Upload
lamdiep
View
228
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Part - 1
Standard VIII
MATHEMATICS
State Council of Educational Research and Training (SCERT)2015
Government of KeralaDepartment of Education
Prepared by:State Council of Educational Research and Training (SCERT)
Poojappura, Thiruvananthapuram 695 012, Kerala
Website: www.scertkerala.gov.inE-mail: [email protected]
Phone: 0471-2341883, Fax: 0471-2341869Typesetting and Layout: SCERT
Printed at: KBPS, Kakkanad, Kochi-30© Department of Education, Government of Kerala
India is my country. All Indians are my brothers andsisters.I love my country, and I am proud of its rich and variedheritage. I shall always strive to be worthy of it.I shall give respect to my parents, teachers and allelders and treat everyone with courtesy.I pledge my devotion to my country and my people.In their well-being and prosperity alone lies myhappiness.
THE NATIONAL ANTHEM
PLEDGE
Jana-gana-mana adhinayaka, jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Punjab-Sindh-Gujarat-MarathaDravida-Utkala-BangaVindhya-Himachala-Yamuna-GangaUchchala-Jaladhi-tarangaTava subha name jage,Tava subha asisa mage,Gahe tava jaya gatha.Jana-gana-mangala-dayaka jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Jaya he, jaya he, jaya he,Jaya jaya jaya, jaya he!
Dr. S. Raveendran NairDirectorSCERT
Dear children,We have travelled muchIn the world of mathLet's continueOur explorationsOur findingsWe have much more to go aheadIn MathematicsTo the ever widening world of NumbersTo the precise reasoning of GeometryTo the higher levels to AlgebraLet's continue our search...
T. P. PrakashanGHSS, Vazhakadu, Malappuram
Unnikrishnan M. V.GHSS, Kumbala, Kasaragode
Narayanan K.BARHSS, Bovikkanam,Kasaragode
Mohanan C.GHSS, Angadikkal South, Chenganoor
Ubaidulla K. C.SOHSS, Areacode, Malappuram
Vijayakumar T. K.GHSS, Cherkkala, Kasaragode
Sreekumar T.GGHSS, Karamana, Thiruvananthapuram
V. K. BalagangadharanGMHSS, Calicut University CampusMalappuram
NarayananunniDIET, Palakkad
Abraham KurianCHSS, Pothukallu, Nilambur
Sunil Kumar V. P.Janatha HSS, VenjaramooduThiruvananthapuram
Krishnaprasad M.PMSA HSS, ChappangadiMalappuram
CoverRakesh P. Nair
Experts
Dr. E. KrishnanProf. (Rtd) University College, Thiruvananthapuram
Academic Co-ordinatorSujith Kumar G.Research Officer, SCERT
State Council of Educational Research and Training (SCERT)Vidya Bhavan, Thiruvananthapuram
TEXTBOOK DEVELOPMENT
Participants
Venugopal C.Asst. Professor,
Govt. College of Teacher Education,Thiruvananthapuram
Dr. E. KrishnanProf.(Rtd) University College,Thiruvananthapuram
ENGLISH VERSION
Academic Co-ordinatorSujith Kumar G.
Research Officer, SCERT
Equal Triangles .......................7 - 32
Equations .............................. 33 - 44
Polygons ................................ 45 - 60
Identities................................ 61 - 86
Money Maths......................... 87 - 96
1
2
3
4
5
Certain icons are used in this textbookfor convenience
Computer Work
Additional Problems
Project
Self Assessment
For Discussion
�
���������
���� � �
��������
����
����
���� ����
������������������������
��������������������� ����������� �������� ����������������������� ��
����� ������������� ������������� ������������� �������
������������������ ����
����������� ����� ��
!��� ����� �"
����������� ������������ �������� ������#���"
!��� ������������ ������� ������#���"
������������� $��� ������� ���������%����� �����#������������
&����������������#����� ������ '' ������ �������� ���
����
����
����
����
��������
������������ ����������������������������������������������� ����� ����� ��������� ������ ������������ ��������������������������������������������������� ′�′�′�� ���������������!����"����������������������������� ���� ������ ��� ����� ��Δ���� ��� ′�′�′���� ��������
����������� ���� �� ��������������������������� ���������������
����� ������������ ���� ��������� ������������������� ����� ��������� � ������������������������������! "������������� ′�′�′�
#�$��������������������������������� ���� ������������ ��������������
����
����
����
����
����
����
�
��� � �
������� ��������
������������� ������ ���� ��� ���'�'���������� �������������� ���� � ��� ������������������� �����#����� ������ '' �
����%����� ������ � ����������������� � ������(�������
�������� ������������������������������ ����� ����� �� ���� ����'�� )� ���
������������������������������ ���
*��(���� ������������������'� � '�������������������������"
������������������������������������������������������������������������������������������������������
*��������������� ����"
+ ���� ���������%��������������������#���%����
����� ������������������� ���%������������������
�����,�������������������������
� ������� ���%�������∠��
∠�� ����������������� �Δ����
� ��� ����������������� ����
+�
∠� - �����������
.����� ������������������������� ����������� �����
∠� - �����������
&��������� ���� /��������
∠� - �����������
%���
&���� �
�
� �
�
���� &���
%���
����
�������
#����������������������������������������������������������
����������������������������������������������$���������%�����������������
����
����
&'�
&'�
����
'��� ����
'���
(�������������������������������)��
