Matematicki list 1996 XXXI 1

7/30/2019 Matematicki list 1996 XXXI 1

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1996-xxxi-1 1/18

OBABETIITETbA TIPETTIJI ATHI,IUI4MA

1. Ype,uul,turno rlo3tlBa HacratHllxe l{ nporlecope MareMarl{Ke, Kao I'{ ocraJleql4Taoue Ia [aJry cnoje npttlore 3a JIHcr: '{JlaHKe o.ua6paHe 3a'qarKe,3a.EarKe canpttjer'auux ttrcil;yna v MareMartt\Kl{x raKMl'lHeILa, 3aHuMJb}lBocrl{ trrg Pyxonucrace He Bpahajy.

2. MameitamuuKlt lucm HaNfelteH je clltu yqeHHu]{lvla IV-VIII pa3peaa ocHoBHe

urone. Jllrct r,BJIa3r,l Ixecr nyra y roKy lllxoJlcKe ro.qllHe x ro: 15.09, 01 .1] ' 15.12'01 .02, r5.03. il 15.05.

3. flo3l4BaMo Bac Ha npernlaty n lt'lame.uamuqKu nucm h y c"ne4ehoj tttxo.tt

cxoj rollrUu. O yclonlrUa npeTn'ltaTe Uxone he 6tlrlt 6laronpeveHo o6asetLltelre. CSe

nnSopuarluje o ycJloBr,iMa llperrtJIare Moxere ao6llT14 lla

renei[oH Jlpyuffna MareMarilt{apa Cp6uje 0l l -638 263,

4. Hapyu6xHa la Mameuamu4Ku Jl.ucm ce [IaJbe n]lcN{cHI'IM rlyrcN'r IIJIil TeJIe-

{ouou .(pyurrra MareMar}{qapa. Ynlare ce Bpue Ha

xnpo paYyH Ilpy[rrea MareMarHt{apa Cpduje 40806-678-0-78700,Beorpar, Kner-MuxarutoBa 35/IV.

5. O6aseuranauo Bac Aa Moxere llopy\r'1Tl{ ,{ ocla.fia ]naaILa .Ilpytttlna NlareMaTuqapa Cp6lrje. 14u$opvarlnje o rllM 16,{arbvMa Nloxcre npouahn y noce6riort Kala.noryr.fiAarsa ,[pyursa 3a ilKoJIcKy 7996197. roal.'lHy.

6. Mole ce noBepttout{ MameLil.amuqroe Jlucmo Aa lrl;lvlllpe cBa .qyroBall.;r.

7. Cne npnrore, npttve46e l napyu6ltHe c.tt:drtr uctlb)uudo Ha a.qpeoy:

Mareuarraqxu lucr, KHer-MlIxaI{JIoBa 35/lv, rl.n. 728, 11001 Beorpau.

CA]IPXAJt. lp Mupjaua Tnpuh: PeHe .[exapr (1596-1650)2. op IIaile Mnadenoouh: llpanttlta r6lrpa x npoll3lo.qa3. PaYyHapv

1

38

4. Tecrosl,t l,rr MareMaruKe 3a npoBepaBalbe creqeHol'3HabaH npunpeMalbe npttjevHor l4clrlffa 33 ynl{c y cper}ly lllKoJly lo

5. 3a.qa{x ca nprljeltHor I4cnHTa 3a ynl{c y cpeAne uKoJIey Cp6uju, nyl{ 1996.

6. MareMarn,{ Ka TaKMl,r.i eEa: 2 7. L--aBe3Ho'l aKMU'{e}be7. O.ua6paun 3a4aUil8. KoHKypcHr,r 3a.uaur{g. 3aHtrMr,l,tBocrl4

10. Harpa.qHu 3alaraK 6poj l44I 1. [I]axoBcKr.,r nxQopt.tarop

. 192l

. .28' '30

rpeha olpatta Kopt{ua



JIPYIIITBO MATEMATI4qAPA CPEI4JE

MATEMATI,IYKI,I JIIICT

3a yYeHprKe ocHoBHe uKoJre

loquHa XXXI, 6poj 1 (1990)

l,hlarlr mecr nyra ro.{t4rnrre

I{3.trAJE ]IPYIIITBO MATEMATI4TIAPA CPBI4JESeorpa,u, KHer-Muxat:loBa 3b/IV, n.n. 7ZB

I-lanHtr ypeAHr{K: dp IIaerc MrcdeHoeuh

OAronopnn ypeAullx: Bojuc,tae Andpuh

Yrasollr ypeAHr.rITBa:

.-fopda-tLa_Eojoeuh, Jlt11ouup Blroeuh, Op Mupjana ?npuh - ceKpemap,Xetarc Jaudpttuh, Pyttcu4a llaenuheeuh, Padocaae Ilewoeuh, Mupa' Ilonoeuh

Cra npana yMHoxaBana, npemtaMrlaBar]a ri npeBot)eH,a 3aapxaBa

.IIpymrno varcvarzrapa Cp6u.ie

odpaaa sa payyHapy: dp llaene Mauoeuoeuh u dp Mupjana bopuh

Oclo6olleHo nlahana nopesa Ha npoMer Ha ocHoBy pe[eE,a

Penyoauvror cerperapujara 3a Kynrypy cp cp6uje 6p. 4l 3- 186-03 oa l t . l. l 973. ro.qlrHe

Jlp Mupjana bopnh (6eorpat)

PEHE IT,EKAPT (rse6-r6s0)

Je,qaH oA HajBehr4x MareMarr.{rlapa PeHe .Ilexapr po,qr4o ce rayrronpe 400 ro,q?rHa y yrJreAHoj flreMrdhxoj ropoAr{qr4. Cna6ujer a.qpaBr}a

y JIeT].{H,CTBy, BL{Ure Ce nOCBeTr4O IilXo,.taMa Hefo $I,I3u-rKoM ja.la6y Tena.Ka.qa je 1612. roluHe rranycrrro urKo.rry, ,[,exapr je aa ouo BpeNle uMaoKoMnJreTHo o6pa3oBaBe ilt {r.4no3o(triljc, r",rarer,{aruKe, je3rrKa, reoflorilje. . . 3acr.rhen AoraAamrir{M y.{eH,eM oH ccr uaKparKo, 6aqfio na yo6rvajeHaI4na.quhKa yxrrBali,a Koja cy npnpoffra ocaMr{aecTol.o,qlrurBarll4Ma. Onaj,[exapron n€pr4o.( xr,rBora je xparxo rpajao rr KaAa ra ce 3acu.rrro oA-.rry.rr4o je, aa 6n rrMao Mano Mnpa. lra rr,uc y par'! Taxo je noveo je.uaH;narajau Aeo r+eforJor xlanora*tojnrr.ixJr xrrBor. Y rol,r xunory (uror.{3rJre.qa napaAor{caxr{o) oH .ie rjaIa3ilo N,rr.tp r.t oJIN{op.

Izlurepecan:rHo je Aa je go cnor HaFHa.{ajHr.{.ier varevarr4eKot or-

Kpuha Ao[rao y raKBoM aM6rrjeHry. Eopanehl.r ca cnojoNr je.cuHur\ora yHoj6ypry Ha ,[yHaBy carbao je 10. leqera6pa 1619. ro.rrilHe rpr.{ cHa.Je,qaH oA ra rpr4 clra je 6vo ra ce npr.tMeHr,r aJrrc6pa y reoMerpr4jr4.Taxo je pobeHa aHarurr.{sra reoMerpi4ja. Metyyruu, o.q rora rpeHyrKaqo ny6rnroBarsa paAa y xojer'a je cne ro o6jamneHo rrporrJJro je nyHux18 ro.quua. .I{exapr je y r.ae};yapeMeHy 6uo nojunx ca l*{ue paroBa }r,,MareMart{Ka je uuara cpehy" qa unjegaH MeraK He yHnrxrr,r ro orxprhe.

Iicr16 L)cscru r,.s ( l;JU th ru)

Illrauna: ,,IIPL{BPEIHL{nPEFJIE.[', Mapmara Bupjy:ola 3 5, Beorpar



.IIp Mupjaua tupuh MJI XXXI 1

' Tuxcreaehux 18 ro,uuna llexapr ce6asuo Qunoro{njou, paroBarbeMu -6exar5eM og ny,uu" (ear'rapa.nra cy ra rloaHaHraqr,r). Hanracao je ryreuy{unoeoftxy pacnpaBy ,,CBer" rojy Hajnpe unje xreo Aa uraMna 3a xI{-Bora, aJrr,I jy je no HaroBopy npujarema IIIraMnao xacuuje noA Ha3HBoM

,,MeroAa". Knnra Hnje 6nla carJlacHa ca AoKTpuHaMa KaroJII4qKe Bepe,

na je a6or rre jaro HanaAaH oa crpaHe puMcKe upKBc.

Y ornupy oBe Klf,I,re, Kao trpttllor, odjanneHa je ,,feouerpnja" y xojojje y anre6py yKJbyceHa qeJIoKyrIHa KJIactIqHa reoue'rpuja. Osa cfiHteaaa;rre6pe u reor'rerpuje cMarpa ce noqerKoM aHaJII,ITI{qKe reoverpuje, ycrBapu r,r MoaepHe MareMarllre. Y rmi ce nojannyjy I,I3pa3I4 xoju cy cropocaBpeMeHI4, Kao Ha npHMep:

It"+

flplluehyje ce Aa .Ilerapr He nl{ttte a2 v. bz , aln je caMo Kopax Ao rora.flpenuctananev Aexaprone ,,leovetpuje" nugu ce la ie oH orBopl{o tlu-TaBy HoBy o6nacr, aru cy rer racnuje rberoBll HHrepllperaropl'I nocre-IIeHo npeql43upailv aHaIII4rI,IYKy reor..rerprajy ra {opr',Iu y xojoj je un caganoauajeuo. I4aro y onoj rnuru Heua ,,,[exaproBr{x roopauHata", HrlcyyBereHe jegHavune fipaBe t{ KoHycHI{x fipeceKa, IznaK ce Koop,ql'IHarHI,I

cr4creM xoju ce AaHac Hajnume KopI{crI{, Ha3I'IBa ,Ileraptonnu. OcuvtTora, 3HaraH Aeo Krr'r,rre vIaHn reopnja anre6apcxnx je.uHavltra, r,tle ce

HaBoAr{ u,,l]eraprono npaBl,{ro" aa o.upellrnarre 6poja no3llrl'IBHux I'I Hel-arllBHr4x KopeHa (Aexapr nx Ha3r.{Ba- r, t4crnn\rrvw" 14,,:nencrvlurtltM").

Kao uro ,ie 6no rylaH xl{Bor oBor Heo6n'{uor YoBeKa, raxo je 6l'ro ueo-6nqan u xpaj IiefoBot xl{BorHor nyra. Malo HanaAaH, a Bt{Ile cJIaBJ}erIo,uryqno ce 1649. ro.[L{He .qa no lro,r6u MJIaAe IIIBeAcKe rpanuqe Kpuc-

Ttr{He nocraHe [LeH npr{BarHl,{ yyr4TeJb. Haxatoct, y3 KpaJ}eBcKL{ .qo59KcnegoBaJlr.{ cy r,r rerxKl4 .uaHI4 3a BeJIuKor .I[exapra. Ilpxao je npnnarue{acoBe KpaJEI4u,r{ y neAeHo-x.rra,unoj 6n6ll.toreqn {rpa:r'tn1a uuja qa,ra

Hr{fre Aa ce uaru neh). Ha raxnoj xlaAHohta flpl{po.qHo la ie lo6norarrarberu,e nryha oa xojer je r.r yr'lpo {e6pyapa 1650. ro.ulrHe. Blto je roBat4cra ly,uau npaj xl,rBora je,qHor or uajnehux cBercKLIX MaT'eMarl'Iqapau clulorot[a.

JIp llanne Mna^qenonuh (Eeorpal)

TIPABI,{JIA SEI,IPA 14 TIPOI43BO.IA

Y rnrareua:rzqn ce .recro cpehy aagarlu y rojr.rva rpe6a oApe,quru6poj elelreHara Hexor KoHarrHor cxyna, Ha npr,rMep: 6poj ruecrorlra(f-pennx6pojena vujra je a6rap qu{api l"aru* aa.qaroM 6pojy unu, 6pojpacnope.qa HeKoJraKo rraxoBcxr4x {rzrypa Ha npBoM pe.qy ilraxoBcKe ra_6ne unv\6poj noqena HeKoruxo Krrrrra yrreHr4rlr.rMa je4nor pa3pe.ua r4r.q.Taxne raAarKe HaarrBaMo 3aAaquMa npe6pojanama, a Aeo MareMarr.Ixexojtl ce 6asz vero.qfiMa aa peuaBarle aa.qaraKa npe6pojanamu 1ra H. ,ur.ooruax) Haeuna ce rofi1uHqmopuKlt.

rlpn oapetyanany (npe6pojararry) 6poja eleveHara HeKor cxyna A,ereMeHrLIMa ror cKyrra npuApyxyjy ce pe.qoM npr,rpo.qHr,r 6pojenra I, Z,B,... . Axo ce ro npr{ApyxrrBage 3aBprxaBa ca 6pojer,l n, ollta KaxeMo Aacryn ,4 rrvra n eJreMeHara.

MJI XXXI1 Ilpaeutta s6upa u npouseoda

IJa

2 3 n-I n

lt lJaaaa

YuneHzqy ,qa cKyn A nva n eJreMeHara oauaqanahevo ()BaKo: lAl = n.Hane4auo Ha noyerKy HeKoJrr4Ko jeAHocrasHrax flpnMepa olpe?Iasa]ba6poja eneueHara KoHayHux cxynona.

