44
Part - 1 Standard VIII MATHEMATICS State Council of Educational Research and Training (SCERT) 2015 Government of Kerala Department of Education

MATHEMATICS - Keralascert.kerala.gov.in/images/2015/textbook-2015/std-08/mathematics 8... · In Mathematics To the ever widening world of Numbers ... Rakesh P. Nair Experts Dr. E

  • Upload
    lamdiep

  • View
    228

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Part - 1

Standard VIII

MATHEMATICS

State Council of Educational Research and Training (SCERT)2015

Government of KeralaDepartment of Education

Prepared by:State Council of Educational Research and Training (SCERT)

Poojappura, Thiruvananthapuram 695 012, Kerala

Website: www.scertkerala.gov.inE-mail: [email protected]

Phone: 0471-2341883, Fax: 0471-2341869Typesetting and Layout: SCERT

Printed at: KBPS, Kakkanad, Kochi-30© Department of Education, Government of Kerala

India is my country. All Indians are my brothers andsisters.I love my country, and I am proud of its rich and variedheritage. I shall always strive to be worthy of it.I shall give respect to my parents, teachers and allelders and treat everyone with courtesy.I pledge my devotion to my country and my people.In their well-being and prosperity alone lies myhappiness.

THE NATIONAL ANTHEM

PLEDGE

Jana-gana-mana adhinayaka, jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Punjab-Sindh-Gujarat-MarathaDravida-Utkala-BangaVindhya-Himachala-Yamuna-GangaUchchala-Jaladhi-tarangaTava subha name jage,Tava subha asisa mage,Gahe tava jaya gatha.Jana-gana-mangala-dayaka jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Jaya he, jaya he, jaya he,Jaya jaya jaya, jaya he!

Dr. S. Raveendran NairDirectorSCERT

Dear children,We have travelled muchIn the world of mathLet's continueOur explorationsOur findingsWe have much more to go aheadIn MathematicsTo the ever widening world of NumbersTo the precise reasoning of GeometryTo the higher levels to AlgebraLet's continue our search...

T. P. PrakashanGHSS, Vazhakadu, Malappuram

Unnikrishnan M. V.GHSS, Kumbala, Kasaragode

Narayanan K.BARHSS, Bovikkanam,Kasaragode

Mohanan C.GHSS, Angadikkal South, Chenganoor

Ubaidulla K. C.SOHSS, Areacode, Malappuram

Vijayakumar T. K.GHSS, Cherkkala, Kasaragode

Sreekumar T.GGHSS, Karamana, Thiruvananthapuram

V. K. BalagangadharanGMHSS, Calicut University CampusMalappuram

NarayananunniDIET, Palakkad

Abraham KurianCHSS, Pothukallu, Nilambur

Sunil Kumar V. P.Janatha HSS, VenjaramooduThiruvananthapuram

Krishnaprasad M.PMSA HSS, ChappangadiMalappuram

CoverRakesh P. Nair

Experts

Dr. E. KrishnanProf. (Rtd) University College, Thiruvananthapuram

Academic Co-ordinatorSujith Kumar G.Research Officer, SCERT

State Council of Educational Research and Training (SCERT)Vidya Bhavan, Thiruvananthapuram

TEXTBOOK DEVELOPMENT

Participants

Venugopal C.Asst. Professor,

Govt. College of Teacher Education,Thiruvananthapuram

Dr. E. KrishnanProf.(Rtd) University College,Thiruvananthapuram

ENGLISH VERSION

Academic Co-ordinatorSujith Kumar G.

Research Officer, SCERT

Equal Triangles .......................7 - 32

Equations .............................. 33 - 44

Polygons ................................ 45 - 60

Identities................................ 61 - 86

Money Maths......................... 87 - 96

1

2

3

4

5

Certain icons are used in this textbookfor convenience

Computer Work

Additional Problems

Project

Self Assessment

For Discussion

���������

���� � �

��������

����

����

���� ����

������������������������

��������������������� ����������� �������� ����������������������� ��

����� ������������� ������������� ������������� �������

������������������ ����

����������� ����� ��

!��� ����� �"

����������� ������������ �������� ������#���"

!��� ������������ ������� ������#���"

������������� $��� ������� ���������%����� �����#������������

&����������������#����� ������ '' ������ �������� ���

����

����

����

����

��������

������������ ����������������������������������������������� ����� ����� ��������� ������ ������������ ��������������������������������������������������� ′�′�′�� ���������������!����"����������������������������� ���� ������ ��� ����� ��Δ���� ��� ′�′�′���� ��������

����������� ���� �� ��������������������������� ���������������

����� ������������ ���� ��������� ������������������� ����� ��������� � ������������������������������! "������������� ′�′�′�

#�$��������������������������������� ���� ������������ ��������������

����

����

����

����

����

����

��� � �

������� ��������

������������� ������ ���� ��� ���'�'���������� �������������� ���� � ��� ������������������� �����#����� ������ '' �

����%����� ������ � ����������������� � ������(�������

�������� ������������������������������ ����� ����� �� ���� ����'�� )� ���

������������������������������ ���

*��(���� ������������������'� � '�������������������������"

������������������������������������������������������������������������������������������������������

*��������������� ����"

