-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
1/66
1 . 6 P o w e r S e r i e s
J u n e 3 0 , 2 0 1 1
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
2/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
3/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
4/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
uni s a ( r e a l n u m b e r ) c o n s t a n t
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
5/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
uni s a ( r e a l n u m b e r ) c o n s t a n t
S e c t i o n s 1 . 6 a n d 1 . 7 : I n n i t e s e r i e s o f
v a r i a b l e t e r m s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
6/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
uni s a ( r e a l n u m b e r ) c o n s t a n t
S e c t i o n s 1 . 6 a n d 1 . 7 : I n n i t e s e r i e s o f
v a r i a b l e t e r m s
+n=1
fn(x)
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
7/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
uni s a ( r e a l n u m b e r ) c o n s t a n t
S e c t i o n s 1 . 6 a n d 1 . 7 : I n n i t e s e r i e s o f
v a r i a b l e t e r m s
+n=1
fn(x)
fn(x) v a r i e s w i t h x
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
8/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
uni s a ( r e a l n u m b e r ) c o n s t a n t
S e c t i o n s 1 . 6 a n d 1 . 7 : I n n i t e s e r i e s o f
v a r i a b l e t e r m s
+n=1
fn(x)
fn(x) v a r i e s w i t h xP o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
9/66
P o w e r s e r i e s
S e c t i o n s 1 . 1 t o 1 . 5 : I n n i t e s e r i e s o f c
o n s t a n t t e r m s
+n=1
un
uni s a ( r e a l n u m b e r ) c o n s t a n t
S e c t i o n s 1 . 6 a n d 1 . 7 : I n n i t e s e r i e s o f
v a r i a b l e t e r m s
+n=1
fn(x)
fn(x) v a r i e s w i t h xP o w e r s e r i e s
T a y l o r a n d M a c l a u r i n S e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
10/66
P o w e r s e r i e s
P o w e r s e r i e s a b o u t a
A p o w e r s e r i e s i nx a
i s a s e r i e s o f t h e f o r m
c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + . . . + cn(x a)
n + . . .
I t i s d e n o t e d b y
+n=0
cn(x a)n,
w h e r e cn i s a r e a l n u m b e r c o r r e s p o n d i n g
t o a n a t u r a l n u m b e r n
a n da
i s a g i v e n c o n s t a n t .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
11/66
P o w e r s e r i e s
G o a l
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l o f c o n v e r g e n c
e o f a p o w e r s e r i e s g i v e n b y
+n=1
cn(x a)n
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
12/66
P o w e r s e r i e s
G o a l
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l o f c o n v e r g e n c
e o f a p o w e r s e r i e s g i v e n b y
+n=1
cn(x a)n
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
13/66
P o w e r s e r i e s
G o a l
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l o f c o n v e r g e n c
e o f a p o w e r s e r i e s g i v e n b y
+n=1
cn(x a)n
. I n o t h e r w o r d s , n d t h e s e t o f a l l r e a l n
u m b e r x
s u c h t h a t t h e g i v e n p o w e r s e r i e s i s c o n
v e r g e n t .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
14/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
T h e s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s a p o w e r s e r i e s w i t h cn = 1 f o r e a c h
n
a n da = 0
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
15/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
T h e s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s a p o w e r s e r i e s w i t h cn = 1 f o r e a c h
n
a n da = 0
.
N o t e :
+n=0
xn =
+n=1
xn1
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
16/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
T h e s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s a p o w e r s e r i e s w i t h cn = 1 f o r e a c h
n
a n da = 0
.
N o t e :
+n=0
xn =
+n=1
xn1
I fx = 1
2, t h e n
+n=1
xn1=
+n=1
1
2
n1
i s a c o n v e r g e n t g e o m e t r i c
s e r i e s .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
17/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
T h e s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s a p o w e r s e r i e s w i t h cn = 1 f o r e a c h
n
a n da = 0
.
N o t e :
+n=0
xn =
+n=1
xn1
I fx = 1
2, t h e n
+n=1
xn1=
+n=1
1
2
n1
i s a c o n v e r g e n t g e o m e t r i c
s e r i e s .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
18/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
19/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
T h e s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s a p o w e r s e r i e s w i t h cn = 1 f o r e a c h
n
a n da = 0
.