Ilpnrvrep 1. Ha roluro HaqHHa ce 7 ncrvxoJroBaKa Moxe noAerr,rrtr,Unojuqu yrleHuKa, raKo Aa csaxn lo6Hje 6ap je,UHy olonry?Pewene: MoryhHe no,qere cy I + 6,2+5, J+4,4+J, b+ 2,6+ l,npu treMy npw cadupaK yBeK o3HaqaBa 6poj onoraxa xojr'.qo6nju ,rpnrayyeHr4K. Ilpeva roue, nocroju 6 paalnrnr"* noA.nu.

Ilpr.rrvrep 2. Ha roluxo HaquHa ce rpojuqu yqeHr4Ka Moxe no.qeJrlrrv8 ucrnx oJroBaKa, Taxo.qa npnn go6r,rje ruvHo je,uHy, u ou ,uun""olrr*.unojnrle .qo6uje 6ap jeqHyt

.Pewene:. Axo nprov yceHr4Ky aavo jeqny oJroBKy, ou,qa ocraloj.unojzrln rpe6a no.uelnrn 7 orosaxa, u ,o ,. np.ru nperxoAHoM npr4MepyMoxe ypa.qr4rv ua 6 HarIr.{Ha.

4aa+ bb.



- ,[p Ilaeae Maadenoeuh MJI XXXIT

Ilpnruep 3. Ha xoll.rxo HarIL{Ha ce rpoJl,Iqn yrIeHI'IKa Moxe noAe.filrrrr

8 ncrux oJIoBaKa, raKo Aa cBaKl{ oA }u4x Ao6uie 6ap je,uuy ononry?

Pewene: Ha cnqjlehoj cJII{qu npl4Ka3al{a je noAela 8 ucu'rx oJIoBaKa

rpojuqn y'IeHI{Ka, raKo Aa flpBll yqeHux qo6uje ABe, apyrl4 '{ernpl4 I4

rpehu ,une oJIoBKe.

...lorool..Cre uoryhHe noAeJIe rpt{Ka3aHe cy y cre,uehoj ra6enu (6poj c o3HaqaBa

6poj noaera):

Ilpnra .qo6nja .Ilpyrra u rpehn go6t{jajyI oronry | + 6,2+ 5, 3 + 4,4 + 3,5 + 2,6 + I o

2 oronre L+5,2+4,3+3,4+2,5+l 5

3 olonxe 1+4,2+3,3+2,4+r 4

4 olorre l+3,2+2,3+l5 oronaxa I+2,2+1 2

6 olonaxa l+1 I

Yxynno 2t

.ilpyeo peuslbe'. Ocav olonaxa nope?;auo y HI{3 I{ y paaMaIII'{Maraar'aefy oJIoBaKa, xojnx nlta 7 , tpe6a nocraBI4TI,I ABe ,rlperpage" xao Ha

cle,qehoj cJrr4ur,r.

. t . 'l . ' . 4 . 5 . 6l . t.

Orna.rur'4o re pa3MaKe 6pojeruva I,2,3, 4,5, 6,7. Ilo.qela Ha cnfiql4ogpebeHa je paavaquvra 2 v 6, ri. 6pojev 26. Cse noAene Aare cycle.qehutv 6pojeogua

12, 13, 14, 15, to, 17,

_ 23, 24, 25, 26, 27,

34, 35, 36, 37,

45, 46, 47,56, 57,.

67.

Trax quoqn{peHlax 6pojena wa 21, ra o,qarJle cJIeAn Aa je ll Spoj no,ueJla

8 lrctux oJIoBaKa rpojrau,u yqeHnKa, TaKo .{a cBaru or nux 'qo6-raie 6apjeqHy oronxy, je,uHar 21.

flpnr"rep 4. Irler,refy rpaAoBa A w B wwa rpr{ It{perrHa rryra, r.lar,lefyrpaAoBa B n C r,rMa IBa Ar4peKrHa nyra, a uar.aefy rpaAona C v D uwa.qBa .ulrpeKrHa [yra.

(a) Ha KoJrr4Ko Har{r.rHa ce r{3 rpaAa _4 voxe aohy y rpa\ C?(6) Ha KoJrr,rKo Hatrr{Ha ce r€ rpaAa ,4 uoxe ,uohy y rpag D?Pewene: OeHa.ru],4o rryreBe lralrcfy rpaAosa

Aw

B 6pojeawva 1', 2n 3, nyrene uauefy B vr C 6pojenuva 4 w b,a nyreBe"i*"5y C m D

6pojennva 6 r.r 7.

(a) JeqHoc'raBHo MoxeMo 3a[r],rcarr4 cBe rryreBe raeue]y A v C. Tocy:

14, 15, 24, 25, 34, 35.

Tnx nyrena l''aa '6= J . 2, rj. 6poj rryretsa nelrefyy A n c jeauax je

ilpol43BoAy 6poja nyrena navefy A tr B rz 6poja nyreBa rravefy B tr C.(6) Cwr nyreBr{ usuefy A tr D cy:

146, 147, 156, 157,246, 247, 256, 257,346, 347, 356, 357.

Tax nyrena utv:;.12=3.2.2, rj. 6poj nyreBa navefy A tr D je4Hax jenPoI43Bo,{y 6poja nyrena narurefy A V. B, 6poja nyrena rarlrefy B w C *t6poja nyrcaa uar"lefy C u D.

llpnvrep 5. Hq Korturco tnurHa ceg ucmux o/ro'qKa, g ucmux c.%a'au L0 ucmux KrLUea uoey nodenumu mpojutgu JqeHuta, rnaKo da cearuod mux doduje 6ap jedax npednem coare epcme?

Peweê: Y npl'"repy 3 clro unqelr,r Aa ce g ncrux orloBaKa MoryrroAeJrurrr rpojuqra yqeHr{Ka Ha l+2+g+4+b+6 = 21 Haqr.rHa. AHarrorrro.uo6Njavo .qa ce g rrcu{x cBe3axa Mory rro,{eJrr{ru rpojraqn yyeHr4na Ha1 + 2+3 +4+ 5 +6 + 7 = 28 Ha.rr.ma, a Aa ce l0 ncrux Krlfira MorynoAerrr,rrr,r rpnjraqu yveuuxa'Ha l+2+3+4+b+6+Z*g = 86 Haqr,rHa-AHalorHo Kao KoA o.qpet)znana 6poja nyrera ratr,aefy rpaAoBa, A v Dy npuMepy 4, go6njano .ua je 6poj roAera g orosaxa, g cseaara ,{ 10KFEHTa rpojnqu yqeHuKa je,qHax 21.28.36 = 2116g.

MJI XXXI 1 [Ipaewa sdupa u npotneoda





nr

Paulaupu MJ] XXXI 1

RACUNARIU ovoj rubrici objavljujrr se:

(1) konkursni zad,aci iz raaunarstva u kojirna se traZi od eitalaca da napiSu programeza njihovo reSavanje, kao i reienja. tih zadataka;

(2) najuspeliji programi naiih eitalaca koji se odnose na neki slobodno izabrani za-

dat ak;

(3) zadaci sir takrnraenja i druge zanimljivosti iz raiunarstva

3' sa tastat.re se uditava prirodan broj n i n prirod'ih brojeva medju kojima subar dva razlidita. Sastaviti algoritarirsk, Seimr i'apisati"progrrr; ko:i .;"irri_'olaskom kroz niz odredjuje drug' po veliiini vre-dnort" i.li p;1";;".,'* p"tbrojeva:, 9,6; 7;6, 2,_ispisuje: D1"g" po velidini vrecl'ost je 6. 1n*"rr;. ,,jednorn obraianju vrednostima koje Je uiitava:., i u""-i...ti"-".i".i# u".*,25 poena; re.enje korisienjem niza i u d'a ili iiie prolaza x.or"r.rr-aor,o"i zopoena.)

4. Videii konkursni zadatalr broj 54.

REPUBLIEKO TAKMICDNJE IZ PIlOGIIAMIRANJAZA UEENIKE OSNOVNIH SKOLA

Beograrl. 18.05.1C96.

REZ UI,'fATI TA K MICEN J.A

I ttagrurlo, 1. Krrolcvi,': Nikota. f)S "J,,vair Stcrija I'opovi6''. Vrsac:-2. KojiriNikola, OS "Uziaka republika", Reogracl; 3' Mihajlovii Nikol:r, OS "UiiteljTasa", Nii;4. Stojkovii Duiarr, OS "Uaitelj'lasa", NiS;5' -Vasovid Miroslav:r,OS "VladirrilrPeridValterr', t'riiepoiie; 6. Pavlovid Vesnzr, Oi "Vozd I(aradjorrlje",Ni6; 7. Jantii Iv:rrr, OS "D,rsitej Obra<1ovi6", Vranje;

\Inr,grat),a:8, R.:redov:rtli:r:v Saia,05 "SavaZebeljm", Patrievol $, PeiiroviiMarko. OS "FilipFiiipovii", Nis; 10. X{ovaievii: Andrija, OS "Ui,iikareptr}.rlika".Beogracl; 11. Jcivid Nikol::r, OS "Aca N{ilojevit!",Aieksin:rr; 12. Mitrovit tr{ris-t,r.,i.L1) u;, !1rg l\alarlzrr;',l"irot.; 13. G;lvriloviri I''fil:rtr'LlS "Svetriz;rr tr'{;rlkovii",Kraglrjevac;

\Il nLtgrodr 14. Kov:ricvit': h{:rl'leo^ OS "Votd I{arar-l.iorr}je", Nii; }.5. Jo.!:rrtErne, Oi "lvo {,ol:t f:iibar'",5rthot,ic;i; 10. Mlatlr:noviir Nikola, O5 "Voi,d iiaraci-iord.ie".ldii: -.i.?' !?.ii;arr.ii Zo!1,;11t, r,)i'1r,, i,ol.r l{il>ar", Subotica; 18. Nijernt':tvitil)Jord.ir:, OS "Svr:i:i Sair", lir';rgujevar:1

PoLualo'. l1l, Gaieviri f,:rrko, OS "Mirko Jovarovi6", Itragr.tievac; 20'Vel<oujLasto, OS "Vtit VIJR", Suboticzrl 2L. Jov:rlovi<': Milarr, OS "Milo6 N{itrul'ii",Vellka F!ana; 22, Obt:rktteiev M:rrko, OS "Zatko Zrenjanin", Novi Satl; 23-'Cvetkovid Du6an, OS "Stevan Duki6", Novi Beograd;-24. Ea.ukovit': Marija, OS"Vuk Karatliii", Kragujevac; 25' Ristii Bratislav, OS "Vuk liaraclZii", Pirot.

, ZADACI

L U nizu cifan"a a1r a2r a3, . . . svaki 6iart poiev od detvrtog jeduak je poslerJljojcifri sugre tri prctlro<hra €l.anta :ijriza. Sastaviti algor-italxkrt Sernu_ i napisatiprogran koji za zadate ci{re al, a2, a3 odredjuie 1996-ti dlan niza. (15 poena)

2. Sa tastature se uiitava prirodan broj rr .i koordinate n taiaka na x-osi. Sas-taviti algoritarnsku lemu i napisati pr'oglarn kojim se odredjuje tadka s ua x-oiikoja irna osobinu da je zbir rastojanja ta6aka levo od s do s jednak zbiru ras-tojanja taiaka desno od s do s. (Re5enje bez koriS6enja niza donosi 20 poena,koriddenjem niza 15 poena.)

Reienje zaclatka I sa Reput_rliikog takmidenja

prograrn N-izvar

a, b, c, d, i: integer;begin

write('Unesi tri prva broja (cifre):');readlrr (a,6, c)i:= 3rel)eat

i:=i*lrl := (n { l; + c) mor! lOa:=$;$:=c;c:=d

until i = 1996writeln('Trazeni broj je:', d)

endJ J-'r *'

li"r..R"5"ttjr ostalih zadateJo bi6e objavljena u sredeii'r brojevi'ra Maternatiikog

Milan Cabukapa

KONKURSNI ZADATAK IZ IIAEUNARSTVA BR. 54Niz 1001011001101001... se forrnira na sledeii nadin. prvo se piie l, a natinponavlja

slededi postupak: ve6,napisar.-r.r.":"i.pis,je se sa des.e "t.".r"t"": t":ise od prethodnog dobija tako ito se 0 zameui-sa f i t ". O, ;. *-"-'"

I + 1O + 1001 + 10010110 + ....Sastaviti algoritarnsku iemu i napisati programr koji za clati btoj n4= 1O0O ispisujeprvih n ilanovb niza. (40 poena)

. -.-Re5enjeJrottku'srtog zadatka treLa poslati rrajkas[ije do 15.10.1996. rra adresuMATEMATICKI LIST, i('ez Mihailova sslil, ;;."?2 s, r rooo 8"";; NJ t ou."tinapisati ime i prezime, razred, skolu i nresto"a naznakom " RA6uNARSTVO, .

