Mathematica Tutorial

7/18/2019 Mathematica Tutorial

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Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Rosario

Laboratorio Informático de Ciencias Básicas

MATHEMATICA

TUTORIAL

Capítulo Nº 2: Gráficas y animaciones para elCálculo Diferencial

Ing. Sara De Federico

2013



Laboratorio Informático de Ciencias Básicas - http://frro.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=17

https://www.facebook.com/labinf.csbsutnfrro

https://twitter.com/LabCsBsFRRo

Ing. Sara De Federico - 2013 1

Indice

Introducción ................................................................................................................................................................. 2

Límite .............................................................................................................................................................................. 2

Continuidad ................................................................................................................................................................. 5

Derivada ....................................................................................................................................................................... 7

Tendencia de la derivada .................................................................................................................................. 10

Derivada en un punto ......................................................................................................................................... 11

Animación de la interpretación geométrica de la derivada ..................................................................... 13

Linealidad local ......................................................................................................................................................... 15

Estudio de funciones ................................................................................................................................................. 17

Critetios de la derivada primera y segunda ................................................................................................... 17

Asíntotas verticales y horizontales ..................................................................................................................... 19

Asíntotas verticales y oblicuas ........................................................................................................................... 21







IntroducciónEsta guía es una continuación de los conceptos vistos en el Tutorial de Mathematica 1º parte, yaborda los temas desde límite, definiciones y conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial, elestudio de funciones desde el punto de vista gráfico, concluyendo con aplicaciones. Con el

enfoque de afianzar todos estos temas, se exponen actividades de graficación, simulación yanimaciones de funciones reales en una variable, y sus derivadas. Estas prácticas posibilitan,además, la expresión creativa y la oportunidad de analizar más profundamente los temas.

Importante: Cada vez que aparece el ícono del Mathematica se presenta una ayuda para elentendimiento de la sintaxis y diferentes características de los comandos y reglas que posee el software. Los comandos e instrucciones que se pueden copiar y pegar en el Mathematica estándentro de un recuadro.

LímitePrimeramente definiremos una función con algún punto de discontinuidad, para observar su

comportamiento y calcular los límites posibles.Por ejemplo, la función Signo(x):

f[x_]=Sign[x];Plot[f[x],{x,-2,2},PlotStyle->{ColorData["HTML"]["LightSeaGreen"],Thickness[0.01]}]

Nota: El Mathematica no grafica analíticamente las funciones, sino que las traslada a una

aproximación numérica, por lo cual las gráficas no presentan discontinuidad (observar la recta queune en el eje y a las dos ramas de la función)

Podemos calcular los límites por izquierda y por derecha, utilizando el comando Limit[función,variable -> valor, Dirección -> {1,-1}]. La dirección por izquierda se indica con un 1, y

por derecha con un -1.

Limit[f[x],x->0,Direction->1]

-1

Limit[f[x],x->0,Direction->-1]

1

Otra discontinuidad interesante es la de la función Sen(x)/x, para x=0. Así podemos calcular el límitepor izquierda y por derecha de otras funciones:

2 1 1 2

1.0

0.5

0.5

1.0







Limit[Sin[x]/x, x->0,Direction->1]

1

Limit[Sin[x]/x, x->0,Direction->-1]

1

De la observación de la gráfica se infiere que el límite en x=0 existe vale 1, siendo que f(0,

discontinuidad salvable haciendo f(0)=1.

Plot[Sin[x]/x,{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle RGBColor[1,0,0]];

Observemos otra función,

g[x_]=Abs[x]/(x^2-1/2)

Plot[g[x],{x,-2,2},PlotStyle->Purple,Background-> LightPink]

-6 -4 -2 2 4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 1 1 2

4

2

2

4







La discontinuidad de esta función se da para los valores en donde la función es decir donde el

denominador se hace 0, utilizamos el comando Solve para ver en qué punto del eje x sucede dichadiscontinuidad,

Solve[x^2 - (1/2)==0,x]

Veremos los límites por izquierda y derecha en esos puntos,

Limit[g[x],x->-1/Sqrt[2],Direction->1]

Limit[g[x],x->-1/Sqrt[2],Direction->-1]

Limit[g[x],x->1/Sqrt[2],Direction->1]

Limit[g[x],x->1/Sqrt[2],Direction->-1]

Ante una indeterminación el Mathematica genera un mensaje de advertencia

h(x) es indeterminada para x = 0. El mensaje indica que se ha encontrado una división por cero (verel Help Browser clickeando en la doble flecha).