N o t e :
+n=0
xn =
+n=1
xn1
I fx = 1
2, t h e n
+n=1
xn1=
+n=1
1
2
n1
i s a c o n v e r g e n t g e o m e t r i c
s e r i e s . I n g e n e r a l , t h e s e r i e s i s c o n v
e r g e n t f o r a l l v a l u e s o f
xs u c h
t h a t 1 < x < 1.
M o r e o v e r , w e c a n a l s o u s e R T t o s h o w t h a
t t h e s e r i e s i s
c o n v e r g e n t f o r a l l x i n (1, 1) .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
20/66
P o w e r s e r i e s
R E C A L L
R a t i o T e s t ( R T )
L e t
+
n=1
unb e a g i v e n i n n i t e s e r i e s f o r w h i c h e v e
r y
uni s
n o n z e r o a n d
L = limn+
un+1
un
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
21/66
P o w e r s e r i e s
R E C A L L
R a t i o T e s t ( R T )
L e t
+
n=1
unb e a g i v e n i n n i t e s e r i e s f o r w h i c h e v e
r y
uni s
n o n z e r o a n d
L = limn+
un+1
un
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
22/66
P o w e r s e r i e s
R E C A L L
R a t i o T e s t ( R T )
L e t
+
n=1
unb e a g i v e n i n n i t e s e r i e s f o r w h i c h e v e
r y
uni s
n o n z e r o a n d
L = limn+
un+1
un
.
I f L < 1 , t h e s e r i e s i s a b s o l u t e l y c o n v
e r g e n t .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
23/66
P o w e r s e r i e s
I n t h e c a s e o f t h e p o w e r s e r i e s g i v e n b
y
+n=0
cn(x a)n,
w e l e t
un = cn(x a)n
. H e n c e , w e h a v e
L = limn+
cn+1(x a)n+1
cn(x a)n
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
24/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
25/66
P o w e r s e r i e s
I n t h e c a s e o f t h e p o w e r s e r i e s g i v e n b
y
+n=0
cn(x a)n,
w e l e t
un = cn(x a)n
. H e n c e , w e h a v e
L = limn+
cn+1(x a)n+1
cn(x a)n
.T h e r e f o r e , t h e v a l u e s o f
xw h e r e t h e p o w e r s e r i e s i s c o n v e r g e n
t
c a n b e o b t a i n e d f r o m
L = limn+
cn+1(x a)n+1
cn(x a)n
< 1.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
26/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
27/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
28/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
29/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
. T h u s , un+1 = xn+1
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
30/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
. T h u s , un+1 = xn+1
. S o , L = limn+
xn+1
xn .
L = limn+
|x|
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
31/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
. T h u s , un+1 = xn+1
. S o , L = limn+
xn+1
xn .
L = limn+
|x|
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
32/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
. T h u s , un+1 = xn+1
. S o , L = limn+
xn+1
xn .
L = limn+
|x| = |x| .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
33/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
. T h u s , un+1 = xn+1
. S o , L = limn+
xn+1
xn .
L = limn+
|x| = |x| .
B y R T ,
+
n=0xn
i s c o n v e r g e n t i f L < 1
, i . e . i f |x| < 1
o r
1 < x < 1 .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
34/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e t h e i n t e r v a l w h e r e t h e p o w e
r s e r i e s g i v e n b y
+n=0
xn i s
c o n v e r g e n t .
L e t un = xn
. T h u s , un+1 = xn+1
. S o , L = limn+
xn+1
xn .
L = limn+
|x| = |x| .
B y R T ,
+
n=0xn
i s c o n v e r g e n t i f L < 1
, i . e . i f |x| < 1
o r
1 < x < 1 .