I



MJl XXXI 1MJI XXXI 1 Tecmoeu l1

3A IIPOBEPABA}bE CTEIIEHOT 3HAISA

ilnPfiIIPEMAI$EIIP}IJEMHoTI4CIII4TA3Ay[I4cycPE'utsyUKoJIy

Iln:rana1,I 3alallu cy pacnope?pH[ y IBe rpyfle A Lt E Lrfitr y rp]I rpyne A' 6

r,r s. i.{eHuul{ xojr,r raruo orroBope Ha cBa rrr'ITarba 1{ peue cBe 3aAarKe }B rpyne A3acJlyxyjygo6pyoqe}ry}43AaTeo6nacrr,t.I]rrarpl,I3a'[au4I4srpyna6uBcyHemTo;;il.-6;'pyjr"; aa he-onra recroBr,t nouohu yqeHruilMa ,[a ce crcreMarcK]r npt{npeMe

3a ycfieffuo norarame npujevHor l4cfll'ITa 3a yn]4c'y cpeArly IIIXoJIy'

IV PA3PEJI

ONEPAIII4JE Y CKYNY N.KBA.UPAT 14 nPABOyIAoHI4K'

A

1- I43pa'{YHaj BPeAHocr }arpa3a:

ia;'ooti - isi ' z; (6) 628 + 4e5 : 5 jinl zs+'3 - 667; (r) 630 : I + 213;

tri .rso :,5 + 101'5; !b) s-oo - 328'3 + 3e;i.j a+o +-azo , a - ior; (x1 zzo - 240 : (60 * 20)'

2. (a) Cadepu 6pojene: fieruaecr xllJbala nercro [I$Aecer ner ]l lerplecer ceraM

xilJlara llET'najnehr'r ntrounppen' opoi'(6) Oa lnecra rplInecer [Be xilJba.ue oEy3M]4

3. Peu}'r jegualuHe:(a) , isoza - 53032; (6) '.- 2sf,')$ - 68.

i;i8b00o- n-7b) (ll1e52*c-128-53e2)ir') sez - (a - ::lei = 7a5; (b) 6ei + q11 - a) = e58'

.

4.o6ur'aKBaApaTaje32cm.I4opavyHajo6Nr',tnpandyraoH'IKa.tl{laJe'uyxl,{Ha,una nyra Beha or cipaxr'rue KBa,upara, a ul4pl{Ha jegHaxa crpawu4l'I KBa'upara'

5. Earura npanoyraonor o6nuxa ,qyxl{He 26m u lllllpl'tHe 18rn orpalexa ie

nJIeTeHOM Xl4tIOM.(a) Konr.rxo je r'aerapa xuqe notpe6no?

ioi ront*o iouta orpalo aKo 1 ?n xltrtre craje 35 'urnapa?

iui Xon"*o je notpe6uo cty6ona 3a orpaAy aKo oy nocraBJreHl'I Ha cDa(a 2?n?

3. (a) KoM 6pojy tpe6a ,qo.uarr 3928.ua ce Ao6ilje 6poj 8982?(6) Oa xor 6poja rpe6a oly3erl.r 13856 aa 6u ce go6uo 6poj b213?(l) Kojr.t 6poj rpe6a ory3eri{ oA 29000 aa ce 4o6uje 6poj'AOsZ1

4. Korr4Ko Ha cJrr{r{I4 1 nMa npaBoyraourrKa t{ KoJ'4Ko cy ol ror 6poja rmgparn?

CJr. I

5. flpaBoyraouux, r'je cy Aur,lernuje g cnr u 4cm, tpe6a pacehr,r Ha rpi,r flpaBo_yraoHr4Ka raKo ,ua ce or IL14X Moxe cacraBrrrl4 KBaApar. lloxaxr' to 4ptaôr. Konnxuje o6r,n',r ror xnagpara?

B

1.3a Ko''r'r(o

ce pa:hr.rxyjy Hajnehu vernopo4r,rftperrN 6poj u xajuarsn uecroquQ-peuu 6poj?

, 2. 36np rpr.t 6poja je 1434. OIpeAt{ re 6pojere axo je :6trp rrpBor t{ .uwror_ 908,a o6lrp apyror r.{ rpeher 1128.

3. Bohre cy eacafeHe no 20.KoMaIa y pe4y. na je y nohuaxy racaleHo rpr,r p.e4a

)jalte ,.r ga je y cnaxou pely ro 25 BohKn, ituaa Or,r y nbnrmxy Arno qO nohxiz' nnue.hoJil.lKo Je BoRxn racafeuo?

4, Illaxoncxa radna ''a 64 noJla. 06l.'l cnaxor KBaapara je r2cm.I4apavyuajodnu 4ele [axoncxe ra6le_

_-- .5.rlerp,[ecer noAyaapl'4x KBa.apara c.rpa'ilue 3 cm rpc6a cJlox],trl,t ra*o .qa ce

.uool'{Je fipaBoyfaox'r najreher lroryher o6nua. Koje cy 4lrr,leuauje ror npaBoyraoH[Ka14 KoJrtlxr4 je rueror o6uv?

rgCTOgil I43 MATEMATIIKE tt

l. lV "" t'A"\'-,i '' I

B i. ,/,

V PASPE.iI

CKyIIOBI4: CKyIIOBIIE OIIEPAUI,{JE 14

TEOMETI'I4JCKI4 CKYTIOBI4 lAqAKA.

A

\ 1' .ll,t,",t"9tY.leilcr-ror rnjarpaMa {crr4xa 2) oapeau eneMeHre cKynoBa:\ (a)(Mr'Arl)u/': (r) i\/n{/vLrp):I (B) (,&i u,v)\ ^p: (r) M U (l/ \ /,i

1. (a) O,EpeAil r6tlp npournola Il4'8 14 KoJTr'lYHr4Ka 894 il 3'(Oj Ori"at p*nt*v 6poja 5423-r{ e!,rana lg9iena

2')48 A t6t'7'-

iu; oli.l" ionp roiruvnr'rxa g12 t't 3 l4 Korl4qH''tKa 6pojena 732 tt 4' ' -,

z.(a)Jeaax6pojjera356Behilo.q,Apyror,aE'l'txo8a6upjeST4Olpelr'rre""6pojese.

(6) 36up lna 6poja je 956, a lbrD(oBa pa3rll'IKa ie 832' O'[peAI'I m gna 6poia'



MJI XXXI I Tecmoeu 13

LJl. 2

2. Aarl't cY cKYIroBl'r:

ereMeHTe CXyrIoBa:(a) (Au B)nc;(r) (AnB)\c;(r)B\(luc);

3. Aarn cY cKYnoBl4 AO.[peAt{ eJIeMeHre cKYnoBa:

A - {a,b,c'd}, B = {c,rl,e) u C = {b't'"' l)' O'upeAu

(6) .4 u (B \ C):(r) A\(BnC);irrt ta t'B)\ (/ u R)'

- {rf "€ Noir < si x E = {r : r € N;r ) z;x'57}'a,'b! au n, n i s',.a\ B ; B\A n Hau'praj Berros

arjarPav.4. l4;ParYnaj BPeEHocr 1{3pa3a:

(a) (z"'

" - oj,6+ 3 "(4' r - 8' s) aa x^=.ro' a = 2)

iol iu'c, * bj : s - 2' (o - 2' b) za a = 8' b =2'5. 3a oyHKutliy /(") = 912r,.1 .€ tvn OopMr4pai raorl4uy' uaupraj

rarpavyuaj xornxo je 3IQ) - /(3) + 4J(1)'

o. Haqpraj ABe KpyxH'{ue kt(o1,2an) v k2(o2'3cm)' rge ie otoz

Olpean npeceK KPYXHI4Ua'

B

1. o.uperl4cKynoBe A'ttB,axo je A uB=\1'2'3'4'5'6'7)' /\B={1'5'6}u AnB ={3,.1}.

2. On 100 y'reHl.tKa, 10 y-{eHuKa ullje yrnno Hl{ HeMa'lKl't' un Spauqycxu Jesttx'

tteuaqxn je y'ru,To tt v"tii'l", "';;'';J';;tt dt' Koruroje

v'reHnr'ay'rr'rno u rtrpatt

uycxM r'l neinravru je:ttr?

3. Ha ilpaBoi p,[are cv DeloM TaqKe: M' N' P vr Q oape'q]'l:

(a) A/ P n IVQ; (o) l!/ P \ A/^r;iij ir"" ntblr (PM \ Mt{); (r) A4P \ NP;

iii it"q,v/jnirrie\nzrvi' (tr) t;tzp\ Nq)nrrQ'

4. AKo je J@ -2) : 3c - 5, olperil: J{")' J@ + 5)' /(o)' J(2) !'{ /(5)'

5. (a) IJ.praiyhx qerupl4 lyxr y Kpyry' noAerllt ra Na Hajrehn ruoryh 6poj AenoBa'

KonuxN je taj 6Poj?(6) 3anumN cB,{x 16 TpoyrJIoBa roje noxeu yoqilrl4 Ha criluu 3'

1. Axo je AnBnC -{1,4}, AuBuC - It,2,3,4,s}, B\ C = {2,s} t,4 \ C = 0, op-pep.u eJreMelrre cryna O.

2. CBaxn yqernK jegnor ogenerm yru 6ap jeAaH oA rpI,r crpana jesuxa, n ro:21 y'{u eHrnec(u, 11 eHmecK}t l,r pycxn, 18 pyc(14, 2 yyeHr,rKa yqe cBa tplr jealKa, a

14y'{u

OpaHr{ycxu. Konuxo y{eur4xa r4Ma y roM o,[ener6y 14 KoJrr4Ko r6ilx yqr4 Tar{HoIBa crpaHa jeeuxa?

3. (a) Konuro ur'aa 'rpoqra{peuux 6pojera xojllr..ta je npna un{pa AerLr.{Ba ca 3,rpyra ner6r4Ba ca 5, a rpeha re[bvBJ ca z.

(6) .I[ar je uns 6pojena 4, T, lO, 13, ... yo\r{ npaBlfiro Hr43a, Aonyutr ra ca joutrer qfiaHoBa il cacraBu o,q lbltx MarilqHu KBaIpar 3 x 3.

4. Aaro je 15 HexoJu4HeapHux TayaKa. Koluxo oxe o,qpely.jy:(a) nparux; (6) Ayxr4;(B) nonynpaB?rxj(l) rpoyrrola;

(r) panHu;(!) verropoyrnona?

. 5. IUra cne uoxe$frlr fipeceK rBe xpyxnuqe? paar.aorpn cne uelyco6ue no.noxaje.qBeJy xpyxHuqa.

VI PA3PEII

uEJil.{ EPOJEBI4. TPOyTAO.

A

1. .Ilaurlt pa3Jrr.rKaMa llellx 6pojera: IS*9 = 6;3- s - -2;0 = 8_8j7 - 1O = *3; 52 - 3O = 22; npwlpyxrr ogronapa,iyhra cxyn 6pojem: N, l/o, Z+, Z-,Z. Sannnyr ycJToB Aa pa3Jrrr(a flpilflala cxyny Z-.

2.3anirutr.r:ia) rpovlauu noAcxyn cryna Z;(6) .uno'rnarur noAcKyrr cKyna Z-;(r) 6ecxouavan nogcKyn cxyna Z;(r) 6ecrouavau nolcKyn cxyna Z-.

' 3. Hal(praj npary ?j, na ficraKHlr,ra.rKe rpl.{.upyxeHe 6po.lenuua:(a) 0,1,-1; (6) _3,_2,2,3;(B) -5,5j (r) -7 < r < 3.

_ a. I-la 6pojenuoj ocr4 o.qpelt{ 4 napa cilMerpl.runnx dpojena y oj{Hocy Ha fioqeraK6pojelHe oce. na rrr,r cy.ro n napoBr.r 6pojena (-3,3), 1ro,-royr Karo ie 3oBy raKBu6pojenu?

s, I,l:rparyrraj:

t"r rfi'i- i,, *, r- rf r- l- f r;\

(r)6: l- rlr; rrl.t- fr*r-rlt rifrr,).(r) l- r.zsl.l-0.41* 1. r- 3r' z ' 3''

rpa{ r

= 4cm,

CJ1. 3



154 3adauu tR Jilomeilamuqe MJI XXXI 1

6. nofiyHr,r r:a6nuqy:

r*1 lr-21 lrl -5 -Jt -trtI0

-13

-t')

7. Peuu jegnavuue u HejeluaquHe:(a)lrl-2= 5; (6) lo- lrl= 0;(u) i,l+l-sl=l-rol; (.)[.3+51-lrl=lol;(r) I *s+ 4- 1l * lrl = | *6+ 10- sl; (b) I'l < s;

ra (a) r € N (6) r e Z. Penert*' uejeguavttue npuKaxu na 6pojeruoj nparoj.

8. I43pa.{yuaj yrJroBe rpoyrna ABC aro je ucnyneH ycrroB:

(a) *r - 131o, a B je 3a 107" MZIsl{ o,[ ar.(oj c, = 70o, a cr.ruerpane yrrloBa a u B rpaye yrao o.ri 125". Koia crpaHl4l{a

je xajr"rama?(l) Yrnolra xor jeasor reMeHa jegHaxoxpaxor rpoyrrla croie y pa3Mepl{ 3 i 5

(peruene je,unoeuavuo).(r) Crnr'.rerpana npaBor 14 jegxor ourpor yrna fipaBoyrJlor rpoyrJla rpaAe yrao

o.u, 100".9. Axo cy ,qBe crpaHttue rpoyrJla llcm ,r 2cm, o!,pe[\4 cxyrr 6pojena rpehe

crpaHr4qe aKo cy penerua 4eno6pojHa.

5

1. .I{onpun pe-ieHl4ue..ua rrpllena 6yly rarua:(a) O.u ,una IIo3r.Irl4BHa 6poja rehu je ouaj .

(6) O.u ana HerarilBHa 6poja uarril je onaj. ....".......:.(n) nyna je rtaim o,u.cBaxor . 6poia, a seha o,{cllaKor..'.. ".. 6poja.(rj CnaxN HeraruBaH 6poj je . or 6rsro xor .... ' '... 6poja.