+ ���� ���������%��������������������#���%����

����� ������������������� ���%������������������

�����,�������������������������

� ������� ���%�������∠��

∠�� ����������������� �Δ����

� ��� ����������������� ����

+�

∠� - �����������

.����� ������������������������� ����������� �����

∠� - �����������

&��������� ���� /��������

∠� - �����������

%���

&���� �

� �

���� &���

%���

����

�������

#����������������������������������������������������������

����������������������������������������������$���������%�����������������

����

����

&'�

&'�

����

'��� ����

'���

(�������������������������������)��

�����������������������������������������������������������$����

��

���������

���� � �

%���� �

���� ����

�� ''���

����� ������������������������%������������ �����

����

��������

����

%���

������������

&�������� ���� ������#������ ���� �����

+ ��������������������������� ���������%�����������������������#���%���������� ��

∠����-�∠�� ∠����-�∠��

�� �������������

#���������������������������

�����

&���

����

&���

����

&���

�����

&���

�������%�����������������&�������������*������������(�����������������������������������������������������������$����

+�������������������������"�����$�������������������������

+�����������������������$����

+�����������������������������������������������������������������������������

����������� �� ���� ������������������������� ��������� ����0

������������''�� ����� ��� ��� ��∠����� ��� �����������������

&� ������������������� ��∠����� ��� ���''�� ����������������� ������0

������� �������� ��∠����� ��� ���''�� ���������� ���� /���� �������

��� ����������� �����

+����������� ����������� ����#������ �� ��������������� �"

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

*��(������������ �������� ������� �� �����1���������� ��������#�����

.������������������� ����#���������� ���� ����������

��

��� � �

������� ��������

∠������∠��������������������������#������� �

�������� �����'� ������������� ����+ ������ ������

�����%���������� ���������������'��������

+ � �������������������'���������2��������$'�� �����3

+������ ����'�������������2�������� �����������

�������������������������������� ���������������$�#���3

.��������������� �� '�������������� � � ���� ���� �������� 4� ��� ������� ������ � ����� 5��� �������

%���� �

�����

%���

����

���� ����

�(���

)*�������

���'����∠�����Δ��������������������Δ����

��,

263 �������� �����#�����

���-��� ���-��� ���-���

� ���� ���

��������� ������

�����������������������������������������$�������������������������������������� ����� ���"������� ��� �������� -���������������

��� ���� ���� ��� �� � ������� ������� ��� ���� ���� ��� ������ � ������� ����� ������ � ������ � �������

������������� ���� "�������������� �.����������������������������#�����/�����������������+������������0��!�����1���#����������� ������2�����������������������������0������1���������������������������$�������������������������

� �

)*���

����

(���

27� �������'� ������� �����#������� �����'� ����������� ����������� �����������

3

��

���������

���� � �

283 �������� �����#�����

���-��� ��-��� ���-���

���'������������� ���������#������ �����

2�3

&�����������������������%���� ������ �����#��������

2�� ������%���� ����������������#�����

���-�� ���-��

(���%���

%���(���

���

����

���'������������������������%���� ��������

���������������

3��� ���� ������� ����������� ���

����������������������������"�

����������������4

��� ���� ���� ��� �� � ������� �

������ ��� ���� ���� ��� ������

� ������� ����� ���� � ������� � �

���� �����

��� ���

� �

� �

��

��� � �

������� ��������

������������������������������������������������������������������������������������������

� ����������������

9 ���������������������� ���������������������� ����� ���� ������ ��������������������#����������� ���

������������������ ������������� ��������������� ������0��������������������������:;�

������������������ ����

������#�������� ����� �"

������

����

����

���

����

����

!��� ����� �"

���������������� ������������ ����������� ������#���"

����

����

&������������

&��������� ���� ������������� ����������%����

&������ ������ ����������������������� �������'����� �� �� ������'�� � ������������������

������������������� � ���

���������� ��������������������

������� �� �����������������5�6� ����7�'���������������������������&�'��8����������������������&���'���8��#���� ��� ���� ����� ��� ���� ������9����������� ���������������������!������������������,��(�����������!������ %����� ��� ��������� ������� ����������������5�:�

���

����

����

��

���������

���� � �

*��(���� ��������#������ ��������������'� � '��"

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������������������

+����������� ����"

����� �����������∠������#������� �Δ������

�%������������ �������������∠������#�������

����

+���#����������������������������� ���� �����������

����Δ������Δ�������������%���0∠����∠����

�%��������������� �����������������

� ������� ���%������� ∠��

<%��������������''�� ����%����� ����

∠� ���''�� �������� ���������Δ����

����� ��� ���������%���������� ����0�����������

�''�� ��� ��∠��

+���∠��-�∠��

+ � �����������������������∠��-�∠�2��������$'�� �3

����� �������� ���������������������������� ����������������4

�������������������������������!����������������� ���� �%��� ���� ������������������ �����������������%����������

(��������������� �� ����� �� ���� ������������������������������������������!����� ��������������������������

����

(����

���

(���

����

� �

���

;����������������������"����������������������������������������������������������������� ������������������"����������������

<��������������������������

=��������7������������������������������������������������������7������������

��� � �

������� ��������

���

� �

����

&����

=����#������� �������� ������2�������� ���� ������������������������"���������������� ���������������$�#���3

������������

�� - �� - ����� �����

�� - �� - 8���� �����

∠� - ∠� - 8:;