Observaremos el comportamiento de la función h[x], primero crearemos una tabla de valores porizquierda y por derecha de la función, dándole valores a la variable independiente cada vez máscercanos a 0, luego calcularemos los límites.

tabiz=N[Table[h[-10^(-i)],{i,1,10}]]







{-0.0544021,-0.00506366,0.00082688,-0.0000305614,3.57488*10^-7,-3.49994*10^-

7,4.20548*10^-8,9.31639*10^-9,5.45843*10^-10,-4.87506*10^-11}

Observamos que a valores más pequeños de x por izquierda, h tiende a 0 con valores que oscilanentre positivos y negativos.

tabder=N[Table[h[10^(-i)],{i,1,10}]]

{-0.0544021,-0.00506366,0.00082688,-0.0000305614,3.57488*10^-7,-3.49994*10^-

7,4.20548*10^-8,9.31639*10^-9,5.45843*10^-10,-4.87506*10^-11}

Lo mismo ocurre por derecha, se observan los mismos valores. Si calculamos los límites:

Limit[h[x],x->0,Direction->1]

0

Limit[h[x],x->0,Direction->-1]

0

La gráfica de la función muestra claramente este comportamiento.

Plot[h[x],{x,-0.3,0.3},PlotStyle->{Thin,ColorData["GeologicAges"]["Paleoproterozoic"]},PlotRange->{-0.3,0.2},Background->LightYellow]

Continuidad

Definiremos una función que sea continua, pero que esté definida por tramos. Presentamos unproblema para el análisis de la continuidad de una función definida por tramos.

Problema: Hallar el valor de k para que la siguiente función sea continua:

0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2







Ingresamos la función por tramos en el Mathematica utilizando el comando Which que permitedefinir la función por partes, colocando separados por comas los valores que puede tomar x y lafunción correspondiente para ese intervalo, luego el siguiente intervalo y así sucesivamente.

f[x_]=Which[x<0, Sin[4x]/(k x),x>=0,x^2-3x+k]

Ahora utilizaremos el comando Solve[condición/es,variable/s] para obtener el conjunto de valoresde k para los cuales la función es continua, es decir, se cumplen todos las condiciones para laexistencia de la continuidad:

1- Existen y son iguales los límites por izquierda y por derecha de la función en sus respectivasleyes en x=0

Solve[Limit[Sin[4 x]/(k x),x->0, Direction->-1]==Limit[x^2-3x+k,x->0,Direction->1],k]

Nota: En el Solve se indica con un doble signo igual = = el hecho que estamospreguntando cuáles son los valores de k donde se cumple esta condición? El resultado, esuna lista de listas es decir, la salida está encerrada en un doble juego de llaves.

2-

El límite de la función cuando x->0 existe para los valores de k obtenidos,

k=-2

-2Limit[f[x],x->0]

-2

k=2

2Limit[f[x],x->0]

2

3- Existe la función en x=0

Para k=-2f[0]

-2

Para k=2f[0]

2Se grafican las funciones obtenidas con ambos valores de k. Primero se generan las gráficas de lasfunciones, luego los puntos de unión, y finalmente, con el comando Show se presenta todo junto.

