Material Systems - A Framework

8/12/2019 Material Systems - A Framework

1/35

M a t e r ia l S y s t e m s A F r a m e w o r kfo r the Descr ip t ion o f M ater ia l Behav iorALBRECHT BERTRAM

C o m m u n i c a t e d b y D. OWEN

C o n t e n t s

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992. Material Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023. The State Space of Material Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044. Material Isomorphy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Material Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136. Inverse Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197. Uniform Structures on the State Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228. NOLL'S Material Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279. Example: Rigid-Plastic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

1 I n t r o d u c t i o n

In the last few decades, renewed interest in the phenomenological descriptionof anelastic material behavior has resulted in the proposal of many differentconstitutive theories, and two basic approaches to the formulation of such theo-ries have emerged. The first requires that one introduce variables apart from theconfiguration and stress in order to describe the state o f a material element. Theseadditiona l variables are called inte rnal or hid den (state) variables. Theirvalues are determined by an evolutio n func tio n which in most cases enters intoan ord inary differential equation. A sho rtco ming of this approa ch is that thesevariables, unlike deformation and stress, do not have a physical meaning whichis the same fo r all materials. Given the results o f experiments on a single material,it may not be clear how to choose the internal variables, and it is not alwaysthe case that a finite number of internal variables suffice to determine the stateof a material element. The second app roa ch requires that one specify consti-tutive functi onals defined on historie s , i .e . functions depending upon all pastvalues o f a deformation process, instead of the present deformat ion alone. A par tfrom the fact that we will never have complete knowledge of the entire history


2/35

10 0 A . BERTRAMo f a m a t e r i a l , t h e r e is g o o d r e a s o n t o a s s e r t t h a t t h i s a p p r o a c h d e s c r ib e s o n l y ar e s t r i c t e d c l a ss o f m a t e r i a ls ~, n a m e l y , t h o s e w i t h f a d i n g m e m o r y ; c l a ss i c al d e -s c r i p t i on s o f p l a s t i c m a t e r i a l s a r e no t i n t h i s c l a s s . ~T h e s e t w o a p p r o a c h e s t o t h e d e s c r i p t io n o f a n e l as t ic b e h a v i o r w e r e re l a t e db y N O E L i n h i s n e w t h e o r y o f s i m p l e m a t e r i a l s , p u b l i s h e d i n 1 9 72 . T h i s t h e o r yr e p r e s e n t s a n i m p o r t a n t s t e p t o w a r d s e s t a b l i s h i n g a s a t i s f a c t o r y g e n e r a l f r a m e -w o r k f o r t h e d e s c r i p ti o n o f a n e la s ti c b e h a v i o r . I h a v e c h o s e n N O E L 'S t h e o r y a sa s t a r t in g p o i n t f o r t h e p r e s e n t o n e * , a lt h o u g h I h a v e h a d t o e x t e n d i t i n o r d e rt o i n c l u d e n o n - r e v e r t i b l e m a t e r i al s ( s u c h a s a g in g o n e s ) a n d n o n - m e c h a n i c a lb e h a v i o r ( t h e r m o d y n a m i c s , e l e c t r o d y n a m i c s ) , a n d t o d e s c r i b e n o n - c l a s s i c a lc o n s t r a i n t s . I n w o r k i n g o u t t h e p r e s e n t t h e o r y , I h a v e a t t e m p t e d t o b e g i n w i t he m p i r i c a l ( n a t u r a l ) n o t i o n s , s u c h a s t im e , s t re s s, a h d d e f o r m a t i o n , a n d t oa v o i d c o n c e p t s i n t r o d u c e d a s p u r e l y m a t h e m a t i c a l f o r m a l is m s .A s a r e s u lt , t h is f r a m e w o r k f o r t h e d e s c r i p t io n o f m a t e r i a l b e h a v i o r i s m o r eg e n e r a l a n d s i m p l e r t h a n N O E L ' S a n d c o v e r s e s s e n t ia l l y a l l t h e k n o w n t h e o r i e so f m a t e r i a l s s u c h a s i n t e r n a l v a r i a b l e s ( se e S e c t i o n 3 ) a s w e l l a s N O E L ' S n e w

s i m p l e m a t e r i a l s ( S e c t i o n 8 ). B e c a u s e N O E L ' S o l d s i m p l e m a t e r i a l s , i . e .t h e s e m i - e la s t ic o n e s , a r e i n c l u d e d i n hi s n e w t h e o r y , th e y a ls o h a v e a d e f i n i tep l a c e w i t h i n t h e p r e s e n t t h e o r y , a n d , h e n c e , I c a n d e s c r i b e m a n y w e l l - k n o w nc l a s s e s o f m a t e r i a l s : e l a s t i c , v i s co - e l a s t ic , hyp o- e l a s t i c , p l a s t i c , and ag i n g m a t e r i a l se . g . c o n c r e t e ). B y i d e n t i fy i n g v a r ia b l e s in a n a p p r o p r i a t e w a y , o n e c a n a p p l y

t h e p r e s e n t c o n c e p t s to t h e r m o - a n d e l e c t r o d y n a m i c m a t e r ia l s ~ ; e v e n a p p li c a t io n so u t s i d e p h y s i c s m a y b e c o n s i d e r e d .I n o r d e r to d e s c ri b e i n f o r m a l l y t h e c o n c e p t o f a m a t e r i a l s y s t e m , I c o n s i d e ra n a r b i t r a r y n u m b e r o f (h o m o g e n e o u s ) s a m p l es o f a m a t e r i a l t o b e s tu d i e d a n di m a g i n e c a r r y i n g o u t ( c o n f i g u r a t i o n - ) p r o c e s s e s f o r t h e s e s a m p l e s , i . e . t r a j e c t o r i e si n th e s p a c e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b le s , o r c o n f i g u ra t io n s . T h e s e t o f a l l p r o c e s s e st h a t m a y b e p e r f o r m e d w i t h a c e r t a i n m a t e r i a l is c a l le d t h e c la s s o f p r o c e s s e s o ft h e m a t e r i a l s y s t e m . E a c h s u c h p r o c e s s i s a s s u m e d t o d e t e r m i n e t h e v a l u e s o fc e r t a i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s, o r e f fe c t s ( s tr e ss e s, e n e r g y - f lu x , e le c t r i c - c u r re n t , f o re x a m p l e ) . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r o c e s s e s a n d e f fe c t s i s e x p r e s s e d b y m e a n so f a m a t e r i a l f u n c ti o n . A c l a s s o f p r o c e s s e s a n d a m a t e r i a l f u n c t i o n d e f i n e d o ni t c o n s t i t u t e a m a t e r i a l s y s t em . T h e b u l k o f t h is p a p e r d e a l s w i t h t h e p r o b l e mo f c o m p a r i n g a n d c l as s if y in g m a t e r i al s y st em s .M a t e r i a l s y s t e m s c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o n e w o n e s w h o s e p r o p e r t i e s m a y b ed i s t i n c t f r o m t h e o r i g i n a l s y s te m s . T h e i d e a o f t r a n s f o r m i n g a m a t e r i a l s y s t e ml e a d s t o a d e r i v e d c o n c e p t o f s t a te . F o l l o w i n g a s u g g e s t i o n o f O N A T, w e i n t r o d u c es t a te s a s e q u i v a l e n c e c la s se s o f p r o c e s s e s, a p r o c e d u r e w h i c h s t e m s f r o m s y s t e m st h e o r y .

NO L now calls them sem i-elast ic .~ Ho we ver , OWEN has sho wn tha t m any fea tures of c lass ica l model s for p las ti cbeh avior a r i se na tura l ly for m ater ia l s wi th me mo ry which possess an e las t i c range .A no the r f ra m ew ork for d escr ibing m ater ials is th at o f COLEMAN & OWEN WhOgave m uch em phas i s t o a gene ra l f o r m ul a t i on o f t he l aws o f the r m odynam i cs . Th i s wor kgave m e m uch i n s p i r a t i on , a l t hough I have no t ye t wor ked ou t a t he r m odynam i ca ltheory wi th in the present context .~'~ See BERTRAM (1) p. 146f.


3/35

M ate r i a l Sys t ems 101T h e c o n c e p t o f m a t e r i a l i s o m o r p h y , i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 4 , i s a t o o l f o r c o m -

p a r i n g t w o m a t e r i a l s y s t e m s a n d f o r d e c i d i n g w h e t h e r o r n o t t h e y d e s c r i b e t h es a m e m a t e r ia l b e h a v i o r ; i f t h e y d o t h e y b e l o n g t o t h e s a m e materialA l t h o u g h f o r m a l l y q u it e s i m i la r , th e c o n c e p t o f m a t e r i a l s y m m e t r y ( S e c t io n 5 )p l a y s a d i f f e r e n t r o l e : i t cl as si fi es a m a t e r i a l s y s t e m a c c o r d i n g t o i n v a r i a n c ep r o p e r t i e s u n d e r c e r t a in s y m m e t r y t r a n s f o r m a t i o n s . W e o b t a i n a n a t u r a l d i s ti n c-t io n b e t w e e n t w o c la s se s o f s y m m e t r y t r a n s f o r m a t i o n s : o n e f o r m s a s e m i - g r o u pu n d e r c o m p o s i t i o n ; i t c o n t a in s t h e o t h e r c o l le c t io n o f t r a n s f o r m a t i o n s , w h i c hf o r m s a g r o u p .

T h e s e t w o c o n c e p t s a r e d u e t o N O E L a n d h a v e b e e n r e f o r m u l a t e d f o r t h e p r e -s e n t th e o r y . T h e y t u r n o u t t o b e s i m p l e r a n d m o r e c o m p r e h e n s i v e t h a n i n N OE L Sw o r k .

T h e p r e s e n t t h e o r y d i f f e r s f r o m o t h e r s i n i t s t r e a t m e n t o f i n t e r n a l c o n s t r a i n t s ,i .e. r e s t ri c t io n s o n t h e c l a ss o f p r o c e s s e s ( f o r e x a m p l e , o n t h e a d m i s s i b le c o n -f i g u ra t i o n s) . A s a c o n s e q u e n c e , t h e e ff e c ts c a n n o t b e c o n s i d e r e d a s b e i n g d e t e r -m i n e d b y t h e p r o c e s s . T h e f o l l o w i n g d i a g r a m s i l lu s t r a te t h i s p o s s i b il i ty ; i n t h e m ,e is a n a p p r o p r i a t e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( a p r o c e s s p a r a m e t e r ) a n d a a d e p e n d e n tv a r i a b l e ( a n e f f ec t p a r a m e t e r ) . F i g u r e 1 s h o w s t h e b e h a v i o r o f a m a t e r i a l d u e t o

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3a u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t . ~ T h i s c o u l d b e a n e l a st ic m a t e r i a l r e i n f o r c e d b y i n e x t e n s ib l ef i b r e s t h a t h a v e n o s t i f f n e s s u n d e r c o m p r e s s i o n , s u c h a s t e x t i l e c o r d s o r t h i ns t e el w i re s . F i g u r e 2 r e p r e s e n t s t h e c h a r a c t e r i s t i c c u r v e o f a n i d e a l d i o d e ( e =v o l t a g e , a - --- c u r r e n t ). I t s h o w s t h e s o m e w h a t u n p l e a s a n t p r o p e r t y o f p r e c l u d i n ga g l o b a l f u n c t i o n a l d e p e n d a n c e b o t h o f tr o n e a n d o f e o n a . F i g u r e 3 d es c r i b e sa c l a ss ic a l c o n s t r a i n t : o n e p r o c e s s p a r a m e t e r i s f ix e d , o n e e f fe c t p a r a m e t e r i su n d e t e r m i n e d . A n e x a m p l e o f th i s t y p e o f c o n s t r a i n t i s i n c o m p r e s s i b i l i ty : e i sa d e n s i t y - p a r a m e t e r , a n d a t h e p r e s s u r e .

I n o r d e r t o d e s c r i b e c o n s t r a i n t s o f t h e s e ty p e s , w e u s e h e r e m a t e r i a l r e l a t i o n si n s t e a d o f f u n c t i o n s . S u c h a m a t e r i a l r e la t i o n m a p s e a c h p r o c e s s i n t o a s e t o fe ff e ct s. T h e v a l u e s o f m a t e r i a l f u n c t i o n s a r e a s s u m e d t o b e n o n - e m p t y , c l o s e ds u b s e t s o f t h e s p a c e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s. O n l y i f a l l v a l u e s o f a m a t e r i a lf u n c t i o n a r e s i n g le t o n s is t h e m a t e r i a l f r e e o f c o n s t r a i n t s. T h i s a p p r o a c h h a s t w om a i n a d v a n t a g e s . F i r s t o f a ll , w e c a n m a i n t a i n t h e principle of determinism ina s l ig h t ly m o d i f i e d v e r s i o n : T h e p r o c e s s d e t e r m i n e s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e e f f e ct s .

