MATHEMATICAL AND COMPUTATIONAL BIOLOGYAND NUMERICAL ANALYSIS

BIOMATHEMATICS AND NUMERICAL ANALYSIS BOOK SERIES

Direttore

Ezio VUniversità di Torino

Comitato scientifico

Leonard Peter BUniversità di Verona

Luigi BUniversità di Firenze

Alberto ’OInternational Prevention Research Institute

Stefano D MUniversità di Padova

Mario GUniversità di Torino

Horst MUniversität Osnabrück

Piero MUniversità di Pisa

Sergei PUniversity of Leicester

MATHEMATICAL AND COMPUTATIONAL BIOLOGYAND NUMERICAL ANALYSIS

BIOMATHEMATICS AND NUMERICAL ANALYSIS BOOK SERIES

Essentially, all models are wrong, but some are useful.

George E.P. B

The purpose of this book series is twofold.

On one hand, to bring together works discussing various aspects of ma-thematical models with life science applications, encompassing all fieldswithin this realm: population theory, cell dynamics, epidemiology, ecology,metapopulations, regional dynamics and geographical invasions, individualand collective animal movement, eco–epidemiology, spread of epidemics,pattern formation, evolutionary dynamics. Also other topics not included inthe above list could be considered. We would like to emphasize interdisci-plinary approaches, comparing modeling techniques generally applied inecology and those used in other life sciences.

On the other hand, we welcome contributions in all fields of numericaltechniques, such as, for instance, numerical methods in approximationtheory, differential equations, linear algebra, computer aided geometricdesign, optimization.

Catterina DagninoPaola Lamberti

Dall’approssimazione polinomialeall’approssimazione spline

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I edizione: dicembre

Ai nostri figli

Indice

Prefazione 1

1 Il problema dell’approssimazione 31.1 Esistenza di approssimazioni ottime . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Approssimazione in uno spazio metrico . . . . . . 41.1.2 Approssimazione in uno spazio lineare normato . 51.1.3 Interpretazione geometrica della miglior approssi-

mazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Unicità dell’approssimazione ottima in uno spazio lineare

normato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Convessità e convessità stretta . . . . . . . . . . . 111.2.2 Approssimazione ottima in norma 2 . . . . . . . . 131.2.3 Condizione di Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Approssimazione ottima in norma ∞ . . . . . . . 171.2.5 Approssimazione ottima in norma 1 . . . . . . . . 20

1.3 Operatori di approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Approssimazione polinomiale 252.1 Approssimazione polinomiale di Bernstein . . . . . . . . 25

2.1.1 Proprietà dell’operatore di Bernstein . . . . . . . 272.1.2 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

ix

2.3 Distanza di una funzione dallo spazio dei polinomi . . . . 46

3 Approssimazione spline di ordine 2 e 4 513.1 Approssimazione spline di ordine 2 . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.2 Approssimazione ai minimi quadrati continui . . . 58

3.2 Approssimazione spline di ordine 4 . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Approssimazione spline di ordine k > 1 con vincoliregolarità 79

4.1 Spazi spline e basi di potenze troncate . . . . . . . . . . 794.2 Spazi spline e basi di B-spline . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Distanza di una funzione continua dallo spazio spline . . 1084.4 Distanza di una funzione regolare dallo spazio spline . . . 1104.5 Quasi-interpolazione spline . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.6 Interpolazione spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6.1 Interazione tra nodi e punti di interpolazione . . . 1234.7 Approssimazione spline ai minimi quadrati . . . . . . . . 1284.8 Alcune applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.8.1 Formule di quadratura basate su spline quasi-inter

4.8.2 Risoluzione numerica di equazioni integrali . . . . 1324.8.3 Derivazione numerica basata su spline quasi-

interpolanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.8.4 Approssimazione spline di tipo tensore prodotto . 1354.8.5 Curve e superfici spline nel CAGD . . . . . . . . 138

Bibliografia 143

polanti 131. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

Indice analitico 147

di

x Indice

Prefazione

I motivi per studiare la teoria e i metodi di approssimazione sono molte-plici e vanno dalla necessità di rappresentare funzioni mediante tecnichedi calcolo scientifico all’interesse relativo alle teorie matematiche alla basedi tali problematiche. Benché gli algoritmi di approssimazione siano im-piegati nelle scienze e in molti campi industriali e commerciali, la teoria èdiventata sempre più specializzata e astratta. La ricerca nell’ambito del-l’Analisi Numerica e del software matematico rappresenta uno dei prin-cipali collegamenti tra i suindicati due estremi e, partendo dalla teoria,si propone di fornire corrispondenti efficienti procedure computazionali.

Alla luce di tali considerazioni le tematiche proposte in questo testosono presentate rispettando il punto di vista di un analista numerico chedà rilievo sia alla teoria sia agli aspetti computazionali.

Dalla metà del secolo scorso a oggi le funzioni spline uni e mul-tivariate hanno gradualmente trasformato la teoria e le tecniche di ap-prossimazione. Infatti, esse non solo sono convenienti dal punto di vistacomputazionale, ma forniscono anche risultati teorici ottimi per l’appros-simazione di funzioni.

Quindi, nel presente lavoro, dopo un’analisi sintetica della teoriaclassica relativa alle approssimazioni ottime in spazi lineari normati, svi-luppata nel Capitolo 1, e dopo alcuni richiami sull’approssimazione po-linomiale univariata e sui suoi limiti nel Capitolo 2, nei capitoli succes-sivi analizziamo l’approssimazione spline, le sue proprietà e presentiamoalcune interessanti applicazioni.

Torino, settembre 2017

Catterina Dagnino Paola Lamberti

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