Mathematical analysisFrom Wikipedia, the free encyclopediaContents1 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +11.1 Direct proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2-opt 42.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Abels inequality 63.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Abelian and tauberian theorems 74.1 Abelian theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Tauberian theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 AbelGoncharov interpolation 95.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Absorbing set 106.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Agmons inequality 117.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12iii CONTENTS8 AgranovichDynin formula 138.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Akhiezers theorem 149.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.2 Remarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410AkraBazzi method 1610.1The formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1610.2An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.3Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711Alexandrov theorem 1811.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812Algebraic analysis 1912.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.2Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913Algorithm design 2013.1Common design paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.3Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114Almgren regularity theorem 2214.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215Amenable Banach algebra 2315.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316Analysis of partial dierential equations 2416.1Useful literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.2Useful links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417Analysis on fractals 2517.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518Analytic element method 2618.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26CONTENTS iii18.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719Analytic polyhedron 2819.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820Analytization trick 3021Applications of the calculus of variations 3122Approximate identity 3222.1Ring theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3222.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323Asymptotic analysis 3423.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3423.2Asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3423.3Use in applied mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523.4Method of dominant balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3824Asymptotic distribution 3924.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924.2The Central Limit Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924.2.1 Local Asymptotic normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4024.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4024.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4025Asymptotic expansion 4125.1Formal Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4125.2Examples of asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4225.3Detailed example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4225.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4325.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4325.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4326Asymptotic formula 4426.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4426.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4426.2.1 Prime number theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4426.2.2 Stirlings formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44iv CONTENTS26.2.3 Asymptotic formula for the partition function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4526.2.4 Asymptotic formula for Airy function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4526.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4626.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4627Asymptotic homogenization 4727.1The method of asymptotic homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4828Asymptotic theory 4928.1Asymptotic distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4928.2Examples of asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5028.3Detailed example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5128.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5128.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5129Asymptotic theory (statistics) 5229.1Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5229.2Modes of convergence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.3Asymptotic properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.3.1 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.4Asymptotic theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5429.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5430Asymptotology 5530.1Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5530.2Perturbation theory, small and large parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5530.3Asymptotic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5630.4Asymptotic uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5630.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5731Baire measure 5831.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5831.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5832Baire one star function 5932.1External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5933Balayage 6033.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60CONTENTS v34Banach function algebra 6134.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6135Banach measure 6235.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6235.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6236Barlows formula 6336.1Other formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6336.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6436.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6437Baskakov operator 6537.1Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6537.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6537.2.1 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6538Bateman transform 6638.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6639BehnkeStein theorem 6739.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6740Beppo-Levi space 6840.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6841Berezin transform 6941.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6941.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6942Bergman space 7042.1Special cases and generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7042.2Reproducing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7142.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7242.4Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7242.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7243Bernsteins inequality (mathematical analysis) 7343.1Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7343.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7343.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7344BerryEsseen theorem 7444.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7444.1.1 Identically distributed summands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74vi CONTENTS44.1.2 Non-identically distributed summands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7644.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7744.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7744.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7845Besov space 7945.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7945.2Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7945.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7946Beta-dual space 8146.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8146.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8146.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8147Bi-directional delay line 8247.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8248Bifurcation locus 8348.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8348.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8349Hardy notation 8449.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8549.2Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8549.3Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8649.3.1 Innite asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8649.3.2 Innitesimal asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8749.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8749.4.1 Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8749.4.2 Sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8749.4.3 Multiplication by a constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8849.5Multiple variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8849.6Matters of notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8849.6.1 Equals sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8849.6.2 Other arithmetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8949.6.3 Declaration of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8949.6.4 Multiple usages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.7Orders of common functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.8Related asymptotic notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.8.1 Little-o notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.8.2 Big Omega notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9149.8.3 Family of BachmannLandau notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92CONTENTS vii49.8.4 Use in computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9349.8.5 Extensions to the BachmannLandau notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9349.9Generalizations and related usages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9349.10History (BachmannLandau, Hardy, and Vinogradov notations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9449.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9449.12References and Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9449.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9549.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9650Bilinear quadrilateral element 9750.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9751Binomial dierential equation 9851.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9852BirkhoKellogg invariant-direction theorem 9952.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9953BishopPhelps theorem 10053.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10053.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10054BK-space 10154.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10154.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10155BKM algorithm 10255.