~ PRAGER an d FICHERA hav e s tudied uni la te ra l cons t ra in ts .


4/35

1 0 2 A BERTRAMS e c o n d l y , a s o m e w h a t a r b i t r a r y d i s t i n c t i o n b e t w e e n r e a c t i o n s a n d c o n s t i t u t i v ee f fe c ts is a v o i d e d . T h i s s a v e s u s f r o m h a v i n g t o e n t e r d i s c u ss i on s o n w h e t h e r o rn o t t h e r e a c t i o n s p r o d u c e e n t r o p y o r e n e r g y )T h e t h r e e e x a m p l e s a b o v e l e a d to t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r o r n o t t h e r e i s ac a n o n i c a l s c h e m e f o r id e n t i f y in g i n d e p e n d e n t a n d d e p e n d e n t v a r i a b le s . T h e c h a r -a c t e r is t ic c u r v e o f F i g u r e 1 c a n b e d e s c r i b e d a s a f u n c t i o n e ( a) b u t n o t a s a f u n c t i o na (e ) . F i g u r e 2 d o e s n o t a d m i t t o a f u n c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f e i th e r t y p e . H o w -e v e r , i f w e e m p l o y s e t - v a lu e d f u n c t io n s , t h e t h r e e e x a m p l e s m a y b e d e s c r i b e d a sm a t e r i a l f u n c t i o n s i n b o t h d i r ec t io n s . I t is n o t a l w a y s p o s si b l e t o e x c h a n g e t h ed e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b le s , a n d i n S e c t io n 6 w e w il l e s t a b li s h c o n d i t io n sn e c e s s a r y a n d s u ff ic i e nt fo r t h is p r o p e r t y o f m a t e r i a l s y s t e m s . T h e r e w e i n t r o d u c ea d e s c r i p t i o n o f m a t e r i a l b e h a v i o r b y c o n s t i t u t iv e r e l a t i o n s w h i c h i s e q u i v a l e n tt o t h e o n e u s e d i n e a r l i e r s e c t i o n s o f t h i s p a p e r .T h e r e a d e r w h o i s o n l y in t e r e s te d i n u n c o n s t r a i n e d m a t e r i a l s m a y o m i t S e c -t i o n 6 a n d r e g a r d t h e m a t e r i a l f u n c t i o n s a s b e i n g s in g l e -v a l u e d f o r t h e e n t ir e p a p e r .H e w h o f a v o r s t h e c l a s s i c a l d i s t i n c t i o n b e t w e e n r e a c t i o n s a n d c o n s t i t u t i v e e f f e c t sm a y r e g a r d t h e m a t e r i a l f u n c t i o n a s b e i n g s i n g l e - v a l u e d a n d a s d e t e r m i n i n g o n l yt h e c o n s t i t u t iv e p a r t o f t h e e f f ec t s ( w h a t e v e r t h i s m a y b e ).

I n S e c t io n 7 w e e x t e n d N OE L'S m e t h o d o f c o n s t r u c t i n g n a t u r a l u n i f o r m a n dt o p o l o g i c a l s t r u c t u r e s o n t h e s t a te s p a c e t o t h e c a s e o f se t - v a lu e d f u n c t io n s . T h e s es t r u c t u r e s a r e n e c e s s a r y in o r d e r t o d e f in e r e l a x a t i o n p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s y s-t e m s .

T h i s t h e o r y r e st s , a s w a s m e n t i o n e d a b o v e , o n N O EL 'S n e w t h e o r y o f s i m p l em a t e r i a l s . T o i l l u s t r a t e t h i s p o i n t , w e d e f in e in S e c t i o n 8 a s u b c l a s s o f o u r m a t e r i a ls y s t e m s w h i c h a r e e s s e n t i a l l y N O EL 'S s i m p l e m a t e r i a l s .

B e c a u s e N O E L a n d o t h e r s ~~ h a v e d i s c us s e d m a n y e x a m p l e s o f s p e c ia l m a t e r i a l s ,I g i v e h e r e o n l y o n e e x a m p l e o f a c la s s o f m a t e r i a l s , n a m e l y t h e r i g i d - p l a s t ic o n e s .A l t h o u g h q u i t e w e l l - k n o w n a n d r a t h e r s i m p l e , t h es e m a t e r i a l s d o n o t f i t i n t o a n yo f t h e u s u a l t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k s . T h e r e a d e r w h o i s i n t e re s t e d in m o r e e x a m p l e s ,e s p e c i al l y o n e s i n v o l v i n g c o n s t r a i n t s, i s r e f e r r e d t o m y d o c t o r a l t h e s i s . g ~

2 M a te r ia l Sy s te msL e t J - b e a f i n i t e - d i m e n s i o n a l r e a l l i n e a r s p a c e a n d Y - * i t s d u a l . W e c a l l Y

t h e space of dependent variables a n d ~ --* t h e s p a c e o f independent variablesW e w i ll l a t e r m a k e u s e o f th e f a c t t h a t t h e s e s p a c e s a r e e n d o w e d w i t h a s t a n d a r dt o p o l o g y a n d u n i f o r m i t y w h i c h r e n d e r s a d d i t i o n a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t io n u n i -f o r m l y c o n t i n u o u s o p e r a t i o n s . I t is n o t p o s t u l a t e d t h a t t h es e s p a ce s a r e e n d o w e dw i t h a n i n n e r p r o d u c t o r a n o r m .

In BERTRAM 2) I show ed tha t p rope r t i e s o f th i s k ind a r e ma te r i a l p rope r t i e s anddo not obey a genera l pr inc ip le . See GREEN, NAGH DI TRAPP,ANDREUSSI & PODIOGUIDUGLI , GU RTIN & PODIO GUIDUGLI , BERTRAM & HA UPT , ALTS.g~ S ee DEE PIERO, SILHAV Y & KRATOCHV[L.~ BERTRAM (1).


5/35

M a t e r ia l S y s t e m s 1 0 3E x a m p l e s : I f w e a s su m e t h a t t h e b o d y ~ ' i s a d i f fe r e n ti a b le m a n i f o l d , w e m a y c o n s i d e ra t e a c h p o i n t X E ~ t h e t a n g e n t sp a c e ~J -x~ a n d i t s d u a l s p a c e 3 - * ~ ' , c a l l e d t h e c o -t a n g e n t s p a c e ; b o t h s p a c es l a c k a c a n o n i c a l in n e r p r o d u c t . F o l l o w i n g N O L Le , w e d e fi n ea n i n t r in s i c co n f i g u r a t i o n o f X E ~ ' t o b e a li n e a r sy m m e t r i c p o s i ti v e -d e f in i te m a p p i n gG : J ' x ~ ~ 3 * ~ ' . W e d e n o t e th e s et o f a ll l in e a r m a p p i n g s f r o m J ' x ~ i n t o 3 - * ~ 'b y t h e t e n s o r p r o d u c t J - * ~ | ~ - * ~ . A c c o r d i n g t o N O LL , t h e s tr es se s a r e d e s c r i b e db y l i n e a r s y m m e t r i c m a p p i n g s S : ~ r ~ ~ ~ x M , i .e . b y e l e m e n t s o f t h e s p a c e~ - x ~ ' | J ' x ~ , w h i c h i s d e f in e d a n a l o g o u s l y . T h u s , i n p u r e l y m e c h a n i c a l t h e o ri e s, w ec a n m a k e t h e i d en t if ic a ti o ns 3 - * _ : ~ ' * ~ | g - * ~ a n d 3 - = ~ x ~ | 3 - x ~ .T h i s i n t r i n s i c d e s c r i p t i o n i n m e c h a n i c a l t h e o r i e s c a n b e e x t e n d e d t o o t h e r p h y s i c a lt h e o r i e s b y m a k i n g t h e f o l l o w i n g i d e n t i f i c a t i o n s :( i ) t h e t e m p e r a t u r e a n d t h e i n t e r n a l e n e r g y a r e r e a l n u m b e r s ;( i i ) t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t , t h e e l e c t r o m o t i v e i n t e n s i t y , a n d t h e m a g n e t i c i n d u c t i o na r e c o v e c t o r s , i .e . e l e m e n t s o f ~ * ~ ;( ii i) t h e e l e c tr i c c u r r e n t , t h e p o l a r i z a t i o n , t h e m a g n e t i z a t i o n , a n d t h e e n e r g y f l u x a r et a n g e n t v e c t o r s , i .e . e l e m e n t s o f J ' x M . T h u s w e c a n i d e n t if y t h e s p a c e o f d e p e n d e n tv a r i a b l e s i n c o n t i n u u m p h y s i c s b y

3 ~ I ~ X J r x ~ X ~ x ~ X J x ~ X 3 x ~ X 3 x | 3 x ~ ,a n d t h e s p a c e o f a ll i n d e p e n d e n t v a r ia b l e s b y

~ r - -- a~ ~ - ~ ~ - ~ ~ - ~ .~ ~ - ~ ~ - ~ | ~ - ~ .~ .H e r e d e n o t e s t h e C a r t e s i a n p r o d u c t . ( W e c a n a l w a y s r e p l ac e g iv e n s e ts w i t h l a r g e rs p a c es i n o r d e r t o o b t a i n l i n e ar s p a ce s a n d t h e d u a l i t y b e t w e e n ~ - a n d ~ - * . )

A ( c o n f i g u r a t i o n ) p r o c e s s i s a m a p p i n g o f a c l o s e d ( ti m e - ) in t e r v a l i n t o t h es p a c e o f i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s.D e f i n it io n . L e t d b e a n o n - n e g a t i v e n u m b e r . A process of duration d i s a m a p p i n gP : [0 , d ] - -> 3 - * . T h e v a l u e s o f P a r e c a l le d configurations

W h e n w e d e al w i t h m o r e t h a n o n e p r o c e ss , w e u se t he s a m e s u b s c ri p t f o r b o t ha p r o c e s s a n d i ts d u r a t i o n . A p r o c e s s o f z e r o d u r a t i o n is c a l le d a n ul l processI f P 1 a n d P 2 a r e t w o p r o c e s s e s, a n d t h e r e h o l d s P l ( d l ) = P 2 ( 0 ) , w e d e f i n e t h ec o mpo s i t io n o f P~ a n d P b y

( P l ( t ) , i f t --~ d l ,P 2 o P I [ P 2 ( t - - d ~ ), i f d l - < t : ~ (d ~ -k d 2 ) .C l e ar ly , c o m p o s i t i o n i s a n o n - c o m m u t a t i v e b u t a s s o c ia t iv e o p e r a t i o n :P a ~ ( P 2 ~ P 1 ) = ( P a ~ P 2 ) ~ P ~ . I f P 3 = P o P 1 , w e c a l l P 1 a n d P segments o fP a , P z a c o n t in u a t i o n o f P ~ , a n d P ~ a s u b p r o ce s s o f P a .Defin it ion A c lass of processes i s a s e t ~ o f p r o c e s s e s w h i c h s a t is f ie s t h e f o l l o w i n gf o u r c o n d i t i o n s :( P 1 ) ~ i s n o t e m p t y ;

T h e i n t r i n s ic d e s c r i p t i o n i s g i v e n i n m o r e d e t a i l i n S e c t i o n 9 .


6/35

10 4 A BERTRAM( P 2 ) a l l p r o c e s s e s h a v e t h e s a m e in i t ia l v a l u e , i .e . , P1 , P C .~ ~ P I ( 0 ) : P2 (0 ) ;( P 3 ) a l l s u b p r o c e s s e s o f p r o c e s s e s o f ~ a r e a g a i n i n ~ ;( P 4 ) f o r e a c h p r o c e s s P ~ E ~ t h e r e e x is ts a c o n t i n u a t i o n P 2 o f n o n - z e r o d u r a t i o ns u c h t h a t P 2 ~ P ~ E ~ ' .

Example s fo r c l a s se s o f p roces se s a r e :(i) t h e s e t of a l l cons tan t processes wi th a preass igned in i t ia l va lue and arb i t ra ry dura-t i on ;

( i i ) the se t of a l l p rocesses wi th a preass igned in i t ia l va lue and arb i t ra ry dura t ion;( i i i ) the se t of a l l p rocesses wi th a preass igned in i t ia l va lue and wi th dura t ions smal le rt han a g iven pos i t i ve number ;( iv) the se t of a l l r - times c ont inuou s ly d i f fe ren t iab le processes wi th a preass igned in i t ia l

va lue .W e n o t e t h a t e a c h c l as s o f p r o c e s s e s c o n t a i n s a u n i q u e n u l l p r o c es s .T h e l a s t p r im i t i v e c o n c e p t o f t h is t h e o r y i s t h a t o f a c o n s t it u t iv e f u n c t i o n .