2. Ynope,qu lnl ca ll,l axo je(a) a=-5ttb=-3;(n)a=-10ub=7;.

(6)a=7ub=-9,(r) a=-1 +5tr6=-(-4) ;

5. Cnorsaurru ymo npr4 npxy jeAuaxoxpaKor rpoyrJla il3Hocr4 1080. tr4apavynajyrao Kora rpa.uil cl4MerpaJla yrJla I4 HopMaJra Ha Kpax xoja caapxu l4cro reMe ocHoBr,rqe.

6. yrroBr.r rpoyrira peJIoM ce pasJnr(yjy 3a 12o. I43paqyuaj yrlone ror Tpoyilra.7. Yrao KoA TeMeHa C rpoyrfia ABC wtttoctt Z5o. CuMerpana crpxu4e AC

ceye crpauxUy AB y ratxu D. Axo je <ACD,(Ba nyra nehu oA <BCD, oApeAr4yrroBe a M B. (Koprcru cnojcrno cnuerpale gyxr.r.)

E. Hopuane noByr{eHe r€ reMeHa ocHoBuUeHa

KpaKoBe jeqxaxoxpaxorrpoyrJlarpaAe yrao o.q.40o. O.upe,un yrJroBe ror jeluaroxpaxor rpoyrJra. (KopNcrra crojcrro

ocue cr,rMerpuquocru je,uHaxorparor rpoyrna.)

MJI XXXI I Tecmoeu

VII PA3PE,U

KBA,UPAT 14 KBAIIPATHI4 KOPEH PAIII,{OHAJIHOI EPOJA

TII4TATOPI4HA TEOPEMA

I

I

\'{/ \L

i

I

Ilr

X

2. I4opavyxaj Bpe1lrocr t43pa3a Ha IBe AeUlrMaJre:

(a) -s'lz - ?2rt) - z":(n) -3, - 2\/i - (-3/5);

3. Peuu jeaualnxe: (a) 4r2

(n) 3lc2 = a;l6

A

1. I4rpavyHaj BpeAnocr ri3pa3a:(a) -2. 4" + (-2)".a - (-r.5),;(n) -e . 2" + (-4)" .2 - (-2.s)2;

(6) (-3), . 4 - 4. 22 - (-o.s)2:(r) (-2") .4 - 2.42 - (-4.s)2.

(6) (-z)' - 3J3 - (-z'fi);(r) (-:]), - 2\/i - (4,/t).-16=o: 161

2"'-33'.t-' 3- - 8'

(rt 12 :2L = ^f;- " .2u25

(a) 3a

xrglrra?

(,q) " = -(*1 + l0) u 6 = -2 - (5 -e).3. Penr4 jesHavuxe: (a) -a-l*2-Gl +lr] =-l-r0+ill;

(6) lr-21=3; (s) l-0*r*1ol= 11* el4, Cacrlttst4 jegrta,runy u PeuH:

ru,lrly je nnaheuo 20 Al,rHapa u lour 1 [€He Klll4l'c. Kt.r.ltttt'tl xollt';t

] xynuo, 6yge'r'a, rpyle Hererbe5

4. Aa ru je rpoyrao flpaBoynr]r aKo cy MepHn 6pojenu HeroBilx crpaulrrla:(a) 12,18,16; (6) 15,2o,25; (B) 1s,20,18; (r) 12,16,20.

5. (a) O,upenu rarery b fipaloyilror rpoyrrra axo je a * ,/a, " = ,/3t.. (6) O6uu npanoyraoHtrKa je 28ott., a ur4puHa b = 6crn. Oapelra AyxtrHy,

,ur4JaroHaJry H noBp[r.rHy flpaBoyraoHfixa.(r) Ilonpmuua npaBoyraoHuxa je 3o0cm2 u b = 2oan. O.Upelu Ayxr4uy,gujarouary u g6tru npaBoyraoHr.rxa.(r) .[r.rjaroxana t<Ba.upara je a,,/lcnr. Olpelr.r crpaHuuJ, noBput4Hy n o6uu

KBa.qpara.

(l) CrpaHnqa KBalpara je 3Jign. Olpelr.l lujaroHany, noBp114Hy u 661u;y.KBa,qpaTa.

B

1. I4rpavyuaj BpelHocr t43pala:(6) fIpBe ttcj.len,e aovzrhttua.ic ttorpotnltra

5:JI ocralra,'r'rrehe uc,&e;le r rrorol oora'l'Kzt l't 3a \ernpry llerefty.lo.i Je oora,lro 12()984r,rltapa. Ko.ntaxtttut 6y4eroM .je paettolal-ana ra 't1otulahllua? 'l ,gr-^)'

I'!



!i':

l6 3ada4u La n4ameilamuKe t,ir

.F

, (w:zs* F:)' ,m

MJI XXXI 1 MJI XXXI 1 Tecmoeu L7

I \ Lzqrt II 3flo \ l,/ I'-'\\Vla

5. l4apaou crpauurqy, o6nr,a

*,(; * /*)2. I4apavyHaj dpojerny BpeAHocr rcpa3a:

tt(a) 0.s . W + t^

. L, - lt 30. t = -); fal | . rfa .", - 3o2 a 4a* r ra c = _3.3 3 t-'5

3, KoHcrpyl.ruu rna.4par. axo je:(a) P

=29cm2

;'(6) P

=26cm2

; (n) a -,/{! "^; (r) a = dii"nt.4. I4apavyHaj lreno3lrare einelrenre ca cJrr.{xe 4:

/

Hr,rr{oM, Ko'crpyr{u}r l{oBr4 K,arpar. ,ebxaxr,r ra HoBr{ KBa.qpar r.rMa JIBa nyru-rJny

noBprju4Hy oA rroBprrrfiHe KBanpaTa ABCD.4. Karere npaBoyrlor rp?yrla cy 3rltn u 4rlm. Axo je ra,rxa M y yHyrpaulsocrl4rpoyruIa n axo je yAaJ'eHa o1,d6e xarere scm, xonr,xi;e rarra "rt'.vr{"*ro

ooxlrnoreryre?

5. fipur.,rem.r nr*:111,l,:{^1"-orynl{ rr_r,r:pavyuaj noBprx14Hy lpoyma vnjrr cyuepuu 6pojenr,r nyxr4Ha crpauuua 13, t4't4 15. :

VIII PA3PEII

TAYKA, TIPABA T,I PABAH.J]I4H EAPIJE JE,qHAq I,{H E.

A

,l;, fl:1.^ :l=_:.1t1!g 1a ca .r Be_raq Ke. xor n xo je n pa Br4x o4 pcf c Ho ca :

l?.:^l:lunrn.apHr{x ra,raKa, (6) tO xexonuueapHHX raqaKa.o,q KoJt4X Cy rpu xolr,tHeapue?2. Ia ru.t je goronuo pehm:

(a) pasarr je olpcbeua ca rpu tavxe?

(6) paoarr je oapef)ena ca a'se npane?,,, (o) pasaH je jeanorHavHo oapel)eHa npaBoM l.r ra.{xor.4?rxra lre.qocraJe ga 6lr rnpfeue 6lrlo ttcruguro u ragxo?3. Kpajear,r rvxLr AB^ ltaJla3e ce ca pa3Hr,rx crpaHa paBHr4 r. Oapear nyxr{Hynpojexur,rje A'B' aKo je AB - tsrm, AA,'=-'4'r)-|BB, = s._

Crr. 4

r.{ .utrJaroHaJry KBaApaTa

8

300

a

d1200

a

y rfynxqlrjlr nerone noBp-

L. .IJoKax{ ,qa je:(u) li+& < z;

(r) y'e + ,/i < s;

@) \frTG <s:(r)

4. l{aupraj:(a) npaB !,tleilap,(6) ourmp .ur{enap (a = 60"),

., (j) rvn.qile.qap (a = 120.).J Oo.racTM CBaXof Aj{ellpa yoqh ,r.agKy

fio 6crn. Onpe,uil y.[aJrerocr ra.rKe ,4 o.qcnyva.jy je ra ygarueuoc"r a/l?

b. Peur,t jegHavuHe:

A xoja je or o6e crpf,He rue4pn yraJbeHarlruue rlle.qpa y cBa rpfi c.nyva.ia. y xor,t

16)-(38-14r);

-0.s.(r-3);3);

,is

.:rt

,{

'1,

(a) -(3r+ 1s) + toz - 6 - _(s, _(6)5+a"=z(,-!\.. .3r 7' A^

lll ^T:..n'o-"=T+rr'1r) (3r - s)(zr - s) = (rl I )(6r:(t) (r + 1)'- (q - 8)(u 1 e; = sa;(h) r - 2t-5:3-t

6212

Cr. 5

Ha cJil{ul4 5.. Izlopavyuaj noBprrlrHy Srarypa

....^,.9: O.upe.qr,raa xoje npe.unoc.rt4 rTpoMelull4Ber r,rcpa3tr (r_5)(rf z) ilG- 3)2+2'tMaJy JcAHaxe6pojHe npeguocru, a 3a Koje Bpe.(Hocrl.,r npoMeHJ!flBe:.6pojHa BpeAHocTwpasa A - (s"+ s\2 - (qt * 2), je.eaai nyru seha oa 6p"j;;;;;;;;""rrpuruB=(3-r)(r+3) +.



183adaqu tn nameilamuKe

MJI XXXI 1

- 7. Je.uau neua

i;ff -r',:;#ixulfr *y+*i'[mq.ff t"ilr',1?,(!;\n::ft-fi x#:8. Ilyxura nr

;rffi##;;s"{fii'"#Txxr#trTffi.}k"furxtff *i"r,n:::x

r. Flarlpraj xraB

B, ;Ti*#W?,^^ **;Nl*1,*:i#^tn::;2. Haupraj oprr

" Sffij;T"#j, ;-'?xi?t' IY* if"Ti":"* " zr, axo ie:

3. Ayx AB nlonun" hrD.,, _ ^<,

l"t,:.;;fr;;fu;f#iil:ii1,;*';i';ily,;1 yyr"":o (a) 30", (6) 4s.,

4. oape.qrua.iua*n6nni rru.-^"" ^: =""-' orr)'e'ql{,yx}lHytyxu'la

r"t if"p",i,,;""

(B"iiff#:,fi j3H|;X*". peulr je.qHaqure: r" r ^ ^^-

' , -t..."

3 ;':# ; '1:?

:ii:.5 i; [; ]Ti',i*'i:,11;

(")* J=:g:-r)r=3:4;(a) s' - \/A;'T4;TT= 5 _ br.u. Oaney tpe.quocrn npoMelrru.rBe o y jeAua.luun:

(2a _ 3)(3_ r) = (s _ x)(, * o) _ tTaKo .(a je ora exrnna.nenTHa ca je.ulraqnuopr

(r-3)2- t^ t ao

*ru*3*,.+*ru##l#ffi i*** ?,#ix #;

H,#fr:f iffiffi$ffi ,*t*fs,l-**##,'.,*###Mr.rpa tlonorrh r.r pyxr.r4a flall1rheatrh I

I

MJI XXXI 1 Tecmoeu

3A.IIAIIU CA TIPVIJEMHOT }{CNI'ITA 3A YIIUC Y CPEI'TbE IIIKOJIE

Y CPEI4JI4, JYH 1996.

Ia oHAa t{3patlyr"taru 6pojenuy BpeAHocr cpefeudr l'Bpa3a 3a " = - i v y = -3'

4. Aaru cy rpaQlrrllt Jli{HeapHl'tx Syrtruuja: i

fpafuxy

Clr. I

r{a cJll.tul{ orroBapa {oPt'lYna:l) s=2) t=llpn.jer',ruu l{cnt'lr y jeluoj mxonta noJlararTo ie 400 y'reHrKa'-Ilonoxuno je 857o'

u ou'orr* 15% ttlra-cnux 20 floeHa- Kolitro yileHl'tKa I4Ma 20 noeHa.r a Ko'rIl'{Ko

yqeHuxa ullje noloxt'rlo ucnut?

[)curr,rtu .iegualluY(ze - :l)': - a(y +'2\2 'l 26Y - t.

t9

Ha npujer,anov ttcnr,try 3a ynnc y cpentre IIlKorIe y cF"jI v jvn{-ln?9-Ioott'

6nno je np"nnoxeno cne[ehtlx 17 3alaraxa. Hanouu*elro ga je rpelte 3a u3pa'[v 3a-

,Uaruri 6nno 120 Ml4HyTa. y UuJ6y uH{opultcana yrIeHI4Ka ocHoBgl4x IllKoJIa HaBonI4MoTeKcroBe 3aAaraxa ca oBor npujeuror l{cnllTa.

l. \4cnwiaLrt Tar{Hocr HyMepuqKe (6pojelue) jeguaxocrn

t'i * il . p' - 2-2s) - Gi -l)' l ='.

(-2)' + (-2)u + (-3)': + (-3)3.

(4r - 3y)2 - (2, - y) (ar - os)'

2. Vlzpatyuaru

3. Ynpocrur:u utPac

Clr" 2



lvlJl XXXI .t

7. Peurrlr cucr:eM jeaHa.l.{xa:

"*o +r-! _11 .aao x:-u

-_"

-11l I -''8.

9.