&�������� �����������%����

#��������������$��������������������������������

��������������������������������

27� �������'� ������� �����#������� ������'� ����������� ���������� ������������

3

3

���

����

&����

� �

���

���

%���

��

����

����

%���

����

&���

����

.������������������ ����"

���

&���

�����

���������

���� � �

26� ������� ����#����������������'��������� ��"

3 &������������������������%����� ���

3 &��������'��������� ���

28� ������� ������ �������'����)��������� ���

���

���� �

2�� ������� ����#������ � ������� ��'� ���������� ��������'������������������������� ����

���

� �

2�3 ������� ����#����������� ���������������'����������>� ������� ��'� ��������

����� � �

� �

����

%��� %��

��� ���

� � �

� �%���

)'���

�� �������������

+������ ���� �� ������������� ���������������������%�����.�����������������7��������������<���������������������������� ��� ��%������� ��� �������� �������������������������������������������� ����

2���������������������������������������������������������������<���������������������� ���� ������� ������������� �������������������� ���������������������������������������

<�����������������������������������������������������"��������������������������������������������>������������������������������������������������������������������������������

������

��� ���� ���� �

���○

%���

%���

;����������������������������������������������$����9����,�(����������������� ���� ����� ����� ������ ��� �$���� ��� �����������"�����������������������������������������

��

��� � �

������� ��������

3 ���'����������������Δ� �Δ ����Δ� �

3 ���� �� �'�� ��� �#���� ���� %���� �������� � � �� ���

������������ ������

�������� ����������� ���������'�� � ��������������� �0� ������� �������������������#������������'�� � ������������������������������ ����

���� ������������������ ����������������������#���� �����������'�� � ���

!���� ��� ��5���� ���������������������� ������������:;����4:;������������������� ����

������#�������� ����� �"

��� �����'�� � ��������������������������������� ����� �"

������

(���

��������������������"

������

���

������

��� ���

(���

(���

&������������

������������� ������������ ������� ��5:;�2����3

�����#������������������� ����

��

���������

���� � �

���������������������� �������������������� ���� � ���� ������������������������� ��������������%������ ���

+��������������� ���������'� � '��"

�������������������������������������������������

������������������������������������������������

���� ����� ���� ��� ����������������������������� ��

��������������������������������

������� �������������������������������� ��75:���+��� ������������������������ ������������������������������� ���

����� ��������������������� ���������%������������������������������ ��������������� ������������������%����

+�''�������'� ������ ��������������%����� ���������������� ���������#��%����

1���������� ������ ��������"

��� ������ ���

���� �������� ����������������� ����

(��� (���

��� ������ ���

������

(���(���

#���������������$�������������������������������������������������������������������

��

��� � �

������� ��������

��������������� ��������������������� ��������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������

������������������������� ���������������������������

� �

� �

����������������������������������

!�������������������������"����

∠�������∠������������������������������#��������������������������������������������������

$��

∠��� % ∠���

$�������#����� ���������������

∠��� % ∠���

&'���(

�����������������������������������������������������������"�����$���������������������"�������������������"��������������

���%��� ���%���

������������������#��������������

��������������� ����������������������

���������

����������� ������� ��� �������������� �� ������ ��� � ���������� ��� ��� ��������� � ������ ����������� ��� � ������ ��� ������ ��� �������������������������� ����������� ������ �������� ����������� ����� ���� ������ � ���� ��������������� ������������������������ ��� ����� ���������� ������ �� ����

!�������������������� ��� �"��#��$������������ �

� �

� �

���������������������� ��� �#��$��%&������������ �

'�� ���� ���� ��� � ��� ����� ������ �����(�� ����� ���� ���)� �*��� ���� � �����+���� ������+������������������������������� �������������

,�� � ��� ��� �� ������ �� �� ����� ��� ������� ��� � ���� ���� ��� �� ���� �����-������������� ������������������

��

���������

���� � �

� �

� �

���������� ����������������������������������������������������������������������� ���������������������� ��������������������������������������� ����������� ��� ������������ ���������������������� ���

��������������� ������������������������������������������������� ������������������������

������������������������ ����������������������

������������������������������������������������������

����

���� ������������∠�����∠�����������

��������∠������∠���

����∠�������∠����������

��������������������������������������������������������

������������������������������� ����������������������

�����������������������������������������������!

������������������������������������������� ����������

�������������������������������������

���������������������������

"��������#�����$����������������������������������������

������

��������������� �� ������������ �������������� ��

��������������� ����������������

��������������������������������������������������#��������������������

���������%�������������� ���#��%���������������� ������%��������������&

��������������� �����������������������������

����������������������������������������������� �� �������� ������������������������ ������ ������������� ������������������������� �����������������������������

��

��� � �

������� ��������

��� ���

! "��

��� ���

# $

%

��

���

���

� �

��

��� ���

� �

��

�$

� � � �

��

273 ��������'� ������� �����#������� ������� �'� ������� �������� ������ �������

�,

9B3 ������� ���������������%�������'������������ ��������������������������� ����������'� ���� ������� �������������� ������������ �

�, &�������� ��������$���%������������ ������� ��� ���

��, ���� ���'�� ����#��������'�� � ����� �����

���, 1������� ��������� �����������A� ��������%����������������� �'� ������� ��� ��

9*3 ������� ����������� ����'������ �������� ��������������������������������������������� /�������� ������������ �$������� ����� ���� � �����$����������������

�, &�������� �����������%������������ ���������� ���

��, &��� ���� � ��������� ������ �������%����� ���

��

���������

���� � �

� � �

� �

� �

$

%

� �

&

2�3 ������������������#�����

���-��� ���-��� ���-���

����� ��� ��������$�����������������

�, &����������������� ��� ���%����� ���

��, ���� ����������� ��#�����������������������%���� �����������

��������� ����&1.�

243 &������������ ��������������������%����� ���

3 &���������%����� ���

3 ���� ����������� ��#����������������������������

2�3 ������%���� �����������������#����������� ���������������

'���������>� ������� �'� ���������� ������

��

��� � �

������� ��������

������������������������5�*������7�5

:6������� ������� ��� � ����� 8������

������������������ ���������� ���������

@��������������������������������;��

���������������"�������������������

�������������������������������������

��%�� ���� �$���� ������� ���� �"���� ���

������ ���� ���� ���� ����� ���

��5�8�

� $ �

��

��

� �

������������������

+����� ���� ������������ ���� ���������%����

1�(�����������������#������������������#��%����

����������'�'����� ����� ����� ������������������ ������+������������%����� ������ � ������������������� � ����� ���

�����������������%����

*��(������������ ��������� � ������ ���������� ���B� �������'��������������� �'� ��������#������� ��"

.����������������� ������ ������ �������� �����������������%����

+ ��� � ������� �'� ������������������ ����� ��%����

��#������ ������������ ���� ��� ��� �

+ �������� ������������� �������������������������''�)� ����%����� ��������������%����

+������∠����∠���''�� �������� ����>� ������� ���������%����

*��(���� ����� �������������'� � '���

������������������������������������������������������������������������

�������������������� �∠� ����∠� � �Δ� ���Δ� ������''�� ��������%����� ����&�����,�0�������������������������%����

��

���������

���� � �

� �

� �

-������������������������������������������������+��������������;����������������

+ ��������������������� ������ ����������� ���>����� ������ ��75:;�

+��������������������� ��C:;

����� �������� ���>� ��'��'�� ���������&,�

.�������������"� ������������'� � '�������� ���������

����� ��� ������������������ ���������%�������������� �����''�� �������

������%����

*��(���������' ������

��Δ�������������∠�-∠�������%���� �� �����������-��

*��(���'� �������� ���� ����������#�������?����� �� ���������� ���������������'��'�� ��������������������������������B� ����������� �'� �����������#������

��� ����� ������#������������������������������������������

#����� ���� �����#�����������������������������

�����������∠�-∠�

&�������∠���- C:��-∠���

+��������� �����������������������������%����2����3

��� � �

������� ��������

+�������������� ��������������� ����

+�����%����C������5�6�������7�5�?6����������������������8�

�����������������������������∠��5∠��5�α������������������������������!������������Δ����

;�������� ���� ����� ′����′����� ��������� ′�� �′� �� (��� ���� ���� �������������������α�� ���������������"��������������������α 5�86��� ����"����α 5�&'���

� �

����

���

���

����� ��������� ���������� �������������� ������������%����

+�������� �����''�� ����%�������������������%����������������������&�

���,�������%����

��� ���������� ��� �� �������� ��� ������ ���� ��� ����

������������������������������

&��� ����� �������� �����%����� ����������� ����������� )

�����&����� ��������������'� � '������������� )

������ �������������%������������� ���������

+����� ���� ����

��������������� ����� ����� ���� �������������� �����%����

������������%� ���������� ����

��Δ����������#�������-���������∠����∠�

�''�� ���������� ���������%�����&����&,�-�&���+�������∠�

���∠���''�� ���������� ��������������%�������������������

���������� ���� ���������%�����+ ����������������������

��75:;����������������������� ��75:;�÷�8�-�4:;

��������������������������������������%&'

!��������������������� ����� ������������4:;�� �����%� ���������� )

����2��������$'�� �����3�

���������

���� � �

����

��

���

���

���

� �

'

���'����∠�����∠��

273 +���� ����������� ��������������#��������������������� �� ���D �����������������

263 !����������� ����������� ���� ��C:;�� ���������������������

�����

283 !����������� ����������� ���� ��4:;�� ���������������������

�����

2�3 ��� ����#�������� �������������������� ������������������'� ����

����� �����

��

��� � �

������� ��������

� � �

� �

� �� � ��

'

� �$

� �

������������������������"��������

� �$

����������������������

�� ������� ����#������!� �������������������� ��������&��,�������'� ���������� �����

������������������������

���������

+����� ��� ����

������������ �����������������%�������� ������'��)

'�� ������������������

��������������������� ���������������������

������������������+�����-���������� ������# ���������

&� �∠������∠��������%�����+����������������

����� �����# ������∠������

������� �������� �������� ��������������� ����� ��

������(�������������������������������������������

��������������������������������������

&�� ��� � � ���� ����������� ��������%����'����� �

���������# ������������� ������ �����#���������� ����� ���

# ������������������∠���+ ��� �� ��'��'�� ���������&,

������ �� �������������'��'�� ������# �������������

���������� ��%����� �������������� ��� �����

���������"�������������������

��

���������

���� � �

� �

� � �

� � �

� � �� �

� � �� �

○ ○

���������������������� ���������� ������������������������� �������������������� ���� ����������� ������������������������ �����

� � �� �

○ ○

� �

�������������� ��������������������� ������������ �� ����������������������� ���� �

���� ������ ������ �������������� ��������� �����������

�� ������!�� � ����������� �������"����#�

�������������� ���������� �������������������� ���������������������������������� ��� ���

������������� �����������������

�����

����� ������������������������

�������� ��� �� �����������

������� ������������

���������� ���������������

��������������������

���� �������� �������

���������������

�������������!��������������������!���� �"��!��

������ ����������������������!������������������

������������������������������� ��� �����������

����#�������������� �������������

� ��$���������������� ���$������������$���������

%����������� ���������������������������!��������������&��� ��

��

��� � �

������� ��������

� �

� �

� �

� �

�������������������� ���������������������� ���������

○○

� �� �

○○

� �○

○○

�������������� ����� ������������������������������

������� ��������������������������� ���������������������

���������� ������ ������������� �������������������

� ������������

����������������� ������!�����������������������

�����������"�#���$%��&�������� ���������� ��������

�������������

#'% (�����������)�*����� ����������� � ������������+

��������������

#,% (������-����!������� ��.�/*����� ���������

#.% (����������������/*����� � �������������

#0% (������������������ ���,�,*����� ����

#*% (����Δ���!� ������� 1� )� � !�∠�� 1� ,, 1

22!

∠��1�)/ 1

22�

������� ������ �������������������������������� �� �� ��������������� ����� ��������������������������������������������������������� �� ���� �������

���� ����������� ������������������ ���������� ������� ��� ������ � ������������������!����� �������������������"� ������ ���������� � ����������� ������������#�������������� ���������� ��������� ���� ��������

��

���������

���� � �

98� 1�������� �����������'��'�� ������# ���������������������� �����1�

����������# �������� ���������������������'� ��

9E� 1�������� �����������# ����������������������������������������# )

�������� ��������������������'� ��

9F� @���������� ��#����'� �������''�� ���� ���������%���� �������������%����

���� �� ����'������������

� � �

� � �

����� ���

����%���������

)������� ���� �����������%�

��7������������������

�-�������������������������������

���������������������������������-

�������������������������������"�

������������������������

9����������,������������� �����

��������

-�������������������������

����������������������������������

(����������������������������

���������������������"�����������

����4� ���������������������������

"������������7��������������

�����������G�����������������

��������"���������������������

�������

;������������������������

������������������������

�������������������%�

�����������������

����������������������

@������������� ����'������������

9:6� @���������� ������� ���������'�����������������%�������������� ����� ������'��'�� ������# �������������������

9::� ������� ����#�������� �������������������� ����

������ ����� ���������� ����'� ��������� �����

�, ���'����∠����

��, 1������������ ����� ����� ���� ������ ������

��#������������ /�����∠�'�������������∠����

���� �

'

9?� ������� ����#���������� ����'�����������������-����

��

��� � �

������� ��������

9:B� ������� ����#�������� �������������������� ���������� ����� �������

�� ����'� ��������� �����

���� �

'

������������ ���������� ���������������������������� �������������� ������������ ������������������������� �����������������������

����������������� ��������������� ������������������ ����� ������ ���������� ���������� �������������������� �������������������

3 ���'����∠����

3 1������������ ����� ����� ������ ������ /����� ∠�����

����������∠����

������� ������� ��� ��� ������� ������������ (��������������������������������������������������������

278� ?�������� ������� ����������� ��������#�������� ����������:��������� �������� �������

27�� 1�����Δ����� ������-�������∠�-�4�o1

2��∠�-�7����� �����

�� ���'����������

��

���������

���� � �

����������

!������������� �� ��������

��������

�������"�� ���������

� <$'�� �������� ���������� ��� ��������%���) ��������������������������� ���� �'�������%��� ���������������������

� D��� ������������������ ��'� � '�������������'� � '�����#������ �����

� 1���� # �������� �����������������������'��'�� ������# ������������� ���������# ���)��������������

� 1���� # �����������������'��'�� ������������ ���������'� ��������� ������������'� ����������� ��

��

���������

���� � �

��������������� �����

�������������� ���������������������������������� ����������

�������� ������������ !��������� ���������� ��������������

!�!��"���������#���������!�##��

���� �������������������������

$����� ������#�� ���%&������������ ����$�#��������%&������

�����%&�−�$�'�()�

*��������+����������!��������������������������������,����

����(-�����#!������� ����������� ���������+�����#��� �����

(-�����

������������������+� ��������(-.����������(-�/�+�'�%&�

012 ����� ��� ��������� ����#��������!�##�������� ����������� ���

���"��3�4���������������� ���� ���������������##�����

0-2 5���������6&��������7�����!����������������������������

���1)�����#!���8������� ���� ���������������������

0)2 9��#�������������������!����������$��!��� �����������������

�����������,����������(6������ ���������������������

���������

0(2 :� �#������16)���������������������������-1$�����

���� ���� ������������������!�����

0%2 �-6(������������� ��� �������(%-��;������������ ���

062 1<+�����������!�� ����� ��� �������16)��;������������ ���

�������������������������

���������� ������ ������ ����������������#��������������

=��������������������������!���##������� ���� ��������#���

�����������

1&&&&��������#��������� ��.������������ �������#������#!��!�1&&&&.