D e f i n it io n . L e t ,~ b e t h e s e t o f a l l n o n - e m p t y c l o s e d s u b s e t s o f ~ ' , c a l le d t h e s e to f e f f e c t s A c o n s t i t u t i v e f u n c t i o n F i s a m a p p i n g F : - + 6~. F ( P ) i s c a l l ed t hee f f e c t o f P

A s w a s e x p l a i n e d i n t h e I n t r o d u c t i o n , f o r u n c o n s t r a i n e d s y s t e m s , F i s a l w a y ss i n g l e - v a l u e d , i .e . t h e r a n g e o f F is a s u b s e t o f th e s e t o f s i n g le t o n s f o r m e d f r o me l e m e n t s o f g - . F o r c o n s t r ai n e d s y s te m s t he v a l u es o f F m a y h a v e m a n y e l e m e n ts .T h i s c o n c e p t s a v e s u s f r o m m a k i n g a r b i t r a r y d i s ti n c ti o n s b e t w e e n c o n s t i t u t iv ee f f e c t s a n d r e a c t i o n s .D e f i ni ti o n . L e t g - b e a f i n it e - d i m e n s i o n a l r e a l l i n e a r s p a c e w i t h d u a l s p a c e J - * ,l e t ~ b e a c l a s s o f p r o c e s s e s w i t h v a l u e s i n ~ -- *, a n d l e t F b e a c o n s t i t u t i v e f u n c t i o nd e f i n e d o n ~ w i t h v a l u e s i n 8 , t h e s e t o f al l c l o s e d , n o n - e m p t y s u b s e t s o f ~ '- .T h e t r i p l e M S : = ( J - , ~ , F ) is c a ll e d a m a t e r i a l s y s t e m

T h e r e s t o f t h is p a p e r i s c o n c e r n e d w i t h i n v e st i g a ti n g t h e p r o p e r t i e s o f m a t e r i a ls y s t e m s .

3 T h e S t a te S p a c e o f M a t e r i a l S y s t e m sL e t X a n d Y b e s e t s, l e t X o b e a s u b s e t o f X , a n d l e t f b e a f u n c t i o n f r o m X

i n t o Y . W e d e n o t e t h e r e s t r ic t i o n o f f t o X o b y f ] x o .T r a n s f o rm a t i o n T h e o r e m 3 .1 . L e t M S = (~ - , ~ , F ) b e a m a t e ri a l s y s t e m a n dP r b e a p r o c e s s i n ~ w i t h d u r a t i o n d r. T h e n w e c a n t r a n s f o r m M S i n to a n e wm a t e r i a l s y s t e m M S in a n a t u r a l w a y b y s e tt in g

M S : ( 3 -, ~ , F ) ,~ ' : = ( P ' ] P ' is p ro c e s s s u ch t h a t P ' o P T C ~ } ,

F ' ( P ' ) : = F ( p o P r ) f o r a ll P ' C ~ ' .


7/35

Material Systems 105It is easy to verify that, for all Pr in ~ M S ' really is a material system. It

is called the system M S t r a n s f o r m e d by Pr. We introduce the t r a n s f o r m a t i o nf u n c t i o n H M s , which maps the trans formatio n process Pr E ~ into the systemtransformed by P r . Let J/ be the range of HMs, i .e . the set of material systemsthat can be obtained from M S in this way. Then H M s : ~ ~ d / is surjective;in general it fails to be injective. I n order to remove this shortcoming, we introducethe notion of state. This is done by defining an equivalence relation on the classof processes.D e f i n i t i o n . Let M S = (~ , ~, F) be a material system and P1, P2 be in ~.We call P1 equivalent to /'2, and write P1 ~ P2, if M S transformed by P1equals M S transformed by P2, i.e. , P1 ~ P 2 H M s ( P I ) = H M s ( P 2 ) . We callthe equivalence classes under --~ states; the collection of all states forms the s t a t es p a c e .o~ of M S . The processes that are equivalent to the (unique) null processof ~ are called cyclic processes; their equivalence class is the initial state.

It is obvious that the relat ion ,.,o really is an equivalence relation. The physicalinterpretation of this definition is the following: two states o f a material system arethe same if and only if they cannot be distinguished by performing any processwhatsoever and comparing the effects. In order to illustrate this concept, we givetwo examples.Exam ple 1 . We define two processes PI and P2 to be similar if there exists a monotonebijection c,: [0, dl] ~ [0, d2], such that P1 = / ' 2 c~. A material system is said tobe ra te independent if similar processes are equivalent. Roughly speaking, such systemscannot distinguish between two processes that trace out a single trajectory of configura-tions at different rates.A subset of the class of rate-independent material systems is the class of e la s t i csystems; for elastic systems, two processes are equivalent if they end at the same con-figuration.E x a mp le 2 (aging systems). Two types of aging occur for these material systems: kine-matic aging and response aging. The first may be obtained by non-stationary constraints(see B E R T R A M 1 ) ) and is described by requiring that certain segments of processes canbe performed at one time but not at another. However, in the present theory responseaging is of more interest. Let ~ be a non-empty subset of the non-negative reals which isbounded above by the supremum of the durations of all processes of the class of processes(including oo). A material system is defined to be response aging at times in ~ if equiv-alent processes P i with at least one duration d iE ~ have the same duration. For re-sponse aging systems with 0 E ~ there is obviously no cyclic process other than thenull process. An example o f response aging is the hardening of concrete, caused bytime-dependent chemical reactions taking place in the material.

We define the effect at a state to be the effect of any transformation processfrom the equivalence class of that state; that effect is equal to the effect of the nullprocess of the transformed material system. The assignment of effects to states isformalized by means of an o u t p u t f u n c t i o n f o r t h e e f f e c t s of states E: ~e __> g.

The dot placed between the symbols for two mappings denotes composition.


8/35

10 6 A. BERTRAMW e d e f i ne t h e c o n f i g u r a t i o n o f a s t at e t o b e t h e f in a l v a l u e o f a n y t r a n s f o r m a -

t i o n p r o c e s s f r o m i t s e q u i v a l e n c e c la ss . B y a n a l o g y , w e i n t r o d u c e t h e o u t p u tf u n c t io n f o r t h e c o n f i g u ra t io n s o f s t a te s G : ~ - + J ' * .

A q u i t e s im i l a r a p p r o a c h i s t h e me t h o d o f p r e p a r a t i o n s u g g e s t e d b y B R ID G M ANa n d d e t a i l e d b y GIL ES, PERZYNA,an d PERZYNA & KOSINSKI.T h e i r b a s i c i d e a c a n e a s i lyb e d e s c r i b e d i n t h i s c o n t e x t .L e t M S = ( 3 -, ~ , F ) b e a ma t e r i a l s y s t e m, P o a p r o c e s s a n d

~ '( P o ) : = ( P C ~ ' I P o o P E # } ,i .e . t h e s e t o f a ll p r o c e s s e s i n ~ ' t h a t c a n b e c o n t i n u e d b y P o . O f c o u r s e , t h i s se t m a y b ee m p t y . I n g e n e r a l , i f P I a n d P2 a re i n ~ ( P o ) , w e c a n n o t e x p e ct t h a t F ( P o o P ~ ) e q u a lF ( P o o P 2 ) u n l e s s P 1 a n d P 2 a r e e q u i v a l e n t , a n d h e n c e r e p r e s e n t t h e s a m e s t at e . I n t h i sc a se w e m a y s a y t h a t P 1 a n d P 2 c o r r e s p o n d t o t h e s a m e m e t h o d o f p r e p a r a ti o n .T w o s t at e s o r m e t h o d s o f p r e p a r a t i o n n e e d n o t b e d i s t in g u i s h e d i f th e y a r e e q u i v a l e n ti n r e s p e c t o f a n y p r e d i c t io n w h i c h m i g h t b e m a d e - - t h a t is , i f t h e y c o r r e s p o n d t o t h es a m e a s s e r ti o n c o n c e r n i n g t h e r e s u lt o f a n y e x p e r i m e n t w h i c h m i g h t b e p e r f o r m e d o nt h e s y s t e m . GILES, p . 1 7 .) T h i s c o n c e p t o f s ta t e c o i n c i d e s e s s e n ti a ll y w i t h m i n e h e r e .

T h e f o l lo w i n g t h e o r e m is a c o n s e q u e n c e o f a w e l l - k n o w n t h e o r e m o n t h en a t u r a l f u n c t i o n o f a n e q u i v a l e n c e r e la t io n , i .e . , t h e f u n c t i o n w h i c h m a p s e a c h

p r o c e s s i n t o i t s e q u i v a l e n c e c l a s s .h e o r e m 3 . 2 . L e t M S = (~- ' , ~ , F ) b e a m a t e r i a l s y s t e m w i th t r a n sf o r m a ti o n

f u n c t i o n H M S , l et ~ l : = H M S ( ~ ) , l e t ~ b e t h e s t a t e s p a c e o f M S , a n d l e t o~b e t h e n a t u r a l f u n c t i o n o f ~ . T h e n t h e r e e x is t s a u n iq u e b i je c t io n i s u c h t h a t i . ~ o (P )= H M s ( P ) f o r a l l P E ~ ; t h e f o ll o w i n g d i a g r a m i s t h e n c o m m u t a t i v e :

M s

Fig . 4A c c o r d i n g t o t h is t h e o r e m i t is e q u i v a l e n t t o t a l k e i th e r a b o u t m a t e r i a l s y s te m s

t r a n s f o r m e d b y a c e r t a i n p r o c e s s P r o r a b o u t t h e s y s t e m b e i n g i n t h e s t at e ~o(Pr ) .T h e l a t te r p o i n t o f v i e w is o f t e n s im p l e r , b e c a u s e i n m a n y c a s e s o n l y a f i n it en u m b e r o f p a r a m e t e r s ( i n t er n a l v a ri a b le s ) d e t e r m i n e t h e s t a te c o m p l e t e l y .

I f M S = (~ --, ~ , F ) is t r a n s f o r m e d b y P r i n t o M S = ( J -, ~ ' , F ' ) , i t i so b v i o u s t h a t

~ , / l : : H M S ( ~ ) ~ a l l ' : = H M S ' ( ~ ' ) .I t is q u i t e r e a s o n a b l e b y m e a n s o f t h e b i j e c ti o n i b e t w e e n d / a n d 5 ( t o i d e n t i f yt h e s t at e s in t h e fo l l o w i n g m a n n e r :

i~llS H M S( P ~ P T ) ~ i ~ , H M s ' (P ' ) f o r a ll P ' ff ~ ' .F o r t h e s t a te s p a c e s t h e r e f o l l o w s ~ ) ~ ' .


9/35

M ate r i a l Sys t ems 107Example . There a r e t heo r ie s o f g r anu l a r med ia (d ry s and , etc.) t h a t p e r m i t o n l y d e f o r -ma t ions which evolve tow ards a c r i t ica l dens ity , i.e., on ly d i l a ta t ive o r compres s ive chang -es can occur when the ac tua l dens i ty i s be low or above the c r i t ica l one , respec t ive ly .Th i s i s a nons t a t i ona ry un i l a te r a l cons t r a in t t ha t ma kes t he sy s t em age k inema t icaUy .Th e se t of dens i ties which a re access ib le v ia cont inu a t ions of a process i s a non- inc reas ingfunc t i on o f t he nu m ber o f con tinua t ions .

I t is i n t e r e s ti n g t o a s k u n d e r w h a t c o n d i t i o n s ~ e , i s i d e n t ic a l t o ~ . T h i s q u e s t i o nl e a d s t o t h e f o l l o w i n g c o n c e p t .D e f i n i t i o n . L e t M S ---- (~ --, ~ , F ) b e a m a t e r i a l s y s t e m a n d P E ~ . P i s c a l l e dr e v e r t i b l e i f t h e r e i s a c y c li c p r o c e s s i n ~ t h a t c o n t a i n s P a s a s u b - p r o c e s s .