�����������������������������������������������������������$����
��
���������
���� � �
%���� �
�
���� ����
�� ''���
����� ������������������������%������������ �����
����
�
�
�
��������
����
%���
������������
&�������� ���� ������#������ ���� �����
+ ��������������������������� ���������%�����������������������#���%���������� ��
∠����-�∠�� ∠����-�∠��
�� �������������
#���������������������������
�����
&���
����
&���
����
&���
�����
&���
�������%�����������������&�������������*������������(�����������������������������������������������������������$����
+�������������������������"�����$�������������������������
+�����������������������$����
+�����������������������������������������������������������������������������
����������� �� ���� ������������������������� ��������� ����0
������������''�� ����� ��� ��� ��∠����� ��� �����������������
&� ������������������� ��∠����� ��� ���''�� ����������������� ������0
������� �������� ��∠����� ��� ���''�� ���������� ���� /���� �������
��� ����������� �����
+����������� ����������� ����#������ �� ��������������� �"
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
*��(������������ �������� ������� �� �����1���������� ��������#�����
.������������������� ����#���������� ���� ����������
��
��� � �
������� ��������
∠������∠��������������������������#������� �
�������� �����'� ������������� ����+ ������ ������
�����%���������� ���������������'��������
+ � �������������������'���������2��������$'�� �����3
+������ ����'�������������2�������� �����������
�������������������������������� ���������������$�#���3
.��������������� �� '�������������� � � ���� ���� �������� 4� ��� ������� ������ � ����� 5��� �������
%���� �
�
�
�
�����
%���
����
���� ����
�(���
)*�������
���'����∠�����Δ��������������������Δ����
��,
263 �������� �����#�����
���-��� ���-��� ���-���
�
� ���� ���
��������� ������
�����������������������������������������$�������������������������������������� ����� ���"������� ��� �������� -���������������
��� ���� ���� ��� �� � ������� ������� ��� ���� ���� ��� ������ � ������� ����� ������ � ������ � �������
������������� ���� "�������������� �.����������������������������#�����/�����������������+������������0��!�����1���#����������� ������2�����������������������������0������1���������������������������$�������������������������
� �
�
�
�
)*���
����
(���
27� �������'� ������� �����#������� �����'� ����������� ����������� �����������
3
��
���������
���� � �
283 �������� �����#�����
���-��� ��-��� ���-���
���'������������� ���������#������ �����
2�3
&�����������������������%���� ������ �����#��������
2�� ������%���� ����������������#�����
���-�� ���-��
�
�
�
�
(���%���
%���(���
���
����
�
�
�
���'������������������������%���� ��������
���������������
3��� ���� ������� ����������� ���
����������������������������"�
����������������4
��� ���� ���� ��� �� � ������� �
������ ��� ���� ���� ��� ������
� ������� ����� ���� � ������� � �
���� �����
��� ���
� �
�
� �
�
��
��� � �
������� ��������
������������������������������������������������������������������������������������������
� ����������������
9 ���������������������� ���������������������� ����� ���� ������ ��������������������#����������� ���
������������������ ������������� ��������������� ������0��������������������������:;�
������������������ ����
������#�������� ����� �"
������
����
����
���
����
����
!��� ����� �"
���������������� ������������ ����������� ������#���"
����
����
&������������
&��������� ���� ������������� ����������%����
&������ ������ ����������������������� �������'����� �� �� ������'�� � ������������������
������������������� � ���
���������� ��������������������
������� �� �����������������5�6� ����7�'���������������������������&�'��8����������������������&���'���8��#���� ��� ���� ����� ��� ���� ������9����������� ���������������������!������������������,��(�����������!������ %����� ��� ��������� ������� ����������������5�:�
���
����
����
��
���������
���� � �
*��(���� ��������#������ ��������������'� � '��"
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������������������
+����������� ����"
����� �����������∠������#������� �Δ������
�%������������ �������������∠������#�������
����
+���#����������������������������� ���� �����������
����Δ������Δ�������������%���0∠����∠����
�%��������������� �����������������
� ������� ���%������� ∠��
<%��������������''�� ����%����� ����
∠� ���''�� �������� ���������Δ����
����� ��� ���������%���������� ����0�����������
�''�� ��� ��∠��
+���∠��-�∠��
+ � �����������������������∠��-�∠�2��������$'�� �3
����� �������� ���������������������������� ����������������4
�������������������������������!����������������� ���� �%��� ���� ������������������ �����������������%����������
(��������������� �� ����� �� ���� ������������������������������������������!����� ��������������������������
����
(����
�
�
���
(���
����
� �
�
���
;����������������������"����������������������������������������������������������������� ������������������"����������������
<��������������������������
=��������7������������������������������������������������������7������������
�
��� � �
������� ��������
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
���
� �
�
����
&����
=����#������� �������� ������2�������� ���� ������������������������"���������������� ���������������$�#���3
������������
�� - �� - ����� �����
�� - �� - 8���� �����
∠� - ∠� - 8:;
&�������� �����������%����
#��������������$��������������������������������
��������������������������������
27� �������'� ������� �����#������� ������'� ����������� ���������� ������������
3
3
���
����
&����
� �
�
���
���
%���
��
����
����
%���
�
����
�
�
&���
����
.������������������ ����"
���
&���
�����
�
�
�
���������
���� � �
26� ������� ����#����������������'��������� ��"
3 &������������������������%����� ���
3 &��������'��������� ���
28� ������� ������ �������'����)��������� ���
���
���� �
�
�
2�� ������� ����#������ � ������� ��'� ���������� ��������'������������������������� ����
���
� �
�
�
2�3 ������� ����#����������� ���������������'����������>� ������� ��'� ��������
����� � �
� �
����
%��� %��
�
��� ���
� � �
� �%���
)'���
�� �������������
+������ ���� �� ������������� ���������������������%�����.�����������������7��������������<���������������������������� ��� ��%������� ��� �������� �������������������������������������������� ����
2���������������������������������������������������������������<���������������������� ���� ������� ������������� �������������������� ���������������������������������������
<�����������������������������������������������������"��������������������������������������������>������������������������������������������������������������������������������
������
��� ���� ���� �
���○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
%���
%���
;����������������������������������������������$����9����,�(����������������� ���� ����� ����� ������ ��� �$���� ��� �����������"�����������������������������������������
��
��� � �
������� ��������
3 ���'����������������Δ� �Δ ����Δ� �
3 ���� �� �'�� ��� �#���� ���� %���� �������� � � �� ���
������������ ������
�������� ����������� ���������'�� � ��������������� �0� ������� �������������������#������������'�� � ������������������������������ ����
���� ������������������ ����������������������#���� �����������'�� � ���
!���� ��� ��5���� ���������������������� ������������:;����4:;������������������� ����
������#�������� ����� �"
��� �����'�� � ��������������������������������� ����� �"
������
(���
��������������������"
������
���
������
��� ���
(���
(���
&������������
������������� ������������ ������� ��5:;�2����3
�����#������������������� ����
��
���������
���� � �
���������������������� �������������������� ���� � ���� ������������������������� ��������������%������ ���
+��������������� ���������'� � '��"
�������������������������������������������������
������������������������������������������������
���� ����� ���� ��� ����������������������������� ��
��������������������������������
������� �������������������������������� ��75:���+��� ������������������������ ������������������������������� ���
����� ��������������������� ���������%������������������������������ ��������������� ������������������%����
+�''�������'� ������ ��������������%����� ���������������� ���������#��%����
1���������� ������ ��������"
��� ������ ���
���� �������� ����������������� ����
(��� (���
��� ������ ���
������
(���(���
#���������������$�������������������������������������������������������������������
��
��� � �
������� ��������
��������������� ��������������������� ��������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
������������������������� ���������������������������
� �
� �
����������������������������������
!�������������������������"����
∠�������∠������������������������������#��������������������������������������������������
$��
∠��� % ∠���
$�������#����� ���������������
∠��� % ∠���
&'���(
�����������������������������������������������������������"�����$���������������������"�������������������"��������������
���%��� ���%���
������������������#��������������
��������������� ����������������������
���������
����������� ������� ��� �������������� �� ������ ��� � ���������� ��� ��� ��������� � ������ ����������� ��� � ������ ��� ������ ��� �������������������������� ����������� ������ �������� ����������� ����� ���� ������ � ���� ��������������� ������������������������ ��� ����� ���������� ������ �� ����
!�������������������� ��� �"��#��$������������ �
� �
� �
���������������������� ��� �#��$��%&������������ �
'�� ���� ���� ��� � ��� ����� ������ �����(�� ����� ���� ���)� �*��� ���� � �����+���� ������+������������������������������� �������������
,�� � ��� ��� �� ������ �� �� ����� ��� ������� ��� � ���� ���� ��� �� ���� �����-������������� ������������������
��
���������
���� � �
� �
� �
�
���������� ����������������������������������������������������������������������� ���������������������� ��������������������������������������� ����������� ��� ������������ ���������������������� ���
��������������� ������������������������������������������������� ������������������������
������������������������ ����������������������
������������������������������������������������������
����
���� ������������∠�����∠�����������
��������∠������∠���
����∠�������∠����������
��������������������������������������������������������
������������������������������� ����������������������
�����������������������������������������������!