,(na paguuxa sa je4au nocao Ao6njy 4o2 ilrl*apa. Jegas je paAt{o 1s carv" aIpyrn 3 caTa 14 30 MuHyTa ,Uyxe o.[ npnor. Koruxo je oapalyo cBaKooI

r6r.rx,axo cy r4M pa.url{ carl.{ l,Icro nlaheHu?

ar.Al4apar

-o3HaqaBa:

l) nr,rcuHy jeluaxocrpaurvuor rpoyrna crpaHur{e o,2) nonynpevulrK ynr4caxe xpyxHr4Ue y nparunrru ur.roy*o crpauilqe a,3) nonynpe'''tK onr{ca}{e xpyxHxue bxo-jeguaxocrpaH,y'or rpoyrJra crpaHr.{ue

4) nonynperurx_ynlrcaue KpyxHt4qe y je4uaxocrpauu,rHl,r rpoyrao crpaHtrqe o.3aoxpyxurn 6poj ucnpel rar{Hor oAroBopa.tr4oparyuarlt 6poj crpannqa n M'oroyrra axo je yxynar 6poj neronr.rx .Ur.rjaroua.raIrer nyra nehu og 6poja crpaur.rqa.

Oxo xpyra .lrja je nonpuu:rLa 64n on2 onilcaH je nparuluu ilecroyrao. I4:pa-ry-HaT}{ noBptlt{Hy TOf UeCT0yrna.

Y tpoy-rny ABC crpauula BC = o = gorr r.,r rmj ogrorapajyha rucuna h" - cnz. I4rpauyrrar't Br.{cl.{HyA6 xoja o,qroBapa crpaHuqtl AC - b = lO cnr.Og xorlxlrqa ilril{e I cTrr cxroru;e}ra je (cacrarneua) $r.trypa_per TECT, xaouro je rrprrxa:axo Ha cJll4ur,r.

WffiffiWI,laparyna:rn:

cn' 2

a) eanperul.ruy r4ene {rrarype,6) noopuruuy r[rrrype-cnona T.l,lâpa-ryuarl,t noBprnilHy npaB{JIHe rpocrpaHe nt{paMr.{Ae, axo je octronua r.rnNqa70cin, a 6o.rHa urltqa l3 crn.

I4opavyuaut fioJiynpeqHilK u Bficlniy BaJtKa KoMe je ocHx npecex KBaIpar, a3anpeMrlHa Y' = 25jtr ctrt3 -

llf:.i.ii _":":Be npaBe xyne je 2,tatr M.rrBa nyra je ayxra o,a Br4cnHe Kyilc.yr3paYyilarH noBp[J14Hy Kyne.

Oxo lome je onucaH nanax. O4pegut'lt o4Hoc noBpull.tHa .ltome l{ BaJ}Ka.

a,

10,

11.

L2.

13"

t4.

15.

16,

17,

2I

*

MJI XXXI 1 M ameuamuu ra ma Kiluuel$a

MATEMATI4qKA TAKMI,I.{E}LA27. CABE3HO TAKMI4AIETbEI,{3 MATEMATI,IKEYIIEHI4KA OCHOBHT{X IIIKOJIA

27. CaBc.rHo raKMlrr{el5e MJIa,[ux MareMarilqapa yr{eHtl-

Ka ocHoBHilx urona Jyrocrawtje ogpxauo je 0f.06.1996.ronlrHe y JIo:Hnr1n. Ha taxuNqeny je yvecrnomlo 33yr{eHnKa VI paspe,qa, 35 yqeH}tKa VII pa3peAa u 44y{eHuKa VIII paspe.ua m Cffuje, llplre lope, Peny-6nrare Cpncxe u Peny6nuxe Cpncxe Kpajuue. Yqeulruncy penaBaJrr4 no 5 3a,qaraKa xoje je npelloxl4Jla Cases-ua xour.rcitja. Bpeue ea rtpaAy 3agaraxa 6uro je 150NrlrHyra, a cBaxfi ravuo ypaleH 3a4araK Bpe.ueo je 20noeHa.

PE3YJITATI4 27, CABE3HOT TAKMI4X{E}SA I43 MATEMATI4KE

VI PA3PE.U

I uaepada'. Ilyxaxaq AHupea, OU ,,Mnne !y6:r'enuh"., Jlajrolaq, 100 noena;Ilaynuh Teoropa, OU ,,Cnern Cana", Xrmuure,95 [oeHa; Crojxonnh llyuan, OIll,,Bojncnar Casuh" , Jlasapenaq, 90 noeHaj Joproaauoauh Manou, O[Il ,.Moma llilja-[e", Xary6nu,a. 85 noeHa:

lI uaepada'. Jonanosnh Heuar, OU ,,EpaHxo PaAuqenuh", HoBu Beorpag, 80noeHa; Cyruh,[ejan, OU ,,Byx Kapaqr,rh", KnaAono, 80 noeHa; Anronr.rjenuh Jonana,OIU ,,hene Ky;ra", Huur, 78 noeua; Byxonuh Hnxoaa, Otll ,,Byx Kapar;rah", KtaAoro,75 noeHa;

III naepada'. Xlrsxoslrh BojaH, OU ,,.IIynaH Jepxonnh", Lln\ttja,65 noeHa;Mrrenxorr,rh Carra, Olll ,,JoraH Kypcyna", Bapnapuu, 65 noeua; Palosanosuh Ca-nera, OIll ,,JoraH Kypcyna", Baprapuu,65 roeHa;

Ifoxeaaa'. Ilerpor Tarjana, OII1 ,,il. il. Iberou", 3pelmuuH, 60 noeHai Toaoporr.rhHrarona, OlJl ,,Yqnren Taca", Huu, 60 noeHa; 9onaxosnh Joaana, OU ,,nocntejO6paaonrh", 3pemaHurr, 55 noeHa; Cxeayuh BpaHxa, OIIJ ,,Epar'mo Pagn'{entth",flaH*reno, 55 noeua; Pr,rcruh Alexcauapa, OtlI ,,J. J. 3uaj", C. Kaltexnua, 50 noega;

VII PA3PEA

I uaepada'. Mecapour Kapona, OIil,,VII B. y.8. ", Cy6orxqa,80 noexa: JlaarahBnaanvrap, Olll ,,]vlrr,ran Paxr.th", Eeorpag, 80 noeHa;

II uaepada: Yrynonuh Jerena, Olll ,,Ml.mona.u frltunh", Barr'eno, 75 noeua;Bpaxyc Joaan, Olll ,,,I[ocurej O6paaonuh",3penau4x, 67 noeHaj

III uaepaoa: Illapuh Branuunp, Otll ,,8. Axceurujennh", Beorpa.q, 64 noeua;O6pa,uoauh Mupxo, OIJJ ,,'hypa Jaxmuh", Kah, 63 noeHa; Panlrh Towracras, Otll ,,8.X. Mruojernh", Kpyna*, 61 noer{aj Manzuh Mmour, Olll ,,Muua nylun", Ba$eso,60 noeHa:



22 3adaqu u3,u.amefi.amtlKe MJI XXXI'I

Il2xggaa: trryIpuT fpuran, OIII ,,Epanro pasnvenxh.., flanseno, 58 noeua; Ko_

caH.upoBar{, 47 fioeHa];

3AltAUr{

VT PA3PE.U

VIIIPA3PE,q

I uaepada: tanrah Byx, OIll ,,,Anexca []auruh.', Kanyfepr,rqa, 96 noe*a; para_xosuh Boraar, Otll ,,Byx Kapaqrh.., Klagono, Ss noeHa;

_ II uaepada'. Craxuh bople, OU ,;8. X. Mr.rnojerl.rh.', Kpyna*, 78 noeHa; Ilanlrh3*lll-:,,9U ,,Mapr.rja-EypcCh;., Eeorpaa, zs noena; Jetpevoruh .Uravr,npr.rle, OItt:mpDe HarorxeBnh", Hoan cag, z5 noeua; lpaooauvxnh Jlejax, otil ,,x..1. [ItnaHau.,,langno, 73- fio_eHa; Ilyrnraxo_srh Mapr.tja, O[t ,,X. J. lllnatiarl;, nui"uo, zo-'r,o""u;CSojgqgrnh Hurora, OIll ,,Cnerlr Cana;, Eeorpag, 70 noeHa; prcroscru kocra, oll],,X. J. IllnaHau", Ba*ero, 69 noeHa;

-_^.-!!l ::y:p:do: Ha[-flepre Crenan, OUI ,,Byx Kapa4nh'., Krrxruiaa, 65 noeHa;bpaKoqeBltn Murf,aH, OIll ,,ntpu Jaruuh.., KoeflH, 65 noeHa; MapjaHonuh Eopuc,OII ,,l4ro Astplrh", Bana JIyKa,6s noeHa; Jlonap Mapxan, O[f'-I;c;;eJG;;gowth..,Cov6op, 65 noeHa; laqesuh Xapxo, OII ,,Mupxo Jonar,roruh.,, kparyjenaq,'o+ rroeHa;

Iloxeaaa: l{rnaroszh Haraua,Otil ,,X. J. [Ilnaxaq.,, Baneno, 60 noeHa; KHe_x-esuh Huxoaa, o[II ,,J. c. frononnh', Bp'rar1,60 noeHa; croju*xoruh lauraqa, o[I

-Jono I{ypcyna", Kparueno, Sg_no€Ha; Mafxorran l4suqa, OII "A"rr.rpr.i. Apurorun..,Coxo Ealm, s.l,T9e{a; Mopuh Ounnu, Oill ,,Csern Cana.., Cp6lrne, sb ,iofril nurpo_3,1h,oL1.1. otlJ ,.'bypa .rlaur,r'r'Ih", .Eeorpal, b0 noer{aj Jlaruh tipuna, oiii ,,"rouu"UBHJfin , Jlo3Ht4Ua, {9 noerraj_.Epajoauh Mapxo, OIll ,,Olra lorornh.,, I_Ir.txuruh,49 noeua; Torrruh PaaMura, OllI ,,Jonan (nnjuh,., Eana flyxa, aS noena: tr{srosuhCana,.OU ,,Mrmou l{pnaucxl.r,., Eeorpag, 47 noetla.

MJI XXXI 1 Mameuamuura matmuueba

yrJla xoA reMeHa l. Axo je 11 cpe,uurute qyxvr BC , t/Bqsnrtt1yxl4uy Dff npexoa, b, c.

5. Aar je je,unoxpaxra rpoymo ABC ca ocHoBr4r{oM AB - Ha npavoj AC je ura6paua'ravxa D raKBa aa je ,4 rcuely C u D. Axo je E raqKa KpaKa BC, raxra ia jeBE jegxaxo ca AD,,uoKa3arlr Ia ocnoBl,ru,a /B nolonu 6yx DE.

VIIPA3PE,U

1. Kojou r-tr4QpoM ce oanpurara 6poj

lrss6 + 21eeo + 3res6 + "' + 1996ree6?

2. PaqnoHarulr 6pojewr cy 3antrcaHr4 y o6ruxy Hlrsa

Yrnp,ulrrr,r npaBilJro no xojelr cy nopefanu rrJraHoBr4 oBor Hil3a, na o.upeAlrrr4 Ha

xojev laecry no pery L. op"j ##3. l(yxlrre crpaHilqa rpoyrJra cy rpr4 y3acronHa nplapogHa 6poja. ,Iloxararr ga

Bl4CnHa iloBytreHa Ha cTpalru4y cpeIl}}€ ,[yxl{ Ient{ oBy cTpaHxuy l{a ABe ,uyxtrxoje ce pacnuxyjy ea 4.

4. Y rpoyrry ABC ie AC + BC = 2 AB. noraoaru ,qa je npana o,upeflena rexr,rureMl{ qeHTpoM yrrilcaHor Kpyra ror rpoyrJra napaJreJrHa ca AB.

5. Ha rycapcxoj xapru nnue: Ha 6pgy Jlararop, uaua.a Jloaxr.rqe, Harra3il ce jegaxxpacr, je4Ha nuna v jeAaH Ay,q. Xpeul,r ol xpacra u 6poj ropaxe Io Jrune, oarfiMcxpeHr4 JreBo noA nparuM yrnoM n r.ta6poj ucro roJl,rxo Kopaxa. Ty c:ranu npnuaxarl 3aruru, nouoBo KpeHrl oI xpacra (a ,uy1y l.r 6poj xopaxe. Ty cranr.t apyrlrrnax! Olpegx cpe,qr{urre ua'aelyy npBor l.{ Ipyror 3HaKa n xonaj! Ty heur nahr.r3a(orrato 6naro. Je4au paa6ojulrx je no raprlr Hauao llararop 14 Ha rseMy Jruny!r IyI. MebyrlM, xpacr, o.q xojer je tpedano Mepur]4 KopaKe, y vefynper.,rety jeHecrao, na ce paadojulrr Bparr4o xyhlr 6eo 6nara. ,Ila je axao r,,tano reouerprje,Hanrao 6u 6naro. Kaxo?

VlII PA3PE.(

1. Hahu cBe nplrpoAHe opojere olnuKa 222...22, Koie MoxeMo npelcranuru y o6-nlrxy r6r.rpa l.urrl pa3Jrr{(e xBaapara gBa nprapogua 6poja.

2. Oapeguru cBe nprpoAHe 6pojene a, 6, c, tarne ga je

l"l+l=r.ab ac bc

3. Ilpupo.qaH 6poj a je raxaB .qa oy 6pojeru 2n+ 1 y 3n + I KBatparu npr4po,[H].rx6pojem. .Iloxaoarn ga je 6poj 5n + 3 croxen.

4. .IIar jeKoHBeKcaHqerBopoyrao ABCD,xo.qxojer je <ABD = 5fi",{ADB:80.,4ACB = 40", a ymo DBC je 3a 30o Behu oA yrra BDC. tlopatyHarrr yraoDBC.