I n o t h e r w o r d s , o n e c a n c o m p l e t e ly u n d o t h e t r a n s f o r m a t i o n b y a r e v e r ti b l ep r o c e ss b y m e a n s o f a n o t h e r t r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s w h ic h r e t u rn s t h e s y s t e mt o i t s i n i t i a l s t a t e . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n s a r e e a s y t o v e r i f y .Proposit ion 3 3 Le t ~e b e t h e s t a t e s p a c e o f a m a t e r i a l s y s t e m , a n d l e t . ~ ' b e t h es t a t e s p a c e o f M S = H M s ( P ) f o r a n y P E : ~ . P i s r e v e r t i b l e i f a n d o n l y i f

Proposit ion 3 . 4 . E q u i v a l e n t p r o c e s s e s a r e a l l r e v e r t i b l e o r a l l n o n - r e v e r t i b l e .Proposit ion 3 . 5 . A p r o c e s s P 3 = P o p ~ i s r e v e r t i b l e w i t h r e s p e c t t o a m a t e r i a ls y s t e m M S i f a n d o n l y i f P 1 i s r e v e rt i b le w i t h r e s p e c t t o M S a n d P 2 i s r e v e r t i b l ew i t h r e s p e c t t o H M s ( P ~ ) .

E v e r y c la s s o f p r o c e s s e s c o n t a i n s a t l e a s t o n e r e v e r t ib l e p r o c e ss , t h e n u l lp r o c e s s . M o r e g e n e r a l ly , e v e r y c y c li c p r o c e s s i s r e v e r ti b l e . I t m a y h a p p e n t h a ta l l p r o c e s s e s i n a c e r t a i n c l a s s o f p r o c e s s e s a r e r e v e r t i b l e . W e c a l l s u c h a m a t e r i a ls y s t e m r e v e r ti b l e . I n l i g h t o f P r o p o s i t i o n 3 . 5 w e c o n c l u d e t h a t r e v e r t i b le s y s t e m sc a n o n l y b e t r a n s f o r m e d i n t o r e v e r t i b l e s y s t e m s . H o w e v e r , t h e r e a r e n o n - r e v e r t i b l es y s t e m s w h i c h c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o n o n - r e v e r t i b l e o r i n t o r e v e r t ib l e s y s te m s .

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n c l a r i f i e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n r e v e r t i b i l i t y a n d a g i n go f m a t e r i a l s y s t e m s .Proposit ion 3 . 6 . R e s p o n s e a g i n g m a t e r i a l s y s t e m s a re n o n - r e v e r t i b l e .P r o o f . A s s u m e t l l a t a m a t e r i a l s y s t e m i s r e s p o n s e a g i n g a t a t im e t ~ 0 a n dr e v e r t i b l e . T h e n t h e r e e x i s t s a p r o c e s s P 1 w i t h d l = t , a n d t h e r e is a c o n t i n u a t i o nP 2 o f P 1 s u c h t h a t P 2 ~ P ~ i s a c y c l i c p r o c e s s . P 2 ~ P ~ c a n b e c o n t i n u e d b y P 1 ,a n d P ~ o P 2 o p 1 i s e q u i v a l e n t t o P ~ . B e c a u s e t h e d u r a t i o n o f P 1 o P 2 ~ P t i sg r e a t e r t h a n t h e d u r a t i o n d~ o f P t , t h e s e p r o c e s s e s c a n n o t b e e q u i v a le n t , a n d t h ep r o p o s i t i o n i s p r o v e d f o r th e c a s e t = 0 .

T h e s e c o n d p o s s i b i l i t y i s t h a t M S a g e s a t t = 0 . T h i s m e a n s t h a t t h e r e i sn o c y c l i c p r o c e s s o t h e r t h a n t h e n u l l p r o c e s s . A c c o r d i n g l y , n o p r o c e s s o f n o n - z e r od u r a t i o n m a y b e c o n t i n u e d t o a c yc l ic p r o c e s s . B y A x i o m P 4 t h e r e e x i s ts a t l e a s t


10/35

10 8 A . BERTRAMo n e c o n t i n u a t i o n o f th e n u l l p r o c e s s , a n d t h i s c o n t i n u a t i o n y i e ld s a n o n - r e v e r t i b l ep r o c e s s f o r M S . T h e r e f o r e , M S i s n o n - r e v e r t i b l e ; q . e . d .

O n t h e o t h e r h a n d , o n e c a n c o n s t r u c t n o n - r e v e r t i b l e s y s te m s t h a t a r e n o ta g i n g . T h u s t h e a g i n g s y s t e m s a r e a p r o p e r s u b s e t o f t h e n o n - r e v e r t i b l e o n e s .

T h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s a r e m o t i v a t e d b y N O L L'S t h e o r y a n d a r e o f i m p o r t a n c ei n e s t a b l i s h i n g t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h a t t h e o r y a n d t h e p r e s e n t o n e .D e f i n i t i o n . L e t z C ~ b e a s t a t e o f a m a t e r i a l s y s t e m M S . W e d e n o t e b y ~ zt h e c l a s s o f p r o c e s s e s o f t h e s y s t e m i z) , a n d d e f i n e

:~, ~) := z, P) Iz ~ ~, P E ~z}.We call the function 0: ~, ~) --+ =@edefined by ~ z, P) ---- ~oi 2) P) the volutionfunction for MS. Here, ~oi z denotes the natural function of the material systemi z) which maps each process in ~ into the corresponding state of the systemi z ) .

F o r a g i v e n m a t e r i a l s y s t e m i t i s o f t e n d e s i r a b l e to f i n d a c o n v e n i e n t r e p r e s e n t a t i o nf o r i t s s t a t e s . I n g e n e r a l , t h e r e a r e m a n y s u c h r e p r e s e n t a t i o n s . I t m a y h a p p e n t h a t t h es t a t e s c a n b e r e p r e s e n t e d b y a s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s , o r e v e n b y a f i n i te s e t o f r e a l s ,b u t o f c o u r s e t h i s i s n o t a l w a y s a s su r e d . L e t u s n o w c o n s i d e r m a t e r i a l sy s t em s t h a t h a v et h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :1 ) t h e s t a t e s p a c e c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n o p e n s u b s e t o f a f i n i t e - d i m e n s i o n a l l i n e a r

s p a c e , a n d2 ) t h e e v o l u t i o n f u n c t io n c a n b e f o r m u l a t e d i n c r e m e n t i al l y , i.e. b y a f i r s t o r d e r d i f f e r e n -

t i al e q u a t i o n i n t im e= ~ z , d)

a n d , i f n e c e s s a r y , b y a m e c h a n i s m t h a t a s s u r e s a u n i q u e s o l u t i o n a s a n i n t e g r a l a l o n ga c o n f i g u r a t i o n p r o c e s s s t a r t i n g a t a c e r t a i n i n i t i a l s t a t e .B y c h o o s i n g a b a s i s in t h e s t a t e s p a c e , t h e s t a te c a n b e r e p r e s e n t e d b y a c e r t a i n

n u m b e r o f c o m p o n e n t s ( a l , ~ 2 . . . . ) . I t i s a l w a y s p o s s i b l e t o d o t h i s i n a w a y t h a t c~1t o , a r e th e c o m p o n e n t s o f th e c o n f i g u r a ti o n . W e c a ll t h e r e s t o f th e s ta t e p a r a m e t e r s

, + 1 , ~ + 2 . - - i n t e r n a l o r h i d d e n v ar i a b le s .A l t h o u g h t h e t w o a s s u m p t i o n s a r e r a t h e r r e s t ri c ti v e , t h e r e a r e m a n y a p p l i c a t io n so f t h i s t h e o r y i n t h e l i t e r a t u r e o n v i s c o e l a s ti c i ty , h y p o e l a s t i c i t y , p l a s t i c it y , a n d t h e r m o -d y n a m i c s . I n m o s t c a s e s th e s p a c e o f th e i n t e r n a l v a r i a b l e s is r e a l a n d f i n i t e - d i m e n s i o n a l .

4 . M a t e r i a l I s o m o r p h yI n t h is s e c t io n w e s h a l l i n v e s t ig a t e i s o m o r p h i s m s b e t w e e n m a t e r i a l s y s te m s .

I n d o i n g s o , w e g iv e a p r e c i s e m e a n i n g t o t h e n o t i o n t h a t t w o s y s t em s e x h i b i tt h e s a m e p h y s i c a l b e h a v i o r .

L e t M S , = ( 3--1 , ~ , , F , ) a n d M S 2 = ( 3 - 2 , ~ 2 , F 2 ) b e m a t e r i a l s y s t e m s .F i r s t , J - 1 a n d ~ '-2 a r e i s o m o r p h i c i f a n d o n l y i f t h e y h a v e t h e s a m e d i m e n s i o n .I s o m o r p h i s m s o f v e c t o r s p a c e s a r e , o f c o u r s e , l in e a r b i j e c t io n s ; w e s h a l l d e n o t e t h ec o l l e c t i o n o f t h e s e i s o m o r h i s m s b y I s o ( ~ ' 1 , 3 - 2 ) . I f A E I s o (~ J--1 , ~ -- 2) , i t f o l l o w s


11/35

M ater ia l Sys tems 109t h a t t h e a d j o i n t A * , t h e i n v e r s e A - 1 , a n d t h e i n v e r s e o f A * , A - * , s a t is f y t h e r e l a -t i o n s

A * E I s o (~ - * , ~ - * ) ,A - ~ I s o ( 3 - 2 , Y - O ,a- c Iso :*, :~).

T h e r e f o r e , w e m a y t a k e f o r t h e i s o m o r p h i s m s b e t w e e n c l as se s o f p ro c e s s e s th em a p p i n g s i n d u c e d b y el e m e n t s A - * o f I s o ( ~ '- *, 3 " * ) . T h e i s o m o r p h i s m s o f t h eef fec t s a re the e le m en ts A o f I so (5"1 , ~d'-2).

I f we ident i fy 3- as in Sec t ion 2 , then A m ay phys ica l ly be in te rpre ted as be ing in-duce d by an ident i fi ca t ion of the t angent vec tors in one t angent space to those in asecond tangent space .

T h e f o l l o w i n g r e s u lt s a r e i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e s o f t h e s e d e f in i t io n s .P r o p o s i t i o n 4 . 1 . L e t P b e a p r o c e s s w i t h v a l u e s in ~ -'~ ', a n d l e t A E I s o ( Y , , 3 - 2 ) .T h e n A - * ( P ) i s a p r o c e s s w i t h v a l u e s i n ~ --* . I f # , i s a c l a ss o f p r o c e s s e s w i t hv a l u e s i n ~ --~ ', t h e n A - * ( # I ) i s a c la s s o f p r o c e s s e s w i t h v a l u e s i n # - ~ '. I f P 2 ~ P Ii s a p r oce s s w i t h v a l ue s i n ~Y-* , t he n

A - * ( P 2 o P ~ ) = A - * ( P 2 ) o A - * ( P , ) .D e t i n i ti o n . T w o m a t e r i a l s y s t e m s M S , = ( .Y-~ , ~ , F1 ) and M S z = ( 9 - 2 , ~ 2 , 1; 2)a r e c a l l ed m a t e r i a l l y i s o m o r p h i e ( r e la t i v e t o A ) , i f t h e r e e x is t s a m a p p i n g A s u c ht h a t( I 1 ) A E I s o ( 3 "~ , : 2 ) ,( I2 ) ~ 2 = A - * ( # , ) ,0 3 ) F 2 A - * ( P ) = A . F~ (P ) f o r a ll P E # , .

I n o r d e r t o s h o w t h a t t h i s d e f i n i t i o n i s s y m m e t r i c i n th e t w o m a t e r i a l s y s t e m sw e v e r i f y t h a t M S 2 a n d M S , a r e m a t e r i a l ly i s o m o r p h i c ( r el a ti v e t o A - 1 ) w h e n -e v e r t h e c o n d i t i o n s o f t h e d e f i n it i o n h o l d . F i r s t w e h a v e( I 1 ) ' A - i ISO ~-2 , 6~1) ,a s a l r e a d y m e n t i o n e d . A p p l y i n g A * f r o m t h e l e ft t o e q u a t i o n ( I 2 ) y i e ld s( I 2) " #~ ---- A *( ~ 2) .B y s u b s t i tu t i n g P = A * ( P ' ) i n (I 3 ) a n d b y a p p l y i n g A - 1 f r o m t h e l e f t w e g e t( I 3 )' F , 9 A * ( P ' ) = A - ~ 9 F 2 ( P ' ) f o r a ll P ' E ~ 2 -

T h e f o l lo w i n g t h e o r e m s h o w s t h a t i s o m o r p h i s m s r e a l l y p r e s e rv e t h e d e t a i le ds t r u c t u r e o f m a t e r i a l s y s t e m s .


