Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SWorld – 18-27 December 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012
MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE, TRANSPORT, PRODUCTION AND EDUCATION‘ 2012 Доклад/ Физика и математика - математика
УДК: 614.8
Велегурин В.А., Турдуматов Б.М., Мучкинова Л.И.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ
ЧРЕЗВЫЧАЙНОЙ СИТУАЦИИ КАК НЕРАВНОВЕСНОГО ПРОЦЕССА
НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ НАХОДЯЩЕЙСЯ В
НЕУСТОЙЧИВОМ ПОЛОЖЕНИИ
Калмыцкий государственный университет
Элиста, Пушкина 11, 34070
UDC: 614.8
Velegurin V. A, Turdumatov B. M, Muchkinova L.I.
MATHEMATICAL MODELLING OF DEVELOPMENT OF THE
EMERGENCY SITUATION AS NONEQUILIBRIUM PROCESS OF NON-
STATIONARY SYSTEM BEING IN UNSTABLE POSITION
Kalmyk state university, Elista, Pushkin 11, 34070
Аннотация. В настоящее время существуют методы математическо-
го прогнозирования и ликвидации чрезвычайных ситуаций. Предлагается метод
описания с помощью дифференциальных уравнений, который был проанализи-
рован при явном и неявном методе решения.
Ключевые слова. Математическое моделирование. Чрезвычайные ситу-
ации. Дифференциальные уравнения. Явный и неявный метод решения диффе-
ренциальных уравнений.
The summary. Now there are methods of mathematical forecasting and liqui-
dation of emergency situations. The method of the description by means of the differ-
ential equations which has been analysed at an obvious and implicit method of the
decision Is offered.
Keywords. Mathematical modelling. Emergency situations. The differential equa-
tions. An obvious and implicit method of the decision of the differential equations.
Современные методы прогнозирования и ликвидации чрезвычайных си-
туаций требуют глубокой автоматизации и компьютеризации этих процессов,
что пока не происходит в достаточной степени.
В данное время существуют и ведутся разработки прикладных программ
для оценки масштабов возможных ЧС и алгоритмов реагирования на них, то
есть моделирование возможной ситуации в динамике.
Течение процесса подавляющего большинства ЧС система нестационар-
ная во времени в общем виде. Но в частных случаях можно выбрать некоторые
промежутки времени ∆ t при которых система находится в устойчивом положе-
нии, то есть изменяется предсказуемо по определенным законам. Поэтому для
математического моделирования представляет большой интерес анализ устой-
чивости, так как только он может позволить спрогнозировать дальнейшее тече-
ние неравновесного процесса.
Не существует простого правила, относящегося ко всем случаям, но ясно,
что устойчивость тесно связанна с обратной связью. Для дифференциальных
уравнений идея устойчивости ведет по ложному пути, и относительная устой-
чивость является более разумным критерием.
Методы прогноза и коррекции для интегрирования обыкновенных диф-
ференциальных уравнений широко используются благодаря многим преимуще-
ствам.
Некоторый недостаток состоит в том, что методы сложны для программи-
рования. При использовании методов прогноза и коррекции для интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений возникают разного рода трудно-
сти:
1.Ошибки от отбрасывания членов, которые возникают от апроксимации
производных.
2.Распространение ошибок – неустойчивость, которая возникает при ре-
шении апроксимирующих разностных уравнений, не соответствующих реше-
ниям исходных дифференциальных уравнений.
3.Усиление ошибок округления из-за комбинации коэффициентов в ко-
нечно-разностных формулах.
Ошибка от отбрасывания членов. Самая общая формула линейной кор-
рекции, использующая информацию о функции и первой производной в по-
следних трех точках решения и оценку производной в точке, которая должна
быть вычислена, имеет вид:
Можно использовать и другие линейные формы, но это включает большое чис-
ло общих методов, Здесь мы имеем обратную связь не только через значения
старого решения, но и через члены с производными; следовательно, изучение
устойчивости будет здесь более сложным. Формула (1) предполагается точной
для многочленов до четвертой степени, то есть для y=1,х,х2,х3,х4 . Используя эти
пять условий и определив а1 и а2 в качестве параметров, получаем:
Пять коэффициентов из семи используются, чтобы уменьшить ошибку от от-
брасывания членов. При помощи двух других, вместо того чтобы дальше
уменьшать ошибку от отбрасывания членов, постараемся уменьшить ошибки
второго и третьего типов. Разность прогнозированного и скорректированного
значений будет использована, для того чтобы дать оценку ошибки и для того,
чтобы "уничтожить" главный член ошибки. Обычный метод нахождения оста-
точного члена основан на использовании ряда Тейлора
с A= -2h и n=4 получим R(y)= dSSGSyh
h)()(
2
5∫− , где G(S) функция влияния.
Если G(S) имеет постоянный, то существует такое θ (-2h < θ < h), что ошибка
может быть записана в виде:
Если G(S) меняет знак, то найдутся f (S), для которых ошибка не может быть
представлена в виде (5).
Для нас представляет интерес область постоянства знака G(S). В соот-
ветствии с формулой коррекции (1) хотелось бы иметь прогноз, использую-
щий информацию о последних трех точках, а именно:
Коэффициенты можно найти или обычным путем, или положив в уравнении ( 2
) b - 1 = 0. Результаты:
20 8 AA −−=
317 2
0AB +
=
91 =A
3414 2
1AB +
=
22 AA =
31 2
2AB +−
=
3440 2
5AE −
=
(7)
Чтобы воспользоваться разностью n –го прогноза и коррекции для оценки
ошибки (n + 1) – го прогноза, следует определить p n + 1 из
Такая схема иногда бывает полезной, хотя может требовать очень большого ко-
личества вычислений, особенно, когда требуется точное решение дифференци-
альных уравнений. Мы не будем обсуждать ее дальше. Ясно, что она имеет
остаточный член пятого порядка. Если мы хотим иметь семь параметров, чтобы
использовать их в поисках подходящего прогноза, то можно прибавить или одно
более старое значение функции, а именно yn -3 , или одно старое значение произ-
водной, а именно y|n - 3 . Первое предложение включает прогноз Мильна, а вто-
рое содержит прогноз Адамса.
Рассмотрим неявный метод Адамса. Возьмем дополнителное
значение производной y|n - 3 , то получим формулу:
!5)(
)5(5
5/
33/
22/
11/
0221101yhEyByByByBhyAyAyAy nnnnnnnn +++++++= −−−−−+ (9)
Коэффициенты равны:
В этом случае функция влияния G(S) имеет нули в плоскости ( А 1, А2 ) вдоль
линии, первая из которых - прямая А 1 = 9 - для S = -2h поднимается и при-
обретает отрицательные тангенсы угла наклона с увеличением S , не наклады-
вая существенных ограничений на коэффициенты.
Неявная схема метода Адамса и Мильна прогноза и коррекции требуют
специальных приемов для нахождения достаточного числа начальных значений,
чтобы начать прогноз. Вероятно, самыми широко используемыми начальными
методами являются методы Рунге-Кутта. Хотя эти методы можно применять и
на каждом шагу, эффективность в этом случае, вероятно, будет низкой. Типич-
ный метод Рунге-Кутта требует четырех производных для каждого шага вперед,
тогда как неявные методы требуют одного или двух на шаг. В тоже время оба
метода имеют почти одинаковую ошибку от отбрасывания членов. Методы Рун-
ге-Кутта не содержат в себе никакой оценки точности решения на каждом шагу,
следовательно, невозможно догадаться, когда нужно уменьшить иди удвоить
величину шага. Высказывалась идея использования двух интегрирований с раз-
ной величиной шага, но это, очевидно, так увеличивает машинное время, что
предложение не следует принимать всерьез, во всяком случае, в обозримом бу-
дущем.
Существует много вариантов методов Рунге-Кутта; наиболее широко ис-
пользуется следующий, дано:
вычисляется последовательно
),(1 nn yxhfk = ,
)2
,2
( 12
kyhxhfk nn ++=,
),2
,2
( 23
kyhxhfk nn ++=
),,( 34 kyhxhfk nn ++=
22(61
3211 kkkyy nn +++=+
}
(12)
Этот процесс можно представить геометрически. В точке ( Хn , yn ) вы-
числяется тангенс угла наклона (k 1/ h ); используя его, мы идем на полшага
вперед и смотрим тангенс угла наклона здесь. Используя новый тангенс угла
наклона (k 2/ h )мы опять начинаем из ( Хn , yn ) идем вперед на полшага и опять
берем пробу тангенса угла. Взяв этот последний тангенс угла (k3/ h ), мы опять
начинаем из ( Хn , yn ), но делаем теперь полный шаг вперед, где усредняем све-
сами и, беря этот средний тангенс угла наклона, делаем окончательный шаг от
( Хn , yn ) к ( Хn+1 , yn+1 ).
Таким образом, нами были рассмотрены явный и неявный методы реше-
ний дифференциальных уравнений. Который и представляет интерес для моде-
лирования нестационарных процессов. Трудно сказать какой из этих методов
является наиболее приемлемым в данной ситуации, но можно предположить,
что они оба могут быть использованы при создании прикладных программ
направленных на прогнозирование динамики развития чрезвычайных ситуаций.
Литература:
1. Я.С.Бугров, С.М.Никольский Дифференциальные уравнения. М.:
Наука. 1979, 479 с.
2. Н.С.Бахвалов, Н.Д.Жидков,Г.М.Кобельков Численные методы. М.:
Наука. 1976, 562 с.
3. Н.С.Пискунов Дифференциальные и интегральные исчисления. М.:
Высшая школа. 1981, 517 с.
References:
1. J.S.Bugrov, S.M.Nikolsky the Differential equations. М.: science. 1979, 479 with.
2. N.S.Bahvalov, N.D.Zhidkov, G.M.Kobelkov Numerical methods. М.: science.
1976, 562 with.
3. N.S.Piskunov Differential and integrated calculations. М.:Higher school. 1981,
517 with.