Clear[k]continuas=Table[f[x]/.k->i,{i,-2,2,4}]

graf=Plot[Evaluate[continuas],{x,-3,3},PlotStyle->{{Thick,ColorData["GeologicAges"]["Pennsylvanian"]},







{Thick,ColorData["GeologicAges"]["Cambrian"]}},Background->ColorData["GeologicAges"]["UpperCretaceous"]];

Para generar los puntos se usan dos comandos, el Graphics, que genera gráficos de elementos y

objetos sin utilizar la función que los define, por ejemplo puntos, líneas, figuras geométricas, texto enformato de cartel, etc; y el comando del punto: Point. Observamos detenidamente la sintaxis deestos comandos, la regla general es anidar entre llaves cada objeto que se desea graficar, con susparámetros de graficación como tamaño y color, y luego colocar todos dentro de un juego dellaves que los abarca dentro del comando Graphics.

ptos=Graphics[{{Red,PointSize[0.015],Point[{0,2}]},{Blue,PointSize[0.015],Point[{0,-2}]}}];

Show[graf,ptos]

Importante: Para no ver las gráficas intermedias del Plot y el Graphics simplemente de coloca un

punto y coma ; al final de las sentencias.

Derivada

Se muestra el concepto de derivada a partir de su definición y se interpretarán los resultados enforma geométrica.

func[x_]= x^5+8x^2-10x

-10 x+8 x^2+x^5

p1=Plot[func[x],{x,-3,3},PlotStyle-> ColorData["Legacy"]["CadmiumOrange"],Background->ColorData["Legacy"]["PapayaWhip"],PlotRange->{-30,30}]

3 2 1 1 2 3

4

3

2

1

1

2







Observamos el crecimiento neto de la función en algún intervalo como por ejemplo el {-0.5 ,1.5},

func[1.5] - func[0.5]

13.5625

La Razón de cambio promedio de la función en el {-0.5 ,1.5} es el cociente del crecimiento netosobre el intervalo considerado,

(func[1.5] - func[0.5])/(1.5 - (-0.5))

6.78125

Tomando la razón de cambio promedio, se puede construir una función para diferentes valores delintervalo tomado, que llamaremos h, entonces este intervalo tendrá como extremos los valores {x, x+h}, y que entonces tendrá a x y a h como variables dependientes ,

ci[x_,h_]=(func[x+h]-func[x])/h

Si usamos el comando Expand, que distribuye el cociente, se observa la expresión más claramente

ci[x,h]//Expand

-10+8 h+h^4+16 x+5 h^3 x+10 h^2 x^2+10 h x^3+5 x^4

Importante: La aplicación //Expand es igual a Expand[ci[x,h]] y es solo aplicable a comandos

que no tienen más que un parámetro entre corchetes.

Entonces con ci[x,h] se puede dar diferentes valores a h y observar la tendencia de las funcionesobtenidas, utilizaremos el comando Table para obtener las funciones tal como se explicó en el 1ºTutorial;

funciones=Table[ci[x,h],{h,1,0.001,-0.1}]//N//Expand

{-1.+21. x+10. x^2+10. x^3+5. x^4,-2.1439+19.645 x+8.1 x^2+9. x^3+5. x^4,-

3.1904+18.56 x+6.4 x^2+8. x^3+5. x^4,-4.1599+17.715 x+4.9 x^2+7. x^3+5. x^4,-

3 2 1 1 2 3

30

20

10

10

20

30







5.0704+17.08 x+3.6 x^2+6. x^3+5. x^4,-5.9375+16.625 x+2.5 x^2+5. x^3+5. x^4,-

6.7744+16.32 x+1.6 x^2+4. x^3+5. x^4,-7.5919+16.135 x+0.9 x^2+3. x^3+5. x^4,-

8.3984+16.04 x+0.4 x^2+2. x^3+5. x^4,-9.1999+16.005 x+0.1 x^2+1. x^3+5. x^4}

El resultado de la tabla es un conjunto de funciones ci en donde h, valor del intervalo, va

disminuyendo desde 1 a 0.001 un valor cercano a 0. Para saber cuántas funciones tenemos,

Length[funciones]

10

Entonces, obtuvimos 10 cocientes incrementales para diferentes valores de h decrecientes desde 1hasta las cercanías del 0. Graficamos estas funciones con el comando Plot como siempre,

p2=Plot[Evaluate[funciones],{x,-3,3},PlotRange->{-30,50}]

Si tomamos el cociente incremental y calculamos su límite cuando h->0, obtendremos la derivada defunc[x]