12/35

1 10 A BERTRAMT h e o r e m 4 . 2 . A material isomorphism ma psa) equivalent processes into equivalent ones,b) cyclic processes into c yclic ones,c) revertible processes i nto revertible ones,d) non-revertible processes int o non-revertible ones.P r o o f a ) E m p l o y i n g t h e d e f in i ti o n o f t ra n s f o r m e d s y s t em s a n d t h e i s o m o r p h yc o n d i t i o n s I 1 - I 3 , o n e c a n e as i ly v e r i fy t h a t , f o r e a c h P E ~ , A is a m a t e r i a li s o m o r p h i s m b e t w e e n MS~ :-~ HMs~ P) a n d MS2 :---- HMs~ A-* P)). L e t P 1 , P 2i n ~ b e e q u i v a l e n t f o r MS~, s o t h a t HMsl P~) e q u a l s HMsl P2), a n d e a c h o f t h e s et r a n s f o r m e d s y s te m s is i s o m o r p h i c to t h e sy s t e m s Hus~ A-* P~))and H~ts~ A-* P2))r e l a t iv e t o A . T h i s c a n o n l y b e t h e ca s e w h e n t h e s e s y s t em s a r e e q u a l , t o o . H e n c eA-* P~) a n d A - * ( P 2 ) a r e e q u i v a l e n t .b ) I f A i s a m a t e r i a l i s o m o r p h i s m b e t w e e n M S I a n d MS2, t h e n A - * m a p s t h en u l l p r o c e s s o f ~ 1 i n t o t h e n u l l p r o c e s s o f ~ 2 . B e c a u s e a p r o c e s s is c y cl ic i f a n don l y i f i t is equ i v a l en t t o t h e nu l l p r o ces s , r e su l t ( a ) i m p l i e s ( b ) .c ) I f P~ i s a r eve r t i b l e p r oc es s o f M S I , t hen t h e r e i s a cyc l i c p r oc es s P o P~ i n~ . B y b ), A - * ( P o P x ) = A - * / ~ ) o A-* P~) is a c y c l ic p r o c e s s i n ~ 2 w h i c hc o n t a i n s A - * P I ) a s a s u b p r o c e s s , a n d is t h e r e f o r e r e v e r ti b l e .d ) A s s u m e t h a t P is n o n - r e v e r t i b le a n d A - * P ) i s r e v e r ti b l e . B y th e s y m m e t r yp r o p e r t y o f t h e d e f in i t io n o f m a t e r ia l i s o m o r p h y m e n t i o n e d a b o v e , t h e i n v er s em a t e r i a l i s o m o r p h y m a p s t h e r e v e rt ib l e p r o c e s s A - * P ) i n t o t h e n o n - r e v e r t i b l eo n e P . T h i s c o n t r a d i c t s c ) , a n d h e n c e A - * P ) m u s t b e n o n - r e v e r t i b l e ; q . e . d .

W e n o w m a k e p r e c i s e t h e s t a t e m e n t t h a t t w o m a t e r i a l e l e m e n t s a r e c o m p o s e do f t h e s a m e m a t e r i a l :D e f i n i t i o n . T w o m a t e r i a l s y s t e m s a r e c a l l e d m - e q u i v a l e n t i f e a c h s y s t e m c a n b et r a n s f o r m e d b y a s u i t a b l y c h o s e n r e v e r t i b l e p r o c e s s , s o t h a t t h e t w o r e s u l t i n g m a t e -r i a l s y s t e m s a re m a t e r i a l l y i s o m o r p h i c . E a c h e q u i v a l e n c e c la s s u n d e r t h e r e l a t i o no f m - e q u i v a l e n c e i s c a l l e d a m a t e r i a l .P r o p o s i t io n 4 3 m - e q u i v a l e n c e is a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n t h e s e t o f a l l m a t e r i a ls y s t e m s .P r o o f a ) T h e s y m m e t r y o f th e r e l a t i o n is o b v i o u s .b ) T o v e r i f y r e f le x i v it y , o n e c a n t a k e b o t h r e v e r t i b l e p r o c e s s e s t o b e t h e n u l lp r o c e s s a n d t h e m a t e r i a l i s o m o r p h i s m t o b e t h e i d e n t i t y o n J - .c ) I n o r d e r t o p r o v e t r a n s i t i v i ty o f m - e q u i v a l e n c e , le t MS1 a n d MS b e m - e q u i v -a l e n t . T h e r e t h e n e x i s t r e v e r t i b le p r o c e s s e s P 1 E ~ a n d P 2 E ~i~2 a n d a n i s o -m o r p h i s m A E I s o ( 5 1 , J ' 2 ) s u c h t h a t HMs~ P~) a n d HMs, P2 a r e m a t e r i a l l y i so -m o r p h i c r e l a t i v e t o A . S i m i l a r l y , l e t MS 2 a n d MS a b e m - e q u i v a l e n t , a n d c h o o s eP 2 E ~ 2 a n d P a E ~ a , b o t h r e v e rt ib l e , a n d A ' E I s o (J - 2 , 3 a ) , s u c h t h a t H~4s~ P2)a n d HMs3 P3) a r e m a t e r i a l l y i s o m o r p h i c r e l a t iv e t o A ' . R e c a l l t h a t P 2 i s r e v e r t i b l ei f a n d o n l y i f P 2 i s a s u b p r o c e s s o f a c y c l ic p r o c e s s P o ~ P 2 - T h i s m a y b e c o n t i n u e db y a n y p r o c e s s i n ~ 2 , i n p a r t i c u l a r , b y P 2 . T h e p r o c e s s P ~ o P o ~ P 2 i s a l s o r e v e r t ib l e


13/35

M ater ia l Sys tem s 1 11a n d e q u i v a l e n t t o P 2 r e l a t i v e t o M S 2. B y T h e o r e m 4 .2 , P 2 ~ P 0 i s r e v e r t i b l e i f ,a n d o n l y i f A*(P2 ~ Po) ~ P1 i s r e v e r t i b l e ( f o r M S~ ) . I f HMs~(P1) i s m a t e r i a l l yi s o m o r p h i c to HMs2 P2) r e l a t i v e t o A , t h e n HM sI(A*(P2 o Po) ~ P1) i s m a t e r i a l l y i s o -m o r p h i c t o H M s : ( A - * 9 A*(P 2 o Po) ~ P2) = HMs~(P2) r e l a t i v e t o A , b e c a u s eP 2 ~ P o ~ P 2 c o n t a i n s P 2 . O n t h e o t h e r h a n d , HMs2(P2) is m a t e r i a ll y is o m o r p h i ct o H ~ s ~ ( P 3) r e la t iv e to A ' . W e c a n c o m p o s e t h e t w o i s o m o r p h i s m s t o o b t a i n t h ei s o m o r p h i s m A ' . A b e t w e e n HM s~(A*(P2 ~ Po) ~ P1) a n d HMs~(P3); q . e .d .

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n s im p l i fi e s t h e d e f i n i ti o n o f m a t e r i a l .P r o p o s i t i o n 4 . 4 . T w o m a t e r i a l s y s t e m s a r e m - e q u i v a l e n t if , a n d o n l y if , a t l e a s to n e o f t h e s y s t e m s c a n b e t r a n s f o r m e d b y a r e v e rt i b le p r o c e s s i n t o a s y s t e mm a t e r i a l l y i s o m o r p h i c t o t h e o t h e r.P r o o f I f M S 1 a n d MS2 are t w o m a t e r i a l s y s t em s b e l o n g i n g t o th e s a m e m a t e r i a l,t h e n t h e r e e x i s t t w o r e v e r t i b l e p r o c e s s e s P a n d P 2 s u c h t h a t HMs~(P~) a n dHMs, (P2) a r e i s o m o r p h i c r e l a t i v e t o A . I f P o ~ P 1 i s a c y c li c p r o c e s s f o r M S 1 ,t h e n i t is e a s y t o v e r i f y t h a t M S ~ i s m - e q u i v a l e n t t o HMs2(A-*(Po) o P 2 ) r e l a t i v et o A , a n d t h a t A - * ( P o ) o P 2 i s r e v e r t i b l e f o r M S 2 . C o n v e r s e l y , c h o o s e t h e n u l lp r o c e s s P o a s a r e v e r t i b l e p r o c e s s f o r M S I . I f H M s ~(P o) = M S t i s m a t e r i a l l yi s o m o r p h i c t o HMs, (P2) , t h e n t h e t w o s y s t e m s a r e a l s o m - e q u i v a l e n t ; q . e . d .

I n t h e f o r e g o i n g p r o o f w e h a v e u s e d th e f o ll o w i n g ea s il y p r o v e n f a c t : I f M S I ism - e q u i v a l e n t t o M S 2 r e l a ti v e t o A , t h e n H~csl(P) i s m - e q u i v a l e n t t o H ~ s , ( A - * ( P ) )f o r e v e r y P E 5 ~ 1 , a n d t h e m a t e r i a l i s o m o r p h i s m s a r e t h e s a m e .

I f a m a t e r i a l s y s t e m i s r e v e r ti b l e , i.e. i ts p r o c e s s c l as s c o n t a i n s o n l y r e v e r t i b l ep r o c e s s e s , t h e n b y T h e o r e m 4 .2 c ) w e c a n e a s i ly se e t h a t e v e r y m - e q u i v a l e n t m a t e -r i a l s y s t e m i s a g a i n r e v e r ti b l e . W e c a l l a m a t e r i a l r e v e r t ib l e , i f a r e p r e s e n t i n g m a t e -r i a l s y s t e m i s r e v e r t ib l e ( a n d h e n c e e v e r y o n e i n t h e s a m e e q u i v a l e n c e c l a s s) .

T w o m a t e r i a l s y s t e m s w h i c h a r e n o t m - e q u i v a l e n t , m i g h t s ti ll h a v e t h e p r o p e r t yt h a t o n e c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e o t h e r b y a t r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s . T h i s i s ag e n e r a l iz a t i o n o f t h e n o t i o n o f t r a n s f o r m a t i o n t o m a t e r ia l s.D e f i n i t i o n . L e t M S 1 a n d MS 2 b e m a t e r i a l s y s t e m s . W e s a y t h a t w e c a n transformthe mater ia l o f M S I i n t o t h e m a t e r i a l o f MS2 i f t h e r e i s a p r o c e s s P E ~ s u c ht h a t H M s l ( P ) i s m - e q u i v a l e n t t o M S 2 .O f c o u r s e , P d o e s n o t h a v e t o b e r e v e rt i b le . O t h e r w i s e t h i s n o t i o n w o u l dc o i n c i d e w i t h t h a t o f m - e q u i v a l e n c e . N e x t w e s h o w t h a t t h e f o r e g o i n g d e f i n i ti o ni s i n d e p e n d e n t o f th e c h o i c e o f th e m a t e r i a l s y s t e m s r e p r e s e n t i n g t h e t w o m a t e r i a ls .P r o p o s i t i o n 4 . 5. I f w e c a n t r a n s f o r m t h e m a t e r i a l o f a m a t e r i a l s y s t e m M S 1 i n t ot h e m a t e r i a l o f M S 2 , t h e n t h e s a m e is t r u e f o r e v e r y o t h e r p a i r o f m a t e r i a l s y s t e m sr e p r e s e n t i n g t h e s a m e m a t e r i a l s .P r o o f L e t M S i b e f o u r m a t e r i a l s y s t e m s w i t h c la s s e s o f p r o c e s s e s # i . L e t M S 1b e m - e q u i v a l e n t t o MS3; i.e. t h e r e e x i s t s a r e v e r t i b l e p r o c e s s P 1 i n # ~ s u c h t h a t


14/35

11 2 A . BERTRAMH M s I ( P O i s i s o m o r p h i c t o M S r e l a t i v e to A 1 , a n d P 1 c a n b e c o n t i n u e d b y P,~s u c h t h a t / ' 4 ~ P ~ i s c y c l i c f o r M S t . L e t M S 2 b e m - e q u i v a l e n t t o MS4, i .e . t h e r ee x i st s a r e v e r t ib l e p r o c e s s P 3 E ~ 4 s u c h t h a t M S 2 i s i s o m o r p h i c t o HMs,(Pa)r e l a ti v e t o A a . A s s u m e t h a t w e c a n t r a n s f o r m t h e m a t e r i a l o f M S ~ i n t o t h e m a t e r i a lo f MS2, i . e . t h e r e e x i s t s a P 2 E ~ s u c h t h a t HMsl(P2) i s i s o m o r p h i c t o M S zr e l a ti v e t o A 2 . I t is le f t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a t t h e m a t e r i a l s y s t e m HMs3(AF*(P2~ P 4 ) i s m a t e r i a l l y i s o m o r p h i c t o H~ts,(Pa) r e l a t i v e t o -4 3 9 A 2 9 Al l; q . e .d .