���������%&&&�

��

��� � �

����������

8�����#�������������!�����������!�� ������#�������������>��

����������������!���������������;��������������#���!���

1%&&����1

4��!������!��.��������#���!������(��� ��1%&&.

���������'�1%&&��(�'�6&&&�

012 ������ �������� ����������#�������!����� ��������!�������=�

����������(&&&&������� ���������� ������������������

�����

0-2 =������##����!����������#���?��##������%-&&���������

@��������1)&&���������� ��������##����������

0)2 A��� ��� �#��#������1-������$%6��;������������ ����

0(2 A��� �������������-1������$%6��;������������ ����

����� ����������

7���������������# B

-)����������������������������������������������!

���������;���������������!�����������

7����#����������#���������=������#��������� �-)�����������!�)

���������#������������������������������������

=����������#�����������#��-&������=����-&����������������!

�����������������������!������������1&������,���#����#�����������

���������=����������1&���������������-&����.�����)�����!��

�����

A#��������-)�����

7�����������������# B

;������� ���������#���������������������������

%&��;������������ ���

��

���������

���� � �

����������������������� ������������������������ �������� �������������������� � ��������������������������� ����� ������������������������������������� ��������������� ���������������������������� �������������������������� ��� ��������!�������������������������������" ������� ����������������� �������������

���� ������������������ #�� ����"��������� �� � ��� ������ ��������������$���� ����� ������������ ��������������� �� ������� %

�� �� �� ����� ������ ������� � ������ ����� � �������� ��������������� ������������������� ��������� ����� � ��� ������ �� ������ � ���� ��� �� ����� � ���� ��� ���� � ����� ���� ��� �� ������ �

A�� �������� �� ���� !����� �#��#��� ��� )� ���� ���� -� ����

�����%&�

�& '��

� � ()

=���������������#��� ���������������##�����#�������

-������!���##������%&.�����!����������� �����

%&�−�-�'�(+

�& '��

� *+ ()

−��,��� ���� ����� ��� ����� ��� ��� �������#� �� ��

!�� �(+�

������ �#��#�����������)�����������(+.���������������#

�� ������(+�÷ )�'�16

�& '��

,- *+ ()

÷�& −��

7����������������# B

;��� �� �� ��� ��� ���#�� ���� ���� ����������� ��

��� �(&��������������� ���

�������� �����!���������������-�!���##�� �������

���(&�/�-�'�(-�

=��������������� �#��#��������).�����!����������� ���

��������(-�÷ )�'�1(��=�����������#��� ������1(�

×�& −��,* *� *)

÷�& '�

7�����������������# B

;�����!�������!����� ������������������� ����)&��������

;������������ ���

��

��� � �

����������

;�����!��������������������5

4��!������ ����=����

5

4��!������ ��

���)&�

�������� ������4

5��!��)&�

=�������)&��4

5�'�-(

.,� A������������!�����������������8���!��������������������

��������������������!����������������������� �)-���������

����������������������#������� �������#������������

����

0-2 =���� ����!���������#����-%� ������������!����

�������%� ��������� ���� �������������������

0)2 ��������!�������# ���#����������#���!���������

���������������� ������������8��������� ���

0�2 ����������������#����1&1�

0��2 ���������������#����1&1�

0���2 ��������������!�� �����#����1&1�

0��2 ��������������!�� ����#����1&1�

0(� ��#!����� ���������������� ��������111��;������

����� ���

0%� A�����!�!�#�� ���B������#���������!#�����!�������

����� �����������"

A�������#���

;��������������;������#!��!���A�����#!��!�����;������� ���;��#�� ���������"

���� �����������������

������������ ���������� ���������

����������������������������� ������

������ ����

/ ���� �������� �������������������

#0��/������ � � ��� � ����������

����� �������� ��� �������� ���

����� ���� �������� �� � �� ����

������������� ��� � �� ���� ����� �

�� �������������� �������� � �������

��������� �

1��� �� �� �� �� �� �����������

������ ��������� ��� ������2��

���������� �� � ������ ���������

������,-()�#0��� � �������������

������� �3�� ������������ ������

������������������������� ������

�� � � ������� ���3�� �������� � � ���

������ �� ���������#��� ��4� ����

.1����� ���� � �� � ����� ��� ��� ��"