Limit[ci[x,h],h->0]

-10+16 x+5 x^4

Obviamente el Mathematica tiene comandos para obtener la derivada sin utilizar la definición:

D[func[x],x]

10+16 x+5 x^4

func'[x]

-10+16 x+5 x^4

Graficamos la derivada

p3=Plot[func'[x],{x,-3,3},PlotStyle->{Thickness[0.01],ColorData["Crayola"]["Bittersweet"]},PlotRange->{-30,50}]

3 2 1 1 2 3

20

20

40







Finalmente se grafica todo junto

Show[p1,p2,p3]

En el gráfico se observa claramente que, a medida que h->0 las funciones ci[x,h] para cada h dado,tienden a f '[x]

Tendencia de la derivada

Para observar como el cociente incremental tiende a la derivada, construiremos una pequeñaanimación. Para ello el Mathematica posee una serie de comandos de uso muy interesante queproveen un entorno de simulación de fácil uso.

El primer comando que veremos es el Animate, que muestra una repetición de objetos generados (aligual que el Table) pero dentro de una ventana de simulación que cuenta con controles para su uso.Entonces dentro del comando debemos colocar el objeto a repetir, en este caso vamos a graficar elcociente incremental, y el conjunto de valores de h. Con las diferentes gráficas se genera unaanimación, que es más detallada y de mejor visualización a más cantidad de gráficas generadas.

Se ingresa el Plot del cociente incremental y la derivada, y se va a variar h de la misma forma quehicimos en el paso anterior,

Animate[Plot[{ci[x,h],func'[x]},{x,-3,3},PlotStyle->{GrayLevel[h],{Thick,Blue}},PlotRange->{-30,50}],{h,1,0.0001,-0.03}]

3 2 1 1 2 3

20

20

40

3 2 1 1 2 3

30

20

10

10

20

30







La ventana que se muestra es la salida del comando.Para tener una simulación más elaborada se presenta la siguiente modificación de la instrucción,

Animate[Plot[{Evaluate[Table[{ci[x,h],func'[x]},{h,i,0.0001,-0.1}]],func'[x]},{x,-3,3},PlotStyle->{GrayLevel[ i -0.1],{Thick,Blue}},PlotRange->{-30,50}],{i,1,0.0001,-0.1},AnimationRunning->False]

En este caso se observan todos los cocientes incrementales, si se mueve el tirador con el mouse los

cocientes van acercándose a la derivada.

Nota: Para una mejor observación de los detalles del comando Animate consultar el Help o losarchivos de la biblioteca de la página del laboratorio.

Derivada en un punto

Para analizar la derivada en un punto, vamos a usar la tabla de cocientes incrementales llamada

“funciones” obtenida en la página 9, y se valorizan en x= - 2.2

pendientes=funciones/.x->-2.2//N

{11.848, 15.1371, 18.8976, 23.1751, 28.0176, 33.4755, 39.6016, 46.4511, 54.0816,

62.5531}

h

3 2 1 1 2 3

20

20

40

i

3 2 1 1 2 3

20

20

40







El resultado son 10 valores de pendientes de rectas secantes que pasan por el punto -2.2

secantes = Table [pendientes[[j]](x+2.2)+func[-2.2],{j,1,Length[pendientes]}] //N//Expand

{21.0448 +11.848 x,19.4002 +15.1371 x,17.52 +18.8976 x,15.3812 +23.1751 x,12.9599

+28.0176 x,10.231 +33.4755 x,7.16795 +39.6016 x,3.7432 +46.4511 x,-0.07205+54.0816

x,-4.3078+62.5531 x}

Geométricamente las rectas obtenidas son secantes que pasan por el -2.2. Luego construimos larecta tangente a la función en el punto -2.2 a partir de la derivada en el punto.

rectatangente = func'[-2.2](x+2.2)+func[2.2]//N//Expand

226.498 +71.928 x

Graficaremos este conjunto de rectas y la gráfica de la función, para observar la interpretacióngeométrica de la derivada en un punto. Colocaremos puntos en cada intersección de cada rectacon la función para acentuar la interprestación de la gráfica, utilizando nuevamente el comandoPoint

p4=Plot[Evaluate[secantes],{x,-3,-0.5},PlotStyle->Directive[Black,Dashing[{0.01,0.01}]],PlotRange->{-1,30}]