I n l i g h t o f t h is p r o p o s i t i o n , t h e f o l l o w i n g d e f i n i ti o n i s m e a n i n g f u l .D e f i n i t i o n . W e s a y t h a t o n e m a t e r i a l c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a n o t h e r , i f t h i s i st h e c a s e w i t h r e s p e c t t o a t l e a s t o n e p a i r o f m a t e r i a l s y s t e m s r e p r e s e n t i n g t h em a t e r i a l s ( a n d , h e n c e , f o r a l l s u c h p a i r s ) .

I t is e a s y t o s h o w t h a t o n e c a n t r a n s f o r m r e v e r ti b l e m a t e r i a l s o n l y i n t o r e -v e r t i b l e o n e s . B u t t h e c o n v e r s e i s n o t t r u e , i.e. t r a n s f o r m a t i o n o f n o n - r ev e r t ib l em a t e r i a l s c a n l e a d t o b o t h r e v e r t i b l e a n d n o n - r e v e r t i b l e o n es . I f t h e t r a n s f o r m i n gp r o c e s s i s r e v e r t i b l e , t h e t r a n s f o r m e d m a t e r i a l s u r e l y i s n o n - r e v e r t i b l e .

L e t u s i n v e s t i g a te t h e d e p e n d e n c e o f t h e c o n c e p t o f s ta t e o n t h e c o n c e p t o fm a t e r i a l i s o m o r p h i s m . L e t M Si- - - - ( ,~ i, ~ i , F i ) b e m a t e r i a l s y st e m s w i t h s t a tespaces ~e i , l e t P i b e in ~ i , a n d M S [ = ( J - i, ~ , F ; ) : - - HMsi(Pi . W e r e c a l lf r o m T h e o r e m 3.2 t h e r e l a t io n s

z i : o~i(Pi) : i [ - l (M S~ )~ ~ i .I f w e n o w d e f i n e a s e l e c t i o n f u n c t i o n q~i : Y i - + ~ i o f a m a t e r i a l s y s t e m M S ia s a m a p p i n g t h a t m a p s a s ta t e i n t o a n ( a r b i t r a r y ) p r o c e s s o u t o f i ts e q u iv a l e n c ec l a s s , t h e n r 9 ~0i i s t h e i d e n t i t y o n . ~'; . O f c o u r s e , a m a t e r i a l s y s t e m c a n h a v em a n y s e l e c t i o n f u n c t i o n s , b u t e a c h o n e is a r i g h t in v e r s e o f t h e n a t u r a l f u n c t i o n o ~io f t h e s y s t em .D e f i n i t i o n . L e t M S 1 b e a m a t e r ia l s y s t e m i s o m o r p h i c t o M S 2 r e l a t i v e t o A .T h e b i j e c t i o n 7,4 (o f t he s t a t e sp aces ) i n d u c e d b y t h e m a t e r i a l i s o m o r p h i s m A isthe fun c t i o n ~ 'a : , ~e __~ ~ 2 de f ined by

7 A ( Z ) : = 0 9 2 " A - * 9 9 9 1 2 )T h i s d e f i n i t i o n i s m e a n i n g f u l b e c a u s e A - * t r a n s f o r m s e q u i v a l e n t p r o c e s s e s i n

~ i n t o e q u i v a l e n t p r o c e s s e s i n ~ 2 .A-*

Fig. 5


15/35

Mater ia l Sys temsTheorem 4 . 6 . T h e e v o lu t io n f u n c t i o n s s a t i s f y

~ A ~ e l Z , P ) ~ -- Q 2 ~ a Z ) , A-* P))f o r a l l ( z, P ) 6 ( ~ f , ~ ) 1 .P r o o f . T h e d e f i n i t i o n s o f 7A a n d 9 1 y i e l d t h e r e l a t i o n s :

7 A " 9 x ( Z , P ) = o 2 " A - * 9 q :l " 9 ~ ( z , P )= 0 , 2 . A - . q ~ . o ~ , ( e o ~ 0 ~ ( z ) ) .

T h e f o l lo w i n g p a i rs o f p ro c e s s e s a r e t h e n e q u i v a l e n t :~ l ~ol (P o ~0 1(z ) )~ p o q~l(z) ,

A- * . ~ . o~ eo ~ z)) , .~ A-* e) o A - * ~ 0 , z ) ) ,a n d i t f o l l o w s t h a t

YA ex( Z, P ) = r o A - * ~ l ( z ) ]= o ~ 2 [ A - * ( P ) o ~ 2 ~ A ( Z ) ]= e2(TA(Z), A - * ( P ) ) ; q . e .d .

113

5 . M a t e r i a l S y m m e t r yI n c o n t i n u u m p h y s i c s i t i s c o n v e n i e n t t o c l a s s i f y m a t e r i a l s y s t e m s b y m e a n so f p r o p e r t i e s w h i c h a r e i n v a r i a n t u n d e r c e r t a in t r a n s f o r m a t i o n s , c a ll e d s y m m e t r yt r a n s f o r m a t i o n s .

D e f i n i t i o n . L e t M S = (~ J', ~ , F ) b e a m a t e r i a l s y s t e m . A f u n c t i o n A i s c a l l e da s y m m e t r y tr a n s f o r m a t io n f o r M S i f t h e r e is a p r o c e s s P A C ~ s u c h t h a t , w i t h

M S a : = H M s ( P A ) = - (,~', ~ a A , F A ) ,t h e f o l lo w i n g c o n d i t i o n s h o l d :

S i )( s 2 )( $3 )

A E I s o ( , J ) ,~ A = A - * ( ~ ) ,

A " F ( P ) ---- F A ( A - * ( P ) ) f o r a ll P C ~ .W e s a y t h a t M S i s A - s y m m e t r i c t o M S A .

T h e c o n d i t i o n s S 1 - $ 3 a r e e q u i v a l e n t t o t h e a s s e r t i o n t h a t M S a n d M S a a r em a t e r i a l ly i s o m o r p h i c . H o w e v e r , w e i n t e n t i o n a l l y c o n c e a l e d th i s f a c t i n t h e a b o v ed e f i n it i o n i n o r d e r t o k e e p d i s ti n c t tw o c o n c e p t s h a v i n g s i m il a r m a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o n s a n d y e t q u i t e d i f f e r e n t p h y s i c a l m e a n i n g s . I n t h e l a s t s e c t io n w e c o m -p a r e d t w o d i f fe r e n t m a t e r i a l s y s t em s b y i n v e s t i g a ti n g w h e t h e r a m a t e r i a l i s o m o r -p h i s m e x i s t s o r n o t . H e r e w e s t u d y a s i n g l e m a t e r i a l s y s t e m b y c o n s i d e r i n g a l l t h ei s o m o r p h i s m s t h a t d o e x i s t i n t h e a b o v e s e n s e .


16/35

11 4 A BERTRAMW e d e n o t e t h e s e t o f a ll s y m m e t r y t r a n s f o r m a t i o n s o f a g i v en m a t e r i a l s y s te m

b y W M s , c al le d th e s y m m e t r y s e m i gr o u p o f M S . T h i s t e r m i n o l o g y i s j u s t i f i e di n t h e f o l lo w i n g p r o p o s i t i o n .P r o p o s i t i o n 5 . 1 . Z,v fMS f o r m s a s e m i g r o u p ( w i t h u n i t y ) u n d e r c o m p o s i t i o n .P r o o f . L e t A 1 a n d A 2 be i n ~ S a n d l e t P1 a n d P2 b e t h e t r a n s f o r m a t i o n p r o c es s e si n t h e s t a t e m e n t t h a t A I a n d A 2 a r e s y m m e t r y t r a n s f o rm a t i o n s , r e s p e c ti v e ly ;i . e . M S i s A t - s y m m e t r i c t o H M s ( P 1 ) = (~ -- , ~ ' , F ' ) a n d A 2 - s y m m e t r i c t oH M s ( P 2 ) z ( J - , ~ " , F " ) . B y $ 2 a n d t h e d e f i n i t io n o f th e c l a ss o f p r o c e ss e s o ft r a n s f o r m e d m a t e r i a l s y s t e m s w e h a v e t h e i m p l i c a t i o n s :

P 2 ~ ~ ~ A I * ( P 2 ) ~ ~ ' ~ P 3 : = A I * ( P 2 ) o P l C ~ .L e t H M s ( P a ) = (~ --, g ~ ' " , F ' " ) . T h e c l a ss e s o f p r o c e s s e s a r e r e l a t e d b y t h e f o l l o w -i n g c o n d i t i o n s , w h i c h a r e e q u i v a l e n t :

P E ~ Kr


17/35

M ater ia l Sys tems 115h o l d s f o r e v e r y P C - ~ . I n o t h e r w o r d s , t h e f o ll o w i n g d i a g r a m is c o m m u t a -t i ve :

A-*

Fig. 6

T h e m a p p i ng 7 n is c a l l e d t h e i n je c t io n i n d u c ed b y A a n d is g i v e n b y t h e f o r m u l a7 A ( z ) = t O M s ( A - * q ~ M s (z ) o t 4 ) .

P r o o f . L e t P b e in ~ 1 a n d l e t z = t O M s ( P ) . A c c o r d i n g to t h e f o r m u l a f o r YAi n t h e s t a t e m e n t o f t h e p r o p o s i t i o n , w e h a v e

7 4 " tOMs(P) = t O M s ( A - * " C p,w S" t o M s ( P ) ~ P 4 )= t o M s ( A - * ( e ) o e ~ )

= t o Z a - * e ) ) .T h e l e f t- i n v e r se o f 7 4 i s g i v e n b y 7 J -I = t o M S " A * 9 r de fin ed on -~A :--- -7 4 ( ~ ) . I n f a c t, t h e d e fi n in g r e l a ti o n s fo r 7 4 a n d y ~ y i e ld f o r al l z

7 4 ' " 7 A ( z ) = tOMS A * " q~4 " [ , O M s ( A - * " ~ M s ( Z ) o P A ) ]= t O M S " A * 9 q~A " t O A " A - * 9 ~0Ms(Z)~Z

T h e r e f o r e 7 4 i s in j e c ti v e . T h e u n i q u e n e s s o f 7 4 f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t W M sa n d t o 4 A - * a r e w e l l- d e fi n ed f u n c t i o n s o n 2 ; q . e . d .W e n o w c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e t r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s P . 4 i s r e v e r t i b l e .

D e f in i ti o n . L e t A b e i n th e s y m m e t r y s e m i g r o u p JZ Ms o f a m a t e r i a l s y s t e m M S ,s u c h t h a t M S i s A - s y m m e t r i c t o H M s ( P 4 ) a n d P 4 i s r e v e r t i b l e . W e c a l l t h e s e to f a l l f u n c t i o n s A w i t h t h i s p r o p e r t y t h e s y m m e t r y g ro u p c g , s o f M S .

T h e s y m m e t r y g r o u p i s n e v e r e m p t y , b e c a u s e i t a l w a y s c o n t a i n s t h e i d e n t i t yo n ~ r e l a ti v e t o t h e n u ll p ro c e ss . T h e s y m m e t r y g r o u p is c o n t a i n e d i n t h e s y m m e t r ys e m i g r o u p , a n d , f o r r e v e r t ib l e s y s t e m s , b o t h s e t s c o i n c i d e . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i -t i o n j u st if ie s t h e n a m e g r o u p .ropos i t ion 5 . 3 . ~ M S is a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n .


