematics of the Rubik's cube

77 ����� �� ������ �� ������

����� ������ �� � ��� ���� �� ��� +��� ��������� ���� � �� �������8C

���� � +� � � 9 ? 7 < =8����� � +6 �� �� �� �� �9 �? �78����� � +�< �= �6 �� �� �� �� �98���� � +�? �7 �< �= �6 �� �� ��8�

�� � +? ��8+7 ��8+< ��8+= �68+�� �98+�9 ��8+�? ��8+�7 ��8��� � +9 ��8+? ��8+7 �68+< �=8+�� ��8+�� ��8+�9 ��8+�? ��8��� � +� ��8+9 �68+? �=8+7 �<8+�� ��8+�� ��8+�� ��8+�9 �68�� � +� �68+� �=8+9 �<8+? �78+�� ��8+�� ��8+�� ��8+�� �98��� � +� �=8+� �<8+� �78+9 �?8+6 ��8+�� �68+�� �=8+�� �<8��� � += �<8+� �78+� �?8+� ��8+�7 �68+6 �=8+�� �<8+�� �98��� � +< �78+= �?8+� ��8+� ��8+�? �=8+�7 �<8+6 �98+�� ��8�� � +7 �?8+< ��8+= ��8+� ��8+�9 �<8+�? �98+�7 ��8+6 ��8�

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� ������� �� �1 ������ �� ��MM/� �� �� �&=�. 1�� �� � ��MM/�9

%��� ��������� � ���� ��@@�� ���� �� ��� � � ����� �������

��� ��'�*!� ��'�

3� ����� ������� ��� �� �� �� �� 9� 9� � �� ��� 5���)*� �����

����� �� � ���� � ����

(�� ����)��� 5���)*� ���� ��� 7 ����� �� �������� ���� �� ����� ��� � �� � 9��������� ��� � ����� �� �9 ������C +��� !� 9 68

!�; � ��������� �� ��� 5���)*� ���� � ����� (��������� �� ��� �������� 7 ���� �� �� �� �� �� �� � �� � ��� ������� 0� ��� = �������� -������� �� ��� ���� �� ��������� �� � ������� �� 9 �������� ����� ����� � ��������� ��� ���� (�� ����� ��� ���� ��� �� ��� 9 ����� � ��� �������� ���� ������ �� 6� � ���� ����)���� 3� ���� ���� ���� �� ��� ����� ���������� ��������� �� ��� ����� ���� ������ ���� ��� ���� !�� �;������ !����� ��� ���� ����� ������� ��� ���� ���� �� 6� � ���� �� ����)���� +��� !� 9 ��8

,� � ������� 9� �� ����� ��� �9 ������ �� ��� ��� 5���)*� ���� �� �������C

Page 67: Mathematics of the Rubik's cube

���� �! #�� ��!�� 7<

!� ��� 9 6C

!� ��� 9 ��C (�� ���� !

Page 68: Mathematics of the Rubik's cube

7= ����� �� ������ �� ������

����������������

� � � �

� �

� � � �

�������������������������������������������������������������

� � � � � �� � �� �� � � �! �

� � � � � � " �

� ! � �� �� � �� �� � �� �� �

�������������������������������������������������������������

� �� �� �

� � �

� �� �� �

����������������

(�� �9 ������ ���� �� ���� �� ;�@ ����� ; �� ��� ���� � ����� �������� ����� � �� @ +�� @� � E �� ���*� ������8 ������ ��� � � �� �� �������� 3����� � ����)���� ����C

���� �( � �) ��) ��) �

"�(* �( � "�) "��) "��) "�

�'+�� �( � �") �"�) ��) �

� � �( � �) ��) �"�) �"

� �( � �") �) �) �"

���� �( � ��) ��") ��") ��

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� ������� �� �1 ������ �� ��MM/� �� �� �&=�. 1�� �� � ��MM/�9

!�� ������ ��������� �� ���� ���� ������ �� ������ +����� �� ���� ������� ��� ��� �� � � 9� 9 5���)*� ����8 ��� '� ������ ������

Page 69: Mathematics of the Rubik's cube

���� �! #�� ��!�� 76

����� �� � ���� � ����

0 ���� ������ �� ������ ��� ��� ���� ����� ������ ������� ��� � ������+�� �� '� ������ $'�&8 �� ����� �� �� ����) ���� ��� ��@@�� �� � ���� ����������� ��@@�� 3� ����� ���� ������� � ���E����� ��� ����� �������� �� ���� � ���� ��� ����� ��� ����

(�� 5���)*� ���� ��� 7 ����� �� �������� ���� �� ����� ��� � � � � 6��������� ��� � ����� �� ?9 ������ 3� ����� ����� ������ �� �� ���� ?9 �� �������C

����������������

� � � � �

� � � �

� � ! �

�������������������������������������������������������������

� � �� �� � � �! �� � �� �� � � �� �� �� �

� �� � �� � �� �� � �! � �� � �� " � �

� �� �� �� � �� �� �� � �� �� �� � �! �� �� �

�������������������������������������������������������������

� �� �� �� �

� �� � �� �

� �� � �! �

����������������

��� ��� ��������� ��������� �� ��� ��; ����� �� ��� ����� ��� �������� � ��D��� ����� ������ ��C

+ � +�< �6 �9 ��8+�= �� �� ��8+7 �? 9� �78+< �= 9� ��8+= �� 9� ��8�, � +�� �? 9� �=8+�9 �< �6 �78+� 6 97 ��8+� �� 9< �68+� �9 9= �<8�� � +6 �� �7 �98+�� �� �? ��8+� �< 9� 9�8+9 �� 99 �<8+7 �� 97 �?8� � +�? �< �� ��8+�7 �6 �� �=8+� �= 9� �68+? �7 9? ��8+= �� 9= �98�$ � +� � = 78+� ? < 98+6 �� �? �<8+�� �9 �7 �=8+�� �? �< �68�

1 � +9� 9� 9= 978+9� 9? 9< 998+�9 �� �� �=8+�? �� �� �68+�7 �9 �� 9�8�

Page 70: Mathematics of the Rubik's cube

<� ����� �� ������ �� ������

20���� �3�3� ���2D �� �9 ;�� � ��/�1�/ �� :���: ��� $��� . !�� 2�� ���� �. ��� ��!����� ���� 2�$� 1�� �� � �:��2 ��9<

(�� ������ ��� ��� ������ ���� �� ������� �� ��� ������ ��� ��� ���� � � 5���)*� ���� (�� ����� ������ ���� ���� ��� ���� ������ � ���� � ������ ���� ��� ���� �� ;�� ����� ; �� ��� ���� ��� ����� ����� � �� �� ��� ���� ��� ����� ������ �� 0 ����)���� ����� ������ ���� ��� ������� ��E�� ����� �� ���� ����C

���� �( � �) �) ��) �) ��) �) �)

"�(* �( � "�) "�) "��) "�) "��) "�) "�) "

�'+�� �( � �") �") �"�) ��) ��) �) �) �

� � �( � �) �) ��) ��) �"�) �") �"� �

� �( � �") �) �) ) �) �) �") "

���� �( � ��) ��) ��") �") ��") ��) ��) �

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� ������� �� �1 ������ �� ��MM/� �� �� �&=�. 1�� �� � ��MM/�9

���� &���������� � ����� �& �)� � ���%

3� ����� ���"����� �� ��� ������� ����C

' ����� �� 6�! �� �! " �� ��/��. 2�$�� /$�/ ��� 1�//�" �! 12��� " ��� �� � $/� 0>0 ; 9�9� �D ��� ��� / ��� � �� �1 ��� 12�� �� ��� 2�$� " �� 0>0<*

� - 12�� �1 ��� �1 �.!� ��$2�$�

� - 12�� �1 ��� �� �.!� ��$2�$�

� C 12�� �1 ��� 1� �.!� ��$2�$�

� // 12��� "� 2� 2� $� �$� ��. 1�� ����� $# ��� �1 ��� �/ 2� !����9

$�/ ��� - �. � 12��� �1 �2� 2����� ��$2�$� " �� � �� � $/� 0>09 �����0>0 � !�� �� 2//�. ��� ���.�. ��1����2� �D �!�9 �2� ��� � �1 ��� ��&$ DA� 2�$� # �/.� ��" 2�//�2� �� �1 0>0 /$�/�� 2//�. ��� �D �!� ��/� �� �� �9, ��� � �� �1 ��� ��$ DA� 2�$� � .���� ��. $# ��� 1�//�" �! .�2 � �� ���2���*

;< ��" �� ��� �.!� ��$2�$�� ������.J;$< ��" �� ��� 2����� ��$2�$�� ������.J

Page 71: Mathematics of the Rubik's cube

���� �! #�� ��!�� <�

;2< ��" �� ��� 2����� ��$2�$�� ������.J;.< �� 2� �1 ��� ��/� �� �.!� �D �!� �� L ���. ;��/� �� �� ��� ���&

.�. ��1����2� �D �!�<J;�< �� 2� �1 ��� ��/� �� 2����� �D �!� �� �����. 1�� ��� ���.�.

��1����2� �D �!� �.� 1 ��� $# ��" �2� ;�4!� �� 94!� �. �� 2/�2D" �����/� �� �� ��� ���.�. ��1����2� �D �!�<J

(��� �� ������ �� � ������� ������� �� ��� �������� ��������� ��� ��� ��������� �� ��*� �L�����M (��� �� ��� �!���� !������� (������ �� 5���)*����� �������

,� � �;������� ��� ����� ����� ������ ��� �� ������� ���� ���� ��������� �������

' � �����:� ���

(�� ������� �� ��� 5���)*� ���� ����� ����� � � �� H����� ��� ��� ��������� �������� ��� ��K����� �� ����� ��� �����H�� �������

(� ���� ��� ���� #��� ������ ��� ���������� ����� �� ���� �� +V8 ����� +!8 ���� E ��� ����� �� �� � �� �� ���� +������ ��� ���� � �������� �D���� ����� � �� �����8 0�� �� ��� ���� ��� ����� � ��������� ����� ���� �������� �;�� � ���� � ��� ���� ��� *�� ����� �� �� ������ � +�� �� �8� ��� �� � � �� ��� ��� E�;�� � ��� *� � � �� ��� ���-E�;��

(�� ����� +������E�����H�� ����8C

� /������ �������� ��)� ����� ������ ���� ��� ���� � ��� ������������ (�� #��� ������ �� ������� �� +���8 � ��� ����

� , ���� ������� �� H���� ���� �;����� ��� � �� ���� � �� ������� � � ����� (�� � � ������� �� ��� ��� � +��� �� ���� �� � ���� ��������� ��� E�;��8 ���� �� H���� ���� ������� �� ���� �

� (�� #��� ������ �� ����� ��� �����H�� ������� ���

B� ������� �� ���� ���� ��� ��� ���� )�� ������� � �EH���� ���������� �� ����� � ��9 � � �����

(��� ��� �� ������ �� � ��� ����� �� �� �� ����� � ������ ���������������� ���� ���� +'�� $�>2&� ��� 00� �� � 99�� ��� � ��� ���������������� ���� ��� 8

'������ �������� ������� �� ���� ��� ��� ���� �� �����

Page 72: Mathematics of the Rubik's cube

<� ����� �� ������ �� ������

�1������E�����H�� ����C (�� ����� ��� ��� ���� �;���� ��� ���������� ��� ��� � �� ���� �� ��� ���� ����� �� ������ ����� ���� ����� ��������� �� ��� ������ ���� ��� ��� � �� � �� ���� �� ��� ���� �����

�%I�����E�����H�� ����C (�� ����� ��� ���� ������ ��� ��� ���� �;������� ������ ���� ��� � �� ��� H���� �� �� �� ������� �� �� ������� � �� ���� ��� 7 +� � � �;����� �� 9� �� 78 �� �� �� H���� (��� ��� �������� �� � ��� ����� �� �� �� ����� � ������ �������� %I������ +'��$�>2&� ��� 00� �� � 9�9� ��� � %I����� ��� 8

20���� �3�3� '/# !�N

����� �� � ���� � ����

(�� 9 � 9 5���)*� ���� ��� 7 ����� �� �������� ���� �� ����� ��� 9 � 9 � �7��������� ��� � ����� �� 67 ������ ,� ������ �� #; � ��������� �� ��� ����� ������ �� �� ��� ���) � ���� ����� ���) ����� 3� ����� ����� �������� �� ���� 67 �� �������C

Page 73: Mathematics of the Rubik's cube

���� �! #�� ��!�� <�

�������������������

� �� �� �� �� �

� �� �� �� �� �

� � � � � �

� ! � !� �

��������������������������������������������������������������������������

� �� �� �� �� � � � � � � � � ! � � �� �� �� �

� �� �� � �! � �� �� �� �� � � �! �� �� � �� �� �� �� �

� � "

� ! � !� � �� �� � �! � �� �� �� �� � �� �� �� �� �

� !� �� �� �� � � �! �� �� � �� �� �� �� � �� �� � �! �

��������������������������������������������������������������������������

� � �! �� �� �

� �� � � � �

� !� !� !� !� �

� �� �� �� �� �

�������������������

(�� ����� ��� ��� �� ;���; ��� ����� �� ���� ��� �� ��� � ������ ����� � ����� ����

4������C 3� �� ������ ��� ��� ������ � ��� ��� ����� !�����C (� ����� ��� ������� �� ���� ���) � ��������� �� ���� ����� �������)���� !�� �;������ ��� ��� ���� ���� ��� �� ������ ��

Page 74: Mathematics of the Rubik's cube

<9 ����� �� ������ �� ������

�����������������������

� � � � � �

� �� � � �� �

� �� � � �� �

� �� �� �� �� �

�����������������������

(�� ������ �� ��� ����� ����� �� �������

20���� �3�3� $�/ ��� ����� 4 12��9

%����C /������� �� ���� ���� ��� 9 ������ �� �7 �������� ���� ������#��#��#��#� � ���� �� ����� ������ ���� ��� ���� !�� �;������ ������� ���� � ��� �7 �������� �������� ��� +� ������ ��� ��� ��� ������ ���+�� +�� � ��� ���� ����� + �� �������� ��� ���� �� ��� #��� ����� ,� ����������� ��� ���) ����

Page 75: Mathematics of the Rubik's cube

��$� �#�"! <?

(�� �� �������� +������ � ��D��� ����� ������8� ��������� ����� �� ��� ��; ����� �� ��� ���� ��� ��� ��C

$� � +96 ?� == =?8+7� 7� <? <98+?� 79 =< <�8��+?� <7 =7 7�8+? � ?� 68+7 � ?9 ��8+< � ?? ��8+= 9 ?7 ��8�

$� � +�< �� 7? ��8+�= �9 77 ��8+�6 �? 7< ��8+�� �7 7= �98��� � +67 9= 96 �8+=9 �7 7� ��8+<� �9 <� �?8+7� �� =? �<8��+=6 ?� ?7 6�8+6� 7? ?? =�8+6� << ?9 7=8+77 7< <6 <=8�

�� � +?6 �� =7 �=8+<� �� <9 �78+=� �? 7� �98+6? 9< ?� �8�+� � +=6 ? 6� 6�8+<< �< =� =�8+7? �6 76 7=8+?� 9� ?< =78�

�+� 9 9� �<8+� �7 �6 �?8+� �= �= ��8+�9 �? �< �78�+� � +<� 7 =� 6�8+<9 �= =� <68+<? �� =� 7<8+<7 9� =9 ??8� � � +9� == 6 ?<8+�= <7 �� 768+�7 79 �� =�8+9 ?� 96 6�8�

�+9� ? = 998+9� �< < ��8+9� �6 7 ��8+�= �6 �� ��8� � � +�6 =< �� ?=8+�< <? �� <�8+�? 7� �9 =�8+� ?� 97 698�,� � +?� ?� 99 7�8+?� 7? �� ?68+?� << �� ?=8+96 =6 = ?<8��+6 �� 9= 9?8+�� �9 9< ��8+�� �7 97 ��8+�� �� �? �98�

,� � +?9 <� 9� 798+77 <� �� 7�8+<= <� �6 7�8+6� 76 < 7�8�1� � +?< 7� 67 6�8+?= <� 6? =�8+?6 =9 69 768�

�+<� <� =� =�8+9? =6 �< 9�8+97 6� �= 9�8+9< 6� �6 9�8+9= 6� 9� 998�1� � +�� << �? �68+�9 <= �7 ��8+�? <6 �< ��8+�7 =� �= ��8�

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� ������� �� �1 ������ �� ��MM/� �� �� �&=�. 1�� �� � ��MM/�9

����� �� � ���� � ����

B���� ��� ��� � � �� � � �� � 9 � 9 ������ ��� ��� ����� 5���)*� ��������������� �� ��� �� 0 )��� �� ��� ? � ? 5���)*� ���� ,�������������� ��� ��������� �������� ����� ����� ��� ���������� �� ��� � � ������ �� �� ������ �;������ �� ������� ��� ����������� ��� � ��� � !������������ �� ����� �������������� � ��� ������� �� ���� ������ ��� ������� �� �� �������� � ��� ������� $:& �� ��� ����� � � ��� �������� �� ��������E������� ���� $>:&

��+ *('

(�� �)��� �� � ���� ����� ��� ��� ������� ��� �� ��� �K������ ������ 5���)*� ���� !����� #; � ��������� �� ��� ���� � ������ �� �� ���

Page 76: Mathematics of the Rubik's cube

<7 ����� �� ������ �� ������

���) ����� � ���� ����� � ���) ����� ��� ��� ����� � �� �� -��� �� �����7 �"���� ����� ��� ������� ��� ? ������ �� �������C +��� !� 9 ��8

!� ��� 9 ��C (�� ����� �)��� +����8

(�� 9 ����� ������ ��� ������ �;����� �� � ��� ���� �� ��� 5���)*� ����+�� ��� ����� ���� �-� ����� �� ��� ����� �� ��� ���� ��� ����� ����� �� �� - ��� ��� �� ����� �����8

(�� �)��� ������ �� � ���� ������� �� �������C ����� ��� = ����� ����������� ��� ���� � ��� ����� �� � ��������� !�� �;������ �� ��� ��� ����� � ���� �� ��� ��� ����� �� �� �� ����� �� ��� ���� ���� �� ��� ������� � ��������� ����� ������ ��� ������ ��� �� ��

(�� ����� �� ��� �)��� ��� �K���� ���� ��� 5���)*� ���� �� ����C :������� ������ ��#6 7� ����� �- �� ��� ������ ��� �� �� ��� ������ ���� � �� ���� ����� ����� /��) � �����#6 7 �� ��� ���� � ��� � ��� � ����� ����� � ���� ����� �����; � ��� �������� ����� �����; +��)����� ��������8 (��� ��� �#�� � ��� � ��� ������� � ��� ����)���� �������+����� ���� ��� ��� ���)� �� ��� ��� ����� ��� ���)�8 B� ������ ��� �)��� �� �#� � ����� �� ���� ������� �� �������C B� ������ � ���� ��� ������� �� ��� ����� ���� ����� ��� ��� � ���� �������� ��� ���� ������� ���� ����� � ���� �������� (�� �)��� ��� � �������� �� ���� ����� �������� ������ ���� +� ��)���� ����8 ��� �)��� �� ��� � ���� �����

Page 77: Mathematics of the Rubik's cube

��$� �#�"! <<

� � ����� ��� ����� ���� ���������� #;� (��� ������� �� ���� ��� �)�������� � ���� ���� �� ���� #6 7

3� ��� ���� ����� ��� ? � 7 � �� ������ �� �������C

����������������

� �� � �

� �� �

� �� �! �

�������������������������������������������������������������

� � � � �� � �� �� � �� � �

� � � � � � �� � � �� " �

� � � � � ! � �� �� � �� �! �

�������������������������������������������������������������

� �� �� �

� �� � �

� �� �� �

����������������

20����� �� ���� .�� ��� ���� �� $+ ���2 ��. �� ��� 2����� ���9 �� ���� ������� ��� 12��� �1 ��� �D�"$9 ,� ������ ��� ��� . �E� �� 2#2/����� �� 1�� �� � ��� �

$+ � +7 �7 ��8+< �= �?8+�� �< �98+= �6 ��8�

����� � ��� 2�/� -C� .��� ��� ��� ��� �&12��9

Page 78: Mathematics of the Rubik's cube

<= ����� �� ������ �� ������

(�� �� �� ����� ����� ��� ��� ��

+$ � +7 �7 ��8+< �= �?8+�� �< �98+= �6 ��8 $, � +�� �7 �78+�� �< ��8+�? �� �68+�� �= �<8,$� � +�7 �7 �8+�< �� ?8+�= �< �8+�� �6 98�$+ � +� �7 78+� �6 ��8+? �= 68+� �� <8

+1 � +�� 7 ��8+�? �� 68+�� �? <8+�9 �� =8,1 � +�7 �� ��8+�6 �� ��8+�< �� ��8+�� �9 �98

+1� � +7 �� �8+6 �? �8+�� �� 98+= �9 �8�1, � +� �� �78+� �� �<8+9 �9 �=8+? �? �68�

,�� ����� ����� ��� ������ �� ������ ����� ����� ��"�������� (�� ����� ��� ������ ��� ����) ����� �� ;���;� ��� ����� �� ����

����� �� ��� � ���� �� �� �����

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� ������� �� �1 ������ �� ��MM/� �� �� �&=�. 1�� �� � ��MM/�9

��, -������.

(�� ������; �� � ��@@�� � ��� ����� �� � ��������� , ��������� ��� 9E��� �� ���� ������� ����� ��� �� ����� ����� ��� �"��������� ���� ��� -��� �� ��� 9 ����� �� ��� ��@@�� �� ���� ��� 6 ���� ���� ������C +��� !� 9 ��8

(���� ��� � ����� �� 9 � 6 � �7 ������ � ��� ������; (��� ���� �������� �� ������� +��� ����� ��� ��� �� ;���; ����� ��� �� ���� ��� ������ ������ � ���� �� ��� � ���������8C +��� !� 9 ��8

3� #; � ��������� �� ��� ��������� � ����� �� ���� ��� ��� ���)� �� � ���� ����� �� ���� ��� ������ 3� ��� ���� ����) �� � ��� ���� �������� ���� ���� 3� ����� ��� 9 ����� �� �+���8� �+� ��8� �+���8� +��8 3������ ��� �������� V+�8� 5+� ��8� :+���8� � �+��)8

(�� ��������� ������ ��� ��� ������� ��� ���E���������� �� ���E����C �� ���� �����; # +�� # � $� � ��,8 ����� �� � ������ ���� + ����� ���� !�� ���� ���� ����� �� ����� ��� ���� ��� ��� ����� �������� ����� �����; # � ��� � ������ ��� ���� � ��� �����; 3� ��� ����������� ��� ���� ��� ���� � ��� �����; �� �� ����� ����� �"����� (�����E���������� � ��� ����� �� ��� ���� ������ ���� �� ����� ��� ���� ����� ��E������� �� ��� ���� + � ���� +�� ��� ���E���������� � ��� ���� �����

Page 79: Mathematics of the Rubik's cube

��%� ��� �& <6

!� ��� 9 ��C /�����;

!� ��� 9 ��C

Page 80: Mathematics of the Rubik's cube

=� ����� �� ������ �� ������

�������� �� ��� ���� + ���� �� ����� ��� ���� ����� ��������� �� ���� ��������� +�� � ��� ���E��������� ������ ��� �����; # �� ��� ���� ������������ �� ���� �����;� ���� +�

(� ���� ���� ������ + � �� ���� � ����)���� ������� �� ��� � ���� ����� #��� ����� +� �� ��� ���� 3� ����� ���� ���� ������� ���� �� +� (���������� ��� ����� ��� ������ ���� � ��� ����� +� '��������� �� ���� �����)���� ������� �� ��� � ���� �� ��� ���� ����� +� �� ��� ���� 3������ ���� ���� ������� ���� �� +� +� ����� ��� ����)���� ������� ����� � ���� �� ��� ������ ���E��������� ������ ��� �����; # (��������� ������� ��� ������ ��� ��� �7 ������� ���� ��� �� �� ��� �� ����������� �� ��� ������ �� �� ���� �7

!�� �;������ ��� ����)���� ������� �� ��� � ���� +���)� �� ��� ��������8 �� ��� ���E��������� �������� �� ��� ���� ���� ���� �� ���� +� (�� ��D��� ����� ������ ��� ���� ����� �� ��� �� � ����������� ��

+� � +�� �� �78�

(�� ����� ����� ��� ��� �� �������C

+� � +� �� �<8+= �� �78+< �� ��8+�6 �6 ��8��+�= �= �8+� �< ��8+7 �? 98+? �7 �98+� � +6 �? �?8+�� �9 �98+�� �� ��8

+� � +�� �� �78 � � +� �7 �<8+�� �9 �78+�� �? 78�

�+�9 �� ?8+�� �� �8+� �� �=8+6 �� <8+= �� �68 � � +�� �� �?8+�7 �6 �98+�? �� 98

� � +�< �= ��8�� � +� �= ��8+? �6 ��8+9 �� 68�

�+�9 �9 =8+�� �7 �8+� �< ��8+�� �7 �98+�� �? ��8�� � +7 �� ��8+�7 �� �68+�? �? <8

�� � +�< �� �=81� � +�� �= ��8+�9 �6 �98+�? �� �?8�

�+�7 �� �78+�< �� �<8+�= �� �78+�6 �� �98+�� �? ��81� � +9 < ��8+? = ��8+7 6 ��8

1� � +� � �8

,�� ����� ����� ��� ������ �� ������ ����� ����� ��"�������� 0E��� ������ �� ����� ��� �� ��� ����� �� ��� ���� +� � +�� ��� ���� ����+ � ��� ��� ��D��� ����� ������ ��� ����� ����������� ��� � ������ �������������� �� ����� ��

Page 81: Mathematics of the Rubik's cube

��'� ����� �& =�

20���� �3�3� ��� 1# ��� ��� ������� �� �1 ������ �� ��MM/� �� �� �&=�. 1�� �� � ��MM/�9

��/ )�����.

(��� ��@@�� �� � ��� ����� �� � �������� , �������� �� � ��E����� ���� ������� ���� ��� ����� ���� �� ��� �� ����� �� � ���� � 3� ������� ����� �� ����� �� ���� ����� � � � (���� ��� �� �������� � ��� �� � � ��������

-��� �� ��� ��@@�� ����� ��� ��� ������� ��� �� ������ �� ����� ����� � ���� � ��� ����� �� ���� �������� �� ���� � � � �� ��� ���� ��� � �+��� ��E#��� ��� ��� �� ��� �������� �����;8 , ������� �� �� �������C+���!� 9 �98

!� ��� 9 �9C %� ���;

(���� ��� � ����� �� ����� � ��� ������ � ��� ��@@�� -��� ���� �� ��� ������ �������� �� � ���� � ��� �������� ��� !�; � ���� �� ��� �������� ������� � ���� �������� �� ���� ���� ����� ����� � ��� ���� � ����� ��E#��� ��� ��� �� ��� �������� ���� (���� ��� �� ���� ������ (�� ���� ��������������� �� ��� �� ����� � �� ���� �������� ���� ��� ���������� � ��� � ��� � �� ��� ��� ���� ������ ��������� �� ��� �E�� �����

Page 82: Mathematics of the Rubik's cube

=� ����� �� ������ �� ������

� �� ���� �� �������� ���� ��� �������� +���� � ���� ���� �������������� ��� ���� �� ������8 3� ����� �� ��� ���� �������� � ���� ��� (��� ������� � ������� �������� � ��� ����� � ������� ����� ���� ����������� ������

!�� ���� ���� ����� ��������� �� � ��� ���� �� ����� �� � ����� ��������� ���� �� �� ��� �� ���; ��� �� ����)���� ������ ��� ����� �� ����� ���; �� ��� � ���� ����� ��� ���� �� ��� �������� ������� '��� � ���� �K���� �7 ������ �� ��� �� ���; � ������ ��� ������ ��7������ ���������� #;�

:���� ��� �� ����� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� � ���� #;� ��� 0�� ������ ��� �������� �� ����� � �E����� � ���� � ��� ���� �� ��� � ���;�E���� � �� ������ ��� ��� �������� @E�;�� �� ���� �� �� ��� ���������� ��� ��� ���� �� �� ��� ;�@E�������� +���� �8� ����� � �� ��� ����� �� ���������� ������ ��� ��� ���� � � � �� ��� ������ ���� ��� ���� ���� ����� ���� ���� �� ��� ��������

20���� �3�3� ������� � � �9 C �. �9 ;�� � � 1 �/# ��. & ��� ��� 2������� '/��� 2 ��/ .� 1�� ��� .��9<

(�� �� ���� �� ����� �� �� (�� ������ ��� �� ������ ������ �� ���������� ����� ����� ����� ��� ��������� �� �������� � ��� �������� ��������� �� � � � �� ��� ��������� ����� ��� �� ����� +��� !� 9 �?8

, ���� ��������� ��� �� ���� ��� ����� �� ��� �������� �� �� �������+��� $�&� �;������ �= �?8C

�� ��� ��� ��� ���� ���� ��� ��� ���� ���� ���� ���� �

Page 83: Mathematics of the Rubik's cube

��'� ����� �& =�

!� ��� 9 �?C

B� �������� �� ���� ������ �� �;����� � ��� �������

20���� �3�3� ������� ��� ��� ������ �� +� � � � 98 �1 ��� ��$����� �� �� �� 9 2�� �� ��� /$�/� �� ���� � �. �� ���� � � ��� �$� ��� "#9���" ��� �� � ������ �� �1 ��� 12�� 2��������.� �� ���� �� �1 ��� .�&.�2��.���9

1����� ����� ��)� ��� ����� ���� �����; �� ��"���� ������� �� �����E��� ��� ����� ����� �� ��� � ����� 3� ��� ��� ������ ���- ��� ��������; �� ��� �������� ����� ���� � ��� ����� ����� � �� - 1��� ������� ���� �� ���������C ���- ����� ��� ���� �����; �� ���- �� -���

(�� ������ �� ��� �� ���; ��� �� �����#� �� ���� ��� 5���)*� ����C� ����� ����� ��� �� �����#� �� $���-&� ����� �� ��� ���� ��� ����� ������ � �� - ��� ��� ��� �� ����� ����� �� ��� ����� , � � ����� ����� �����#� �� $��&� ����� �� ��� ���� ��� ����� ����� � � � �� ��� ������� ����� ���� �� ��� ����� (�� ����� ����� �� �� ���� ������ �� ������ $��& 3� ���� ���� ���� ����� ��� ������� �����

3� ��� ����� ��� ������ �� ��� �� ���� �� �� �������C

Page 84: Mathematics of the Rubik's cube

=9 ����� �� ������ �� ������

�� ����� ������ �������� ����� ������� ������ � $��������&� � $�����&� � $��������& 9 $�����&� ? $�������&� 7 $����& < $�������&� = $�����&� 6 $��������&D �� $�����&) �� $��&

!�� ��� �;� ���� +��� �� ����8� �� ����� ��� ������ � ���� � ��� ���� ��� *� � � �� �� D��� ��� ��� � � �� ��C

�� ����� ������ �������� ����� ������� ������ �� $��������&� �� $�����&� �9 $������� & �? $���� &� �7 $���� ���&� �< $�����& �= $��������&� �6 $�����&� �� $��������&D �� $�����&) �� $��&

0 ������ �� �� ����� ��� ������ ������ � ���� � ��� ���� ���

Page 85: Mathematics of the Rubik's cube

��(� ���� ������ �� ������ =?

����� ����� ���� �� ������������ ��� ��C

�� � +� � ? < 68+� 9 7 = ��8+�� �� 9� ?� 798��+�6 �� 9� ?� 7�8+�= �6 9� ?� 7�8

�� � +�� �9 �7 �= ��8+�� �? �< �6 ��8+� 7� <� =9 ��8��+� 7� <? =7 ��8+� 7� <9 =? ��8

�� � +�� �? �< �6 ��8+�9 �7 �= �� ��8+=� 6? 9� � �78��+=� 67 9� 9 �<8+=9 6< �9 ? �=8

� � +�9 �7 �= 9� 9�8+�? �< �6 9� 9�8+�< 6� ��7 ?� ?8��+�= 69 ��< ?9 78+�6 6? ��= 9? <8

�� � +9? 9< 96 ?� ?�8+97 9= ?� ?� ?98+�= ��9 ��< 79 <8��+�6 ��? ��= 7? =8+9� ��7 ��6 ?7 68

�� � +?7 ?= 7� 7� 798+?< ?6 7� 7� 7?8+96 ��? <? �� 68��+?� ��7 <7 �� ��8+?� ��< 7< �� �8

�� � +7< 76 <� <� <?8+7= <� <� <9 <78+?= ��� ��7 =7 ��8��+?6 ��9 ��< < ��8+7� ��? ��= <= �98

� � +<= =� =� =9 =78+<6 =� =� =? =<8+<� ��9 6< �� �98��+<� ��? 6= �9 �?8+<� ��7 =6 �? �78

�� � +=6 6� 6� 6? 6<8+6� 6� 69 67 6=8+=� ��� ��= �9 �?8��+=� ��� ��6 �? �78+=� ��9 ��� �7 �<8

�� � +��� ��� ��9 ��7 ��=8+��� ��� ��? ��< ��68��+6� ��� ��6 9? �78+6� ��� ��� 97 �<8+6� ��� ��� 9< �=8��� � +��� ��� ��? ��< ��68+��� ��9 ��7 ��= ���8�

�+��� ��= 7< ?7 9<8+��� ��6 7= ?< 9=8��+��9 ��� 76 ?= 968

��� � +��� ��9 ��7 ��= ���8+��� ��? ��< ��6 ���8��+��� =6 <= 76 ���8+��� 6� <6 <� ���8+��� 6� =� <� ���8

��0 1��� ���������� ������

0 ���� ���� ��� ������� ��@@���C �������� � ���������� +����� ��@@���8����@��)�� +� �"�����E��)� ��@@��� ��� ��� ����������� ��� �� ������ ��E������8� ����;���*� ����� +� �������� ���������8� ���� �������������+� ����������� ����� ��������� E ��� $.&8� ����)��*� ������ �� +� �����E������ ����� ���� ���� �������� E ���������� ��� ���� �� ��� �)��� ������� ���� �� ���������� �� �����8

(�� ��@@�� �>��������*� D������ ���������� � �5���) ���������� ����� ����� ��� ������E5���)*� ���� ������ +��� $.&8 +0��� �� ��� ��)�

Page 86: Mathematics of the Rubik's cube

=7 ����� �� ������ �� ������

� 5���)*� ����� ����� �K ��� ��� ����)��� +��� ���� � �����8� � ����������� ���� �� ����)��� ����� � 5���) �������� (��� �� ������� ����������� �� ��� ��� ���� �� ��� ����� �� ������� � ������� < ������'������� ����� �� ��� /������ ������ 8

(�� �����;� ��@@�� +� ������� �� ��@@�� ����� ��� �� ������ ����� �� ����8 �� � ���������� ��@@�� �� ��� ���) �� � ���� +����� �������� �������� ��� ������ �W�K8 �� ������� ��� ������� �� ��� ��� �� ��� ������� ����� �� ������ +��� ������ �� ������ ����� ��� ���8 ��� �� ����������

(���� �� ���� ����� �� ���� ��@@��� �� ��� �;������ $'�&� $.&� $�&� $2(&� $O���&

Page 87: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

����� �

GC �3���*� ����������� � ������S�,C �, ������ ����� & ,�2 ��� +�� ��D�

�0 �6�� ��� ������������ B���� R���� � ��� ���������O���� O��� ���� ������� ��� ������ �� ��� ������������ ���E������� �� /������ V�������� P3� ��� �� ���� ��� ��� �����������P ��� O��� P(��� �� � ���D��� ����� ���� ���� �� �� ����� �� ������� P 0� �� �� ������ ������� R���� ������ O���*����� �� ������� �� �� �� ��� ��� ������� �� ���� ������ ������� ������������ ���� ,�� �� )�� �� ���� ���� ������������ �� �� ��� �� , R����*� ���� �� ��� O���* ����������� �� �� �� ���� ��������� �� ��� ������� �� ������ ��/������ �� ��� ���� �� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ���� ��� ������ ������ �� �������� � �� ����� ������� ��� ���)E� �� ��� �� �� ��� ��� ���� �� �� ������ ��� ����������������� �� ����� �

C���� �9 �#����������C�� ,+����,�� ���� 3�8�

3�� �� ����� ��������� ��@@��� � >������ 9� ������ ���� �� ����� �������� ��� ���� ���� ���� ��� ����������� (��� ��� � ����� �� ����� ������� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ����� �� � ���������� ��@@�� �� ����� ���� , ���� �� � ��� � ���� � ����� �������� +����� � ������� C �� � 8 �������� ������ ���������� �� �� ��� ������ �� �� ����� ��

=<

Page 88: Mathematics of the Rubik's cube

== ����� �� �����

���� ���� ������ ��� � ������ ������ ��������� �� �� B� ����� �� ������� �������� ���� �� ����� ���������� ��@@�� ���� ���� �� � ���� � ������� !�� �;������ ��� ��� �� ����� �� ��� �? ��@@�� � �� ���� � ���� ����� ��� ���� � ��� ��� �� ����� �� ��� 5���)*� ���� ���� �

O��� �� ��� ����� �� ���� ���� � ��� �� ������� � ���� 0� � ��#��� ��� �� ��� �� �� ���� ��� ��� ������� � � � ���� +�� ��������8��� ��� ������ �� ��� ������ � ,����� ����� �� �� ������� � � ������� ���� ���������� � ��� �#� � ����� �������� � � � , ��������� �� �� ��� � ������������ �� � -��� �� ����� ��� ��� ����� �� �������� �� 3� ����� ��������� ������� ��� ����� �� ����� ����������

!����� �� ����� ���� � �;�����

��� 2� �������� �����

������ �#� ����� � �� ����� ������ � ������ ��������� ��� ���� ���������� ����� ���� ����� �����

:�� # �� �� #��� ��� � ��� �� ���� ��� ��� �� ��� ����������� ��# ��� ������C

�� � � C # # � � �� � ��D������(��� ��� ��� ��� ������� ����������C

� �� �� � ���� �� �� ��� �� +��� ���������� �� ����� �����������8���� ���� � �� ��� +������ ��� ������������8�

� �� �� �� � ��� ���� �� �� ��� +��8� � �+��8� +���������������8�

� ��� ������ ���������� 0 C # # ���� � �� �� +��;������ �� ����������8�

9 �� � ���� � �� �� ��� ��� ������ ���������� ��� ���� ���� � �� ��+��;������ �� ��� �������8

(�� ��� �� �� ����� ��� ��������� ���� �� # 3� ����� ������� ��)� ������ ��� # � ��� �� ��� ���� �� �� ���� �� � ����� ���� �� ����� ���� ��� ���E������ ���� �� �� (��� ���� �� ���� ����� ��� ��������� ���� � � �������

20����� �� * ������� # � �� �� �9 �� 2� .��2� $� �� �

�� � 0� �� � +� �8� �� � +� �8� �� � +� � �8� � � +� � �8� �� � +� �8�

Page 89: Mathematics of the Rubik's cube

���� ������ ��� � � ��� =6

�� 2� 2����� // ���� $/� ���.�2�� �1 �"� �/����� �1 ��� !���� �. �$&�/�� ��� � �/� �/ 2� �� �$/� �

0 �� �� �� � ��0 0 �� �� �� � ���� �� 0 �� �� �� ��� �� � 0 �� �� ���� �� �� �� � 0 ��� � �� �� 0 �� ���� �� �� � �� �� 0

�������� � ��� 1# ��� 1��� ������� �� �1 �� ��� ���. $���9 ;������� ��� ��� =2� �� �1 ���2 � � �# 1�//�"� 1�� ��� ���2 � �� �������# �1��� 2���� � �� �1 1��2� ��� & ��� ��� �:��2 �� K959�<9

��� 3���� 45�������

3� ��)� ��� ����� ���� ���������� �� ��� ��������� ���� �� ��� ���� �#� ���������� �� � ����C

5�6���� �� �� � $� ��� �. ������� ��� ����� � �� �!

� C �����+��� ��8 �� �� � ��

;2//�. ��� !����A� ����� ��< �� �1# �!

;(3< 1 ��� �� $�/��! �� � ��� �� � �� $�/��!� �� � ;0� � 2/���. ��.�� �0<�

;(H< 1 ��� ��� �� $�/��! �� � ���� +�����8��� � ���+�����8 ;0���2 � � �#0<�

;(K< ����� � � �/���� � � � ��2� ��� � � � � � � � � � 1�� // � � �;0�: ����2� �1 � .��� �#0<�

;(�< 1 � $�/��!� �� � ���� ����� � � �/���� ��� � �� 2//�. ��� ������ �1 ���2� ��� � � ��� � ��� � � � � ;0�: ����2� �1 ������0<9

���� � ;/��! " �� ��� ����� �� �< � !����9

Page 90: Mathematics of the Rubik's cube

6� ����� �� �����

20����� �� ,2��//#� �� � � 0���&�:�/�09 �� � $� ��� ��� �1 // /�!/���� ;��� 2� ������//# D� 1�� /�!//# �$� ��. ��� � ��< �1 ��� 34��MM/� ;� .��2� $�. � ������ �<9 �� ! ��� ��� � ��� 1�� �:�/� ��� ��/��.��� � ��� ����� ���A� ��� �# ���� $ / � ��* ����� �� ��/# H ���� � �����/��. ��� � �� �. ����� �� ����� �# ��� ��� � ���� ���� $/� 1�� �#��� � ��9

C�� ��� ��/��. ��� � �� ��� 2� ��� +�?� �78 �. +��� �78 ;"���� �7.������ ��� $/�D �@���< $�� ��� 1�� �:�/� +�� �789 � �2� +�?� �78� +�� �78 �� �. � �2� +�� �78+�?� �78 � ��� /�!/ ���� � 1�//�"� ��� 2���� � �� �1/�!/ ���� � ��� /"#� /�!/9 �� � ���"� ��� 2���� � �� � ��� $ ��#����� ��� �� �������# ��$�� ;(3< 1 /� �� ��/.9

0 ��� ����� �#����� �� ���� �� ������ ���� ����� ��� �;����� �������� ������ � �� � �������� � ����� �� �� ���� ���� �� ����� �� �� ����� �� ��"�� +(� � ���� ��� �� �� ��� ��� ���������� ���C �� � � � * � ������� � *� � � �� ��� � * 8 :�)������ �� � �� � ���� � � � � ��� ��������� ������ �� � �� ��"�� (���� ��� ����� ���������� �� � ���� ������� �� ����� ���� +2�8E+298 3� ����� ����� ���� �� ���

(�� ������������� ����� �� � #��� ���� � �� � ��������� �� ��� �������� ��� ����� �������� � :�� � � ��� ���� �� (�� ������������� ����� ��� ��C

X �� �� �� ������ �� �� � �� ��

'��� ����������C

����� �� ;< �2� �/���� �� � � �22��� �:2�/# ��2� � �2� ��" �1 ����$/�9

;$< �2� �/���� �� � � �22��� �:2�/# ��2� � �2� 2�/�� �1 ��� �$/�9;2< �1 ��� +�� %8�� ����# �1 ��� �$/� � �@�/ �� ��� +%� �8�� ����# ���� ����� �

�� � ��9;.< �1 ��� �$/� � �#��� 2 $��� ��� . !��/ ���� � � � � � � � 1�� //

�� � � �9 ;�� �� � 2��� "� 2// � $�/ �9<

Page 91: Mathematics of the Rubik's cube

���� ������ ��� � � ��� 6�

20����� �� �� ��� $� ��� !���� "���� �/����� �� �� �� ���� �� �. 1��"� 2� ��� !���� ����� �� � � �/# 0.. � �� �. ��0� E��� � ��� ..� � ��� 2/�2D ;�:2��� ��� "� 2// 03H �A2/�2D0 05 �A2/�2D0<9 ���� ? T = � ��� T �� � �� �. �� ��9

O���� ��* ��� � ��� ������ �/���� �1 ?J ��� ������ �1 �J�� � !���� � 2//�. ��� 2#2/ 2 !���� �1 ��.�� 3H9

20���� �3�3� ������ ��� �/� �/ 2� �� �$/� 1�� ���9

5�6���� �� �� � � � $� � ���!�� �. /�� �� $� ��� !���� "���� �/&����� �� �� �� ���� � � � ;��� ���2 ��/#� �� �� ���� �� �� "���� � � ������ .�� 2/�� �. � �1 �< �. 1�� "� 2� ��� !���� ����� �� � � �/# 0.. &� �� �. �09 �� � !���� � 2//�. ��� 2#2/ 2 !���� �1 ��.�� �9

!�� ������� ������ � ������ ������ ��� ��� �;����� $2& �� $5&

5�6���� �� �� � �. � $� �"� �/����� �1 !���� �9 �� �# ��� �2����� " �� � ;�� ��� �� � 2����< 1 � � � � � � �9 �� 2// !����2���� �� ;�� 0$�/ �0< 1 ����# � � �1 �/����� �� � $�/��! �! �� �2����9 �1 � � !���� "� 2� � ��� ��2���� /# 2���� �� ���� "� 2//� ���2���� �� ;�� 0���$�/ �0<9

20����� �# ��� ���!���� " �� ��. ��# .. � �� � ��� !���� ����� ��� � � $�/ � !����9

20���� �3�3� ���" ��� �# !���� �� �! �:2�/# H �/����� � $�/ �9

1�� ��� ����� ����� ������ ��� ������� �� ��� D�)� "���� ����� �� �� M

.��;�����C 3�� ���� ���� ����� � ����� �� ���� ��� ���� � ���� ������������� ������ �� D�;��������� +���� ��� ��������� ������� �� � ����� �� � ��8� ���� �� �;������ 0� ��� ���� � �� ������ ����� ���� �������� � �� T � ��� T �� ��� �����

1�� ���� �� )�� ��� �#���� �� � ����� ��� "������ ������C ����� �� ���� �� �������S (�� �������� ����� �� ���� �� ������� � �������� �� �� �� �� ������� � ���C �� ���� ���� ��� ��� ������� � ��� ���������������� ����� �� �� ���� ������� ��� ��� ������� � ����� ��������E����� � ����� �� ���� �������� ���� ����� �� �� ������ ��� ���� ������������ ���� (��� � ��� #��� ��� ��� ��� ������ ����� � �� ��� �;������� ��

Page 92: Mathematics of the Rubik's cube

6� ����� �� �����

�� ���� ���� ���������� ����� �� ��� ���� ����� ���� �� �� ������� ����������

B�� ��D������ �� �� ������� �������� � � �����"��� ����� ����� ���� ������ �������������� ���������� ��@@��� (�� ���� �� ����� ���������� � ���� ����;� ��� �#� �;�

5�6���� �� �� # $� =� �� ���9 �� ��� ��� ���� �� $� =� �� ��� �1 �/�&���� �1 ������ ��� �1 # ;�� ��� ���# // $�/��! �� ��<9 �� � $� ��� ����1 // ���� $/� ���.�2�� �1 ��� 1��

� � � � ���� � �� � � ��

"���� �2� �1 ��� �� ���� � � �D�� 1�� ��� ��� ��� ���� ��9 ��� ��� ����!����� " �� ��� !���� ����� �� ! ��� $# 2���� � �� �1 ������ ���� �2//�. ������ �� !���� " �� !�������� ��� ���� ��9 �� ���� �� "� ��

� �� ��� ���� �� �� �� �

0� �� �� ��� ��� �� D������ ��� �������� �C

����� �� , ������ �� !���� � !����9

����&C :�� � �� � ���������� ���� �� � ��� ����� �#���� 3������ ��� ����� ���� ���� � � � ��� � ������� ����� ��� ������� �� ������������� ��� ��� ����� �� ������

(�� ��� �� � � � � � �� �� #��� (���� ��� �� � �� �� � �� ���� ������� � ��� (�� ��� � �������� ���� � � �������� � � �

(����* � ��� $��� .�=� � �� 2� $� !����/ M�.* ���/2� �� $# �# !����� "� 2� �2/�.�� // ��� !�������� ��� ���� ��9 ��� ����/� �! ��� � � 2//�.��� !���� !������. $# ��� �/����� ��� ���� ��9

/� ��� �C0���C (�� �������� ��� ���� �� +�� ����������� � ��8�B�����C (�� ������� �� ��

� � ��� ���� ��� ���� � ���� ���� �

� � � � ��

Page 93: Mathematics of the Rubik's cube

���� ������ ��� � � ��� 6�

�� + '� , ��

�� � '� - ��

' +.� ��� '� - �� � - / - �'�� 0+.�1 ��'

����

����

1��� ���� ��� ��@� �� ��� ���� : � ��� ��� ���� ��� �� ����� ���� ���������� ��� ���� (�� ���� �� ���� �� ���� ��� ��E��� ����� �� �� �� �;������;����� ��� ��� ���� ������ �� ��� ����

20���� �3�3� ��� 1# ��� ������ �� !���� � �� �=�� ��� 1��� ������� ���1 !���� ;(3<&;(�<9

5�6���� �� �1 � � !���� ���� ��� ��.�� �1 �� .�����. ���� � ��� ��&$�� �1 �/����� �1 �9 �1 � � � �/���� �1 ��� !���� � ���� ��� ��.�� �1�� .�����. ��+�8� � ��� �//��� ��� � �� ���!�� � ��2� ��� �� � �� 1 ��: ���9 �1 ��2� � ���!�� .��� ��� �: �� ���� "� �# ��� � �� 0 �=� ����.��09

20����� �� C�� �:�/�� ����� � � ���� ������ �� �1 ��.�� 9� � ����1�� �:�/� +�� �8+�� 9� ?8+7� <� =� 6� ��� ��� ��8� �. � �.. ������ �� �1 ��&.�� �? � � � 1�� �:�/� +�� �� �8+9� ?� 7� <� =89

� �!���� G� I ����� ��� ��� : / ��.�� � ��� ��$ DA� 2�$� !���� � 3H859

3� ����� �� ���� �� ��)� ��� �� ��� ������� ���� ���"�����

' ����� �� ;< ;��2�#< �� � $� �� � . � . �! ���9 ����� � � � ��1 ��.�� �9

;$< ; !��!�< �� � $� � ���!�� ��� . � . �! ���9 ����� .��� ��� �: �� � � � �1 ��.�� �9

(��� ���� �� ����� � ������ �����

,� � ���������� �� ����C �� ����� ��� ����� ���� ��� 5���)*� ���� ���� ���� ��� �������� ���� ��� � �����?�<��� 0� ������� ���� ���� � :� �� �*�������� ���� ����� �� � ���� �� ��� 5���)*� ���� �� ���� �� ��� ����� ���� �� ���� ��

Page 94: Mathematics of the Rubik's cube

69 ����� �� �����

20���� �3�3� �� # � �� �� �9 �� ��� ��� ���� �� �1 ��� �:�/�$���9

;< �� � $� ��� ������ �� !���� " �� !������� ��� � �� �� �9 ��� 1#��� ����� �� ��/# �"� �/����� � �9

;$< ��� � ��� ��.�� �1 ��J;2< �� � $� ��� ������ �� !���� " �� !������� ��� � �� �� �9 ��� 1#

��� ����� �� ��/# ����� �/����� � �9;.< C �. ��� ��.�� �1 ��9;�< ���" ��� �� �� ��� �� �9

5�6���� �� �1 � � ������ �� !���� � " �� ��/# ��� !������� ����"� �# ��� � � 2#2/ 29

����� �� �1 � �� � � � 2#2/ 2 " �� !������� � ���� ��� � ��+�89

����&C :�� � � ��+�8� �� �� � � 3� �� ���� ��� ��� ������� �� � ���������C

�� �� ��� ���� �����

(���� ��� � ������� � ���� ���� �

����� !"� #���� ����

:�� � �� � #��� ����� ������

� � � � �� ��� ���� ���4�� � ���� ������ ����� � ��� �� ���� ��)��� ����

� � ��� ���� ���� ����� ��)��� ����

� � ��� ���� ���(���� �� ���%C

� /������ �������� ���� -��� ��� ������� �� ������ �� ���� ��)�� �� ����� ��)� ������ �� ��� ������� ����� ����� (�� #�������� ��� ���� ��)� � �� �� ���� �����

:�� � � � � � � ��� � � �

Page 95: Mathematics of the Rubik's cube

���� ������ ��� � � ��� 6?

