Math Mechanics

7/24/2019 Math Mechanics

http://slidepdf.com/reader/full/math-mechanics 1/7

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΛΕΥΡΙΤΑΚΗΣ www.physicsweb.gr σελ . 1 από 7

1. Συντεταγμένη σημείου Ένα σώμα κινείται πάνω σε ένα ευθύγραμμο δρόμο. Για να μελετήσουμε

την κίνηση του, αντιστοιχούμε σε κάθε θέση του ένα αριθμό με την

παρακάτω διαδικασία.

Α) Εκλέγουμε ένα σημείο Ο πάνω στην ευθύγραμμη τροχιά του ως αρχή.

Β) Ορίζουμε την μια από τις δύο κατευθύνσεις που ορίζει το Ο, ως

θετική ενώ την άλλη ως αρνητική.

Γ) Ορίζουμε την απόσταση που έχει μήκος 1.

Η θέση του σώματος προσδιορίζεται με ένα αριθμό x ως η απόσταση της

θέσης του από την αρχή Ο και με θετικό πρόσημο αν βρίσκεται στο

ημιάξονα με θετική κατεύθυνση και με αρνητικό πρόσημο αν βρίσκεται

στον ημιάξονα με αρνητική κατεύθυνση.

2.

Ταχύτητα Αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση g(.) που δίνει τη θέση x του σώματος

συναρτήσει του χρόνου t, δηλαδή x=g(t), τότε η (αλγ. τιμή της)

ταχύτητας του σώματος τη στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης

g(.) τη στιγμή t, δηλαδή

)(t gv ′=

Παραδείγματα

1) Αν ένα σώμα είναι ακίνητο, δηλαδή ct g x == )( για όλες της χρ.

στιγμές t, τότε η ταχύτητα του είναι μηδέν. Πράγματι

0)()( =′=′= ct gv

2) Αν η θέση x του σώματος είναι ανάλογη του χρόνου, δηλαδή

at t g x ≡= )( (α σταθερά) τότε η ταχύτητα του είναι σταθερή.

Πράγματι

aat t gv =′=′= )()(

3. Επιτάχυνση Αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση h(.) που δίνει την ταχύτητα v του σώματος

σε συνάρτηση με το χρόνο t, δηλαδή

)(t hv = τότε η (αλγ, τιμή της) επιτάχυνση α του σώματος τη στιγμή t είναι η

παράγωγος της συνάρτησης h(.) τη στιγμή t, δηλαδή

)(t ha ′=

Αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση g(.) που δίνει τη θέση x του σώματος σε

συνάρτηση με το χρόνο t, τότε η (αλγ. τιμή της) επιτάχυνσης α του

αυτοκινήτου είναι η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης g(.) τη στιγμή t,

δηλαδή

)(t ga ′′=





Παραδείγματα 1) Αν ένα σώμα κινείτε με σταθερή ταχύτητα V, τότε

V t hv == )( για όλες τις χρ. στιγμές t

η επιτάχυνση του είναι μηδέν, πράγματι

0)()( =′=′= V t ha

2) Αν η θέση x ενός σώματος είναι ανάλογη του 2t , δηλαδή

2)( At t g x ≡= για όλες τις χρ. στιγμές t

η ταχύτητα του τη στιγμή t, είναι

At At t gt hv 2)()()( 2 =′=′==

δηλαδή η ταχύτητα του είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου, ενώ η

επιτάχυνση του είναι

A At t ht ga 2)2()()( =′=′=′′=

δηλαδή σταθερή ίση με 2Α

4. Μετατόπιση σαν χρονικό ολοκλήρωμα της

ταχύτητας Αν γνωρίζουμε την ταχύτητα ενός κινητού v σαν συνάρτηση του χρόνου

t, δηλαδή v=h(t) και επιπροσθέτως γνωρίζουμε την θέση xo σε μια

χρονική στιγμή to, η μετατόπιση O x x x −=Δ του κινητού είναι

∫=−=Δt

t

O

O

dt t h x x x )(

όπου x η θέση του σώματος τη στιγμή tΑπόδειξη

Είναι )()( t gt hv ′== όπου )(t g x =

x x xt gt gt gdt t gdt t hOO

t

t

t

t

t

t

O

OO

Δ=−=−==′= ∫∫ )()(|)()()(

Παράδειγμα Να βρείτε την εξίσωση κίνησης ενός σώματος που κινείται με σταθερή

ταχύτητα V αν επιπρόσθετα γνωρίζουμε ότι τη στιγμή t=0 βρίσκεται στη

θέση xo.

Η μετατόπιση του σώματος O

x x x −=Δ από τη θέση xo που βρίσκεται τη

στιγμή toμέχρι τη θέση x που βρίσκεται τη στιγμή t, είναι

)()|(O

t

t

t

t

t

t

O t t V t V dt V Vdt x x x

O

OO

−====−=Δ ∫∫

5. Μεταβολή της ταχύτητας σαν χρονικό ολοκλήρωμα της

επιτάχυνσης Αν γνωρίζουμε την επιτάχυνση α ενός κινητού σαν συνάρτηση του

χρόνου t, δηλαδή την )(t k a = και επιπρόσθετα γνωρίζουμε την





ταχύτητα vo σε μια χρονική στιγμή to , η μεταβολή της ταχύτητας του

Ovvv −=Δ είναι

∫=−=Δt

t

O

O

dt t k vvv )(

όπου v η ταχύτητα του σώματος την στιγμή t

Απόδειξη

Είναι )()( t ht k a ′== όπου )(t hv =

vvvt ht ht hdt t hdt t k OO

t

t

t

t

t

t

O

OO

Δ=−=−==′= ∫∫ )()(|)()()(

Παράδειγμα Ένα σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση Α. Αν γνωρίζουμε την θέση

xo και την ταχύτητα του κινητού vo τη χρονική στιγμή t=0, να βρείτε τις

εξισώσεις κίνησης του σώματος.

Η μεταβολή της ταχύτητας μεταξύ των χρ. στιγμών t=0 και t, είναι

At vt hv At t Adt A Adt vvv O

t

t t

O +==⇒====−=Δ ∫∫ )()|( 0

00

Η μετατόπιση O x x x −=Δ από τη θέση xo τη στιγμή 0 στη θέση x τη

στιγμή t, είναι

22

0

2

0

0000

2

1

2

1)|

2()|(

)()(

At t v x x At t vt

At v

tdt Adt vdt At vdt t h x x x

OOO

t t

O

t t

O

t

O

t

O

++=⇒+=+

=+=+==−=Δ ∫∫∫∫

όπου xo η θέση και vo η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t=0.

6. Ορμή Ένα σώμα κινείται πάνω σε άξονα, υπό τη επίδραση της παράλληλης

στον άξονα δύναμης F. Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε την συνάρτηση F(.)

που δίνει την δύναμη F σαν συνάρτηση του χρόνου t, δηλαδή

)(t F F = Αν η ταχύτητα του σώματος v συνδέεται με το χρόνο t με την συνάρτηση

h(.), δηλαδή

)(t hv =

τότε η επιτάχυνση α του σώματος είναι η παράγωγος της h(t), δηλαδή

)()( t ht k a ′==

Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε





( )

∫

∫∫

∫∫∫

∫∫

=−

⇒=−⇒=−

⇒=⇒=′

⇒=⇒=⇒=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)(

)()())()((

)(|)()()(

)()()()(

12

1212

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

dt t F p p

dt t F mvmvdt t F t ht hm

dt t F t hmdt t F dt t hm

dt t F dt t mk t F t mk F ma

Το ολοκλήρωμα ∫2

1

)(

t

t

dt t F είναι η ώθηση της δύναμης F από την στιγμή t1

μέχρι την στιγμή t2Δηλαδή αποδείξαμε ότι

Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της

ολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα.

7. Έργο – ενέργεια Ένα σώμα κινείται πάνω σ’ ένα άξονα υπό την επίδραση της παράλληλης

σ’ αυτόν δύναμης F. Αν μπορούμε να γράψουμε αυτή τη δύναμη F σαν

συνάρτηση F(.) της θέσης του σώματος κατά τη διαδρομή από τη θέση x1

στη θέση x2, το έργο W που παράγει η F πάνω στο σώμα, είναι

∫=2

1

)( x

x

dx xF W

Παράδειγμα Το έργο σταθερής δύναμης Fc παράλληλης με την ευθύγραμμη τροχιά

του σώματος που το μετακινεί από τη θέση x1 στη θέση x2 είναι

( ) xF x xF xF dxF dxF W cc

x

xc

x

x

c

x

x

cF Δ=−==== ∫∫ )(| 122

1

2

1

2

1

Για ένα σώμα που κινείται πάνω σε άξονα, η ταχύτητα δίνεται από την

εξίσωση )(t hv = ενώ η επιτάχυνση του από την )()( t ht k a ′== .Εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα παίρνουμε

⇒=′⇒=′⇒=⇒= )()()()()()()()( t ht F t ht hmt F t hmt F t mk F ma

⇒=′⇒=′ ∫∫∫∫2

1

2

1

2

1

2

1

)()())((2

1)()()()( 2

t

t

t

t

t

t

t

t

dt t ht F dt t hmdt t ht F dt t ht hm

( ) ⇒=−⇒= ∫∫2

1

2

1

2

1)()()(

2

1)(

2

1)()(|)(

2

11

2

2

22

t

t

t

t

t

t dt t ht F t mht mhdt t ht F t hm

∫=−2

1

)()(

2

1

2

1 2

1

2

2

t

t

dt t ht F mvmv (*)





Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Περίπτωση ειδική Η δύναμη F γράφεται σαν συνάρτηση της θέσης του σώματος, δηλαδή

)( x f F = τέτοιες δυνάμεις ονομάζονται διατηρητικές, διότι το ολοκλήρωμα σε

οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή είναι μηδέν.

Η θέση του σώματος γράφεται σαν συνάρτηση του χρόνου σαν

)(t g x =

Άρα

))(( t g f F =

Επειδή

)(t F F =

Θα είναι

))(()( t g f t F = Με αντικατάσταση στη (*)

∫=−2

1

)())((2

1

2

1 2

1

2

2

t

t

dxt ht g f mvmv

επειδή )()( t gt hv ′== είναι

∫ ⇒′=−2

1

)())((2

1

2

1 2

1

2

2

t

t

dxt gt g f mvmv

∫=−2

1

)(2

1

2

1 2

1

2

2

x

x

dx x f mvmv (**)

όπου )( 11 t g x = και )( 22 t g x =

Η παραπάνω σχέση ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΔΙΑΔΡΟΜΗ g(t) που συνδέει

την αρχική θέση x1 και την τελική θέση x2, στην περίπτωση των

συντηρητικών δυνάμεων.

Ορίζουμε την συνάρτηση

∫−= x

xO

dx x f xV )()(

Έχουμε

V xV xV xV xV dx x f dx x f dx x f

x

x

x

x

x

x OO

Δ−=−−=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−−= ∫∫∫ ))()(()()()()()( 1221

212

1

Με αντικατάσταση στη (**) παίρνουμε

)(2

1)(

2

11

2

12

2

2 xV mv xV mv +=+

Ορίζουμε την κινητική ταχύτητα του σώματος όταν έχει ταχύτητα v, ως

2

2

1mvK =

Έτσι μπορούμε να γράψουμε





)()( 1122 xV K xV K +=+

Ορίζουμε την δυναμική ενέργεια του σώματος στη θέση x, ως

∫−= x

xO

dx x f xV )()(

με μηδενική δυναμική ενέργεια στη θέση xo.

Το άθροισμα K+V της κινητικής και δυναμικής ενέργειας του σώματος

ονομάζεται μηχανική ενέργεια.

Έτσι αποδείξαμε ότι

Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος που κινείται υπό την επίδραση

συντηρητικής δύναμης, είναι σταθερή.

Γενικότερη περίπτωση

Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα ],[ 21 t t της χρονικής διάρκειας της

κίνησης του σώματος σε υποδιαστήματα τέτοια ώστε σε κάθε ένα από

αυτά η συνάρτηση g(.) για την οποία x=g(t) να είναι μονότονη.

Έτσι σε κάθε ένα από αυτά τα υποδιαστήματα η g(.) είναι αντιστρέψιμη,

δηλαδή σ’ αυτά μπορούμε να γράψουμε

)(1 xgt −=

Στο υποδιάστημα ],[ 1+ii t t μπορούμε να γράψουμε

))(( 1 xgF F

−= για ],[ 1+∈ ii x x x

Ας είναι για τη νέα συνάρτηση f το εξής )())(( 1 x f xgF =−

Όμως )(t g x = άρα

))(()( t g f t F = Έχουμε

i

x

x

t

t

t

t

W dx x f dt t gt g f dt t ht F i

i

i

i

i

i

==′= ∫∫∫+++ 111

)()())(()()(

όπου )( ii t g x = και )( 11 ++ = ii t g x

Με αντικατάσταση στη (*) παίρνουμε

...2

1

2

121

2

1

2

2 ++=− W W mvmv

Δηλαδή αποδείξαμε ότι

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίσο με το συνολικό έργο που παράγεται από τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα.

Παραδείγματα 1) Βρείτε την δυναμική ενέργεια σώματος που βρίσκεται σε ύψος h από

την επιφάνεια της Γης

Θεωρούμε το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας στην επιφάνεια

της Γης. Για ένα κατακόρυφο άξονα y΄y . με φορά προς τα άνω και αρχή

στην επιφάνεια της Γης, έχουμε

mg yF −=)( άρα το βάρος είναι συντηρητική δύναμη.

Η δυναμική ενέργεια σε ύψος h είναι





⇒==+=−−=−= ∫∫∫ mgh ymgdymgdymgdy yF hV h

hhh

)|()()()( 0

000

mghhV =)(

2) Για ένα ελατήριo βρείτε τη δυναμική ενέργεια σε μια θέση του.

Για ένα άξονα x΄x που ταυτίζεται με το ελατήριο και με αρχή Ο στη θέση

του ελεύθερου άκρου του όταν βρίσκεται στη φυσική του κατάσταση, η

δύναμη του ελατηρίου αν x η θέση του ελεύθερου άκρου, είναι

kx x f F −== )(

από όπου βλέπουμε ότι είναι συντηρητική.

Η δυναμική του ενέργεια στη θέση x, με στάθμη μηδενικής ενέργεια στη

θέση του στη φυσική του κατάσταση, είναι

⇒=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =+=−−=−= ∫∫∫

2

0

2

0002

1|

2)()()( kx

xk xdxk dxkxdx x f xV x

x x x

2

2

1)( kx xV =

Documents

Math Mechanics