23

!IPaT lparaH, OlIl ,,6paHKo Pagnven[h.., flaHseno,58 noeHa; Ko_OIII ,,Mnnena Kocoaarl", tlla6a4, 58 floeHa; Trenre dna, OIl] ,,jonaira'{eauh M1pxo, Ou ,,Mnnena Kocosaq,., ua6a4, 58 noena; Tre're Ena, O[l] ,,Jonairflonosrrh", YoKa, 5z noexa; Bacraneuuh lianr,rjeri, Our ,,Cu"i, cuuu,., dujruu 6urru,

57 noeHa; Ilepnuruh Benuur.rp, OU,,X. J. Uln;Hau., #;;;;;;;;r;;d;;;";;;;Arexcangpa, olll ,,Mnnena Kocona4", Illa6au,5o noena; r.on"no"un frpai

"nxo,our,,crerr cana", cp6Nne, 50 noe'a; crawyesuh rarjaxa, o[I ,rAqa Anercr.rh.,. A.rrex-

121321432t7'1'2' 7'2's: 7'2'3' 4'"'

1. Kolrrro-uuui UeJ,il.tx opojeBa lr3Mehy 100 lr 10000, o4 roj,x cy ra,{'o rnlt Ull(rpc.jepuare?

2.y rpyni.r

o.n:2n.Ir,yA\I cBaKr4 ce noruaje ca uajuane n ocTarilx. ilouraucuo jey:ajauno (axo A no:uaje F, oula E noiuaje A)-,[oxa;a.rr.r .ua ce Lr3 rc rpyllc Morytn.glojl.rrlt 4 rIoBeKa t{ fiocraBr,rrl,f 3zt oxpyrjil4 cro raKo Aa cBaK}I o,4 lLllx oelr4urvelly cnojux no:uaHuxa.3. BccepHttlt 3a 20 Mtr,.Jy.fit orp,il.4 o,u. cB()f rHe34t.[o c,fa6.ta op:]\a II Jl.ilccc It.l,)ll

gl1)1: 8., ola-xa,Tp'r]r 6p:r,rrror,t op skmf |t. a ca opaxoM le cnopr.rja, .r,c .r.p,lilop314]ror\1 0n ilA'n/lt. L)ape.:rrrrr pactrr.ialle rr4 c.r'i6ra onaxa n(, fHa3]Ia.

4. ll,a',r lc't Poy'ao JBr' '1,jc cy crpaHl'(c AU, BC , a,4 f,ctroM jclrrarc {},rrr\r3 r.a, 6" Tavra I) .je nomroxje HopMerJre u'J TeMer{a B na orverpa;ty s yH1,:rpnss,91



24 Sada4u u3 ntame,ttamute MJI XXXI 1

5. Y paruu je gar xoNnercaH .rer'opoytao n yllyrap l6era 1996 Ta.qa*a, TaKo .qaHuroje rpu o.u rrrr4x He Jrexe ,a jcArroj npasoj." frpor.srorsrruv perocJreroM cna iaMotro {]le rayKe.qyxilNia roje ce.He npeceilajy rvrefycoor_ro. Oril nu.rynar npllyxaBaMo cBe .qoK nocrojr 6ap jclau fl.p raqa*a xojrr ce voxl cnolirr.u nolotryayxlr xoja l{e npeceUa rl.rje4rry o.q nperxo.qHo rroByqeHt4x Ayxu. .Konnxo crroHenpeceqajyhr.rx AyxH noryx,;nr?

PEIIIE}bA

Vl PA3PEN

1. Axo cy re rpu r{u{f;e jelnare 1, oHIa ltvrauo 6pojeueI I l,.t l l2, l12l, tul,21t t,.....t I t9, ll9t. t9l t,9il r, il t{}, I t0l, rot1 .

4 6poja 4 6poja 3 6pja.t[axne, ca 1 i{MaMo r

-+g .4 -F J = 36 6pojeaa. Ca rpu qrntrpe jeluaxe 0 uMaMojom 9 6pojem: 1000,2000,...,9000. Iip"no ror.,,{N1a yKyrrHo B3B 6poja caTpaxeH{M ycJroBIMa.

2. O'nir{nMo ca A u E IBa yoBeKa xojr.r cc rre nooHajy (aro ra grra He trocr.ole, ouga?go_lojo lerilpu r{oBeNa uclylr,aiajy rpaaelre ycnoBe). (:BaKlr o.u $rrx no3lajcJoru no n ny.un urvclly npeocraJlr4x 2n _ 2. OAasae crelln tla ,l , S ,ru,1ynajr'aarre 4ra :aje,qunvxa no3]{aHr.{xa: o3Ha\i.rMo l.rx ca I{u .e. Axo rrocrar!{MoA tl E .ua cele 3a

cro.toMjegax

uacynpor rpyror, a I{ r,r .[ lra np.orrr* auuMecra, oHAa cBaxl{ o.u lr,Irx ,{erBopr,tue cegt,r r,tcllefy crojux norxau"*u. .'

3. Bper,ae xoje neneplr4a rp.{ I,{ 6e3 opaxa ce HaJra3[ y oAHocy 3 : 5 npeMa rpenexy xojeTTlllu" rpyr, ca. opaxoNr (rrpo'rcnoa 6prr,'re rt BpeMeHa i" *o,,.runion_lJar,ur.f_l-t:.:y nyry). Ilpeva roMe, aKo yrynuo rpeve o.q 20 Mr4Hyra noA"nn,I\l"o

"a 8I.:1TT.T serona (o1 no 2.5 NrhHyra), orr.na 3 iarsa aena

'.u.pr,,." ;p;r;;; rpvet r,roe3 opaxa, a 5 TaxB'nx AeJroBa Ber]ept{qa''poBe'e

rprehr,r ca'opaxoM. lto*n!, onurp,ru z.s MilHyra 6prr.ruou ors knt f h, a nocne 12.i r,,lruyra o'prr"".rfr'JI"rllr.Kaxo je 7.5rnir, = .X

"ur", a l2.5tnitt= A arra, To oHa y o6a c.ny,raja npelh:rrryr oA

2-lt.skrnlh = +l,.3ktrtf lt = tArrr = 6?5r,,.24 ' 24' 24.-.,"4' rlpelnoc'ranr'rvo 4a .je 6 varre 04 c (afla,1orHo cc goxrryje y cyrrporl{oNl cry,rajy).Owa'iuvo ca ETavry y npolyxerKy crparrilue AC U _ C, _' g). r:r*uy' o" 1.4E_= 4B (cnl.tKa l). Ta4n js13.1K. Dcpeanrurcocrroul,rqe jegHaxo*|,o*o.ipoyrroAB.E. Ka xo je rar xa i/ cpe,qu sa ayx r BC. ro je 4yx D H cpeln.r niir loriio;.noBC-E napanenHa ca crpaHfiuou-c'. nyxuria-c'rpunuue cE je c * 6. tr{r oreaHarTH3e cJre,qtr ,qa je y onurrev cny.rajy iy*rru Ayxr..r ,fl jelHaKa ancoryrHojBpeAHocrt4 pa3JruKe crpaHr4ua 6 r.r c, no.4efteHoj ca 2.

5' HeKa ce AB u DE cexy y ra\Kr, 14 (cmtxa 2). rJexr je F :ravra oclroBrrueAB raxva M ie EIT naparrerrHo ca AC. Tala jd <CAB: <rFr'1.".n*"r,)1 <C/B_*<CBl (yrnonu Ha ocHoBl.tUfi jelnaxoxparor rpoyrna). O.ua-n,qe jeTPyLao B.EF jearraxoxpax u FE = BE = AD. 'nu*", irxivriJu"-f,ffn *FME cy nogy.qapHtr, ila je DM = EM.

MJI XXXI ] M a me,ua m uu rca ma Kituq e rLa

C;r. 2

1

V i ; TJ. \:iPF, q

cllr iraplrfi 6pojeirre ri ce ir:: .1-Tr.{, rir rr 1i3 191,}ti'n{ crertreH, riiirpilianaiy qrar$por.a

{i (a}i{r ce n lle 3arpillaira uy.r11pi) 11"n11 t|fi{pr:r4 ii (aKo.e o 3a}plliaBi} Ll)/.[i]\ij,ClRtrrrstrapHn lipcje;r,r c.i rla 4 r'r'i, tta ri ra ]l:Xlli'i!1 creiTe]{ 3atspiuara.jy qu{por.l I [ar,:r:r

ce ?r Il9 saBpilaaa r1l.tilpcrr 5l ntnt qtr,,!-riru 5 (ei:t {:rc ri :iitllpllJairtl qrifporu 5). i:le'ir-,ce f;pcj rn rana'r'Ka r,]Bpfira]r,r itc'rorr'r:,rirlpoi"r rac (.rpo.1 ?tJ'J.5 -1- {9:18 - 2S0'} . I 'i1s9.il + {9gg -- 1t}3) . { , A;ri|re. u,ililr;'rr,i t.

'l.llttl.'ir il'ii:t C) itr J'rh-.',. J ,,tr... : !r\,:' t .;: t, Ji, ,.-l() I rl.:-.'i 'r ;r!: i.

:,'l1t1pilir Cpojuotla i.t il\lcriii')i-ia.legr:;;,.il; i), "Llril.!.i.lrlitica. 16l,tpo},i irpo;iu;iL:Li,{ ir\{r1llra]I3 jelliaxltt't ll), .... ?, ltiialii)Bii(,;;: :flrtir,rli {r;:ojlritria !4; l!\tijt:Lir)iil"

.jeg;iaxui't n î-1),.... lla:roMa- ;rH urra :idrtp 3lr!r!. '1.r,r ,;;raiu "t1:rje rpe.t3J0

iLefa ]Iporl,]](') I + 2 i' ... -.f-3f.]89 = -a '3gil9 Yrlsliotir c3. :itluJ]Lrs;11,1i1 Malflti\{o.I 3991. Y irt;c;reill{-er.r .,raKery" (oa;6unon 3991) cy rip? TpaxeHor pa3,]rr.)],{xa,

nporxr14 owr ca 6pojuorlr.{hla :1990, il989, .. . ,1997, IaK,ne, yKynr{o 1994 pa3JroN.rxa.l;axrr.ylyjeulo Jla cc'r'parellil pa3.'toMiil\ ltJJra:ir: rrf, r'tecr') cd pcJriltil 6pojeNr ir95.3989.+ 1994+ 1 = 7960050.

Oarra'rnuo Jtyxr.{}{e crpa}{}{L{arpoyrJra ca ." * l, r, r t'l . ,flony'ncxu heuo rrpernocratsnril ga jc rpoyrao oruTpoyrJu4, uro je rrcnymcHo 3a cBaK(' r rehe oA 4. Or-Haqr4Mo ca y ,qyxrrHy N4alLer oA ,qBa o,qceqxa ogpefeuolr Br{c}tHolvr (ouol o.uce,rraxoji.l je cyce.uan ca crpalruUolvr ,uyxuHe r-1). JJnocrpyxou npr4MeHolr fln:raropnrereopeMe je4xocraoiro ao6njavo

(, * r)'- y' = (t + 1)' - (, - y)',

ri. y = i - 2 tr r - u = ;+ 2. Pa3r{Ka tmulefy oBe IBe.Uyxl*te je 4.

25

3.



26 3ada4u vJ ilameilamuKe MJI XXXI I

4. Hexa cy.O 14 ? 4enrap ynncauor xpyra fi Texutrre, a raqKe D, M n N pe4or,anolxoxja HopMana rm 'ra,{aKa C , O u T }ta crpaHr.rUy AB. norpuraHa rpoyina je,c ierHe srpaHe, je,quaxa !r. e e. c o,a ca rpyre .rp.r" 1 . o M . ( A B + B c + c A).

IIo ycnony salar(a, flocre,urrn uopar je j"nuax I . O M .3. AB. OAanAe ,uodnjar"lo

na je OM = + Texltrure T retturexunrry nr.rHr.rjy CS y o4nocy 2 : t. Vtrpoynra CDS, npewa Tanecoroj reopeM[, crre.ul{ Aa ie TH

= ?. ,[u*n",

"o**".CDTr"Of,*

Harra3e Ha racron ;mcroja*V f oa npand-AB, na ie OT naparrenno

5. Oruaquuo ra{Ke y rojnua ce HaJra3e xpacr, Jrr,rna u qy1ca H . L n D. Hexa cynocu4uje rrpBor r,r Apyror 3HaKa o3HaqeHe ca A v B. Bnaro ce HaJIa3r4 y ra.{xlt SKoJa Je cpeluilTe.qyxlr,48. OauaqilNao no.qroxja HopMiilla IrJ raqaxa B, S, H,A ua npary.D_! p"Aou ca C, O, K, M. llpanoyrurr,t rpoyrrroBt{ IIKL u LMA cynoAyAapHu (H L = AL no fipernocraBUn tr cBl4 yrJroBtr cy l4M jegHaxn Kao yrJroBr4ca HopMaJrHr,rM xpaq,nua). Cnlr.{Ho, 14 rpoyruroB[ BCD u DKH cy noAyAapHr,r,na je AM = KL u BC = DK. Yr ro je fi CD = LM = KH, olarne clelu,{ace cpelilrrre O xyxu DL noxnarw ca cpe.uuureM qyxt4 CM. nyx OC je cpearrantmuja npaBoynror rpane3a ABCM, na je

BC+au DK + I{L DL=+=_ t1OS=

1.