� !���� ������ ���)� �� ���� ��)� �� � � � ��� ����� ��)� �� ��� � � (���� ��)�� �� � �� ��� ��� ������ ���� � � � �����

� (�� �;� ������ ���)� �� ���� ��)� ���� ���� ���� ���� � ������ �� (���� ��)������ � ���� ��� ��� ������ ���� � � � � ����

� 0������ � � � �� ��� �������� ����

20����� �� ��

� � �� � �� �� �� �� 9� ?� 7���� ���� �1 !� �� .���� ��. $# ��2��. �! ��� ��� ��D���9 ������� $/� !� �

� 9 � � �� � � � 9 ? 7

"���� ��� � ���� ��� .��� �# �/���� � �1 ��� !���� �. 2��� ��� � ��A����. �. ��� ��$��� $��� !���� �/���� �. 2��� "��� � "� ���.*

��* �� � �� �� � �P ���* �� � 9� �� � 7P

��* �� � 7� �� � ?P ���* � � �� � � �P

��� �/#�� " ��

20���� �3�3� '/# !�N

(����* � �1 � � �!�� ;��� 2#2/ 2 !���� " �� � �/�����< ����� � 2��E�2&���� ��� ��� ��� �/#�� �� " �� �! �����!# "��� � � ? ;��� ��$�//A� ����G�I<9 �� !����/� �����! �� �� ��� ��� ��/# ��� D��"�� ���# ����A� ���� $���2��E�2����.9

(����* � �1 #�� �. #��� �������� $��� ��# �� .�! ��� !� �� � /��! ����� $/�� 2� #�� �:���� ��� ��� �1 ��� ��D��� �. ��� ��� �1 �/2� ��D���J��� ��"�� � D��"� 1�� $�/ � !������ . ��.�/ !����� �. !����� �1 ��.��� ��9 ��� !����/ ��"�� � ��D��"�9

Page 96: Mathematics of the Rubik's cube

67 ����� �� �����

��� �'������

5�6���� �� �� � $� !����9 , ��$!���� �1 � � ��$��� 8 �1 � ��2���� 8� ��!����� " �� ��� ����� �� � ���� ��. � ��$��� �1 �� �� �=�� ���!���� ����� ��� ;(3<&;(�< ;" �� � ���/2�. $# 8 ����#"����<9

4������C 0� � �� � ���� ��� �� ���� ���� ��� �������� �8 �� ���� ���� �� �� ��

8 � ��

���)���C 3��� ��� ��� ��� ����� �� ��� 5���)*� ���� ����S 0� ������� ���� ����� ��� ��� ��� �� ���� ��� ������ ��� �� ���� � ���� ��������� �� ������� � ���� +��� �������� � �������� E ��� �6 �8� �� �����;�������� ������� ���� �� ��� ��� ����� �� ������� ����

' ����� �# ; !��!�< �� 8 $� ��$!���� �1 =� �� !���� �9 ���� �8�. � .�� ���9

����&C !�� � � � �� �#� � � �� 8 � �8� �����

8 � � � � � � 8�

(��� �� � �"�������� ������� +-;������C >���) ��H�;���� ��������� ������������8 %�������� ��� �"�������� ����� �� ������� �� ��� ������� �� �� ��� ���� ��� ��� ���� � � 8� � � � $& � 8 :�� ��� ���� �� � � ����� �������� ��� �� �������������� ��� ��� �"�������� ������� �� � ��������� ��� ���������� ��� ��� ������ �8� � �8� ��� ���� � � !������������� )�� ���� ��� �"�������� ������� �������� �� ��

� � �����$��& � �������8�

>������ ����������� �� ���� ����� �� ����� ��� � ���8�T ���T ���8� ���8� (��� ������ ��� ������� �

5�6���� �� �1 8 �. � �� =� �� !����� �. 8 � � ���� ��� ���!�����!�8� � 2//�. ��� �.�: �1 8 � �� .�����. $� C 8& � ���!�8�9

20���� �3�3� ���"� � 2���//�# �� ��� ���� ��� ������ 7�� ��� ���&��� 7� � ����9

Page 97: Mathematics of the Rubik's cube

���� �&����� �� ���� 6<

20����� �� , ������ �� !���� � !������. $# �/����� ��� ���� �� $�/��!& �! �� �� � ��$!���� �1 �� � 9�9� � � �� 9

20����� �� ��

.� � � � �� � � �� ������ � � ��$!���� �1 �� 2//�. ��� /����� �! ��$!���� �1 .�!��� � 9

5�6���� �� ��� 2����� �1 !���� � � ��� ��$!���� 7+�8 �1 // �/�����"� 2� 2���� " �� ����# �/���� �1 �*

7+�8 � - � � � - � � � � � -� ��� ��� � � ��

B� ������� ��� ������ ������ ������ ���� � �� � 0� ��� ������ ���E��� �� ��� ��� ������ �� 7+�8 ��� �� ��� � ��� ������� ����� B �������� ��� � �� ����������� �� � ��� �� � � 7+�8

20���� �3�3� �� � � ��9 ����� �� 7+�89

��� %.����� �6 ������

20����� �� ��� 2�//�2� �� �1 // ���� �1 ��� 34 ��MM/� # $� � �"�. � ��$!���� �1 ���9

20����� �� ��� 2�//�2� �� �1 // ���� �1 ��� ��$ DA� 2�$� # $� � �"�.� ��$!���� � �1 � 9 ��� 2����� �1 � 2��� ��� �1 �:2�/# �"� �/��������� .��� �# �. ��� 0�����L �0 ��� "� 2� �� ��� �F�2� �1 L �� �! ��������# �.!�� /�� �! // ��� 2������ /��� �. /�� �! // ��� ��$2�$�� � ��� ��� ! �/ ��� � ��9 ��� ��� 1�� ��� �����L � �

�����H�� � � � � + �, � $ �1 � � � � + �, � $ � + � �����+ � � $�� �� �

� � ,� ����� �,� � $ ���

� �1�

"���� �� � ../� � !�� �/ 2� ���� �� $# �5 .�!���� ;� �"�. 1�� ��� � !��12�<9 ��� ����1 �1 �� � 12� ���� ��� .���� �� �� �1 ��� !���� ����2���� �1� ! ��� /��� ;��� /�� G6I<9

Page 98: Mathematics of the Rubik's cube

6= ����� �� �����

����� !"� �"����� �����

/��) � ��� �� � � � � ��� �� � �� ���� �E � ������ ����� ��� ��� �� ��� ���� 0� � � � ��� �� � �"��������� ���� ��� �� � � 9 ��� �� ��"����� �� � � ? ��� �� � ���� �� � �� � :�� � ���� ��� ��� �� �������� ������������� �� ��� ���� � �� ������ ����� �������� ��� # ��� (������� �������� � C � � � � ��� �� ���������� �� ������� ���� ���� ��������� �� � ���� (��� ���� �� ����� ��� ���� �� ���������� ��

:���� ��� �������� �� ��� �E � �� �� �� � � (�� ���� � ������������� �������� ��� �� ����������� ���� ���� � � � ��� �� �� ��� ��� ���������� �� ��� ��� �� �������� 9 � �� �� ���� � 0 ���� ���� �� ����� �� � �� � ���������� ���� ���� �� �� ��� ��� ���� �� �� ������ ����� ������� �� �

(�� ���� ���� ���� ���� ��� �� ������� ������� ���� � ������ ����� �� ����C :�� � � � ���� ��� ������ ����� ������� �� �4!� ���������������)���� ����� ��� ����� :�� � �� � ��� �� �������� �� ������������ ��� # ��� ��� ��� ������ :�� � ���� ��� ������ �� � ����� ����H����� ����� � (���� ��� � �������� �� � �������� �� �4!� ���������� ��� ����� � �C �� �� ��� ���� ���� (���� ��� � ������� �� � �������� ������� �� � ��H����� ����� � � � �������� �� � �������� �� �4!������ ����� ��� �����C �� � � �� � � ��� ���� � � ���� (���� �������� ��� ���������� �� �

B� �����)���� �������� �� ���� �������� ����� ����� �� ����� ��� ���� �;����� � ��� �;� ������� �� ���� �� �� ������ �� �� ��� ��������H������ � ��� ����C

����� �� ' 2D �"� . �� �2� / ��� ���� �1 �#��� �� �1 � �2� �1 "� 2�$ ��2�� � �/1� �. /�� �� �� ;����9< .����� ��� 2��������. �! ��L�2� ������!�.�. � �/����� � ��9 ���� � �� �� �� �9

(�� �������� ����� �� ������� �� $1'(&� $5&� �� $,�&� ������� ?� ��� ���� �����

(�� �������� ���� �� �� )�� �� ��� ������ ���� �� ���� ������� 1�� 3� ����� ����� ��� ������� ������� � � ����� ������� +�������=8 ����� �� ���� ������� ���� �������� �

�$� � ������ � �� � %���� �� &������ �������� ���'� ��� ������ ��� ��� � ������ ������ �� ��� ������ ��������������� �� &������ ���� � ������ � �������� ������ ����� �� ��������� ()*+,�

Page 99: Mathematics of the Rubik's cube

���� �&����� �� ���� 66

20����� �� �� � $� ��� �#���# !���� �1 ��� �@���* 9�9� ��� !���� �1�#��� �� �1 ��� �@��� !������. $# ��� � ! . �� ���

� � 6� � ���� ����)���� ������� ����� B��� � ��H����� ����� :���� � ��H����� ����� :���� � ��H����� ����� :��� � ��H����� ����� :�

"���� :�� :�� :� .����� ��� / ��� �1 �#���# � ��� � 2���� $�/�"*;��� C ! 493<

!� ��� ? �C

��� �/����� �1 � ��

�� �� ��� �

� � ��� ��� ��� ��

�� # $� ��� ��� �1 ���� 2�� �1 ��� �@���9 ���� � 2�� �� #9

����� �������$ !"� �%� �&����� �����

(��� �������� �� ���� � � ��� ������ � $!'& :��8 �� �� $ � � ���� ��� ���� ������ �� ��� ��� �"���� ������

� � $ � �� ��� 5���)*� ���� +(�� ����� ���� � ���� � �� ��� ���

Page 100: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� �� �����

�� ��� ��� '� ������ �� �� ��� C ��� ����� � ����# �� �� ��� �� ���� ��� ����� � ��� ���� � ���) ���� �� ��� ��� �� � �� ��� ����� �����# �� �� ��� ���� �� ��� ����� � ��� ���� � ���) ���� �� ��� ��� ��� �� ��� ����� � ���� ���� �� �� ��� ������� ��)� ���� # ��� �K ������� 8 (��� ���� ������ ��� ������ �E���� � � ���� ���� + � � $ �8�

3� �� # ��� ��� ������� � ���� ���� ������ ������C

8 � �� �� � � $�� � � $ � � �� + � � $�8�� + � � $�8� � �� + � � $�8��+ � � $�8� � �� + � � $�8� + � � $�8 � �� + � � $�8�� + � � $�8� � ��

(��������� �8� � �� 1��� ���� � � + � � $ �8�� $� � + � � $�8� � �� �$ � � � � + � � $�8� +�� ��� ���� ���� ����� ������� ��������� �� 8 ������������ ������������� �� � ��� $� ��� �� ����������� ���������� ������ ��� ���� >����� ���� �� 8 ���� �������� �� $ � ��� � .���������������� (��� ������������ ���� �� ������� � ��� �;� ������� 8

(� ������� ���� ����� ���� ����� �� ����� ��� �������� �� ��� ���� ���������C+��� !� ? �8

!� ��� ? �C

(�� ���� � ���� � ��� ��� �� �������� �� ��� ���������� +� 98+� �8� ��� ���� $� ���� � ��� ��� �� �������� �� ��� ���������� +9 ?8+� 78 3� ����� ��� �������� �� � ��;� � �� �������C+��� !� ? �8

Page 101: Mathematics of the Rubik's cube

���� ���������� ���

!� ��� ? �C

(�� ���������� +� 98+� �8 �� ������ ��� ��H����� ����� ��� ��� ���������� ������ ���� ? � 7 (�� ���������� +9 ?8+� 78 �� ��������� ��H����� ����� ��� ��� �� �������� ������ ���� � � � �� � ��������� � ������ ? 9 �� ����� ��� ��H������ ������ ��� �������� ���� ����� ��;� �

��� �����������

5�6���� �� �1 �� � �� �"� �/����� �1 !���� � ���� "� 2// ��� �/����

$�� �& � � � � � ��� � ���

���� 2������ �1 �� �9

1�� ���� $�� �& � � �� � ��� �� �� � ������� (��� ��� ������������� �� �� ��� �� � ��� � ���������� �� ��� ���) �� �������������

20���� �3�3� �� � � ��� ��� �#��� 2 !���� �� K /������9 ������ ���2�������

$��� ��&� $��� ��&�

Page 102: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� �� �����

20���� �3�3� �� �$ $� � � ��� ���� �� 1�� ��� ��$ DA� 2�$� ���� ����.�2�. � ��� ���� ��� 2�����9 ����� �� ��� ��.�� �1 ��� ��� $ �$ &9;,��* 8<

5�6���� �# ;� �!���� G� I< �� � $� ��� ������ �� !���� !������.$# ��� ������ ��� ���$�1�+� , ��!�.�. � ������ ��� � ��9 ���) 2������ � ��� �/����

$+� ��& � + � �� � +�� � �

��� Q 2������ � ��� �/����

$+� & � + � � +�� � ���

20���� �3�3� ;< C �. ��� ��.��� �1 ��� ) 2������ �. ��� Q 2��&����9

;$< C �. ��� ��.�� �1 $ � $+� $ &&9

20����� #� �1 � � �� $� 2 ���� �1 ��� ��$ DA� 2�$� ���2 ��. �� 12��"� 2� ���� � �.!� ����

;< $� �&� ������� �:2�/# K �.!�� �. .��� ��� ������ �# 2�������;$< $� �&� ������� �:2�/# H � �� �1 2������ �. .��� ��� ������ �#

�.!��9

5�6���� #� �� � $� �# !����9 ��� !���� �� !������. $# // ��� 2�&������

$�� �& � �� � ���� �� ��� � � 2//�. ��� 2������ ��$!���� �1 (9

(��� ���� ��� �� �� ��� �� � ��� � ���������� �� ��� ���) �� ���E���������� �� ��� ���� 2

(����* � �� " // ��� /��� ��� ��� !���� !������. $# ��� $� 2 �����1 ��� ��$ DA� 2�$� & � ��$�1� +�, & �� ��/� ��/# /�!� 2��������$!����9 �� ����� "��.�� ���!�/# ���D �! 0���0 ���� �1 ��� ��$ DA�2�$� 2� $� !������. $# 2������� ��2� � ��� ) 2������ �� ��� Q2������9

Page 103: Mathematics of the Rubik's cube

��$� ���)���� �� ���

5�6���� #� �1 "� ������./# �D� 2������ ��$!����� "� !�� ��� ���1 !����� �� ��� ��� � +��8�� �. �� ��9 ��� .�� ��. ��� �� �1 !���� � ���� ��@���2� �1 ��$!�����

��� � +��8� � �� � ��

, !���� � � 2//�. ��/�$/� 1 ��� �1 ��� !����� � ��� .�� ��. ��� �� � ����� � / !���� 2��� �� �! ��/# �1 ��� .��� �#9

20���� �3�3� �� � $� � $�/ � !����9 ���" ��� � � ��/�$/�9

��+ ���7�������

5�6���� #� * �1 �� � �� �"� �/����� �1 !���� � ���� "� 2// ����/����

�� � ��� � � � ���� 2��E�!� �� �1 � $# �9

1��� ���� �� � � �� � ��� �� �� � ������� (��� ��� ��D� ���� ����� �� ��� �� � ��� � ���������� �� ��� ���) �� �������������

20���� �3�3� ���" � � $���� ���& � ��9

20���� �3�3� �� � � ��� ��� �#��� 2 !���� �� K /������� � ��� ���&� �� �1 ��� �:�/� $���9 ������ ��� 2��E�!� ���

��� � ��� �

20���� �3�3� �� �$ $� � � ��� ���� �� 1�� ��� ��$ DA� 2�$� ���� ����.�2�. � ��� ���� ��� 2�����9 ����� �� ��� ��.�� �1 ��� ��� � 9;,��* �<

5�6���� #� * �� �# �"� �/����� ��� �� �1 � �� 2��E�!�� 1 ����� �� �/���� � � � ��2� ��� �� � ��� 9

0� ���� ��� ���� �� �� ���� �� ��� ��� ��� ����������� �� � � �� �����D� ���C ���� ��� ��D� ��� �� � ��� �� ��� ������ � ����� ���������� ��ED��� ����� ������������ ���� ��� ���� �� �� ��� ���� � ���� ���������� �� ��� !�� �;������ ��� �������

� � +7� 68+�� �� 98+�� ?� <� =8� � � +�� �8+�� 9� ?8+7� <� =� 68

��� ��D� ��� 3� ����� ����� ��� ������ � ��� ����� ��� ����� E ��� �= � �

Page 104: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� �� �����

20���� �3�3� ���" ��� ��� ��� �� �1 2��E�!�� .�=��� � �@� �/��2���/� ��9 ��� �� ���" ���

;< �# �/���� � � � � 2��E�!�� �� ���/1 ;0��L�: ��0<�

;$< 1 � � 2��E�!�� �� � ;�� � $�/��! �! �� �< ���� � � 2��E�!�� �� �;0�#���#0<�

;2< 1 �� � 2��E�!�� �� �� �. �� � 2��E�!�� �� �� ���� �� � 2��E�!���� �� ;0���� � � �#0<9

4������C (�� ��� �� �"�������� ������� �� � ��� ��� �"��������������� ��� �� ��D� ����� ���� �� ���� ��

(�� ���������

��+�8 ������

��������

�� ����� ��� ������ ��������� �� ��� ���� ������ � � 1��� ���������� ����� ��� ��D� ��� ���� ���� ��� ���� ���� ���� +�����8� �+�����8+�����8���+�����8 � ������� ��� � � �� �� ��� � �� � � �

0 $'�&� �? ��A� A '� ������ ��)� ��� ��� �������� ����� �� ��� ��������� ��� 5���)*� ���� ���� � ��� ��� ������� �� ���� ���� ����� ��� +, ����� ��� ������� ���� ���� �� ������� ����� � ���� ��;� 8 (���"������ �� '� ������ ��������� ��� ������� C

���)���C A������� ��+�8 ��� ��� 5���)*� ���� ����

20����� #� C�� � � ��� !����� �! ��/#�� / �

�T 9�� T ��� T 9� T �� T ?�� T �� T � T �� T ��� T ���

�. 1�� ��� � �

�T 7�� T 9�� T 6� T ��� T �7�� T �� T 9� T ��� T 7��T��� T 6��� T ��� T ���� T �� T ��� T ���T

�� T �� T ��� T ��� T �� T ���

;6��� �1 ����� 2/2�/� ��� "��� ���1���. $# +,' �9< C�� �:�/�� � 1�/&/�"� ��� ����� � � ���� ������ �� �1 ��.�� 9� � ��� �. � �.. ����&�� �� �1 ��.�� �? � � 9

� �!���� G� I ����� ��� ��� : / ��.�� � ��� ��$ DA� 2�$� !���� � 3H859

Page 105: Mathematics of the Rubik's cube

��%� �! �� ��� ��� ��� ��?

5�6���� #� * C : � �/���� � � !���� �9 ��� ���

��+�8 � ��� � � � � � � � � � 2//�. ��� 2��E�!2# 2/�� �1 � � �9 �� � ��� �@� �/��2� 2/�� �1 ��� �/�&��� � ��.�� ��� ��/� �� ! ��� $# 2��E�!� ��9

0� 8 �� � ��� ���� �� � � �� � �� � #;� ������ �� � ��� ��� ���

8� � ��� � � � � � � � 8�� � ��� ���� �� � '��� � ��� ���� �� � �� ����� � ��� ���� ��D� ��� ��8

20���� �3�3� �� � $� ��� ��� �1 // ��$!����� �1 (9 �� .�=�� ��/� ��� �� � $#

� +8�� 8�8 � � � � � 8� �� ��D� ��� �� 8�����" ��� � � �@� �/��2� ��/� ��9

20���� �3�3� �� � � �� �. /�� 8 �� � � $� 2#2/ 2 ��$!���� !������.$# ������ �� � �1 ��� ��� �� �� ���� �9 � �� �����2� �� ��� �@� �/��2���/� �� � ��� ���� ��� �:��2 ��� ���" ��� ��$!���� ; �1 � $�/��!� �� ����@� �/��2� 2/�� $8& �1 8 � � 1 �# ��/# 1 ; � 2#2/ 2 �. � !������.$# � �/���� � �1 � 2��E�!�� �� � � �9

��, 1�'��� ��4 �������

5�6���� #� �� # $� ��� �. /�� � $� !����9 �� 2// # �&��� �."� �# � 2�� �� # ���� .�. ��� 1�//�" �! 2��. � ��� ��/.*

39 �2� � $�/��! �! �� � ! ��� � �� �� 1��2� ��

(� C # #�

H9 ��� .��� �# � �1 ��� !���� � .�=��� ��� .��� �# 1��2� �� �� #�

K9 1 �� � $�/��! �� � ���� ��� 2���� ��

(�� C # #

�� �=�� (��+8 � (�+(�+889

Page 106: Mathematics of the Rubik's cube

��7 ����� �� �����

�� 2// �� � 2� �� /�1� 2� �� � �2� ��� /�1�&��� �/���� ;��/#� �< ���� ���.�2� �� 2�� =���9

'��������� �� �#�

5�6���� #� ��# $� ��� �. /�� � $� !����9 �� �# � 2�� �� # �� ��� � !������ .�. ��� 1�//�" �! 2��. � ��� ��/.*

39 �2� � $�/��! �! �� � ! ��� � �� �� 1��2� ��

(� C # #�

H9 ��� .��� �# � �1 ��� !���� � .�=��� ��� .��� �# 1��2� �� �� #�

K9 1 �� � $�/��! �� � ���� ��� 2���� ��

(�� C # #

�� �=�� (��+8 � (�+(�+889

�� 2// �� � 2� �� � !�� 2� �� � �2� ��� � !��&��� �/���� ;��/#� �< � ��� ���.�2� �� 2�� =���9

(����* � ;3< �� ��// ��� ������ ��������� �� �1 ����� .�=� � ��� ���� /��� 2����� ��� �/�.� 0(������ ��09

;H< ( ��� /�1� 2� �� (�� ��� 2� 2���� � !�� 2� �� $# .�=� �! (�� �(��� 9

!������ ��� ����� �������� ��� 5���)*� ���� ���� ��� � ��� ����� ������ �� ��� ���� � ��� �� ��

5�6���� ## �� � 2� �� ��� #9 �� 2// ��� 2� �� ���� � �� 1 1���2� � � � � $�/��! �! �� # ����� � � � � ��2� ��� � � (�+89

0 ����� ����� � ���� � ���� ����������� � � ��� # �� �# ������ �� # �� �� �� �� �# ����� ������ � �� # �� ���� ������ �� �

20����� ��� �� # $� =� �� ��� �. /�� � � �� $� ��� �#��� 2 !�����1 #9 ���� # � �&��� �. � 2�� ���� � ��/# �� #9

20���� �3�3� ���" ��� ��� 2� �� � ��� ���� ��� �:�/� � ���� � ��9

Page 107: Mathematics of the Rubik's cube

��%� �! �� ��� ��� ��� ��<

20����� ��� �� � $� ��� !���� �1 // � � � ����� $/� �� 2�� " �� ��/���� ��� � � ���+�89 �� � !���� 2�� �� ��� ��� �1 2�/�� ��2���� �� ���/�1�9

20���� �3�3� �� � $� ��� ������ �� !���� !������. $# ��� �����&� ��� ���$�1�+� ,� ��!�.�. � �/����� �1 � 9 �� < .����� ��� ��� �1�.!�� �1 ��� 2�$�� "� 2� "� .��� 1# " �� ��� ��� �1 �.!� ��$2�$��9 �� 9.����� ��� ��� �1 ���� 2�� �1 ��� 2�$�� "� 2� "� .��� 1# " �� ��� ��� �1 2�������$2�$�� �1 ��� 2�$�9 �� # $� ��� ��� �1 // ��$/� ��$2�$�� �1 ��� ��$ DA�2�$� ;"� 2� # .��� 1# � ��� �� �� �1 < �. 9 <9 ���� � 2�� �� #� <�. � 2�� �� 9 9

8������ ;< �� ��� 2� �� �1 � �� # ���� � ��J;< �� ��� 2� �� �1 � �� < ���� � ��J;$< �� ��� 2� �� �1 � �� 9 ���� � ��J

20���� �3�3� �� � $� !���� �. /�� # � �9 ��=�� /�1� �/� �/ 2� ���1 � �� # $#*

(� C # # �� (�+8 � � � �

;< ���" ��� /�1� �/� �/ 2� �� .�=��� /�1� 2� �� �1 � �� #9;$< ���" ��� �� � 2� �� � ���� � ��9;2< ���" ��� �2� (� C � � � ������ �� �1 ��� ��� �� �� (� � ��9

20���� �3�3� �� � $� !���� �. /�� # � �9 ��=�� � !�� �/� �/ 2� ���1 � �� # $#*

(� C # # �� (�+8 � � ��

;< ���" ��� � !�� �/� �/ 2� �� .�=��� � !�� 2� �� �1 � �� #9;$< ���" ��� �� � 2� �� � ���� � ��9;2< ���" ��� �2� (� C � � � ������ �� �1 ��� ��� �� �� (� � ��9

20���� �3�3� �� � $� !���� �. /�� # � �9 ��=�� 2��E�!� �� �� #$#*

(� C # # �� (�+8 � ��� � � ��

���" ��� 2��E�!� �� .�=��� � 2� �� �1 � �� # ;# �. � � $���<9

Page 108: Mathematics of the Rubik's cube

��= ����� �� �����

20���� �3�3� �� � $� !���� �. /�� # .����� ��� ��� �1 // ��*������1 �9 ��=�� 2��E�!� �� �� # $#*

(� C # # �� (�+8 � ��� � � ��

���" ��� �� � .�=��� � 2� �� �1 � �� #9

(����* � �� !����/� ��� 2� ��� � ��� /�� �"� �:��2 ��� �� ��� ���� � ��9

5�6���� ��� �� � $� !���� 2� �! �� ��� #9 C�� �2� $�/��! �!�� #� ��� ���

� � � (�+8 � � � � � 2//�. ��� ��$ � �1 � # ��.�� �9

/� ��� �0���C , ��� � �� �������� �� � ���������� ���� � � � ���� �

�� #B�����C (�� ����� �� � � �

��"'� / 021

�� 3 '� ��"'� ��

�� + '� , ��

' +.3 ��� '� ��"'� �� � ��"'� / ��"'� �'�� 0+.31 ��'

����

����

1��� ���� ��� ��@� �� ��� ���� ����� � ��� ��� ���� ��� �� ����� ������������ �� ��� ���� ,� ������ ������� ��� ���� �� ���� �� ���� �����E��� ����� �� �� �� �;����� �;����� ��� ��� ���� ������ �� ��� ����

20���� �3�3� �� � $� ��� ��$ DA� 2�$� !���� �. /�� $� ��� �1 �.!�12��9 C �. ��� ��$ � �1 ��.�� ��� 2� �� �1 � �� �! ��� $��� /!�� ��9���" �2� ����9

20���� �3�3� �� � $� ��� !���� �1 ���� �1 ��� ��$ DA� 2�$� �. /�� #$� ��� ��� �1 ���� 2�� �1 ��� 2�$�9 �� 8 $� ��� ��$!���� �1 � !������. $#$ � 9 C �.*

;3< ��� ��.�� �1 $ � � ;,��* 354<;H< ��� ��$ � ; � ��� � �!���� ���� ��< �1 ��� ��� �����: � # ��.��

89

Page 109: Mathematics of the Rubik's cube

��%� �! �� ��� ��� ��� ��6

5�6���� ��� �� � $� !���� 2� �! �� ��� # " �� ��� 2� �� .�����.$# (9 C�� �2� $�/��! �! �� #� ��� ��$!����

�� *�+8 � �� � � � � � (�+8 �

� 2//�. ��� ��$ / M�� �1 � �9

20���� �3�3# �� � $� !���� 2� �! �� ��� #� (� C # #� 1�� //� � �9 ���" ���� 1�� // � # �. // � � �� "� ��� �� *�+(�+88 �� � �� *�+8 � ���9

20����� ��� �� � $� ��� !���� �1 �#��� �� �1 ��� �@��� ;��� ��� �:&�/� $���<� /�� # $� ��� ��� �1 ���� 2�� �1 ��� �@���� �. /�� $� ��������: � ��� /�"�� � !�� ��. 2�����9 ���� �� *�+8 �� �� �9

20���� �3�3�� �� � $� �# !���� �. /�� # � �9 �� � 2� �� # $#/�1� �/� �/ 2� ��*

(� C # # �� (�+8 � � � �

���" ���

�� *�+8 � ��

1�� // $�/��! �! �� # � �9

20���� �3�3�� �� � $� �# !���� �. /�� # � �9 �� � 2� �� # $#2��E�!� ��*

(� C # # �� (�+8 � � � � ����

���" ���

�� *�+8 � � � � � � � � � ��1�� // $�/��! �! �� # � �9 ;��� ��$!����

��+8 � � � � � � � � � �

� 2//�. ��� 2����/ M�� �1 � �9<

Page 110: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� �� �����

20����� ��� �� # $� ��� ��� �1 2��� �� �! �1 ��� �� 12��� �1 ��� ��$ DA�2�$� "� 2� �� ��� 2����� 12��� & 9�9� ��� 0��$/�0 12���9 �� 9 .�������� ��$��� �1 12��� "� 2� $�/��! �� ��� 2����� ��$2�$�� < ��� ��$��� �112��� "� 2� $�/��! �� ��� �.!� ��$2�$�9 �� � .����� ��� ��$ DA� 2�$�!����9 ,� ����. $���� � 2�� �� #� 9 � <9 ��� 2� �� �1 � �� # �.�2�.� �@� �/��2� ��/� �� � 1�//�"�* "� �# ��� 12�� �� � 0�@� �/���0 �� 12�� �� 1 ����� � � �/���� �1 � ; 9�9� ��� �1 ��� ��$ DA� 2�$�<"� 2� ���.� ��� 12�� �� ��� �����9 6# �:��2 �� 4979H� ����� �� �:2�/# �"��@� �/��2� 2/����� �� ��$ ��� �1 � � #* 9 �. <9 �� ��� 2�/�� ��� 2� ���1 � �� 9 � ���� � �� �. ��� 2� �� �1 � �� < � ���� � ��9

��/ �����

:�� � �� � ���� � 8 � ��� ���� �� � !�� � ���� � �� �� ��� ������� �8 �� � �� ����� � ���� ����� �� 8 � � � ��� ������ 8 � � �� � �� ������ �� �� ����� �� 8 � �

20���� �3�3� �1 8 � =� ��� ���" �8� � �� �8� � �8 � ��9

20���� �3�3� �1 # � /�1� 2���� �1 8 � � �. � � �/���� �1 �����" ��� �# � /�� /�1� 2���� �1 8 � �9

4������C (�� ��� �� ��� ���� ������ �� ������ �!8 � ��� ��� �� ����� �� ������ �� 8 � � �� ���� 8��

(���� ��� ���� �*� � ����� ������ � ���� ��������� ���� 2 ��� ������� ������ ��E���E���� +�!8 �� � ���� ���� ��� ��������� �������������+�� �88 � +�� �88 � +����8 �8 �� � ��� �� 8 �� � ������� ��� ���� ��� E �� ���� �#� ������� ����� 8

,� � �;����� �� ����� ���������� �� ���� ��� ������� ����������������� ��� ������ � ��� ������ �� ��� �������@���

����� ��� �� � $� =� �� !���� 2� �! �� ��� #9 ����

�� � � � ��!�� *�+8��

1�� // $�/��! �! �� #9

Page 111: Mathematics of the Rubik's cube

��'� ������ ���

����&C (�� ���

� � �� *�+8 �� � � �#�� � ������ � C �!�� *�+8 � � (��� ������ �� � ��D����� ������ �� ���� � �D����� +-;������C >���) ����8 � � ���D����� +-;������C>���) ����8 �

20���� �3�3� �� � $� ��� !���� �1 �#��� �� �1 ��� �@���9 -� �! ������� �� $���� 2����� �! � �� � �. � � 9

' ����� ��� ; !��!�<* �1 � � =� �� !���� �. 8 ��$!���� ����

��!8� � ���!�8��

.�������% ��� �1 8�� �� � $��� ���� ��� ��.�� �1 8 . � .�� ��� ��.���1 �9

����& �& ' �����C :�� # �� ��� ��� �� ���� ������ �� 8 � � � ��� ���� � # �� ���� ������������� ,���� ��� �������� ����� ���� � 8 �

20���� �3�3� �� � � ��� ��� �#��� 2 !���� �� K /������� �. /�� 8 ���� �� � ��� ���� �� �1 �493 $���9

;< ������ ��!8� �� �! !��!�A� ������9

;$< �:�/ 2 �/# "� �� .�"� // ��� 2����� �1 8 � �9

5�6���� ��# * �� 8 $� ��$!���� �1 � �. /�� � $� /�1� 2���� �1 8 � �9 �� 2// � �/���� � �1 � 2���� ���������� �� �1 � 1 � � � � 89, 2��/��� ��� �1 2���� ���������� ��� � ��$��� �1 �� �� �� ���� �� ��2����

�!8 � � �8� ���� � �8�" ����� ����� � �� ; 9�9� // ��� � �8 �� . �E� ��<9

20���� �3�3� C�� ��� �� � �� .�=�� �� � �� 1 �. ��/# 1 �� �. �� $�/��!�� ��� �� /�1� 2���� �1 8 � �9

;< ���" ��� � � � �@� �/��2� ��/� ��9

;$< ���" ��� ��� /�1� 2����� �1 8 � � ��� � �� �9

Page 112: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� �� �����

��0 �����!� ���������

3� ��� � � ������� ������� � �� ������ ��� ������� ��� ��� ������� ��� ��������� ���� 2 3� ����� ������ � ���� �L���� �� ������ ��� �� ���� � ���� ������ !�� ���� ������� ��� $��&

4������C :�� � � ��� ��� ���� �� �� � ��� �� �������� ��� � ���������� ���� � :��

� � ���� � ��� ���� ���� � ��

�� �� �� �� ��� ���� ������ �� ��� ������� � ���

��� � � � � � /� ��� � <����;� ����=C0���C (�� �������� � �� � � � ���� � �� ��� ��� ������� �� ���

���������� ��� ���� ���� B�����C , ���� � �� ������� �� �� � � ���� � �� ����� ��������������

�� ��!����

4 / 0�1

�� + '� 4 ��

�� % '� ,5' ��

' %.+ ��� '� - �� �

4 / 4 �'�� 0%.+1

- / - �'�� %.+.650'��1

��'

����

����

/� ��� � <5���=C0���C (�� �������� ' �� 2B�����C , ���� �� ������� �� 2

78�'�'�� (�% ,5� / 9+�:;

��� � / �) � � ��<�= / �) + / +�

��'� + 9: � ��

��� � / ��� � � �

� � ��<��� �= / +

Page 113: Mathematics of the Rubik's cube

��(� � � ���� ���� ��� ���

+ / +.+�

����'�

76 � ��� (�% ;

�� ' ��� � �� � ��

9'�% �� '��(�'& %� � � � :

����

20����� ��� �� � � �� �� ��� �� �9 �� ��� � ���A� /!�� �� �� / ��// ��� �/����� �1 �9 �� ���

� � � � �� �� �� �� �� � ��

C ���� "� / �� ��� �/����� �1 �� �� �� �9 � �2� �� � +� �8� � � ��.�� H� ��

�� � �� ����� � � ��� / �� � "� 2� "� " // ��/# ��� 0 �.�2� �� ����0 �1 � ��A� /!�&� �� �� ;" �� � � �<9 �� ���� " �� � � �9 ��" "� /��D � ��� /�1� 2������1 �� � �� � �9 �� ��� ;" �� � � �� � � ��<

�� ��� � ���

�� "� .��A� �2���� ��� � M� �1 � �� �9 ��:�� "� ��� ;" �� � � �� � � ��<

�� ��� � ��� �� � �� �� ���

�� � � �� ��� ��� �� � ��� � � �� ��9 ��:�� "� ��� ;" �� � � ��� � � ��<

�� � �� ��� � �� � ��� �� � �� � �� �� ���

;�� D��" �� � �� ��� �� �� � �2� �� ���� �1 ��� �"� �/����� � �� � �� ���

� ��� .��� �#9< ����� "� �2���� ���*

� � �� ��� ��� �� � ��� �� � ��� �� � �� � ����. � � �� ��� �� � ��9 �� D��" "� # ���� ���� � �2� "� D��" ���� � 7$�� ��� /!�� �� �� // �� ��� ��� ������� �� �:�2���9 ��:�� "� ���;" �� � � ��� � � ��<

�� � �� ��� � ���

�� "� .��A� �2���� ��� � M� �1 � �� � ;� �:��2��.<9 �� � ���� ��� ������� /!�� �� �. �� � �9

Page 114: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� �� �����

20���� �3#3� '��1�� � ��A� /!�� �� ��

� �� �� � +� �8� �� � +� �8� �� � +� 98 � �

���8 -���������� ��4 �����������

(��� ������ �� ���� � � ������� ���D��� �� ' 5����� $5��& '��� ������ �� 3��������� ,���� �� ��� ����� ������ ��� ������ ���

���� ��� �������� �� ���� ���� ������������� ��� ������� 3���� �������� ���) ���� ����� ���������� ��� ��� ������ (�� ����� ��� �� ��E� �� � ����� �� ���� � ���������� ���� ��� ��� �� � �����������+$3�&� �<<�8 '��� ��� ��������� ������� � �������� ������� ������������� � - �� ���� ��� �� �� ���� ����������� �� ��� �� +$3�&��<<�8 (�� ��� � ���� �� ���� ���� �� � �� ������� �� �� �������� � 3���� �������� � �� ��� ���� ��� �� ����� � ������ ������ ��� ���E����@���� �� ���� �� �� )�� �� ���� ������� ������� �� ���� ��������� �������� � �������� �

!���� '����� ������� �� �� ��� �� ��� *������� �� ���� �� � �*� ����D������ �� ,����� 3����� �� ���� ���� �������� ��� #��� ���� ��������+$3�&� �<<�8 ��� � �79� �� 5����� !����� '����� !���� '����*��������� ���� �������� � ���) ���� �� ��� ����� � � �� �? ��� �� ������ :�� �� ���) �� � ��������� �� � %����� /����� 3���� � :��'���� D��� � ����E�� � ������� )�� �� ��� '������� �� >�������� ����� �� ��� ��������� ��������� � �77� 0 �779� '���� ��� � ��D�� ������ ����E�� � ������� )�� ��� �� ��� �'������ �� >���� +���84������� ����� ��� ���� ��� ����� ��� ,���� '������ �� >���� � 4������ �� ����� � �;������ ���� +$3�&� �<<�8 '���� ������ ���� ���������� ������ '����� �� >���� � 4����� � �7<< � ��������� � �7=�%����� �� ��� '������ '����*� ��D�� ����������� �� �������� � �����H���� � ��� �K���� � (����� �� � >������� ��� ��� #��� ��� ���)��������� � ��� ���D���� � �77= � �7<<� ������������ +$3�&� �<<�8

(� ���� �� �� ��� � �������� �� '����*� ���)� �������� �� �� ���������� ��� � ����� ���� ����� ����� ������� ���� ������� �#��������� �� ������ ����� �� � ������� �� � ��� �������� �����C

� (����������C � ����� +��D8 �� �� �� � ����� ������� �� � � D

� >�� �C ��� ������ �� �� �� ���� ��D��� ����� �� �D���� �����

Page 115: Mathematics of the Rubik's cube

����� ������ ��� ��� ���������� ��?