��������3��5������6������ �� � � ��

����������6����������� �7

���� �� � ������� ���������������

�������

��

���������

���� � �

����� ���������

;������������ ���!������!��##�������# ���������������!���

=�����#���!��������� �������������������������� ����������.����

��!��������������#��� ���

�����������������=���������!��##��������������������������

�����������#����������!������8����� #��#���������������# B

3��������������(���#���� ���!�����������������#����������������

#����!���1&�������������������1)&������;���������

�����!������#���� ��!������

8�������������������� ����#������B

;������� ������ �#��#������(�����1&�����������

1)&��;������������ ���

���������!��������������#��� ����8����������������

!���#�1&�����.�����������������(�����������������

�#��#���!������=������

01)&�C�1&�2 ÷�(�'�1-&� ÷��(�')&

=���������������������!������#���� ���������)&

����

,���#���������������# B

A���� ���#����������������������� ����

������#�� ���#���������#������� ��� ��

����������������;��������#�������#��������

�������

8������#���������������# ���������#���� �����=���� ��

�!���������#�������������� ��!�����#��������������������

���#���������#����1� ������������������������ ��!����#����

����������� ��������� ��!������������1�������������������

=����������# ���������B

=���� ��!����� �������1������������� �#��#������-����1&�

;������������ ���

9�����������!����#���� �#��#�����������-��������������#�������B

=���� ��!����� �������1���������������%��;���������

�� ���

��� �����

3���88������3�� ��������

� ��� ���%

3���������������� ��������

�� � �,(��������� �����������

���������� � ��� �������� %

*�� ������������ ����������� �

(����������,(����� �&���� ���(�

1��� ������� ���� �,���������

�������� ���*�

������ ������� �������������

� ��������������9�� �� �

��

��� � �

����������

;������������� ��������� ��!����#!����������������������?��#���

��������������������� ����3 �����������������#����$��0=�

������������������� ����!����#������������������� ��2

;��#������������������� ���������������������������#�����

��/�0��/12�'�-��/�1��!��������� �����

7���������������������# ���������������������� !����������

���������� ��������������# �����������������# ���� �������

!�-��/�1�'�%������������

;���������� �������!�������;������� ����������#������1��������

���������� ��%���������������� ���

;�����!��������� ���������������

�0%� −�12�÷�-�'�-�

���������������!����������#����-� �����������#�����

)� ����

�� �� ��������������������������������# �������

�#�����!�� ������������������7���������������# �

=�������!������������������#�����������(%&&

�����=�������!�������#����1&&&����� ��

�����������!�����������;���������������!�����

7����������������!���������������������������

�����!�������#����1&&&����� ������������/�1&&&

��������������������#�������!�� ��!�������# �

!���/�0��/�1&&&2�'�(%&&������������

������������������/�0���/�1&&&2��

��/�0��/�1&&&2�'��-��/�1&&&

���������# ���� �

!�-��/�1&&&�'�(%&&������������

;����������� ������

������ ��� ����������

������������������� ����������� ���

���� ����������������������������

��� ���������� ������������� ���

������� ������������� �

.��'�7�:���;����������������� ������

��������������������� ��� �

�����'���;����������;���:���

��� �� ���������������������������

������������������������������ �����

�� ����������������������������

���������

�����:���;����������;���'���

��� �� ���������������������������

������������������������������ ��

�� ��� �� ��������� �������������

������

���������

���� � �

;������� ������ �#��#������-���������1&&&����������

(%&&��;������������ ���

=�������4�������#�������# �������� ������������������

;�����!��������� ����������������7���������������#�������#�����

;�!������������������ ������(%&&�−�1&&&�'�)%&&�

=�������

-��'�(%&&�−�1&&&�'�)%&&

=�����!��������� ������#!����)%&&�÷�-�'�1$%&�

;����������������#�����

��'�)%&&�÷�-�'�1$%&

,������������������������������#����# ��������

�������������!�������������1$%&���������������

�!�������#����-$%&�����

7����#���������� ������# B

A�����������������������������������

����������������������������##������ ���

�!�����

7������������� ����!�������������������.����

����� ����!���������������$�−���

���������������� ���-&�������$�−��������

����� ���1&�0$�−��2�����

A#�������-&��/�1&�0$�−��2��������������������

���1&&�����

���������# ������#�������������B

!�-&��/�1&�0$�−��2�'�1&&������������

���������������� #�!��-&��/�1&�0$�−��2

-&��/�1&�0$�−��2�'�-&��/�$&�−�1&��'�1&��/�$&

*�����������������������������# �

!�1&��/�$&�'�1&&������������

���������������� �������

1���������������������������������������������������������������������� ����� ��������������������1����������������������������

���������� �9���� ������� ���������������� � ��

��� �������������������������������������� %

������������������≠��������������b

a

�������x

a����������������

��� ���������������������� ��������� ����� �� ������� ��

��������������������������9�����

��� � �

����������

�=�� ����� ����� ��� �� �#��#������1&� ����$&� ����� ��� ��

�������� �����1&&����� ������ ����� ��� ��������� ��� ��������

$&�!�� �1&&��������������1&�� ���#��������� ��

��'�01&&�−�$&2�÷�1&�'�)&�÷�1&�'�)

=��������������������������#����# ����)�������C���������(����C

��������

01� =�� �� ��� �!� �� ������#� ��� +&� ���� ���� ���� #����� ��

��� ��� ������������������������;�����������#��������

�������

0-� 8�� � �� ����� ��� �� #���� ������� #��� ��� ��� �

����������������������#��������������%&�� ��

�����������#��������������������� ���������

� �##�����#�

0)� =������ �!� �� ����� ��� (� ���� ��� ����� ��

�����!������=�������!������#����-�����#��

�������������!�������=������#������!�%�������

-��������)����#�����$(������;�������������

�!�����

0(� �2 =���� ��!���������������������#��� ������

)6��;������������ ����

��2 =���� ��!�������������������� ������

)6��;������������ ����

���2 D�������� ��!��������������������� ���

��)6��;���

��2 =���� ��!��������������������� �������))�

;������������ ����

�2 =���� ��!��������������������#��� ������

))��;������������ ����

0%� �2 ������#���������?�����!�!������ ������� �����

=���� ��!������ �������+&��;���������

�� ����

���� �� �� � �����

3��������� � ��������� � /����

�������6���� ����������������� "