T h e r e f o r e , t h e i n t e r v a l w h e r e
+n=0
xni s c o n v e r g e n t i s g i v e n b y
(1, 1) .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
35/66
P o w e r s e r i e s
D e n i t i o n
I f
+n=0
cn(x a)n
i s c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s o f x s u c h t
h a t
|x a| < R , t h e n R i s s a i d t o b e t h e r a d i u s o
f c o n v e r g e n c e a n d (a R, a + R) i s t h e i n t e r v a
l o f c o n v e r g e n c e .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
36/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
37/66
P o w e r s e r i e s
D e n i t i o n
I f
+n=0
cn(x a)n
i s c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s o f x s u c h t
h a t
|x a| < R , t h e n R i s s a i d t o b e t h e r a d i u s o
f c o n v e r g e n c e a n d (a R, a + R) i s t h e i n t e r v a
l o f c o n v e r g e n c e .
E x a m p l e
W e h a v e s h o w n t h a t
+
n=0
xn i s c o n v e r g e n t f o r a l l x (1, 1) .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
38/66
P o w e r s e r i e s
D e n i t i o n
I f
+n=0
cn(x a)n
i s c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s o f x s u c h t
h a t
|x a| < R , t h e n R i s s a i d t o b e t h e r a d i u s o
f c o n v e r g e n c e a n d (a R, a + R) i s t h e i n t e r v a
l o f c o n v e r g e n c e .
E x a m p l e
W e h a v e s h o w n t h a t
+
n=0
xn i s c o n v e r g e n t f o r a l l x (1, 1) .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
39/66
P o w e r s e r i e s
D e n i t i o n
I f
+n=0
cn(x a)n
i s c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s o f x s u c h t
h a t
|x a| < R , t h e n R i s s a i d t o b e t h e r a d i u s o
f c o n v e r g e n c e a n d (a R, a + R) i s t h e i n t e r v a
l o f c o n v e r g e n c e .
E x a m p l e
W e h a v e s h o w n t h a t
+
n=0
xn i s c o n v e r g e n t f o r a l l x (1, 1) .
T h u s , t h e s e r i e s ' r a d i u s o f c o n v e r g e n
c e i s g i v e n b y R = 1 a n d i t s i n t e r v a l o f c o n v
e r g e n c e i s
(1, 1).
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
40/66
P o w e r s e r i e s
R e m a r k :
I fR
i s t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e o f
+n=0
cnxn
, t h e n i t s
i n t e r v a l o f c o n v e r g e n c e i s o n e o f t h e f
o l l o w i n g :
(R, R) , [R, R] , [R, R)o r
(R, R] .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
41/66
P o w e r s e r i e s
R e m a r k :
I fR
i s t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e o f
+n=0
cnxn
, t h e n i t s
i n t e r v a l o f c o n v e r g e n c e i s o n e o f t h e f
o l l o w i n g :
(R, R) , [R, R] , [R, R)o r
(R, R] .
I f R i s t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e o f
+n=0
cn(x a)n
, t h e n i t s
i n t e r v a l o f c o n v e r g e n c e i s o n e o f t h e f
o l l o w i n g :
(a R, a + R) , [a R, a + R] , [a R, a + R) o r (a R, a + R]
.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
42/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
43/66
P o w e r s e r i e s
T h e o r e m
L e t
+n=0
cnxn
b e a g i v e n p o w e r s e r i e s . T h e n e x a c t l y o
n e o f t h e
f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :
t h e s e r i e s c o n v e r g e s o n l y w h e n x = 0
;
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
44/66
P o w e r s e r i e s
T h e o r e m
L e t
+n=0
cnxn
b e a g i v e n p o w e r s e r i e s . T h e n e x a c t l y o
n e o f t h e
f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :
t h e s e r i e s c o n v e r g e s o n l y w h e n x = 0
;
t h e s e r i e s i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t f
o r a l l v a l u e s o f x;
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
45/66
P o w e r s e r i e s
T h e o r e m
L e t
+n=0
cnxn
b e a g i v e n p o w e r s e r i e s . T h e n e x a c t l y o
n e o f t h e
f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :
t h e s e r i e s c o n v e r g e s o n l y w h e n x = 0
;
t h e s e r i e s i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t f
o r a l l v a l u e s o f x;
t h e r e e x i s t s a n u m b e r R < 0
s u c h t h a t t h e s e r i e s i s
a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s
o f
xf o r w h i c h
|x| < Ra n d i s d i v e r g e n t f o r a l l v a l u e s o
f
xf o r w h i c h
|x| > R.