� /��� ��� �C ������� ������ �� ���� �� �D���� ����� ���

� >���� ��� �C ������� ���� ��� �� ������ ���� �� �����

� 5��C , ��"�� ����� �� ��� ����� +� � +�� �� �� ���� �88

(�� ������� ������� ��� ��)� ���� $3�&� �� � <� +��� !� ? 98

!� ��� ? 9C

0 ��� �� �� � ��� � �� � ������ ������ ���� � �� �� ��� ������� ����� ���� ���� �� ���� �� +�� �� �� ���� �8 >������ ��� ��������� � � 7 ��� ������� �� ���� � ����� ��� �� �� �� ������� ����������� 0� �� ��� ��� ���� ��� �� �� �� ������ ����������� �� �������� �� �������C

� � � 9 ? 7� � � 9 ? 7� � 9 � ? 7� � 9 � 7 ?�

0� ����� �� ������ ������� � �������� ���� ��� #��� ���� ��� � ������ � �� ��� ���� ����� � � 9� � ��� ���� ����� ? � 7 >������ ��� ���� ��� �� ��; ����� ���� ��� �� � ����� ��� �� ��� ���� ������ ��

Page 116: Mathematics of the Rubik's cube

��7 ����� �� �����

������� � �� ��� �� �� ��� �����C

� � � 9 ? 7� � 9 � 7 ?�

%��� ������ � �������� ������� �� �� ������ �� ������ ����� ����� ��� �� (�� ���� ��� � ���� ����� �� �� �� ��� ���� ����������������� � ��� ����� �������� ���� �7�� �� �������� ��������������� � ���� ��� �� �� ��� �����C

� � � 9� � 9 �� 9 � �9 � � �9 � � �� 9 � �� � 9 �� � � 9� � � 9

0� �� ���� �� ��� ���� ��� ������ ����� �#�� ��� ���� ��� � ���� ����� ������ ���� ��� � ����� ��� � ������� �� � ���� ��� � � ��� ������� ����� ���� �� ����� ��� ���� ����� �� ����� �� ������ 2�����E� ��� ���� ��� � ���� ����� �� ���� ��� �� ���������� �� ������ ��������� ���� � ���� �������� 1 3� �� � �� ��������� ��� �������� � �� � +�� �8+�� 98 ����� ����� ��� #��� ��� � ���� ��� ����� ���������� ��� ���� ��� � �� * � +�� �8 ����� ����� ��� ���� ���� ,� ����������� 1 �� ������ �� ������������� 3� �� � ���� ��� #��������� � ��� ����� (� ������ ��� �;� ������ � ��� ���� ���������� ���� #��� ������ �� * (� ������ ��� ���� ������ �� ���E��� �������� ���� ���� ����� *� �� �� �� * >����� � � �������� �� �������� ���������� �� ��� * �� ������ ��� ������ ����1 � � *� * � + *8�� + *8�� + *8�� + *8� � + *8 '��� + *8 ����� ������� �� ��� + *8 � � � 1 � �� � *� * � + *8�� + *8�� + *8�� + *8� 3���� ���� ������ �;����� ����������� ��� �������� ������� �� ���� ����������� ���� �� �� �� ��� ����� �� ���� �� � � ���� � �� � ���� ������;�;����� ���������� ������� ���� �� �#��� �����������

3� ��� ��� ������� �� �� ��� ���������� ����� �� ������� ��������� �� /��� ��� %����� /��� ��� %����� �� �� �� ��� ��� � �� ��

Page 117: Mathematics of the Rubik's cube

����� ������ ��� ��� ���������� ��<

��� ��� +�� �� �� 98 � ������ ��� �������� ����������� �� ����� ���� ����� >���� ��� ������� �#����� �� ��� �� ����� �� ����� ���� ������ ��� /��� �� %����� ���������� �� �"������� �� ���������� �� ������ ��� ��������� ���� � 9 �������� �� ����� �� ����C

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � �

3� �� �� ����@� ���� ���������� �� �� � 1 3� �� � #��� �� ���E�� � +�� �8+�� 98 � * � +�� �8 �������� �������� ��� �� ������ ���� 0� �� ���) �� ��� #��� ����� �� ��� /��� ��� %����� ����������� �� ������� �� �� ���� ���� ��� ��� ������ ����� 1� ����� �� � ��� ���� ��� (� ������ ��� ���� ����� �� � �� ������� � � � +�� 98 � ���������� ��� ������ �� ����� � � + *8� � %�������� ����� � �� �E����� ��� ���� ������ �� � � � *� � * � �+ *8�� � + *8�� �+ *8�� �+ *8� ,����� ���������� �� ����� �����@� ���� ���� �� ��� ���� ����� �1 -�E����� � � �� �� ����� ��� ���� ����� ����� ��1� ����� �� ��� #������ ����� ���� ������������� �� � � ���� ���� ��� � �� �� ���� (�� ������� �� ��� /��� ��� %����� ����� ���� � �� �� �;������ �� �����D��� ��� �� ������ �� ��� ��� ���� 1� ���� ��� ���� ������ ��� �������� 1 � � �������� � (���� �� � �������� ������@���� �� ���� ���������� ������C

' ����� ��� C�� �# !���� � �. �# ��$!���� 8� ��� 2����� �1 8 � ���� � �� �9

+'�� -;������ ? 6 ? ����� 81��� ���� �� ����� � +�� �8+�� 98� * � +�� �8� � � � +�� 98� ����� * �

� ��� ��������� �� �#���� �E����� �� ������������ � �� ��� �������� ��� ���� �E������ �� ������������� �� ���� ���� � ������� ������� �������� ������ �� � �� �� ������ �� � ������ �� �E������ %��� ���������� �� ����� ��� ������� �������C

Page 118: Mathematics of the Rubik's cube

��= ����� �� �����

' ����� ��� �� � $� �$�� �1 ��� 9�9� /�� � $� �# ������ �� �1.�!��� �9 ���� � 2� $� "� ���� � ���.�2� �1 ������� � ���9

(� �)���� � ����� �� ���� ������� +������� $2&8 � ���� ����� (������?= �� �������� �� �� ��� �� ������ ����C -���� ���������� �� �� �� �������� ��"���� +�� �� ����8 �� � ������ �� ��D��� ������ +(������ ?������8

1��� ���� �� ����� �� �� ������ �� � ������ �� ������������ �������C

+ �� �� ���� �8 � + �� �8+ �� ���8���+ �� �8�

3� ��� ���� ���� �� ���������� �� �� ������ � ����� �� ������ ��� ����� �� �� ������ �� ������ �� ������������ �� ������� ���� ��������������� �� �� �� �� ������ �� � ������ �� ������������ �

>������ ���� ��� ���� ��� � ���� ����� � ��� /��� ��� %���������������� �� �� ������� ���� ���� ������ �� ����� � ��� ���� �� ���E����� � ,� 3���� ������� � ��� ������ �� �� �� �� ���� ����� !����'���� ��� ��� ���� ������ �;��������� ��� ������ ���� ���� ��������������� ���� �������� � +'����*�8 ����� � � ������������ +$3�&� �<<=8 3������ �� �� ������ '���� ��� #��� ���� ��������� ���� �� ����������� �� ������ �������� �� ���� ��� �� ���� ��� ����� �� 3��������� ,���������� �� ��� ����� �� D��� ����� ��� �����������

Page 119: Mathematics of the Rubik's cube

����� �

���� �� �� !� ��������

� B� ����� ������

���� ���� 0 ��� �� ��� �� �� ��M��/��� ,2� 3� �2��� 4

0 ���� ������� �� ������� � �������� ������������ �� � ���������� ����� ��� >����� ���� (��� �� ��� ��������� � ��� ������� ���� �� � ���� ����� ���� � ���������� ��@@��

(� �� �� ����*� � ����S , ���� �� � ���� �� �������� ���� +9�<8������

� 9 �� � �������� ��� �� �� ���� ������� ����� ���������

� < �� � ������ �� ������ ����� &�� &� � &�� &� � 9 ����� � ��

, ���� �� ��� �� ������ ������ ����� ��������� �������� ��E ����� �� � ��� �� ��� �� ���� ���� �� ��� ���� � �

, � ����� �� ������ ����� �� � ���� �� �������� ���� +9�<8� �����

� 9 �� � �������� ��� �� ���������

� < �� � ������ �� ����� ����� +&�� &�8 � &�� &� � 9 ����� � ��

, � ���� �� ��� �� ������ ������ ����� ��������� ���������� ����� �� � ����� �� ���� ���� �� ��� ���� � � +&�� &�8� ��� �������� ���� �� &� � �������� ����� �� &�

��6

Page 120: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

0� � � &�� &� ���� � �� < ��� �� ��� ���� � �� � �� � ���� &� ��&�� +�� ���� &� �� &�8 0� & � 2 ��� ��������� � ���� ���� & �� 2 �� � #�����"���� �� � �� �� �� �� & � �� �� 2C

� � &� &�� �� � &�� &�� ���� �� � &�� 2�

0� ����� �� � ���� ���� & �� 2 ��� �� ��� & �� ������ �� 2 3� ��� ���� � ���� +9� <8 �� ������ �� ���� ���� �� �������� �� ������ (�� ������� � �� ������ ���� � �����; & �� ����� ��� � ��� +�� ��������8 �� &����� � ���+&8

20����� ��� * �1

9 � � *� �� < � � *� � �� *� ��

���� "� # � ��/ M� +9�<8 �

. (

� �

� �

� . ��� . "

�2� �����: �� �/��2� H9

5�6���� ��� * �1 & �. 2 �� ���� 2�� 2����2��. �� �2� ����� � !���+9�<8 ���� "� .�=�� ��� . ���2� 1�� & �� 2� .�����. �+&�28� $#

�+&� 28 � ������� ���������

U� �� � � ���� ���� & �� 2

6# 2������ ��� 1 & �. 2 �� ��� 2����2��. ���� "� ��� �+&� 28 � 9 ���. ���� �1 !��� � ��� /�!��� ���� $/� . ���2�*

���++9�<88 � ��;�����

�+&� 28�

0 ��� ����� �;������ ��� ������� �� �

Page 121: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ������ ���� ���

+�� ����� ������

:�� � �� � ���������� �����

� �� ��� ��� ���� �� � � �� �

(�� >����� ���� �� � ���� ������� ��# � ��� ��� ���� �� �� ��� ���� +9�<8����� �������� 9 ��� ��� ������� �� � � ����� � �� ��� ������� ����� ������� ������C �� � � ���� �� 9 � � ��� ����� �� � � ����� �� � +�� ���� � �� 8 �� � ��� �� � � �� � �� � �� � �� ��� ����� � �� �� ���� �

(�� >����� � ���� ��� ���� ������� ��# � ��� ��� ���� �� �� ��� � ����+9� <8 ����� �������� 9 ��� ��� ������� �� � � ����� � �� ��� ��������� ��� ������� ������C �� � � ���� �� 9 � � ��� ����� �� � � ����� �� � �� � ��� �� � � � ��� ��� ���� � � �� �� ���� �

20���� �3�3� ���" ��� ��� �#/�# !��� �1 ������ �� !���� � 2��&��2��.9

����� ��� �� Y� � +9� <8 .����� ��� �#/�# !��� ���2 ��. �� ��� ���&��� �� !���� � �� ��� ��� ���� �� �9 �� 3 � ���� ���� � ��� �

��� � ���� ��� �

��� �9

����� 1�� // & � 9 � � ���+&8 � 3 9

����&C ,����� �� (�� ����� �� � & � 9 � � ���� ������+�8 � ���+&8 � 3 � ��+��8 � ���+&8 � 3 !����� �� ��� ����� ��� ���� � � ��� ���� � ��� �

��� � ���� ��� �

��� � ��� ���

&� � � & �� � � � �� Y� (��� ������� ���� ��� �#���� �� ��� >����� ����

0� � � � ���+&8 � 3 ���� �� �#���� �� ��� >����� ����� ����� ��������� &�� ���� &� � 9 ���� & � �� � &�� ��� ��� � � � � �� ����� ��� ��� ���� ����� ������ ������� �� ��� ���� � ��� �

��� � ���� ��� �

��� (��� ��������� ���

�#���� �� 3 0� � � � ���+&8 � 3 ���� �� �#���� �� ��� >����� ����� ����� ���

������ ��� �� � ��� ���� � ��� ���� � ���� ��� �

��� ���� ���� �� � & � �� � & '���

� �� � ���� � 9 � � +�� ����8� �� ��� ����� ��� &*� ���� ���� ���� ����� �"����� �� � & � �� � &� ��������� ��� ��������� ���� �� �� ���������� �� �

Page 122: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

20����� ��� * ��� �� ��� �� �� ���

"���� �� � +� �8� �. �� � +� �89 ���� ��� �#/�# !��� �1 � " �� �����2��� # � ��� �� # $� � ��/ M�. � ;��� C !9 893<

!� ��� 7 �C

20����� ��� * ��� �� ��� �� �� ���

"���� �� � +� �8� �. �� � +� �89 ���� ��� �#/�# . !��� �1 � " �� �����2��� # � ��� �� # $� � ��/ M�. � ;��� C !9 89H<

20���� �3�3� �������2� ��� �#/�# !��� �1 �� ��� 2#2/ 2 !����� " �������2� �� ��� !������� � � +�� �� �� 989

20���� �3�3� �������2� ��� �#/�# !��� �1 �� ��� �#��� 2 !���� ��1��� /������� " �� �����2� �� ��� !�������� �� � +� �8� �� � +� �8 �. �� �+� 989

20���� �3�3� �������2� ��� �#/�# . !��� �1 �� " �� �����2� �� ��� !��&������ � � +�� �8� � � +�� �� �89 ;���"� � ��� 2�/�� ��� �� � .� �.��.!������ ��9<

Page 123: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ����� ���� ��� ���

!� ��� 7 �C

20����� ��� * ��

� �� ���$�1�+� , � � ��

$� ��� !���� �1 ��� �� � ��$ DA� 2�$�9 �2� ��� � �� �1 ��� 2�$� 2��������.��� � �/���� �1 ��� !���� � ; 9�9� ��� ��� #�� �. �� D� �� !�� �� ������ � ��<9 �� ����� "��.�� �2� ��� � �� �1 ��� 2�$� 2��������.� �� �����:�1 ��� �#/�# !���9 �2� �����: �1 �� � !��� �� �/��2� 3H

�������� �� ���2D �� �9

+�������� ��/�� �� �1 ��� ��$ DA� 2�$� � � �/# ��� � ��� !���1�� ��� �����: ���2 ��. �� ��� ������� ��� � �� �1 ��� 2�$� �� ��� �����:���2 ��. �� ��� .��� �# �/����9 ��� ��$�� �1 ���� � ��� �������� ���&� $/� ��/�� �� � � �/# ��� . ���2� 1�� ��� �����: ���2 ��. �� ��� ���������� � �� �1 ��� 2�$� �� ��� �����: ���2 ��. �� ��� .��� �# �/����9 ��� . &���� �1 ��� �#/�# !��� �1 � � ��� ��$�� �1 ���� � ��� $��� ���� $/���/�� �� � ��� "���� ���� $/� 2��9

+�� 3�4!� ���������

���)���C :�� � �� ��� ���� �� � ���������� ��@@�� !� ��� �������

Page 124: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

�� ��� >����� ���� �� � (��� ������� �� ������ ��� ���� ��@@��� +����� ��� � � � 5���)*�

����8 � ������� �� �� ���� �L���� �������������� (�� ����� ����� ���� )�� ����� +���� � ������� �� �����������8 ��� ������� C

��@@�� �������������; �� +�� ����� ��� �����8

�� � 5���)*� ���� �9

!�� ��� �� � 5���)*� ����� ��� $>!'& ���)���C :�� � �� ��� ���� �� � ���������� ��@@�� � ��� & �� �

�����; � ��� >����� ���� �� � !� � �� ������ ��� ������� � �������� & �� ��� �����; & ��������� �� ��� ������ ���� �� �� �"��� �� ��������� ���� & �� &

(��� ������� �� ���� ����� (�� �� ������� �� �� �;����� �� ����� 2�*� �� ������ , �� �������� ��� ����� ��� ���� � 2�*� �� ������ ��� ������� 5���)*�����E��)� ��@@��� ��� �� ��� � %��) :� �� �*� ��� �� � $:�&

20���� �3�3� C �. ��� �#/�# !��� �1 ��� 0�/ 2�. �@���.0 !����

� �� � ����

�� ��

�� ��

"���� �� � ��� ../� �/ 2� ��� "� 2� ����� ��� ../� �/ 2� ��//�/ ����� � !�� 12� 2/�2D" �� �5 .�!���� ;" �� �����2� �� ��� � !�� 12�<9 C �. ���. ���� �1 �� � !���9

:�� Y �� � ���� , .�������� ������� � Y �� � ��"���� �� � ������� � ���� � Y ����� ������ ����� � ���� �����; �;����� ��� +0� ������) �� ��� �������� �� ������ � ��� � �� �� ���� ��� � .��������������� �� � ���� ������ ���� ���� �;����� ��� 8

(�� ������� ������ ������� ��� #��� ������ � ���� ����;� +����� �� 0 )��8 �� , '����)C

���)���C :�� � �� ��� ���� �� ��� ��� 5���)*� ���� ��@@�� A��� ���>����� ���� �� � ���� � .�������� �������S 0 ����� ����� �� �� +���������8 ������� ���� �������� ������� �� ��� 5���)*� ���� �;����� ���� ����)� �� ���� �� � ���� ��� ��� ��� ����� �������� ���$�1�+�,S

(��� �� � ������� ���� �� � ���� ����� ������ �������C !�� � ������������������ ���� ���� ���� ��� ��� �������� �� �� �� )�� �� ��� >����� ���� �� .�������� $>2&

, �;����� �� �� ����� �� �� )�� �� ��� ������� C

Page 125: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ����� ���� ��� ��?

20����� ��# �� � $� ��� !���� �� " �� !�������� ! ��� �� $� ��� ��� �1// ������� � ���*

� � ��� # � +�� %8 � � � � � % � ��

;����� �� �# ��� ������� � ��� ��� ��2����# �� !������ �� � �2���� ��$��� �1 ������� � ��� �1 ��� 1�� +�� � T �8� � � � � � � �� ��R2� ��!������ �� G�I9< ��� /!�� �� �1 ��� ���� ;��� �K9K< ���"� ��� ����� � � /��� � 2 �2� � � ��� �#/�# !��� �1 �� " �� �����2� �� #9

(�� ����� �������� � ���� �;������ �� ������� �� $>2&

'���� !"� (���� ����

'�� 3������ .������� � 0���� ���� � �� ��� �=�� ������� ��� ���� ��� �E��� ��� ������� �� #� .�������� ����� +���� ��� ���8 �� �����E� � ��� ����� ��� 0����� ��� �� ��� .������ ��� (�� ��� �� �� #� .�������� ���� ���� ��� �������� �� ��� ��������� , ������� +������� %��(���� .������ �� %���������� ������� $B5&8 �� ��� �� ��� ��� ��C+��� !� 7 �8

!� ��� 7 �C

Page 126: Mathematics of the Rubik's cube

��7 ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

+�� 2� ����� �6 �� �� �����

(��� ������� ����� �� ���� � $%�&� �������� ��� �? ��@@�� ���� ��� ����E����������� ���� �� ���� ������� $3&

(�� �? ��@@�� ��� ������� � �9 � ����� (�� ��D��� �� ��� ��@@����� �� ���� ��� ������ ���� �� �� #���� ���� ���� �� �� ��� ��� �� ��������� ���� � ��� ����� �������C +��� !� 7 98

!� ��� 7 9C

(� ����� � ��;� �� ��@@��� �� ���� ���� ��� �"����� ���� � �����@@�� 0 ���� �� � ���� ��� ���� ���� � ������ �"���� ��� ��� ������� ��� ����� 3� ���� �������� ���� �������������� �� ���� ���� ���� ��� ����������� �� ���� ������ �"���� � ��� ���)

0� �� ����� ���� ����� � ��� ��@@�� � ��� ����� !� ���� �� � �����;� ������ ��� �������� ����������� ��� ��� ������� ���� �� ��������� �� +���!� 7 ?8

3� ���� ��� �7 ���� ��� ���) � ���� ���� ���� Y (�� ��� �� ������� �� ��� ��@@�� ��� ������������ �� ��� �7�� �����; � � �����; ���� ���D���� �� �� (��������� �� ���������� �� ��� �������� ������� � ������ � Y

Page 127: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ��� ��� �� ��� �� ����� ��<

!� ��� 7 ?C

'���� #����� ��)���

1�� ��� Y �� � ������ ���� ���� ��� �����; ��� 9 +Y8 �� ��������� 3 +0 ��� ����� �;����� 3 � �7 8 �� � ������ �� ��� ��� �������� ����� ������ �� ����� � 3 � ������ �������� �� Y� ����� 3 ����� ������) 0 ����� ����� � ������ � Y �� � ��D������ ����� � C 9 +Y8 �� �� ���� 3 (�� ������ � �� � � Y ��� �D���� �� � ��� �� � �� � �������� � �� �� ����������� � � �� �����; 3 ���� � �����; �D���� �� 3 � � 0 ����� ����� � � � ��� �D���� �� ���� �K�� �� �� �� �� ���� �� �����@@�� !��� Y� �� ��)� � �� ���� ��-+Y8 �� ������� $3&C ��� �����; ���9 +��-+Y88 ������ ��� ������ � � Y� � ��� �������� � ��-+Y8 ��� D����� � � � �� ��� ��������� ������ � ��� �D����

!�� �;������ ��� ������ � ����� ��� �D����+��� !� 7 7 � !� 7 <8

3� �� ������ � ��"���� �� ����� � Y �� �� � ���� �� ���� ����� � +� �� �� ���� �8 ����� ��� ��� ��� �������� �� Y� � � � ��� ����D���� '��� � ���� � �� ��� �� �� ���� +��� ������ �����;8 �� � +���������� �����;8 (�� ���� � �� ������ �� � �� �� ���� � ��� ������ 0� �� ��� +� �� ���������� ������ ����8 � �� ����� � ����� ���� ���� �� :�� �� � #;� �����; �� Y (�� ��� �� ����� ���� �� ����� � ����+��� ���������� �� �����8 ����� ��� �������� ���� �� Y ���� �� �

Page 128: Mathematics of the Rubik's cube

��= ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

!� ��� 7 7C

!� ��� 7 <C

Page 129: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ��� ��� �� ��� �� ����� ��6

���� Y+8

1�� ������� �� ���� ��� ����)� �� ��� �9E�? ��@@�� � � ����)������������C +��� !� 7 =8

!� ��� 7 =C

0 ���� ���� ���� ��� ���) ���� ����� � � ����� �"���� 0� �� ������ ���� ��� ���) ��� ��� �� �� �� � � ����) �"���� (��� �� �� ������E������ ��������� ��� ������� �� � 0� �� ��� ���� ��� ���) �� ��� �������� ���) ���� �� � � ����� �"���� (��� �� � ����� �� ��� ����������������������� ��� ������� �� ��� ,���� ����� ������������ ��� ���) ������ � � ����) �"����� ��������� �� ���� �� � � ���������� (�������� ����� ���) �� � � ����� �"����� � ��� ���������� ��� ������� 0� ������) �� � � ����) �"����� � � ���������� ��� �������

, �� �� ������� �� ��� �?E/�@@�� �� �� ��"���� �� �� �� ������������������ ���� ��� ����� ������� ���� ���� ��� ���) �� �� � ��� �������� ��E�� ����� -��� ���� ������� ��������� �� � ���������� �� ����? ������ �������� � ���� �� � ������ �� ��� ��������� ���� ��� (�� ��� �� ��� ���� ����������� +����� �� � ��"���� �� ������������8 ���� ����� � ���� ����� ��� ���� �� ��� �?E/�@@��

1��� ���� ��� ���� �� ��� �?E��@@�� �� ���������� �� ��� �������� ������ ��� �? ��@@�� ���� ���� �� ��� ����)� �����;

Page 130: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

0� �� ���� ��� ����� �7 �� ��� ���)� ��� �� �� ��� ���� �� ������ � ��� ������ �� ��� ��@@�� � �7M �K���� ���� .������� �� �� ��)���� �� �� �������� �� ��� �?E/�@@��� ��� �� ��� #;� �� �� ��� ������ ,� � ������ ��� ����� �� ���� �� ������� ��� ���� �� ��� ������� ���� ������) � ��� ����� �"���� �� ��� ������ �� ��E�� ������ �� �� ���� �?M ,�� ���� ����������� ���� �� �� ���� �� ��� ����)������ ������� ����� �?M!� �� ��� ����� �� ��� ����������� �� �? ������� +����� ��� � �"�������� �� ��� � � �����������8 !��� ���� �� ��� ���� ��� �?E��@@����� �?M!� �������� �� �� ��������

' ����� ��� ��� ��� � ��� " �� ��� ���# ��2� � ��� $���� � !�� ���2� $� ��2��. 1�� ��� ���� ��� � �� �1 ��� 34&'�MM/� $# �� 1� �! � /�� �� � $ E�2� �� 2��������.��2� " �� ��� �?M!� � �� ��<� 7<9� �7=� ��� ���� ����&�� ��� �1 ��� ��$��� 1�� 3 �� 349

(����* # ��� 3�&34 '�MM/� 2���� $� ��/��.� $�2��� � � � �.. ����&�� ��9 �� ��/# �� ��� ������� � ��� 3� ����2��!�. " �� 349

����&C 0� �� ����� ��� ����� ����� �7� ��� ����� �������� ������� �� �����@@�� ��� �� �� ��� �� � ������ �� ��� ��������� ���� ��� � ������� �� ��-+Y8 (���� ��� �7M ������� � ���� � �7M �������� �� ��-+Y8 3��� ��� �� ���� ������� �� �� ���� ���� ��� �� �� �������� �� ��� ��@@����� ������ �� � ��� ����� �� ������������ (��������� ��� �� �� �������� ��� ����������� �� ��� ��@@��

1�� �� ���� ���� ���� ����� �� � ������ �E����� � ��� ���� �� ����?E/�@@�� !�� �;������ �� �� ����� ��� ����� ������ ������� ��� ���������� ���� � � ������ ������� ��� ���� �� ����� �����E����E����E������� ��� �����E����� +��� ��� �?8 �� ������� �� ������ � ��� ��������!� ���� ������ ���� +��� !� 7 6 � !� 7 ��8

0� �� �� ���� ���� �� ��� #; ��� �� � �� ������� ��� �� ����� ������� ��)� ��� ����� �� ��� �? �� ������� �� �� ��� ������ �����C+��� !� 7 �� � !� 7 ��8

�� :���� �7�� ���� �E������ ������ .�� (��� ������ ��� ������� ,������������ ���� ���� ���) �� �� ���� ���� �� ����� �� �������

��� �� � ��� �����E������ � �� �� ���� ���� �� ����� ����� �� ���������� �� !��� ���� �� �� ������ ���� �� �����E����� �� �� ����� '�������� ��� ���������� �� � ��������� �� �����E������ +�� /��������� �?68������ ��� ���������� �� ��� �?E/�@@�� �� �� ������ �

Page 131: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ��� ��� �� ��� �� ����� ���

!� ��� 7 6C

!� ��� 7 ��C

Page 132: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

!� ��� 7 ��C

!� ��� 7 ��C

Page 133: Mathematics of the Rubik's cube

$��� ���#� �� �� ��� ���� �+����������� ���

3��� ���� ���������� �� �� ��)� � ������@���� �� ����� ���� ��@E@��� �� ��@� �� � ���� � � � � � � �C

' ����� ��� ��� !���� �1 � �� � ��2��!�/� ��MM/� � ��� /����� �!!���� .����9

(�� ����� �� ���� �� ������� �� ��� ����� ��� ��� 9� 9 ��@@��� �� � � � �� � � +(�� ������� ����� ��� � � � � 9 �� � � � � 9 ���� �� ����������������8 (�� ��@� �� ��� �������� ���� �� ��� �� +��� �8M!�

+�� ����*� �� ������������9 :-;���������

>����� ����� ���� ��� ��� �� �������� ��������� �� ���� ��������E��� �����)� ��� �������� ���������� +��� $>!'&� $>2& ��� ���� ���������8

(�� ������� �� #� � �L���� �� ������ ��� ��� �������� ������� ����� ��� ��@@�� �� �L���� 0� ������ �� #� ��� �������� ���� ��������� ����� � � ���� ����� ��� � ������ � �L���� ������� ��������������$2O&

(���� �� � ����� �� �������� ����� �1/E��������� �������� 3������ ���� ��� ������� ������ ����� ���� ��)� �� ��� ��� �#��� ���� �� � ������� �������� ����� ��� � ���� ���� ��"����� ���� �� ����� 0� ��� �� #� ���������� ����� �� ������ �� ����� �� ��� ��� �� # �� �� ������� ����� ������� � ���� ����� �� ���� !�� �;������ $2O& � $�>2& ����� ���� �� ���� � ��@@��� ����� �������� ��� 1/E�������� ��������

Page 134: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� $� ���� ��� *����� ���� ���*

Page 135: Mathematics of the Rubik's cube

����� "

#$����$ ���� �% ���

�������� ���� �

�/���� ��� 2� �������@�� ��������� �

'/���2� ���� � / � . ����� ���� / $�� ��H

�3� � �� ����� ���� ��� ���� �� �� �� ��� ������ �� � ����� �� ��� � ����� �� �� ��� �������� �� �� �� ��� � �� ����������� �� � �� �� �� ��� ��"����� ���� ��� �������� ��������� ��� � � ���� ����� ������ ������� ��� ������ �� �;��� ���� ���������� ������� �

�/�� �/.� ������

��2 ��# �. ��/ ��.�

2����� 7� ���D �. �#�

(��� ������� ��"����� � ������ ���� ������������ ������������� ���� �������� ��� ��� ������� �������� .������� ��� �;������� ��� +0 ���)8 �������� �� �����

,�� ����������

(�� �/������ ������ ��� ��� ? �� ���� ���������C

��?

Page 136: Mathematics of the Rubik's cube

��7 ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

�������� U ����� U �������� U � �� ���� ��"��������� 9 9 7 ( �����;����� 7 = �� B 9���������� = 7 �� B ��9

�������� �� �� �� 0 ?����������� �� �� �� 0 ��?

.���C

�� ����� ��� ���� � ���� ����� ��� ����� �� � �� ���� ���� �����

"� ����� ��� �����; � ���� ����� ��� ����� �� ����� ����� ���������;

, �����; �� �� �� ����� ����� �� ��������� �����#� �� ��� "E����� ������� ����� ���� �����; 3� ��� ������� �;������ �� ���� ������ ����� �����#� ������ ��� ��� �������� �� ��� ��������� 5���)*� ����E��)���@@��� � ������� ?

(���� ����� ��� �� ��� � ����� ���� ��������� ���

�������� ������������������ +�����8� +��E��E�8� +E��E���8� +E����E�8��;����� +�����8� +����E�8� +��E���8� +E�����8�

+��E��E�8� +E����E�8� +E��E���8� +E��E��E�8�������� +�����8� +�����8� +�����8�

+E�����8� +��E���8� +����E�8�������� +��!(���!(8� +!(���!(��8�

+!(���!(��8� +!��!��!�8���������� +����(8� +�����(8� +E����(8� +E�����(8�

+��(��8� +��(�E�8� +���(��8� +���(�E�8�+(����8� +(�E���8� +�(����8� +�(�E���8

����� ( ����� ��� ��� �����

0� ��� ��� �� ��� ����� �������� �� � ��������� ����� ���� � ���� �������� ��� +��T��T��8!� ����� � �����; �� ��� ��� �������� � ����������; �� ��� ��� �������� ������ � ���� ���

(�� ����� �/������ ������ +��� ���� �� ������������ �� ����� # ����8���� �� ������� ����� (���� ����C

" � ��������� ���� �� ��� ��������� � ���������� �����

) � ��������� ���� �� ��� �������� +�� ����8 � ��������� �����

0 � ��������� ���� �� ��� ��������� +�� ��������8 � ���������� ����

Page 137: Mathematics of the Rubik's cube

%��� !��#����� �� ������ �� � �+���� ��<

,�� <��*�����4 �� �������� �� �;����

(��� ��������� �������� ���� ���� ������� ���) ��� � ���������� � �������� �������� ��� ������� ��� �������� ����� �� ��� /�����������

3� #; ��� � ��� ��� ��� ��� ��E��E����� ��������� � �E����� 3����� � ������E�������� ������������ � �E����� ����� #;�� ��� ��� � ��������� �� �E����� 3� ��� ���� ���� � �������� �� ��������� �������� �� �� ��������� ��� �� ��E�� ���� ���������

20����� ��� * �� � C �� �� .����� ��� 1��2� �� "� 2� �D�� �2� ��2���

& $�/��! �! �� �� �. ������� �� ��L�2� �� �+&8 $��� ��� #M&�/��9 �� � ���� �� ���� �� ������� �! � �2� � �������� ��� . ��2� �� �1 2������2/�2D" ���� �! 2 �2�/� ��� � ��� #M&�/��9 �� ���� �1 ��2��!�/� 2���. ������+� �� -8 � +�� �� -89

:���� � +� �� -8 � � �� - ���� ������

���� �E����� 3� ���� ����� ����� ��� �������� �� ����� �������

�� �

�� �-

�� � � �� - ����

(�� ������ ������ � �� �� ��� ������

�+/&�� /&�8 ��

+� � �8� T +�� � ��8� T +-� � -�8�

����� /&� � +�� ��� -�8� /&� � +�� ��� -�8 (��� ��� �� �;������ � ����� ����� ��� ������ /&��/&� � ��T����T-�-� �� �+/&�� /&�8 �

�+/&� � /&�8 � +/&� � /&�8

>��������� ��� ������@���� ������C

/&� � /&� ��

�+��/&� T /&���� T ��/&� � /&����8

������ �� �� ������� ��� ����� �� ��� ��� ������ ���� ��� )���� � ����� ������ �� ��� ������ ������

3� ���� � ������ � C �� �� � �������� �� �� �����#��

�+� +&�8� � +&�88 � �+&�� &�8

Page 138: Mathematics of the Rubik's cube

��= ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

��� ��� &� � &� ���� � �� �� 3� ��� �� ������ ���������� � ������ ������ ���� ���� ���� ��������

������� +�� � ����������� �������� ��� ������ �� �����8 � ��������������� �� ���� ��� )�� �� ���������� �� �E����� �� ��� �� ������ 3��� �������� ���������� ��� ������ ����� �� �� � �������� +,����; ��� ���� ������� ���� � ������ ���) ��� � �������� 8

����� ��� �1 . � � � � �� : ���� ��� 1��2� �� . C �� �� � �

�����# 1 �. ��/# 1 .� � . � 0�� "���� .� .������ ��� �������� .��� �#�� : ;�$� ��. $# L �� �! ��� ���� �� �1 . $��� ��� . !��/9

(����* �� �� ��� 2�/�� 1 . � � �����# ���� ��+.8� � ��+.�8 ��+.8 ���+.� � .8 � ��+0�8 � �9

����&C (�� ������ ������ �� �������� �� � ��� �� ��� �� ������������ �� �������� +(��� �� � ����"���� �� ��� �������@���� �������E ��� ��� �����; 8 :�� �+/&� /28 � /& � /2� ����� � ����� ��� ������ �������� '��� �+./&�, /28 � /& � +.� �,8/2� �� ����

�+./&� ./28 � �+/&� /28� �&�2 � ��

�� � ��� ��/& � +.� �,8/2 � /& � /2� �&�2 � ��

�� � ��� �� .� � . � 0� �4�� ��� ���� ��� ����� ��� �� ���� �������� � �������� (���

����� ���� �� ���� �� �;������

20����� ��� , ���� �� �� : � K&. ��� ��� # $� "� ���� � ��� 1��

+(� 5� =8 �

�� ��� ��� ��+58 ��+=8

��� ��� ��+58 ���+=8��+(8 ��+58 � ��+58 ���+(8 ���+58�

��

"������� � ���+(8 ���+=8� ���+58 ��+(8 ��+=8���� � ��+(8 ���+=8 T ���+58 ���+(8 ��+=8���� � � ���+(8 ��+=8 � ���+58 ��+(8 ���+=8���� � � ��+(8 ��+=8 T ���+58 ���+(8 ���+=8�

�. "���� ��� �!/�� (� 5� = �� ��� 0��/�� �!/��09 �� � ���������� ������� �� �1 K&��2� �$� ��. $# ��� 1�//�" �! ��@���2� �1 ���� ���* ����� $#

Page 139: Mathematics of the Rubik's cube

%��� !��#����� �� ������ �� � �+���� ��6

�!/� = $��� ��� M&: �� ����� $# ��� �!/� 5 $��� ��� :&: � ;� � 5 � 4<����� ����� $# �!/� ( $��� ��� M&: � ! �9

,/����!� �� � � � ������� �! 12� .�� �� �� �:�/ 2 ������ "� ��// ������ �� � �:����� ��9

8������C ,�� ����� �� ���������� ����� � �� ���� ���� �������� ��� ��� ����� �����S 4��C �� ��������� ���� ���� �� � ��������

8������C ,�� ����� �� �;������ �� ���������� ����� � �� ����� ����� ���������� �� � ��������� � � ����� ��� �����;S 1�C ��� ������� ������� ������#�� ��� ��� ����������

' ����� ��� , 1��2� �� � C �� �� � � �����# =: �! ��� �� ! � 1

�. ��/# 1 1 � /�1� �/� �/ 2� �� $# � �����!��/ �� :9

(��� ���� �� �� ����� ���� +��� ,��� $,�&� ������� 9� ������ ?� /����E����� ? �78

,� � ����"���� �� ���� ������ �� ��� ���� �� ��� �����; . ���� ���� �� ���������� ��� ��+.8 �� ������ �"��� �� � �� E� +���� ���+.8� � ���+.� �.8 ����+0�8 � �8 0 ����������� ��� �������� �� ���� � �����; �� �E@���� ����� �����; �� ���������

����� ��� ��� ��� �1 // ��� �� 2�� . ��2� ��� ��� 1��2� �� . C �� �� � � �����# 1��� !���� ��.�� �� : �/� �/ 2� ��9

20���� �3�3� ��� 1# ��� !���� : �� ���.�. �� ����� �� � /�9

4������C (��� ���� ���� �� ����)�+�8 � ����� ��� ����� ��� ������ �� 3� ���� �� �)�+�8 ��� ������� ������

�)�+�8 � . � )�+�8 � ���+.8 � ������� �� ����� ��� ������� ����� ��� ���� �� ��

����� ��� �)�+�8 � ��$!���� �1 )�+�89

20���� �3�3� ��� 1# ��� !���� : �� 1�� �)�+�89

0� �� )�� ���� ��� ����� �� ������ � )�+�8!�)�+�8 �� � 0 ����� ���� )�� ����

)�+�8 � �)�+�8 � � � �)�+�8 +��D��� ���8 +< �8

����� � �� ��� ��H����� � ��� ����� �;����� +���� ������� ���� $,�&� �������9� ������ ?8

Page 140: Mathematics of the Rubik's cube

�9� ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

����� ��� ��� �����# . � )�+�8 � �� ���� �� ������� �! 1 �. ��/# 1 ���+.8 � �9

3� ���� �� ����� ���� ����� ����

,�� ������� �6 �� �����4���

!�; � ��������� ������ �� ��� ��� �� ���� �� �����; ��� ��� @E�;�� -��� � � ��� � ���������� � � � ��� ��������� +����� �� �������� ���E�������� �� �� �� ��� ���) �� �� ����� �� �8 -��� �����; ��� � �������������� +��� !� < �8

!� ��� < �C

(���� ��� ��������� �������� ���������� +����� ��������8 �� ������������ � ��������� ������� ���������� �� ��� ��������� (����������� �������� ���������� �� ��� ��������� ���� �� ���� �" (��� ��� ������ �� �������C

� ��� 9 �;�� �� �������� ����� � ��� ������ �� ��� ����� ���� � ����������� +��� � ��� ����)���� ������� ��� ����� ���� ������ � ��9� � ��� �������8� ��� � ����� �� = ��������

Page 141: Mathematics of the Rubik's cube

%��� ������ �� �� ��� ��!� �9�

+(��� ����������� ��������� ������ ��� ��� ��������� ������������ ��� ������; 8

� ��� � ����� �� � �� +����� �� � � � � ��� ��������8 ���� �������� ���� +� �=� � ��� �������8� ��� � ����� �� � �������

(����� ���� ��� ������� ��� �� ������� � �"

V�� ��� ����� ����������� +< �8� �� ���� " � �" � � ��" +��D���8��� �" � � �9

(����* �� �� ����� ��� ��� �" � ������ //# ��� /����� �! !���� . �1���� ������ ��� �1 � �. " � ������ //# � ���/19 �� ��// ���� ������2 �� ����/� � ��� ��:� 2�����9

,�� ������� �6 �� ��'

3� #; � ���� ������ ����� ��� ��� � � �E����� (�� ��� �� ������ ����� ����� �� � ���� ����� � ��� �� �������� �� � �������� ��� ���� ������� (��� �������� �� ����� ��� ����� �������� +��� !� < �8

!� ��� < �C

Page 142: Mathematics of the Rubik's cube

�9� ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

(���� ��� �������� ���� ��� ���� �������� ����� ����� �� ������ ) (���� ��� ��������� �������� ����������� �� ��������� �� ��� ����� ��������� ������� ���������� �� ��� ���� (�� ��������� �������� ���������� �� ��� ���� ���� �� ����� �) (��� ��� ������ �� �������C

� ��� � �;�� �� �������� ����� � ��� ������ �� ��� ����� ���� � ����������� +6� � ��� ����)���� ������� ��� ����� ���� ������� � �=�� ��� �������� � � �<� � ��� �������8� ��� � ����� �� 6 ��������

+(��� ���;������ ��������� ������ ��� ��� ��������� ������������ ��� 5���)*� ���� 8

� ��� 9 �;�� ����� � ��� ������ �������� ���� � ������� ���� +��� ������ �8� ��� � ����� �� = ��������

+(��� ����������� ��������� ������ ��� ��� ���������� �� ��� �)���$.& 8

� ��� 7 �;�� ����� � ��� ������ ��E� � ����� ���� � ������ ����+�� ���� �8� ��� � ����� �� 7 �������

(���� �������� ���� ��� ������� ���� �9 �������

����� ��# ����� �� H� �� ���� �� ������� �! �/����� � )� 9�9� ��)� ��99

(�� ����� �)���� �� �� ��� �� ��� ��� ���� �� ���� .���*� ����������&C :�� 9 �� ��� ��� �� �������� �� ��� ���� (�� ���� �) ���� �

��� ��� 9 !�; � & ���� � �� 9 � ��� 8 � �� * !+&8 B� �� ����)���� �8� � � +���� ��� ��� �������� ����� #;�� & �� � ������� � �������� ��� ����� � & � ��� �������� �����; '��� � �� ���� �� 8 �� � � ������ � �� ����8 3� ���� �9 � � =� �� �� � ����� � ��� �������� �������� ������ � �������@���� �� ���� ��)!8� � �9 � �� :� �� �*� ����������)� � ��)!8��8� � = � � � �9 �

1�� �� )�� �)� ���� �� )S 1��� ���� �� ��� ��H����� � ��� �;������ ��� �������� ������� ���� � �� ) V�� ��� ����� ����������� �� ����������� ������� �� ���� ��� ����� �����������

) � �) � � � �) +��D��� ���8�

3� )�� ���� �� � �)� � ��)� � �9� ��

Page 143: Mathematics of the Rubik's cube

%��� ������ �� �� ��� ����������� �9�

����� ��� ��� ��.�� �1 ��� �2���.�/ !���� � �)� � 9=9

(����* �� �� ����� ��� ��� �) � ������ //# ��� �#��� 2 !���� � �.) � 0 ������ 2 �� ��� . ��2� ���.�2�0 � � ��9 �� ��// ���� ��� ���2 ��.�=� � ��� �. ����/� � ��� ��:� 2�����9

,�� ������� �6 �� 4�4���4���

!� ��� < �C

(�� ��� �� ������ �� ��� ����� �� � �������� ����� � ��� �� ���������� � ��������� ��� ���� (��� ��������� �� ����� ��� ����� ����E���� 3� #; � �������� � �E����� �� ���� ��� �������� �� ��� ������������ ��� �� ����� � ������ � ����� +��� !� < 98

:�� �0 ���� ��� ���� �� ��������� �������� ���������� �� ��� �E������� 1��� �0 �� � #��� ��� ���� �� �)�+�8 :�� 0 ���� ��� ���� �� ��� ���������� �� ��� �������� 1��� 0 �� � #��� ��� ���� ��)�+�8 � ���� �0 �� � ��� ���� �� 0 :�� + ���� ��� ��� �� ����� �� ������������ �� �+ � � �� �0 ���� � +

����� ��� �0 2�� �� + ���� � ��/#9

Page 144: Mathematics of the Rubik's cube

�99 ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

!� ��� < 9C

3� ��*� ����� ���� 0� ��� ���) �� � �������� �� ������� ��� �����E���� (�� ����� ��� ���� �� ������ �� ���� �� ����� �� ���� �� �� �� ������� �� ����� ���� �� �� ������ ���� ; �� ������ ���� ������ �� �0 0 ����� ����� ��� ����� �� �� ��� �� + C �0 � � +

0� �� �� ���� ��� ��� ��� ��������� �������� ���������� ������*� �� �� � �K���� ���� �� � ������� �� � ��� �� �������� �� <�� ���� ����� ��� ��� ����� ����� � ��� ����� �� � ��� ����� �� ����������� ���� (���� ���� ��� ���� ���� � �;����� ? ������ �������� �� �������� (���������

��� * "+8� � ?�

�� � ����� � ��� ������ � ������� �� ����

�0!�� * "+8 � �0 � ��� ��0� � ��� * "+8���0 � � � ? � �� � 7�

(�� ������� �� '0 �����C

� ������� �� � � 4 � �!?� � � �� �� �� �� 9� ����� ��� ��� ����� ����� ���� ����� �� � ���� � ��� ���������

+(��� ���������� ��������� ������ ��� ��� ���������� �� ��� �� ��E�; 8

Page 145: Mathematics of the Rubik's cube

%�$� ���� &, ������ �� �� ��� ��������� ��� �� �9?

� ������� �� � � 4 � �!�� � � �� �� �� ����� ��� ��� ����� ����� � ������; � ��� ���������

� ������� �� 4 ����� ��� ����� �� � � �

'�� ����� �����C

� �������@�� �� � �����; (���� ��� ��� ������ �� ���� �� � ���� ��� �����D� ��� (���� ��� �� ������ ���� ��� ����� ���� � �����; � ����������� ����� ��� ���� �������@��

� �������@�� �� � ���� (���� ��� ��� ������ �� ���� ?� � ���� ��� �����D� ��� (���� ��� 7 ������ ���� ��� ����� ���� � ���� � ����������� ����� ��� ���� �������@��

� �������@�� �� � � � (���� ��� ��� ������ �� ���� �� � ���� ��� �����D� ��� (���� ��� �? ������ ���� ��� �����

20���� �3�3� ��� 1# // �����9

(����* �� �� ����� ��� ��� �0 � ������ //# ��� /����� �! !���� .� �1���� ������ ��� �1 �� �. 0 � 0 ������ 2 �� ��� . ��2� ���.�2�0 .����9�� ��// ���� ��� ���2 �� ����/� � ��� ��:� 2�����9

!�� � �;������ �������� �� ��� ���������� �� ��� ���������� ��� $��&

,�+ ����4�.= ������� �6 �� ������;

4��� ��4 �7

, �� �� � ���� �� �� ���� +� �� ��� �� � �� ��� ���� � �����; �� ���������� �������� �����;8 �� ��� ��������� (�� ��� �� ��� ������������ 7 �������� � ���� �� ��� ���� ���� �;����� �� �� ����� 7 �������� ��� ����� (���� ��� �� ��������� ���� 7 �� ����� ����

�7�

�� �?

�K���� ��� -��� �� �������� � � ��� ����� ��� +� � � � ����� ������� ����� �� ��W���� �� ������ ��� ��� ����� ( � +� T

"?8!� �� ���

Page 146: Mathematics of the Rubik's cube

�97 ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

!� ��� < ?C

������ 3� ��� ������ � �� ���� � ���� �� ������ ��� ��� +�� %8 � � �� � % � 7� � � � ���� � �E����� � �� , �� ��� �� ������� �� +��� !� < ?8

-��� ������ �� ��� ������� ���� �� ��� ��������� +� � � ��� ������ ���������E�������� ���������� �� ��� ���������8 ���� �� � ���� � �� -��� �� ��� 9E��� ��������� � � � �� �� �� �� ������ � 9���� (���� ��� �? ���� �� ����� ��� 9 � �? � 7� ���� �� �� � �� �������� (��� �� ��������� ��� ����� �� ���������E�������� ������������ ��� ���������

(�� �=E�� ������ ������������ '�������� +���� ���� � ���� 2����������� ��� ��� �� � %�����8 ����� � ���������

# � #� � ��� �#� +��D���8�

�� � ��� # � ������� �� ���� �� ��� ���� #�� � � � � �� ��� ��� ���� ������� ������� 0� �� ��)�

# � ��� �� �� ���� �� ��� ������������ � ������� �� � ��� �� ����� ���� � ��� ���� � �� ��� � ����� (���� ��� �

7�

��9�

�!�M � �?