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10256Bloch space 10356.1Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10357BoasBuck polynomials 10457.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10458Borels lemma 10558.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10558.2Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10558.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10658.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10659Bounding point 10759.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10759.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10760Boxcar function 108viii CONTENTS60.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10960.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10961Branching theorem 11061.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11061.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11062Brauner space 11162.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11162.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11162.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11263Breather surface 11363.1Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11363.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11464Bred vector 11564.1Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11564.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11565Bs space 11665.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11666Bchers theorem 11766.1Bchers theorem in complex analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11766.2Bchers theorem for harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11766.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11767Bhmer integral 11867.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11868c space 11968.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11969Cagniardde Hoop method 12069.1Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12070CalogeroDegasperisFokas equation 12170.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12170.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12171Cartans lemma (potential theory) 12271.1Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12271.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12272CartanKhler theorem 123CONTENTS ix72.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12372.2Meaning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12372.3Proof and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12372.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12372.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12373CauchyEuler operator 12473.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12473.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12474Lyapunovs central limit theorem 12574.1Central limit theorems for independent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12574.1.1 Classical CLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12574.1.2 Lyapunov CLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12674.1.3 Lindeberg CLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12774.1.4 Multidimensional CLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12774.1.5 Generalised theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12874.2Central limit theorems for dependent processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12874.2.1 CLT under weak dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12874.2.2 Martingale dierence CLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12974.3Remarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12974.3.1 Proof of classical CLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12974.3.2 Convergence to the limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13074.3.3 Relation to the law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13074.3.4 Alternative statements of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13174.4Extensions to the theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13274.4.1 Products of positive random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13274.5Beyond the classical framework. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13274.5.1 Convex body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13274.5.2 Lacunary trigonometric series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13374.5.3 Gaussian polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13374.5.4 Linear functions of orthogonal matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13374.5.5 Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13374.5.6 Tsallis statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13474.5.7 Random walk on a crystal lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13474.6Applications and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13474.6.1 Simple example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13474.6.2 Real applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13474.7Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13474.7.1 Other illustrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13574.8History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13674.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138x CONTENTS74.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13974.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14174.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14175Central limit theorem for directional statistics 14275.1The central limit theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14275.2Covariance matrix in terms of moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14375.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14476Characteristic variety 14576.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14577Chazy equation 14677.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14678Chebyshev integral 14778.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14779Chicago school (mathematical analysis) 14879.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14880Closed convex function 14980.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14980.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14981Cofunction 15081.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15082CohenHewitt factorization theorem 15182.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15183Coincidence point 15283.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15284Collage theorem 15384.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15384.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15384.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15384.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15385Complementarity theory 15585.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15585.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15585.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15585.4Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15585.4.1 Collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156CONTENTS xi85.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15686Complete FermiDirac integral 15786.1Special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15786.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15786.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15787Complex dimension 15887.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15888Complex dynamics 15988.1Techniques[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15988.2Parts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15988.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16088.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16088.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16089Compression (functional analysis) 16189.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16189.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16190Computable measure theory 16290.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16291Computational cognition 16391.1External links and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16392Conical function 16492.1External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16493Conjugate Fourier series 16593.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16593.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16594ConleyZehnder theorem 16694.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16695Connes embedding problem 16795.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16795.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16795.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16796Consistent estimator 16996.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17096.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17096.2.1 Sample mean of a normal random variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170xii CONTENTS96.3Establishing consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17096.4Bias versus consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17196.4.1 Unbiased but not consistent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17196.4.2 Biased but consistent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17196.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17296.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17296.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17296.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17297Constant factor rule in integration 17397.1Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17398Constant strain triangle element 17599Continuity set 17699.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176100Contraction principle (large deviations theory) 177100.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177100.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177101Convexoid operator 178101.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178101.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178102Cousins theorem 179102.1Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179102.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179103CramrWold theorem 180103.1Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180103.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180103.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180104Critical value 181104.1Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181104.2Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181104.3Complex dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181104.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181105Cyclic reduction 182105.1Applicability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182105.2Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182105.3Comparison to multigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182105.4Combination with fast Fourier transform FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182CONTENTS xiii105.5Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182106D-module 184106.1Introduction: modules over the Weyl algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184106.2D-modules on algebraic varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185106.2.1 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185106.3Holonomic modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186106.3.1 Holonomic modules over the Weyl algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186106.3.2 General denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186106.3.3 Properties and characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186106.