En p5 obtenemos la gráfica de la recta tangente pero sin mostrar la salida, colocando un punto y

coma (;) al final de la línea

p5=Plot[rectatangente,{x,-3,-0.5},PlotStyle->Blue];

Definimos los puntos como pares ordenados haciendo x=-2.2 + h para los diferentes valores que tomah, y func[-2.2 + h], luego los graficamos sin mostrar la salida,

puntos= Table[{-2.2+h,func[-2.2 +h]},{h,1,0.001,-0.1}]

{{-1.2,21.0317},{-1.3,22.8071},{-1.4,24.3018},{-1.5,25.4063},{-1.6,25.9942},{-

1.7,25.9214},{-1.8,25.0243},{-1.9,23.119},{-2.,20.},{-2.1,15.439}}

p6=ListPlot[puntos,PlotStyle->{PointSize[0.02],Purple}];

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

5

10

15

20

25

30







Nota: ListPlot es un comando que grafica un conjunto de puntos ingresados en forma de lista, enla biblioteca de la página hay archivos para el uso de listas y listados de puntos.

Finalmente mostramos todo junto en un Show,

Show[p4,p5,p1,p6,Background->ColorData["Legacy"]["Ghost"],Frame->True,GridLines->Automatic, BaseStyle-> {Small,FontFamily->"Times",Italic}]

En la gráfica se observa como las rectas secantes van tendiendo a la tangente a medida que h->0

Importante: El orden dentro del Show de las gráficas anteriores (p4, p5, p1, p6) no es al azar, esteorden garantiza que la gráfica final tenga las coordenadas de las rectas secantes, y los puntosqueden sobre la gráfica de la función. Si se cambia el orden la gráfica final puede alterarseDRÁSTICAMENTE. La combinación de gráficos en un Show obliga al uso de los mismos rangos yparámetros de estilo, por ello en este caso los retoques finales se hacen dentro del mismo Show para

evitar problemas, ya que puede generar errores.

Verificamos que el límite del cociente incremental cuando h->0 es la derivada en el punto.

Limit[ci[-2.2,h],h->0]= = func'[-2.2]

True

Animación de la interpretación geométrica de la derivada

Para entender mejor el concepto de rectas secantes que tienden a la tangente realizaremos unaanimación del proceso. En este caso se usa el comando ListAnimate, de comportamiento similar alAnimate. En la animación se observa como las rectas secantes construidas a partir de los cocientesincrementales para diferentes valores de h, van tendiendo a la tangente a medida que h->0.

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0

5

10

15

20

25

30







ListAnimate[Table[Plot[{func[x],secantes[[i]]},{x,-4,1.5},PlotRange->{{-3,1},{-2,30}},PlotStyle->{Green,Orange}],{i,1,10}],AnimationRunning->False]

Para mejorar la gráfica se agregan los puntos y un mensaje que indique el valor de h (remarcado engris en la instrucción)

ListAnimate[Table[Plot[{func[x],secantes[[i]]},{x,-4,1.5},PlotRange->{{-3,1},{-2,30}},PlotStyle->{Green,Orange},Epilog->{{Text[Style["h=",FontFamily->"Times",FontSize->12],{-2.7,25}]},{Text[Style[0.7- 0.01 i,FontFamily->"Times",FontSize->12],{-2.5,25}]},{PointSize[Large],Point[puntos[[i]]],Point[{-2.2,

func[-2.2]}]}}],{i,1,10}],AnimationRunning->False]

Importante: El parámetro Epilog es un mensaje que se puede ingresar dentro del Plot y permite elagregado de detalles en forma rápida, sin ingresarlos previamente y tener que recurrir a un Show , Eneste caso se usa el comando Point y el comando Text (también para uso dentro de Graphics). Cabedestacar que la posición del texto se fija con coordenadas que dependen de la gráfica, al igual que

las coordenadas del PlotRange.