Page 147: Mathematics of the Rubik's cube

%�$� ���� &, ������ �� �� ��� ��������� ��� �� �9<

�K���� �������� +��� �M ���� ����� ��� �M ���� �� ������� ��� ������ �� ����������8 , ������� ��� �� ��������� �� � ������ �� ����������� � ��� ��� �� ��� ��������� ��� ����� ������� ���� ��� �;����� ����������� 3� ��� ������ � ������� ���� � ������ �� � ������ �E������� �� , ������� ��� �� ������� �� +��� !� < 78

!� ��� < 7C

3� �������� ��� ��� �� �? ��� ��� ? ����� �� � �� ������� +5��������� ������� �� � ������ �� ��� 8 !����� ���) � �������� .� /��) ������������� .�� �� ���� .�� .� ���� � �� � ����� >����� � � ������� ���� ��� ���) #�� �������� .�� ��� .�� � ��� �� ����� ���� � ��� ����� '��� � ������ �� ? �������� �� ����� � ���� (���� � 7������ ����� �� ����� ��� ���� �� � �� ��� ��� ��)� +, ���� �� ��� ��;����� �� ��� � $5&� ������� < 8 ,� ���������� �� ��� 7 �� ���� ����� ��������� ���� ���� �� � ���������� �� ��� ��� �� 7 ����� .��� ������������ �� ��� 7 �� ���� �� ��� ���������� ����� ��� �� �� ��� ��� ������ �� ��� ���� ���� �� � ���������� �� ��� ��� �� 7 ������ �������� ���� �� �� ��� �� � ������ �� �� (��� ���� � ���

� C �� ���

(��� �;����� ���� �� ������� ������� � ��� �;� ������� '�� ���� $5& �$��&

Page 148: Mathematics of the Rubik's cube

�9= ����� %� ������� ���� �� ��� ����� � ��� ��

Page 149: Mathematics of the Rubik's cube

����� &

����� ��

�(�� ��� �� �� ����������� ������� � #� ���� ����������� ����� ������ ��� ��� ���� �� �������� �

�� . � /$���

2����� ��� ���� ��� �� ��������� 3� +�������������8 ��� �� )������ ���� ����) ��)��� �� ��� �� )�� ��� �� ������� ����� ��� �� ���E���� ����� ��� �� ���)�� ���� �� ����� �� ���� ���� ��� ���������� ����������� ����������

2��� ��� ����� ��� ��� � ������ "������ �� �� ��) ��� ��������� �������S +-;����� ���� �� ���� �� ��������� ���� �� �;����� ����� 8 3� ������� ���� �������� ������� ����� � �����"��� ������ ��� ������� ��� ����� 0 � ����� �������� �� ���� ����� � ��� �� � 5���)*� ���� ���� ��������� �� �� ������� �������� �����

/�� #������������

, ������������ ������ ��� ����� ��� ��� ��� ����)� � � ������ ��E���� ���� ����� ��������� ��� +����������8 ���� ���������

5�6���� ��� �� ��� �� $� !������ " �� �� .���� �! ��� !���� ����� ��1�� �� �. �� ��� !���� ����� �� 1�� ��9 , 1��2� �� � C �� �� � ������� � 1 �. ��/# 1� 1�� // � * � ��� "� ���

� + �� *8 � �+ 8 �� �+*8�

�96

Page 150: Mathematics of the Rubik's cube

�?� ����� '� �����

20���� �3�3� '���� ��� 1�//�" �!* �1 � C �� �� � ������� � �1!����� ����

� +��8 � � � �� � � � �+8� ��� ���� � ��

� ��$!���� �1 ��9

(�� ��� ���� �+��8 � �� �� ����� ��� ��� � �� � � �� ������������� ��+�8

20����� ��� �� � $� !���� �. � =:�. �/���� �1 �9 ��=�� � C � � $#

�+�8 � ��� � � � �� � � ������ ��� 1�//�" �! � �/� �� 2D

�+ � *8 � ��� � + � *8 � � � ��� � � � � ��� � * � � � � + 8 � �+*8

���"� ��� � � ������� �9 �� �� � 2��� ��+�8 � �� 9�9� � � ���E�2&� ��9

20���� �3�3� ��

. �

�� � � �

� � �� � �

�� � , �

�� � � �

� � �� � �

��

��"� /�� � �� .�, � .����� ��� !���� �1 // �� 2�� "� 2� 2� $� "� ����� �# �$ ���# ���.�2� �1 ����� �"� �� 2�� ; � �# ��.�� �. " �� ��# ���� � #�� "��<9 �� ���

� � 0� �

�� � � �

� � �� � �

�� �

�� � � �

� � �� � �

�� �

�� � � �

� � �� � �

�� �

�� � � �

� � �� � �

�� �

�� � � �

� � �� � �

�� �

�� � � �

� � �� � �

��

;)�� # "�� �� ��# �� 2��2D �� � � � �:��2 �� $# ��!�. �! �2� ��2��� : � ������ �� �� :9< ��=�� � C � �� $#

Page 151: Mathematics of the Rubik's cube

'��� ������� ��� �?�

� �+�80� �. ��, ��

. �, �� � ��, � . �� � ��

. �, � . �� � �� � �����" ��� �� � � ������� �9

20����� ��� ��� 1��2� ��

��� C �� !��"� 2� �� !�� �� �2� ������ �� �� � !�� � ������� �9 ��� �����"�# �� � � ���� � $�2��� ��� � !� �1 ������ �� � � ��� .���� ��� �1 ������2 ��. ������ �� �� : � +�89 � �2� ��� .���� ��� �1 ��� ���.�2� ���� ���.�2� �1 ��� .���� ���� ;�� � � $� 2 ����/� � / ��� /!�$� G��I<�"� ��� ���+��8 � ��� +��8 � ��� +�8 ��� +�8 � ���+�8���+�8� 1�� //�� � � ��9 C�� �� � � 1�//�"� ��� ��� � ������� �9

����� ��� �1 � C �� �� � ������� � ����;< � +��8 � ��� "���� �� .������ ��� .��� �# �/���� �1 �� �. �� .������

��� .��� �# �/���� �1 ���;$< �+��8 � � +8��� 1�� // $�/��! �! �� ���;2< �+��� �� �� �8 � �+�8�� �� � +8 �� �+�8� 1�� // � � $�/��! �! �� ���

;�� .���� �! ��� !���� ����� �� 1�� �� �. �� ��� !���� ����� �� 1�� ��<9

����&C +�8 3� ���� � +8 � �+ �� ��8 � �+8 �� �+��8� ��� �� � �� %������� ���� ���� �� ���� �"����� � ��� ���� �� �+8��

+�8 3� ����� �� ���� +�8� �� � � +��8 � �+ �� ��8 � �+8 �� �+��8 %������� ���� ���� �� ���� �"����� � ��� ���� �� �+8��

20���� �3�3� '���� ��� ;2<9

5�6���� ��� �� ��� �� $� =� �� !�����9 �� �# ��� �� �$�.� ;�� �E�2��< ��� �� 1 ����� �: ��� � �E�2� �� ������� � � C �� ��9, ������� � � C �� �� � ������ � 1 � � $ E�2� �� ;� 1��2� �� $��"��� ����<9 �� �� � 2��� "� 2// �� �. �� ������ 2 �."� �� ��

�� ��9 ,� ������ � 1�� !���� � �� ���/1 � 2//�. �������� �9

Page 152: Mathematics of the Rubik's cube

�?� ����� '� �����

(�� ���� �� � ����������� �� ��� ���� �� ���� ��� ��� �� ����� ���� ��� ����� ��� ����������� ��� ���� ������ � � � �� �� ��������� ������ ���� �� ��� ����� ���� ��� ������� ��������

/�� #������������ ������� 6��� ����� ��;

�����

����� ��� �� � $� !���� �. # =� �� ���9 �1 � 2�� �� # ;����� /�1�� ����9 �� ��� � !��< ���� ����� � ������� � � �� ! ��� $#� �� (�9 ��������/#� 1 ( C � �� � ������� � ���� (+�8 C # #.�=��� ;/�1�� ����9 � !��< 2� �� �1 � �� #9

20���� �3�3� '���� �� �9

20����� ��� �� � $� ��� ��$ DA� 2�$� !���� !������. $# ��� $� 2 ���� ���$�1�+� ,9 C�� �2� ��� � � �� /�� >+�8 $� ��� 2��������. �! ����&�� �� �1 ��� ��� �1 ���� 2�� 9 �1 ��� 2�$� �. /�� ?+�8 $� ��� 2��������. �!������ �� �1 ��� ��� �1 �.!�� < �1 ��� 2�$�9 �� �� .����� ��� �#��� 2!���� �� � /������ �. .��� 1# �� " �� � � �# " �� ���9 ����

;< > C � � � ������� ��;$< ? C � ��� � ������� �9

�������� �� '���� �� �9

5�6���� ��# �� � 2� �� ��� #9 �� 2// ��� 2� �� �&���/# ���� � �� 1 1�� �2� � � �1 ��.���. �&���/�� +�� �� ��� �8� +��� ��� ��� ��8 �1 �/�����$�/��! �! �� # ����� � � � � ��2� ��� �� � (�+�8 1�� �2� � � � � �920���� �3�3� �� ��� ��$ DA� 2�$� !���� �&���� � �� �� ��� ��� �1 �.!�12���J

(�� ������� ������ �� �� ����������� �� ��� ��"�� ��� ��������� ����� �������� ���� ��� +5����� ���� ��� �������� ���� .� ��� �#�� �;����� =� ����� 8

' ����� ��� �1 � � ? �. � � !���� 2� �! �&���� � ��/# �� =� �� ���# ���� � � ������ 2 �� �� �� �� .�� 1�� ��� � � � �� ��� � � �T �9

��������/#� �� 2�� �&���� � ��/# �� �� �� ���� � �. .� 2�� +� � �8&���� � ��/# �� �� �� ���� �9

Page 153: Mathematics of the Rubik's cube

'��� �&����� �� ����� ��� �?�

(��� �� ����� � $5&

(����* �� �� ��// . �2��� � �:�/� �1 �� � � ��3K98� 3K979 �� ��///��� � 2��E��2� �� " �� ��� !����&������� 2/ .���� �� �� �1 ��� ��$ DA�2�$� !���� ������ /���� $� $/� �� .�.�2� 1�� ������ 3�5 ��� 1�//�" �!

��������� � ;< ��� ��$ DA� 2�$� !���� � 2�� 7&���� � ��/# �� ��� 2��&����� /�� �! ��� �.!�� /���9 �� 2�� =&���� � ��/# �� ��� 2������ $�� #������ �"� �.!��9

;$< ��� ��$ DA� 2�$� !���� � 2�� ��&���� � ��/# �� ��� �.!��� /�� �!��� 2������ /���9 �� 2�� ��&���� � ��/# �� ��� �.!�� $�� # ������ �"�2������9

/�� %.����� �6 ������������

20����� ��� �� � $� ��� !���� � �:��2 �� �939H �. � C � �� ���������� �9 �� � � � 12� � ������ �9

20����� ��� �� 8 $� ��� ��$!���� �1 ��� ��$ DA� 2�$� !���� !������. $#��� $� 2 ��� * 8 �� �9 ���� 8 �� � ;"���� � .������ ��� 2#2/ 2!���� �1 ��.�� 9<9

20����� ��� ��2// ��� �� �2� ������ �� � �1 ��� ��� �� �� ���� � "�2� ���2 �� �� � ������ �� �� : � +�8 � ��2� "# ���

� +�8

�������999�

�� �

�������������

999����

�� �

���� ��� !� �1 � ��.�� ��� ������ �� � � .�����. �+�8� ����!� � 12���� �/�!� � ��� � 1�� ��� /�1�9< �� /�� �� .����� ��� ��� �1 // � � ������� �� �� 2��9 �� � � !���� ��.�� �� : �/� �/ 2� ��9 ���1��2� ��

� C �� ���� �� � +�8

� � ������ �9 ��� ����1 ��� �� � � $ E�2� �� �. ������� �"� ! ��� ��/ �� � ��� 2����� �� ������ ���9

Page 154: Mathematics of the Rubik's cube

�?9 ����� '� �����

20����� ��� C�� G���I� "� ��� ��� 1�//�" �! �$/� �1 ������ ��*

�� ���� �� ������ 2 ���#���# !���� �1 ������.��� " ����� �� !���� �1 ������.��� �" .

�#���# !���� �1 �2���.��� ) � � ��

���� �� !���� �1 �2���.��� �) ��#���# !���� �1 2����.��� 0 .� � ��

���� �� !���� �1 2����.��� �0 .�

�#���# !���� �1 ��!�/� �&!�� 1��� � �..1� � ��� � ����

���� �� !���� �1 ��!�/� �&!�� 1�

20����� ��� �� � �:�/� # $� 1���. � G6I9 �� @ .����� ��� @����� �� !����*

@ � ����� ����� %��%� �����"���� �� � %� � �� � ��� �% � �� %� � �� �� � %� �. � !����/� � � ��1�� � � $�/��! �! �� �� %� �9 ���� @ � ������ 2 �� ��� !����

@� �� � * � � ��

"����

� + � ��� � $�� ����� � $�� ��� � $ ����

� � $ � + ��* � + � $� � +�� � $�� � ��� �,�� � $� �, � $ � ��

� ��� � � C @� @ .�=��. $# (+ 8 � �� (+*8 � �9��� ����1 �1 �� � 2/ " // $� 1���/��. � /��� 2����� � � �:��2 ��9

;��� �� ��� "# �� ����� �� � ���� .�� "� ����A� #�� ����.�2�.9<

20���� �3�3� ,� $���� /�� � $� !���� �. � =:�. �/���� �1 �9��=�� �� C � � $#

��+�8 � � � � � ���� � � �����" ��� �� � � � ������� �9

5�6���� ��� ,� ������� � � � ��� $��� �:��2 �� � 2//�. ����9,� ������� � �1 � "� 2� � ��� �1 �� � 1��� 1�� ��� � � �� � 2//�.�����9

Page 155: Mathematics of the Rubik's cube

'��� �&����� �� ����� ��� �??

+������� �� -;������ = � �C (� ������ ����� �� ���� ���� ���� � � �� �� ��D������ � ���D������ ������������ +�� ��� ��� ��������� ��� ������������ ������8

!����� �� ���� ���� � �� �D������ '������ � +��8 � �+��8 (�� �+�� ����� 8 � �� �� ���� � � �� � ���� � ��� � � %������� ���� ���� �� ���� �"������ ��� ���� �� � � � ��� �� �� �� ��� 3� ����� ������� � � (��� ��������� � ��� �� � �� �D������

1�� �� ���� � �� ���D������ :�� � �� � ��������� ��� #;� ������ ��� :�� � � ��� � � � (��

�+�8 � �+��� � � �8 � � � ��� � � � � ��� � �

(��������� � �� ���D������ 3� ����#� ���������� ���� � �� � ������������ 84������C (�� ��� �� ��� ������������� �� � ���� � �� ���� .��+�8

(�� ������ �� ��� ������������� �� ����

0��+�8 C� � � .��+�8 � � � ��� ���� � � ��� ��� ������ �� ��� ����� = � �

20���� �3�3� ;< ���" .��+�8 � !���� " �� 2���� � �� � ��� !��������� ��9

;$< ���" ��� 0��+�8 � ��$!���� �1 .��+�89;2< ���" ��� ��� 1��2� �� ( C � 0��+�8 .�=��. $# (+�8 � �� �

������� �9

*���� +�,����� ��

(�� ������� ������ ���� �� �� ��������� �� �� � � ����� �������C

����� ��� ������� � C �� �� � � ���� ������� �9 �1 � � �� � . �E� �� ���.�2� �1 2#2/�� �1 /��!�� ��� ���� �� ���� �+�8 � . �E� �� ���.�2��1 2#2/�� �1 /��!�� ��� ���� ��9

0 ����� ����� � ��� ������������ +� � � ��D� ����8 ���� ������������ ����� ���������� :���� ?� � ����� ����� ��� ������� �������� ����������� ����

����&C '��� � �� ���� ��� �� �� ��D� ���� �� � � �� ���� �� �+�8 ������� ��� ��� � � �� :�� +�8� � �� ���� � ���� ��� ��� � �� � � �� ���� �

Page 156: Mathematics of the Rubik's cube

�?7 ����� '� �����

��� � � �� (�� ����� �� � ����"���� �� ��� ������� ������ �������E���C �� +�8� � % ���� ��� ��� � � � � �� �� ����

++�8�8+�����8 � +%8�� += �8

0 ����� ����� �� � ��� � �� % ��� ����� ��� +�8� �� +%8� 0� ����������� � � ����� ���� ��� ����� ��������� �

' ����� ��# �"� �/����� �� �� � �� �� 2��E�!�� 1 �. ��/# 1 ���#��� ��� �� 2#2/� ����2����9

����&C (�� :���� ������ ��� ���� ��� ������� �� ���� �"�������� '������ ���� �� �� � �� ���� ��� ���� ����� ��������� 3���� ����� ��ED��� ����� ������������ ��� ��� ��;��� �������� ����� ������ � ����� ��� �� ��� ������ ������� � ��� �����������C ���

� � +�� ��� ���8+����� ��� ���8���+����� ��� ��8��� � +��� ��� �

���8+�

����� ��� �

���8���+�

����� ��� �

��8�

����� � � �� � ��� � �� � � /��) � � � �� ���� ���� � C �� �� ���� ��� ���� � % � � (�� �� � ������ �� += �8 �

*���� -���$ -�������"��� �. ��

(��� � �� ����� �� �� �� ����� ��� ������� ���� �� �������� ���� ������������� ���� � ��"�� ���� ��� ��������� ���� �� ����� � ��� ������ ����� ��������� �����

' ����� ��� �1 � �� �� 7 ���� ��� ������� � ( C �� .��+��8 ; ���� ;2< �1 ��� �:��2 ��� $���< � � ������ �*

�� �� .��+��8�

�1 � � 7 ���� �.��+��8� � � � ����9

>����� ��� �;����� ���� ��� �����; �� ��� ����� ������� � ���/������ �����C

Page 157: Mathematics of the Rubik's cube

'��� #����� ��� ����� ��!���� �?<

20����� ��� ,�# ������ �� �1 ��� 8 . !��/� �1 ��� 2����.���� "� 2�# $� ��!�.�. � � �/���� �1 ��� ! ��� � �� �� ������ �� �1 ��� ����1 8 ����.�� "� 2� # /�� $� ��!�.�. � � �/���� �1 ��9 �� � ! ��� �

� C �� ���

"� 2� � � 12� ������� �9 �� � ������� � � �E�2� �� �� � �2��//# � ������� �9

��"����� H&2#2/� �� ��� ��� �1 8 . !��/� ; 9�9� �"�� �! �:2�/# H . &!��/�< .��� ��� �.�2� H&2#2/� �� ��� ��� �1 ����� 8 ����.�9 �� 12�� H&2#2/� �� ��� ��� �1 . !��/� ! ��� � �� �� ���.�2� �1 ����� . �E� �� H&2#2/���� ��� ��� �1 ����� 8 ����.�9 �����1���� $# ��� $��� ������ ;"� 2� �#���� � ���� ������� � ��� �������� ��� 2#2/� ����2����< �� � �����&�� � � 2���� $� � ���� ������� �9

/�� >���� ��4 ������ ��'������

:�� � C �� �� �� � ������������ ������ ��� ����� :��

���+�8 � � � �� � � +�8 � ���

����� �� �� ��� ������ ������ �� �� (��� ��� �� ����� ��� )���� �� �

����� ��� ���+�8 � ��$!���� �1 ��9

20���� �3�3� '���� �� �9

20����� ��� ����� C �� !�

.����� ��� ������� � "� 2� ���2 ��� �� ������ �� � ���� 3� 1 � � ����� �� &3� 1 � � �..9 ���� .� � ���+���8 � ��9

(�� ������� ���������� �� ��� )���� ��� ������C

����� ��� * �� � C �� �� $� ������� � $��"��� �"� !�����9;< � � �E�2� �� 1 �. ��/# 1 ���+�8 � ��9;$< 1 � $�/��!� �� ��� D����/ �. � �# �/���� �1 �� ���� �� � � �

��� /�� $�/��! �� ��� D����/9

Page 158: Mathematics of the Rubik's cube

�?= ����� '� �����

����&C +�8 � �� �D������ �� � ��� �� �+��8 � �+��8 ������� �� � ��+��� �� � ��8 1��� �+��8 � � +��8 �� ���� �� � ��� �� �+�� � ���� 8 � �� 0����+� 8 � �� ��� �+�� � ���� 8 � �� ������� �� � ���� � ��� ����� ��������� � ��� ����� ������� � �� �D������

(��������� �� ���+�8 � �� ��� � �� �D������ >��������� �� � �� �D��������� �+8 � �+��8+� ��8 ������� � ��+ � ��8 (��� ������� ���+�8 � ��

+�8 %������� ���� ���� �� �� � �+�8 � ��� ���� �� �+8�� � � ����� �� �� �+8 3� ��

�� � � +8�� � �� � �+8 � �+��8 � �+�8 � �+8 � �+�� � � � 8�

�� ����� �

5�6���� ��� �� 8 $� ��$!���� �1 �9 �� �# ��� � � ���/��$!���� 1� 1�� �2� � � �� ��� �8 � � � 8 ; 9�9� 1�� �2� � � � �. �2�� � 8� ��� � � � � $�/��!� �� 8<9

4������C '�������� �� ���� �. �� � ����� ��� ���� �� 2� ��

8 A �

20����� ��� .� A �� �. �.�� � ������9

3� ���� ������ ���� ��� �������

����� ��� �1 � C �� �� � ������� � $��"��� �"� !����� �������+� 8 � ���/ ��$!���� �1 ��9

(����* �� ��� 1�//�" �! ���D$/� ����/� $��� ��� /����� �! !���� " //��� $� ���.�. � �� � 2������ �:2��� � � �:�/� �1 !���� " �� �� ���/��$!����� ���� .�. 1�� ��� ��.���A 2�/���/ $���=�9 �� " // ��� $� ������ ����9;C�� ����1� ��� 1�� �:�/� G�I9< �� � & $�/ ��� � �� ��� & 2����2��. " �� ���12� ��� #�� 2���� ��/�� ��� !����/ ��/#�� / �1 .�!��� 4 �� � !��� �� �!�. 2/�� 9�9� ��� ����� � �� �/�! �1 ��� @�.�� 2 1���/ 1�� ��/#�� /��1 .�!��� 4 �� � !���9

������� � �1 # �� ? �/����� �� !����� ���� .� �� �� ���&�� � /������ ���/ ��$!�����9 �� ����� "��.�� 1 8 A .� � ���/ ��$!�������� � ���� 8 � � �� 8 � .� 9

Page 159: Mathematics of the Rubik's cube

'��� ��� ��� ��!���� �?6

(�� �;� ���� ����� ��� �������� ���� ���� �� ��� ����� � ������������� �� ��� ��������� �� ��� 5���)*� ���� ���� (��� ���� ��������� � ������� ���� ��� �������� �������� �� ��� ��� �� ��������� ����� �? ��@@��

��������� ��# �� 8 $� ��� ��$!���� �1 �� !������. $# // ��� K&2#2/�� � �� ���� 8 � .�9

����&C '��� ��� C �� !� �� � ������������� � ���� �� �E������� ���� �� ������ �� �E������ ���� ���� �� ��� (��������� 8 � .� 0�� � .� ��� � ���� ���� � ��� ����� �� ��� ��"�������� � � � � ��� ���� � �� �� A�#���� �< (��������� +���� �� ��������� ��� �� �������� � ������ �� �E������� (������ ?=8 � ���� �� ������� �� ������������� ��� ���� +� %8+� �8 �� +� %8+% �8 ��� +� %8+� �8 � +� % �8+% � �8 �+� %8+% �8 � +� % �8 (��������� � � 8 (��� ������� .� � 8� �� .� � 8 �

(�� ������� ���� ������� ������ �� ���� ������ ��� ��� �������� �� ��������� �� ���������� ��@@���

����� ��� ;G�I< �� # $� =� �� ���� �#� � � �. =: �� & � �/����� � #9 ���� ��� �&2#2/� +�� &� 8� � �/���� �1 # � �� &� !������� .� 9�� � /� ������ � ���� �����!�� ������� ��� ��� ���� ��� 2/ 9 ��"� ����. �1 ��/# ��� �/���� $� �! =:�.� ����� �� �"� �/����� =:�. �. ���!���� � �� // !������.9

/�� ?������ ��'������

B� �� ��� ���� ������ ����� ����� ����� ��� ����� �� ��� ������� C

����� ��� �1 8 � ���/ ��$!���� �1 � ���� �!8 � !���� " �� ���1�//�" �! ����� ��*

8 � *8 � + *88� + 88�� � ��8�

1�� // � * $�/��! �! �� �9 ��� .��� �# �/���� �1 �� � !���� � ��� �� � /2���� 89

20���� �3�3� '���� �� �9

Page 160: Mathematics of the Rubik's cube

�7� ����� '� �����

(��� ���� �!8 �� ����� ��� "������ ���� �� � ��8 � �� ���������������� �2 �� .�

20����� ��� �1 � C �� �� � ������� � $��"��� �"� !����� ������!���+�8 � !����9

(�� ������ ����� ����)�� �� ��� ��������� �� #��� ����� ��� ��� ���������� ���� � �E������� "������ ����� 0���������� ���� �� ������� � �E������� "������ ���� �� ������� ������ �� ��� ��� ��� ���� ��� ������� ���@� +� ���� ������� ���D��� �� ������� �� � ������� �� ���� �� ��������8 (���� ������� ����� ��� ����� ��������C

5�6���� ��� , � �/� !���� � !���� " �� �� ������ ���/ ��$!���������� ��� ��� �� � / ��$!���� �9

20����� ��� �1 � � �� � ���� � ;��� 2#2/ 2 !���� �� �! � �/�����< � � �/�9 �� 12�� 1 � � �# !���� "� 2� � $��� $�/ � �. � �/� ��������� � �� � � ��2� ��� � �� � 9 �1 � � 9 ���� .� � � �/� ;� "�����. $��� � ������ 34�<9 ����� 12�� �� ������ � G�I9

� �/� !����� �� ��� ���# $��.��9 �� 12�� ��� =��� ���&$�/ � � �/�!���� � �1 ��.�� 7� ; �A� .�<9

(�� ������� ����� ������ �������� ��� "������ ���� ��!���+� 8

' ����� ��� ;0=��� ������ � ������0< �1 � C �� �� � ���&���� � $��"��� �"� !����� ���� ��!���+�8 � ������ 2 �� �+��89

����&C ���+�8 �� � ����� ��� ���� �� ��� �� ��!���+�8 �� � ���� 3� ���� ���� ���� ���� ���� �� ���������� �� ��� ���� �+��8 A�#�( C ��!���+�8 �+��8 �� (+� � ���+� 88 � � +�8� ��� � � �� 3� ���� ����

+�8 ( �� ����E�#��+�8 ( �� � �������������+�8 ( �� � ��D����� 0� � � ���+�8 � �� � ���+�8 ��� ����� � ���+�8� ���� ���+� 8 �� � ����

(��� ������� � +�����8 � � +���+�88 � �� �� �+�8 � �+��8 (��� ������� ( ������E�#�

'��� ���+� 8 �� ������ +�����+�88+������+�88 � ���+�������+� 8��8���+� 8 ���� ����+�8 (�������� (++� ����+�88+�� ����+�888 � (+��� ����+�88 � �+���8 �

Page 161: Mathematics of the Rubik's cube

'�$� � ��� ������ �7�

�+�8�+��8 � (+� � ���+� 88(+�� � ���+�88� ��� ��� �� �� � � (��� ������� ( �� �������������

0� �� ����� ���� ( �� ���D������ (� ���� ���� ( �� � ��D������ �� ��L����� ����� ( �� � �D����� '������ ���� (+� � ���+�88 � (+�� � ���+�88� ������� �� �� � � (�� �+�8 � �+��8� �� �+�����8 � � �� �#���� �� ���)����� ���� ������� ����� � ���+�8� �� � � ���+�8 � �� � ���+� 8 (��� �������( �� �D������ �

(�� ����� ������������� �������� ���� �� �� ��� ��� ���� �� ������� ���� �� ���������� ��� ��������� �� ��� ���� �� ��������C

' ����� ��� ;0��2��. ������ � ������0< �1 8�3 �� ��$!����� �1 !���� � �. 1 3 � ���/ ����

;< 8 �3 � ���/ � 8�;$< ����� � � ������ �

8!+8 �38 �� 38!3�

' ����� ��� ;0�� �. ������ � ������0< �1 3�� 3� �� ��$!����� �1 !���� �� 1 3� � 3�� �. 1 3� �. 3� �� $��� ���/ ����

;< 3�!3� � ���/ � �!3��;$< ����� � � ������ � $��"���

+�!3�8!+3�!3�8 �� �!3��

3� ����� �� ����� ����� ������� ���� E ��� $2& �� $5&

/�+ ���� ���4����

5�6���� ��� �� 8��8� $� �"� ��$!�����9 �� �# ��� !���� � � ���. ��2� ���.�2� �1 8� " �� 8�� "� ����

� � 8� �8��

1;< � � 8� �8� ;����� � ���.�2�� � ����<�;$< ��� !���� ����� �� �� � � ! ��� 02���. ���&" ��0 ;�� // .�����. 0?0

1�� � �/ 2 �#<*+�� ��8 � +�� ��8 � +� � �� �� � ��8�

1�� �� � � 8�� ��� �� � 8� ;"���� � .������ �/� �/ 2� �� � 8�� 8�� �.�<9

Page 162: Mathematics of the Rubik's cube

�7� ����� '� �����

20����� ��# �� � $� ;� ���< ��� ����� � ���.�2� � � ��� � "����

#� � #�# �. "���� �� .������ ��� 2#2/ 2 !���� �1 ��.�� � ;" �� .. � ���. � � ��� ����� ��<9 ��=�� .. � �� �� � 2���. ���&" ��*

+��� ��8 T +��� ��8 � +�� T��� �� T ��8�

"���� � � �� � �� � � �� � �� 1�� � � �� �� % � �� �9

20����� ��� ��� �#���# !���� ) �1 ��� �2���.��� � ������ 2 ������9 ��� �#���# !���� 0 �1 ��� 2����.��� � ������ 2 �� .����9;�� � � ��� ������ 2 �� ��� .��� �� ��� 12� ��� ���# $��� ��� ��� ����$�� �1 �/����� �. ���# $��� 2��� � .� � ���/ ��$!����9<

/�, %.�����

20����� ��� ���� .�� ��� ��$!���� 8 �1 ��� ��$ DA� 2�$� !���� !������.$# ��� 0�@��� �/ 2� ����0�

8 �� � ����

����

�� � �

���� 8 �� � �� � � � ��

� � � � ��� ��� �� � �� � �� � ��

� 9

*�/�� !"� �%��� �� 0�� �. �"� ���� � ����

3� ������ ���� ������C

� # �� ��� ��� �� 9= ������ �� ��� 5���)*� ���� ����� ��� �� ����� �������

� 9 ����� ��� ������ �� ������ ����� ���� �� ���� ����� ��������

� < �� ��� ������ �� ������ ����� ���� �� ���� � � �������

� :�� � ���� ��� 5���)*� ���� ����

� :�� + �� ��� ���� ������ �� ��� ��� ����� �� ��� 5���)*� ���� ���� ����� � �� ������� �� ����� �� � � �������� ��� �������� �� H�� ����

� :�� �� � �� � �# � ���� ��� ��������� ���� � #�9�<� ������������ 3� ��� �� �� +��� �� ��� ����� �� �� 3� ��� ���� �� �� �� � �#�� ��� ����� �� �� +��� �;������ �� �� ��� ��� ���� �� �� ����� ��������� ��� ������� �� < #;�8

Page 163: Mathematics of the Rubik's cube

'�%� �&����� �7�

� :��

�� � �� ��� �# � �# ��� +� � �� � +� +# � �# � +�

1��� ���� ��� ����� �� � � # ����� � �"�������� ������� �� �������C�� ��� ���� � ����� �� �� �"������� �� � ����� �� �� ����� �� � ���� �� ���5���)*� ���� ����� ��� �� ����� �� ��� ����� (���� ��� �;����� ����"�������� �������� �� ������� �� � � #C ������ 9 � < 0 �������������� ����� �� � � 9 �� ��������� � ��� ����� �� � � < �� ��������� B ��� ����� ��� + ������ ���� �����; +���� � � �8 #;�� ���� � �� ���������� ��� ����� ������ +���� � � � ������8 ��������� �� � �����; +���� �� �8

20���� �3�3� ���" ���*;< ��� ��� 9 �1 �@� �/��2� 2/���� �1 + 2� �! �� 9 � � $ E�2� ��

2��������.��2� " �� ��� ��� �1 // ���� 2�� �1 ��� 2�$�9;$< ��� ��� < �1 �@� �/��2� 2/���� �1 + 2� �! �� < � � $ E�2� ��

2��������.��2� " �� ��� ��� �1 // �.!�� �1 ��� 2�$�9

(�� �������� ��� �� ���� �� ����

+ � +� � +# +����� ������8�

20���� �3�3� ���� �� � $���9;< ���" + � +� � +# ;. ��2� ���.�2�<9;$< �� �� � �� � �# ;. ��2� ���.�2�<J

, ����� "������� ����� �� ���� ����� ����� � ��� � �����C 0� � ��� ��# +����� ������8S

*�/�� !"� ���� ����� �. �"� ���� � ����

(�� �������� ����� �� ���� �� ��� � $�.& '��� ���� ��� ���� �������� $'�&

:�� 8 �� ��� ���� � ����� ��� � ������ �� ��� ���� ���������� (��� ���� �� ����� ��� ������ ����� :�� < �� ��� ��� �� � �� ����� ���� +����� �� ������ ���� ��� ��� �� � � ��������8� ��� � �� ��� ����� ����� ������ �� ��� ����� � ��� # � < �� 8 ���� � # 1��� ���� 8��� �� �K��� ��� ������ +� �� ��� �������� �� ��� ����8

Page 164: Mathematics of the Rubik's cube

�79 ����� '� �����

8�������C +�8 0� ��� ����� �� 8 � # ���������S+�8 0� ��� ����� �� 8 � � ���������S+�8 0� ��� ����� �� 8 � < ���������S(�� ����� �� +�8 �� � E � � � ������� ���� �� ��� �� � �����

������ ��� �;������ �� ����� �� � ������ �� # ����� ���� �� ��� �� ������� ������ �� # �� � ������ �� 8 (�� ����� �� +�8 �� ��� E �� ���������� �� �� ��� �� �� ����� ����� ����� �� � ������ �� 8 (�� ������� +�8 �� � E ��� �;������ ��� �� � � ������� ���� �� ��� �� ��� �� � �������� �� � ����� ����� �� ����� �� � ������ �� < ����� ���� �� ����� �� ����� ������ �� < �� � ������ �� 8

(�� ����� �� ��� �� +�8 ��� � ����� ��� ������� 8������C 3��� ��� ��� ������ �� 8 � <S(�� ����� ��� �� ������ � ������� ����� ��� ��� �� ���) �� �� � ���

������� ���C ������� �� ���� ��� � � �������� �"������� �� �� �� ����� �� ��� ����� �� � ����� ���� +� � � � ������ �� .8 (���� ��� � ��D����"�������� �������C ��� ��� �������� � ��� ���� 5:E����� ��� �"����������� ��� �������� � ��� ���� !�E����� ��� �"�������� � ��� ��� ��������� ��� ���� VAE����� ��� �"������� (�� ������ ������ �� . ���� � -��� ��� ������� C

� ��� ���� 5:E������ ���� �� <�$�

� ��� ���� !�E������ ���� �� <�%�

� ��� ���� VAE������ ���� �� <��

1��� ����

< � <�$ � <�% � <����� � ��������� �� < ��� ��� ������ �"�������� ������� �#� �� �������� �� 8 � <

-��� ������ �� 8 �������� � ������ � �� 3� ���� � �������E�����

� C 8 ��

(��� �� ������ ��� �� ���� ���� 8 ���� � ��� ��� #� ����� �� ������)�� 1��� ���� ���� ����� ����� ���� � +�� � �� ������ ��� �� � �� ��8��� �� � ������ �� �� � �� ��� ������� ����C

� � +9� ����� � �#8+9� ����� � �&8�

Page 165: Mathematics of the Rubik's cube

'�%� �&����� �7?

>��������� ��� � ������ �� �� ��"���� ������� � ������ �� 8S 0����� ����� �� � �D������ +� � � � ����� 8S

(� ����� ����� #; � � � 8 � ���) ����� ���� � +�8 ����� ��C �+�8����� �� ����� ���� ������� ����� �� ����� ����� ������� ��� �� ���*� ������� ��� �;������ ��� � ������� �� H���� �� ������

(�� �������� ������� 7� ������� ��� ������� "������C8������C >� � ������ �� . H��� ��� �� �������� � � � �������

+� �������� ������� �� H���� ����� �������� �� ��� ����8S(�� ����� �� � (�� ����� ��� �� ���� ��� ����� ����� �� ��� ������

� ��� � � ������� ����� ��� ����� �� ���� � �� 0� �������� ���������� ���� ��� ����������� �� ��� � � ������� � ��E

���� ������� � ��"�� ������ �� ��� ����� ���� 0 ����� ����� �� ��������� ��� �������

��������� ��� ��� ������� �

� C 8 ��

� � �$�.. �!9

(����* �� ��� �/�! �1 �� � 1�� ��� ��$ DA� 2�$� !���� � 1/��N

8 ���� � ��� ��� <�$� �� �� ���� � ������������

��$ C 8 �#��

� ���������� ��� C 8 �#�� � ��% C 8 �#�� 8 ���� � ���� �� ��� ���� < � �� �� �� ���� �������������

� � ��$ � ��� � ��% C 8 �#�� � �#�� � �#�� � �# � � C 8 �&�

����� �� �� ��� �� ����� �� ����� � �D������ ������������

� � � C 8 �#�� � �#�� � �#�� � �&(� ������� 8� �� ������� ��� ��� � �� 8 � �#�� � �#�� � �#�� � �&

(� � ����� �� #��� ���) �� ��� ��� � �� 8 � ���� �� �#�� � �#�� � ��#�� (��� �� ���� ��� �C

� ��� ��� � �� 8 � �#�� �� � �� ��� ��

Page 166: Mathematics of the Rubik's cube

�77 ����� '� �����

� ��� ��� � �� 8 � �#�� �� � �� ��� ��

� ��� ��� � �� 8 � �#�� �� � �� ��� �

:����� �� ����� ��� �� ���) �� � �� �� �� �� �� ���� ����� �� 9� ���� ��� � �� � ������ � � 8 ��� �� �� ��� ������������� ��������$ C 8 �#�� ���� �� � ��� �� � � ��$+�8 � �

1�;�� �� ���� ������� ��� ��� � �� 8 � �& (��� �� ���� �� ��*� ���)��� � ��� �� �� ��� ,� ��� �� ��� �������� �� ��� ����� ������ �� ���������� ����� ����� ��� �� ������� �� ����� ��������� �������� �� ��� ��������� ����� � �;�� �� �������� 0 ���� ����� �� ��� ���� ��� ��� � �� 8 ��& �� ��� ���� �� ��� ��� � �� ��� ���������E�������� �������� ������ ��� ����M (��� �� )��� �� ��� �������� � ������� < � -;����� �9?������ �� ���������� �� �

/���� ��� ���� �� ������ �� ��� ���� ��� ��� � �� 8 � �#�� � �#�� ��#�� � �& �� ���������� �� � ��� ���� ��

�� � ��

3� ��� �������� ��� ������� �� 8 � ���������� �� 9E������ +��� ��� ��� �8����� ��� ��� �� � � � � � � '��� ���� �� ��� ������ ����� �� 8+������ ��� �� � � �� 8 �����#��

���+�+�88 � ���+�+�88�

��� ��� � � 8� ��� ��� � �� 8 ���� �� ��� �� �� � �

��������� ��� ��� !� �1 8 � �� � �9 � ������ 2 �� ��� D����/

�1 ��� �

� C �� � � !�

+��� ��� ��� �8 �� ���+��8 � ���+��8 � ���+��8 � ���+�8�

"���� �2� ��� � ��� � !� �1 ��� ������ ��� ��!�.�. � � �/���� �1 ��9

20���� �3�3� ���" ��� ����+�8� � +9� � 9M8!� � <7=9

����&C 3� ���� ���� ���� . �� ���������� �� � ��� ���� �� �� � �

0 ����� �� )�� ���� ��� ����� ����� ����� ����� ��� +����� ������ 88��� ���� �� ��� )���� �� �� �� . �� ���������� �� � ��� ���� �� ���+�8 ��� � �

Page 167: Mathematics of the Rubik's cube

'�%� �&����� �7<

0� ������ �� ���� ���� ����� ������ � ���+�8 ���� � �� 8 (� � ������� ������ ��� ���D����� ������������

� C 8 �

������ �� ������� ��� ������������ �� � C 8 �� �� ���������

����� ���� ��� ���D����� ������������ �� � � � 3� ���� ����

���� � �� ���D������ B�� �;� ��D������ �� �� ������� ��� )���� �� � � ������ #��� ����������� ������� �� ������� 8

>����C (�� )���� �� � ��

���+�8 � � � 8 � �+�8 � �� ��$+�8 T ���+�8 T ��%+�8 � � +�� �8�1��� ���� ���+�8 �� � ��� ���� �� 8 �� ��� �� �� ��� ���������� �+�8

�� �"��� �� ��� �� �� ��� ���������� �+�8C

���+�+�88 � ���+�+�88 � ���+��$+�88 � ���+���+�88 � ���+��%+�88�

(��� ������� ����

���+�8 � � � 8 � �+�8 � �� ��$+�8 T ���+�8 T ��%+�8 � � +�� �8�>��������� ���) � � � 8 ���� ���� �+�8 � � � ��$+�8T���+�8T��%+�8 �� +�� �8 3� ��� �������� ���� ������ � �� � 9E����� +��� ��� ��� �8� ����� � ��� ��� �� � � � � � � � �

!�� �;������

� ��� ������ �� � �� ����� ��� ��� �� ��������� �� ��� 9E�����

+�� �� �� �8�

� ��� ������ �� � �� ��� ��� ����� �� ��������� �� ��� 9E�����

+�� �� �� �8�

� ��� ������ �� � �� ��� ����� ����

� ��� ����� ��� ��� ��

��������� �� ��� 9E����� +�� �� �� �8

(���� ������� ������ ��� ��� ������� �� ��� ����

+ � *� �� �8 � � *� � � �� T *T � � � +�� �8�1��� ���� ��� ���� + � *� �8 � � *� � � �� T *T � � � +�� �8 ��� � ������� )���� �� ��� ��� ��

�� ��� �� + � *� �8 �� T *T � � � +�� �8

Page 168: Mathematics of the Rubik's cube

�7= ����� '� �����

20���� �3�3� ���" ��� �+ � *� �8 � � *� � � �� T *T� � � +�� �8� �9�!� � ��9

(��������� ��� ������ � ������ ����� ���� �� �;��������� �� � ������ ����� ����� ������� �������� (��� ����� ����

� � 8 � �+�8 � �� ��$+�8 T ���+�8 T ��%+�8 � � +�� �8 � ���+�8�

����� ������� ��� ����� (� �������@� ���� �� ���� �� ���C �� ���� � ���D������ ������������

� C 8 � ���� )���� � � 8 � �+�8 � �� ��$+�8 T ���+�8 T ��%+�8 �� +�� �8 (�� )���� ��� ����+�8� � �� ������� � ��� ��� � ������+�8� � ��� � 9M � �9 ������� '���� �� ��� #��� ���������������������

8!���+�8 �� ��

�� ���� �8� � �� � �9 � <7= ��� ��� )���� �� ��� ������������ � C�� � � !�� ����� �� )�� ������ 8 �� � ��� ����� ���� ��� <7=

������� (��� ������ � � ���+�8 �

' � ��� ���� �& � � �� ���0

(�� ��� ���� � �� ��� �� ���; ���� ������ �� ��� ������� �� ��� ��������� ����� � � �������� �� ����� ����� ���� �� �����2� �� �� ����� �������� ���� �� ��� �� ���;

���)��� +:� �� �8C A������� �

/�/ ��;4���� ���4����

0� � ���� � ������ ��� ��� ����� 8� � 8�� ���� 8� �� ������ �������� ���� ������ �� � �� �� ������ ��"���� �� � ������ ����� ������ � 8� � �� � 8� ��� �� ��� ���� � �� ��� ����E����� ������ ��8� � 8� 0 ���� ��������� 8� �� ����� � ��������� �� 8� 0 ����������� �� ����� �#� ��� ���� ���� �� ���� ��� � ����E����� �������� �� �;������ :����� �� ����� ��� ���� ��� 5���)*� ���� ���� �� � ������������� ��� ���� �� � ������ ����E����� ������

5�6���� ��� ��" ������� ��� 8��8� �� $��� ��$!����� �1 !���� �9

Page 169: Mathematics of the Rubik's cube

'�'� ��� +� ��� ������ �76

�� �# ��� � � ��� �� &. ��2� ���.�2� �1 8� $# 8�� "� ����

� � 8� ��8�

1;< � � 8� �8��;$< 8� �. 8� ��/# ��� �� ��� .��� �# �1 �� � 2����;2< 8� � ���/ � �9

�� � � ��� 0 �����/ ���� ��0 �1 ��� �� &. ��2� ���.�2�9

B� ������� �� �� �#� ����� ��� ��� ��������� �K���� �#��������* ������ �� ���� ���� ���� ��� �"�������M (�� ���� ���� ���� ��� �� �������� +(������ < �� � $5&8 ����� �� ��*� ����� ����

1��� ���� ��� ������������� ���� � � ���*� ���� �� �� ������ ������ ��� ������ ���� ���� � �� ���

(�� ��;����� ������� �� �#� �� � ���������� �� �������C

5�6���� ��� ,���� "� ��� ������� �

( C 8� .��+8�8�

��=�� �/� �/ 2� �� �� ��� ��� 8� �8� $#

+�� ��8 � +�� ��8 � +� � (+��8+�8� �� � ��8�

�� � .�=��� !���� ����� ��9 �� � !����� .�����. 8���'8�� � ��� ;�:&����/< �� &. ��2� ���.�2�9

(��� �#���� ���� �� ��� ���� ��� �;����� �� 8� � ��� � 8� � ��

� ��� �;� ������� (���� ���� ��� �#����� ��� �"������� �� (������� < ��E< �� � $5& ,� � ���� 8� ��8� �� ������ ��� >������� ������ 8� �8�

20����� ��� �� �� .����� ��� . ��2� ���.�2� �1 ��� .. � �� !���� �1 ��/��$��� " �� ���/1*

�� � +� �8 � � � �����

" �� ��� !���� ����� �� $� �! .. � �� ���1���. 2�������" ��9 �� ��

.����� ��� �/� �/ 2� �� 2#2/ 2 !���� " �� H �/������ "���� �/����� "�"� �� ;��"�� $���2�/#< � �� � �� �9 ;�� # �� �D �1 � � $� �! �@�/

Page 170: Mathematics of the Rubik's cube

�<� ����� '� �����

�� &3 $�� ����� � ����� 1�� �� � ���� �� "� 2� ��// $� .� 2/�� ����9<��=�� � 2� �� �1 �� �� �

� $#

�+� �8 � +� �8� �+� �8 � +�� 8� +� �8 � ���

�� � $� ��� ���� � �

� � ���

��=�� ��� $ ��# ����� �� � C ��� � $#

+��� -�8 � +��� -�8 � +�� T -�+��8� -� � -�8�1�� // ��� �� � � �. // -�� -� � ��9 �� � � !���� & ��� �� &. ��2� ���.�2��1 �� " �� ��9

�� ��� �� �� "� ��� ��"�� ��� @���� ���*;< 2/���. ��.�� ��� ����� ��J )��;$< �: ����2� 1 .��� �#J )��� � � ++�� �8� �8;2< �: ����2� �1 ������J )��� ++� �8� �8�� � ++����8� �8� �. ++� �8� �8�� �

++����8� �89;.< ���2 � ��J �� � � ��� ��. ���*

++��� -�8 � +��� -�88 � +��� -�8 � +�� T -�+��8� -� � -�8 � +��� -�8� +�� T -�+��8 T +-� � -�8+��8� +-� � -�8 � -�8

+��� -�8 � ++��� -�8 � +��� -�88 � +��� -�8 � +�� T -�+��8� -� � -�8� +�� T -�+��8 T -�+-�+��88� -� � +-� � -�88

�� � �/ �� ���2 � � �#9

20���� �3�3� �� � $� ��� �� &. ��2� ���.�2� 2������2��. � ��� $��� �:&�/�9 ���" ��� �� ;"� 2� "� .��� 1# " �� ��� ��$!���� ++� �8� �8 � +� �8 ��� �1 �< � ���/ ��$!����9

20����� ��� ��

�� � �� ��� ��� ������ ������ ��������� 8� � �� ��� ��������� 8� � �� ��� ��

( C 8� .��+8�8

$� .�=��. $#(+�8 � � +��� ������ ������������8(+��8+�8 � ���� � � � �� � �� � � � ��

;� �2� ���� � ��8� � � 8�9��=�� ��� ;�:����/< �� &. ��2� ���.�2� �1 8��8� $# � � 8� ��8�9

Page 171: Mathematics of the Rubik's cube

'�(� "���� ������ �<�

20���� �3�3� �� � $� ��� �� &. ��2� ���.�2� 2������2��. � ��� $����:�/�9 ���" ��� 8� ;"� 2� "� .��� 1# " �� ��� ��$!���� +�� �8 � � � 8��1 �< � ���/ ��$!����9

(���� �� �� ������ � ����� ����������� ������ �������� �#� ����E����� ������� � �;������� �#� ��� (�� ������� ������ ����� ������� � $5&� �;����� ���� �������C

����� ��� �1 � � ��� ; �����/< �� &. ��2� ���.�2� �1 8� $# 8� ;�� 8�

� ���/ ��$!���� �1 �< ���� ����� � ������� �

( C 8� .��+8�8

��2� ��� � �� 8� ��'+8�89

20����� ��# �� �� $� ��� 2#2/ 2 !���� �1 ��.�� �� "� 2� "� # ��!�. � ��� � �� � �� �� ���� �� " �� .. � �� ���1���. �. �9 �� 3 � ��

� � "� 2�"� ��!�. � ��� !���� �1 0�&��2����0 " �� 02��R2 ����0 � ��9 �� 8 � ��$� ��� �#��� 2 !���� �� � /������� 9�9� ��� !���� �1 // ������ ���

� C �� �� ���� � �� �� ���� ����� !���� 8 2�� �� 3 $# ����� �! ��� �. 2��� 9�9� ��� 2���. ���� �1 �����2����9 C�� � � ��� .�=�� �� C ��

� ��� $#

��+&8 � +& ������ ���� & �����8� & � +&�� ���� &�8 � ��� �

��"� 1�� �� � � �� �. &�2 � ��� � .�=��

+�� &8 � +�� 28 � +��� 2 T �+&88�

�� � .�=��� �� &. ��2� ���.�2� ��� ����9

;�� � D��"� ��� ��� ���� � ������ 2 �� ��� !���� �1 // 0��&�/��.