9"9_ i.., HapaBHo, 14 HopMaJrHa ua npasy DL. OAanae crre.qn .ua je rpoyraoDS"L jeAnarorpaKo-npaBoyrnu (nonowixa xna.upara), na je r"roryha crrileha rox_crpyx4r,rja m HaJraxerrle ra.{xe S:Ycpegranry O ltyxw DL nocraBr4rl.{ HopMaJry (y oHoj nonypannr,r y xojoj ce l{aJra3t{o

xpacr) u na noj ogpe4r.mn rayKy S Ha pacrojarsy 2! oo rayKe O. Aro ur.tie2"no3Haro y xojoj nonypaBHtr ce xpacr HaJra3uo, on4a ronane rpe6a noryuarlr ua,UBa MecTa y pa3rl4qtrrt4M rroJrypaBHuMa, xoja cy xargr.rgaru ra noiuqujy Tar{Ke5 (ta ana Mecra cy.qga reMeHa noMeHyror KBaapara, pa3fir4r{Hra ot n-i L).

VIII PA3PE,II

flpqo npuveruvo ga je KBaIpar HenapHor 6poja xenapau, a xBa4par napHor6poja napau. Axo s6np trJu,r pa3rtrKa KBa.{para nptrpoAHt{x 6pojena a v b u:vrao6iluK 222 . . .22, o4Jia cy 6pojenu a yt b utru o6a napull nrur o6a- nenapHu. Axo cydpojear.r a u I' napHu, oH,Ua je KBaAnaT c8aKor oA rbl4x nerbfiB ca a, ni cy,qeftfiBl4ca 4 n ?$up t{ pa3Jil.{xa KBa.qpara. Mel;yrnr,r 6poj odlnxa 222...22 xr.ile genr.rnca 4. 3aro o'rnaga cnyvaj KaAa cy a n b napuu 6pojeu.r.Hera je colld. a = 2k + 7 v b = 2l !1, rge cy A u / HexerarnBHr.r qerrr4 6pojenu.flr vc,roaa (?k+ t )'.+ (21 + t)2 = 2)2...22 406ujavo aa je 4A(t +l )+41(1+l) =222 . " . 20. flprnraeruvo .la je 6poj 4A(A + 1 ) + 41(l + l ) .uer6nr ca s, i Opoj o6nnra22'2.."..2O,aeftrru je ca I aKo 1.1 caNlo aKo lia nuqerKy Heva 4oojrlr, ra raaa je.raj6poj jelHax O, k = I = 0 r{ o = 6 : 1.

MJI XXXI 1 I+Iameuam w ra ma Kiluu e fia 27

Paarilxa a2 - b2 = (2fr + l)'? - (zt + 7)2 = 4k(k + 1) - 4J(, + 1),[erb]{Ba ie ca 4il He Moxe 6rru jelHaxa 6pojy o6nraxa 2'22...22 jep oH Hltje lerbuB ca 4.

I2, Cva rplr ca6upxa He Mory 6wu uana oa i jen 6u r6llp 6uo t'tanu o'u 1. .UaKiIe,

6ap jeaan vopa 6vrru aehu l4rl4 ie.qHax 1. Hexa je, lnp. j > |, rt".i"eKBlrBaJrelrrxo ca rr4M ra je o . b < 3. Cnu naponu (a,b) xojt't cy peuena oBe

Hejeruaruue cy.; (t,t), (1,2), (1,3), (2,1.) y (3, 1.)...Ilarle. rlaKo HarIa3]4Mo cBa

Beurerla3a,qare j-elHaruxe: (1,2,3),(1,3,2), (2,1',3),(2,3,1), (3, 1,2)14 (3,?'r).

3. Hexa je 2n*7 = k2,3n* 1 = rn2 3a HeKe Irpl{polue 6pojene k, nt u n. TaIaje Sn+3 = 4.(Znt7) -(Sn+ 1) = 4k2 -m2 = (2k*nt)(2h -rn)- Kaxocy k nm npr,rpoinra 6pojenu, ro ie2k*m) 1. llorpe6xo je goraaatu ula ie2k - m > 2. npernocraBl,IMo cynporHo, :rj. npernoctaBilMo ,ua je zft - m 1 l.Tala je 2k 3 m+ 1, o.Eaxfle cne.ur Aa je * 5'!! u

l \2

2n*!--'. (=#) -@tl)'C.neAn Aa je sn * 4 ( (nr. { 1 )2, orarne AobIaiaMo 2(3n + 1 ) + 2n * 2 I (rn } 1 )'?, tj.2m2 +2rt +2 < (n.{r)' tt KoHaqHo (^-l)t ! -2n < o, urro je xonrpaquxquja.

Ilpeua garn"r nolauuMa je <B AD = 5oo, ila ie AD = BD. Kpyr fr ca ueHrpoMD u nonynpevHnKoM DA ca,llpxl4 il ra'i Ky B, a < A D B - 80" ie qeurpal xu ra rajxpyr. Kaxo je <AbB = 40o (noroBl4Ha ldeHrparluor yrna), oH ie nepil{epilicxt4ya r{crr,r xpyr tc. O4arae crelu Ia xpyr A ca,upxN x ra'{Ky C, na ie BD = CD-Ocuaquuo <B DC ca r. Y jeguaxoKpaKoM rpoyruly B D C wuauo yrroBe r, r+3o,

IIooIe 4onnavenil cBI4x 4yxra xoje ce Mory nonyhu.(aril KoHBeKcaH qerBopoyrao

ABC D nogenex je Ha l€BeqraH 6poi rpoymoBa. 36rp yrnona ou4x rr4x rpoyilIprajennax je 1996'360'+ 360', jep je e6up yrJIoDa ca reMeHoM y craxoj oA 1996raqaKa yHyrap qeTtopoyrra jeAHax 360" a o6np yrnora qeTBopoyl'ila je mxole360o. 3aro je 6poj ,uo6rajexux tpoyrrora je,uuax

L

D.

1996 .3600 + 360'-3992+2=3994.1800

.I[o6r,rjeurax 3994 rpoyrfloDa [Majy 3994 .3 crpaHl4qa. 9eruplt crpa.Ht4rle Aarorqerropoyrra ABCD l{ucMo noBJIaYuJtl{, a cBara o,[ ocrarilx crpaHilua (nonyre-xr,rx Ayxn) je aajeAHuqKa 3a .qBa rpoyruIa. 3ato je 6poj noByYeHux HenpeceUaiyhilxryxr je,[HaK

3994'3 - 4- 1992. 3 - 2 =b991 - 2 = 5989.t



u u3 Juamen@muKe NIJI XXXI I

o ON,ABPAHI,I 3AJIATI.'{ oOla eaaau,z rpe6a aa BaM cityxe ra rex6y 14 npnnpeMa[Le 3a MareMarr4trKa raKMrrqeH,a,

Kao u 3a pa.4 y MareMarr,rvroj cerquju. OaabpaHlr 3aaau.r4 Hucy remKr4 14 Moxe aa [rx pe[rucBaKr.r yqegnx xoju pe4orHo nparrr HacraBy MareMarre y uIKoJlId. 3aAa.rxe rpe6a caMocrarnoaa pemure, a HaBe'4eHrI p6ynrarr'r B ynyrcrsa HeKa BaM cJryxe 3a KoHTpony. yveHaqnva rojuIIIarby peoeba Konrypcnux 3aAarara npenopyvyjeuo Aa nperxoAHo pene O4a6paae ra4arxe. jepcy oHrr raKmur na onaj pa4 npeacraBJba Kopr4cHo yrex6anane.

A) 3a yeuure lY paspeda

_ 2665. ffirp luu 6poja je 2163. Xojx cy ro 6pojeoN axo je je.qaH ImAecer rryraBehH o[ Ipyror?

2666. y jernoj cnoprcroj calu npaBoyraoHor o6ruKa ryxr{rie 3rnL tr uup'{He2lm Hafia}u ce6a3er{. Craxa uwrqa dareua y,qaneua je3m o.[ 3!{aa ca^'te. Korr.rKa jenoBptur4Ha sax 6aaeHa?

B) 3a yueuure Y paspeda

. _26_97. olperr.nra cKyr,4, aKo je ,4,u {2,4,6} - {1,2,3,4,b,6} fi AnI?,4,6} _{2,0}. KonNxo pa3ruqmrx petuenzi ],rMa?

266E. A.KBapfljyv y o6"rrnry raa4pa rujc cy.auvernr.rje 100o,,, 6ocm u 4OcntHanyiieH je no,uou. Komrxo nyra ce vopa ynorpe6ufl,r nocyA; vnja je mnpeur{Ha je^[,aHJllrrap, ,qa 6lt ce ucnparxuJro nona BarrpeM{He axrapr,rjyua?

B) 3a yenure Yl paspeda )

,. zGGg. Y 6pojy 19 * 83 yMecro 3Be3,ur.rue craBr4 Ut{Opy raKo Aa lo6iljeHu 6poj 6ygerariaH Ky6 HeKor nplrpoAuor 6poja.

a2G70. tlyrHr.{x je upror .uaHa nperao * **ourbr*or nyra, .Upy.o" Aonu f.

15npeAB[beHor ryra, a rpeher gaxa tZ km Bt ue oa ] np'emu4eHor nyra r.r raKo crtrrao.[o ur4J]ir. Koluxa je ayxnua nyta? '

;

l) 3a yueuure YII paspeda

2671. Orarl je reruplr fiyra crapujr,r oA cBol.'rua. Kolnro je roguua oqy, aKoJrr,rKo ctrHy, axo je oraq npe 6 rolrrHa 6uo 10 nyra crapr,rju o.u cfia?

.2672.HeKa je ravxa M crr'p.uwre crpaur,rqe

/Crpoyl-ra

ABC w HeKa rpaBap roja ca.upxr.t raqKy M il. napaJreJr'a je npanoj ,48 ce.re crpaHrrr{y BC y rayKr4 lr'.,Iloraoarn ga je CN = NB.

il) 3a yuenurceYIII paspeda

2673. PoN46 ABCD }{Ma noBprrr},rHy S. y npogyxerKy cTpaHt4Ue D/ je ravxaA1 taxna ga je DA = AAr. Ha ilcrr,r HayuH ce y fipoAyxerxy crpaHr.f4a AB, BC, CDKoxcrpyuuy ra.rxeBl, C1, D1 pe;qov. I4rpavyuaru noBprflt{r{y .reircpoyrna A.rBrCrDr.

MJI XXXI 1 (ha6pauu sadagu

267 4. Pefittt].I jegua'ltry'

rge je n npupoAau 6poj.

PEIIIEI$A OIIA6PAHI4X 3AtrATAKA 2665.267 4

2665, TpaxeHu 6pojeBr.{ cy: 103 14 2060.2666. lloapurlHa ca,le Ml4l{yc lloBplx-nHa 6areua je rpaxeua rroBpr.urlila, a ro je 276rn2.2667. A = {1 ,2,.3,5,6}.2668.3anperruHa axBaplljyMa je y - 100. 60' 40 = 24}ooocm3 = 24o dm3 = 2401. flpeMa'roMe, 3a npaxlberbe noJra aKBapr,rjyMa rpe6a nocy.uy ynorpebrfii4 120 [yra. 2669.203 = 8000 ( 19 * 83 < 27oao = 303. Je.4ulto ce ry6 Spoja 7 3aBpuaBa ca 3, ila ierpaxeHa qu()pa 6, ,{ rpaxeHl.{ 6poj je 273 - 19683. 2670. IlyrHt'rK je 3a npBa ABa

237152IaHa npeuao fr nVra, a rpeher AaHa 30 nyra. KaKo I nyra 16s6e14 -, 16 -'l-

nyra r|r3Hoci,r 1,7km, a Ueo rryr je 255km. '2671. AKo je cnxy xi toLt4Ha, raAa il3(c - 6) .10 = 4x -6lo6ltjaMo ,ra je r = 9. .(arne, cttHy je 9, a ouy 36 to4ltna. 2672.Hera je NI{ ll ,4C. Taaa je r{erBopoyrao AKNM naparlerlorpaM, na cy, o6eupolr uaycJroBe 3aAarKa, rpoyrJroBr4 cMN fi fiBlf noly,uapHr4, (ycy), oaaKre cJIeAl.{ rnple*e(cnnxa l).

KCfl. I

2673. O3Ha'{xluo ca S nolptur,tHy pov$a ABCD. Axo crpaHiu-iy CB npoayxtlt,loAo raqKe X npero raqre B, raxo Aa je CB = BX, lo6trjar.ao por.a6,41XBA xojuje noayaapax ca por"dor'r ABCD. O,qarae crlert{.ua je norpmnua polt6a ,zl1-YBAje.qnaxa.5. Axo je ra.rxa O npeceK npaBl4x ArBt t4 tsX,oura je laxo gorasaru aa jeLArXO d ABIBO. O.qarne crreAl,{.ua je nospuuxa rpoyrila ArB\A jegHaxa S. ,IlaneJIaKo cJie.[u ga ,je.PnrsrsrDt = Ptpco * 4. Patat.q = 55. 2674. ,[ara jelHa'Ifi]raeKBr{BaJIeHTHa Je JeAHaqItHl'{

c-l*2 r-7*3 r-l*4 r-l*n*lZ + : - 4

-i"'T"+l

=.,,

/t l \vujou rparcSopruaqNjou lodujalto (r- 1)l : *; +...+

- I = 0. Perel5euo6r,rjaruo ("- r)(i. : +...+ #) = o P

.ie.u,Haqnne.je c = 1.

29

x*l r*2 r*3 x+n_+- |-

t-2 3 4 n*l



30 3adayu tB ilame.Mamure MJ] XXXI 1

(2 KOHKyPCHI,I 3AJtAIltl -Olu eapaqn cy BaMeBeHU IIpBeHcrBeHo 3a saMocTaraH paA oHnx ygeHrrKa Koju ce y Behoj

Ir'repn nurepecyjy 3a MareMaraKy. pewerce cearoe sadamxa'6uhe ofjawoeuo co" nomnu"o^4oHoa pewalaaqa roju nowaroe cac,uil mauHo u ua,i6ome o1pau"onceno W;";; l;;;;pgux 20 daua no ustact! ltucma w wma.Mne.