3 2 1 1

5

10

15

20

25

30

3 2 1 1

5

10

15

20

25

30

h 0.65







Este ejercicio está hecho con 10 gráficas (recordar que las tablas tienen 10 cocientes, pendientes ysecantes). La optimización de la visualización se obtiene agregando más gráficas, es decir quehabría que hacer tablas de pendientes y secantes con mayor cantidad de elementos, particionandon veces el intervalo, a mayor valor de n, aumenta la calidad de la visualización y no se ven cortes enla animación. En la biblioteca de archivos del Mathematica se puede ver las animacionesoptimizadas.

Linealidad local

Para observar la linealidad local de una función, basta con acercar la gráfica desde el Plot, primerograficaremos la función y luego se acercará la ventana de graficación,

g[x_]=x^3x3

graf=Plot[g[x],{x,-1.5,1.5},PlotStyle->LightPink,Background->Purple, AxesStyle->White, PlotRange-> {{-1.5,1.5},{-1.5,1.5}},AspectRatio->1];

Para acercar la gráfica se reduce la ventana de graficación, tomando un entorno alrededor delpunto deseado, en este caso 2/3. Como se pide un zoom de 10 puntos, nos acercamos en unentorno de ancho 1/10, (remarcado en gris en la instrucción) Graf2=Plot[g[x],{x, 2/3 – (1/10), 2/3 + (1/10)},PlotStyle->LightPink,Background->Purple, AxesStyle->White, PlotRange-> {{-1.5,1.5},{-1.5,1.5}},AspectRatio->1]

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

0.65 0.70 0.75

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45







Se grafica conjuntamente la función y la recta tangente a la función en 2/3 que mostrará laaproximación de la función hacia una linealidad local.

Rtang = g'[2/3] (x- 2/3) + g[2/3]

8/27+4/3 (-(2/3)+x)

Graf3=Plot[{g[x],rtang},{x,2/3-(1/10),2/3+(1/10)},PlotStyle->{LightPink,LightBlue},Background->Purple,AxesStyle->White,PlotRange->{{2/3-(1/10),2/3+(1/10)},{g[2/3-(1/10)],g[2/3+(1/10)]}},AspectRatio->1]

Para obtener las coordenadas de lospuntos cercanos a la superposición de lafunción con su recta tangente, se haceclick con el botón derecho sobre la

gráfica, y luego click en Get Coordinates,el cursor se convierte en una pequeñacruz de objetivo. Al pasar con el por lagráfica se muestra un cartelito con lascoordenadas.

De esta forma podemos acercarnos al 2/3y ver la diferencia entre tomar el valor dela recta tangente y el valor de la funciónen las cercanías del punto considerado.

Por ejemplo: tomamos los valores de lafunción y la recta en el punto 0.7226,{{0.7226, 0.2931}}

{{0.7226, 0.3783}}

La diferencia entre los valores de lasordenadas muestra el error de valorizar larecta en vez de la función en las

cercanías del punto 2/3,

0.3783- 0.29310.0852

Aplicamos la aproximación por uso del concepto de diferencial de una función,

g[0.5]

0.125

g[0.51]

0.132651

dif=g[0.5]+ g'[0.5] 0.01

0.1325

%%-%







0.000151

Importante: La expresión %%-% implica la resta entre la penúltima salida (%%) y la última salida

(%). Es una notación rápida para usar los resultados de las instrucciones sin nombrarlos previamente.Recordar que siempre muestra la última y penúltima, es decir que si se sigue ingresando instrucciones

se van cambiando las mismas.