� � � ��� / �� 2��0� G�I� �:��2 �� 79KK9 , ��� / �� : � �� : "� 2� 2��� �� �:2�/# ��� ���&M��� ����# 1�� �2� ��" �. 2�/��9<

/�0 @���� ���4����

:�� �� �� � ����� ��� �� �� � ���� ���� � � #��� ��� #� !�; ���������� �� #� �� ��� #� � ��� ��� ���� ��� ����� � � �#�� � ��� ���

���� ��� ����� ������ �� �� ���� ������ � ������ ���� ��� ��������������� �� ��� ������� �� #�

Page 172: Mathematics of the Rubik's cube

�<� ����� '� �����

5�6���� ��� ��� "���� ���.�2� �1 ��� �� � ��� !����

�� ���� � ���

� ����

"���� ��� 2� �� �1 �� �� ���

� � � �� 2� �� �� #�9

0 ����������� �� ���� � � �� ���� ����� �� � �� � �� 3� ���� �������D����� �� �� � ��+�8 A�#� ��� ���� �� ��� ������ ������ ��

, � � � �� ���� � ��+�8 � ���� , � ���

20����� ��� �� �� .����� ��� . ��2� ���.�2� �1 ��� .. � �� !���� �1 ��/�" �� ���/1 � � ��9 ��� !���� ����� �� �� �

� � 2�������" �� .. � ��9 �� �� .����� ��� �#��� 2 !����9 �� � 2�� �� �

� $# ����� �! 2���. &����* 1 � � �� � ������ �� ���� .�=��

�+�� ���� �8 � +����� ���� ����8�

1�� +����� �8 � ��9 �� � 2� �� �����2�� ��� .. � �� ����� ��*

�+� T ��� ���� � T ��8 � �+�� ���� �8 T �+��� ���� ��8�

+����� �8� +������ ��8 � ��9 ;��2 .���/#� � /�� ��������� �2/� �/� �/ 2� ��*

�+ � +�� ���� �88 � � �+�� ���� �8�

1�� +����� �8 � ��� � �� �� � .�=��� � ����� $/� / ��� ����1��� �� ����P � 12�� ����� � ������� � �� .��+��8� "���� .��+��8 .������

��� !���� �1 // ����� $/� / ��� ����1��� ��� �� ��P .� #�� ��2�!� M� �� �������� �J �� �� �22����. ���� ���/# � ��� �����999<

�� � $� ��� ���� � �

� � ���. .�=�� $ ��# ����� �� � C ��� � $#

+��� ��8 � +��� ��8 � +�� T ��+��8� �� � ��8�1�� // ��� �� � � �. // ��� �� � ��9 �� � � !����9

;< 2/���. ��.�� ��� ����� ��J;$< �: ����2� 1 .��� �#J � � ++�� �8� �8

Page 173: Mathematics of the Rubik's cube

'�(� "���� ������ �<�

;2< �: ����2� �1 ������J ++� �8� �8�� � ++����8� �8� ++� �8� �8�� �+����+� �8� ���89

;.< ���2 � ��J �� � � ��� ��. ���*

++��� ��8 � +��� ��88 � +��� ��8 � +�� T ��+��8� �� � ��8 � +��� ��8� +�� T ��+��8 T +�� � ��8+��8� +�� � ��8 � ��8

+��� ��8 � ++��� ��8 � +��� ��88 � +��� ��8 � +�� T ��+��8� �� � ��8� +�� T ��+��8 T ��+��+��88� �� � +�� � ��88

�� � �/ �� ���2 � � �#9

�� � !���� � ��� "���� ���.�2� �1 � " �� ��*

� � ������

"���� � � ��� $��9

����� ��� ;< ��� $�� ,� "� 2� � ������ 2 �� ��� . ��2� ���.�2� ������ �

� ���/ ��$!���� �1 �� �����

;$< +�� ����8!, � ������ 2 �� ��9

!�� ����� �� ����� �� ������� = �� $1'(& �� �� $5&

20����� ��� �� 8 $� ��� ��/�!�. ��$ DA� 2�$� !���� �1 // /�!/ �. /&/�!/ ���� �1 ��� � � � ��$ DA� 2�$�9 �� ����� "��.�� � .. � �� �� ������/ $� 2 ���� ;��/#� ��� $�1�+�,<� "� //�" #�� �� �D� ��� ���2�$� �. �����$/� ��� 2����� �. �.!� ��$2�$�� ;$�� "� .� ��� //�" #�� ������� �� 2D��� 1�� ��� 12���<9 �� �� .����� ��� !���� �1 // ���� ��� �1 ��� 2�/� 2����� ��$2�$� $# ��� .�!��� �!/� ;2��//#� �� � !���� .����.��� ��� 2����� $� �! �����. $�� � �2� ����� !����� �� // ������ 2 "� .������ .����.��2� 1�� ��� ���� ��<9 �� �� .����� ��� !���� �1 // L �� �1 ��� 2�/� �.!� ��$2�$� ;���� ��� $# �=� .�!��� �!/�<9 ;,! �� �� � !����.����.� �� ��� �.!� $� �! L ���. $�� � �2� ����� !����� �� // ������� 2"� .��� ��� .����.��2� 1�� ��� ���� ��<9 ���� "� ��// ����� /��� ���

8 � +�� ���� 8� +�� ���#8�

"���� 9 � ��� ��� �1 2����� ��$2�$�� �. < � ��� ��� �1 �.!� ��$2�$��9

Page 174: Mathematics of the Rubik's cube

�<9 ����� '� �����

*�1�� -������� �� ����� �. ������� �����

0 ���� ������ ������ ������� ��� ��� �� �� ���������� ������� � �������� ����� :�� �+���8 ���� ��� ���� �� ��� � � � ������� �������� ���������� � ��

3� �� � ���� ��� ������� ������C

' ����� ��� ����� � � ������ � $��"��� �� �� �� �. ��� !�����+���8 "� 2� ���.� � �/���� +/&� �8 � �� �� ��� /& � +&�� &�� ���� &�8 � ��

�. � � ��� �� ��� �� : � +� 8/&9

(��� ������� ���� � ������ +��� (������ �6<8 ����� ���� �� ����� � ����;� ������� 0� �� ���� � ������� ���� �� � �;������ � $5& 0 �� ����� �� ������� ���� ���� ���� � ������ +/&� �8 � �� ����� /& � +&�� &�� ���� &�8 � ��

� � � ��� �� ���� � ��� �� ��� ���������� �����; � +�8 �� ���� � 0���

+/&� � 8� � +/& T �+/&8� � �8�+/&� �8� � +/& T �+/&8 T ��+/&8� � �8�

+/&� �8� � +/&T ���T ����+/&8� ��8�

3� ������ ���� ��� ������� ������#����� �� ��� ������� �� ���� �� ��� ������ ������

����� ��� ,� �/���� +/&� � 8 � �� �� ��� /& � +&�� &�� ���� &�8 � ��� �.

� � ��� � ��.�� � 1 �. ��/# 1 �� � � �. /& T ���T ����+/&8 � �9

(��� ������ ��� � ��������� �� ��� � ��D����� ���� ���� ��� �;���������������� �� ��� 5���)*� ���� ���� ��� ����� �� ������� ��� ���������� �� � ��� ���� ,� � ����������� ��� ������� �� ���� � �� ���5���)*� ���� ���� ���� �� ��� �����

Page 175: Mathematics of the Rubik's cube

����� '

(�� )�*�+!� ��*� �� ��� ,�

�*���

!������ ������ � ��� ������� ���) ��� �������� ��� �� ��� � $5&�$%F'&

5�6���� ��� ( ��� / �� �1 @���� ���� .�2 � �� /!�� �� 1�� � �� 1�� ��� �1 ��$ !���� �����2� ��� "� 2�� "��� ��/ �. �� �# @���� �� � ! ��� ��� 2����2� ��"�� 0#��0 �� 0��0 1��� =� �� ��$�� �1 �����9

0�� <��*�����4 �� 6� ������

:�� # � �� ���� � ���� � ��� � #�� � ��� ��D��� ���� # ������������ �� ���� �� ��� � ����

��� ,����� ���� ��� ��� �� �� �#��

� ��D����� # #�� 0� ���� �� ������� �� ��� � � � � � �� ����� � ��� ������ �� ���� � �� # �#�� ����� �� ���� ���� ��� ������ ������ , ��� � # �� � ��"����

2 � + �� �� ���� �8�

����� 3 � � �� ���� ��� �� � ���� �� ���� � ��

# �#�� � ��(�� ��"���� �� ��� �*� �� ����� ��� ����� ��� (�� ������ �� ��� ��� ��� ��� ���

2�� � + ��� � ���� ��� 8�

�<?

Page 176: Mathematics of the Rubik's cube

�<7 ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

0� � � �(�� � ����� �� �� � �� ���� � �� � #� ��� �� ����� ����� ��� ���2 �� 2 � �(�� ����

(�

20����� ��� �� # � � ��$�1� +�,9 ��� ��� �1 "��.� �� # �� � $ E�2� �� 2��������.��2� " �� ��� ��� �1 ��@���2�� �1 $� 2 ���� #�� 2�D� �� ��� ��$ DA� 2�$�9

3� ���� � ��� 2 � �(�� ����(� � # ����� �� ������ 2 �� ����� �� �� ���

�;����� �� ��� �E@��� � �� ����� ��� � � # ���� � �� �D���� �2

5�6���� ��� ��� 1��� !���� +� � +� �� ��� !�������� �� ���� � � ���!���� �1 // ��.�2�. "��.� �� #9

(�� ����� ���� +� �� � ���� �� �� ������� ���� +������� ��� �������E������ �������� �� ������� ��� ������ ����8� ��� (������ �� � � $5&

1���� 2���"

0�� � ��� ������ ������ 2 � �(�� ����(� �� � ����� ��� +�� �� � �� ����8

��� �� ���� 3 ��� �� �� +�� ����� �� ��� �� �� ���� �������8 �� 2 0� � �� ��� ���� �� �� �� �� � #��� ���������� ���� ������ ��

����������� ��� � �� ��� �� ��� ����� �#� ��� ���� �� �� ��C

5�6���� ��# ������� � � � � ��� ��� .��� �#� "���� � � ������ ��!���� � $���9 ���� � # $� "� ����

� � �(�� ����(� �

"���� �2� �� � ��� ���� �� �. "���� �� � �� ����9 ��� ��$�� 3 �. ������� ��� ���� ��� ��� ���� �� # ��� $� �� @�� 1�� ! ��� � $�� ��! //��2� ���� $ / � �� ����� � � /��� ��� ��2� ��� ��� �/�� �1 3 � � �9�� 2// �� � ��� /��!�� �1 �� .�����. :+�89

��

��+�8 �����

�)����

�� � � 2//�. ��� '� �2�S� ��/#�� / �1 �9

Page 177: Mathematics of the Rubik's cube

(��� !��#����� �� ��� ���� �<<

(�� �� �� �� � �� ��� ������ � ��� >����� ���� ������ ��� �����;� � ��� �����; � ,� ��� ������ � ��� ������� � ���� ������� ���������� �� ������� ��� ��� ��� �������� ������ � ��� >����� ������ ��� 5���)*� ���� ���� �� )�� �� �2�*� �� ������� � �� ��������������

20����� �#� �� � � �� " �� !�������� �� � +�� � T �8� � � �� ���� � � �9��� '� �2�S� ��/#�� / � D��"�*

Z����

���� � �

�� ��

$# G��I� �K9349�� 2�� � � �� �� � �

�� T ��� T ��T � � +�T �8+�� T �T �8

���)��� 3��� �� ��� �� ��� �������� �� �� �� � ������ �� ��� 5���)*����� ���� +���� ������� �� ��� �������� � ��$�1� +�,8S

���)��� 3��� �� ��� /������ ��������� �� ��� 5���)*� ���� ���� +����������� �� ���$�1�+� ,8S

1���� !����

3� ��� �������� ��� ���� ���� ���������� �� ������� 3� �#� ��� >����� ���� �� +� ���������C

� ��� � �����; ��� ���� ������ �� # �#�� +����� ��� ��� ��������� 9����� ��� ��� ���� �� �� �� �8�

� '������ �� ��� ��� ���� ��� ���� ������ ��� ��� ��� �������� ������ ���� �� �� �� � � �� 9��� ���*� ���� ���� !�� ���� � # �#��

� ���� & � 9���� ��� � �����; ��� ���� ��� �� �� �� � �������� ��������� & �� � ��� �� ��� & � � � ����� & � & � ��� � �

(���� ��� �#����� ��� ��������� ���� �� ����� ��� � ��� �# � #��� %�������� ���� ���� ��� � �������� �� ����� +� � � � ���� �� � �� ����������) ���� ��� ������8 '��� � ���� �� ����� � ����

Page 178: Mathematics of the Rubik's cube

�<= ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

20����� �#� �� # � ��� $�1�+�,9 ��� �/����� �1 ��� 1��� !����+� 2��������. �� ��� �2�� 2//# . F����� ��@���2�� �1 $� 2 ���� #�� 2�D� �� ��� ��$ DA� 2�$�9 �1 2������ . F����� ��@���2�� �1 ���� # # �/.��� �� ��� � �� �1 ��� ��$ DA� 2�$� ;�9!9� �. � �� ��� �� ��� � ��$�� ��@���2� �1 ���� ���. �� �� � ��� �� . �� �2�<9

����� �� �=� ��/# �# ���� 2�� �1 ��� �#/�# !��� �1 +� � �2� �1"� 2� 2��������.� �� �2�� 2//# . �� �2� ��� �1 ��� ��$ DA� 2�$�9

0�� 2� (��4 ���'��

(���� �� � ��� �� ���� ��� ��� ������� �� +�� ����� ��� ��;��� ������ ����� 3� ����� ������� � ��� �� ���� ��� ��� ���� � +� �� ���� � ���� ���� �� �������� 3� ����� ��� � �� ������ ��� ������� �� � ��� 2 � +������� ������ � ��� 2�� � ����� ���� �� ����� 2 � 2� 0 ��� �������������� �� ������ ��� �;������ ���� ��� ������ ��� ��� ������ � � �����E������ ��� � � ���

(�� #��� ������ � ���� ��;��� ���������� ����� ���� �� ��� ��� �� ����;� �� ���� ��� ��� ����

� � ��� � ��� � � �

��� �

0 ������ �� �#� �����* � -����-� �� ������ +�8 � � 3 �� +�8 � � 3� �� � -� �� �� � -� � �� � -� �� �� � -� � �� � -� � �� � -� ��

:��� ��� ��� ������� �� +� ��

+� � 2�� 2�� ����

�� 2� � �� 2� � �� ��� :�� � �� � ��� ���� �� +� �� � ���������� ����� �� ��� ���� �� � 0� � �� � ���������� ���� ��� �� �� �� � ��� 2� ��� ������ �� � �� ���������� �� ��� ���� �� � � � � �

5�6���� �#� C : � � �9 �� �# ��� � �� ��/�$/� "��. ���$/� 1����� � .�2 � �� /!�� �� 1�� ��� / �� �1 @���� ��� �1 ��� 1��* �� 2� � � � �J

>����C +� ��� � �������� ��� ������� ����& (�� ������� ������ �� ������ ����� � �������� ��� �������

Page 179: Mathematics of the Rubik's cube

(��� ��������� ���� ���� ��� ����� �� �!��� �<6

� 0� 2 �� � ��� �� �"��� �� � ��� ������ ��� #��� ��������� �� ����� ��� �;������� � � ��� 0� � ���� �;������� ������ � � ��� � ������ �� ��������� � �� ���� �

� ����� ��� �;������� � � ��� ���� 2 � � �� ���� �

� 0� 2 � � ��� ���� � ����� ������ ���������� ���� � ����� ��� �

>����C -��� #��� ���������� ���� ��� � �������� ��� �������

20���� #3�3� ��#J

' ����� �#� , .�2 � �� /!�� �� 1�� ��� "��. ���$/� 1�� ��� ��$ DA�2�$� !���� " �� !�������� ���$�1�+�, � ��� �� � � /!�� �� 1����/� �! ��� ��$ DA� 2�$�9

0�� 3�������9 ��������9 ��4 -�������� ��'���

.���*� � ������������ ��������C 4�� � � ���� ���� ���� � ����� � �������� /���� ���� � �������� 5���)*� ���� 4�� � ���� ���� ���� ������������ ������ �������� ��� ���� ��� �� ���� ������ +3� ���� ���� ��������� �1� � �,� �� ��� �*� ��M8 (���� ������ ���� ����� �;���E��� ��� � ������ ����� � ��� �� ����� ��� ���� !����������� ������ ���� ���� �;������ �� ��� ��� �K���� ������ �� ��� ��� �� ����� ��� �������� �������� ����� �� �������� ����� ���� ��� �� B ��� ����� ��� �������� �� �� �� ����� ����� +$ � � 8 ���� �� �� ���� ������ �� �������� ��� ��� ���� �� ����� ��� ����� ��� ���� �� ��� ���� � $ � � ������ �;����� 4��� ������� ���� �� � ����� � ����� ��� �� ����� , ����� �����@� ��� ���� �� ����������� ��� ��� ��� ����� �� �� ������������ ����� �� �������� , ���@� �� � ������ ������ ��� ��� ��� �� �� ��� #����� ��� ��� �� �� ����� ����� �� ����� ��� ����

0 ����� ����� �� ��� �� ����� ��� ��� ������� ��� ��� ���� �. ����� �� � �� �� �L������ �� �������� '������ �� )�� �� �� � ��������� �� )�� ���� ���� �� ��� �������� ����� .�� � �� ��)� � ����� ������� �� ��������S (� ��)� � ��� � ����� �������� �� ����� �� ����������� ���� )�� ��� ��� ���������� ������ ����� �������� �� �� ��� ��

Page 180: Mathematics of the Rubik's cube

�=� ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

��������� ���������� ���� ��� ��� ��� � ������� ���� ��������� (����� ���� ���� ������ �� �����

:�� # �� � #��� ���� ��� � � �#� :�� 6 �� � ��� �� ����� ���� �# :�� �� ��� �������� ����� ��� ���� �� +� ������ 6 '��� �������� ��� "������ +�! �� � ����

5�6���� �#� �� � $� !����9 �� �# ��� � �� !�������� # �.��/� ��� 6 1 � � ������ 2 �� +�! 9 , 2�//�2� �� �1 !�������� �. ��/&� ��� .�=� �! !���� � 2//�. �������� �� �1 ��� !����9

,� � ������ �� ������� � ������ � � �� ������ �� � �"����� � � �� �

(����* �� C�� ����� " �� $2D!����. � ����/�!#* ����� G���I� �K9K� ! ��� ����/�! 2/ ��������� �� �1 � 0��� 1��.���/ !���� �1 ��� �#/�#!��� �1 � " �� �����2� �� #09

20����� �#� ��� 2#2/ 2 !���� �1 ��.�� �� ��� �� ��� !������� �. �����/� �� � � �� ��

# � � � +�8� � � � � � +� � � � � � ������ ��� 2����� �1 +�! �� � � � 9 ��� ��� �1 ����� ����� 2����� � 2/���.��.�� �/� �/ 2� ��9 C�� �:�/�� + 8+� 8 � + �8 � � �� � � �� ��� ������ �1 ��� �/���� � � 9

+��� !����//#� �� �� �������� ��

�� � � � � ��20���� #3�3� 6# 2������2� �! ���� �1 ��� ��$ DA� 2�$� �1 ��.�� �� �� 9����" ��� ��� ��$ DA� 2�$� 02��� ��0 ��� ��$!����� ��� ��� �9

����� �#� ��� !���� �� � �� � ��������. $#

�� � �� � � * � � � �� *� � �� * � * �(����* �� �� !����/� 1 � � !������. $# ��� 999� �� " �� ��/� ��� �+��� ���� ��8 �� �. 1 8 � !������. $# ��� 999� �� " �� ��/� ��� ��+��� ���� ��8 � � ������8 � ��� !���� !������. $# ��� ��� ��� " �� ��/� ��� �+��� ���� ��8 � ����+��� ���� ��8 � �� �. ���� � ����9 �� ��// ��� ����� �� � $�� ��1�� ��G+��I� �:��2 �� 3K� ��939

Page 181: Mathematics of the Rubik's cube

(��� ��������� ���� ��� �� ���� �� ��� � �7 �=�

20���� #3�3� 6# 2������2� �! ���� �1 ��� ��$ DA� 2�$� �1 ��.�� �� �"� 2� 2���� ���" ��� ��� ��$ DA� 2�$� 02��� ��0 ��� ��$!����� �� ����� ��9

3� ������ ���� ������ ���� � ����� �� ��� ��� #��� ����� �� ���� ������� �� �"��� �� �? � ����� �������� � ��������

0�� 3�������9 �������� 6�� ������ �6 ��4�

� ��

(�� ������� ����� ��� ������ ���� ��� ������ � $(3&

4������C

�� � ������ ���� �� ���� ��1� � ������ ���� �� ���� ��

� �������� ���� �� ��� �� ���� �E ��@ � "������� ���� � ��� ����� ���%� %���� ���� � ��������� ���� �� ����������� �� �� �� ���� ��

.� � �������� ���� �� ��� ����������� �� �� �� ���� ���+ � #��� #�� ���� � ������� +������� �� � �����8�

�!�� � ��� ��� ����� �

Page 182: Mathematics of the Rubik's cube

�=� ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

B��� 2���� � �������� �������� ����

� �� � � �� �� � � � � � .�

9 � � �9 �� � �� � * � � �� *� � �� F��� 9E ����

* � * .��+�8 � ��+����8? �� � � �7 �� � �� � �� � � �7 �� � * � � �� *� � �� .��+�8 � �

* � * � � ��+����8< �� � � �= � � �= �� � � � * � � �� * � ��

* � *

= �� � �� � �� � *� � � � �� *� � �� .��+�8 � ��+����8�� � �� * � * �*� � �*� � � �

= 1 � * � �� *� � �� * � *

= @ � * � �� *� � �� * � *

6 �� � � �6 �� � �� � * � � �� *� � �� .��+�8 � ��+����8

* � * �� �� � �� � �� � � ��� 1� � * � � �� *� � ��

* � *

�� ��� �� � ��� ��� � �� � � �� � ��� �� � �� � * � � �� *� � ��

� �� � �� � �� * � *

�� 1� � * � � �� *� � �� * � *

�� . � * � � �� *� � �� .��+�8 � �+* 8� � �

�� @� � * � � �� *� � �� ��������� * � *

Page 183: Mathematics of the Rubik's cube

(��� ��������� ���� ��� �� ���� �� ��� � �7 �=�

�� ��� �� � ��9 �� � �� � �� � � ��9 1� � * � � �� *� � �� .��+�8 � �

* � *

�? ��� � �� � �� �� � ��7 ��� �� � ��7 �� � � � * � � �� * � ��

* � *

�7 � � � � * � �� * � �� .��+�8 � ��+���!9�8 * � *

�7 ��� � � � *� � � � �� *� � �� �� � ��

* � * � � � � � *� � �*

�7 �� � *� �� � � � �� *� � �� .��+�8 � ��+9���8

�� � �� �� � �� * � * � � � � � � � � �*� � �*� *� � �*� �� � ��

�7 1 � �� � *� � � �� *� � �� �� � �� * � *� � � � � *� � �*

�7 @� �� � *� � -;�������7 � *� � � � �� *� � �� �� � ��

*� � *� � � *

�7 � * � � �� *� � ��+ *8� � �� + ��*8� � �

�7 � * � �� * � �� � ��������� ������ * � * �� � ���� �

�7 � * � �� *� � �� � ��������� ������ * � * � �� � ���� ��

+�� �����8�7 � * � �� *� � �� � ��������� ������

* � * � �� � ���� ��

+�� �����8�7 1 � * � �� *� � �� � ��������� ������

* � * �� � ���� ��

+�� �����8�7 @ � * � �� *� � �

* � *

�< ��� �� � ��= �� � �� � �� � � �

Page 184: Mathematics of the Rubik's cube

�=9 ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

�= �� � �� � * � � �� *� � ��� �� � �� � �� * � *

�= �� � �� � *� � � � �� *� � �� �� � � * � *� � � � � *� � �*

�= 1� � * � � �� *� � �� � ��������� ������ * � * �� �� ���� ��

+�� �����8�.��+�8 � �

�= � *� � � � �� *� � �� �� � � * � * � � � �� *�* � �

�6 ��� �� � ��� �� � � � �� � � ��� �� � �� � * � � �� *� � ��

* � * �� 1� � * � � �� *� � ��

* � *�� @� � * � � �� *� � ��

* � *�� � * � � �� * � �� � ��������� ������

* � * � �� �� ���� �

+� �����8�.��+�8 � �

�� ��� � �� � �� �� � ��� � * � � �� *� � �� � ��������� ������

* � * �� �� ���� ��

+�� �����8�.��+�8 � �

�� ��� � �� � ��� �� � ��� 1�� � * �� � �� *� � �� .��+�8 � �

* � *

�� ��� �� � ��9 �� � �� � � � � ��9 �� � ��� � * � � �� *�� � ��

� �� � �� � � * � *

�9 ��� � �� � *� � � � �� *� � �� �� � ��

* � * � � � � � *� � �*

Page 185: Mathematics of the Rubik's cube

(��� ��� ������� �� �!��� �=?

�9 1� � �� � *� � � � �� *� � �� �� � �� * � *� � � � � *� � �*

�9 . � �� � *� � -;�������9 @� � �� � *� � -;�������9 1 � �� � *� � -;�������9 @� �� � *� � -;�������9 �� � � � *� � -;�������9 1�� � * �� � �� *� � ��

* � *�9 @�� � * �� � �� *� � ��

* � *�9 � � * � �� *� � �� .��+�8 � �

+ *8� � ��9 ��+����8 � *� � � �� *� � �� .��+�8 � .��+@8

�� � �� * � *� � �� � � �*� *� � � * � ��������� ������

�� @ ���� ��

+�� �����8�9 � * � � �� * � �� � ��������� ������

* � * �� �� ���� �

+� �����8�9 � *� � � � �� * � �� � ��������� ������

�� � �� *�* � �� * � *� �� �� ���� 1

� � � +1 �����8�? ��� �� � ��? ��

� � * -;������

���)��� 3���� �� ����� �� +���������� ��8 � ��� ���� �� ��� 5���)*� ���� ����S

���)��� B� ����� ����� ��� ��� ������ # ����� ��������� �� ��� �E������� ��� ����� ������� ��� �������� ��� +��� !� 6 �8

0�� 2� ���������� ���'��

(�� ������� ������� �� ������C

Page 186: Mathematics of the Rubik's cube

�=7 ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

!� ��� 6 �C

���)��� +'� ������ $'�&8C :�� � �� ��� 5���)*� ���� ���� !� � ����� �������� � �������� ��� � �� ������ ��������� +� � � �#�T �6 ��� �� ������ ���������8

���)��� C !�

+�8 � ��� �� �������� ��� � �� ������ ����������

+�8 � ��� �� �������� ��� � �� ������ ����������

+�8 � �;������� ��� ���� ���� ������� �� � ��� � ��� ����� ����� ���$�1�+� ,

(�� ���� +�8 �� )��C ����� ��� � ������� ����� ������ � $'�& /��� +�8�� �� )�� +���� � A� .���*� ���� �� A�� �<� �66? �� ��� ����E�����*����� ��� ������� ��� ���� )�� ������� $>:&� �� �� ���� ���� � ��� � ���# �� ? �������� � � ��� 6 �� 99 �������� ���� ���� ��� ����� �� �� ����� ��� ����� ���� � 6 �� 7�?8

1���� - ��������� .�� ��� ����-

3� �� � � ������� � ��� ������� �� A '� ������ ������ ����� (��������� ��� ������ ���� A��� '������

Page 187: Mathematics of the Rubik's cube

(��� ��� ������� �� �!��� �=<

3� �� ������ ��� ��� ������ ���� ��� ���� �� +� T �8 � +� T �8

��������� ������� �������� � ���� ���L����� � �� ���� ��� ������� ������ � ��� ��������C �� �� ����� � � � � �� ����� � �� � �������E��� �����; � � �� � �� ��� �����; ��� ��+�8 � � +���� �������� ������� �� � ������ ��������� �� ��� ����������� �� ������� ��� �������� �� ��� 5���)*� ����8

3� ��� ������ ��� ���� ��� ��� ����

+�� ���� ���8 � �������� � �� � � ��� ��

� ������ �� � ��� ���� �� ��� ������ ������ ���� 2� �� >����� � � ����

� ������ (�� ���� ���� ��� ����������

���� �� �� ���� � � + � �8�� � �� �� � �� % � � ��

�����

��� �

���

�� % � �! ���� ��� %� � ���� � � %�

(�� ������� �� ��� ��� ���� �� �������@� ��� �;����� ��� � ������� � � 9C +��� !� 6 �8

,� � ���� �� +� T �8 � +� T �8 ������� ��������� �� ������ � ������� ���������� �����;�

�� �

�������������

� � ��� �

�� �� �

� ��� � �

��

0� 0 �� ��� +� T �8 � +� T �8 ������ �����; � �� <�� ����� ��� �����;����� �� � � ����� ���� �;���� ��� �% ����� ����� �� �� ���

�� � 0 � <�� � <������� T <����� T <������

(�� ���� �� ��� ����������

�� �� � � �� � � � �

Page 188: Mathematics of the Rubik's cube

�== ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

!� ��� 6 �C

(�� ���� ��� ��� ����������

��� �� ��� ���� �� � ��� � �� ���� � ����� �� � �� % � �T � � �

3� ������ ��� ���� ��� >������� ������

+��+�8� ��+�8� ���� ��+�88 � � � ���

����� ��+�8 �� ��� �� ��� �����;

��+�8 � 0 � <�� � <������� T �<��� T ���<��������

(���� ��� ��� ������� �������� ������ ��� �� � ��� ��+�8C

����+�8���� � ��+�8� �� � %� � ������+�8�

��� � ��+�8���

������+�8������ � ��+�8����+�8�

(��� � �� ��������� ��� ���������� �� ��� ������� �������� +������� ����� ����� � ��� �;� ������8C

Page 189: Mathematics of the Rubik's cube

(��� ��� ������� �� �!��� �=6

' ����� �#�

��� ������ �� �� ���� �� ��� ���� �� � + � �8

�� � ���� � �� % � ��

��� � �� ���� � ������� � �� % � � ���

��� � ��� ��� %� � �� ���

��� � ���� �

����� ����� � ������ �

(����* �# ��� $��� ����/� "� ������ $�1��� � "� ��� 2�. ��� �����&� //# ��� �� �������� �� # $� 1���. � ��� ���� G�+I $# �� �� �.+��� � ;"���� ��� !���� ��

� ������ � 2//�. !����/ M�. �#��� 2 !����<9

1���� 3���.

:�� � ���� ��� ���� ������� � ��� ����� ������� (�� ����� ��� ��������� ���� ��

� �������� � (���� �� � ���D������ ������������ � C

� ��� ������ ��� �� ��� ��� �������� �� ��� �������� (��

������� �� �� ����� ���� ���� �� �D������ :�� ; � ���+�8� ��

�� � � ��!;��;� � ��!;� � ���� ������� � ��+�T �8M�

1��� 8 �� ��� ���� �� � ��� � �� ���� � ���� � � � �� � ����� ��� ���� ��� ���� ���� � ��� � ������� �� 8 �� � ������ �� ���� �� ����� ������� ,���� ��� 8 �� ��

� 3� ����� ���� �!8 �� ���� !��� ���� �� ���� ������ ���� �� � � ��+�T�8M�

����� ���� �;� � �� �� ����� (� ��������� �!8 �� ����� �� ���� ���� ��� ���������� � �!8 ��

��� ���� (������ � � � $%F'& �� ��� ���� �� ���� �� ���� (��� �� ������������ �� ���C 0� B + �� ���� �� ��� ���� ��8 � � �� � ������� � ��� ����������� ������ ������� ��� ��� B + �� ���� �� ��� ���� ��88 � �!8 1��� ���� ������������ ����������� � ������� ������� �;���� ��� ��� �������� + � �8

�� � � (���� �������� �#� ��� ���������� ��� ����� �� ����� �

Page 190: Mathematics of the Rubik's cube

�6� ����� (� ��� �! #�� ��!� ��� ��� "�� �!���

Page 191: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��

(�� �� � )�*�+!� ��*� ���

0 ���� �������� �� ������� �������������� ��� ����� �� ��� �� � 5���)*�����

�8�� )���������� 4��������� �6 �� � � ���' ����

0 ���� ������� �� ������� �������������� ��� ����� �� ��� � � � 5���)*����� ,� �� ���� ���� ���� ���� ��� ��������� �� ��� ��������� �� ���5���)*� ���� ���� �� � ��� ���� �� ��; �� �� � ����� ������ �� ��������� �������

�4���� 5�����

!����� ����� ��� ��� ������ � � �� �� � ������� 7� (���� ��� �������� �������� �;���� ���� �� ���� ������� ��� �T� � ������� 7� ���� � ������"����C +��� !� �� �� !� �� � � !� �� �� 8

� +��� !� �� 9 � !� �� ?8:��� �� ��� $�1�+�, � �� ��� ���� �� ��� ��� 5���)*� ���� � ���

8 �� ��� ����� �� ���� ������ �� ��� $�1�+�, � ��� ��� ����� �������� +����� �� �� ������ �� ���������� � ���������� ��� ���� ��� �������� �� ������8 :�� 9 ���� ��� ��� �� �������� �� ��� ���� +����� �������� ���� ��� ��� �� ����� �������� �� ��� 5���)*� ����8 � ���

> C 8 ��

�6�

Page 192: Mathematics of the Rubik's cube

�6� ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

!� ��� �� �C

!� ��� �� �C

Page 193: Mathematics of the Rubik's cube

����� �������� ��� ���� � �� �� ��� ��� ��!� ������6�

!� ��� �� �C

!� ��� �� 9C

Page 194: Mathematics of the Rubik's cube

�69 ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

!� ��� �� ?C

���� ��� ������������ ����� ���������� �� ���� ���� �� ��� 5���)*� ������� ��������� ���������� �� ��� �������� :�� < ���� ��� ��� �� � ���� ��� ���� +����� �� ������ ���� ��� ��� �� � � �������� �� ��� 5���)*�����8 � ���

? C 8 �#

���� ��� ������������ ����� ���������� �� ���� ���� �� ��� 5���)*� ������� ��������� ���������� �� ��� � ��

�4���� +���� ��������

:�� & C 8 � � �� ��� ������ ����� ���������� �� ���� ���� � � 8 ���

��������� ����� ���������� %��� ���������� ��� � � 8 � ��� � ���������� � �� ����� % (�� &�+�8 � �� �� ��� ��������� ����� ��� ��� �����; ��� ��� �� �� �� ����� ��� �������� ��� ������ �� � ��� �� ��� ���� ������ ��� ��������� �� ��� ����� �� ���� ����)���� ������ ��"���� �� ������ �������� �������� �T� ������ �� ���� ����� � �� % ��� ��� ����� ��� ��� ����� �������� �T� � ����� %

20����� �#� �� ���

Page 195: Mathematics of the Rubik's cube

����� �������� ��� ���� � �� �� ��� ��� ��!� ������6?

% /&+#8C ;H�5�5�3�3�5�5�H<- ;5�5�5�5�5�5�5�5<

C?- ;H�5�5�3�3�5�5�H<-?C ;H�5�5�3�3�5�5�H<� ;5�5�5�5�5�5�5�5<6 ;5�3�H�5�5�H�3�5<� ;3�H�5�5�H�3�5�5< ;5�5�3�H�5�5�H�3<

(����* �� ��� �F�2� �1 ��� � � 8 �� ��� 2����� �� ���� ��� #/�� $� ��!�.�. � ��/$�/ �! �1 ��� 0>0 �D �!�9

1��� ���� � ���� � � 8 ��� ��� �K���� � ��� ������C+�8 � ���������� >+�8 � �� �� ��� ���������+�8 � ����������� �� ��� �������� ����� � +�8

0 ����������� ��� �� � � 8� ��� ��������� /&+��8 �� ��� �K�� ���� &+�8 ���� ��������� ��������� �� ��� �������� ������� �� �

3� ����� �� ������ ���� ��� ���������� ��������� /&+��8 � /&+�8 �� ������� �� ��� ��������� /&+�8� ������ �� ��)�� ��� ������ ��� �K��� �� �� ��� ��������C /&+�8 � >+�8+/&+��8 � /&+�88� � � �

����� �## /&+��8 � /&+�8 T >+�8��+/&+�889

����&C (�� ���� �� ������ ��� ��� ����� ������� �� &�+��8 � ���E����� ��� �������� �� >+��8� �� �#����

B ��� ����� ��� �� ���� #��� ��� �� � ��� � (�� ���� � ���� ���������� ��� ����� ������� �� &�+�8 � �� ��� ��� �����; �� ��� >+�8+�8�� �����;

(� ���� ��� �����"��� �K��� �� � � ����� ��� �� �������� /&+�8 ����/&+��8� �� ���� �� ��� ���) �� ��� ��� ��� ��������� +�� ���� � /&+�8 ���)� �����8 >��� ���� ������� ��� ���#� ���� ��� ��

(�� ���� � #��� ������ ��� %�� ����� ������� �� ��� ���#� ���� ��&�+�8 � �������� �� �� �����; >+�8+%8 (�� ��� ������� �� ��� ���#����� ����� ���� +��� �8 ��� >+�8��+�8�� ������� �� ��� ��� ��� ���� (������ ��� ����� ������� �� ��� ���#� ���� ��� �� ���� �� �� �������� ��&,��������+�8 (� ���� �� ���� � � &�+�8 �� �� ��� ����� �K��� �� �� � ������ �����; �� ��� ��� ���C

&�+��8 � &�+�8 T &,��������+�88�

��� ���� � � � � =� ����� ������� :���� �66 �

Page 196: Mathematics of the Rubik's cube

�67 ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

�4���� ���� ��������

:�� 2 C 8 ���� �� ��� ������ ����� ���������� �� ���� ���� � � 8 ���

��������� ����� ���������� %��� ���������� ��� � � 8 � ��� � ���������� � �� ����� % (�� 2�+�8 � �� �� ��� ��������� ����� ��� ��� �����; ��� ��� �� �� �� ����� ��� �������� ��� ������ �� � ��� �� ��� ���� ������ ��� ��������� �� ��� ����� �� �=�� H��� ��"���� �� ��� ��� ���������������� �T� ������ �� ���� ����� � �� % ��� ��� ���� � ��� �������� �������� �T� � ����� %

20����� ��� �� ���

% /2+#8C ;3�5�5�5�5�5�5�5�3�5�5�5<- ;3�5�3�5�5�5�5�5�5�5�5�5<

C?- ;3�5�3�5�3�5�5�5�3�5�5�5<-?C ;3�3�3�5�5�5�5�5�3�5�5�5<6 ;5�5�5�5�5�5�3�3�5�5�5�5<� ;5�5�5�5�5�5�5�5�5�3�5�3<� ;5�3�5�5�5�3�3�5�5�3�5�5< ;5�5�5�5�3�5�5�5�3�5�5�5<

(����* �� ��� �F�2� �1 ��� � � 8 �� ��� �.!� �� ���� ��� # /��$� ��!�.�. � ��/$�/ �! �1 ��� 0>0 �D �!�9

1��� ���� � ���� � � 8 ��� ��� �K���� � ��� � ��C+�8 � ���������� ?+�8 � �# �� ��� � ���+�8 � ����������� �� ��� � �� ����� ���� ���� � +�8

0 ����������� ��� �� � � 8� ��� ��������� /2+��8 �� ��� �K�� ���� /2+�8� ��� ��������� ��������� �� ��� � �� ������� �� �

3� ����� �� ����� ����

/2+��8 � /2+�8 T ?+�8��+/2+�88� +�� �8

� � � ����2�+��8 � 2�+�8 T 2-��������+�8�

��� ���� � � � � �� (�� ����� �� ���� �� �� ������� �� ��� ����� �� :�����66 ���� �� ����� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ����� �� ������ +�� �8

Page 197: Mathematics of the Rubik's cube

����� ������ ����������� ������ �� ��!� ����� �6<

�4���� !"� ���6����� �������

>����� ��� ������� ����� ������ �� ��� ����E����� �������C

8 � � +� � ���� 8� +���

� ���#8�

(����* �� �� � # /�� "� "� ���� � ��� ���� �� �1 "���� ���.�2�� ���� 1�//�" �! . ��2� ���.�2� �1 �"� "���� ���.�2��*

8 � � +�� �� � �8� +�# �� ���

� 8�

,� � ���� �� ���) ��8 �� ���� � �� � ���� ��

���� 0� �� ��������������� �� �� �� 8 �� � � +&� ��2� �8� �� � +&�� ��� 2�� ��8 � �

� ��� �� � ���

��� ��� ���� �������� ���� �� ��� ��

� � �� � +&� �� 2� �8 � +&�� ��� 2�� ��8 � +& T � +�8+&�8� ���� 2 T � +�8+2�8� ���8�

>����� ��� ������

C C 8 +� � ���� 8� +���

� ���#8� �� +&+�8� >+�8� 2+�8� ?+�88�

��������� ��� C � � ������ �� 8 �� 8 �9

����&C '���

+/&+�8� >+�8� /2+�8� ?+�88 � +/&+�8� >+�8� /2+�8� ?+�88� +/&+�8 T � +>+�88+/&+�88� >+�8>+�8� /2+�8 T � +?+�88+/2+�88� ?+�8?+�88�

��� ��� C �� � ������������ '��� �� ����������� � ���������� ���� ������� �� ���� ���� �� ����� C ���� �� ���D������ �� ������� 7�� ���)���� �� C �� ������� +���� �� D��� � ���� ��� �� ���� ���� �� � ������� ��������� �� �������� ��� ��� ���� ���*� ��� �M8 �

�8�� ���4 6��4������ ����� �6 ��' ��;

���

!����� ���� ������������ 3� ������� �� � ��� �� ���� � � � ���� � 9E�����

+/&+�8� >+�8� /2+�8� ?+�88�

�����

Page 198: Mathematics of the Rubik's cube

�6= ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

� >+�8 �� ��� ��������� ���������� �� ��� ��� �� �������� 9 �� ��������

� ?+�8 �� ��� ��������� ���������� �� ��� ��� �� � �� < �� ��� �����

� &+�8� 2+�8 ��� ������������ �#� � ��� �

(����* �� �� �� .����� ��� �#��� 2 !���� �� � /������ �. .��� 1# ��" �� � � �# " �� ���9 6# �:�/� 3K�� "� D��" ���

;< > C � � � ������� ��;$< ? C � ��� � ������� �9

8������C 2��� � 9E����� +&� ��2� �8� ����� �� � ��� ����������� �� ���������� ���� � ��� �� ����� �

& � � � � 2 � ���

� �

���� ������� � �� �� &� 2 ����� ���� �� ��������� �� � �������� ��������� ��� 5���)*� ����S

(�� ������� ������ ��� ������ �� $�>2&� �� �� , '����

' ����� ��� ;��2��. 1��.���/ ������ �1 2�$� �����#< , �&���/� +&� ��2� �8� $��� ;� � � � � � ���� & � �

� � 2 � ���� < 2��������.� �� ���� $/� ��� � ��

�1 ��� ��$ DA� 2�$� 1 �. ��/# 1;< ���+�8 � ���+�8� ;0�@�/ �� �# � ������ ���0<;$< &� T ���T & � � +�� �8� ;02������� �� �1 ���/ �" ���0<;2< 2� T ���T 2�� � � +�� �8� ;02������� �� �1 ���/ L ��0<9

����&C !���� �� ����� ��� ���� ��� ���� (��� ��� �� ������ ����+&� ��2� �8 � �� � �# ��

� ����� ��������� � +�� ���� ������M8 ������� ��

��� 5���)*� ���� !��� ���� �� ��� �� ����� +�8E+�8 :�� � � � �� ��� ������ ����� ����� ��� 5���)*� ���� ���� ��� �����

������� �� ��� ������� ��������� �� ���� 9E����� (�� � � >+�8 �� � ?+�8 3� )�� ���� � ��� �� ������ �� � ��� � ��� ����� ����� ���$�1�+� ,� ��� � � #����#�� ����� ���� #� �� �"��� �� �� �� ��� ���$�1�+� , B������ ���� �� # �� �� �� �� ����� ����� ����� ������+>+#88 � ���+?+#88 '��� ���� >� � ? ��� �������������� �� �����������

���+�8 � ���+>+�88 ������

���+>+#�88 ������

���+?+#�88 � ���+?+#88 � ���+�8�

Page 199: Mathematics of the Rubik's cube

����� ������ ����������� ������ �� ��!� ����� �66

(��� ������ +�8 3� ���� ����#� +�8 ��� ��� ����� ����� � �;����� �6= ����� 1��� ����+�8 ��� ���������� �� ������ ������ � +�8 �� ���� ��� +&�� ���� & 8 �� �

��� �� �� �� ���� ��� �� ���������� � +�8+&8 � +&��� � ���� &� � 8�+��8 �� +&�� ��� & 8 � +&��� ���� &

� 8 ���� ������� ��� ���������� �� ������ ��E

���� � +�8 ��� ����� ��� ���� �����#�� �� ,� ������ ����� � �� � ��� � ��� ����� ����� ���$�1�+� ,� ���

� � #����#�� ����� ���� #� �� �"��� �� �� �� ��� ���$�1�+� , 3������� ���� ���� �;������� �� ������ � ��� ���� ���� �� ������ ��� #� ������ � �� �� ����� �� �������� (��� � �� ����� ��� �� �� �� � +(��� �� ���� ��� ���� �� ��� ������ ���� � �� ��� ������ � ��� >����� ���� �� � 8

3� �� ����� +�8 �� ������ � ��� �� �� 3� ���� ������ ����)��� ��� ��� ���� �� �� �� � � �

,����� � � � �� ��� ������� ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� ����� � ����� �� ��� ��� ���������� �� ��� ������ �� ����

/&+#����#���#�8 � >+#����#���8��+/&+#�88 T /&+#����#���8�

(�� ���� >+#����#���8��+/&+#�88 �����#�� ��� ���������� �� ������ ���E��� � +�8 �� +�8 ����� (�� ���� /&+#����#�8 �����#�� ��� ���������� �������� ������ � +�8 �� ��� ������ ���������� (���� ��� �����#�� ������������� �� ������ ������ � +�8 �� +��8 ����� (��� ������ +�8

(�� ����� �� +�8 �� ���� ������� �� ��� ����� �� +�8� �;���� ���� �� ����;����� ��� � ����� �� �;����� �6=

20���� ��3�3� '��� .� ��� .�� /�9

1��� �� ���� ����� ��� ������� � ��� ���� ������� 0 ����� ����������� +�8� +�8� � +�8 �� ���� ���� ���� ����� �� � ��������� �� ��������� �� ��� 5���)*� ���� (��� ���� �� ��� ����� �� �����������

!����� �� ����� � ������� ���� ,����� ���� � � � ��� ���� ��� ������� ���� +2�� ���� 2��8 � +�� ���� �8

(���� �� � ���� ����� ������ �;����� ��� ������ � ��������� ������������� � �������� �� ��� ����� �������� !�� �;������ ��� ����� � + ��1� ,��$ �,8� ������ ��� ��� ����� �� ���� ����)����� ��� ������� �� �9�� ����)����� � ��������� ��� ���������� � �������� �� �������� �������� (��� ���� �� �� ������ ���#�� �� � �������� ��D� ������� ����� � ���� ����� ������ �� ���� �� ������� � ��������� ��� ������E���� � �������� �� ��� ����� �������� (���� ����� ������ ��� ��������

Page 200: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

=E������ �������� ��� ���������� �� ������ ������ � +�8 (��� ��������� ���� ���� �� ��� ������� � ��� ���� ���� � � � ��� ���� ��� ������� ���� +2�� ���� 2��8 � +�� ���� �8

1�;�� �� ����� ������ ������� ���� ,����� ���� � � � ��� ���� ��������� � ���� +&�� ���� & 8 � +�� ���� �8

(���� �� � ���� ����� H��� �;����� ��� � �� � ��������� ��� ����E������ � �������� �� ��� ����� �������� !�� �;������ ��� ���� � ��+ ��+�����$ � $ $�� �$� +��� � $�&� �� � ���8 H��� ��� �� � ����� �� � �� � ��������� ��� ���������� � �������� �� ��� ����� ���E����� (��� ���� �� �� ������ ���#�� �� � �������� ��D� ����� �� ��E��� � ���� ����� H��� �� ���� �� � ��� � ��������� ��� ���������� ��������� �� ��� ����� �������� (���� ����� ������ ��� �������� ��E�������������� ��� ���������� �� H��� ������ � +�8 (��� ������ ��� �������� �� ��� ������� � ��� ���� ���� � � � ��� ���� ��� ������ � ����+&�� ���� & 8 � +�� ���� �8

,� � ����"���� �� ����� ���� ��� ������� ������ �� ������� ���� ��� �������� �� ��� ������� �� ���� � ��� ���� ���� � � � ��� ���� ��� ������

!������ �� ����� ��� ���� ������� ���� ,����� ���� +&�� ���� & 8 � +�� ���� �8� ���� +2�� ���� 2��8 � +�� ���� �8 >����� ��� ������� ����� ������

� 2��� �� ����� � �� ��������� ����� �� � ���� ����� �� � �E����� ������ � �� � ��������� ��� ���������� � �������� �� ��� �������������

� 2��� �� ����� ������� ����� �� � ���� ����� �� � �E����� � ����������� � ��������� ��� ���������� � �������� �� ��� ����� ���E�����

� 2��� �� ���� �� � �� � �� ���� �� ������� ����� �� � ���� ������� � �E����� � ����� � ��� � �E����� � ����� ������� � ������������ ���������� � �������� �� ��� ����� ��������

20���� ��3�3� ��� 1# ����� ����� 2/ �9

�� ���������� �?6� �� )�� ���� .# �� ������ �� ��� � � �E����������� � ���� .� �� ������ �� ��� ����� �E������ ����� 0 ����� ������� �� �������� � ������� �� ��� 5���)*� ���� ��������� �� �� 9E�����+�� �� �� �8� ������ � � .� � � � .# (�� ��� ���� .# � .� �� ��;9 � �# � �� ���� ���!.�� � � (�� ���� ���� �� ����� ��� � �E�����

Page 201: Mathematics of the Rubik's cube

����� ������ ����������� ������ �� ��!� ����� ���

�E������ ������ ��� �� �������� �� � ������ �� ��� ������ .# �.� ����� 5���)*� ���� ���� ������� � � � �E����� �� � � ���������� �� ���� �� (��������� �� �� ������ ��� ��� ���� �� �# � �� ������ �� �������� ����� �� ����� �� ���� ����� ������ ��� �� �# � �� �� ���� ��� ������ ��; � ����� �������� ������ .# � .� (�� #��� ����������� �� ������ ��� ���� �� ��������� ��� ������ ������ � +�8 (�� ��� ��� ������ �# � �� �� ��; � ����� �������� ������ .# � .� �� ��� ��� ���� ��������� �������� ��� ������ ������ � +�8

0� ������� ���� ��� ���� ���� �� ��� ������� �� ���� � ��� ���� ���� & �2 ��� ���� @���

(�� ������� �� � ����"���� �� ����� ������� ����� ������� �� ��� ���E����

>����C (���� �� ������ � ����� � ������ ���� ������� �� ��� 5���)*����� �� �� ����� ��� �� ������� �� �������� ��� �������� ��� ����������� ��� ���� �� ���� & � 2 ��� ���� @���

20���� ��3�3� '���� �� � 2/ 9

.�������% ��� � � � � +&� ��2� �8 � 8 � + 8� +*8� +�8 � ��� ����� ������� ���9

�4���� 7��� ����&�����

3� ����� �� ����������� ��� ����� ���� ����� ��� 5���)*� ���� ���� ����� ���� �� ���� ����� +�� �� �����8 ������ �� �� ���� ��� ����� ��������� �� ��� ������ :��

� � +&� �� 2� �8 � � � � � � � ����& � +&�� &�� ���� & 8� &� � �� �� �� &� T ���T & � � +�� �8�

2 � +2�� 2�� ���� 2��8� 2� � �� �� 2� T ��� T 2�� � � +�� �8�

A�#� � ����� �������� � C � �� � ��

+&� ��2� �8 � +&�� ��� 2�� ��8 � +& T � +�8+&�8� � � ��� 2 T � +�8+2�8� � � ��8�

(��� �#�� � ���� ��������� � � (��� �� � ��� ���� �� ��� ���� �5���)*� ���� ���� �� ��; 7

Page 202: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

' ����� ��� ����� � � ������ �

��� +��

� ��� 8� +���� �����8�

"���� �� � ��� 2#2/ 2 !���� " �� � �/����� �. �� .������ ��� �� &. ��2����.�2� �. "���� ��

� ;� � �� �� � � <� ��< � .��� =�. " �� ��� ��$!���� �1����� .�=��. $#

& � +&�� &�� ���� &�8 � &� � �� �� �� �� &� T ���T &� � � +�� �8��� ��� 2�/��

��� � �� ����������� ����

� � � =M � ��M � ��� � ���

' ����� ��� ��� ��$ DA� 2�$� !���� � � ��� D����/ �1 ��� ������� �

( C � ����+&� ��2� �8 �� ���+�8���+�8�

�� ��� 2�/�� � � � � ���/ �1 �.�: H �.

��� � =M � ��M � �� � ���

5����� ���� ��� ���������� ��� ���� �� �� � �� ��� ��� ���� ������� �� ��� #��� ������� �� �����������

$�� �& � � � � � ��� � ��������� �� � ��� �������� ������� �� �

' ����� ��� ���� � ���!�9

0 ����� �� �� �;�������� ������� ��

' ����� ��� �� � � � � � ���+>+�88 � ���+?+�88 � �9

(��� ��������� ������� ���� ��� ���� ���� ��� ���������� ��� ���� �� ���� .�� ��� � � 9 +��� ������� � �� $5&� � ����� ��� � � 9� .� �� ��� ��� �������E������� ����� ��� ���� �� ��8

(�� ����� ������� ������� ���� ��!��� � � +�� ��� ����� ��� ��� #��������������� �������8 !��� ����� �� ������� ������� +���� ����� ��� ����� �������8 ���� �� �� � ����� ��� ���� �� �

Page 203: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� �������� ��� �� ��� � ��� � ����� ���

�8�� 2� �������� ����� �6 �� �&��� � ���;

��

(��� ������ �� ���� � � ����� ������ D����� ���� O %�'��� $O%&

.��� �� ���� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��������� � �� ��������� � ��� ����� ����� �� ��� �"���� � ��@@�� ����� �������� ��� ��������� (��� ��������� � ����� � ���� ������ �������� �� $3&� �� ������� ������ � ���� �� ��� �"���� � ��@@�� (�� ���� �� ������ ����� ����"���� � ��@@�� �� ��)� �� ��� � $'�& 0� �� �� ��� �� ��� ���� ��������� � ���� �� �� �� �� ����� ����� ������ �� ��D� ��� �� �� �� ����� ����E��������� �������� �� ��� ����� ��� ������� � ��� ���� 3������ ���� ��)� ��� �� ��� ����� ��� � $,��& ����� ���� �� � +��� !� �� 78

!� ��� �� 7C

, ��E������ �� ��� ����� �� � ��������� �� ����� ����� �� �� ��� ������� ��� �"���� � ��@@��� ��� �� �� ��� � ��� ���� �����

Page 204: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

�4���� !"� �� ������

:�� �� ���� ��� ��������� ���� �� � ��� �� � � � ��� ���� �� �����E������ �� �� �� ���� � :�� ��� C �� !� ���� ��� ����������������� ���� � �� ���� ���������� ��� �� +��� �� �� � ������ ������������ �� �� � �� +��8���� ��� �;�����8

3� ����� ��� ���� ��� ��@� �� ��� ������ � ���� �� ��� �"���� � �� ����� = ������

' ����� ��� � � ������ 2 �� ��� D����/ �1 �.�: H � � � � �1 ���������� � � C � � � !� .�=��. $# �+��� ��8 � ���+��8���+��89�����@����/#� ��� � ����?�<� � =��=?����9

,� � ��������� �� ��� ����� �� ���� �������� ��� ������ �� ����� ��� ������ ��� ���������� �� ��� ������ �� �������� � �� ��� ���������� ����� �� �� �� ��������

:�� 8 ���� ��� ���� � �"���� � ���� ������ �� ��� �� �� ������������� ��� ���� ����� � ��� ���� �� ����� +� � � ���������� � ��E�������� �� ������8 �������� ��� ���� ����� 0� �� ����� ����

8 �� � � � �

$��� �������

3� ����� ������ ���� ��� ��@@�� �� � ��� ����� ������� ���� ��� ��"������ ��� � ����� �� ��E��� �� :��

� � ���� ������� �� ��� �� ���� �� ��� ����)�����

� � ���� ������� �� ��� �� ���� �� ��� ����)�����

� ���� ������� �� ��� ���� �� �=�� ���� � �� �� ��� �)��E�� ������� +� � ��� �������� �� ���� �� ���� ���� �� ��������� �� ���� ������� ����8

:�)� ��� �? ��@@��� � ���)� ��� 5���)*� ����� �� �� ��"���� �� �� ��

� *� �� �������� :��

" +� �8 � � � � � � � � ���� ,+� �8 � ��� � � � � � � ��

Page 205: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� �������� ��� �� ��� � ��� � ����� ��?

!� ��� �� <C

!� ��� �� =C

Page 206: Mathematics of the Rubik's cube

��7 ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

����� � � ��� ����� �� ��� �"���� � ��@@�� +��� !� �� < � !� �� =80 ��� ������ �� ����� �� ����� �� ����

� ������ � � +�� =8+9� 78" +��� �8 � +��� 7�� <�� 9�8+�� 7� <� 98" +�� ��8 � +��� ��� =�� ?�8+�� �� =� ?8,+��� �8 � +�� �� <� =8+��� 7�� <�� 9�8,+�� ��8 � +�� 9� ?� 78+��� ��� =�� ?�8�

'+� ��) �����

:���� �� " +��� �8� " +�� ��8 �

��� �� ,+��� �8� ,+�� ��8 �

����� ��# �� �. �� �� �2� ������ 2 �� � � �9

����&C 3� ���� " +��� �8" +�� ��8 � " +�� ��8" +��� �8 %�������� " +��� �8� " +�� ��8 ��� ���� �� ���� 9 '���

� � � �� � * � � �� * � �� * � * ��

��� ����� ������� �(�� ������ � ���� �� ��� �"���� � ��@@�� �� �#� �� ��

� �� ��� ��� ,+��� �8� ,+�� ��8� " +��� �8� " +�� ��8 �

3� ����� ��� ��� ������� ������ � �� ������� ��� ����� �� ��� �"���� ���@@��

�4���� 3���. �. �"� �"�����

3� ����� ����� ��� ������� � ��� ������� �����C

� '��� ���� ��� �� � �E����� +�� �� �8 � ��� ����� �E����� +��� ��� ��8���� ���� �� �

� '��� ���� �� �� � �E����� +�� �� �8 � ���� ����� �E����� +��� ��� ��8���� �� �

Page 207: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� �������� ��� �� ��� � ��� � ����� ��<

� '��� ���� ����� �� � �D������ ������������ ( C � � � � �������� ��� � (+�8 ������ . � .

� >����� ���� � �� � � � !!�

'��� �C !����� �� ����� ���� +�� �� �8 ���� � �� � 0 ����� ��� �E�����+�� �� �8 �� ������ ���� ��� ����

�� � +,+��� �8���8�++,+��� �8����8�+,+���� �8�" +�� ���8���888�+,+��� �8���8���

+0������� ���� =� ���� �� ������� ��� �� ����#� ��� 2,/ $2��& '�� ���� $'�& 8

1�;�� �� ����� ���� +��� ��� ��8 ���� � �� � 0 �����

�� � �� ��� ��+ ���8��� ���

�� ��� ������ �� �E������ +��� ��8+�� 98 +(��� ���� ��� ��� � $'�& 8 (����E����� �����

�� �� ��� ������ �� �E������ +��� ��8+�� �8 (�� ������ �� ������� +��� ��� ��8+�� �� 98 '��� +�� �� 98 �� ������ ���� ������

�� �� ��� ����+��� ��� ��8 �� � � +(��� ��� ���� �� ����#� ��� 2,/ 8

'��� �C :�� � �� �� ���� � � ����� ��� �� �� � �� �� � �� ���� �� ��� �� ���� �� �� �� � +�� ��� ������� ����� �� �� � ������8 (�� +�� �� �8 � � � +�� �� �8 � ��� (��� +�� �� �8 � �

(�� ����� ���� ���� +��� ��� ��8 � � �� ������� '��� �C 0� �� ����� ���� ��� �#���� ���� ����� �� � �D������ � ��

� ���� (�� ����#����� ���� ���� �� � ������������ �� ����� �������� '��� 9C (�� ���� . �� ������ �� ��� �E������ +�� �� �8 +��� :����

�7�8 '��� ����� ��� ���� �� �� ��� ��� �� � ����������� ��� �������� '��������� ��� ��� ����� ����������� ��� �������� (��� . � . � �

:�� �� C � � � � ���� ��� ���D����� ��� ��� #��� ������ :�� �� ���� ��� ���D����� ��� ��� ���� ������ !�� ���� �������� � ��� ��� ,+��� �8� ,+�� ��8� " +��� �8� " +�� ��8 �� � �� ���� ���+��+�88 ����+��+�88 (��� ��� ��� � (+�8 �� �������� ������ � � � � 0 ��������� ����� ���� (+�8 �� ������ � ��� )���� ���+� 8 �� ��� ������������� C � � � !� �#� � ��� �������� �� ��� ������� '���

. � . � � � ���+�8�

$���+�8 C . � . & � �� � " +��� �8 !� . � . � ��� ������� ������� �

Page 208: Mathematics of the Rubik's cube

��= ����� ��� ��� �� � �! #�� ��!� ���

Page 209: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��

-��� )�*�+.��+� ����� ����

�, �;���� �� ������ ��� )��� ���� �� ��� ����� �����)������ �� �� ��� � ��� ���D���� � ��� �� ���� ���� �

�� ���$��!� ������'�)���� ,�� 6�)���� 3�73

(��� ������� ����� ������� ��������� ������� ������� ���� ������� � ��� ����E����������� ��������� �� ���� �� ��� ���������� ��@@�� ������ ��������� � $2(&� $:�&� $�&� ������� �� $1'(&� ������� �6

���� 1� �� ����� �������� �6 �� �*('

(��� ������ �� ���� � 2 2���� � O %��� �� $2%& 4������C 3� #; � ��������� �� ��� ���� � ����� ��� ���� ��

��� $�1�+�, �� � ��� ���� �� ��� 5���)*� ���� (�� ��� � ��� ����)����������� �� � ����� �� ���� �� � �E������ D�;��������� �� ��� ������� ��E�������� ��� � ����� ����� ��� ����� ����� +3�� ��� ����� � ����� ����� �)��� ��� ���� ������� ����� ����� ������ ��� ��� �������� ��� �� ����)��� �� ��K���� 8 '��� � ���� ���� �� ����� � ����� ���� E ����� ��� =�� ����� ���� � ������ ����� � ����� � ������ ����� ��� ��������������� ����� �� ��������� ��� ���� ���� +�� �� � ������� �� ��� ��������� 8 !�� �;������ !5V ����� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� �������E�� ��E�� ������ ����� ��� ���� �� ��� ���� ����

:�� � ���� ��� ��� �� �"���� ����� ������ � 9 ��� ��� �� �������� ����� ����

��6

Page 210: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

:��

� �� + $�+�$�, $�,�$�1+ �1+��,1 �,1� �

���� ��� ���� �� ��� +�� ��8 �)��� ����� :�� �� ���� ��� ���� �� ����� �� � ����� �� ������ +����� ���������� ��� ���������� �� ������8

B ���� �"���� ����� ����� �� ��� �)��� �� ��� ������ � �����; ���� ���������� ��������C �� �� ��� � ����� ����� ���� ��� ����� �����; ����� �"���� �� ��� ����������� �������� �����; � ��� �"���� ��� ��� ������� ��� �)��� ������� ����� ������ ��� �� ����������� �;���� ���� ���������� ��� �������� �� ������� (��� �������� � ��������� �� ��������� ����� >��� ���� ��@@�� ��� ����� �)��� !�� ���� �� ��@@��� ���

�� (� �� + $�+�$�, $�,�$�1+ �1+��,1 �,1� �

���� ��� ���� �� ��� +�� ��8 ����� �)��� ����� :�� ��� (� ���� ���

���� �� ��� �� �� � ����� �� ������ +����� ���������� �� ������8 3� ����� ��� ������ �� � ��� ���� ��� ��� 5���)*� ���� :�� �+�8 �

� � � �� �� � ���� ��� ��������� ��� ��� ������

!�� ��� ������)���� �� ����� ��� ����� ������ ��������� :�� -+�8 � �� �

�� �� �� �� ���� ��� ��������� ��� ��� ������ :�� �& ���� ��� ��������� ���� � ��� ��� �� �� ��� ��������� ����

� ��� ��� 9 >����C (���� ��� �������������

> C � �& � ? C � �� �

���� ��� ���� ���� � � �� ��

>+�8 � ���������� �� ��� ����� ������ ��������� �� ��

?+�8 � ���������� �� ��� �������� ��������� �� ��

:��8 � �

� � �& � ��� �#� � C 8 �8 8 ��

+�� �� �8 � +��� ��� ��8 � +���� ���� ���+��8 T �8�

Page 211: Mathematics of the Rubik's cube

����� �� ��� ��� ������� �� ��� �#�"! ���

:��8� (� � �

� � �� � �� � �&

� �#� � C 8� (� �8� (� 8� (� ��

+�� �� -� �8 � +��� ��� -�� ��8 � +���+��8 T �� ���� ���+-�8 T -� ���8�

B���������C (���� �� � ����� �� � ��� 8 � � ����� ���� (� ��� 8� (�

:�� �& �� ��� ���� ���� ���� ��� � ��� ����� ������ �� ��� �)���� ��� ��� ���� ���� ���� ��� � ��� �������� 1���

� � �& � �� �

-���� ������� �� 2 �� � �E����� � ��� ����� ������ (��� ���� ���� � ��� ������ �� .& 0� �� � ���� ���� ��� ������� +�� %� �8 �� �� ������ .�

+��� �� %� � ������� �� �� �� ���� �8 (��������� �& � .� (�� ���� ���� ���� � ��� �������� �� ��� �)��� �� ��� ���� ���� ���E

������� V��)� ��� 5���)*� ����� ����� �� � ������ ��)� ������������ ������ ����� ������� �� ��� ����� �����; ��� 0����� �� ���� ����� ����������� �� ��� �)��� ��� ��� 9E����� ������ (��� ��� �� ������� ����������*� ���)��� � %��)��*� >����� � +� ��@@�� ������� �� ��� �)���8 , ����� �� ��������� �� ������ ���� �� ����� � ����� ��� ��E������ ����� �� ���� ���� ���� ����� �� ��� #��� ����� 5������ ���) ����� ��� ��� ������ �� ��� �)���� ��� ������ ��� ��� � ������ �� �� ?� <�� ��� ��� ������ �� 9� 7� = :�� ��� ����� �� � ������ �� ���� ��9 +��8� � ��� 9 +�&��8 ���� ��� ����� �� ��� ������ 3� �� ���������� �� ����

�� � �� ����� ��� �(�(���

3� )�� ���� ���� ����� ���� �� � ���������� � 9 �������� � � ����E����� � 9 �������� '�

�� �� � ��� ���� �� +�� ���8� +�

� ���8�

:�� � � +�� �+�8� �� &+�88 �� � ������ �� �� !���� �� ���� �;���� ��� ����������� �� ��� �������� �� ���� ������

-��� ������� ������� � �E����� � ��� ��������� ������� ���� ��� � ���� �� ��� ����� (��������� �� �� ��� ���� ��� ����������� �� ���� ����� ������ . �� ��� ���� �� ���� ��� ��� ��� ����� ����������� 1���

�� �� � ��� ���� �� +�� ��.8� +�

� ��.8�

Page 212: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

.��� �C (���� �;��� �� ���� ���� � �� � ������ �� .� �+�8 � +�� �� �� �8�� �� � ������ �� .� � &+�8 � +�� �� �� �8 3� )�� ���� �� ���� ������������ ��� ���� �)��� ����� ����� ��� ������� � ��������

.��� �C 2��� �� ���������� �� �� +�� �� �� �8 �� � ������ �� .

� �� ���������� &� �� +�� �� �� �8 �� � ������ �� .� ����� �;��� �� �������� � � �� �+�8 � ��� � � �� � &+�8 � &� (��� �� ���� ������� ����� ������� �)��� ����� ����� ��� ����� ��������

0� �� ������ ��� ����� �� >����� � � �� �� ����� ������ ��� ����� �������� ����� �� �� (�� ������ � ���� �� ��� �����; 9E������ ������� ���� � ������ �� ������� �� ��

� '� �� �� ������ ���� �� �� ���� ���� �� ��; 6 ��

+�� ��.8� +�

� ��.8�

1���C (��� ����� �� ����#� �� 2,/ '��� �& � .�� � �� � +��

� ��.8 � +��� ��.8� �� �� ������

����� � .� � +��

� ��.8� +��� ��.8�

���� � +7M!�8 � +9M!�8� � +��8 � �<� <6�� �7��

0 ��������� �� �� �������� �� ��� ���� �� �� ��� �� ���� ��� ���� ���)��� ���� E ����� ���������� �� �������� E ���

�� � �� � � � � � �

����!���� � �����6=9��<���

(��� ���� ���� �� ��� ���� ��)� ����� ��� �)��� � ���������� �� ���������� ���� +����� ��� ����)��� ����� �������8� ��� ��� ����� ��� �������� ��� �������� ������������ ���� �� �������� (�� ���� ��� ������� � ������ 5���)*� ���� �� =����� ������ ,� % '��I���� ����� ��� � � ���� ��$>:&� ���� ��)�� ��� �)��� ����� �� ����� ���� ��� 5���)*� ���� � ��������

Page 213: Mathematics of the Rubik's cube

����� �������� ��� ���� � �� �� ��� ��� ��!� ��������

���������� ��� ,�������� '�)���

%��� >���� /��������� R����; /���������V!5 +� ? �8 +� 7 98V!: +� 9 ?8 +� < �8A!5 +� � 78 +� ? <8A!: +� 7 98 +9 7 =8�5V +� ? �8 +� � ?8�:V +� ? 98 +� 9 =8A�5 +� � 78 +� = 78A�: +� 9 78 +� < ?8

%��� R����; B��������V!5 +� � � � � � � �8V!: +� � � � � � � �8A!5 +� � � � � � � �8A!: +� � � � � � � �8�5V +� � � � � � � �8�:V +� � � � � � � �8A�5 +� � � � � � � �8A�: +� � � � � � � �8

V!5XV!: +� � � � � � � �8A!5XA!: +� � � � � � � �8

1���C (�� ���������� ��� ��� ������� ����� ����� ��� ������������� E ����������� �� +� � � �8 � ����������� �� +� � � �8

���� )���������� 4��������� �6 �� � � ���' ����

(��� ������� ����� �� ���� � $A:&� ������ ��� ���� ��������� �� ��� �� �5���)*� ����

, ������� � ��� �� � ���� �� ������� ��+�8 � ���������� �� ��� ��������� �+�8 ��� ��������� �� ��� ����� ���E����� , ���� �� ���� � ��� �� � ���� �� � ���������� �� ��� ������ :��

8 �� ���$�1�+� ,� � ��� ��� ���� �� ����� � �

Page 214: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

(��� ���� �� ����� ��� ���� � �� � ���� ���� :��� �� � ��$�1� +�, � � �� ������ � 8 ���� � � 8

:�� � � � �� �� � �� ��� ���� �� =E������ ���� ��������E���� �����

�� � :�� & C 8 � � �� �#� �� �������C ,����� � � 8 ��� ��� ���

����� �� ��� %�� ����� &�+�8 �� ��� ����� � �� � �� �� � ����� ����������� ��������� ���� ��� ����� �������� ���)� �� ��� ��� ����� �� ����� �������� �� ��� ����� �������� ���)� �� ��� %�� ����� (�� �������� & ��� �������� � +�6=8

:�� �� �� ��� ���� �� ���������� �� ����� ���E����� 3� ��� �������� ���� � ���� �� ���� ������ ��� ������ �� ���� = 8 �� � ������ �� ���>������� ������ �� � �

� :�� �+�8 ���� ��� ���������� �� ��� �������� �� ��� ���� ��������� ��

� � 8 3� ����

+&� �8 � +&�� ��8 � +& T �+&�8� � � ��8+/&+�8� �+�88 � +/&+�8� �+�88 � +/&+�8 T �+�8/&+�8� �+�8 � �+�88

� +/&+� � �8� �+� � �88�

0� �� �� ��� �� ����� ���� � ��� ������� �� ��� �������� ������� ����8 � �

� ��� � +&� �8 � � � �� � & � � � 0 ����� ����� 8 �� ��� ������

������ �� � � ��

' ����� ��� , �"�&���/� +&� �8 � � � � �� 2��������.� �� /�!/ ��� � ��

F &� T ���T & � � +�� �8 ;2������� �� �1 �" ���<9

����&C /,5( �C 0 ���� ����� �� ���� ���� �� ���� +&� �8 �� � ���������� +����� & �����#�� ���������� �� ������8 ��������� �� � �� �� ����� � ���� � ��� ���� � � >+�8 � & � /&+�8

>��� �C ,����� � � � � & �� ��������� !��� ��� ����� ���������� ��� ������� ����� � � ����� % ���� �� �� ������ �� ���� ������ ��� ��������� �� ����� % ��� ��������� �� � ��� ����� ������ ������������� � >��� ���� � ���� ���� -;�����C + �� �1� � �,�� �$ � �,8�

�� ���� :�� � � � � ��� T ���T � � ��� � ����� � � �� �� � (��� �� � ���� �� ���

��� 5���)*� ���� �� ��� ���� +&� �8 E � ����� ����� �� �������� ���� ������ ����� ���� ������ �� ����������� ��� ����� �� ���� ���� ��� �� �� !�� ���� � � ��� ����� ��� ����� �K���� �������� �������� +������ ����� ����� � � ��� 8 '��� ����� ����� ������� ��� ���� �� ����� ��� � ����� ���� ������ ����� �� ��� ���� � �� �����

Page 215: Mathematics of the Rubik's cube

����� �������� ��� ���� � �� �� ��� ��� ��!� �������?

B ��� ����� ��� ����� ��� �;����� �� �������� ����� �� ��� ���� +&� �8����� ������� ��� ���������� �� ������ +�����C 0� & � +&�� ���� & 8� &� ��� �� �� � &� T ���T& � � +�� �8� ��� ����� ��� � ���� �� ������ ������ &�� ��� &� ��� ��� ��� ����� ��� #;� ��� ��������� �� ������ ������������ � ������ ��� & (��� ������ � ����� �� �� ������� 8 (���� �� ������������� ������ �� ������� ��� �� �� ����� �� ��� ���� � ����� (��� ��������� �� ��� ���� +�� &8� ���� & �������� ���������� �� ������� �� �� ��

>��� �C ,����� & � /� � � �� ��������� 5����� � �� ������ �� ������E������ +��� ������� � ������ ��� �E� 98

>���� �C 2��� �� ���� �� ������� ����� �� � �E����� ���� ����� ��������� +-;�����C +�� � $ � , � $�� � + � $� � ,�� � $ � , � $� � ,��8 B�� ��� ������ ���� ��� ������� ��� ��� ������� ��� ��������� �� �����E���� �� >��� � (��� �� ���������� ����� ��������� ���������� �� ��� �� �����

>��� �C ,����� & � � ��� ���� ��������� ��� �������� ���������� �������� �� ���� �� �� ��� ��)� � �� �� ���� ���� ��� �� +&� �8 �� +&� �8 �� ���� �� +&� �8 �� � �� �� ����

/,5( �C 0 ���� ����� �� ���� ���� �� �� �� ���� �����#�� ������������ ������

,����� +&� �8 � � � � �� �� � �� �� ����

A�#� ��� �� �� �� � ���� � � � �� �� ��� �������� ����� � �� ���E����� ��� �� ������ ��� ����� ������ ������+�8 � �

0����� ����������C 0� � ���� �� �� �� �� �� �����#�� ���������� ��������

���� � � �C -���� /&+8 ����� � � ��$�1� +�, �����#�� ��� �����E����� �� ������

���� � � �C ,����� ��� ������ ���������� �� ���� ��� ��� �� ���� ��� :�� �� �� �� � � ����� � � � �� ����� ������+�8 � � � � �������+�8 � � (�� /&+8 � /&+�8 T �+�8/&+�8� �� ��� ���� �������� !����������� &+�8 �����#�� ���������� �� ������ �� ��� ������ �������E��� '��� �+�8 ������ �������� ��� ��������� �� /&+�8� /&+�8 ����� �����#����� ���������� �� ������ (�� ��� �� ����� �������� ���������� �� ����������� �����#�� ���������� �� ������

>�������C �� ������� �� ���� +&� �8 � � � ��� ���� �� � �� �� ����

�����#�� ��� ���������� �� ������ �

Page 216: Mathematics of the Rubik's cube

��7 ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

���� 1� �� ����� �������� �6 �� �������.

(�� ������� �� ���� ������ ���� ���)� ��� � , :���� $:�& 4������C :��

� 9 ���� ��� �������� �� ��� ��������� +����� �� ������ ���� ������ �� ����� ������ �� ��� ������;8�

� < ���� ��� � �� �� ��� ��������� +����� �� ������ ���� ��� ����� � � ������ �� ��� ������;8�

� � ��� ��� �� ������� ������ �� ��� �������� +��� ������� ������ �� ���������; �� � < �� 9 8�

� �� ��� ���������� ���� �� 9 �

� .� ��� �������� ���� �� 9 �

� �# ��� ���������� ���� �� <�

� .# ��� �������� ���� �� <

,����� ���� ��� ��������� �� ��� � � H�� ������� � ���� �� �������� ��� ���� �� ���� ����� ���� ���� ��� (�� ������ ��� ���� :+����8� 5 +�� ��8� V +��8� � � +���)8

>�� 9�;��C B������� ���� ����� �� �����; ����� ��� ����� ������C ������� ��� ���� ������ � ��� �������� ���� :��

� � ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ��� ������ ��� ����������

� � ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ���W���� ����������� ��� ���� ������

� � ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ��� ������ ����� �� ������

� ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ���W���� ����������� ��� �� �� ������

� � ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ��� ������ ��� ��������

Page 217: Mathematics of the Rubik's cube

����� �� ��� ��� ������� �� ��� ��� �& ��<

� $ ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ���W���� ����������� ��� �� ������

� * ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ��� ������ ������) ������

� , ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� ���W���� ����������� ��� ���) �����

:�� � �� ��� $�,� �� �� �� * � ���� ��� ������; ���� -��� ���� � � � ����� � ���������� �� < ���� ?+�8 1��� ����

� ��� �� ������� ��� �������� !����������� ��� ��� ����� �� �� �� * � ���K��� ��� � ��

����� ��� ? C � �# � !���� ������� �9

20����� ��� >+�8 � K&2#2/� � �� � ?+�8 � K&2#2/� � �#9

������ 8�������

,����� ��� ��� ����� ���� ��� ������; �� #;� � ����� �� ����� � �� ���� ������� ������� !�� ���� ����� �� � � ������ ������ ��� � ��� ����� ����� � ���� ����� (���� ��� ����� �������� ������� ��� ���� ����� ������ ��� ��� ��� � �� %��) ���� �� ����� ������ ������ ���� � ��� ����*T*� ����� ��� ����� ������ ����)� !�� ��� ���� �� ���� ������� ������� ��)� ��� ������� ������� ��� ��� ���)� ������ +���� �������� �� ��������� � �9 < 8C

� ���)� � � ������C 9� 7� ��� �?� ��� �?

� ���)� ����� ������C �� ��� �<� ��

!�� ���� � � ������ ���� �� � ���� � � � ������

� � *�* �� ��� *T �����* ��� ���� ����� ��� �� ��� � ��� ����� ������� ����� �� ��� *T �����* ��� ���� ����� ��� �� ��� � ��� ������ ��������

� � *�* ����������

(��� ����� � 7E����� �� �*� � �*�C /2+�8 � +2�� 2�� ���� 2�8

Page 218: Mathematics of the Rubik's cube

��= ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

20����� ��� �� 2����� ��� �F�2� �1 ��� $� 2 �" �� ���� �� ��� �.!��� ���� ���*

# /2+#8, ;5�5�5�3�5�3< ;5�5�3�5�3�5<� ;3�5�3�5�5�5<$ ;5�3�5�3�5�5<

� $�� � �� � $ ;3�3�5�5�5�5<

!�� ���� ����� ������ ���� �� � ���� � � � ������

� � *�* �� ��� *T �����* ��� ���� ����� ��� �� ��� � ��� ����� ������� ����� �� ��� *T �����* ��� ���� ����� � ��� ������ ��������

� � *�* �� ��� *T �����* ��� ���� ����� ��� �� ��� � ��� ����� ������� ����� �� ��� ����� ����� �� � ��� � ���� ������� ����� ��� �����; ������� *T �����* ��� ���� ����� � ��� ������ ��������

� � *�* ���������� ���� ����� � 9E����� �� �*�� �*�� � �*�C /&+�8 �+&�� &�� &�� &8

20����� ��� �� 2����� ��� �F�2� �1 ��� $� 2 �" �� ���� �� ��� 2������� ���� ���*

# /&+#8, ;5�5�5�H< ;5�5�H�5<� ;5�H�5�5<$ ;H�5�5�5<

��������� ��� �1 /2+�8 � +2�� 2�� ���� 2�8 2��������.� �� ��� � � �����

2� T 2� T ���T 2� � �+�� �8�

,)���;����C (���� �� � ��������� ������ ��� ��� &�� � &����� ����� ����� ���� ���� ���� ������

����&C (�� ����� ���� ��� ������� ������ ��� �� ��������� ������������� ���� �� ��� ��������� ���� +(������ ��� +�88 ����� �� ����� ������ 5���)*� ���� (�� ���#������ ��"���� ��� ��� ����� ��� ���� �� �������� �� � �;������ �� ���� ����� ������� �� ��� �� ���� �

Page 219: Mathematics of the Rubik's cube

����� �� ��� ��� ������� �� ��� ��� �& ��6

����� ��� C�� �� � � �� "� ���

/2+� � �8 � ?+�8��+/2+�88 T /2+�8�

����&C (�� ����� �� ���������� ��� ���� �� ��� ��������� ���� +:�����668 ����� �� ����� ��� ��� 5���)*� ���� (�� ���#������ ��"���� ������ ����� ��� ���� �� ��� ����� �� � �;������ �

����� ��� C�� �� � � �� "� ���

/&+� � �8 � /&+�8 T /&+�8�

20���� ��3�3� '���� �� � /�9

:�� 8 ���� ��� ���� � ������; ���� ������ �� � � ��� ���E�� �� � � ������ +���� ��� �� ��� ���������� ������ ��� � � ������ ����������� ��� ������; 0��� �� ����� �� ����� ����� ��� �� ������ �8 :��

8� � +�� � �8 � � � �� � � � �#� � �� � � � ��

�� �#� � C 8� �8� 8� ��

+�� � �8 � +��� �� ��8 � +� � ��� T �� ��+�8 T ��8�

' ����� ��� � 8� �� " �� �� � ����� ��� !����9

� ����� � �� ������ ��

8 �� 8� �� �� � +��

� ���#8�

�. ���2� $��"��� 8 �. ��� . ��2� ���.�2� �1 ��� � � ���� �� �.

��� "���� ���.�2�

�� � +�# �� ��8�

� ��� � � 8� .�=��. $#

� �� +?+�8� /&+�8� /2+�88�

� ������� �9

Page 220: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

������ +���� �����

-��� ����� ����� ��� � ����� ������ �� ����� �� !����C

� (���� ����� ������� � ��� ���� ����� �� ���� ��� ����� � ������ ���� ��� �� ����� �����*� ���� �����

� (�� ����� ������ ��������� �� � ����� �� ���� �� ���� ��� ����� ����� ��������� �� ������ �����

� (�� ����� ������ ��������� �� � ����� �� ������ �� �����E��� ����� ��� ������ �� ��� ����� ����� �� � ����� ����� ����

(�� ���� ���� ����� � ����� ����� ���� ��� ����� ������ �� ������ ��������� �� � ����� �����

������ !"� ����� ���������

' ����� ��# � � ������ 2 ��

+�� � �8 � 8� � � ���� �� T �� T ���T �� � �+�� �8�

(�� ��� �� ����� ���� �� �� ���� ����

.# �� ?+ 8� ?+�8� ?+$ 8� ?+,8 �

�� .# �� �� ?+�8�

�� ���D�������

� � +2�� ���� 2�8 � ��� � 2� T ��� T 2� � �+�� �8� � �� /2+�8� ��

���D������ +�� � ��� �� ����8

Page 221: Mathematics of the Rubik's cube

����� � �� ��� ����� ���

.���*� ��� ����� �� ��� #��� ����C 3� �� ����� +�� � �? �� 8 ��� � ���� �� ���� 7 �� ���� ��� � �� � ��� ���� ���� ��� �� �� �� ���� � ����� ����� � � �� �� ��� �� � � �� �� � ��� �� � � �� � +���� � � �� �� � ����� ��� ���� ����� �� �� ����� ���� ����� � �� ����� ���� 8 (�� ����$ �$��& � � $�� � �� � $ �� ��� ����������)���� ������ ����������+�� �� �8 �� ��� � �� � ��� � ���� +(��� ���� ��� �� �K��� �� ��������� ��� H�� ���� � ��� � ���� ����� �� ��� � ��� ��� �� ���� �� ������ ������ ���� ��� ����������� �� 8 0 ����������� +�� �� �8 ��� �������� �� � ������ �� ��� �������� � ?+ 8� ?+�8� ?+$8� ?+,8 1�� ���)�� � � 9� ?� 7 � ��� � � � ���� � ���� ����� ��� � � � �� � � �� ��� �� ���� � � � �� � (�� ���� � � $ � $��& � ��� �� ��� �E�����+�� �� �8 0� ��� �� �K��� �� ������ �� ����� � �� �� :���� �7�� ���������������� ������ .�

�� .# �(�� ���� ���� ������� ���������� ���� ��� #��� ���� ����� ����� .���*� ��� ����� �� ��� ���� ����C (�� ���� � � $ � $��& ��� ��� �������

�K��� � ��� ���������C 2+�8 � +�� �� �� �� �� �8 (�� ����

+2�� ���� 2�8 � ��� � 2� T ��� T 2� � �+�� �8 �� ��

�� � ������ ����� ���� �� (�� ? ������� ����� � ��� ����� ��� ��� ������ ���2 ��� ��� ������ 0� ������� ���� ���� � ��� ���� ��� ��� � ���������� ��� ��� � �� /2+�8 �� ���D������ �

(�� ������� ��6 ����� �� ���� �����

���� � ���6��� ��������

(��� ������ ����� ������ $2(& � � ������ �������� �� ��� ������;� ����� � 5���)*� ����� � ��� �� ���; B���� ��@@�� ����� ��� ����@� �$2(& +��� ���� $�&� ������� �� $1'(&� ������� �68

4������C :��

� � +���� � ��� ��8 ���� ��� ���������� ��@@�� ���� ������ ����� ����� ����� �� ��� ������; +���� � ��� 5���)*� ����� �� ���;8�

� 9 +���� � 9�� 9�8 ���� ��� ��� �� �����; ������ �� ��� ������; +���� ���� 5���)*� ����� �� ���;8�

� < +���� � <�� <�8 ���� ��� ��� �� � � ������ �� ��� ������; +���� ���� 5���)*� ����� �� ���;8�

Page 222: Mathematics of the Rubik's cube

��� ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

� + +���� � +�� +�8 ���� ��� ��� �� ������ �� ��� ������� ������ �� ���������; +���� � ��� 5���)*� ����� �� ���;8

������ #����� �������

:�� �� 9� <� + +���� 8 ���� ������ � � < � 9 � + +���� 8� �� ��� <�� 9�� +�+���� 8� �� ��� <�� 9�� +� +���� 8

����� ��� � 2�� �� ��� ��� 9 � ;����9� <�+ <9

0� � �� �� ���� � � ���� ���� � ���� � ��� ���� 9 � <� � + � �� ����� �� �

� �� � ������ �� ��� ��������� ���� �� �� 9 �

� �� � ������ �� ��� ��������� ���� �# �� <� ��

� �� � ������ �� ��� ��������� ���� �� �� +

(���� ����� �� � �# � � �� ��� �K����� �� �� ���� ���� ����� ��������� �� �� ��� �� ��� �� �����

� �� ��� ��� ������ �� �� ��������� �� ��

� �# ��� ��� ������ �� �# ��������� �� ��

� �� ��� ��� ������ �� �� ��������� �� �

3��� �� ��� )���� �� �� S 3��� �� ��� ��� �S (� ����� ���� "������+��������� �� ����� �� ����� ���� ������� "������ ��� �� ������� �� ��8 ��������� � ������ ��� ���� �� ��� ��������� ����

5����� ��� �������� ���� .� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� ������������� # +� ��� ���� �� -;����� =� �����8

������ 3���� ������

>����� ��� �������� # C � �� � �#

� �� +�� � �#8

0� �� ���� �� ����) ���� ���� �� � ������������

Page 223: Mathematics of the Rubik's cube

����� � �� ��� ����� ���

' ����� ��� ��� !� �� #+�8 �1 �� # � ������ 2 ��

�.� � .# � ��� ��� ������;� �� ���;�

+� �8 � �� � �# � � � ���� ��� �� ���� �� ��� 5���)�� �����

(��� �� � ����"���� �� � ������ ����� ����� � ��� ���� �� ��� 5���)*����� (� ��� ���� ���� ������� ����� �� ���) �� � �;�����

20����� ��� �� � � ��9O���� ��* �� #�� =�. ��� �1 ��� ��$ DA� 2�$� "� 2� L �� � �!/�

�.!� ��$2�$� ����� /�� �! ��� ���� �1 ��� ��MM/� � �2�� �����.J�1 ��� ���� ��� !� �1 �#� "��/. ��� �� 2��� � � �/���� +� �8 " ��

� � ;� �2� �� �! � �.!� ��/# .��� ��� �F�2� ��� ���� 2��< �. "���� � � H&2#2/�9 6�� � � � ���� �. H&2#2/� � �..9 �� � 2����. 2�� ���������� "� 2� �#� ��� � � �� � ���� $��� ���� �� $��� �..9 �����1���� �����"�� � ��* � �!/� �.!� L � � ���� $/�9

1�;�� ���� ���� �������C ���

; � ���+�� #8 � �

���� ��� )���� �� ��� ��� �� # ������� ����� (��� �� � ����� ���E ���� �� 2

20����� ��� �� ��� 2�� �1 ��� ��$ DA� 2�$�� �� � ��$!���� ; � ��� ��� �1���� "� 2� # ���� ��� ; 9�9� L � �� �����< ��$2�$� $�� .��� ��� �"� � " �� ��� ����� ��$2�$�9 C�� �:�/�� ��� ���

+ �� �1� � �,�� � $ � �,8��

"� 2� �" ��� ��� �1� 2����� 2/�2D" �� �. ��� $/. 2����� 2������2/�2D" ���$�/��!� �� ;9

' ����� ��� ;(�/.� ������ G(�I< � � �� &. ��2� ���.�2� �1 ; " ���� #+�89

(��� �� � ����"���� �� � ������ ����� ����� � ��� ���� �� ��� 5���)*����� 0 ��� ���� �� ��� � � � 5���)*� ����� ���� ���� ������ ��� ��� �������� �� '�� ���� $2(& �� $1'(&� ������� �6

Page 224: Mathematics of the Rubik's cube

��9 ����� ��� ���� �! #+� #� ����� ����

Page 225: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��

���������� ��*���� �% ���

��*� ���

�$:�������@ � -�����& �� � ��� ����� ��� ��� ����� :�������@ ������ ���� ����� ��� �L���� ����������� -�������� ���� ����� ��� � �L���� ������������ ��� ����� �����E�������� 0 ���) ���� ��� ������� �� ����������� �� � ��� ����� -����� �

� 2��. 6�//�

�)� �C ��� �-����,��� 3���

0� �� �����)���� ���� ������� ���������� ����� ��� �� ����� ������ 5���)*� ���� ����� � ���� �� �� ��� �� � ��� ���� �� ��� ���� ���� !�� �;������ �� ���� ��� � � ������� ������� ��� �� ���� ��� ���� �� "�������� @ � ����� ����� %��%� ���� ���� ��� 5���)*� ���� ����

(�� ��� ���� ������ ������� � ��� �����;� �� � ����� ��� ����E�� ��� 2�*� �� ������ ��� � �������� B� �� ��� ����� ����� � ��������� �� ��� ���� ����� � ��� #��� ������ �� ���� ������� (�� ���������� ������ ��� ���� ������ ����

��?