������������������������������������������� ����������
�������������������������������������
���������������������������
"��������#�����$����������������������������������������
������
��������������� �� ������������ �������������� ��
��������������� ����������������
��������������������������������������������������#��������������������
���������%�������������� ���#��%���������������� ������%��������������&
��������������� �����������������������������
����������������������������������������������� �� �������� ������������������������ ������ ������������� ������������������������� �����������������������������
��
��� � �
������� ��������
��� ���
! "��
��� ���
# $
%
��
���
���
� �
�
��
��� ���
� �
�
��
�
�
�
�$
� � � �
��
�
273 ��������'� ������� �����#������� ������� �'� ������� �������� ������ �������
�,
9B3 ������� ���������������%�������'������������ ��������������������������� ����������'� ���� ������� �������������� ������������ �
�, &�������� ��������$���%������������ ������� ��� ���
��, ���� ���'�� ����#��������'�� � ����� �����
���, 1������� ��������� �����������A� ��������%����������������� �'� ������� ��� ��
9*3 ������� ����������� ����'������ �������� ��������������������������������������������� /�������� ������������ �$������� ����� ���� � �����$����������������
�, &�������� �����������%������������ ���������� ���
��, &��� ���� � ��������� ������ �������%����� ���
��
���������
���� � �
� � �
�
� �
� �
$
%
� �
�
&
2�3 ������������������#�����
���-��� ���-��� ���-���
����� ��� ��������$�����������������
�, &����������������� ��� ���%����� ���
��, ���� ����������� ��#�����������������������%���� �����������
��������� ����&1.�
243 &������������ ��������������������%����� ���
3 &���������%����� ���
3 ���� ����������� ��#����������������������������
2�3 ������%���� �����������������#����������� ���������������
'���������>� ������� �'� ���������� ������
��
��� � �
������� ��������
������������������������5�*������7�5
:6������� ������� ��� � ����� 8������
������������������ ���������� ���������
@��������������������������������;��
���������������"�������������������
�������������������������������������
��%�� ���� �$���� ������� ���� �"���� ���
������ ���� ���� ���� ����� ���
��5�8�
� $ �
��
�
��
� �
�
������������������
+����� ���� ������������ ���� ���������%����
1�(�����������������#������������������#��%����
����������'�'����� ����� ����� ������������������ ������+������������%����� ������ � ������������������� � ����� ���
�����������������%����
*��(������������ ��������� � ������ ���������� ���B� �������'��������������� �'� ��������#������� ��"
.����������������� ������ ������ �������� �����������������%����
+ ��� � ������� �'� ������������������ ����� ��%����
��#������ ������������ ���� ��� ��� �
+ �������� ������������� �������������������������''�)� ����%����� ��������������%����
+������∠����∠���''�� �������� ����>� ������� ���������%����
*��(���� ����� �������������'� � '���
������������������������������������������������������������������������
�������������������� �∠� ����∠� � �Δ� ���Δ� ������''�� ��������%����� ����&�����,�0�������������������������%����
��
���������
���� � �
� �
�
� �
�
�
-������������������������������������������������+��������������;����������������
+ ��������������������� ������ ����������� ���>����� ������ ��75:;�
+��������������������� ��C:;
����� �������� ���>� ��'��'�� ���������&,�
.�������������"� ������������'� � '�������� ���������
����� ��� ������������������ ���������%�������������� �����''�� �������
������%����
*��(���������' ������
��Δ�������������∠�-∠�������%���� �� �����������-��
*��(���'� �������� ���� ����������#�������?����� �� ���������� ���������������'��'�� ��������������������������������B� ����������� �'� �����������#������
��� ����� ������#������������������������������������������
#����� ���� �����#�����������������������������
�����������∠�-∠�
&�������∠���- C:��-∠���
+��������� �����������������������������%����2����3
�
��� � �
������� ��������
+�������������� ��������������� ����
+�����%����C������5�6�������7�5�?6����������������������8�
�����������������������������∠��5∠��5�α������������������������������!������������Δ����
;�������� ���� ����� ′����′����� ��������� ′�� �′� �� (��� ���� ���� �������������������α�� ���������������"��������������������α 5�86��� ����"����α 5�&'���
� �
�
����
���
���
����� ��������� ���������� �������������� ������������%����
+�������� �����''�� ����%�������������������%����������������������&�
���,�������%����
��� ���������� ��� �� �������� ��� ������ ���� ��� ����
������������������������������
&��� ����� �������� �����%����� ����������� ����������� )
�����&����� ��������������'� � '������������� )
������ �������������%������������� ���������
+����� ���� ����
��������������� ����� ����� ���� �������������� �����%����
������������%� ���������� ����
��Δ����������#�������-���������∠����∠�
�''�� ���������� ���������%�����&����&,�-�&���+�������∠�
���∠���''�� ���������� ��������������%�������������������
���������� ���� ���������%�����+ ����������������������
��75:;����������������������� ��75:;�÷�8�-�4:;
��������������������������������������%&'
!��������������������� ����� ������������4:;�� �����%� ���������� )
����2��������$'�� �����3�
�
���������
���� � �
����
��
���
���
���
� �
'
���'����∠�����∠��
273 +���� ����������� ��������������#��������������������� �� ���D �����������������
263 !����������� ����������� ���� ��C:;�� ���������������������
�����
283 !����������� ����������� ���� ��4:;�� ���������������������
�����
2�3 ��� ����#�������� �������������������� ������������������'� ����
����� �����
��
��� � �
������� ��������
� � �
�
�
� �
� �� � ��
'
� �$
� �
������������������������"��������
� �$
����������������������
�� ������� ����#������!� �������������������� ��������&��,�������'� ���������� �����
������������������������
���������
+����� ��� ����
������������ �����������������%�������� ������'��)
'�� ������������������
��������������������� ���������������������
������������������+�����-���������� ������# ���������
&� �∠������∠��������%�����+����������������
����� �����# ������∠������
������� �������� �������� ��������������� ����� ��
������(�������������������������������������������
��������������������������������������
&�� ��� � � ���� ����������� ��������%����'����� �
���������# ������������� ������ �����#���������� ����� ���
# ������������������∠���+ ��� �� ��'��'�� ���������&,
������ �� �������������'��'�� ������# �������������
���������� ��%����� �������������� ��� �����
���������"�������������������
��
���������
���� � �
� �
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
� � �
�
� � �
� � �� �
� � �� �
○
○
○
○
○
○
○
○
○ ○
○
○
○
○
○
○
○
○
�
���������������������� ���������� ������������������������� �������������������� ���� ����������� ������������������������ �����
� � �� �
○
○
○
○
○
○
○
○
○ ○
○
○
○
○
○
○
○
○
�
� �
�������������� ��������������������� ������������ �� ����������������������� ���� �
���� ������ ������ �������������� ��������� �����������
�� ������!�� � ����������� �������"����#�
�������������� ���������� �������������������� ���������������������������������� ��� ���
������������� �����������������
�����
����� ������������������������
�������� ��� �� �����������
������� ������������
���������� ���������������
��������������������
���� �������� �������
���������������
�������������!��������������������!���� �"��!��
������ ����������������������!������������������
������������������������������� ��� �����������
����#�������������� �������������
� ��$���������������� ���$������������$���������
%����������� ���������������������������!��������������&��� ��
��
��� � �
������� ��������
�
� �
�
� �
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�������������������� ���������������������� ���������
○
○
○
○
○
○
○○
○
○
○
○
○
○
�
� �� �
○
○
○
○
○
○
○○
○
○
○
○
○
○
�
� �○
○
○
○
○
○
○○
○
○
○
○
○
○
�
�������������� ����� ������������������������������
������� ��������������������������� ���������������������
���������� ������ ������������� �������������������
� ������������
����������������� ������!�����������������������
�����������"�#���$%��&�������� ���������� ��������
�������������
#'% (�����������)�*����� ����������� � ������������+
��������������
#,% (������-����!������� ��.�/*����� ���������
#.% (����������������/*����� � �������������
#0% (������������������ ���,�,*����� ����
#*% (����Δ���!� ������� 1� )� � !�∠�� 1� ,, 1
22!
∠��1�)/ 1
22�
������� ������ �������������������������������� �� �� ��������������� ����� ��������������������������������������������������������� �� ���� �������
���� ����������� ������������������ ���������� ������� ��� ������ � ������������������!����� �������������������"� ������ ���������� � ����������� ������������#�������������� ���������� ��������� ���� ��������
��
���������
���� � �
98� 1�������� �����������'��'�� ������# ���������������������� �����1�
����������# �������� ���������������������'� ��
9E� 1�������� �����������# ����������������������������������������# )
�������� ��������������������'� ��
9F� @���������� ��#����'� �������''�� ���� ���������%���� �������������%����
���� �� ����'������������
� � �
� � �
����� ���
����%���������
)������� ���� �����������%�
��7������������������
�-�������������������������������
���������������������������������-
�������������������������������"�
������������������������
9����������,������������� �����
��������
-�������������������������
����������������������������������
(����������������������������
���������������������"�����������
����4� ���������������������������
"������������7��������������
�����������G�����������������
��������"���������������������
�������
;������������������������
������������������������
�������������������%�
�����������������
����������������������
@������������� ����'������������
9:6� @���������� ������� ���������'�����������������%�������������� ����� ������'��'�� ������# �������������������
9::� ������� ����#�������� �������������������� ����
������ ����� ���������� ����'� ��������� �����
�, ���'����∠����
��, 1������������ ����� ����� ���� ������ ������
��#������������ /�����∠�'�������������∠����
���� �
�
'
9?� ������� ����#���������� ����'�����������������-����
��
��� � �
������� ��������
9:B� ������� ����#�������� �������������������� ���������� ����� �������
�� ����'� ��������� �����
���� �
�
'
������������ ���������� ���������������������������� �������������� ������������ ������������������������� �����������������������
����������������� ��������������� ������������������ ����� ������ ���������� ���������� �������������������� �������������������
3 ���'����∠����
3 1������������ ����� ����� ������ ������ /����� ∠�����
����������∠����
������� ������� ��� ��� ������� ������������ (��������������������������������������������������������
278� ?�������� ������� ����������� ��������#�������� ����������:��������� �������� �������
27�� 1�����Δ����� ������-�������∠�-�4�o1
2��∠�-�7����� �����
�� ���'����������
��
���������
���� � �
����������
!������������� �� ��������
��������
�������"�� ���������
� <$'�� �������� ���������� ��� ��������%���) ��������������������������� ���� �'�������%��� ���������������������
� D��� ������������������ ��'� � '�������������'� � '�����#������ �����
� 1���� # �������� �����������������������'��'�� ������# ������������� ���������# ���)��������������
� 1���� # �����������������'��'�� ������������ ���������'� ��������� ������������'� ����������� ��
��
���������
���� � �
��������������� �����
�������������� ���������������������������������� ����������
�������� ������������ !��������� ���������� ��������������
!�!��"���������#���������!�##��
���� �������������������������
$����� ������#�� ���%&������������ ����$�#��������%&������
�����%&�−�$�'�()�
*��������+����������!��������������������������������,����
����(-�����#!������� ����������� ���������+�����#��� �����
(-�����
������������������+� ��������(-.����������(-�/�+�'�%&�
012 ����� ��� ��������� ����#��������!�##�������� ����������� ���
���"��3�4���������������� ���� ���������������##�����
0-2 5���������6&��������7�����!����������������������������
���1)�����#!���8������� ���� ���������������������
0)2 9��#�������������������!����������$��!��� �����������������
�����������,����������(6������ ���������������������
���������
0(2 :� �#������16)���������������������������-1$�����
���� ���� ������������������!�����
0%2 �-6(������������� ��� �������(%-��;������������ ���
062 1<+�����������!�� ����� ��� �������16)��;������������ ���
�������������������������
���������� ������ ������ ����������������#��������������
=��������������������������!���##������� ���� ��������#���
�����������
1&&&&��������#��������� ��.������������ �������#������#!��!�1&&&&.