Estudio de funciones

Critetios de la derivada primera y segunda

En esta sección se utilizan los criterios de la derivada primera y de la derivada segunda para lacomprensión de la forma de una función.Definiremos una función llamada m(x) y la presentaremos junto a su derivada, marcando los puntosdonde la derivada se hace cero. Usaremos el comando Solve para obtener los valores en donde laderivada y la función se hacen 0. Se grafican las funciones y elementos gráficos para facilitar lavisualización y luego se muestran con un Show.

m[x_]= 13x^5+20x^4-4x^3- 9x^2-10x

-10 x-9 x^2-4 x^3+20 x^4+13 x^5

Obtenemos los puntos donde m’(x)=0 y las raíces de la función, es decir los valores de x para loscuales m(x)=0

Solve[m[x]==0.x]

{{x->-1.64274},{x->-0.384731-0.622822 I},{x->-0.384731+0.622822 I},{x->0.},{x->

0.873742}}

Solve[m'[x]==0.x]

{{x->-1.27935},{x->-0.273022-0.35734 I},{x->-0.273022+0.35734 I},{x->0.594628}}

Los valores obtenidos de x son tres valores reales, y dos complejas conjugados. Se tienen en cuentasolamente los valores reales, se grafican líneas verticales que pasan por esos puntos

lineas=Graphics[{Directive[Dashed,Gray],Line[{{-1.2793524393831368,30},{-1.2793524393831368,-30}}],Line[{{0.5946275806993881,30},{0.5946275806993881,-30}}]}];

Localizamos m r y M r y los graficamos

{{-1.27935, m[-1.27935]},{0.594628, m[0.594628]}}{{-1.27935, 15.4625},{0.594628, -6.50268}}

puntosder=ListPlot[{{-1.27935,m [-1.27935]},{0.594628,m[0.594628]}},PlotStyle->{PointSize[0.01],Blue}];

Ingresamos los detalles de visualización importante, por ejemplo los nombres de las funciones y losvalores x en los puntos críticos,

detalles=Graphics[{{Text[Style["0.594628",FontFamily->"Times",FontSize->10],{0.48,0.6}]},{Text[Style["-1.27935",FontFamily->"Times",FontSize->10],







{-1.15,0.6}]},{Text[Style["m'(x)",FontFamily->"Times",FontSize->11],{-0.4809,-12.55}]},{Text[Style["m(x)",FontFamily->"Times",FontSize->11],{-0.5394,6.154}]}}]

grafica=Plot[{m[x],m'[x]},{x,-2,1.5},PlotStyle->{{Thick,ColorData["Atoms"]["Na"]},{Thick,ColorData["Atoms"]["Rn"]}},Background->ColorData["Atoms"]["Pt"],PlotRange->{-30,30},Frame->True,FrameStyle->Gray];

Show[grafica,lineas,detalles, puntosder]

Se observa claramente que cuando la derivada se hace 0, la función tiene un mínimo o un máximorelativos. Además se ven los intervalos de crecimiento y decrecimientos de la función marcados porla positividad o negatividad de la derivada primera, entonces

La función crece en (-∞, -1.27935) y en (0.594628, +∞)

La función decrece en ( -1.27935, 0.594628)

La función tiene un máximo relativo en M r =(-1.27935, 15.4625 ), y un mínimo relativo en

m r =(0.594628, -6.50268 )

La función tiene Raíces reales: -1.64274, 0, 0.873742

Racíes complejas conjugadas: (-0.384731 - 0.622822 i), (-0.384731 +

0.622822 i)

Para observar la concavidad y la convexidad de la función obtendremos la derivada segunda y lagraficaremos junto con las anteriores (eliminamos los detalles para una mejor visualización)

Solve[m''[x]==0.x]

{{x->-0.943118},{x->-0.2611},{x->0.281142}}

0.5946281.27935

m' x

m x

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.530

20

10

0

10

20

30







lineas2=Graphics[{Directive[Dashed,LightBlue],Line[{{-0.943118,30},{-0.943118,-30}}], Line[{{-0.2611,30},{-0.2611,-30}}],Line[{{0.281142,30},{0.281142,-30}}]}];

grafica2=Plot[m''[x],{x,-2,1.5},PlotStyle->{{Thick,ColorData["Atoms"]["Th"]}},Background->ColorData["Atoms"]["Pt"],PlotRange->{-30,30},Frame->True,FrameStyle->Gray];

Show[grafica,grafica2,lineas,lineas2,puntosder]

Así se observa cómo va variando la concavidad y la convexidad de la función a medida que la

derivada crece y decrece, y la derivada segunda es positiva o negativa. Tomando los puntosobtenidos del Solve en la página anterior podemos concluir

La función es cóncava hacia abajo en (-∞,-0.943118) y en (-0.2611, 0.281142)

La función es cóncava hacia arriba en (-0.943118, -0.2611) y en (0.281142, +∞)

En los puntos -0.943118,-0.2611 y 0.281142 la función tiene puntos de inflexión.