Page 226: Mathematics of the Rubik's cube

��7����� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

���� 2� �&���� ��'�����

:�� � ���� ��� ��� ���� �� ��� 5���)*� ���� ���� ������ �� ����@���� �� ��� ����� �����C

� C�� $��1�� �� ��� + �� ,� �

����� ��� �"����� ���� 3� ����� ������ ����� ���� ��� ���� �� ���� ���� ������ +�� ��� ���� �� � ����"���� �� ���� � ������*� ������� $5&� �� ?� �� ������� ���� � �� � �������� ���� 3� ����� �� �� ���� ���� 8 0 ����������� �� ���� ������ ��� ��� ���� �������� �� � ��� ��� ���� ���������� ��� ��� �� ������� ��� ��������� �� ��� 5���)*� ���� ����

(�� ���� � ���� � ��� ��� �� � �� � ��� ��� �� �������� �� ��� ���� (���� �� � ������ �� ��������� �� ��� � �� +���� � ������8 ������� �� ����� ���� � �E� ���� ���� ���� ������ �� � ��������� ��� �.!� ;����9� 2�����<�� ���� ���

(�� ����� ( �� � � ��� � �� < �� ��� ���� ��� �;����� � ������C ������� ����� �������� �� ��� �� �� ���� <�� ��� ���� ����� �������� �� ������� ���� <� � ��� ���� ����� �������� �� ��� �� ���� <� 0 �������������� ���� � ���� +�� ����������8 � <�� <� � � <� (�� ����� = ��� � ��� ��� �� �������� 9 ��� �;����� � ������C 9� � ���� �*�� ���� ��*�9� � ���� �*�� ���� ��* (�������� ��� ���� � ���� +�� ����������8 � 9�� 9� (���� ������ ���� ��������� �������������C

( C � �# �(#� C � �#��(#� C � �#� �(#� C � �#� �= C � �� �=� C � ����=� C � ����

��������� ��� � � (+�8� =+�89

(�� ����� �� ���� �� ���� �� � �;������ +���C ��� ��� ���� ��������������� �� 5���)*� ���� ������8

����� ��� �1 � � � ����

���+(#�+�88���+(#� +�88���+(#� +�88 � ��

Page 227: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� � ���� ��!��� ��<

��������/#� 1 +��� ��� ��8 � �#� � �#� � �#� ���� ����� � � � � ��2� ����� � (#�+�8� �� � (#� +�8� �� � (#� +�8 1 �. ��/# 1 ���+��8���+��8���+��8 ��9

,� � ����"����� �� # ����

(+�8 � ���+���� ���� ��� C (#�+�8� (#� +�8� (#� +�8 !�8�� +� � � � �8!���

0 ����������� �(+�8� � +9M8�!� � � �� 0� ������ �� ������� =+�8 3� ���� ���� ���� �� 8 ��� ���E

����� ���������� 3� ��� ����� ��� �������� �� ��� ���� �� �� ���� = � ���� ���� ���� 8 �� �� �� �� �� �� * �� ����� � � +�� �8+�� 98� � � +�� =8+9� ?8� � �+?� <8+7� =8� * � +�� 78+�� <8� � � +�� ?8+�� 78� � � +9� <8+�� =8 (�� ����� �� 8� ��� ��� �� �������� �� ��� ���� ��� ��� ������ +�� �� 7� = � �� 9� ?� <� ��� ������ �����8� ����� �� ���� ��� ���������� �� 9� � 9� (������� �������������

=� C 8 ���� =� C 8 ��� �

��� �� ����� �� ��� ���� ����� ����� 0����� �� ��� 2,/ $2��& ��������� ���� ����� 8 ,����� �� 2,/� ���� ���� ��� �8� � 67������� � �� ��D� ��� ������� +�� ��� ���� 2,/ ���� ���� ���� ��� ��� �������� �� ���� * ��� ��D� ���8C

��@� �������������� ��� �+?�<8+7�=8�� �X�+��7�=8+9�?�<8� X�X�X��+��98+?�<8�� X�X��+��9�<�?8+��78� �X�X�X��+���8+7�=8�� �X�X��+����7�=8+9�<8� �X�+���8+��98+?�<8+7�=8�� �XX��+����7�=8+��9�?�<87 �X�XX��+���8+��?8+9�<8+7�=8

(�� �������@�� � 8 �� �� �����; & � 9 � ������ 8�� �� � ��� ���� ������ �9 ���������� �� ��� ��������� ���� �

Page 228: Mathematics of the Rubik's cube

��=����� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

!����������� 8 ��� � ����� ��� ���� 3 �� ���� 9= +� ��; �8������ 3 �� � ��������� ������ �� �� �� �

� � ���� �� ����� � 3

(��� �� ��� �� ����� ��� ����� 8 (�� ���� �� � �� ��������� � � �(+�8� � �8� � 67 � +9M8�!� � ����� ��

������ �����

���� �������?� ��4 �(� 6��� �6 �� ��'

(�� �������� � ���� ������ ��� ���������� �� �� �� A� ���� +��� ������ ����� ����� � A '0 ������*� $'�&8 (��� ������ �� ���������� ������ ���� �� ��"����� ���� ������������ ���) ��� ���� ��� ����� ��� ����������� ��������

(��� ������ �� ����� �� �������� � ��� ���E���� ���� ������ ����� ��� ����� ������ � +�$ � A '� ������ $'�& ��� ���� ����

� +� $ ��� �� � ����+��8�

����� ����+��8 �� � ���� �� ���� ��� ����� �� �#� ����� .��� �������� ���� ��� ����� �� ��� 5���)*� ���� ���� � ��� � �� � ����+��8������ ���� ��� ����� � ��� ������ 0 ���� �������� �� ����� � ��� ������ ��� ������

������ 9�� )����

0 ���� ���������� �� ������� #��� � ���������� #��� #���

' � ������ ��6����

, #�� �� � ��� + ���� � ����� ��� T � � ������������� ��� � ���������� ��� � ���� �� ���������� ������� �� ����� ��� ��� #�� �� ���� ������ � %��� ���������� �� ���� ++�T� �8 � #�� ��

+!�8 ++�T8 �� � ������ ����� ���� � ������ ������ ���� � +���������� ���� �� ��� #���8�

+!�8 ��� ��� � �� - � + � +T �8- � - T �- +������������ ����8�

+!�8 ++ � �� �8 �� � ������ ����� ���� � ������ ������ ���� �+���� �������������� ���� �� ��� #���8

Page 229: Mathematics of the Rubik's cube

����� ���+����8 ��� �"� ����� �� ��� ��!� ��6

0� ������ �� �� ���� ���� �� + �� � #��� #�� ��� �� ��� �� ++ ��� �8� ������ ����� �� �� �������� � ������ ����

5�6���� ��� �� +�� +� $� "� =�/.�9 , 1��2� �� � C +� +� � 2//�. =�/. ������ � 1

;< "��� � � ����� 2��. �� ��� .. � �� !���� ++��T8� 2// �� � ����� 2� ��� ! �� � # �/.� � ������ � �1 !����� � C ++��T8 ++��T8�

;$< "��� � � ����� 2��. �� ��� �/� �/ 2� �� !���� ++� � �� �8� 2// �� ������ 2� �� � ! �� � # �/.� � ������ � �1 !����� � C ++� � �� �8 ++� � �� �89

/ ��������� �& �

5����� ���� �� � ���� �� ����� ����� � +� � � � ��� ��8 �� � �"���E����� ������� :�� � � � �� � ����� � ��� � ���� ��� �"������������� �� � ���� ������� �� ���� �"�������� ������� :�� � ���� ���#��� #�� ���� � �������� �� � ��� �� � ����

� � �� �� ���� �� ������ ����� � ������������� ��� �������� �� �

20����� ��� ���� � � ?� �� " // .����� ��� =� �� =�/. " �� 4 �/�������� �� �� � ����

�� � �� �� �� �� 9�" �� .. � �� �. �/� �/ 2� �� $� �! ���1���. �. 49

0� �� � ����� ���� ���� �� + �� �� #��� #�� ��� ����� �� � ���������� � ���� ���� � � � ��� ��� � + (��� ����� ����� �� ����� ����������������� �� + (�� ������� �;����� �� � #��� #�� ���� ��������������� �� ��� #��� #�� ���� � �������� � 0� �� �� ��� �� ��� ���� ������� #��� #�� + �� �������������� � ���� �� � #��� �������� ����������� ���� � +-�� �� ���*�� ���� ��� � ������� ����� ���� � � �#�������� �� ��� )�� ���� � ����� ������ ������ �� ��� ���*�� �� ��� �� ����� 8 (�� ������ �� ��� ������ ����� + �� ����� ��� � ��� �� + ���� � ����� � � $+ C � &� � + �� ����� � #�� �;����� �� � �� � ��� � 0� ��� ����� ���� ���� ��� #;� �� � ����� ��� �� �� ������������ ��� �� ����#��

1�;�� �� ����� ���� ��� �� �������� � � ���� ������ ��� ���� �;������

Page 230: Mathematics of the Rubik's cube

�������� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

/ ��������� �& 6��� 6����

!����� ���� ����� �����)� '��� + �� � #��� �������� ������ ����������� � � �� ��� � ������ ����� ����� ����� �� ����� ��

�� � �� ��� ���� ���

(��� + ��� �� � ���� ��� ��������� �� ������� �� ��� ����

��� T ������� � � � �'��� + �� � #��� ����� ��� ���� � � � ����� �� ���� ��������� �������� ��������

���� ������

�������

(���� ��� ��� � � � ����� �� ���� ������� �������� ���� ����

���� ���

���

��� ���

(���� ������� ������� ��� �� �������� � ���� ������� �� + 3������ ������ + ����������� �������� ��� �� �;�������� ������� ������������

20����� ��# �� � � ?� �� �� � �� �� �� �� 99 ��� ��� �1 �@���� � ! ���$#

� � � �� � �� �� 9��� ��� 2�/�� �� � �� ��� �@���� � �� � =�/.9 �� �� �

"� $� 1��/ �#$�/

1�� ��� �/���� "� 2� �� �=�� ��� � �9 �� � � ���� �1 ��� ��/#�� /� � � � �9

��� ��2��� ��2� + ���� �� " �� $� � �� � �� �� � H&. ��� ��/ ����

��9 �"� �/����� ��� T ��� � � T �"

� �. ���� T ���� � �� T ��"

� ���/� �/ �. $# ��� ��/�

+� T ��

�8 � +�� T ���

�8 � ��� T ���� T +��� T ���8�

��

�� � .�!��� H =�/. �:���� �� � �2�

���� � �� ���� � �� ���� � �� ���� � �� ���� � �� ���� � ��

�.��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��

Page 231: Mathematics of the Rubik's cube

����� ���+����8 ��� �"� ����� �� ��� ��!� ���

(�� ���������� ��� � ��� ����� �;����� ��� �� �������@� ���� ������� �� �������C

� /��) � ������ � � � ����� �� �� ��� �"���� �� ������ ������

� :�� �� � � � �� �"� �� � ������ ������ ��� ���� ������ �����

�����#�� ��� � �

� ,� � ���� ��� + � �� T ��� � � � � � (� �#� + �� � #��� ��� T�� ������������ ������ �� � � ��� � �� �#� ��

+� T �"�8 � +�� T ��

"�8 � ��� T���� T +��� T ���8

"��

, #��� #�� + ��������� � ���� ��� �� ����� � "������� �;����� ���

%��� �������� ��� � � � �� � ��� ��

� /��) � ������ � � � ����� �� �� ��� ��� ����� �� ������ ������

� :�� �� � �� ��� �� � ��.� �� � ������ ������ ��� ���� ������ ����������#�� ��� � �� � +�� � � �8 ��� �� � ����� ��� � � �� ���� �

� ,� � ���� ��� + � ��� T ��� T ��� � � � � (� �#� + �� �#��� ��� T �� ������������ ������ �� � � ��� � �� �#� ���;��� � �������� +��� T ���T ���8 � +���� T ���T ����8

, #��� #�� + ��������� � ���� ��� �� ����� � � ��� � �;����� ��

� 0� ��� �� ������� 0� ���� ��� ���� �� ��� #��� ���� �� ����������� �� ���������� (��������� �� #��� #�� ���� �� ���������� �� ��������� �����

5�6���� ��� ��� ���E�2� �� �/��

��+� 8 � �� �� ���� �� ��

� .�=��. �� $� ��� ��� �1 / ��� �����!� ��� �� ! � � ��� ����� � �/�� �� �

���2 � �! �2� ��$�� ; �2/�. �! < " �� ��� �/��� �1 ��� 2��������. �!/ ��9

Page 232: Mathematics of the Rubik's cube

�������� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

������ �:���� ����.�������

0� � *� �� � � � ��� ��� ������ +�� ��� �"��� �� @���8 ��� �� �#� ���%����� ������������ � ��C

� C ��+� 8 ��+� 8

�� ���/����

' ����� ��� � � $ E�2� �� 1 �. ��/# 1 ��

� *� �

��� �9

������ ����� ����� �� �� ��� �������

5�6���� ��� ��=��

��+����8 � � *� �

�� � *� �� � � ��� �� *� �� ��

�� � ��� � !���� ��.�� ��. ��# �� : �/� �/ 2� �� �.� 1����������2�� �� ��� ��� ��+��8 $# ��� �1 +�$ �� ����1��� ��� ���� .�=� �! 1��2� �� �

*� �

�C ��+��8 �

�+��8

����� ��� ;< ��� 2����� �1 ��+��� 8 ; 9�9� ��� ��$!���� �1 // �/�����"� 2� 2���� " �� ����# �/���� � ��+��� 8< � ! ��� $#

7+��+��� 88 � � ��

�� � � � �� ��

;$< �� � ��$!���� � ���/ � ��+��� 89;2< ����� � � ������ �

7+��+��� 88 �� �� �

����&C +�8 '���

�� �� �

�� *� �

��

�� �� �

�� *� �

Page 233: Mathematics of the Rubik's cube

����� ���+����8 ��� �"� ����� �� ��� ��!� ���

�� �� ������ ����

� ��

�� � � � �� � � 7+��+��� 88�

(� ���� ����

7+��+��� 88 � � ��

�� � � � �� ��

������ ���� �� �� &

�� *� �

��

�� �� &

�� *� �

��� ��� � *� �� � (��� ������� *� � �� ��� ��� *� � (��� �� ���������� ������ � � � � (��� � ��� ������ �� � �&� ��� ��� � (��� ������� � � & (��������� ��� ����� �������

(�� ����� �� ����� +�8 � +�8 ��� ���� �� � �;������ ��� ��� ����� �

5�6���� ��� ��� @��� ��� !����� .�����. ���+��� 8 � ��+��� 8!7+��+��� 88� � 2//�. ��� ���E�2� �� / ��� !����9 ;�� � � !���� � �2� ��� 2����� � ���/ ��$!���� $# ��� /� $���9<

����� ��� �� � !���� ���+��� 8 2�� �� ��� ��� ��+� 8 $# ��� �1 ���/ ��� 1�2� ��/ ����1��� ���9

(����* �� �� 12�� ��� 2� �� �1 ���+��� 8 �� ��� ��� ��+� 8 � �&���� � ��9�� � ��� ��. �� ����� $�� "� /�1� � �� ��� ��������. ��.�� �� /��D � �� �G�I ;��� ������ �9��<9

����&C !����� �� ���� ���� ��� ��+��� 8 ���� � ��� ��� ��+� 8 �� ������ ��� ����� ��������� ������������� 0 ����� ����� ��

(

� *� �

�+8 �

T *

�T �

���

+�8 (

�� �� �

�+8 � � ��� ��� +� � � ��� ����� ��������� ������������

(

�� �� �

��� ��� ������ ���8�

Page 234: Mathematics of the Rubik's cube

��9����� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

+�8 (+.8 � (+,8 � (+.,8� ��� ��� .�, � ��+��� 8

3� ����� +�8 �� ��� ����� � ����) +�8 :�� . �

� *� �

�� , ��

� �� &

� (��

., �

� � T *� �T *&�� T �� ��T �&

��

��

(+.,8+8 �+ � T *�8T �T *&

+�� T ��8T ��T �&�

B ��� ����� ��� (+.8+(+,8+88 �� �"��� ��

(+.8+�T �

�T &8 �

+ �������

8 T *

�+ �������

8 T ��

'�������� ����� �� ��� ���� ��� ���� ��� ������� �"������ ��� �"��� (�������#�� +�8

(��������� ��+��� 8 ���� � ��� ��� ��+� 8

:�� 7 � 7+��+��� 88 '��� (

� *� �

�� (

�� �*�� ��

�� ��� ��� �E

@��� �� �� ������� ���� �� ��� �#� � ����� �� ���+��� 8 � ��� �����+� 8 �� (+. � 78 � (+.8� ��� ��� . � ��+��� 8

����& �& � � � �����C :�� ( �� �� ����� � ��� � �� �� � ��� ���������� ��� �������

+�8C '��� ��+��� 8 ���� � ��� ��� ��+� 8� �� ���� � � (+..��8 �(+.8(+.��8� �� (+.8 �� ��������� (��� ������� ���� � �� � ��D�����

+�8C 3� ����� ��� ������������� '������ ���� ��

� *� �

�� � �� �

������ � ����� �� ���� +��� �� ��;� ���)� ��� �;����� $O1&8� ��� ��� ��������� ���� �����; ��� ������� ����� (��� ������� ���� ����� �� � � � � ���� ���� ������ + � *8 � � � +�� �8 �� +�� �8 � � � + � *8 0 ������ ����� ���"������ � +8 � ���/

���� �� � ������ ������ �� � �� ���� �� ���D������ (��� ������ ���� � �� �� � ��D������ ����� ����#�� ��� �������������

Page 235: Mathematics of the Rubik's cube

����� ���+����8 ��� �"� ����� �� ��� ��!� ��?

������ !"� �� ������"��

:�� � ���� ��� 5���)*� ���� ���� :�� 8 �� ��� ��� ���� ������ ��+ � $ C

8 �� +�$ � �

20���� ��3�3� ���" ��� !���� 8 2�� �� ��� ��� �1 ���� 2�� $��� ;� �����$ DA� 2�$� !����<9

3� ������� ��� �� ����� ��� ��; �������� � ��� ���� � ������ ������� ��� �����

���� � ��� ���� ���� *��� *���

���� ��� ������� � ��� ���D������ ����

��+��8 � �� �� �� �� 9�

� � ������ ��� %��� ���������� �� ���� ���� ����� ��� 7 �������� ����� ����������� �� ��+��8 � ���� � ��� ���� +�8� +�8 �� ��� ������� ������� �������

' ����� ��� ����� �� � �� *� *�� �� ��� �� �� � �� ;! ��� �:�/ 2 �/# $�&/�"< ��2� ���

;< ��� 2� �� �1 + ;��� ���/ ���� �� �1 ��� 1���� 12�< �� ����� ���� 2�� � ��� �� � ��� 2� �� �1 ��� / ��� 1�2� ��/ ����1��� ��

�� +8 � T *�T �

;$< ��� 2� �� �1 $ ;��� ���/ ���� �� �1 ��� �� 12�< �� ����� ���� 2�� ���� �� � ��� 2� �� �1 ��� / ��� 1�2� ��/ ����1��� ��

��+8 � �T *���T ��

0 ����� ����� ��� ����� ����� + � $ ��� �� �� ��� �� ����� ��������������������� ���� � #��� #��M

' ����� ��� ���+����8 �� �� � �� �9

(����* �� ���+����8 � ������ 2 �� �� ;�� � � ��� �1 �:��2 �� �9H4 � G�I<9

3� ����� ����� ����� �����

Page 236: Mathematics of the Rubik's cube

��7����� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

������ !"� ������

:���� ��� �� � ���� �������� �� +��� !� �� �8

!� ��� �� �C

:��

�� +8 �� �

T �� ��+8 � �T ��

(�� ���

( C + �� �� � $ �� +� �

�;��� �� � ���D������ ������������ �� �����

( C � +�$ � � �� � �� � � ���+����8�

20���� ��3�3� ��� 1# ��� =��� ������ $���9

������ 3���. �. �"� ����� �"�����

:�� � *� �

��

� ���+���� 8

Page 237: Mathematics of the Rubik's cube

����� ���+����8 ��� �"� ����� �� ��� ��!� ��<

���� ��� ��� � �� � *� �

�� ��+���� 8

��� ��� ������ ��� ��+����8 ���+����8� � �� ��� � �

'���

��� �

�� ��� �

��

�� ���� �� ��� �

��

�� �� � �� � �'���

�� � ��� �

� �� ��� ��

��

�� ������� ���� �� �� �

��

�� �� � �� � �

>�D� ��� ���� �����; �� � �� � �� # ������ ��� �

��

�� �� � �� � �

0� �� )�� ���� ��+����8 �� ������ �� ��������� ����������� +���$5&8 (���������

���+����8 �� �� � �� �� ���+����8�

0� �� ���� )�� +��� $5&8 ����

����+����8� � 7� � ����+����8� � ����

0� ������ �� ���� ���� ����� �� � ������ �� � �� � �� � ����� ����� ���� �� ���+����8 3� ����� ���� ���� � ������ �� �� 1��� ������+�� 8 ���� � �� ��� ���

�+��� 8� � �� � � ��� ���� � ������ �� ���+����8 ���� ���� �������� � '��� ��� � � +��?8 �� �� � �"���� �� ?� ����� �� � ������ �� �� ����� �����#�� � � �� (��� �� ��� �� ���� �� ���+����8 �

20���� ��3�3� ,� � ��/ 2� �� �1 ������ HK7� ��� ��� �:�/� � ��2&� �� 49�9H �� ���" ��� ����� �: ��� � �$�.. �! 1�� ' ���+����8 �1 ����#���# !���� �1 ��� ��:!�� ��� ���+����89

Page 238: Mathematics of the Rubik's cube

��=����� ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

���� 2� ����� ������

A�#� � ����� ���� �� ��� ���� �� �� � ���� �� ��� ���� # � 6 ��� �����#�6 � � ��$�1� +�, (�� ��� ���� �� ��� 5���)*� ���� ���� ���E��� �� ��� ����� ����� ���� �� ����� ��� ����� ����

(�� ����� ����� ������� ��� ��� 9 �� �������� �� ��� ���� � �����E���� ������ � ��� ���� �� �� (��� �� ����� ��� �����; ����� ���� (������� ����� ������� ��� ��� < �� � �� �� ��� ���� � ��������� ������ ���� ���� �� �# (��� �� ����� ��� � � ����� ����

,�� ��� ����� � ��� ������� ����� ���� �� ��� �� 0 �� ������ ��� ���;���� ��� ��� ��� ����

5���) �������� � � ����� ���� �����; ����� ������������� .�

�� ����+��8 �� � ��

���� .�� ����+��8�������� .�� ����+��8

�������� .� .�

��������� .� .��

������ .� ���

0 ����� ��� ��� ���� �� ��� ��������� � � ����� ���� ������ ��� ������ �� ��� ����� ����� �� ���� +������� ��� ����� ������8 �������� �����

���)���C +! A���8 3��) ��� ��� ���� ��� ����� ����� �� ��� �5�E����@�� 9E�������� �� ���� ��������

(��� �� ��� )�� ��� ��� 9E�������� 5���)*� ��������� 0 ��� 9E�������� ����� �� �� ���� �#� ��� ���� ����� ���� ���� ��� ����� ����� 9E�������� 5���)*� ��������� ���� ������� ��� ��� + �� �E������������� 3� ���� ��� ������� �������C

5���) �������� � � ����� ���� �����; ����� ���� ���� ����� ����9E�������� ���� .# .� .�

���)���C ,�� �� �� ��� ���� ��� ����� ����� �� ��� �5�����@���E�������� ,�������� �������� ������S

0� ������� ���� ��� �����; ����� ���� �� ��� �� ���� ������� ���� ���� ������

Page 239: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� ���� ���� ��6

������ ��� ���! �� ������ �"� ����

:�� � ���� ��� �����; ����� ���� �� ��� 5���)*� ����

' ����� ��� � �� ����+��89

(�� #��� ����� �� ���� �� �� ��������M

6��� ����&C 2�� $2��& ���� ���� � �� � ������ ���� �� ���� �7= ����� ������#����� �� ������ ����� +��� ���� ������� -;������ 6 �7 � $5&8� ����� �� ���������� �� ����+��8 �

(�� ���� ����� �� ���� $>A&

����� ����&C ����+��8 �� �� ������ �� ��� ����� ��������C

�� �

�� ��� �

�� �� �

�� �� �

�� �� �

�� �� �

��

3� ���� ����� ��� �������� �� ��� ���� � ��� ������� ����C +��� !� �� �8

!� ��� �� �C :����� ��� ���� �� ��� ���D������ ��� � �+��8

V�� ���� ������ � �� �� ���� ����

Page 240: Mathematics of the Rubik's cube

�9������ ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

� ��� ��� � �� ��� ���� �� � +$1��8� ���� ������� ��� �������� ����� ���C + � �8+�� 78+�� �8+9� ?8� (�� ���� ���������� �� ��� �� ��������� �������� +�� �8!+T �8 ���� � � �+��8

� �� � $ �� ���� �� ��� ����������C +�� �� �8+�� ?� 98� ����� �� ����� +�T �8!+�T �8 ���� �� � �+��8

� �� � ,$���,�� ���� �� ��� ���������� +�� �� 98+�� 7� ?8� ����� �� ��� �� +�T �8!+�T �8 ���� � � �+��8

4�� ����� ����� ���� �� ��� ������� � ����� %I����� �������������+ � *� �� �8 ��� ������ � �����; ����� ���� �������� �� ��� �������� ������+��8 1�� �� ���� �#� � ������������ � C � ����+��8� �������� �+��8 � ��� �+��8 � ��� �+��8 � �� 3� ��� �� ���� ���� ��� " �� ������������

(� � ���� �� ���� #��� ���� ���� �� �� ���D������ :�� � �� � �����; �����+��8� ����� �� �� ������ �� � ������ �� �������� ��� ��� �� +������+��8 � ��� �+��8 � ��� �+��8 � ��8 1�� ��)� � �� ���� ������ ������+��8 � �� �� ���)� �� �� � ������ �� ��� ��������� ��� ��� �����*�� ���

� �

�����

� (��� �

'��� �� ���� � ������������� �� �� ����� �� �� � ������ �� ��� ��� �� ����� �������� �� � , �� �� �� ������� �� �� � � �+

������

(���

8 (��������� �� ���D������

(� ���� ���� � �� �� �� �� �� �� �� )�� ���� ����+��8 ��� �����7= $5&� � ���� ��� ���� �� ��� ����� ���� �� ���� �7= +(��� ���� �������� �� �������� 8 3� ���� ����� �� ���������� ���� � �� �� �� ��

1�� �� ������ ���� �� � �� ��� ������� �� �� ���� ���� �+��8 � �+��8�� �� �� �� �"��� �� �� �����+��8� � ��+�8� 3� �� �������� �� ����� � � ��+�8� � ��+� � ��8� ������� �+��8 � �+��8 1�� �� �� ��� ������+� � ��8� � � � �� � ��� ������� �� )�� ���� " �� ���D������

'��� �� ���� ��)� �� ��� �� �� �� )�� �� � ��� � ���� ����� ������������� ������� �����+��8� � ��� (��� �� � ���������� ������� ��)�� �����+��8� � ��� (�������� � �� �D������

1�� ���� �� ���� ���� ���� � �� ���� ���D������ � �D������� �� ����D������ � � ����������� �

Page 241: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� ���� ���� �9�

(�� ����� ����� �� ��� ������� ����� �� �;�������� ���� ����� �;���� ������� �� ��� �������� 9 �� ��� ���� �� ��� ������� �� ��� ���D������ ���

��+�8 � � �� �� �� �� 9� ?� 7�

���� ��� �������� ���� ����� �� � ���� � C 9 9 � � �� � ��� �� ����� ��� %I����� ������������ � C ��+�8 �

�+�8 � ����+��8 ������� ��� ���� �� %I����� ������������� � ����+��8 ���� �E�����������

� ��� ���D������ ��� ��+�8 +��� $5&� (������ 6 9?8� �� ������� ���� �� ������� �������

.�������% ��# � 2�� �&���� � ��/# �� 9 9 �� ����� "��.�� 1�� �# ��.���.� �� +&�� &�8� +&��� &�8 �1 . �� �2� ���� 2�� ����� � � �/���� � � � ���. �!&� �� &��� 1�� � � �� �9

������ ;�� � �6����� �� ������ �"� ������

3� ����� ��� ��� ������ �� ���� ������ �� � -;������ E �������� ���� �� ����D��� E ��� ��� �����

20���� ��3�3� ;��.< ���" ��� ��� ��$!���� �1 �� !������. $# ��� �" ��&���" �� ���� �1 ��� �#� �: � ������ 2 �� ��� �/� � � !���� �� � ��9

(�� ���������� �� ��� ����� ���� ��� ��� �� ���; �� �� �� O >�E��� 0� ���� �� ������� � ��� �;� �������

Page 242: Mathematics of the Rubik's cube

�9������ ��� ������ �� ��!������ ��� ��!� ���

Page 243: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��

������� ��� )�*����

�%����������� ���������� ��� ��� ��� ���� ��������� ��E�������� �� ��� ���� �� (�� ���� �� ����� ���������� ������������ ������������ � �;�������� ����� �

���!/� ��1��.���

+��,+,���+,���, ���+,�� 3��4

%��� �� ��� �������� ���� �� �� ��� � $>'& � �� �� �� O�� >���� (�� ����� �� ���� ������� ��� �������� ��������� ���� � ��������� ���� ������� � ������� �� A .�������� $.& %��� ������ � ����� �� ���� ������� ����� ��� � , :����* ����� $:�&

(��� ������� ����� �� � ������ ���� ����� ��� ���� �� ��� ������ (������� ���� �� ������ �� �� �������� ���� ���� ������ ������ � � ������� ����� �� ���� � ��������� ����� ������ �� ��� ������ 3� ��������� ������ ���� ������� ���� 5���� $5&� ���� � ��� ��� ������� ����� �������� � ���� ������� ��� ����� ��� ������ ��)� ���� � �����

:�� ��� ���� ��� ���� ��� ����� ����� �� ��� 5���) ��������� , ���E����� ������ �� >���� ������ ���� ��� ���� ������ �� �� � ���� �� ��������� ��������� ���� ��� +(��� �� ����� ���� ��������� ����� 8 3� ������������� � ���� �������� ���� ��� �� � ���� �� ��� �����)���� ���������� (��� ���� � ����� ��� �� ������ ����� 0 ���� ��� ���� � ��� ����� ������� �� �� �� ��� ���� �������� ��D���� � �����������

:�� � �� � ����� ����� ��������� ����� � ��� � �� � ����� �� � ?�� ��� ������ � �� � � �3

�9�

Page 244: Mathematics of the Rubik's cube

�99 ����� ��� ���� �� ��� �! ���

���� ���� �� )����� ���A

>����� � ��) �� �� ���� ������ �� �� � �� :�� �� � �� ��� �����������

�+�8 � ��� �� �+�8 � ���+��� ��� ��8�

(�� ���������� � �������� ��� ���� ���� � ��� ���������� � �� �������� �%� �� ���J�� (� ������� ��� ������� ���J�� ������ ��)� � ����)�� ���� +���� ��� ���8 � ���� ���� �� � ��� ���� � ���� �� �� ����E��E�E���� +���� ��8 (� ������� ��� %� �� ���J�� ��)� ��� ��������) �� ���� �� ��E��E�E����� ��� ���� ���������� ��� �� �� ��� �����C��� #��� ��� ���� �� ��� ��� #��� ����� ��� ���� ��� ���� �� ��� ������� ����� ��� ���� ��� ���� �� ��� ��� #��� ����� ��� ������ ��� ������ ��� ��� ���� ����� � �� � ���� ��� ���� �� �;������ 1�� ���)�� ��� #��� ���� �� ���� �� ����� H�� ��� ����� ���� ���� �� ���� ���� ��� ������ �� � ��� �� � ��� �� ��� ���� ����

���� ������� ���J� %� �� ���J�� �� �� �� �� 6 9� = 79 < =? 7 ��7 ? ��< 9 6= � <6 � ?�� � ��� � �

5�6���� ��� ��� +�� �� !���� ��� � .�=��. �� $� ��� ������ ��!���� ��� �� �� � � � ���9

���� <��*�����4 �� ����

3� �� � ��� ����� ����� ����� ��� ���D������ ������� ����� ���� �� � ���� 3� ���� ������ ������� ��� ������ ���� ��+��� 8 � ��� ���������������� �� �� ����� �� ����� ��� ���� ������

Page 245: Mathematics of the Rubik's cube

����� !��#����� �� ���� �9?

5�6���� ��� ;�� ���� ��< ��=�� ���+�+8 �� $� ��� !���� �1 // � � ��� 2�� �� �! ���� �� �D�� 1�� ��� =� �� =�/. �+ �. �� �! .���� &��� ���9 �� � � 2//�. ��� ���2 / / ��� !���� �1 .�!��� H ���� �+9 ���2����� �1 �� � !����� .�����. 7� � ��� ��$!���� �1 � � � 0�2/�0 �� 2���1 ��� 1�� �� �+-� -8� "���� - � ����9 ;�� � � ���/ ��$!���� �1���+�+89< ��=�� ����+�+8 �� $� ��� @��� ��� ���+�+8!79 �� � � 2//�. ������E�2� �� ���2 / / ��� !���� �1 .�!��� H ���� �+9

5�6���� ��� ;��� ���� ��< ��=�� ��� ���E�2� �� / �� ��+�+8 �1 ��� =� ��=�/. �+ �� $� ��� �T � �/��� �1 ��� 1��/ �� � !�� "���� � � ��� ���� //�/����� �1 �+9 �1 � � � ���� "� .����� �� � 1��/ �/�� $# � ��

��+�+8 � �+ � �

�1 � � � � �� � ���� "� .�����

��+� 8 � � �� �� ���� � � ��

��=�� ����+�+8 �� $� ��� !���� �1 // +�$ �� ����1��� ��� �� ��� ���&E�2� �� / ��

� +8 � + T *8!+� T �8� � ��+�+8�"���� �� *� � � �. � *� �� � � �+ ;�� .�=�� �+ 8 � !�9<

%����� ������������� ��� ��D������ ���� ��� ���D������ ��� �� ��������� �� ��� �������� ���� %����� ������������ �� � ������ �� �� � �����# � �

�+�+8 +� ��������� ���� �� ��� ����� � � ���+�+8� � � T �8

20����� ��� �� � � �� �. /�� �+8 � ��!9 ����

� +8 55 3 35H 4K 7� �4 H8 �7 K� �� 835 3

Page 246: Mathematics of the Rubik's cube

�97 ����� ��� ���� �� ��� �! ���

�����1���� � ������ ��� � � + � �8+�� ��8+�� ?8+�� <8+9� =8+7� 689

(�� ������� ����� ��� )�� ����� ��� ���D������ ������� ����� ����C

' ����� ��� �1 � � � ���� ����+�+8 � � �/� !����9 +�������� 1�� //�� � ��"��� ��

�����+�+8� � +�� � �8�!���+�� � � �8�

+5����� � ������ ���� ��� �#� � A�#���� �7� 8 (��� ������� ������ ��� ����� �� 0� �� ������ ��� �;������ � $5&

' ����� ��� ������ � � �+ ��2� ��� � � �� ��+ 9 ��

��+8 � T �� ��+8 � � � � ��+8 � ��!�

���� ����+�+8 � !������. $# ��� ��� �. ��9 �� ��� 2�/�� ��� 2� �� �1����+�+8 �� ��� ���E�2� �� / �� # � �

�+�+8 # �/.� � �E�2� �� �����&�� � ����+�+8 �� 9

���������� ���� �� ����� � $5& �� ����

���� 3�����! ���� 4���

'��������� ��� � �� ������ �� �� � � ���� 2����� ����� � ������ �� ����� ����� ��� ������� �����)���� �������C

' ����� ��� ;(/� �< ,���� � � ��9 ���� ����+� 8 �� �� �$�.. �! ��� �#��� 2 !���� �� " �� � � �9

(�� ������� ������������ +��� � � ��8 ��� )��C

����+�+8 �����.� � � ��.�� � � ?�.�� � � 6�

0� � � < �� � � �� ��� �;������ ����� � �� ����+� 8 ��� . +� � <8�.�� +� � ��8 ��� )�� +��� $>'&� �� ��� �� $F& ��� � �;������ �������� ������8

Page 247: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� ��� ������ �� �9<

���� 2� ��� ��������

B� �� ��� ���� ���@� ������� ����� ��� �� ��� ����� ����������� ��������� ��������� � �����

5�6���� ��� ��=�� ��� ������ �� � �1 ��� ��� ��+� 8 � � �� �� ���� ���� 1�� � � � � ��� � 1�//�"�

� �

�������

�� � � ��+�� �8+�� 98� � � ?�+�� �8+�� 78� � � <�

+�� ��8+�� 98+?� 68+7� <8� � � ���

3� ���� �� ������ ��� ���� �� ������� ��� ����� ��� ������������ ��� ��������� 3� ���� ���� ��� ���� �� �� ������ � �������� ����������� �� �� ��� ��� �E������ ��������� ���� �� ����� ��� � ����������������� B� ������ ������� ������ ��� � �� �� ��� �� ����������

' ����� ��� ;< �1 � � ? ���� �� �� ��� ��� ��� � �9;$< �1 � � �� ���� ��� �� ��� ��� ��� � �9

3� ����� ��� ������ ������������ �� ��� ����� ��� ��� ������M

5�6���� ��# ��

D+8 �

��!6� � +���8� � ��6�� � ��+���8� +���8��

�� � � � �/���� �1 �� � "����# � ��+���89 ��=�� ��� +�� �� !���� ��

$#

� �� D � � � ����+���8 � �

�� � � ������ �� !���� � �� � "���� # � ��+���89

�� ��� ����+�8 +���8� � �� �� �� �� 9� 7� =� 6� ��� ��� �7� �=�+�8 ��� � = � 6 � �� � �� � �� � 6?�9��+�8 ���� � �99=���9�

Page 248: Mathematics of the Rubik's cube

�9= ����� ��� ���� �� ��� �! ���

���� ��4��� �� 3���� (��

>��� ��� ��� � ������� ����� ���� 0'�1 ������ � ���)� �� ������� ���� ������� �� ����� >A� �� ��������� ����������� (���� ��� ��� ������� ����� ���� ���� �L���� ��� ������� ���� ���� ������ ����� �������� ������� ��� ������� ���� ���� ��������� ��� ������� � �� � 3� ���������� ��������� ��� ���� ������� ����� ��� ������ �� +� �� ��� ��������8 ���������� ��@@���

5�6���� ��� , @&�# 2�.� � ��$��� � �1 =� �� . ��� ��/ ��2�����2� 9 ���� ��� =� �� =�/. �+9 , 2�.� "��. � � �/���� �1 �9 ��� ��$���1 2���. ���� ; 9�9� ��� . ��� �� �1 �< � 2//�. ��� /��!�� �1 ��� 2�.� "��.9�1 � � � ���� ��� 2�.� � 2//�. $ ��# ; ����. �1 H&�#< �. 1 � � � ������� 2�.� � 2//�. �����# ; ����. �1 K&�#<9

20����� ��� 9 � ��+ � �+ � ���� �+ ;� � ��< � 2�.�9

5�6���� ��� �� ���+�+8 .����� ��� !���� �1 // ��� �� 2�� "� 2���� �:2�/# ��� ���&M��� ����# 1�� �+ ��� ��" �. ��� 2�/��9 ,� �/�����1 ���+�+8 � 2//�. ��� / �� :9

20���� ��3�3� ;< ���" ���+�+8 � !����9;$< ���" ����+�+8� � +� � �8� � �M9

5�6���� ��� ��� ��� �1 // . ����+�+8 ��2� ��� .�� � � ; 9�9� ����� �� 2�.�< � 2//�. ��� ������� � !���� �1 �� .�����. .��+�89

3� ����� ��� ���� �;������ �����

5�6���� ��� �1 2 � 2�.� "��. � ��+ ���� ��$�� �1 ���&M��� 2���. &

���� �1 2 � 2//�. ��� "� !�� �1 2� .�����. 2�+289, 2#2/ 2 2�.� � 2�.� "� 2� �� ��� �������# ��� "������� +�� ��� ���� ����8

� 2�.� "��. ���� �� � +����� �� ���� ����89 �1 +�� ��� ���� ����8 � 2�.� "��. � 2#2/ 2 2�.� 9 ���� "� 2//

�+8 � � T ��T ���T �������

!������� ��/#�� / 1�� � 9

Page 249: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� �� ��� ����� "�� �96

20����� ��� ��� 2�.� " �� �/�����

+�� �� �� �� �� �� �8� +�� �� �� �� �� �� �8� +�� �� �� �� �� �� �8� +�� �� �� �� �� �� �8

� $ ��# 2#2/ 2 2�.� �1 /��!�� 7 �. "� !�� K9 �� �� !������� ��/#�� /

�+8 � � T T ��

;�� � 2�.� � 2//�. 0� �! 2�.�0 �. �� �# ������� �! ������� ��"� 2�� �� .��2� $�� "��/. �D� �� ��� 1� =�/.9 ��� ��������. ��.�� ���1���. �� G��I� 2�9 K9<

5�6���� ��� �� � $� ��� � �� ���!�� ��/� ��/# �� � �� � �. /�� /��$� �� � �� �&�� ���� �1 �� �#9 �2� !������� ��/#�� / ! �1 2#2/ 2 2�.�� �1 /��!�� � �� 12��� M� �� �1 ��� 1��

�+8 � +� E��8���+� E��8�

"���� ��� ���� �� � �� ���� ���9 ��� ��$��� E��� � � � � �� �� 2//�. ���M���� �1 ��� 2�.� �9 ���# .� ��� .����. �� ��� 2�� 2� �1 �9

5�6���� ��� �� � �. � $� . �� �2� �� �� �. ���� ��� � � �@����. �9 ��� @�.�� 2 ��� .�� 2�.� �1 /��!�� � ���� � � ��� 2#2/ 2 2�.� "����!������� ��/#�� / �� M����

E� � � �� � �"���� �� ��

��� $ ��# (�/# 2�.� ���� � ��� @�.�� 2 ��� .�� 2�.� �1 /��!�� HK ������9 ��� $ ��# (�/# 2�.� ��� � ��� 2�.� �1 /��!�� H� ���� �� �$� ��. $#����. �! ���� ���� M���&�� 2��2D . ! �9

��� �����# (�/# 2�.� ���� � ��� @�.�� 2 ��� .�� 2�.� �1 /��!�� 33���� ��9 ��� �����# (�/# 2�.� ���� � ��� 2�.� �1 /��!�� 3H ���� �� �$&� ��. $# ����. �! ���� ���� M���&�� 2��2D . ! �9

(�� ������� ������ ���������� ��� ��� %������ ����� ����� � ��� ������

' ����� ��� ;< ����� � ���/ ��$!���� 3 �1 .��+����8 �1 ��.�� H��2� ��� .��+����8!3 � ������ 2 �� ���9

;$< .��+���8 � ��9

Page 250: Mathematics of the Rubik's cube

�?� ����� ��� ���� �� ��� �! ���

'��� ��� %������ ����� ��� �� ��� �� ���� ������� ����� ������� ������� 2���� ���� ���� � ��� ���� � ��� �� ��������

0� �� � ����� ���� �� ����� � ����������� ���� ������� ��� # ����E��� ������� � ��� �� �������� ��� �� ���� "���� ���� ���� ����� ����E���� ���������� 3��� ���� ���������� ������ �� �� ��� �� ��� �� ������ ��� ����� ���������� �� ����� ����

����� ��# ,�# �"� 2�.� "��.� � ��� . F�� $# � $ ��9 ��� 2�.� ���

.���2�� � ������ ;��� H� $ ��< �. 2����2�� K ������9

3�� ��� ������� ���� ���� ��� �������� ������� �� ���E���� �� 0'�1���� +����� ���� � ����)E� ��8� ��� �� ���� ������

����� ��� �1 2 � 2�.� "��. � ��� ���� 2�+28 � � ���� �� =� ��� �7� �99

5�6���� ��� ��� 2�.� "��.� �1 "� !�� �� � ��� �� 2//�. .�.�2.�9

3� ��� ������ � ��� ��� 2 � +�� ��� ���� ���8 ���� ��� ��� �� ����� ��� ��� �E@��� ��������� �� �� �

' ����� ��� ��� � ��� ��$ / M�� � �� �1 .�.�2.� ��!�.�. � ����1 �. 2��9

���+ ��� �� �������� �� ��'����

(�� ������ �� ���� ������ ��� ������ ����H� � ��� � ����� :�� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ����� ����� +�4!? � ��� ���� �� � ���E

�� �� ����� � �����;8 �� ��� 5���) ���������� �� ��� �� ������� ���� � ����� 9 ����� ��� ��� �� �� �������� �� ��� 5���) ��������� +�����E���8

(�� ������� �����)���� ������ �� �� �� O�� >���� $>'&

' ����� ��� ��� �� � ��� � � � � ��� ���� ��� �9

0 ����� ����� ��� %������ ���� ��� �� ������ �� ��� �����E����������� �� ��� 5���) ��������� 0� �� ���� � ������E������� ���� �� ������� � ��� +���� � � �� � ��� ������� �����8 � ����� ���� ��� +��������� ��� �� >�����8 ��� ������� ����� ���� ���� ��� �� ������ �� ���������� �� ��� ������

0 ����� � ���� ?E����������� � ��� ��� �� �������� �� ��� ������ +���� ���������� � $>'&8

Page 251: Mathematics of the Rubik's cube

���%� �� �� ��, � � �� ���� ����� �?�

���, �� ���4= � ���� �6 ��� 6����

0�*� ��� �� ������ ����� ���� ���� �������� ����� ����� ��� %������ �����

���/�� �������� �������

:�� . � + ��8������� ���� � ���� ��� �����; (�� ������� "������ �����"���� ������ � � ������ � ����� ������ ������� �� ���� �������C

8������C 3��� �� ��� ��;���� ����� �� ���+.8�� ����� ��� ������ ��. �� � ���� ��� ���� ������ � ��� � �S

!��� ������ �������� �� )�� ���� ��� �������� ����� �� ��� ���������� � ���� �"���� �����; �"���� ��� ������ �� ��� ������������ ���� ����� ��� +�� �����8 ������� �� ��� �����; (�� ������ �� � ���������������� ���� �� � =:�. �� �� ���� � ��� � ��� ��� ��� ������� ��)� �������� ����� (��� ������ �� ��;���@� ��� ��� ��� ������� ��� ������������� ���� � � � ��� ��� ������������ �� � ���� � �

� '������ �� ������� ��� ������� �� . ��� ��� ����� ��� (�� ��� ������� �� .� � ��� � ����� �� ��� ��� ���� �� � !�� ����� ������� ���� ��� �� �� �� ���� ��������� ��

"� '������� � ������ ���� ��� ��� ������� �� . ��� ��� ��

�� ��"� '��� � �����; �� ����� � .����� �����; �� ���� � (��

���+.8� � +"�8� � ��.�� ���� ��� ���� ��� � ���� �� �� ��

"� 1��� ��

. �� �� �����; �� � ��� ����� "������ ��� �� ���� ���� ���+.8� � ��.� (��� ��"������ �� ����� .�����*� ��"������

3��� �� ����)� �� #��� +�� ����� �� ��8 �� ����� ����� ��� �� �������;��� � .����� �����; !�� �;������ ����� �� � � � � .����� �����;��� �� � �� � �� 3��� �� ������� ��� ���� ������� �� ����� � ����� ����� ���� ���� ��� ����� "������ +����� �� ������8 ����� ���� � ������������������� .����� �������� ��� ������ ���� �� ��� ������� ������������ � ������������ $�:3&M

Page 252: Mathematics of the Rubik's cube

�?� ����� ��� ���� �� ��� �! ���

20����� ��� ��

. C�

��������������������

� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � �� �� �� � ���� �� � � �� � � � �� �� �� ��� � �� � � �� � � � �� �� ���� �� � �� � � �� � � � �� ���� �� �� � �� � � �� � � � ���� �� �� �� � �� � � �� � � ��� � �� �� �� � �� � � �� � ��� � � �� �� �� � �� � � �� ��� � � � �� �� �� � �� � � ���� �� � � � �� �� �� � �� � ��� � �� � � � �� �� �� � �� �

��

�� � � �.�. �� 2 �1 ��.�� ��9

20���� ��3�3� ���" ���;< 1 #�� �"� �"� ��"� �� 2�/��� �1 �.�. �� :� #�� " // !��

������ �.�. �� :�;$< 1 #�� �/� �/# �# ��" �� 2�/�� �1 �.�. �� : $# ��� #��

" // !�� ������ �.�. �� :�;2< 1 #�� �/� �/# �# �.�. �� : �� ��� /�1� $# � !��. �����&

� �� �� : ;��� �� �� : " �� �:2�/# ��� !� ��� ��" �. 2�/��< ����#�� " // !�� ������ �.�. �� :�

;.< 1 #�� �/� �/# �# �.�. �� : �� ��� /�1� $# � !��. �����&� �� �� : ;��� �� �� : " �� �:2�/# ��� !� ��� ��" �. 2�/��< ����#�� " // !�� ������ �.�. �� :9

20���� ��3�3� �� .�, $� �"� �.�. �� 2�� �1 ��.�� �9 �// .�, /�1� �@� �/��� 1 ����� � � �� � � !��. ������ �� �� : � ��2� ���. � �,9 ���" ��� �� � .�=��� � �@� �/��2� ��/� �� �� ��� ��� �1 //�.�. �� 2�� �1 ��.�� �9

20���� ��3�3� �� . $� �.�. �� : �1 ��.�� �9 �� .��+.8 .�������� ��� �1 // ��� � !��. ������ �� �� 2�� @ ��2� ��� . � /�1� �@� �/����� .@9 ���" ��� .��+.8� 2//�. ��� ������� � !���� �1 .� � !������.�� �� : �/� �/ 2� ��9

Page 253: Mathematics of the Rubik's cube

���%� �� �� ��, � � �� ���� ����� �?�

(�� ������� ������ �� ��� ������ ������� �� ��� ��"�� ���� �� �����%������ ����� � �����������C

' ����� ��� ;+9 �//� ,����&+����� G,+I< �� . $� ��� �.�.�� : �1 ��.�� �� � ��� $��� �:�/�9 ���� .��+.8 �� ���9

���/�� "6����� ��

(�� ������� ������ �;�����#�� ��� ���� ��� ��"�� ���� �� ����� %������ ����� � ���� ������C

' ����� ��� �1 � � ��$!���� �1 �� 1�� ��� =� �� ��� # �. 1 � 2��4&���� � ��/# �� # ���� �:2�/# ��� �1 ��� 1�//�" �! ��� $� ����*

;< � �� ��� 1�� ��� � � 9�;$< � �� .�� 1�� ��� � � 7�;2< � �� ����;.< � �� ��9

C���������� �2� �1 ��� !����� � ;<&;.< 2�� ?&���� � ��/# �� ��� =� �����9

!�� � ����� �� ����� ��� $>'& � $5&� �� 6

Page 254: Mathematics of the Rubik's cube

�?9 ����� ��� ���� �� ��� �! ���

Page 255: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��

/�� �01 #��� ��������

���������

�(�� �������� � ������������ ������ ����� �� �� ���������� ������ ������������ � ��� ������ E � ���� ���� ����� ������ �� ���������� �"������ ����� ������� ������������������� �

�9 ��� ����� �. �9 +��!������� �����) �C (,+��,�� ���+���� 6��,����� 3���

(��� ������� ������ ���� ������ ��� ��� ����� ��� �;� 5���)*� �������� 9;9 5���)*� ����� ��� ����������� ��� �"����� ��@@��� ��� �)���� � ���������; !�� ���:�/ ��. ���� �� ��� � ���� �� ��� ������� ������ ���������� 9

!���� +���� �� � ����������� ������� ����� ���M8 �� ������ ���� �� ��������������� ���� ���� ��� �������� �� ������� ��� �� ���� ��� 5�E��)*� ����C

���� 2� ��'����� ����4

B� �������� �� ����� ��� 5���)*� ���� ��� � �������� ��� ��� �� ��E������ � ������ ��"���� �� ��� �����

�� � � � ���� � ��� � �� � � � ��

�??

Page 256: Mathematics of the Rubik's cube

�?7 ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

����� � �� ��� +�,� $�1 � �� ��� 5���)*� ���� ����� ����� ������ ���������� ������ � �� �� ���������C

� �������� � ��� ������� �� ��� 5���)*� ���� �� � ������ � � ��

� ������� � �������� ��� �� ����� �������������� �� ����!��C

����!�� � ����������������� ���� �� � ���� � � � �

+��� ���� � �� ���� � �8�

� +���� �8 �� � � ������ +����� � � �� ���� ��8 ��� ��� �� � ���� ���� � ���� � +��� ��� � ��8�

� +������� ����8 �� ��� � �� ��� ��� �#� � �� ��� � ��������

+����� % � �� ���� ��8 ��� ��� ���� � ������ � ����� � ��������� +���

����� � ����8�

� ����� ��� ����� �� ������ �� ����� � � ���� �������

���������

��� �� ��

� � ��������������

(�� ���� �� �� �� ���� �� ������ ��� ��"���� �� ��� ����� �� � ���� ���� ���� ��� ����� �������������� ��� ������ ���������� ������ ����� � ���5���)*� ���� �� ���� ��� ��������� � � ������������� �� �� ��� ��

������ �������$ �"� �����6���� ���"��

3� �� ������ � �;����� E � ������ ������������� �� ��� ��� ���� ����� ���

:�� �� ���� ��� ��� ���� ����� ��� �� ������� �� ������� ��� ��

���� ��� ��� ���� ����� ��� �� ������� �� ������ �� � ��� ��� ��

���� ��� ��� ���� ����� ��� �� ������� �� ������ �� � �� � ����� ������� �� ������� � ��� � � �C

� � � � �� � �� � �� � � � ��

(��� ������ �� ��� ����� ������ ����� ��� ������E� � ������ +��� ��������;8 �� �� '� ������ $'�&

(�� ��� �� ������

Page 257: Mathematics of the Rubik's cube

����� ��� ��!��� ������ �?<

� 5������� � ��� ������� �� ��� 5���)*� ���� �� � ������ � � �

� :�� �� ���� ��� ���� ����� ����� ��� ��� ������ ��� ��� ��������������� +� � � �������� ���� ��� ��� ����� ������� � �������������� ����8� �� ���� � � �� :�� ��� � ���� �

� :�� �� ���� ��� ���� ����� ����� ��� ��� � �� ��� ��� ��������������� +� � � �������� ���� ��� ��� ����� ������� � ���������������� ������ � � ��8 � ������ ��� ����� ������ ��������� ������ �

�� � �� :�� ��� � ���� �

��

9 :�� �� ���� ��� ���� ����� �������� ��� ��� ������ +� � � ������ ������� ��� ��� ������� ��������� � ��� H�� ���� � ��8 ��� ��� ��������� �� ������� �� ���� �

�� � �� :�� ��� � ���� �

��

? :�� � ���� ��� ���� ����� �������� ��� ��� � �� +� � � H��� ���� ������ ��� ������� ���������8 � ������ ��� ����� ������ ���

7 (�� ��������� �� � � �������

������ �������$ !"�����"%��� � ���"��

%���� (������������� +� )��E�������� �� �� ��� V�� �� (������8������� �� �� ��� ���� ��� ���� ������ ��� ����� ��� ���� $!'& .���)��

�� �� ��� +�,�$��1� �� �� �� ��� + �� ,�� $��1� ���� �� �� ��� + �� ,�� $ ��1� �� � � ��

�� �� ���������� �� ��� �5���)*� � � � � �E����� ���� 0�*� ���� ��+=M8� � ��� ������ �� $!'&� �< 7 �� �� ��� ��"������ ���� 0�*� ���� ����� � �� ������ �� $!'&� �< 7

.� ��� ���� +��� � �������� �� ���� ���� ���� �� ��� ���)8 ����

� ����� �� � �������� ��� �� ����� �������������� ���� � � � � � �� ���!�� ���� ���� ���� ���� �� �� ���� < ����� �� +� �� � ��9=8�

� ����� �� � �������� ��� �� ����� �������������� ���� � � � � � �� ����!�� ���� ���� ���� ���� �� �� ���� �� ����� �� +� �� � ��=�?7?8�

� ����� �� � �������� ��� �� ����� �������������� ���� � � � � � �� ����!�� ���� ���� ���� ���� �� �� ���� �? ����� �� +� �� � �69��8�

Page 258: Mathematics of the Rubik's cube

�?= ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

� ����� �� � �������� ��� �� ����� �������������� ��� � � � � � � ����!� ���� ���� ���� ��� �� �� ���� �< ����� �� +� � � 77�??�8

(��������� ��� 5���)*� ���� �� �� ����� � �� ���� < T �� T �? T �< � ?������

%��� ����� ����������*� � ���� ����� ���� ���� ���� ����� ���� ������E������� � ��� N"�����E��� ������� 0 ���) +��� $:�& ��� ������� ����� ������8

���� �� � ��'�*!� ��'

>����� ��� ���� � �� � ��$�1� +�, � �� ����� �� ��� 5���)*� ���� (�� ��@� �� ��� ���� ������ �� ����� ����������� �� 9��?�����<99=6=?7��� ��9��� ����

������ 7������� .�� ��� � �"� ����

:�� � � ��� � � � ���� ��D� ���� � $� �& � � � � �� � ��� ������� ����������� ��� � � ���� �������

:�� �� ���� ����)���� +���� ������� �� �� �� ���8 "������ ��� �� ������� ����� �������� �� ��� �� �� ���

(�� ����� ����� ������� ������ � �� ������� �� � ��� ��C

$�� � �C '���� ��� ��� ���� � ��� � ��

$�� � �C '���� ��� ���� � �� +� ������ � �� �� ���� �� ��������8

$�� � �C '���� ��� ������ ������ +� ������ � �� �� ��������8

(�� �����E� � ����� ������� ������ � �� ������� �� � ��� ��C

$�� � �C '���� � ��� ����� ��� ������

+(�� ���� $ � + � $ �$ &� � +�� �������� +�����H8+�����������8 8

$�� � �C '���� ��� � ��� ����� ��� � ��

������ � � � ����� �����C

Page 259: Mathematics of the Rubik's cube

����� 9� 9 �! #�� ��!� �?6

��� � $�� ����

� � $� ��� � $�� ���� � � �E����� +��������8

+�� � $8� � $ � +���� � $8� � $ H��� ��� ��� � �� ��� ��

+ � � $ �8� �������� +�����8+�����8+�� � $8 H��� ����� � H��� ���

+��� �1� � �,�� � $ � �,8� ���T� ��TT$ � $ &� �������� +������8+�������8

+ � � �� � $ � � ++ � � ��8� � $� � �� � + � �������� +�����8+�����8+1� � � �1� � ++ � � �8� � $ 8� �������� +�H����8+�����8

+� �� � $ ���

� � $�8� �������� +�H����8+�������8$ �1 � ��� $ & ����� �E����� +����������8

(���� ����� ���� ������� ���� ���� ���� ��� ���)� $'�&� $�&� $'&� �$2��&

������ +������ �. �� � ���� � <���������< �� ��

(�� ��������� �� ��� 5���)*� ���� ���� ���� ����� ����� ���)� ���� ������ ��� ����� � �� � � �D��� � �

X +����$������

� �$�����$������8� �� ��� ��� � � �E����� +��������8�

X + �� �1� � �,�� � $ � �,8� ������ ��� ��� ����� ����)���� � ����� ����� ����������)���� +� ��� �� ����� �� ������8

X ���� ����

� ��� � $�� ����� ��� ��� � $ �� ��� ����� ����� �T�

�E +��� ����� ���� ����� ������ ��� $'�&� $'&8

���� �� � ��'�*!� ��'

(�� ������� ������ � �� ������� �� � ��� ��C$�� � �C '���� ��� ������ !�� ���� ����� ��� ��� �� � 5���)*� ���� $�� � �C �/���� ��� � �� �� ���� ��� �� ����� ������ � �� ����� ���� � �� ���� ��� ���� ����� !�� ���� ��� ������� ����� � � ��������� ������C

� H��� �C

��� �1�

� � $� � + �� � $ �

� � +� �1�� � ��

� � �� � $� � ��� � $�

� � �� � $�� � ��

+�� �� O ,��� $,& ��� ����� �� ����� =�8 (��� H��� � ����� ������ ���� � � ������ � ��� $+ ������ 0� �K���� ���� ���������� � ����� � �� �� ������

Page 260: Mathematics of the Rubik's cube

�7� ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

� ��� �����C

� �,�� �1�

� �,�� � �

� �,� �1�� �,�

� � � �,�� � �

+�� �� (��� $(&� ��� ����� �� � ��� ����8 (��� ���� �K���� ���������� ��� � ������ � ��� 9 � � ������ 0� ����� � H��� ����� ��E���� V! � � ����� ���� ��� ����E���� +���� ������� �� ��� �����8 V� � � �������� ��� ��� V ����� �� ��� �� ��E���� V! � �������� �� ��� � ����� �� ��� ����E���� V� � � �������

� �E�����+ � � $�8

�� � � ����� � ��� � ��C + ����,����,���8 (��� ���*� �K��� ������� � �� � ������ ��� ������ #;�

$�� � �C '���� ��� � �� !�� ���� ��� ����� � � ������ ��� ��� � � �5���)*� ���� $�� � �C 0� ��������� ����� ��� H��� � ���� ������$�� � �C '���� ��� ������ !�� ����� ��� ��� ������� ����� ����� �����C

������������ � ��� � +� � ��

� � +��� � � � +� � � � +��

+���� ����� ����� 6�� �� �� O ,���8 (��� ���� �� � �E����� � ������������� �K���� � � ��� � ������� � � ����� ����� ������ 0� �� ����E����� +�? �6 �=8 � ��� ����� ������

'��� ������� ���� ����� �����C

������� � ,�� � �

� � +� � � �,�� � �

� � + �� � ��

������� � �� �,�

� � �� � +� � � �,�

� � �� � + �

� � ��

(���� ���*� ������ �������� ���� ��� ��� ����������� �� ������ �� ����������� � �������� ���E�� ���� +� � � � ��������� ���� � �������� ��D� ����8

(�� ������� ���� �� ����������� ������C

�������2 � � + �� � $�

� 8

(��� �K���� ��� 7 ����� ������ +� ��� ���� � ���) �����8 � � ������ 0� �� ��� ������ �� ��� �E������C +�? �9 ��8+�< �9 ��8 � ��� ����� ������

(���� ����� ���� ������� ���� ���� ���� ��� ���)� $,& � $(&

Page 261: Mathematics of the Rubik's cube

����� � �!�" �����!��� �7�

���� ����'�( �����'���

(�� ������� ������ �$��� �C (�� ��� �� �� #��� �� ��� ��� ���� ��� ��� � #���� �� ���

�� ���� ��������� �� � �����; �� ��� ����

. . . . . . . .

� � � � � � !

� � � � � � !

. . . . . . . .

.���� � ����� �� ����� 3� ���� ������ ��� ������ � ��� ���������� ���� �� ���� = � ���� �� ���������

3� ������� � ������ ����� 0 ���� �#��� �� ��� ������� ���� +%����E���������� ���� ������ �� �������� ���� ��������� ������ ����������� 83������ ��� ���� ������� ��� �� ������ ������ ���� �� ���� �� �������� � 4�� ��� �� �� H�� �� ������ ��� ���� � ������ ��� �� � ���� >������� ��� � ����� ������ �� � ���� ��� ����� � ����� �� ������ �� 3� ��� �� �� ��� ���� ��� ������ � ����� � ��� � >��� ��� ����� ���� +���8E���� ������ ��

3� ��� �� �� ����� � � ��� +���8E���� (�� ������ ��� � ����� ����� �� ���� �� ���� �#��� ��� .�� ��� ���� � ���� �� ��� � ���� � ������� ����� � �� ��� ���� �� ��� ���� �� ����� � ����� � �� ��� ���� �� ����� �� �� ����� (���� ��� 9 ������ � ��� �� �� ����� ���� ��� 9 ������� ��� ���� ����� ���� ��� 9 ������ � ��� �� �� ����� ���� �� � 9������ � ��� ���� ����� ���� �� , H�� ����� ��� ����� � ��� �� �� ����+� � � ������� ��8 �;��� �� ����� 3� ��� ������ ���� ����� � �� � �� ����� ���� ������ � ��� �� �� ����� ���� �� +0� �� ��*� ��� �� �� ������� #���8 1�� ������� ���� � ���� � �� � ��C #��� ������� ���� +���� �� ������ ��� ���)�8� ��� ���� +������ ��� ���) � ��� ������8� ��� �� +������ ��� ���)�8� � #���� �� +������ � ��� ���)�8 4�� ��� �� ��� �� ��������� � � ��� +���8 ����� ��)� ��� ��� ��� ��� ����� � ������ �� ����� 0���������� ��� � �� ,���� �� ���� 9 ����� ���*�� �� ����������

$��� �C 5����� ���� ����� #��� � ������ � �� �� ����� � � ��� +���8������� +��� ���� � ���� � �� � �� � ����� �� ���� � ���� � �� � ��8 1��� ������ ��� ���� ���� �� ��������� ������ ���� ��� �� �� ����� � � ��� +9��8������� 1�� ��� ���� ��� ���� �� ������� � ���� ���� E ����� � � ������ � ����� � � ����� � 3� ���� � ���� ����� ���� ������ � � � ������� �������

Page 262: Mathematics of the Rubik's cube

�7� ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

$��� �C 5����� ���� ��� ������ � � 9 $��� �C V�� ��� ����� � ��� ������� � ����� �� #��� ��� ��@@��

+0 ������� ��� ��� ����� ��� ��� ��� N�"�����������7� � ��� N��E���������7� ������ ��� ���� �������� �������� ������ N���E�� ������ 8

������ - ������� �. ����% �� ��

.����� ��;��

3� ����� ��� ������ �� �� �= 3� ���� ��� � �� � ����� ������ ������ � ����� �� � ���� � ��� ������ �� ��� ����������

20����� ��� , ��� "� 2� �" �2��� ��� 3�� �. K�. 2�/�� $�� L �� $����1 ��� ���� " // $� .�����. $# +� �8�9

, ��� "� 2� ���.� ��� ��� 2�/�� �� ��� 8�� 2�/��� ��� 8�� 2�/�� ����� 4�� 2�/��� �. �" �2��� ��� H�. �. K�. 2�/�� $�� L �� $��� �1 ������� " // $� .�����. $# +� �8�+7 ? 989

���� ������� +�� 98 +�� �8�� +�� ?8 +�� 98�� +�� 78 +9� ?8� +9� <8 +?� 78�� +?� =8 +7� <8�� +�� 78 +<� =8�� +�� <8 +�� =8� +�� =8 +�� �8

�� � �� � �� +�� �8 +�� ?8�� � �� � �� � �� +?� 9� �� �� �8�� � �� � �� +�� ?8+�� 78�� � �� � �� +�� �8 +7� ?� 98�� � � � �� +�� <8+?� 78�� � �� � �� +?� =8 +7� <8�� � � � �� +�� =8+�� 98� � �� � � +�� =8 +9� �� �8�� � �� � �� +�� �8+9� ?8�� � �� � �� +�� �8+9� =8� � �� � �� +�� 98 +�� �� =� ?8

Page 263: Mathematics of the Rubik's cube

����� � ���� ����� �7�

!������ +�� � �� � �� � �8� � �� � �� � �� � � ����� ��� <�= ������ � ��������� ��� ������ #;� ��� H���� ����

$��� ������� �& �-%��� �� � � &����

(���� ��� ��� ���� � � ��� �� ,��� '������ (�� ���������� ��"���������� ���� ������ �� ���� ��������� �� ���� �� ,���*� ������ � %,/:- ������������ �� ��� ���������� $O&

3� ����� ��� ������ � ��� �E�� ������ ����E��E������ �� ��� ��� ��� �9+����� � � �� �� ���� =8

���� ����� � �� � � � ���� � � � � � ��� +9�� =98+99� =�8

� �� � � � +9�� =�8+99� =98�� � �� � � � ���� � � � � � ��� � �� +�9� =98+��� =�8

�����������7 +��� �98+��� 7�8�����������= +7�� 798+��� =�8

�"�����������7 +��� ��8+��� 7�8�"�����������= +7�� 7�8+��� =�8

�����

�� ���2 ��7 � ������� ���� ������������� ������������� ������������������

+��������� �� ��� ������� �� �� �� ���� ����� � ���� ���� ��� �� ��� �����K���8�

�� ���2 ��= � ������� ���� ������������ ����������� �����������������

��� ����2 ��7 � ������ ����� �������������� �������������� ����������������������� ����2 ��= � ������ ����� ������������� ������������ �������������������

!�� ������� ������ � ��� ������ ��@@��� ��� $O'&� $O&

���� %&����� �����

'������ ������ �� � �����C

Page 264: Mathematics of the Rubik's cube

�79 ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

� !����� � ��� ��� ��������� �� ��� ������ O��� ��� �� �� ��� ������ ������ ������� ������� B� �� ��� ���� �����)���� ���������� �� ������@@�� �� ���� 2,/ $2��& ��� � ��������� ���� �L���� �� ����� �������� �� ��� ������� +(��� �� �����)���� � ���� �� ��� ���� ���� 2,/�� �� ���� �� �� ����� ��� ��������� ������� ��� ��� 5���)*������ ��� �;������ �� ����� �� � ����� �� �;���� �� �� �� �� ������� ���� ������� 8

� '���� ��� ��� ������ ��� � ��� ������� �������� ���� ���� �� ���E������ ������ �� � ������ �� ���� ����� ��� � ��� ���� ������� '��� ���� ����� ��� ����� �����

'��� ������C �� ;� �� � @ ��� ������ ���

$� �� -& � �� � ��� � -�� � � � � -�20����� ��� ��� ���� . �2�����. �� �! (,'*

� $���� � ���� � �

��� & " // �"� ��� �' �. �'� "� /� ���� �! ��� �' $# �5 .�&

!���� � 2������ 2/�2D" �� . ��2� ��9 +�������� � " // =: ��� ��� � ���1 ��� � �2� /$�/�. � H5 $�� " // ����� � $# �5 .�!���� 2/�2D" ��9

� �� ���. 3 ;��� �'< �� �� � �� 7 ;��� �'<� 7 �� 35� �. 35 �� 3*

+�� 9� <� ��8 � +���� � ���� � ��� � ��� � +���� � ���� 8� � �� � �� � ���� 8� � ���� ��� �@��� �1 ��� ���� ��� ��� � �� �� �� .�*

+�� <8+9� ��8 � ��� � ��� � ���� � ����

� K&2#2/� $��� ��� �' �. ���� K&2#2/� $��� ��� �'*

+�� ��� ��8+7� =� �<8 � �� � �� � ���� � ���� � �� � ���� � ���� � ��� 1 ��� .������ 6�� ��/ . ���� ���

��� � +�� ��� ��� ��8+�� �9� ��� ��8+?� �7� 6� �68+7� �<� =� �=8 � ���� �

���� ��� 1�//�" �! ��� " // �:2��!� �"� � �� �1 12��� �� !�$�� �!��� �' �. �"� � �� �1 12��� �� !�$�� �! ��� �'*

+�� ��8+7� =8+��� ��8+�<� �=8 � +���������� ����� �������� ����� ���8������+�� � �� � ���� � ���� � �� � ���� � ���� � ��8 � �����

Page 265: Mathematics of the Rubik's cube

����� � ���� ����� �7?

� , � �!/� H&2#2/� �� K&2#2/� 2���� $� 2� ���. � ��� !���� !������.$# ��� ��� ��9

3� ���� � ���� �� ��� ���� $���� � ���� � ���� & � �� ���� ���� �� ��� �K����

��� ��� +����� ��� ������� ��������8 (�� ����� ����� ������ ����� ������ ��� �� ���� �� ��� �K��� � ��� ��������� (�� ������� ���� � �����) �� ��� ������� ��� ����� ����� �� (�� � �� ����� �� �� �� ��� � ����� ����� ��� ������ �� 1� � �� ���� ����� �� ������� ���� ��� ������� �� ������ 1� ������� ���� ���� ���� ��� ����� ��� �� ���� +������ ���� ��� ������8 0� � ���� ��� � �K��� � ��� ������� �� ��� � ����� �� #�� � ��� ����) ���� � �E�

0 ��� ������� ������ 1/� '/ ���� ��� ���� �� ��<� ���� � ��� �������

���������� � < 9 �� �? ������ <�6���� ��6��� ����=� 9��=� 6���� 6������� <��=� ���=� 6���� 6��� ���6��� �?�6�������� <��=� ���=� 6��� 6���� ���6��� �?�6�������� 6��� 6���� ���6��� 9�6���� �� �?���� 6���� 6��� ���6��� 9�6���� �� �?���� <�6���� ��6��� ����=� 9��=� 6��� 6����

, �=� �=� �=� �=� E E����� E E E E �=� �=�

� E E �=� �=� E E��� ��6���� <�6��� �� 9 ���6���� �?�6���

A E E 6��� 6���� 6��� 6���������

���� � $���� � ���� � �

��� &�

���� � $���� � ���� � �

��� &�

���� � $���� � ���� � �

��� &�

���� � $���� � ���� � �

��� &�

. � ���� ����� ������, � � ������ � ���� � � +� 98+< ��8 � ����

���� � $���� � ���� � �

��&�

1 � $���� � ���� � �

��&�

(����* �� �� � .����� ��� ��$!���� �1 �� !������. $# ��� ��� ��9 ,2&2��. �! �� (,' G(�I�

��� � ��9�96�7=9?������ � �?M � �� � +���9���8 � �����

Page 266: Mathematics of the Rubik's cube

�77 ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

��� /�!��� ���/ ��$!���� �1 � "� 2� � ��"�� �1 H � �1 ��.�� ��9C���������� � ����� �� 2� ���� � ��/# �� ��� 1�//�" �! 34 � �� �1 12���*

, � $�� <&� $�� =&� $��� �=&� $�� 6&� $�9� �6&� $9� ��&� $�?� ��&� $?� ��&�

$��� �<&� $�7� ��&� $�?� �6&� $7� ��&� $�9� �=&� $�<� ��&� $�7� ��&�'��� $/# � � ������ 2 �� �� . ��2� ���.�2� �1 �% �� ��� 2� �! �� ��

� 9

���+ 2� �*('

���'�� 7�������

(�� ��� ���� �� �� ������� ��� � ����� �� ������� ��� ������� ������������� �C #; ��� ������ � ����� ��� ������ ��� ����� ����� ������+� � � ����� ����� � �� �K��� ��� ������8

(�� ����� ����� ��� ������ �� ��� � ���� ����)���� ����� ���� �� �����; ������ !5V�!:V��5V��:V��A5��A:�A!5�A!:

���'�� - ������� �. ���%� �� ��

(��)� �� O %��� �� � 2 2���� ��� ������� � ���������� ��� ������������� ������ ����� ���� �������� ���� ��� ���� �� � ��������� ����� �)��� ������ ��� %,/:- $O���&

� + $ �,�$ � + $�� �� ���� �

� $+ $ �+�$ &� ������ 7 ������ ����)���� �� ��� � ���� (�� � �������� ������ ��� ����� �������� ��� !5V� !:V ������C ��� �A5� �A:������ (�� ������ ��� ��� #;� ++ $ � +�$8� � ++�$ � + $8�

������� ��� ��� ������ �;���� ��� ��� � ������ 0� ��� �� ��������� ������

� (�� ����� $+ $ � ,�$ &�� #;�� ��� ��� ������ � ��� � ����������������C A!:� �A5 0� ������ ��� � ������ !:V� �:V� � !5V B��� ������ � ������� �� ���� �� ��� ���������� +1+ �, $�,1�8

9 !5V � �A: +��������� ���� ��� ��� �"��� �� �� � ������� �� ��� ���������8 0 ������ � ����� ���� �� �"��� �� ��� �������� ����� ������ �� � ������� �� ��� ����� ����

Page 267: Mathematics of the Rubik's cube

���%� ��� ��� �& �7<

? ++ $ � +�$ 8� � +,1� �,1 8� ������� ��� ��� ������ �;���� ��� ����� � ��� � ������ (�� �� ������ ��� ������ ����)���� � ���� ������ ����������)���� 0� ��� �� ������� �� ������ ++ $ �+�$8� � +,1� �,1 8� �� ��� ���� ����� ��� ������� � ��� ���������������

7 ++ $ � +�$8� � +,1� �,1 8� ������� ��� ������ �� �������C

� ��� �� ������ ����������)�����

� ��� � ������ ����������)�����

� ��� � ������ ����)�����

� ��� �� ������ ����)����

0� ��� �� ������� �� ������

< :�� *������� � ++ $ � +�$8� � +,1� �,1 8� � +1+ �1+�8� (��� ���� ������� ��� 9 ������ ������ +��� � ������ ����)���� ���� � ����������)����8 0� ��� �� ������� �� ������

= +, $ �+�$8� �� � ? ����� � ��� ����� ������ ++� �,�$��8 0� #;����� ������ � ��� �� �K��� �� ������ +,�$ � + $8� �� � ?����� � ��� ����� ������ 0� #;�� ��� ������ � ��� �� �K��� ��������

6 +,�$ �+ $8� � +, $ �+�$8� �� � ������ �� � ������������ � �������� ������� ������ ����W���) � ��W�� �� 0� #;�� ��� ������� ��� �� �K��� �� ������

�� :�� $ ���� ��� ����)���� +���� ������� �� ��� �� ����8 ������� ������� ���� �� 6� � ���� (�� *������� � $ � *������� ���������� ��� �� ���� � ������ +��� A!5 � �A:8 � ��� �� �K����� ����� ������ �� �����

���, 2� �������.

,����� ���� ��� ��������� �� ��� � � H�� ������� � ���� �� ���� ������� ���� �� ���� ����� ���� ���� ��� (�� ������ ��� ���� : +����8�5 +�� ��8� V +��8� � � +���)8

����� %����C :��

Page 268: Mathematics of the Rubik's cube

�7= ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

� : ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� �E����� ������������������ ��� ���� ������

� 5 ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� �E����� ������������������ ��� �� �� ������

� V ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� �E����� ������������������ ��� �� ������

� � ���� ��� ��� � ��� ����)���� ������� �� ��� �E����� ������������������ ��� ���) �����

!����� �� ��� ������� ������ ������ ��� ����� ��� ����� ���� �� ��������� � ��� ����� ������ !������ �� ����� ��� � � ������� ��� ��� ������� ����� + ��� � $-F&8C

� $ �$��& �� � �E����� �� � � ������ � ��� V5: �����

� $ �$��& � $ ��� �& �� � H�� �� ��� � �� +V5 � � � V: � �8 � ���V5: ����

���/ 2� ������.

(�� ������ � ���� �� ��� ���� �� ��� ��� �;� 5���)*� ����C

� ����� ��� ������ ��������� #��� +� ��� ������� ����� ���������8�

� ����� ��� � �� ��������� #��� +� ��� ������� � � ���������8�

� ����� ��� ������ �� ��������

� H�� ��� � �� �� ��������

%���� ������ ��� ������ ��� ����� ����� ��� ����� � ��� ������� ������

Page 269: Mathematics of the Rubik's cube

���'� ��� ����� �& �76

���*�� +������ �. �� ��

!����� ���� ������ 3� ����� ��� ����� ��� ��� ���� �� � ��� � ����� ��������� ����� ��� � � ���� ��� �� � ������� 9 (�� ���� ������ �� ��� �� ��E���� ��� ���� �� ��� �� ���; ��� �� ������ ���� ���� �� ��� �� ���;�� <� � ���� ����)����

� ���� ����� ��� ��� ����� ����� ��� ��� ����� ����� ��� ��� � $��� ��&� �����

��� ����� � ��� ����� ������C +��������� �������8+��������� ��������8

� � � ������� ������� �������� ������� �������� � ������������� ����� ������ ����� �� ������ � ��� �� ����C +��������� �������8+��������� ��������8

� �� � �� � ���� � �� � �� � ���� � ���� � ���� � ����� � ������ � �E����� �� �� +��������� ���������� ��������8+������ ������ �����8

� �� � �� � �� � �� � ���� � ���� � ���� � ���� � ���� � ���� � �� � �� � �� +%��):� �� �8 � � �E����� +������ ������ �����8

� +���� � ���� � ���� � �� � �� � ��8� E ������ ����� �������� ��� ������ ����������� ��������� ��������

� �� � ���� �8�� �� ��� � ���� � �� ��� � ��� �� �� ��� ����� ����� � ���� � ���� �

�� � ���� � ���� � ��� � ���� +%��) :� �� �8 � � �EH�� �� ������ �����

� �� � ���� � ���� � �� � ���� � ���� � �� � �� � �� � �� � �� � ���� � �� � �� ����� � ���� � ���� +%��) :� �� �8 � � �EH�� �� ������ �����

!�� ������� ������� ��� ��� ������ ����� $O& �� $:�&

Page 270: Mathematics of the Rubik's cube

�<� ����� ��� ���� &, ���� ����� �� ������ ��

Page 271: Mathematics of the Rubik's cube

2�*������$

$,& O ,���� .B3 (B 'B:R- 5V�0F*' 5-R-12-� A��� /����� 14��6=�

$,��& ,��� ,������ ��� '"���� � ��� �� �

�����������(������ ����� �%"�,��� ��

$,�& % ,���� ,:2-�5,� /������E.���� �66�

$,%& - ,������ O� � . %������ �B ��� ������������ ����� ��/����E.����� ���������� � >B%�01,(B50,: %,(.-%,(0>',1A 0(' ,//:0>,(0B1'� � 5 ����� ( A���� � V�� �� 1����>������ /����� >����� .���� �676

$��& O ���@� �'��� ���� ��� � ��� ����� 7�� ������ ��� ���� ��� ������������ ����� %�� ��� �66��

������������(�� ����� �"� >�?@ABC@�����

$�& > ������� 01'0A- 5V�0F*' >V�- ,1A �-4B1A� ���)������������ �6=�

$�>2& �����)���� O >����� 5 2��� 3011012 3,4'� 00� ,������/�����

$�.& 5 ����D� � A .��)��� �(�� ����� ���� � 5���)*� ������ %��� %� ?=+�6=?8���E��=

$��& 2 ������� !V1A,%-1(,: ,:2B50(.%' !B5 /-5%V(,(0B125BV/'� '��� ��ER���� � :������ 1���� � >������� '������ ??6��66�

�<�

Page 272: Mathematics of the Rubik's cube

�<� ! !� �����

$>��& 5 >������ '0%/:- 25BV/' B! :0- (4/-� 3����� �6<�

$>A& % >���� � % A����� �(�� >���� 2���� �� ��� 5���)*� >�����'%9=?> ���D���� ,������66<

$>'& O >���� � 1 '����� '/.-5- /,>F012'� :,((0>-'� ,1A25BV/'� '��� ��ER���� � �66�

$>!'& 2 >�������� : !�)������ � 1 '����� �� �,���������� �� >��E��� ������� � ,//:0-A ,:2-�5, � '��� ��ER���� � :������ 1����� >������� '������ ?�=� �66�

$>& O >�������� �� ��� 3.,( 0' %,(.-%,(0>,: :B20>S� A����� �6<�

$>:& ��� �������� �� ��� �����E������� ���� �� ���CWW��� �� ��� ��W���W����E������W

$>2& ' >���� � O 2������ �.�������� ������ � ����� � >����� ����� � �� ����� E �������� A������� %��� �?7+�6678�E�=

$A%& O A����� � , B %������ �(�� ����� ���������� �� ��� ������@���������� ������ O :�� %��� '�� =+�6<987�?E7��

$A:& % A���� � , :����� �(�� 2���� '�������� �� ��� �;� 5���)*�>����� '%9=? ���� ������ !��� �667

$-F& O -�� � > F������)�� /V[[:- 0( BV(� >V�-'� 25BV/'�,1A /V[[:-'� >����� � V�� /����� �6=�

$!.& 3 !���� � O .������ 5-/5-'-1(,(0B1 (.-B54� '��� ��E����� � �66�

$!'& , !��� � A '� ������� .,1A�BBF B! >V�0F %,(.� -����/�� � �6=�

$2& , 2� ����� ,1 01(5BAV>(0B1 (B 25BV/ (.-B54� 15:� �66�

$2��& %���� '��I���� �� ��� 2,/ %,1V,:� :�������� A �I�� %��������)�53(. ,����

$2O& % 2���� � A O����� >B%/V(-5' ,1A 01(5,>(0�0:0(4�3 . !������ 1�� 4��)� �6<6

Page 273: Mathematics of the Rubik's cube

! !� ����� �<�

$2���& % 2����� �>����������� ��� ��������� � (0%- (5,R-:,1A B(.-5 %,(.-%,(0>,: �-30:A-5%-1('� 3 . !���E��� 1�� 4��)� �6==

$2���& % 2����� %4 �-'( %,(.-%,(0>,: ,1A :B20> /V[[:-'�A����� 1�� 4��)� �669

$2(& F 2��� - (����� �5���)*� ������ ,��� %��� %������6�+�6=?87�<E7�6

$2%& 2 2���� � O %��� ��� �(�� �)��� ������ '%9=?> ���D����,������66<

$.5& 2 .��� � ' 5����D�� �,��������� �������� � ������������������� /��� :�� %��� '�� �<+�6�=8<?E��?

$.& A .��������� %-(,%,(.-%,(0>,: (.-%,'� ������ ���)�� �6=?+%����� � ��������� �� '�����#� ,������ ������ �� ������ ��� ��������������� �� ���� ���� ���� �������� � '�����#� ,������� %���� �6=��O��� �6=�8

$.��& O .��������� 5-!:->(0B1 25BV/' ,1A >B\-(-525BV/'� >����� � V�� /����� �66�

$0& O 0������ �(�� 2��� ��� �� � #��� ������ ,��� %��� %�����66+�66�8?7<E?76

$O& A O����� �5����� ���������� �� ��� ������ ��� �� �

������������������&3��'��C���B �����D��"������'�"�������

$O���& A O����� �/��������� ��@@�� �� ��� ������ ��� �� �

������������������&3��'��C���B �����D��"'*�����

$O%& A O���� � O %�'���� �(�� ������ � ���� �� ��� �"���� � ��@@�����������

$O1& A O���� � 2 1�)��� :01-,5 ,:2-�5, ,1A ,//:0>,(0B1'��� �� �������� +/3T'� �66=S8

Page 274: Mathematics of the Rubik's cube

�<9 ! !� �����

$O'& A O���� � , '������� �(�� ���������� ��@@���� �������

$F�& , F�������� -:-%-1(' B! (.- (.-B54 B! 5-/5-'-1(,E(0B1'� '��� ��ER���� � �6<7

$F& � F������ �(�� ���� �� ��� ������� ��������� � ��� ���� �������� 2������� 1������ �� ��� , % ' 9�+�66?86?6E67=

$:& % - :����� �5���)*� ���� �C ��� ���� ����������� ��������� ,��� %��� %������ 6�+�6=?8�=�E�6�

$:�& % :� �� �� �2�*� ,� ������ >���������� ��� 5���)*� >���� 5���)*�'�� ������ � 5����� /�@@����� ������ ��� �� �

�������� "�'�'� (��(����(" ����

$:�& , :����� �(�� ���� ��������� �� ��� ������; � ��� �������������� �� ����� V'1, .���� ������� �66< +,����� 3 A O����8

�������� "�%�����&3��'�����D��5������

$%�& 2 %��)��� V10(,54 25BV/ 5-/5-'-1(,(0B1' 01 /.4'0>'�/5B�,�0:0(4� ,1A 1V%�-5 (.-B54� %��� :������ 1���� '�E����� ��D���W>������ �6<=

$%F'& 3 %� ��� , F����� � A '������� >����������� 2���� (������� �� A����� �6<7

$%�& O %�'���� �(�� �9E�? /�@@��� � 3�� 0� >�*� �� '������ '%9=?���� ������ !��� �667

$%& 5 - %����@� %-%B5,�0:0, %,(.-%,(0>,� %��%���� >�� 14��6�9

$1'(& / 1����� 2 '��� � - (������� 25BV/' ,1A 2-B%-E(54� B;��� V�� /����� �669

$B5& O B*>���� - ! 5������� %��(���� .������ �� %������������������

�����������+���%��(%�%�������(�*���'%���3�8������'�������

Page 275: Mathematics of the Rubik's cube

! !� ����� �<?

$5��& ' 5������ �(�� %���������� �� ���� 5� � �� ������� ����� +,E����� 3 A O����8

$5& O O 5����� ,1 01(5BAV>(0B1 (B (.- (.-B54 B! 25BV/'�9�� �� '��� ��ER���� � 2�� (�;�� � %��� �9=� �66?

$5�& - 5���)� �� ��� 5V�0F*' >V�0> >B%/-1A0V%� B;��� V�� /������6=<

$'& 5 '�����@� BV( B! (.- %BV(.' B! %,(.-%,(0>0,1'� %��� ,���� ,��� � �66�

$'�& O E/ '����� :01-,5 5-/5-'-1(,(0B1' B! !010(- 25BV/'�'��� ��ER���� � �6<<

$'��& O E/ '����� (5--'� '��� ��ER���� � �6=�

$'�& A '� ������� 1B(-' B1 5V�0F*' %,20> >V�-� -����� �6=�

$'& 5 '���� 2-( >V�-A

$'�& 5 '���� (V51 (B 'GV,5- �� �66�

$'�& 5 '����� '-( (.-B54 ,1A :B20>� A����� �67�

$(3& , A (����� � 2 R 3��� 25BV/ (,�:-'� '���� /������� :�� F��� VF� �6=�

$(& (���� N(�� ��� ������� �� 5���)*� 5��� ��� ������ ���)�� �6=�

$�:3& O �� :�� � 5 % 3����� , >BV5'- 01 >B%�01,(B50>'�>����� � V�� /����� �66�

$3�& . � 3������� >.V5>. �-::' B! -12:,1A� B;��� V�� /������6��

$3�& 3����� ,������ �!���� '����C (�� !���� 2���� (�������S�� ,���E��� %����������� %������ 1�� �667� ��<<�E=

$3& 5 % 3����� N2���� ��@@���� ��������� � ��� �������� ������O �� >���� (������ �7 +�6<98=7E67