I,lveHa onnx penaralau.axojn nonaJsy 6ap uecr npaBr4nnux penerf,a KoHXypcr{r4x 3a.qaraKa6llhe o6jannena y''ocnea*eM

6pojy.rlracra oa ouy m*or.ry roar'Hy, (aaa he ouin odjanneHa

'aveua uajdonzx pemaBaJlaqa

ra roje cy npe,qrrrt)ene FarpaAe.. Pemarajre nocralJBene 3a,uarKe, a pelaxqr.rju walbume peweua cal|4o oHux sadamararoju c1 npedeufeuu n eaw psped.3nlar*, p.rarulr. *"o.*rno, He rpaxenfl noMdh Hr4oa Kora. Clnxe nprajre npeqls'o, a perne*a nlrmlrre o6paaroxe'o 14 ,t4TKo. Ha jeanolr lucrynanr'lpa rpe6a Hanr4carr4 ca t cre crpaHe pernrn 6poj, rer"t u rovuerBo penebe caMo jeaHot.SaaarKa 14 CBaKO pemese rpe6a nornucarr4 ny'rrM r4MeHOM 14 np$r4MeHoM r.r HaBecrr4 pa3peA r4oae&eBe, mKoty, Mecro u ryhuy aapecy, HenornyHa pefletra, Kao 14 o,qroBopu 6ea o6painoxena,o,4HocHO 6eo nyne alpece nomr4J6aoqa, nehe ce y3uMaTr,r y o63l4p,

* Cra penena xoja manere zcroBpeMeHo craBr4Te y jeAgy.xolepry a nomaJbr4Te ux Ha alpecyPelaxqraje ca HaiHaKoM ,,Konrcypcxr.r rooour.."" oOiBe3HoM HaaHaKoM paapeaa. Hanoaelunu Ko'epre HaBe.urlTe: €Boje nMe u npe3rMe, paspe[ oretf,erLe, uKoJty H MeCTO.Pemeoa aa4arara o3 oBor 6poja rpe6a noclull nalxacnnle ao 15.10.19g6. roausel

A) 3a lueuurce Iy paspda

247, rcfvjy ce jeAHaxlr 6pojenra. Koju cy ro 6pojenr.r?

7524. Or\ je,u.Hor raprona KBarparHor o6nuxa nonpnvr*a 144cnf I,,p.,aH jeoxrup nnpilHe 2cnt. Kon.uxa je nolpmlua oKBuIn?

B) 3a yenure y paepeda

!525, Olpeau:'r npecex c(ynoBa A n B, axo je: .4 \ (A nA) = {1,2,3};\ (,4n4) = {4,5,6} n-AuB =-{1,2,3,4,b,6,2,a,0i.,^ ltr^9. -ry9 {Bl4qy KorlKe nonehauo 3a 1crn, oH.qa ce tbeHa roBpull4Ha noBeh4 3a42ctn..3a xoJlr{xo ce noseha eanpevuta xoqre?

B) 3a yueuure yl paspda152?. Konnxo raua rporlu{peHrax dpojena xojr.r npu AeJ}er6y 6pojeBilMa 6 u 8

,4ajy osraBx 5?

152E. y npo,[aBH!.rul{ r,rMa 300/r9 r{oKoralH},rx, ryMeHr,rx 14 mehepHr4x 6ou6oxa.l2aKa.ua ce fiWra - qoxora.qHnx, f, ryr"leuux n I uehepHux 6ov6oHa, y pa.umu ocrajyJe.uHaKe KoJn4rl.rxe. Konlrxo je 6uno oI cBaxe nicre 6or,6osa?

f) 3a yueuureyll paspeda

1520. AHa ilMa qerupu nyra Br,rue ro.ur,lHa Hero uro je uvao neH 6par xala jelyo tw nyta unalu or lre. 3a-18 ro,qnHa rrvrx snoje h.;il;;t*vil6;"oo"ru.Konuxo ro1uHa nlra AHa, a t<oJu,rxo rrex 6par? ---'--:'r J'rJrr"v vu 'L

1540. Ta.{xe D u E npnna,uajy, peAoM, KareraMa CA u CB jeluaxoxpaxo-npaBoyrJlor rpoyrna ABC, rryfi reruy je CD = CE. Hexa xoplrane ua,nPSLoy .48,role ciapxe ra.{ke D il C, c€Ky x[noreHysy AB, pllou, y rarlxaMa K u L. .[oracarnta je I(L = LB.

II) 3a yuexure VllIPtPeda

1531. Al(o ey o, b,p, g no3l{rl,IBH]l 6pojenra raxBfi Aa naxu p * q = 7 14

pqla' b- pa+sb'

rcpaqyHaru Bpe,[Hocr p*no**nf,.

1532. ,UeBEr reHficepa EsluJtu cy raKM['IapcKe 6pojene 1, 2, ..., I' TeHI'Icepca sehfiv raKMuqapcKxM 6pojev ynex no6elyje reHilcepa ca MaII'I4M raKMl'IqapcKl'{M6pojer'r. Tpe6a Qopvraparu rpl4 rpo{Jlaue exnne A, B r.r C xoje oula r.'rebyco6Ho ltrpajyMeyeBe rro cr4creMy oBaKo ca cBa(r,IM, Ti. I napr[ia y cBaKoM uevy. Me'r go6ttja ouaexnna roja [o6t,tje Behl4 6poj naprltja. .Iloxaratn ,ua ce urpaqu 7,2, ..', I Morypacnopelurn y eKI,Ine A, B tt C , Ta(o [a exnna A no6e.qtt eruny B, exnna "B no6eAi'texuny C r eKuna C no6e4n eKt,rny 14.

MJI XXXI I Sanuu.nueocmu '31

*eot 3AHT4MJ6I4BOCTT4 toe*.lpara 4eqo,

llo.{ena je uona nxolcxa Fo,ql{Ha u Ml4 floltl4lteMo npnr'r 6poj ca 3aHr{MJll'{3ocrI'IMao IilKOJll4.

1, Konraxo rva npo([ecopa?

JosaH tt Cltgl,lua, 6ltrmn oct'taqtt, a cara HoBoneYeHlI cpengolxKoJrql4, cperouece Ha ynr.ur,r t{ pa3MeHuue yrticKe o cnojuu rtc-rnl.rv [tKoJIaMa.

* lvloja nKoJIa r{Ma 1200 y'ieHI4Ka. - peqe JoBaH. Csaxil yqeHuK ,{Ma nHeBHo5 .racoBa. Coax-u npo{ecop oApxu AHeBHo 4 '{aca. Ha cBaKoM 'Iacy t,rMa 30 y'{eIIuKan je,uaH npo{ecop. Konl.txo npoQecopa nva i"loja mxoJla, }BpaYyxaj cau Ao Hanercre,qeher cycpera.

Clr. I



32 Haepaduu sadamax MJI XXXI 1

2. Ha racy (Praarvxor Bacnurarf,a.

gacy {uaurror Baclluralsa npl4cycrBotsa -ro je 16 IeYaKa.

- Pasrpcrajre ce y ocaM peroBa, aJIu raKo.qa y cBaKoM pery 6yAy Yerilpn .{e'{aKa.Hape.(lr HacraBHllK.

- Kaxo? FIac je calro 16, a 4 nyra 8 ie32. pe\e M npr<-r.

3nare nu nu xaxo?

3. IlpoHallrre [apoBe'

A.nexcaHgpa je no:nana rocre ua pofeil-.uau. locre je oderexrrra 6pojerlnaa or 2 Ao tr 8,a ra ce6e je aa4pxana 6poj 1. Kaa cy l4rpajrllyo'{l4ra je ga irdr.ip 6pojela cnaKor napa npeAcraBJra raqaH Ktsatrpat' He(or npllpo.{Hor 6poja.Ko.iu cy 6trr,nra 6pojerlt na-pora?

OBABEIIITEF[EY urgaEy jlPy$l'IBA L4A1'EN1Aj'14'{.Af'jA CPFI'{JE t'!3airfie cy }I3 uraMrle iiose

KJi,r{re y cepr,rju ,,li,lareptrjalu ra Nt:Ia.D,e Nlare\'taTl{qaps"l

31. 1000 3,,\i1AT/\KA ca Mare\lar11t{Kl{x ra}i},lt4rleft.a y'lcHuKa oc}{oBllt{x lllKora 19861995. rc"qttHe. f'egartoptt: B, A.x;iplrh, h'l. Troplrh, L'!" Jon'rtrir, n .rby6nh, 'lL.Ilorxos;rh, B. Crojaitolnh

33. H..lartrr'sitli J. lrl""ir'tOylr. l! tr1,'n].tt,,sl't. Mchltllfro.ltt* 11 $3:11ar1s1:g ';TeNta.firlll,e c.tl.iranrrjrile 198.1-l9t)5. io;tiulil. {Kiuirra je ttav*ileH;,t "vrleltl'ltl,li'lacpejlrLlfx lfl Ko,'Ia..]

One rtlrrle, Kao t{ ocrara tt:tii:rti,a llpyurBa i';3Te\l1Tr1'lapr C'rrr,rr.le N'Icaele ilo:ly-.rr{Ir Ha're,reftoH (011)6:18 ?63.

HATPAN.H?I 3A]I.ATAK EP. 144 I

I-la xonltxo l{a'{ilHace Ha npBoM peay uaxoBcKe ta6.ne uory flocraBl{Tl4 KpaJL,

DAMA, LBA TOna, ,UBa JrOBqa U.qBa CKaKa'ta, Taxo ,IIa rononra 6yAy nocTa8J],eHtr{ ca pa3HI4X

crpaHa KpaJla r.t ga je.qaH lonaq 6yge ua Serorr, a lpyrl4 Ha {p}loM nony? '[ne {urypeucror runa (,una rona, ABa JIoBqa, xao lt .una. craxala) r.,ref;yco6uo ce He paanr'lxyjy.

Pernesa claru Ha'aApecy: Matellatuqxr ntlcr, 6eorpa,a, Kner-Mllxau:roBa 35/Iv, n.r].728, ca o6anersou na:sar,rv HarpagHN 3ar&taK 6p. 144. Ha noaelur:tr KoBePTe o6aBd3Ho

Hanucarlr: uMe rf npeallMe, pa3per, oreJleM, InKony u uecro (ca no[TaHcKItM 6pojeM)''Pe[erbe 3a4arKa nocJiaru. uajracwraje ao 15.10.1996. ro,{aHe. Mely ycnemgl'rM petna-

Eaoqr4Ma oBon maarKa xpe6oll he 6liTtr orpebeno ao 25 yqennxa Koilr he 6ETFr HarpabeHlz.

a

Fnncud(. tl, P' l.h ltg. tlOl

Slnovsrr TNFoRMAToR Gosr MATEMATTdKoc LrsrAViSe stotina pojedina6nih i ekipnih takmi-enja odrZavaju se tokom samo jedne

1,,.<linc Sirom sveta; dotiiu reke novih podataka, varijanata, ideja. Sve to treba1,r'ikrrpiti i razdvojiti zna6ajno od bezvrednog. INFORMACIONI SISTEM U SAI{U"Sirlrtivskog informatora" prvi u svetu prihvatio se ovog zadat'ka' INFORMACIONISIS'IDM U SAHU sadinjavaju:

Sahovski informator,Errciklopedij a iahovskih otvaranj a,

Iinciklopedij a iahovsk.ih zavrinica.lntemacionalni karakter INFORMACIONOM SISTEMU U SAHU daju "5ahov-

sk i .jr:zik" -jezik simbola i Sifara i preko 500 saradnika, najistalrnutijih Sahista iz celog

svr:1,a. Pokrenut pre 3O godina, INFORMACIONI SISTEM LI SAHII dao je Sahistimaj,rzik, a iahu moguinost koriS6enja kompjutera. Preko 1000000 primeraka knjiga,r';rsrrl,ilr po celom svetu, govore da su Sahisti prihvatili INFORMACIONI SISTEM tfSA I I I.J " Sahovskog inforrnatora".

Sve inforrnacije o izdanjirna "Sahovskog informatora" moZete clobiti na telefon:(r)r r)630109 ili (011)630e63.

NAGRADNI SAHOVSKIZADATAK BR. 38

Pozicija na dijagramu: beli I(b4, Dg7,b7; crni Kb6. Beli vude i daje mat u dvapoteza.

Reienja slati na adresu:

Maternatiiki listKnez-Mihailova 35/IVp.p. 72811001 Beograd

sa obaveznorn naznakorr "SlH" i to najkmnijedo 15.10.1996. godine. Na poletlini koverteobavezno napisati ime i prezime, razrr:d,

odeljenje, ikolu i rnesto (sa ttaznakottt p,,Starnkog broja).

I ove godirre nagrade za uspeine reiavaoce ttagradnog Sairovskog zadatka obezbe-,lio jc "SAHOVSKI INFORMATOR". S obzirom na veliko interesovanje Litaoca za,,vrr nrbriku, broj nagrada je ove godine udvostruien, tako da ie biti nagradeno pcr

2{} rr:iavaoca svakog nagradnog zadatka. U konkurenciju za dobijmje nagrade dolazesvi rrccrrici koji poialju taino reSenje nagradnog dahovskog zadatka u predvitlenomr('l(u r)a a,tresrr MATEMATIe KOC LISTA.

Documents

Matematicki list 1996 XXXI 1