���������%&&&�
��
��� � �
����������
8�����#�������������!�����������!�� ������#�������������>��
����������������!���������������;��������������#���!���
1%&&����1
4��!������!��.��������#���!������(��� ��1%&&.
���������'�1%&&��(�'�6&&&�
012 ������ �������� ����������#�������!����� ��������!�������=�
����������(&&&&������� ���������� ������������������
�����
0-2 =������##����!����������#���?��##������%-&&���������
@��������1)&&���������� ��������##����������
0)2 A��� ��� �#��#������1-������$%6��;������������ ����
0(2 A��� �������������-1������$%6��;������������ ����
����� ����������
7���������������# B
-)����������������������������������������������!
���������;���������������!�����������
7����#����������#���������=������#��������� �-)�����������!�)
���������#������������������������������������
=����������#�����������#��-&������=����-&����������������!
�����������������������!������������1&������,���#����#�����������
���������=����������1&���������������-&����.�����)�����!��
�����
A#��������-)�����
7�����������������# B
;������� ���������#���������������������������
%&��;������������ ���
��
���������
���� � �
����������������������� ������������������������ �������� �������������������� � ��������������������������� ����� ������������������������������������� ��������������� ���������������������������� �������������������������� ��� ��������!�������������������������������" ������� ����������������� �������������
���� ������������������ #�� ����"��������� �� � ��� ������ ��������������$���� ����� ������������ ��������������� �� ������� %
�� �� �� ����� ������ ������� � ������ ����� � �������� ��������������� ������������������� ��������� ����� � ��� ������ �� ������ � ���� ��� �� ����� � ���� ��� ���� � ����� ���� ��� �� ������ �
A�� �������� �� ���� !����� �#��#��� ��� )� ���� ���� -� ����
�����%&�
�& '��
� � ()
=���������������#��� ���������������##�����#�������
-������!���##������%&.�����!����������� �����
%&�−�-�'�(+
�& '��
� *+ ()
−��,��� ���� ����� ��� ����� ��� ��� �������#� �� ��
!�� �(+�
������ �#��#�����������)�����������(+.���������������#
�� ������(+�÷ )�'�16
�& '��
,- *+ ()
÷�& −��
7����������������# B
;��� �� �� ��� ��� ���#�� ���� ���� ����������� ��
��� �(&��������������� ���
�������� �����!���������������-�!���##�� �������
���(&�/�-�'�(-�
=��������������� �#��#��������).�����!����������� ���
��������(-�÷ )�'�1(��=�����������#��� ������1(�
×�& −��,* *� *)
÷�& '�
7�����������������# B
;�����!�������!����� ������������������� ����)&��������
;������������ ���
��
��� � �
����������
;�����!��������������������5
4��!������ ����=����
5
4��!������ ��
���)&�
�������� ������4
5��!��)&�
=�������)&��4
5�'�-(
.,� A������������!�����������������8���!��������������������
��������������������!����������������������� �)-���������
����������������������#������� �������#������������
����
0-2 =���� ����!���������#����-%� ������������!����
�������%� ��������� ���� �������������������
0)2 ��������!�������# ���#����������#���!���������
���������������� ������������8��������� ���
0�2 ����������������#����1&1�
0��2 ���������������#����1&1�
0���2 ��������������!�� �����#����1&1�
0��2 ��������������!�� ����#����1&1�
0(� ��#!����� ���������������� ��������111��;������
����� ���
0%� A�����!�!�#�� ���B������#���������!#�����!�������
����� �����������"
A�������#���
;��������������;������#!��!���A�����#!��!�����;������� ���;��#�� ���������"
���� �����������������
������������ ���������� ���������
����������������������������� ������
������ ����
/ ���� �������� �������������������
#0��/������ � � ��� � ����������
����� �������� ��� �������� ���
����� ���� �������� �� � �� ����
������������� ��� � �� ���� ����� �
�� �������������� �������� � �������
��������� �
1��� �� �� �� �� �� �����������
������ ��������� ��� ������2��
���������� �� � ������ ���������
������,-()�#0��� � �������������
������� �3�� ������������ ������
������������������������� ������
�� � � ������� ���3�� �������� � � ���
������ �� ���������#��� ��4� ����
.1����� ���� � �� � ����� ��� ��� ��"
��������3��5������6������ �� � � ��
����������6����������� �7
���� �� � ������� ���������������
�������
��
���������
���� � �
����� ���������
;������������ ���!������!��##�������# ���������������!���
=�����#���!��������� �������������������������� ����������.����
��!��������������#��� ���
�����������������=���������!��##��������������������������
�����������#����������!������8����� #��#���������������# B
3��������������(���#���� ���!�����������������#����������������
#����!���1&�������������������1)&������;���������
�����!������#���� ��!������
8�������������������� ����#������B
;������� ������ �#��#������(�����1&�����������
1)&��;������������ ���
���������!��������������#��� ����8����������������
!���#�1&�����.�����������������(�����������������
�#��#���!������=������
01)&�C�1&�2 ÷�(�'�1-&� ÷��(�')&
=���������������������!������#���� ���������)&
����
,���#���������������# B
A���� ���#����������������������� ����
������#�� ���#���������#������� ��� ��
����������������;��������#�������#��������
�������
8������#���������������# ���������#���� �����=���� ��
�!���������#�������������� ��!�����#��������������������
���#���������#����1� ������������������������ ��!����#����
����������� ��������� ��!������������1�������������������
=����������# ���������B
=���� ��!����� �������1������������� �#��#������-����1&�
;������������ ���
9�����������!����#���� �#��#�����������-��������������#�������B
=���� ��!����� �������1���������������%��;���������
�� ���
��� �����
3���88������3�� ��������
� ��� ���%
3���������������� ��������
�� � �,(��������� �����������
���������� � ��� �������� %
*�� ������������ ����������� �
(����������,(����� �&���� ���(�
1��� ������� ���� �,���������
�������� ���*�
������ ������� �������������
� ��������������9�� �� �
��
��� � �
����������
;������������� ��������� ��!����#!����������������������?��#���
��������������������� ����3 �����������������#����$��0=�
������������������� ����!����#������������������� ��2
;��#������������������� ���������������������������#�����
��/�0��/12�'�-��/�1��!��������� �����
7���������������������# ���������������������� !����������
���������� ��������������# �����������������# ���� �������
!�-��/�1�'�%������������
;���������� �������!�������;������� ����������#������1��������
���������� ��%���������������� ���
;�����!��������� ���������������
�0%� −�12�÷�-�'�-�
���������������!����������#����-� �����������#�����
)� ����
�� �� ��������������������������������# �������
�#�����!�� ������������������7���������������# �
=�������!������������������#�����������(%&&
�����=�������!�������#����1&&&����� ��
�����������!�����������;���������������!�����
7����������������!���������������������������
�����!�������#����1&&&����� ������������/�1&&&
��������������������#�������!�� ��!�������# �
!���/�0��/�1&&&2�'�(%&&������������
������������������/�0���/�1&&&2��
��/�0��/�1&&&2�'��-��/�1&&&
���������# ���� �
!�-��/�1&&&�'�(%&&������������
;����������� ������
������ ��� ����������
������������������� ����������� ���
���� ����������������������������
��� ���������� ������������� ���
������� ������������� �
.��'�7�:���;����������������� ������
��������������������� ��� �
�����'���;����������;���:���
��� �� ���������������������������
������������������������������ �����
�� ����������������������������
���������
�����:���;����������;���'���
��� �� ���������������������������
������������������������������ ��
�� ��� �� ��������� �������������
������
�
���������
���� � �
;������� ������ �#��#������-���������1&&&����������
(%&&��;������������ ���
=�������4�������#�������# �������� ������������������
;�����!��������� ����������������7���������������#�������#�����
;�!������������������ ������(%&&�−�1&&&�'�)%&&�
=�������
-��'�(%&&�−�1&&&�'�)%&&
=�����!��������� ������#!����)%&&�÷�-�'�1$%&�
;����������������#�����
��'�)%&&�÷�-�'�1$%&
,������������������������������#����# ��������
�������������!�������������1$%&���������������
�!�������#����-$%&�����
7����#���������� ������# B
A�����������������������������������
����������������������������##������ ���
�!�����
7������������� ����!�������������������.����
����� ����!���������������$�−���
���������������� ���-&�������$�−��������
����� ���1&�0$�−��2�����
A#�������-&��/�1&�0$�−��2��������������������
���1&&�����
���������# ������#�������������B
!�-&��/�1&�0$�−��2�'�1&&������������
���������������� #�!��-&��/�1&�0$�−��2
-&��/�1&�0$�−��2�'�-&��/�$&�−�1&��'�1&��/�$&
*�����������������������������# �
!�1&��/�$&�'�1&&������������
���������������� �������
1���������������������������������������������������������������������� ����� ��������������������1����������������������������
���������� �9���� ������� ���������������� � ��
��� �������������������������������������� %
������������������≠��������������b
a
�������x
a����������������
��� ���������������������� ��������� ����� �� ������� ��
��������������������������9�����
�
��� � �
����������
�=�� ����� ����� ��� �� �#��#������1&� ����$&� ����� ��� ��
�������� �����1&&����� ������ ����� ��� ��������� ��� ��������
$&�!�� �1&&��������������1&�� ���#��������� ��
��'�01&&�−�$&2�÷�1&�'�)&�÷�1&�'�)
=��������������������������#����# ����)�������C���������(����C
��������
01� =�� �� ��� �!� �� ������#� ��� +&� ���� ���� ���� #����� ��
��� ��� ������������������������;�����������#��������
�������
0-� 8�� � �� ����� ��� �� #���� ������� #��� ��� ��� �
����������������������#��������������%&�� ��
�����������#��������������������� ���������
� �##�����#�
0)� =������ �!� �� ����� ��� (� ���� ��� ����� ��
�����!������=�������!������#����-�����#��
�������������!�������=������#������!�%�������
-��������)����#�����$(������;�������������
�!�����
0(� �2 =���� ��!���������������������#��� ������
)6��;������������ ����
��2 =���� ��!�������������������� ������
)6��;������������ ����
���2 D�������� ��!��������������������� ���
��)6��;���
��2 =���� ��!��������������������� �������))�
;������������ ����
�2 =���� ��!��������������������#��� ������
))��;������������ ����
0%� �2 ������#���������?�����!�!������ ������� �����
=���� ��!������ �������+&��;���������
�� ����
���� �� �� � �����
3��������� � ��������� � /����
�������6���� ����������������� "
�������3�����5 ������� �����"
��� ����� �� ������� ������ ��
4�������3�"������8���
$���� ��������������������������3<�
�� �������� ������������������ ��
� ������3����������������=����>�
?� �������� ��������������������
�� � � (����� ���� �� ���� (� � ��� ��
�������������3�:������8������� � ���
������ � ��� ���3���� ���� =��
����@�� ������������ � A������ �
�� ����������/���� ��������� ���
� ����� ��������� �
���/���� �������������������� �� ��
����� ��"��" ������������� � �
���������.� ��������� ��������� 7�
��� ����� � � ���� ��� ���� ������
��"������8���
���������
��
���������
���� � �
��2 A��?�����!������� ������� ������������#������=���� ��!��##
������ �������<&��;������������ ����
���������� ����
����������# B
=�������������������� ��� ����!����� ������� ���;������������ ���
�����������!��������� �����������������������E���������������#������B�������!����� �������� ���!�� ������������ ��������������������#������ ���
0���������������������� ���������#�������������������� ����!����#����$��������2
���������# ������������������������������#������ �������������������� �������� ������!���
��������������������������#�����
!�����������������#��� ���������������# ������
)��/�1&�'�%�
;�����������������%��!�� �)����������������-��
=�������
)��/�-��'�%��
���������# ��;���������������)��������%�����1&B
=����-��'�1&����������'�%�
7����������������# ��#����#�B
)6���������1)��� ������ ��������)1��� ������ ����;������������ ���
=�����)1��� ������ ���!�� �1)��� ������� ������ ������ ��� �����������
)1�−�1)�'�1+���� ���������
���������# ������������������)6������1+��� ������� �����)6���������� ������-�
��������������#������=����������� ���������������#
������� ������!���#�����������������#�������B
��������
;���������� �������!
����������������������� �������
����� )� ����� ��� -� �� �� ��
�� ��������-���������)��� �
����� ������������� ����#��
=�������������#���!���'�1��A#������
���� ����#�����������������������
������������������ ����������
�� � ���#��� ��� ����##�� ��##�
?��������
��
��� � �
����������
1)��/�)6 ' )1�
)1��−�1)� ' 1+�
1+� ' )6
� ' -
,���#���������������# B
1-���������)��� ������ ������?��#����-��������%��� ������� ����������������� ���
=����������� ��������������������# ������������������
)��/�1-�'�%��/�-
;�����������-����������)�� ����%����=�����%��/-��� ��������-� ����������
=�������
)��/�0-��/�-2�'�%��/�-
��������# ������������������1-�
���
-��/�-�'�1-
,����������� ����������������B
��'�01-�−�-2�÷�-�'�%
7����#��������� � ������# �B
=������!�A���� �������������� ��������!�A���A!������������������#���������� ���;��������������������
;�����������������A���������������������������������������# ���� �������������<������
A!���<������
A����������#������/�<��
5�������������#����<���/�<�
E������������������������# �� �����������������#����)��� ��A�����.���������)�0���/�<2�'�)��/�-$�
,�������������������������# �����������#�����
)��/�-$�'�<��/�<
;�����##�����#������������)��������<��/�<�
����� � ����
����������"����������������������B
���� ���� ��� ������������� �� ��
���� ��C���5�����������������B�� ��
��������� �� ���'�B�;�,,����������
�� ������� � � ����B�;�,+������ ���� ���� �,,�'�,+�;��B�
� � �� � ���� ������� �"�����������
����������B�
���������������� �,)��'�B�����������
<� �������������� ��������������
����������� ���� ������������
0����������������������9����
,)���'� �;���'� �'�� �
��
���������
���� � �
����������� �������������−������������
��� ������������� ����������������� ��
�����������!��� ���������� ���������−�����"#�����$%�������&�'��(��')����������
������ ���)�����
�"� &��*� �� ��+�� ������������,��� �������"%�'�����+����������������'�����+�������'� ���-%�'����������� �+���$%���������.�����/��������������� ���0
��� (����������� ���������'����+�����������/���1��/����� ��/��������� �������� ��'�����/����� ���� ����'����+������������'�� ����'����+��/���2�� ���� ����'����+��/����������0
��� (3�/������ ���/��������� ����4�3�/����5�, �/����(3�/��6��������'������'��� �� ��+�4�3�/����2�� ���� ������������0
�-� !�7�� ��������'�������8'��� �� ���� ����� ����'���+� ����'������-��2�� ���� ����'��0
�$� �������9���� �7������� /�� ����'����+�������� ����� ����'����+��������������������"����������3������ �������� /��������� ���'����+����������'��� ����'����+��������.������/���������� ������� �������� /�� �+�� 0
����������
���������� ��� ��������
����� ��
��� ���������������
� ��7����������������������'����/��7�����
� :��������������������� ����������������������� ����� � ������ �/� ���7��� ��'����7������
�������
��������������� �
�������������������
������������������ �����
�������������������
������������������������
�������������������
�����������������������
����������������
��������������������
��������������
����������