18/35

11 6 A BERTRAMP r o o f W e f ir s t c o n s i d e r t h e a s s e r t i o n t h a t A 1 9 A2 i s in fgMS w h e n e v e r t h e r eh o l d s : A 1 , A E ~MS W e h a v e s e e n i n P r o p o s i t i o n 5 .1 t h a t A 1 9 A 2 is i n ~ f f M Sw h e n e v e r A~ a n d `4 b o t h a r e i n ~ M S , w h i c h i s c e r t a i n l y t h e c a s e u n d e r t h e a s -s u m p t i o n f r o m a b o v e . W e s t ill h a v e t o v e r if y t h e s t a t e m e n t t h a t A [ - * ( P A 2 ) ~ P A ,

~ i s r eve r t i b l e i f PA~ an d PA~ a r e r eve r t i b l e . Th e p r oc es s A ; - * ( P A : ) i s r eve r t i b l ea c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 .2 c ), a n d t h e c o m p o s i t i o n o f r e v e rt ib l e p r o ce s s es i sr e v e r t i b l e a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 3 .5 . T h e a s s o c i a t iv i t y r e s u lt s f r o m t h e f a c tt h a t c o m p o s i t i o n i s a n a s s o c i a t i v e o p e r a t i o n , a n d i t i s o b v i o u s t h a t t h e i d e n t i t yon ~-- is in f~MS.T h u s , i t r e m a i n s o n l y t o s h o w t h a t t h e in v e r se A - ~ o f a s y m m e t r y t ra n s f o r -m a t i o n A C f q M s a g a i n is i n ~ M s - L e t P A b e re v e r t ib l e , a n d c h o o s e a c o n t i n u a t i o n/~ s uch t h a t / ~ ~, PA i s a cyc l ic p r oces s . M or e ov e r , P i s i n ~ i f and on l y i f P o / ; o PAi s i n ~ , a n d t h is is e q u i v a l e n t t o th e a s s e r t io n t h a t P o / 3 i s i n ~ a a n d , h e n c e ,t o t h e c o n d i t i o n t h a t A * ( P o f i ) is in ~ . N o w l e t M S a - ~ = ( ~ - , ~ A - , , F A -O : =H M s ( A * ( P ) ) . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 4. 2 c ) A * ( P ) i s r eve r t i b l e and a p r oces s Pi s i n ~ w h e n e v e r A * ( P ) i s in ~A-~, i .e . ~ A - ~ = A * ( ~ ) . O n t h e o t h e r h a n d , t h ede f i n i t i ons o f FA an d FA-~ y i e l d

A . F A ~ . A * ( P ) = A . F ( A * ( P ) o A*( /~) )= F A ( ` 4 -* A * ( P ) o . 4 - * . . 4 * ( / ' ) ) F A ( e o ~ )~ - F ( P o t ; o P A ) ---- F ( P ) f o r a ll P C ~ ,

a n d w e c o n c l u d e t h a t A - I is i n fqMS; q . e . d .Proposi t ion 5 . 4 . L e t A b e i n ~ ffM S a n d 7 A : ~ e _ + ~ b e t h e in j e c t i o n i n d u c e d b yA . 7 A is b i je c t iv e i f a n d o n l y i f A i s i n t h e s y m m e t r y g r o u p ~#MS.P r o o f I f A i s in fqMS w e h a v e

7 A ( z ) = ~ O M s ( A -* q ~M s (Z ) ~ P A ) f o r a l l z C ~ .B e c a u s e PA i s r e v e r ti b le , w e c a n c h o o s e a c o n t i n u a t i o n / ' s u c h t h a t /3 o P A i sa c y c l i c p r o c e s s i n ~ . A s s h o w n i n th e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 5 .3 a p r o c e s s P i si n ~ i f a n d o n l y if A * ( P o f i ) i s i n ~ . T h e s u r j e c t iv i t y o f tOMS a n d t h e r e l a t i o n6 0 M s ( P ) = ~ o a ( P o P ) t e ll u s t ha t 7A i s s u r j ec t i ve an d hen ce b i je c t i ve . O n t he o t h e rh a n d , l e t u s a s s u m e t h a t A i s i n J g ~MS and t ha t 7A i s b i j e ct i ve . B y de f i n i t i on , tO~si s s u r j ec t i ve , s o t ha t 7 A ' O ~ M S = O JA A - * i s s u r j ec t i v e a s a f u n c t i o n f r o mi n t o ~ e . T h i s i s t r u e o n l y if~ oA i s s u r je c t iv e . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 3 .3 ~ e n : =t nA( ~ ) equ a l s ~ i f and on l y i f PA is r eve r t i b l e ; q . e . d .

T h e n e x t p r o p o s i t i o n e x p la i ns m o r e p r e c i se l y t h e r e l a ti o n b e t w e e n ~ M Sand (#Ms.Proposi t ion 5 . 5 . T h e s y m m e t r y g r o u p f l u s is t h e m a x i m a l g r o u p in t h e s y m m e t r ys e m i g r o u p ~ M S , i .e . ~ M S c o n t a i n s e v e r y o t h e r s u b g r o u p i n ~ M S .


19/35

M ater ia l Sys tems 1 17P r o o f . I f ~ Q o ~ M s i s a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n , t h e n t h e r e h o l d s

A E ~


20/35

1 18 A BERTRAM

O n t h e o th e r h a n d w e h a v e~ A , " ) ' A 2 ( z ) : t O M s [ A 1 * " q ; M S " O ) M s [ A 2 - * " C f lM s ( Z) o P 2 ] ~ P I }

= O L ~ s { A i * A 2 * 9 M s (Z ) o A f - * ( P 2 ) ~ P , } ,w h e r e w e h a v e s e l e c t e d t h e id e n t i t y o n ~ f o r q~MS ~ tOMS.b ) T h i s r e s u lt f o l lo w s f r o m a ) a n d t h e a s s o c i a ti v i ty o f c o m p o s i t i o n o f f u n c-t i ons .c ) F o r e a c h s t a t e z

7 1 d j - ( 2 ) = O J M s ( I d j - * " q g M s (Z ) ~ P I d ) "B e c a u s e P I d m a y b e c h o s e n t o b e t h e n u l l p r o c e s s , w e c o n c l u d e t h a t

71d~,- (z) = tOMs q~Ms(Z) = Id .~ .d ) I t w a s s h o w n i n th e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 5 .2 t h a t

( ~ , 4 ) - ' ( z ) - - ~ o M S " A * 9 ~ A ( z ) .O n t h e o t h e r h a n d

7 A , ( Z ) = O J ms[A * q ; Ms(Z) c P A - ~] .I n p r o v i n g t h e e x i st e n c e o f i n v e rs e s in t h e s y m m e t r y g r o u p , w e h a v e s h o w n t h a tP A . . . . A * ( /3 ) , w h e r e /3 ~ P A i s a cyc l i c p roces s , i . e . ,

t O M s ( P ) = O J M s ( P ' ] ) ~ P A ) = r 1 7 6 ? )f o r a l l P 6 ~ . A c c o r d i n g l y , i f w e s e t z : t~L~s ( P ) , t h e n t h e a b o v e r e l a t i o n s y i e ldV A - , ( 2 ) : a ) M s [ A * ~ M s ( Z ) '~ A * ( / ~

= tO M S A * ( P ~ 1 )= O ~ M S " A * 9 ~ A ( z )= ( T A ) t ( z ) ; q . e .d .

P r o p o s i t i o n s 5 .7 a n d 5 .8 b e l o w d e s c r ib e t h e i n v a r i a n c e o f s y m m e t r y g r o u p s a n ds y m m e t r y s e m i - g r o u p s u n d e r r e v e r t ib l e t r a n s f o r m a t i o n s a n d t h e r e l a t io n b e t w e e nt h e g r o u p s o f t w o m a t e r i a l s y s te m s b e l o n g i n g t o t h e s a m e m a t e r i a l . T h e p r o o f sa r e s t r a i g h t f o r w a r d a n d a r e o m i t t e d .P r o p o s i t i o n 5 . 7 . L e t f t cMS b e t h e s y m m e t r y s e m i g r o u p a n d ~ M S t h e s y m m e t r yg r o u p o f a m a t e r ia l s y s te m M S . F o r e a c h r e v e r ti b l e P i n ~ , t h e m a t e r i a l s y s te mM S : = H M s ( P ) h a s t h e s a m e s y m m e t r y s e m i g r o u p ~ ,M S a n d s y m m e t r y g r o u pf q m s a s d o e s M S .P r o p o s i t i o n 5 . 8 . L e t M S 1 a n d MS b e m a t e r i a l l y i s o m o r p h i c r e l a t i v e t o A w i t hs y m m e t r y s e m i g r o u p s , ) f f M S , , ~ ' m s 2 a n d w i th s y m m e t r y g r o u p s ~MS ~ and .~.ws~,r e s p e c t i v e l y . T h e n

~M S2 : A 9 ~M S , " A - l ,cBMS~ = A 9 ~ M S t " A - t .


21/35

M aterial Systems 1196 Inverse Systems

I n o r d e r t o u s e a c o n s t i t u t i v e f u n c t i o n t o d e s c r i b e m a t e r i a l b e h a v i o r , o n e m u s td e c i d e w h i c h v a r ia b l e s a r e t o b e i n d e p e n d e n t a n d w h ic h a r e t o b e d e p e n d e n t .A s w e h e r e c o n s i d e r c o n s t i t u t i v e f u n c t i o n s w h i c h a r e s e t - v a l u e d , t h e r e c a n b en u m e r o u s p o s s i b i l i t i e s f o r t h i s c h o i c e . I n t h i s s e c t i o n w e i n t r o d u c e a d e s c r i p t i o no f m a t e r ia l s y s t e m s w h i c h a v o i d s t h e d i s ti n c t io n b e t w e e n d e p e n d e n t a n d i n d e p e n -d e n t v a r i ab l e s, a n d w e g iv e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e r o le s o f d e p e n d e n t a n di n d e p e n d e n t v a r i a b l e s c a n b e r e v e r s e d .

i n t h i s chap t e r , ~ -- w i ll de no t e a f i xed ve c t o r space and 9 * i t s dua l space .F r o m n o w o n w e c a ll p r o c e s s e s w i t h v a l u e s in 3 - * c o n f i g u r a ti o n p r o c e s s e s i no r d e r t o k e e p t h e m d i s t in c t f r o m w h a t w e s h al l c a ll e f f e c t p r o c e s s e s .D ef in i t ion . A m ap pi ng /~ : [0, d~ ] -~- ~-- w i th d~ ~ 0 i s ca l l ed an e f fe c t pro-c e s s o f d u r a t i o n d ~ .

W e w i ll u s e t h e t e r m s e f f e c t n u l l - p r o c e s s , c o n t i n u a t i o n o f a n e f f e c t p r o c e s s ,a n d e f f e c t s u b p r o c e s s i n a se n s e s t ri c tl y a n a l o g o u s t o t h a t o f S e c t io n 2 . W e d e n o t et h e s e t o f a l l c o n f i g u r a t i o n p r o c e s s e s b y C a n d t h e s e t o f a ll e f f e c t p r o c e s s e s b y E .D e f i n i ti o n . T h e r e l a t i o n /~ ( C d i s p l a y e d b e l o w is c a l le d t h e constitutiver e l a t io n # o f a m a t e r i a l s y s t e m M S ---- (~ -, v~, F) :/ ~ : = { ( P , / ~ ) [ P E , ~ , E - ( E , d e = d ~ : , / ~ t ) E F P i t o ., l) fo r a l l t in [0, dE. i} . (R 1)

B y c o n d i t i o n ( P 1 ) (s e e S e c t i o n 2 ) ~ ' i s n e v e r e m p t y . M o r e o v e r , F P ) i s non -e m p t y f o r e v e r y P i n # , a n d h e n c e / ~ is n o n - e m p t y . F o r a n u n c o n s t r a i n e d m a t e ri a ls y s t e m , a l l e f fe c t s a r e s i n g l e to n s , a n d t h e c o n s t i tu t i v e r e l a t i o n h a s t h e p r o p e r t yt h a t , f o r e v e r y P C ~ , t h e r e is e x a c t l y o n e e f f e c t p r o c e s s / ~ s u c h t h a t P / z /~ . N e v e r -t he l e s s, i t is pos s i b l e t ha t t w o d i f f e r en t co n f i g u r a t i on p r oce s se s a r e r e l a t ed t o t hesam e e f f ec t p r oces s .

B y d e f i n i ti o n , t h e c o n s t i t u t iv e r e l a t i o n o f a m a t e r i a l s y s t e m i s u n i q u e l y d e t e r -m i n e d b y t h a t m a t e r i a l s y s t e m . T h i s l e a d s t o t h e q u e s t i o n : w h i c h r e l a t i o n s o n a r e c o n s t i tu t i v e r e l a ti o n s f o r s o m e c h o i c e o f m a t e r ia l s y s t e m ?

Proposition 6 . 1 . A r e l a t i o n u < C is a c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n o f a m a t e r i a ls y s te m i f a n d o n l y i f th e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d :( R 2 ) T h e s et ~ ' : = ( P E C ] ' : I / ~ E E w i t h P/~ /~ } is a c l as s o f p r o c e s se s , i . e .

( P 1 ) - ( P 4 ) h o l d ;( R 3 ) r e l a t e d p r o c e s s e s h a v e t h e s a m e d u r a t i o n , i . e .