Asíntotas verticales y horizontales

Recordamos la función

g[x_]=Abs[x]/(x^2-1/2)

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.530

20

10

0

10

20

30







Vamos a calcular los límites en los puntos donde la función presenta una discontinuidad, es decir enlos valores de la variable en donde el denominador se hace 0. Con Solve obtenemos esos puntos,

Solve[(x^2-1/2)==0,x]

Limit[g[x],x->-1/Sqrt[2],Direction->1]

Limit[g[x],x->-1/Sqrt[2],Direction->-1]

Limit[g[x],x->1/Sqrt[2],Direction->1]

Limit[g[x],x->1/Sqrt[2],Direction->-1]

Calcularemos los límites para demostrar la presencia de una asíntota horizontal en y=0

Limit[g[x],x->-Infinity]

0

Limit[g[x],x->+Infinity]

0

Graficamos la función y se marcan las asíntotas con líneas de puntos.

asintotas=Graphics[{Directive[Thick,Dashed,ColorData["Crayola"]["MagicMint"]],Line[{{-(1/Sqrt[2]),7},{-(1/Sqrt[2]),-7}}],Line[{{1/Sqrt[2],7},{1/Sqrt[2],-7}}]}];

graficag=Plot[g[x],{x,-2,2},Axes->{False,True},AxesStyle->ColorData["Crayola"]["Canary"],PlotStyle->ColorData["Crayola"]["ElectricLime"],Background->ColorData["Crayola"]["Sepia"],PlotRange->{-7,7}];

eje=Plot[0,{x,-2.3,2.3},PlotStyle-

>{Thick,Dashed,ColorData["Crayola"]["MagicMint"]},PlotRange->{-7,7}];







Show[graficag, asintotas, eje]

Asíntotas verticales y oblicuas

Observaremos una función que posee asíntotas oblicuas.

pol[x_]= (x^2+3)/(x- 1/4)

Se calculan la pendiente y la ordenada al origen de la recta asíntota.

pendiente= Limit[pol[x]/ x, x->Infinity]

1

ordenada= Limit[pol[x]- 1 x, x->Infinity]

asintotaoblicua[x_]=x+ (1/4)

Se comprueba que la recta obtenida es efectivamente asintótica a la función

Limit[pol[x]- (x+ 1/4), x->Infinity]//Expand

0

Demostramos la presencia de una asíntota vertical en x= 1/4

6

4

2

0

2

4

6






I S D F d i 2013 22

Limit[g[x],x->1/4,Direction->1]

Limit[g[x],x->1/4,Direction->-1]

Finalmente se genera la gráfica y las asíntotas

asintotav=Graphics[{Directive[Thickness[0.005],ColorData["Crayola"]["PurpleHeart"],Dashing[{0.04,0.02}]],Line[{{1/4,10},{1/4,-10}}]}] ;

grafob=Plot[{pol[x],asintotaoblicua[x]},{x,-20,20}, PlotStyle->

{{ ColorData["Crayola"]["PineGreen"]},{Thickness[0.005],ColorData["Crayola"]["PurpleHeart"],Dashing[{0.04,0.02}]}},PlotRange->{{-8,8},{-10,10}},Background->ColorData["Atoms"]["He"]];

Show[grafob,asintotav]

Nota: La línea vertical debajo de la asíntota vertical es la unión de los extremos de la gráfica, no

debe considerarse (recordar que el Mathematica une por cálculo numérico los saltos ydiscontinuidades)

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Con respecto a los temas tratados en este tutorial, la página del Laboratorio Informático de Ciencias

Básicas http://frro.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=17 posee una biblioteca de archivos delMathematica para investigar más a fondo los comandos e instrucciones.

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