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187106.4.1 KazhdanLusztig conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187106.4.2 RiemannHilbert correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187106.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187106.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187107DawsonGrtner theorem 188107.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188107.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188108De MoivreLaplace theorem 189108.1Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190108.1.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190108.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191109Dead-beat control 192109.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192110Delta-ring 193110.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193110.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193111DenjoyLuzin theorem 194111.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194112Dianalytic manifold 195112.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195113Dirac spectrum 196113.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196113.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196114Directed innity 197114.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197114.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197xiv CONTENTS115Dirichlet algebra 198115.1Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198115.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198116Dirichlet space 199116.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200116.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200117Disk algebra 201118Dispersive partial dierential equation 202118.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202118.1.1 Linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202118.1.2 Nonlinear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202118.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202118.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202119Distinguished limit 203119.1External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203120Divergent series 204120.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204120.2Theorems on methods for summing divergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205120.3Properties of summation methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205120.4Classical summation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206120.4.1 Absolute convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206120.4.2 Sum of a series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207120.5Nrlund means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207120.5.1 Cesro summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207120.6Abelian means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207120.6.1 Abel summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208120.6.2 Lindelf summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208120.7Analytic continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208120.7.1 Analytic continuation of power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208120.7.2 Euler summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208120.7.3 Analytic continuation of Dirichlet series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209120.7.4 Zeta function regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209120.8Integral function means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209120.8.1 Borel summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209120.8.2 Valirons method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209120.9Moment methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210120.9.1 Borel summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210120.10Miscellaneous methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210CONTENTS xv120.10.1Hausdor transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210120.10.2Hlder summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210120.10.3Huttons method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210120.10.4Ingham summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211120.10.5Lambert summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211120.10.6Le Roy summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211120.10.7Mittag-Leer summation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211120.10.8Ramanujan summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211120.10.9Riemann summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211120.10.10 Riesz means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212120.10.11 Valle-Poussin summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212120.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212120.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212120.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213121Douglas lemma 214121.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214121.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214122Drinfeld reciprocity 215122.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215123Drinfeld upper half plane 216123.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216124Dual norm 217124.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217124.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217124.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218125DunfordSchwartz theorem 219125.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219125.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219126DvoretzkyKieferWolfowitz inequality 220126.1The DKW inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220126.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221127Eberleinmulian theorem 222127.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222127.1.1 Types of weak compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222127.1.2 The Eberleinmulian theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222127.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222127.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222xvi CONTENTS127.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223128Eective domain 224128.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224129Ehrenpreis fundamental principle 225129.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225130Ehrlings lemma 226130.1Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226130.2Corollary (equivalent norms for Sobolev spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226130.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226131Elements of Algebra 227131.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227131.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227132Enveloping von Neumann algebra 228132.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228132.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228133Equilibrium point 229133.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229133.2Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229133.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229133.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230134Equioscillation theorem 231134.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231134.2Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231134.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231135EulerMaclaurin formula 232135.1The formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232135.1.1 The Bernoulli polynomials and periodic function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233135.1.2 The remainder term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233135.1.3 Applicable formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233135.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234135.2.1 The Basel problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234135.2.2 Sums involving a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234135.2.3 Numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234135.2.4 Asymptotic expansion of sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234135.2.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235135.3Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235CONTENTS xvii135.3.1 Derivation by mathematical induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235135.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237135.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237135.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237136EulerPoissonDarboux equation 238136.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238136.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238137Exhaustion by compact sets 239137.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239137.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239137.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239138Expansive 240138.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240138.2Theorem of uniform expansivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240138.3Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241138.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241139Exponentially equivalent measures 242139.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242139.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242139.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243140Exterior (topology) 244140.1Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244140.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244140.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244141Extrapolation 245141.1Extrapolation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245141.1.1 Linear extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245141.1.2 Polynomial extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245141.1.3 Conic extrapolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247141.1.4 French curve extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247141.2Quality of extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247141.3Extrapolation in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247141.4Fast extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248141.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248141.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248141.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249142Fabius function 250xviii CONTENTS142.