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
46/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
47/66
P o w e r s e r i e s
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
48/66
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
S o l u t i o n : U s e R T .
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
49/66
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
S o l u t i o n : U s e R T .
L e tun = (1)
n+1 xn
n+1. T h u s ,
un+1 = (1)n+2 x
n+1
n+12
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
50/66
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
S o l u t i o n : U s e R T .
L e tun = (1)
n+1 xn
n+1. T h u s ,
un+1 = (1)n+2 x
n+1
n+12
L = limn+
(1)n+2 x
n+1
n+2
(1)n+1 xn
n+1
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
51/66
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
S o l u t i o n : U s e R T .
L e tun = (1)
n+1 xn
n+1. T h u s ,
un+1 = (1)n+2 x
n+1
n+12
L = limn+
(1)n+2 x
n+1
n+2
(1)n+1 xn
n+1
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
52/66
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
S o l u t i o n : U s e R T .
L e tun = (1)
n+1 xn
n+1. T h u s ,
un+1 = (1)n+2 x
n+1
n+12
L = limn+
(1)n+2 x
n+1
n+2
(1)n+1 xn
n+1
= limn+ |1| n + 1n + 2 |x|
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
53/66
I l l u s t r a t i o n
D e t e r m i n e a l l v a l u e s o f x w h e r e
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s
c o n v e r g e n t .
S o l u t i o n : U s e R T .
L e tun = (1)
n+1 xn
n+1. T h u s ,
un+1 = (1)n+2 x
n+1
n+12
L = limn+
(1)n+2 x
n+1
n+2
(1)n+1 xn
n+1
= limn+ |1| n + 1n + 2 |x| = |x|.
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
54/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
55/66
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
56/66
B y R T ,
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1i s c o n v e r g e n t i f
L = |x| < 1o r
1 < x < 1.
T h u s , t h e s e r i e s i s c o n v e r g e n t o n (1,
1).
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
57/66
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
58/66
B y R T ,
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1i s c o n v e r g e n t i f
L = |x| < 1o r
1 < x < 1.
T h u s , t h e s e r i e s i s c o n v e r g e n t o n (1,
1).
C h e c k : I f x = 1 , d o e s
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1c o n v e r g e ?
I fx = 1
, t h e n t h e s e r i e s
+n=0
(1)n+11
n + 1i s a c o n v e r g e n t
a l t e r n a t i n g s e r i e s .
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
59/66
B y R T ,
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1i s c o n v e r g e n t i f
L = |x| < 1o r
1 < x < 1.
T h u s , t h e s e r i e s i s c o n v e r g e n t o n (1,
1).
C h e c k : I f x = 1 , d o e s
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1c o n v e r g e ?
I fx = 1
, t h e n t h e s e r i e s
+n=0
(1)n+11
n + 1i s a c o n v e r g e n t
a l t e r n a t i n g s e r i e s .
I f x = 1 , t h e n t h e s e r i e s
+n=0
(1)2n+1
n + 1=
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
60/66
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
61/66
B y R T ,
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1i s c o n v e r g e n t i f
L = |x| < 1o r
1 < x < 1.
T h u s , t h e s e r i e s i s c o n v e r g e n t o n (1,
1).
C h e c k : I f
x = 1, d o e s
+n=0
(1)n+1 x
n
n + 1c o n v e r g e ?
I fx = 1
, t h e n t h e s e r i e s
+n=0
(1)n+11
n + 1i s a c o n v e r g e n t
a l t e r n a t i n g s e r i e s .
I f x = 1 , t h e n t h e s e r i e s
+n=0
(1)2n+1
n + 1=
+n=0
1
n + 1i s a
d i v e r g e n t s e r i e s ( s o l u t i o n : c o m p a r e
i t t o h a r m o n i c s e r i e s ) .
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
62/66
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
63/66
C o n c l u s i o n :
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s
o f x i n (1, 1] .
P o w e r s e r i e s
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
64/66
C o n c l u s i o n :
+n=0
(1)n+1xn
n + 1i s c o n v e r g e n t f o r a l l v a l u e s
o f x i n (1, 1] .
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
65/66
-
8/6/2019 MATH 28 1.6 Power Series
66/66
E N D o f 1 . 6