�������3�����5 ������� �����"

��� ����� �� ������� ������ ��

4�������3�"������8���

$���� ��������������������������3<�

�� �������� ������������������ ��

� ������3����������������=����>�

?� �������� ��������������������

�� � � (����� ���� �� ���� (� � ��� ��

�������������3�:������8������� � ���

������ � ��� ���3���� ���� =��

����@�� ������������ � A������ �

�� ����������/���� ��������� ���

� ����� ��������� �

���/���� �������������������� �� ��

����� ��"��" ������������� � �

���������.� ��������� ��������� 7�

��� ����� � � ���� ��� ���� ������

��"������8���

���������

��

���������

���� � �

��2 A��?�����!������� ������� ������������#������=���� ��!��##

������ �������<&��;������������ ����

���������� ����

����������# B

=�������������������� ��� ����!����� ������� ���;������������ ���

�����������!��������� �����������������������E���������������#������B�������!����� �������� ���!�� ������������ ��������������������#������ ���

0���������������������� ���������#�������������������� ����!����#����$��������2

���������# ������������������������������#������ �������������������� �������� ������!���

��������������������������#�����

!�����������������#��� ���������������# ������

)��/�1&�'�%�

;�����������������%��!�� �)����������������-��

=�������

)��/�-��'�%��

���������# ��;���������������)��������%�����1&B

=����-��'�1&����������'�%�

7����������������# ��#����#�B

)6���������1)��� ������ ��������)1��� ������ ����;������������ ���

=�����)1��� ������ ���!�� �1)��� ������� ������ ������ ��� �����������

)1�−�1)�'�1+���� ���������

���������# ������������������)6������1+��� ������� �����)6���������� ������-�

��������������#������=����������� ���������������#

������� ������!���#�����������������#�������B

��������

;���������� �������!

����������������������� �������

����� )� ����� ��� -� �� �� ��

�� ��������-���������)��� �

����� ������������� ����#��

=�������������#���!���'�1��A#������

���� ����#�����������������������

������������������ ����������

�� � ���#��� ��� ����##�� ��##�

?��������

��

��� � �

����������

1)��/�)6 ' )1�

)1��−�1)� ' 1+�

1+� ' )6

� ' -

,���#���������������# B

1-���������)��� ������ ������?��#����-��������%��� ������� ����������������� ���

=����������� ��������������������# ������������������

)��/�1-�'�%��/�-

;�����������-����������)�� ����%����=�����%��/-��� ��������-� ����������

=�������

)��/�0-��/�-2�'�%��/�-

��������# ������������������1-�

���

-��/�-�'�1-

,����������� ����������������B

��'�01-�−�-2�÷�-�'�%

7����#��������� � ������# �B

=������!�A���� �������������� ��������!�A���A!������������������#���������� ���;��������������������

;�����������������A���������������������������������������# ���� �������������<������

A!���<������

A����������#������/�<��

5�������������#����<���/�<�

E������������������������# �� �����������������#����)��� ��A�����.���������)�0���/�<2�'�)��/�-$�

,�������������������������# �����������#�����

)��/�-$�'�<��/�<

;�����##�����#������������)��������<��/�<�

����� � ����

����������"����������������������B

���� ���� ��� ������������� �� ��

���� ��C���5�����������������B�� ��

��������� �� ���'�B�;�,,����������

�� ������� � � ����B�;�,+������ ���� ���� �,,�'�,+�;��B�

� � �� � ���� ������� �"�����������

����������B�

���������������� �,)��'�B�����������

<� �������������� ��������������

����������� ���� ������������

0����������������������9����

,)���'� �;���'� �'�� �

��

���������

���� � �

����������� �������������−������������

��� ������������� ����������������� ��

�����������!��� ���������� ���������−�����"#�����$%�������&�'��(��')����������

������ ���)�����

�"� &��*� �� ��+�� ������������,��� �������"%�'�����+����������������'�����+�������'� ���-%�'����������� �+���$%���������.�����/��������������� ���0

��� (����������� ���������'����+�����������/���1��/����� ��/��������� �������� ��'�����/����� ���� ����'����+������������'�� ����'����+��/���2�� ���� ����'����+��/����������0

��� (3�/������ ���/��������� ����4�3�/����5�, �/����(3�/��6��������'������'��� �� ��+�4�3�/����2�� ���� ������������0

�-� !�7�� ��������'�������8'��� �� ���� ����� ����'���+� ����'������-��2�� ���� ����'��0

�$� �������9���� �7������� /�� ����'����+�������� ����� ����'����+��������������������"����������3������ �������� /��������� ���'����+����������'��� ����'����+��������.������/���������� ������� �������� /�� �+�� 0

����������

���������� ��� ��������

����� ��

��� ���������������

� ��7����������������������'����/��7�����

� :��������������������� ����������������������� ����� � ������ �/� ���7��� ��'����7������

�������

��������������� �

�������������������

������������������ �����

�������������������

������������������������

�������������������

�����������������������

����������������

��������������������

��������������

����������