# Th is no t ion shall be ke pt d is t inct f rom the o ne suggested by PERZYNA 8r KO-SII~SKI


22/35

12 0 A. BERTRAM(R4) i f P# /~ and P# /~2 , and /~3 E E wi th dura t i on de is such t ha t /~3 t )E

( /~( t)} W (/~2(t)} for al l t C [0, de], then P#/~a ;(R5) the set s ( /~(d )[ /~E E, P/~/~} are c losed in 3- for ev ery proce ss P in (3.Pro of . In v i ew o f t he def in it ion o f cons t i tu t i ve r e l a ti on , we eas il y see t ha t con d i -t ions (R2)-(R5) are necessary . In order to show thei r suff iciency, we take a rela-t io n t h a t o b ey s ( R 2 ) - ( R 5 ) an d d e f in e ~ an d F b y

: = ( P ~ C [ 3 E E E w i t h P / z/ ?) , ( R 6 )F P) : = E d ) I /~ E E an d Ptt/~}. (R7 )

The n (R 2) assu res t ha t # r ea l ly is a c l ass o f p rocesses and tha t, fo r each P E ~ ,there exis t s at l eas t one ef fect proce ss E E E such that Ptt /~ . Thu s, F is wel ldef ined on 2~, i ts va lues a re non-e mp ty (by (R2) and (R3) ) and c losed in J (by(R5) ) . (R4) i s a sa tu ra t i on cond i t i on on / z t o assu re t ha t # does no t con ta in f ewere l emen t s t han i t wo u ld have by (R1) i f (R6) and (R7) ho ld ; q .e .d .

Pr op osi t io n 6 . I t e l ls us that the func t ion (3J , ~ , F ) ~-> # (wi th # g iven by (R1))ma ps t he co l l ec t i on o f mater i a l sys t ems on to t he co l l ec ti on o f r e l a ti ons on C Esa t i s fy ing (R2) - (R5) . We now show tha t t h i s mapp ing es t ab l i shes a one- to -onecor respondence be tween the two co l l ec t i ons .Propos i t i on 6 .2 . The mapp ing ( J ' , ~ , F ) ~ / t i s in jecti ve .P r o o f . Le t ( ~ , ~ 1 , F~ ) an d ( ~ , ~ 2 , F 2) b e ma t e r ia l s y s tems , an d l e t/ zx an d / ~ 2be the co r respond ing cons t i t u t i ve r e l a t i ons . Suppose t ha t / t~ equa l s / t 2 . For everyP C #~ , t here ex is ts an /~ i n E such tha t PtzIE; t he re f or e, P # 2 E a n d P E # 2 .C o n s eq u en t l y , # 1 Q ~ 2 , an d an an a l o g o u s a r g u men t s h o w s th a t ~ 2 Q # 1 .As a conseq uence o f the def in it ion (R1) Fa P)eq ua ls th e s et (/~(d) ] J~E E, P/a~J~),a s w e l l a s F2 P) = ( d ) l S , e m ) . B y f l l f 12 E l ( P ) and F2(P) co inc ide .T h u s ~ -----# 2 and F1 = F2, so that (~-- , #~ , F~) = (J - , ~2 , F2) ; q .e .d .

Propo s i t i ons 6 .1 and 6 .2 perm i t u s t o speak o f a cons t it u t ive r e l a t ion # andi ts co r respon d ing mater i a l sys t em. The descr ip t i on o f mater ia l beh av io r by mater i a lsys t ems o r by cons t i t u t i ve r e l a t i ons i s comple t e ly equ iva l en t , and we cou ld havefo rm ula t ed t he en t i re t heory o f mater i a l sys t ems in te rms o f cons ti t u ti ve r e l a ti ons .This fac t i s par t icula r ly use ful in the d iscussion of inverse system s wh ich fo l lows.l f /~ is a r e l a t ion on C we deno te it s i nverse by /~ -1 C E i.e. PtzE


23/35

M aterial Systems 121De f i n i t i o n W e c a l l a c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n / z i n v e r t i b l e i f -1 a l so i s a cons t i tu t iver e l a t i o n . W e c a l l a m a t e r i a l s y s t e m MS i nve r t ib l e i f i t s cons t i tu t ive re l a t ion i si n v e r t i b l e . W e c a l l t h e m a t e r i a l s y s t e m c o r r e s p o n d i n g t o -1 t he inve rse sys temo f MS.

B y P r o p o s i t i o n 6 .2 , t h e i n v e r se s y s t e m o f a n i n v e r t ib l e s y s t e m i s w e l l d e fi n e d ,a n d t h e i n v e r se o f t h e i n v e r s e s y s te m i s a g a i n t h e o r i g i n a l o n e . B o t h s y s t e m sd e s c r i b e t h e s a m e m a t e r i a l b e h a v i o r i n a n o b v i o u s s e n s e . F o r i n v e r t i b l e s y s t e m st h e d i v i s i o n o f t h e v a ri a b l e s i n t o d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t o n e s i s a r b i t r a r y . T h i sf a c t i s e x p r e s se d b e s t b y d e s c r i b i n g t h e s y s t e m b y m e a n s o f a c o n s t i t u t i v e r e la t i o n .U n f o r t u n a t e l y , t h i s is n o t a l w a y s p o s s ib l e . T h e t h e o r y o f p la s t i c it y w i t h o u t s t r a i nh a r d e n i n g p r o v i d e s a n e x a m p l e o f a n o n - i n v e r t i b l e s y s te m . A s w e s h a l l se e inSec t ion 9, the e f fec t ( s tr e s s) does n o t d e te rm ine the con f igu ra t ion p roc es s (p la s t i cf l o w ) , n o t e v e n u p t o a n a r b i t r a r y f a c t o r .

I f w e w a n t t o k n o w w h e t h e r o r n o t a g i v e n m a t e r i a l s y s t e m i s i n v e r ti b l e , w ec o n s t r u c t i t s c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n b y ( R 1 ) , i n v e r t i t , a n d f i n d o u t w h e t h e r o r n o tthe con d i t io ns (R2 ) - (R 5) a re fu l f i ll ed . I f th i s is the ca se , the inve rse sys tem MS_ Ic a n b e c o n s t r u c t e d b y ( R 6 ) a n d ( R 7 ) . H o w e v e r , t h is p r o c e d u r e c a n b e s h o r t e n e db y m e a n s o f th e f o l l o w i n g th e o r e m .T h e o r e m 6 .3 . Let MS ---- ( J- , ~, F) be a material system and its constitutiverelation. They are invertible i f and only if the following conditions hold:(R8) the effect of the null process is single-valued;( R 9 ) i f Plt~E and P:tzE, and P3 C C with the same duration is such that P 3 ( t ) C

(PI( t )}W {Pz(t )} for all tE [0, d~], the,, P3C ~ and E(d)~ F ( P 3 ) ;(R10) the sets {P(d) [ PE ~, PlzE) are closed for every EE E.P r o o f . ( R 9 ) a n d ( R 1 0 ) f o r / ~ a r e o b v i o u s l y e q u i v a l e n t t o ( R 4 ) a n d ( R 5 ) f o r - 1 ,r e s p ec t iv e l y . I f ( R 3 ) h o l d s f o r / ~ , i t d o e s f o r - 1 . W e s t il l h a v e t o p r o v e t h a t t h e se tA : ---- (E E E ] 3 P E C, P/~/~) i s a c lass of processe s w i th va lues in Y , i f and on lyi f ( R 8 ) h o ld s . ~ i s n o t e m p t y , a n d b y ( R 1 ) /~ i s n o t e m p t y , a n d h e n c e A i s n o t e m p t y .A l l p r o ce s s es o f A s t a r t w i t h t h e s a m e i n i t ia l v a l u e i f a n d o n l y i f (R 8 ) h o l d s . I fPI~E, t h e n b y ( R 1 )

P ]t0,tl E ]t0,tl f o r ev er y t G [0, de].T h u s A c o n t a i n s a ll s u b p r o c e ss e s o f it s e l e m e n t s , as d o e s ~ , a n d f o r e v e r y / ~ E Athe re i s su re ly a con t inu a t io n , wh ich a l so i s the ca se fo r eve ry P E ~ wi th P/z/~.Hence , A i s a p roces s c l a s s ; q . e .d .

W e n o t e t h a t i f ( R 8 ), ( R 9 ) , a n d ( R 1 0 ) h o l d f o r a m a t e r i a l s y s t e m , a t r a n s f o r m e ds y s t e m d o e s n o t i n h e r i t t h e s e p r o p e r t i e s a u t o m a t i c a l l y , e s p e c ia l l y n o t ( R 8 ) . T h u st h e p r o p e r t y o f i n v e r t i b i l i t y i s n o t p r e s e r v e d u n d e r t r a n s f o r m a t i o n s . C o n v e r s e l y ,a n o n - i n v e r t i b l e m a t e r i a l s y s t e m c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a n i n v e r t i b l e o n e , e v e nb y a r e v e r t i b l e t r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s .


24/35

1 22 A . BERTRAMI f a m a t e r i a l s y s t e m f a il s to o b e y o n l y c o n d i t i o n ( R 8 ) , t h e n w e c a n r e m o v e t h i s

s h o r t c o m i n g b y r e s t r i ct i n g t h e e f f e ct o f t h e n u l l p r o c e s s t o a s i n g l e t o n , b y d e c l a r a -t i o n . T h e c o n d i t i o n ( R 9 ) i s n o t s o e a si ly c ir c u m v e n t e d ; i t i s v i o l a t e d in t h e e x a m p l eo f p l a s ti c i ty w i t h o u t s t r a in h a r d e n i n g .

7 . U n i f o r m S t r u c t u re s o n th e S t a t e S p a c eU p t o n o w t h e s t at e s p a c e h a s n o t b e e n e n d o w e d w i t h a li n e ar , m e t r i c , o r t o p o -

l o g i c a l st r u c t u re . T h e r e f o r e w e a r e n o t y e t a b l e t o c o n s i d e r c o n v e r g e n c e o f s e-q u e n c e s ( n e ts , fi lt er s) , o r e v e n C a u c h y - s e q u e n c e s i n ~ , o r c o n t i n u o u s f u n c t i o n sf r o m ~ e i n t o a t o p o l o g i c a l s p a c e . I n o r d e r t o d e f in e r e l a x a t i o n p r o p e r t i e s o f m a t e r i a ls y s t e m s , i t i s v e r y h e l p f u l t o u s e t o p o l o g i c a l t o o l s , a n d i n t h is s e c t i o n w e w i l l i n t r o -d u c e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e s o n t h e s e t o f e f fe c ts a n d o n t h e s t a te s p a c e .

L e t u s c o n s i d e r a m a t e r i a l s y s t e m in s u c h a s t a t e t h a t w e c a n p e r f o r m a c o n s t a n tp r o c e s s ( f r ee z e ) o f a r b i t r a r y d u r a t i o n . T h e a c c o m p a n y i n g t r a j e c t o r y in t h e s t a tes p a c e w i ll c o n t a i n s t a te s t h a t b e l o n g t o t h e s a m e c o n f i g u r a t i o n b u t d o n o t h a v et o b e a l l id e n t i c a l . T h e p r i n c i p a l g o a l o f t h i s s e c t io n i s t o g i v e a p r e c i s e m e a n i n gt o th e s t a t e m e n t t h a t t h is tr a j e c t o r y c o n v e r g e s t o a r e l a x e d s t a t e . T h e r e f o r e w eh a v e t o m a k e p r e c i s e w h a t i t m e a n s f o r o n e s t a t e t o l i e i n a n e i g h b o r h o o d o f a n -o t h e r . T h e f o l l o w i n g s u g g e s t i o n s e e m s t o b e q u i te n a t u r a l : o n e s t a t e Z l i s s a i d t ob e n e i g h b o r i n g a n o t h e r s t a te z2 if t w o c o n d i t i o n s h o l d :( i ) ~ '=~ - -- - N . , , i.e. w e c a n p e r f o r m t h e s a m e p r o c e s s e s s t a r t i n g f r o m e a c h s t a t e ,

a n d(ii) t h e e f fe c ts o f a n y p r o c e s s in ~ z i s t a r t in g f r o m z l a r e n e i g h b o r i n g t h o s e t h a t

w e o b t a i n i f w e s t a r t f r o m z 2 w i t h t h e s a m e p r o c e s s.B u t w h a t d o e s i t m e a n f o r e f fe c ts t o b e n e i g h b o r i n g o n e a n o t h e r ? F o r s in g le -

v a l u e d e f f e c t s t h i s is c l e a r : w e h a v e a s t a n d a r d u n i f o r m s t r u c t u r e o n t h e f in i te -d i m e n s i o n a l l i n e a r s p a c e J - . W e p r o p o s e to li ft t h e u n i f o r m i t y f r o m f t o t h e s e tg o f a l l n o n - e m p t y c l o s e d s u b s e t s o f 9 _.F o r t h e c a s e in w h i c h t h e b a s e s p a c e J - i s e n d o w e d w i t h a m e t r i c d , H A US DO

Documents

Material Systems - A Framework