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251143Favard operator 252143.1Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252143.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252143.2.1 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252144Ferniques theorem 253144.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253144.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253145Final value theorem 254145.1Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254145.2Example where FVT holds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255145.3Example where FVT does not hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255145.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255145.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256145.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256146First variation 257146.1Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257146.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257146.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258147Fixed-point space 259147.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259148Forcing function (dierential equations) 260148.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260149Fox H-function 261149.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261150FreidlinWentzell theorem 262150.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262150.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262151Friedrichs inequality 264151.1Statement of the inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264151.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264152Frostman lemma 265152.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265153Frchet-Kolmogorov theorem 266153.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266CONTENTS xix153.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266154Frlicher space 267154.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267154.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267155Function application 268155.1Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268155.2As an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268155.3Other instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269155.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269156Function approximation 270156.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270156.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270157Function series 271157.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271157.2Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271157.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271157.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271158Functional square root 272158.1Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272158.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272158.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272159Generality of algebra 274159.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274160Geometric analysis 275160.1Scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275160.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275161Gibbs lemma 277161.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277162Girth (functional analysis) 278162.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278162.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278163Glaesers composition theorem 279163.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279164GlivenkoCantelli theorem 280164.1Empirical measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280xx CONTENTS164.2GlivenkoCantelli class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281164.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282164.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282164.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282164.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282164.7Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282165Global analytic function 283165.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283165.1.1 Sheaf-theoretic denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283165.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283166GraceWalshSzeg theorem 284166.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284166.2Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284167Gradient conjecture 285167.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285168Grand Riemann hypothesis 286168.1Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286168.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286169Grothendieck space 287169.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287169.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287170Guard digit 288170.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288171Hadamards method of descent 290171.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290171.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290172Half range Fourier series 291173Hankel contour 292173.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293174Hardy eld 294174.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294174.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294174.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294174.4In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295174.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295CONTENTS xxi175Hardy notation 296175.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297175.2Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297175.3Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298175.3.1 Innite asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298175.3.2 Innitesimal asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299175.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299175.4.1 Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299175.4.2 Sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299175.4.3 Multiplication by a constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300175.5Multiple variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300175.6Matters of notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300175.6.1 Equals sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300175.6.2 Other arithmetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301175.6.3 Declaration of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301175.6.4 Multiple usages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302175.7Orders of common functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302175.8Related asymptotic notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302175.8.1 Little-o notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302175.8.2 Big Omega notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303175.8.3 Family of BachmannLandau notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304175.8.4 Use in computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305175.8.5 Extensions to the BachmannLandau notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305175.9Generalizations and related usages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305175.10History (BachmannLandau, Hardy, and Vinogradov notations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306175.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306175.12References and Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306175.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307175.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308176HardyLittlewood tauberian theorem 309176.1Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309176.1.1 Series formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309176.1.2 Integral formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310176.2Karamatas proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310176.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311176.3.1 Non-positive coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311176.3.2 Littlewoods extension of Taubers theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311176.3.3 Prime number theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311176.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311176.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312xxii CONTENTS177Harmonic spectrum 313177.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313178Height of a polynomial 314178.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314178.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315179HeineCantor theorem 316179.1Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316179.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317180Hermitian function 318180.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318180.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319181HerzSchur multiplier 320181.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320181.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320181.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320182Heteroclinic network 321182.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321183High-dimensional model representation 322183.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322183.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322184Higher-order derivative test 323184.1The general derivative test for stationary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323184.2Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323184.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323184.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324185Hilberts thirteenth problem 325185.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325185.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325185.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325185.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326186Himmelblaus function 327186.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328186.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328187HobbyRice theorem 329187.1The theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329CONTENTS xxiii187.2Application to fair division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329187.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330188Holomorphic curve 331188.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331188.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331188.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331189Holomorphic tangent space 332189.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332190Homotopy analysis method 333190.1Characteristics of the HAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334190.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334190.3Brief mathematical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334190.4The HAM and computer algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336190.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336190.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337191Horn function 338191.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338192Huas lemma 339192.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339193Hyperfunction 340193.1Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340193.1.1 Denition in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340193.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341193.3Operations on hyperfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341193.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342193.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342194Hypograph (mathematics) 343194.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343194.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343195Hyponormal operator 344195.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344195.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344196Hlder summation 345196.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345196.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345xxiv CONTENTS197Illustration of the central limit theorem 346197.1Illustration of the continuous case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346197.1.1 Original probability density function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346197.1.2 Probability density function of the sum of two terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347197.1.3 Probability density function of the sum of three terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347197.1.4 Probability density function of the sum of four terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347197.2Illustration of the discrete case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348197.2.1 Original probability mass function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348197.2.2 Probability mass function of the sum of two terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348197.2.3 Probability mass function of the sum of three terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349197.2.4 Probability mass function of the sum of 1,000 terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351197.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352198Incomplete FermiDirac integral 353198.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353198.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353199Innite arithmetic series 354199.1Zeta regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354199.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354199.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354200Infra-exponential 355200.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355201Initial value theorem 356201.1Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356201.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357201.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357202Integration using parametric derivatives 358203Irrational base discrete weighted transform 359203.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359204Iterated logarithm 360204.1Analysis of algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361204.2Other applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361204.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361204.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361205Jackson integral 362205.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362205.2Jackson integral as q-antiderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362CONTENTS xxv205.2.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362205.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362205.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363206Jacksons inequality 364206.1Statement: trigonometric polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364206.2Further remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365206.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365206.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365207Jacobi zeta function 366207.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366208Join (sigma algebra) 367208.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367209Jordans inequality 368209.1Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369209.2Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369209.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369210Kamp de Friet function 370210.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370210.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370211Katos conjecture 371211.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371211.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371212KaupKupershmidt equation 372212.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372212.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372213Kelloggs theorem 373213.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373213.2Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373214KolmogorovArnold representation theorem 374214.1Original references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374214.2Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374214.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374215KontorovichLebedev transform 376215.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376216Kroneckers lemma 377xxvi CONTENTS216.1The lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377216.1.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377216.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378217Kummers function 379217.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379218L-notation 380218.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380218.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381218.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381219Lacunary value 382219.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382220Lambert summation 383220.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383220.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383220.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383220.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383221Langlands decomposition 384221.1Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384221.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384221.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384222Laplace limit 385222.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385222.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385222.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385223Laplace principle (large deviations theory) 386223.1Statement of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386223.2Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386223.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387223.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387224Laplaces method 388224.1The idea of Laplaces method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388224.2General theory of Laplaces method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388224.3Other formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392224.4Laplaces method extension: Steepest descent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394224.5Further generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394224.6Complex integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395CONTENTS xxvii224.7Example 1: Stirlings approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395224.8Example 2: parameter estimation and probabilistic inference. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396224.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396224.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396224.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397225LaplaceCarson transform 401225.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401225.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401225.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401226Large deviations theory 402226.1Introductory examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402226.1.1 An elementary example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402226.1.2 Large deviations for sums of independent random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 403226.2Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403226.3Brief history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404226.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404226.4.1 Large deviations and entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404226.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404226.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405226.7Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405226.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405227Leaky integrator 406227.1Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406227.1.1 General solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407227.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407228Lebesgue spine 408228.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408228.2Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408228.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408229Legendre chi function 409229.1Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409229.2Integral relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409229.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410230LercheNewberger sum rule 411230.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411231Lethargy theorem 412231.1Bernsteins lethargy theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412xxviii CONTENTS231.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412231.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412232Lidstone series 414232.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414233Limit (mathematics) 415233.1Limit of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415233.2Limit of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416233.3Limit as standard part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417233.4Convergence and xed point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417233.5Topological net . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417233.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418233.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418233.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418234Limits of integration 419234.1Improper integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419234.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419235Lindebergs condition 420235.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420235.2Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420235.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421235.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421236Line eld 422236.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422237Linear ow on the torus 423237.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423237.2Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .