Matematicas Primer Sem Guevara

8/9/2019 Matematicas Primer Sem Guevara

1/125

'-\

c./lJ

.

MATEMTICASAal~~DAS A LA IHG. PETROLERA 1

Clave: 7703 N ilm ero de crditos 06

OBJETIVO:

~,. J.t

~

ft\.JCI

C,Ot ,(-::,;.

J;~evejl\c~n

\i'~

e

\

'"

J

Ci,y

c\ a {J

P roporcionar al alum no p ro ce dim ie nto s a na ltic os d e a plic ac i n ta nto a e cu ac io ne s

d ife re nc ia le s o rd in aria s c om o a e cu ac io ne s d ife re nc ia le s p arc ia le s.

TEMAS:

3.

P la nte am ie nto M a te m tic o d e P ro ble m as

S olucin de E cu acion es D ife re nciale s po r el M tod o d e

Separac in de Variab les

S olu ci n de E cua cion es D ife re ncia les p or e l M to do de

F un cio ne s d e G re en

S o uc i r'l d e E cu ac io ne s D ife re nc ia le s p or e l M to do d e

T ra ns fo rm a da d e L ap la ce

1 '.

2 .

4 .

:\

A

.. .

. . . .

, , r 1 , { 1 ,

' . , , I

( ,\

' . . .

- 1 '/

l/ (

' ~ ' . / '

t ~ ~ - \ . ( 1

. ~ .

.

.

A >

(~

.

\: ;

(

.

1

,

' '

)J r

.

~ r

j;

' ) . u

_ ::

.

P r r

.

o

l~

~ ';

r

C D


2/125

- '

,'

,. 1

.. .

. . . .

>

~ , , .

i(

d '.

L : .

W

I

:::r..

,~

-

'\

~

t

a '0

:3

f \

h , ~

'1

.

.

)l

~

s

9

t> J

~

t 3

t,

., (

L J

a :

~

t E

' ,

\' ,

. : :

:i

-

\

t J . .

~

r ; C

o

~

~

\;

2 . - S O L U C I t L _ Q 1 L J ; :C U A C IO N E S D lf fR E N C f A L E S

MTODODESEPARACIND E V A R IA B L E S .

':'\ lOL j, tlc1f~)~

l

.."


3/125

0J

El m todode

separacin de variables busca soluCiones sim ples a la ecuacin

d iferen cial d e la s ig uie nte fo rm a:

u (x , t) = X (x )T (t)

.

. . -. ".'.

donde

X(x)

es una funcin

dxy-

T ( t )

es una funcin de

t.

las soluciones son

sim ples p orq ue cu alq uier fu nc i n u(x,t) de esta form a contendr su form a bsica

para d iferen tes v alo res d e tiem po . A s:

Fig.

~

/

u(.\ .O)=T(O)X(~)

..

u(x,2)~T(2)X(x)

u (x ,I )= T( 1)X (x )

o

1

la idea- general es que ,e"s posible encontrar un nm ero infinito de estas

soluc iones a la ecuac in d if erenc ia l parc ia l ( l a s cu ale s sa tisfa cen la c on dici n d e

frontera). Estas funciones sim ples u. (x,t) = X n

(x)T.

(1) (llam adas soluciones

fundam entales) son sum adas de tal form a que:

J

:1",.-,'

'"

,""

AnXn(x)Tn(t)

n. 1

e " L, l.

i:-,

f.

satisface las condiciones iniciales y com o esta solucin tam bin sat:sface la

ecuacin diferencial parcial y las condiciones de frontera, entonces de esta form a

tenem os la solucin a nuestro problem a.

2.2 M TODO

E jem p o.- F lujo lineal de un fluido liger2m ente cornpresic:e de ccm pre:o':i'idad y

viscosidad constantes en un m edio poroso. Se inYEcta lquido en x:.:O en un

yacimiento fin ito cerrado.


4/125

:,~f.'''

.

J& V

e4tA

, . .G 4. ,; r

\J

"'-"wtI~"YW".

1,\tI

~..

~;;"

~~~

r

."

.

I

p(~ = O ,t}= P o

r

,..~.

.

~

~ ,: ;.: ;" ..} .V ... C . ,.'... " )~

-- N " ~ ,cxJ~ =L1t )=0

'~.'

(4 )

-':> +t~'(G';""::'"

"'(.JCI~0(

~::>-:~I'::{..d,V.J"

'':''

-\

..:? -~ r'il-\:::,"

t~ ~

'L

~~.c":"'\..

- ',- 0::-":', ,.

C" ,

-,

~Y -

y~ ;ue una

c O : i f c f n

de frontera no es hom ognea. se puede utilizar el siguiente

c am b io d e v aria ble s (v aria ble $ a dim e ns io na le s):

''1 ("

,..r-Sh:v.ji-l.)O \.A Ql'L:0~\':;..i. ~

..J.o - H CI-' :",,c :. 6:

~ \ -

-

'.

,

.J ()

~"i30 - -

.

\

:)I: .' :' .L i>.D--.: :J. .

P

=

P - p~

~.

~

(5 )

~1 '

\:..U?-~ ,.n_d-.>-iA~.'

:;-> D

. . . . .

l'

/1 r...

I1 Xc>

\ p-Po

,\

11 I1 t

( V : . . :

~:b

:Ji

kt

(

~

)

t.. ~tt.-'1::('L:S;'''-'r' D = A

c L

2-

"

., yU

.

'Ir "-'.

"""'1 i\

X D -

L

.'

. . .

l. .(71

,

.'

-'

3)

..

-J

)~

"

'.1"

,~

\,, I tJ

1

.

.

'J\.)

.'" -.

/

-' ,~

."y' ~ t-

,,

1) \

,

"1)

~." ("

t'

\) -~

X "

L

. i

/),

J

~\J

.;y

\

J

\/

~

r; :

()

',r

'

X" o

~

.~' .

~

j

l1,;)

(J ? /;p~

r

/

v

f S #Ecuacin difere ndallneal hom ognea

\~~rF

~p

J

'

TC>J:>~ ~~ \l'A~.1ltGC>~

A A) D ; -/i. ~~ A ) f\S .

eX

'1

ct

-v '

\,

\

({...,

-...V

'..

'-


5/125

(

'

PJ )

f.t,

p

~

- Asl:'"

p;

~ ------

p

- lb

d-

(

(J~i:')

(\';;.-f.,)~ 6p

'~~\Ip

.

'

D'

'~ i

..

'

.

epo

/~'"

p~/..;

,/I

t

" ~: .

-

,

:z

(p p)-

~

~ (a p)

- - . o".';: 8)

~;{

.~ ,

b.

eX '

,I.~ __ ~- C ~1 t -~ \~ j{ \:li~

.

exo, L

.

(1 -

2-"-

--

v

~;(.Jj

J~ l J '.1

1-':i~"l')tJ

.

'"

'J

~,\-

.:

C'

~

"

'

':1"

'.1 r

tfiI\'

-

:.

\

r e

J .lc tL 2 C to

,

Substituyendo (9) y (10) en (1)

r

j

r

(

,;

c\

1,:

el

\

(p ,

-

Po) 02pO Q).lCt k (p,.. Po) ep o

LZ

ax ~

=

k 9J.lCt

L2

Cto

-

-,

''\ '\

,j J-\

"\~ \,-~ ,

'''\

r

\

,,~

--

:

Yo

2

-

cPo_cPo

(11); O


6/125

-

.

,

j.s*,: :~~'

p o (~ : 1 J :r : X ( ~ 'O ) T{ t o ) ...:. (15)

~,2-~

f(}fo

'- '

(P

=

~

\

L\ .~.

.~

J""."-'''

-

'~ : X~(O) ~

~X

~\

() ,,()

~=

T)(I

O

~\ )

~ -

.

-

. .

-i

(7

-

~

~t/-V,

'0 J ,;.1.'''.''

0"4


7/125

;

..

'

La

solucin

de

(19) esttdada por:

r(to)=ceT'O

" (24)

.

Observaciones:

-

'S i r>

O ,de (24), T(tr:)crecer indefinidamente:: ::>Po tam bin crecer en form a

indefinida.

Si

r=

O,

PD

n o se r fu nci n d e tie mp o.

e~ 1 necesita ser

r

Paso 2.- Encontrando la constante de separacin:

J- 1

no debe ser positiva ya que T(t) crecer

in de Tir;id am en te . S i

.u

= O,

X"=O:::::>

X(x)=A+BX

p ero u tiliz an do la s co nd ic 18 ne s d e frcf1 tsra :

u(O , t) ==

X(O)T(t) = O X(O) = O A ~.oO

~

:1

=:>

u(1, t) = X(1)T(t) = O X(~) = O

J

B =

So,. hiv'l~

.

-'". /

... ./:..


23/125

/

/'

Si

S \

.S9-'rV'-

,

v

l~ct)y-(t:.

~L

B::: O

.

_(~CI2t -li.~i:t

A/.e cosi. + hAe seni. = O

.....

r- , -

/,

:. r

/~

~ ' ~/ -

1,

--

)-0

') -\- \ (i.v\

A s para

enc on tra r ).

I se debe e nc on tr ar las intersecciones de las curvas tan). y

.).Jh .

).

~

-'

,/

,.. ,..

p ' (-

= /

Estos valores J.1 I ).2

pueden ser calculados num ricam ente para un valor

dado de h

I

Y s or. lla ma do s va lcre s ca ra cte rstico s (e ig en va lo re s) d el p ro ble ma

Estos son los valores para los cua:es existe una sol)Jcin no trivial.

'

- r-


24/125

L a g r fic a m o stra nd o la s in te rsecc iones de tan). y .)Jh, es la s iguiente :

, j

r.i}.h'"

..

)

[.l :'. '-

.

~~

. .

Ir

t.

('

,; l.:

,1

.

:

.(

-i.

'h

'v"-:.,

...J. ..

=

('

l'\'

~.\.

j

I

I

j

x(6)

=

O

l

X ' (1 ) + tL X (l)

~ O

,.'

(5 )

Las soluciones al problema de valores de frontera correspondientes a los va:cres

caractersticos ;'n se llam an fun cio nes ca racte rsticas (eigen funcion es)

X

(x ) .

En este caso,

I ,/

n

'.':

-.- . ' {

.~ .


25/125


26/125

,

\ ' :

l

I

'

'

P a r a e n co n t r a r la s

c o n a t a n . . . e A 1 8 e x p a n s i n

de funciones caracter is ticas ( 6 )

s e d e b e multiplicarcada'_,.,. .en (i. ,x) integrar de,O a 1, as:

t -~~~~-~\

~.; ~::,(~

i, ".

~~ .

.

,"

"

xsen(i.mX)dX:

a, s:n(. ,x)sen(i.mX)dX .

"

"

..

utilizando .l? pro pied ad d e o rtog ona~ :~ d

,, : ---

~

~A'"

(

'1

2

e

O-

'

:

am sen (i.m x)dx

1;X,,(x}=sen(n;'lx) n=1,2",

"

~/

x(1) = o

V". ( I

~,'

1--

lf'I"

cl f

t\.

.

A s la descom posicin de ((x,t) tien e la fo rm a: ~

U ,l ')

=

~() ~

f(x, t) = f1(t) sem ..x... f2(t) sen2:1x~ +fn(t) sen(n:1x) - . . . ( 5 L

finalm ente para encontrar las funciones

f,,(t) , se m ultiplica cada lado po

~) e integra de cero a 1 .

t?(Tf

~,Lt-Q. M - "l~~~

y

t:;~.

.

~aY of .

.-\-O

.

~., .

1

DO

1

1

.

I

1

1

. ~'

f(x,t)sen{m:,:x

)

dx =

L(t) . sen(m:x)sen(n:1x)dx

= -f",(t)

IC

.

.. 2

'

.

",1

"

-~/

"-

f"(t) = 2

f(~ t)sen(n~x)dx .,... (6)

Paso 2 .- E ncontra r la re spue sta p,,(x}t)=T,,(t)X,,(x)

R ee mp laz an do la fu nc i n f(x ,t) p or su d esc om p osic i n:

f(x , t) := ~ f"

(t)sen(n;-;x)

".1

y tratando de encontrar las respuestas individuales:

~

T

p(x,t )=

Tn (t)X " (x) :=

Tn (t)sen(n7lx)

I

n.'

".1

sub stitu yend o esta so lu ci n en el p rob lem a o rig in al:

- -

2

:r

.

\

cp

2 e

p

~

-::-

=

a

'-.:-2 -'-o

) f,,( t) se n(n ;- ;x )

ct eX '---J

,;o

'\

p (O ,t):= 0 := p (1 ,t)

p(x,O) =

g(x)


33/125

'- '0__-' -

"---'--. U ; -

--- -

......

,

h

)~ --'~AA--~-',)

..

~--"-'--i

a _c :: ,% .c ::. t. .i

1--

-."-

.

..." '" ..

d~1-

.--

... ~~

-_-t;;>--o

-.-

\

k:-. c. k

I-~\.c

l.' t\

"

n~ ~ ..

~ I );

- "--

.

)

/\-

'

I

I

I)P"

:

6"\ .

, ~ ~

'- -

tJ .

1

] ,; ;

y

::>x

J. J v

-J -

-f-- ''''-'

--".".'

...

~._:-

-"'--""

.-' .- -

_.. ...

"'" '''''' '''

L _'-0

-

..

-f

I

.

j

v--.

i

I

"..:.)...~;:

=

()

. .

&

:::;o

.)... l.

:..J(

=-

.

k.

)1../--,-

~

(~+

h~,-)

~

o

\

~

\

'

J

c7'~~ ~ ~

~(~+ ):::. X (x..) T C-t)

J /--'"-- -

' (?- )

T

('

-'

')

-- -

.

-" ;

d-/'-

---u - - -

.

--. -~-.

. ../t;.:- .

Y '-eJ.~ 7.

p

-

-.. ~~. -.. .-

-

-. -

_.~--

-..

--

I

'" '1

J,t-

,~..

i

i,

,

-:\, '

,

(- i

y

11-

)

1

I1

_(~1 f - f ) x

::.

o

'/

\

\C'T.

-f '.

i

I

- ''1(;1 .=

o ::

L~

"

"--- --- -

"

- -

"

; ._~~:

. ~'(>-)__TC~

)-

.

.). .l-

.

-. .

d r - -~.~) -

T 'J -t)--

-::L

-f -

-'

-----

- --. - .'

0

- -

T

L-t-)) -.0

~~Z~'(1.

;) -'7.'-~(~ - -

,,'" -

xc:>. )

T (-f.)

.-.

- - --

:---~ ~ *

- - --

'__n

-- -

~'~(:


34/125

-

nos resul ta :

~

r.

I.

T~(t)sen(mt;) = -a

~

L

(n it): T ..{ t ) sen ( n itx )

na '

"r

'"

+

I

fn(t)sen(nitx)

11:1

( 7 )

"

I T.

(t) sen( O )

'"

O

"

I

T , s en ( n" )1 (la c ua l d ic e nada)

'

"

,(

\.:1 n-I J

t'h

frCf'll

~

(

',

I

tcw\~ o.c'"

~::>'

i'


35/125

'

c i n d i f e r e n c ia l ,

u b s ti t u y e n d o d e n tr o

el

dv

-(n~"ll,

{ (

)

2

)

-(n~"I:t

(

)

2

-(n~,,):t

f

( )

e

+ V

- nm e = - n ; r a ve + n t

dt

\

dv -t(n~QI:t

f

( )

dt=~ n t

integrando de O a

t;

v=c+

re("ea:$f)dt

"t)

~

~ ~

y por lo tanto:

. ' 1 b

,'

,.

/ .

"

1(t) =

;(n~a)lt

[

c +~"I";:(~t

1

'"

$

-

=

ce(neQ)lt

+

rte("C~}:(t-\

(.:}d.:

, \)

n

- -

usando la condicin inicial: Tn{O}=a~

'

se llega a

...._-

-~

-

\

Iy

(, .c\.

,) :----

i

'-i


36/125

,~

~"

'\

,,\;>.t

donde el prim er trm ino del lado derecho de la segunda igualdad representa la

5/

parte transitor ia

(que con$ id~181a

condicin .inicial).

y el segundo trm ino la parte

~. estacionaria

(aunque no estrictamente

estacionaria).

---\::>

(i..~~er siguenteP.' 'km a

por el m todo de expansin en

~iones.

.1 ,

-,{.

{

Ut

= a 2Un+ sen(3

T1:~;)

(1) u(O,t)=O=u(1,t)

u(x,O) =

sen(:


37/125

.

).

x

\,

\. '

\

;~t('.'~

,.-.'''''1''',

-

Cj.ji

..

y

~z.

"

.:",~". i..J

se

6T "

,e

~'.Hl:H.~

i'\"A

\

L~:";'::

c\~:-:-(

,,~

',)

,

'

,

.

2 .7 M E D IO S E M ''' HfIN lT O

"

L

,~ L.){ i[.',~~c ,6 v .;\

r:'",~vi'

" ..

,.

\,n" ,.'" '.

l.,

Hasta ahora se han visto problem as sobre intervalos finitos. Supngase

e

iguiente problema:

C2p

I

Cp

.

-,=-- ,

ex- TICt

x>O.t>O (1)

~. ~

..'~

(',

~\ 1

p(x = O.t) = O :

t>O ........

( 2 )

C on sidrese el m edio sem i-infinito.

'En la ausencia de

o t r a

fro ntera, no ex iste o tra co nd ici n d e fro ntera. S in em barg o~

es deseable que

p(x,t)

se m antenga finita conform e

X--fX.

L a condicin inicial es:

p(x,O)

= f (x) ;

x>O

""

(3 )

utilizand o sep araci n de variab les: u (x , t)

= T(t) X (x)

T'i:;.2rT=0 ; t>O (4)

X":ti X=O ; x>O (5)

una condicin de frontera en pila cual requiere que:

X ( O ) =0. L a lim ita r.:e e n el v 2 o r d e p(x,t) req uiere q ue X(x) se m an ten ga fin ita

conforme x --feo

.

Si los signos neg2ti\/oS son escogidos en ecuaciones (4) y (5), entonces la

solucin de (5) es:

X(x) ::: A cosh Ax + B senh ).x

pero X (O )::: O ::::;;A :::O :::::>(x ) :::B senh)..x la cual es una funcin que crece sin

lmi te s C O: fo fne

X-fXJ

.Per lo tanto se debe escoger los signos positi\/cs, 2s la

solucin de (5) es

J:(x) :::

~

cos ).x

+ B

sen ;.x

la cual pern,anece ;-':(20a cCllferm e X--f


38/125

x O :: o = A ~ X X =Slt he .

la solucin de (4) (tambin con el signo positivo) es:

T(t)

=

E/'11

P ara cualquier valor. de A:~

.

la func in:

,') ()

~~

.

(no se necesita incluir valores negativos de

p rop orc io na n n ue va s so luc ion es ).

.l.

. ya que estos

vatores no

L a c on dic i n in ic ia l s er s atis fe ch a s i B().) se escoge tal que:

p(x,Ol::::' fS(f.)Sen/.xd/. = f(x); x> O

~; pp(([.(t

Of"""


39/125


40/125

.

.'

. .

,

en la ausencia de fuerzas externas, la ley de Newton queda:

1.t~' f

..

. .

I

J'

J

.

.

O-:u ,

)/ 1


41/125

~~.Y~

'-..

~h~

jI

fA

e

...

C ond ic ione s I nic ia le s

/

,

u > y 0

d e de ~f'll:;; o .

f"

.e

.(x) = se~

n;:x

I

't'n\

a

)

n=1,2, ...

La

ecuacin (1 ) tiene a sig uente solucin

Tr.(t)=a.. .,COSAnct+ b",senft.nct

t\.6 ::>e- Cl ce-'P~a n

eO()~5 h?fXb

(fm

?U

~ c& flo.::::or C

pa \0

(ut( dlJ

i;-f

e - \ - - e U


42/125

.

.

.. .

0 : - -

,

r

I

.

/'

..

, / / . /

.

, / , / '

1 '

( N te s e q u e e l problemil

d ~ t r a n s fe r e n c ia d e c a lo r

f lu jo d e f lu id o s e n

p o r o s o s : , T - + 0 c o n

t . - + ; C - : en este prob lema oscila perid icamente).

:::,e

\

f.',"

frI.{) ~c \

( ,(~,)""r\tiaJ

-

A s se tien en fun cio ne s un(x.t), dadas por:

medios

.

('\

,

\

'

\

;;o

\ i

,;'

\.

h- or

e

l'

t

)(1(' ..",e'

,

8\

,--)..-'

C".I,)' L _',.'>

)

.

[

.

b

.

1

Un(X,t = sen /.~ .x 3,.C 05 /."C l+ "sen/."C1J

las cuales, para cualquier eleccin de 8n Y

bn .

son soluciones de la

ecuaclon

d ifere ncial p arcial y tam bi n sa tisface n la s co nd icio ne s d e fron te ra . a s:

te>

u tx .,- t) = : I .

s en A l \x [a",

COSA ,C'\. +br\

SU 1 ~d.] .'

r ; .: .1

..

(

~ )

..~~

cocJ ~ .-itlA~ cCNv\ bII'\c; c-;""

\ ; , -cd

tam bin es solucin.

eL (c..:..

~'

L..Je

~

c'VI

oS

Las condiciones inicia ::;s tienen la siguiente forrr,a

(

r:b

I

-nn)(

}

(}f.yO):: L

3"

sel1'l-

; :. f tx)

~

a.

o c::

)(


43/125


44/125

y :

: : ~ * < ~ l ~ ~ ~ i : , i '

.

',;\"'~:~:'f~Y::,:

'

;2U

2

(

i?y f2V ctV

)

=C --2-+-

a2 ew

2

f:w(tz f:1.

2

c2y {-2V

Se ha supuesto que: -:-:-::

~. -

'f:-:- : -::,,';'S:,j'

cZC'W v~J'CZ

,

1,:

:,~}

e

l

La ecuacin de onda (7) en trm inos de v(w,z), se tiene'

2 v

2y f2y (-2y (-2y 2y

--'-2 2----

2'.-

-2--2.- -2

cW cW c'Z rz cW

(w ; Z eZ

-.:

. . eY

lo cual Im plica

-

CVJ

(2

Y

;:

rv

-- -

= : O ~= -.'-

w~~z cz. c'.N

I

i

'"

r\ (

es Independiente de z. [> -:-- =

8(w)

( \ ,,'

integrando se tie;e: v =

J8(W)dw.-

< Xz)

donde < >(z}:=.constante" d integracl::. A s

v(W ,z) =


45/125

.

,

,femes de F rontera no hom ogne as:

. supone

ue propiedades no uniformes de la cuerda estn presentes y

C ondicin de F rontera no-ho mogneas se tiene un problem a com o:

e

(

U

)

p{x)

c2u

-:;-

s { x )

~

= ~ ;.+2

; 1< x < r

I

eX CA C L

~

r

u

J

a.u(I,t)-a2-:-(I,t):::C 1 ;

.

eX

C ondicin de Frontera

i fu

G.li,r.t)

~ 3. .-(r,t)::: c2:

l'

l

2x '

t>O (1)

t> O

. . . .. (2)

t> O

. . . ., (3)

C on dici n In ic ia l

/

I

( u

- ;

u(x,O ) =

f(x): -.-

1

(x,O ) =

g(x) , (4 )

l

e

~

J).

\

'

\\

~ '

Q

I

I

I .\

.

--

:~

\

-

',

:,'

I

'

1,

-

v-

}

".lv

ve:'

0\."'0:

} \ t;I\(:'C '"

d

J

\

\

\

r

1{n . (?JJ21

'() I C l, te .

~

Z.:.

.

iC

c' /

\ \ ':

\ :1 .

- i V l~~JiCL LL~"

'

(' r'

;--,,~:,

'

. ,

.

,

;.

i n

'1

:

( . r


46/125

, , .

(

I

- - - -

_ u _ - . .

- - -

: - ~ - . - - .

..

- - -

_ .

. . . 0 . . _ .

. o - - - . . . - - , .

- - -

( -

J

0 ._ - . 0 _ - - - - . - . - - .

P

7 Y C / ' : : - j f /

2 : ' ' : . ~ , - . - -

_ - - - - - - -

. --

n

._ . - -

-- -

.

-

.

~ t ) - . I ~ J.::

_.~.:)

-~

w C-t/.~)

: -

L-.. -

~

.

9

rJ d;.

.N\-()~~

)

-. ,

- -- - --

-

r

u .. L ~-

\. J. 0 .. .) - t )

I

v.:> .i", (,/J.j

/..A- (~ j 'f'

j

-::.

...

r

. .. ,A / . /

'--"-

:/

j

-f -"",,

_~:?~~f;=~_..

~

.=:_~

'--=~_.~

.

t '.

tI

c ,'

'\

.

: . . . - - -

'\

.

( . , ~

'- -

/ , ' -

< . . . r

'J '

o

. . . . . . . . .

- - . . .

: -

- . ; . ~

, ' ' ' ' ' ~ ' '

- . - -- -. --

' ' ' - - - - . . - - . .

J--t

-

) . ( .

.

C 7' -

I i'

\

. ,~ ' j

'- '1

~ ' : .

.y

-_ o

-

-. -

~

- - - -

.

1

-. .

-~

. .

~ - _ . _ _ . _ _ . _ - _ . _ _ .

- . . - - . - . . .

. -.

--'.- - 'M .-

~ - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ - > - : ~ / : ~ :'

- - - - - .

'-

- - - . . - -

- . - - - - - - - - . . .

- - - . - . - - - .

c.

)

,

:J.

~~.~

.; .


47/125

. C on dic io nes d e F ro nte ra n o h o~ og n eas : .

S i ah ora se su po ne q ue p ro pied ad es n o u nifo m1 es d e la c uerd a e stn p re sen tes y ad em s

condic iones de fromera no-homogneasse t iene un problema como:

l ineal homognea

~

(

~

)

( )

~,

o

r;u p x O 'U

- S

(

'{

)

-'- = --

.

ex

.

ex. c

1

C 2

.

l O

. . . . . (2)

t> O

C ondicio nes inici21

f u(x.O) =

f ( x ):

l

cu

cT(x.O )=g(x) ...,. (.f)

dond~ las funciones s(x) y p(x) son pOsili,'as para l:5x5r. .-\dem s s. s', p son

i'

continuas, s' y p no tienen dim ensiones. y al,

CJ.

l' 0 I . 0 1

son m ayores o iguales

a)~:

cero. Para obtener condiciones de from era homogneas se puede escribir) a:0tO . ~ C\'i~H '14

C \

qv'CL

\ f'yobkvnCl r5 {eq ulo'(. . 1,;"'> '.

()

: ;:.' (ID O (\ 'Y\I

u(x, t)

= ,'(x) + w(x, t) (5)

E n la ecuacin de onda los tIT J1inos:estacionario y transitario no son apropiados, ya que

lim u(x, t) ~ v(x) y tam poco: lim w(x. t)

=

o.

.

t-4CC

t ~

S in e m ba rg o, v re pre se ma u na i QI1 c :j ne e qu i)ib rio j la c ua l sa tis f3 ce :

(s v')' =:

O

)


48/125

..

U:

(}J4-V O

O).

l \\"(1 .1 ) - a ') -;-:- O .

t) = O

. . . . .

-

ex

C\V

t> O

(8 )

w(r.t)+p2

ex

(r.t)=O

. . . . .

\\'(x.O)=

[(x) - v(x)

I 0

.""

(11)

Jt~df

,JiJ..t

(S 9

,

') '+Pi.~y

.

=

.

O . 1< x

.

'

< r '..,.

(1:)

r4

IP ,

~

\~

a,Q(I)-a,Q (1)= O . t> O '.,.. (I~) }~

La solucin para T es:

S:.t)'..'\+

' 1 . ' 5 ' ( : 1 . )

- '\

~

-- - -. . ----..

~

~

()() CT

y por lo tanto:

(ti')('

L

X

~0,() 22-

p9(r)+p29'(r)=0 , 1>0

(14)

Tn(1)

= an eos ,,,ct + bn sen 'net

~

w (x, t):=

t

9r o (x)(an eos )'roel + bl) sen I_nel)

ne l

co n co nd icion es in ici2Je s:

(St) 'l)

\+'(

Q Q() ~L:; ()

':G,',"~-:;JJ1C;J

w lJ0.) :

f

c(\ l 'l ) La.-. lw ~"C :t 1- 'o"

'lQMAftC'i. ,)

ru:.l

W l (lO ):-

- \ CJL'"U

('1)

}'

.

.

).Ot"

.

'"')

"

,.

lt).1

C \M ( W 'O 4-~t1

~

/

fc~,-0

l~) '>"A .., 'fJf\ '\ /

/

I\.~O

~u) -

\l~ ~

~"""

C}"-

l:f.)

rp..

i

a..A:


49/125

~

q> ti-

(()

~

cIu.

QQ,\1 :0 C; :

l

Il..c.

)

4-

~

W\ ~ ; \ =

r G O ' \ . \ J \ Y - ] cp ~

-

I\::t

1"

D

J

Ch

J

~'LM

dI(

=

:(

l

donde:

bn = fg(X)9n(X)P(X)dX/IJI IC

.,

I~ =

J,

9=II(X)p(x)dx

Fina] m en te u (x ,t )= \.( x) ~\ \.( x,t) e s J a s ol uc in de] p rob] em a orig inal.

D e ]a fonna de \\'(x,t) se puedenhacer las siguientes obser"3ciones con respecto 2. u :

1. no tiene lm ite cuando t -+0':). Cada tnTIino de ]a serie de w es peridico en tiem po y

no t iende a cero.

2 . E xcep tO en ca so s m uy esp ec ia es, ]o s ejg en \'a lo re s i.":; no estn relacionados entre s.

D e esta fonna. s u causa vibraciones acsticas. e] resuJtado no, ser m usica] al oido (un

so nid o es m usic2 1 s i p or e jem plo

i." = ni" ,com o es el caso de una cuerda unifom 1e).

3. En general, u(x,t) no es perodica en tiem po. A unque cada tm 1ino en la serie de w es

peridico y ]os trm inos no tienen un periodo com n (exceptO en casos especiales),.y

por 10 tanto ]a sum a no es peridica.

~

E jercicio.- Identificar el perido de Ir.e ) (del ejem plo anterior) y la frecuencia asociada:

In(t) =

a"

co s

i.~ct

+ bn sen i."Cl

si a = pcrido. enonces:

I"

(t)=

I"

(t~a)

. 1/ ': ; C l1 u jI lC t ). , I


50/125

T,,(t + a) = 3,,'eosi.nc(t + a) +

b"

sen ,,,c(t + a)

: iC

l

.

ca

=

?

iC

=>

a

= -

n

_J

.

l'nC

(segundo)

2i1 .

frecuencia

= - =

el.

a

:1

(radiales/segundo ).

-

-

Estil1l3cin de \ 'a]ores c:3racterstic0s:

En m uchos casos. no se estj interesadu en la so luci n com pleta de ]a ecuacin d e onda sir~

en las posibles frecU e ~Ci3Sde \'ibr~cin que pueden ocurrir. Por ejempJo. es de gr3.n

im p Or 13 .1 1C iaa be r a s T r.:o cu en cia sa ] =:sc ua le s lIn a e :m u ctU ra p ue de \'jb r~ :r. c on e l fin de

evitar1as . Jnspeccic ':1ado 13so]ucin ce J ecuacin de onda gen er::d iz::dJ. se pu ede ver que

bs frecuencias de \'ibr2cin son i'a

e ~:L . 11= 1.1..3 ... " As se deben ~ncont.r2r los

ei-~en\"alores i.2

n con el f in de identi fc: :. rlas f recuenci :: sde \ 'ibrac in.

j

J

- .

C ons idrese e l s iguien te p rob lem a de Srunn-Liouvi J e :

1)

(

""

)

'

6

"

.,'1,

O

S9 -q;"7"1: P9 =

1< x < r

(1 )

9(1) = 9(r) = O

donde: s. s', q, y p son continuas. y s y p son POSHI\'3Spara

Si Q) es la funcin carac,erstica correspondiente al valor caractersfico m s pequei10 i.l~

e1) J~nces ~I sat is face ( 1 ) para

1'=;'1' .- \lt em a ti \'am em e , se puede esc rib ir :

.

(

,

'

)

'

, -,

A

- s9 1

- : - q Q I

= I" J .P'i'

1< x < r

~

':1uJti pli ca ndo por

91 e imegrando de 1 a r.

"'J

.

r

f

.

r

I

-

(s$\ )$\dx + qf:dx

=

i..)

2

J

pfdx

.1 ,

-1

,

...

f::regrando por p3I1eS 13 prim era integra]: se tiene:

"

S

r

A = -s9,'$d,

-; .

I

SQ,'9'dx,

Uu./('m~;i(t,;.\ I


51/125

"

,

,y~.A"""

iA

'U

p ero Q I(t)= ~I(r)= O.

. .

r

r

i

r,

2

i

r .

S(~1)2dx + qQ",dx = '1 p~"ldx

( I I

como p(xO para l ~ x ~ r t la in1egral del lado derecho es positiva y tiene:

,

,,;r,,

)

,

~"

')

r~\~'j

"

r -r

i

1

-

.1 ,

s($,')1 dx +

.1 ,

qfldx

-

?'(~1)

. -

[

pcp1d

-

0(91)

. . . . .

(3 )

Se puede dem ostrar del clculo varjacional que si y(x) es una funcin con 2 derivad

-. continuas ( l 5 x 5 r) y que satisface: y (1) = y

( r) = O entonces:

,

:

,

~(y)

l

,-

'1

-

O(y)

(4 )

E ntO n ce s. s ele cc ic na ;d o u na f un ci n c on vc n;e -n le -'y . b c ua l s 3tis fa ga e sta s c on dic io ne s.

puede en con m:r un estim ado para i.:. G eneraimem e el estimado es bastante bueno.

debe recordar que 9,(x) no cruza el eje x para (5 x 5 r de tal forma que y tampo

debe cruzar lo .

E jem plo] .-

7--

.lll.J..o1A-

0

't '

. /.

't '

-

O


52/125


53/125

r.~"""

#,..;.",

)

~;E:.:.

"

"'@

{- : , ..,1-

7 '"1

.

,

- Ecuacin d e o n d a e n r e c io n e s n o acotadas.

C o ns id r es e e l p ro bl em a :

a1u

] a1 u

t > O .._;-'.? O

(1 )

-:;- =

--:;---;-

6;.- c- ct-

u(x.O)=

f(x) x>O'

(2 )

Cu

-:-(x,O) =

g(x)

C1

x> O

(3 )

u(O ,t)=o t > O

(-i)

se

r eq UJe re q ue u (x .t )

se a

fin ita con fo n1 c x -+

;,:. .

Separando \'2.rjabJes: u(x.t)= Q (x) T (n . y

, .

.

T'+f.-c-T=

O

t,

t> O

,.

o

q,(0)

= O

(:>:)I

sea finita

de dond e:

", .

\

T (t)=..\ C05 i.ct+B se n iJct

(x )= s en

i.x

~' : :"~

,-'...

'./,

.//",lr(/\

;/

t.. "-~(.;::,, t

I

.

O

Cu

r

::-(x.O)

= g(x)

=

i.cB(i.)sen .:\ di.

C1

.

x> O

C om o e sta s e cu 3c :o ne s s on in te gra le s d e F o urie r. e nto nc es:

\

1 ., :, '1 1: :, :/ ;( l ,' .\ I

~~ ;:-

,.-.

(5)

...


54/125

~-=\

~;;7;'

J

.'::':;1

. .-

'~

/ V I L '

,

. ( t ~ I u J~

11

;.

cjJA/1

I /1W1

.

IV '

(.

(

v.

.,

J

c

.

AC}.)

=.:. f(x)sen i.x dx

.

;r O

.,

f

...

-

B(i..) = -=- g(x)sen il.xdx

;i.c O

Es suficiente con requerir que: f

r.

f ( x

}ijx

- o .

existencia de A y B.

v .

I:

/g (x)Jdx sean finitos para garantizar J

La diferencia de la solucin (5) en tem linos de la Integral de Fouder es que no es obvio

co mo es la fo rm a d e U(:\.1 ).L a so lu ci n d ed 'A lem beI1 p ue de se r til. A s:

\;I(X ) + 0 (:.;1

= f(x)

\;1(X) - (x)

==

G(x) -+- A

\

\

\

"'-,-.

u .(x . t) =

1r(X -+-et) + ~(x - et)

"

Las cond ic iones in ic i: ;i es ~e reducen : ;:

.

.

con x> O . d on d e:

1

f

'

(x

)

== -

Q

(

v)dv

c -o - . - .

y A es u na constam e 2 Jbitraria. D e estas co ndiciones iniciales:

1

\V(x)

==

:;(f(x) + G(x) -+-A)

x>O

1-

9(x)

== :;(f(x) - G(x) -

A)

x>O

f. G estan conocidas p23 x > O,

1

..'

'V (x + ct)

=

-(f(x)+ G(x -+-et) + A)

2

x>O

- ('

(

.

? .

(

i'J

,)

i

. .-t=-~~~r:. '":

,,\

-

-"

. ~

,.

/. I

t2:0

...

pero (x-ct) no est definido para x - e t


55/125

-

Q;j

donde f Y G son extensiones de f y G.

C om o f Y G son independientes, entonces:

f(ct) + f( -el)

=

O

y as se puede detem1inar f y G.

Finalmente:

G (e t)- G (-e l) = O

,

(

:

-

"

(

.' I -.t

i'\

,

'-~-':"

".~.

'.J

u(x, 1) =

*

[f(x

-'-

el) + G( x + Cl )] +

~ P\

x

-

et ) - G(x - el)]

(6 )

E jem plo: G raiic;:u ]3 so]ucjn de (j)

- (-n para "3rios icm pos. para ~(\)=O

\.

f(x) CO::

se m uestra a com jnU .3Ci ;1:

"

,.:.t'.:.

-..

'-~

- .

/:

./

~

/v


56/125

'1

-f(x+ct)

t=O

x

a

t=a.Cc

x

L

t=a/c

....

.- ....

.-

....

x

t=3a 2c

'"

-

....

.-

....

.-

.-

"".-

x

J.

t=2a/c

Q

"

'

a

"

\

V j">

jo

x

/0

/~

( f

/

i-;

[(x + ct)

~

x

-~

I

~

)o

x

J.

l

~

a

x

)o

..L.

y~

)-

x

4a~

V

jo

x

r /\ V ;;;

'- -',

"

~

R esol~r el sigujem e J2I.9b]~I1]a por

el

m to do d' A Iem berr..

100Yc..o-

---:;.

.;r---

'f:.;lt'ml~'/I(' ...',r;


57/125

I

.. ;

- -/

// ,

\

V

)11-

..'

,

t.~

1)

,

j'}; IV

r/ /

~

. b. O ,.)C) b .

~,

e'u

J c~u

x>O

t> O

----

ex:

-

c= 21=

u(x.O) = O


58/125

'@ )

@ u no puede tener un m xim o o m inim o rdati\'o dentro de 13 regin. a menos que u sea

Cu Cu

constante. (Si - = - = O en un punto entonces $e tendr un punto siI13).

a e)'

J

\

1

\1 ,:

l'

(t1CJ) i I

/,

.

@ L a ecuacin de potencial con condiciones de frontera N eum Jnn no tienen solucin

nic ~, y a q ue s i ';u " e s s olu ci n t am b i n " u" m s u na c on sta nte e s s olu ci n.

k.

lX):: X

O


59/125

.

x = A cos h Jl x + B sen h Il x , y=C cos J .1y +

Osen J.1y. Para satisfacer

(3) , A Y B

deben ser = o. Por 10

1a nt o se trata r una cons tan te

negatiya:

X

..,. i~2 x= O

Y _,,2 y=O

tom ando en cuenta (3):

X

n

(:x)=se:1

i,

n

x

l. ~n= (n

i iai

y:

Y

=

a

(O S h i.n Y

-i-bn

scn h i.n Y

3si:

u(x.y)=

I

(3, COS

h i. Y - b sen h i., y)sen i'l\

:\

r..)

usando ]as condicones de frontera en y :

.

'.

-,-J..~

/

u(x,O) = I ~ ~

s.:.:1(~xJ=,

f(x)

n.

\j--...-.

..

/S .

(1a c ua l re pre se nta

una serie de F

ourier).' \'

~

5 ,

),..., x.

0


60/125

1

1--

e

{

sen h( n ~y / 3\

UX \'= C

")

~

n

senh('1~b/a9

k: :

O

(\ )

(10)

/

[

(

n;y

)

cosh(nitb / aO n;Y

J}

+ a cosh

- -

se n -

a\ sel1h(n;b/a~ 3t

k

.

't ('

.

~\,):

(

I1(X

)

en

~

r.

f scnh(n:1\' I a)

u(x.Y)=ic,

.'

"-, l

scnh(n;b

I

a)

:.

:? _:.2

:i~,'

~...:...

=

-- -

-- :

.'

senh i'o(b- y)

(

n;X1

-1a

n .. se n -

)

'

senh l.

n

D a

/hro

.,..:

/

./

.

/7

e . c // "" ) '

s

~..J'

.: /

-" .

feo"" ;;. ..

(

.

~

.

')

.

'

.

Tare)

EnCunt"

.

~~

.

1

..

a,soIU

.

dn

.

,y grafi

.

QUeSe

\

~

(1

'~LP

:/"

Jp tl3

',\~

'-"~'~'.'--,

~ 2x

u(x y) para el caso en que a=b y: (Problem a

/I{ r

./0 / :

i-

I

.,

.)

a

O


61/125

u(x.O)=f.(x) . U(X

,

',b)=f2(X) . o


62/125


63/125

.

t~

~

es un

generaJ izado y el mtodod,eseparacinde variab les no puede aplicarse .

O


64/125

."

:.

':~.

-t~~.

e

(

n1tx

)

-~

ul(x~y) = La. sen --.:.. e .

..1 a

L as constantes 3ft se detenninan d e la condicin en

l;1J,J

L a so lu ci n d el

2ndo

p ro ble ma es co mo sig ue:

u:(x. y)

=

X(x)Y(y)

X

y.t.

'

~-

X

- Y-

-+ -

Y "+~ =Y = O

FtA);

o.()

(i .

~ s ert

'

;" 1 ;

I

/) '

~

(;\. ,

,'t:"'A.

d

1::;

({-;./H'?

-z:-

S e escogi el signo de Ja c onstante opuesto al deJ prim er caso. U sand o Jas condiciones en

-.v= O \" Y d ebe ser finita cuando \'-;--+:r.. '. ~

,

.' I

.. t'

r

,.

- .'

/, t,....

j,..",

(V""""

. ~./

: :

, 1,;-

,

" ,/-

/,.'

.

,)

A-'; '

- .J

.. .

, Y ( y)

= se n ~y V'~ > O

~:~..

/

,.

.

J a s oJ uc i n p ar a X . es :

I

i'

I

",,

P'

~

I

~

.

"

.

((.-

- ':

senh ~x senh ~(a - x)

X(x) =

A + B

senh J-la senh tla

.

L

cOI7S anleS~

Y a que ti e s u n p ar m etro c on tin uo . se tie ne :

. .

r[

' senh ux

.

-se nh J .l(a - x)

1 '

.u1(x,y)= A (~)

,

+ B(~)

J

sen ~y d~

senh J l3 senh ~ a

. .

L as condiciones de from er no hom ogneas en '>.:=0 y x=a son satisfechaS s:

.

u :(O ,y )= rB (~ )sen J.ly d~ =g l(Y )

u :(a , y )

= rA (~)sen ~yd~ = g2(Y )

::c~ ('.o c." f';"'< -

: :: j .: ;',~

e../

p'"

,s'./c,..,..."-,,,

t-

las cuajes son integrales de F ourier.

L--t>

It

-

o t-, t

. .,

y> O

-

r.;(~ \ :.~-)

-

.,

"

.

O

1'-.r.

\

r'

,L"'>

"

y > ::

\...

V;')

. ::..

"1 '. J

.

- -";-)

'"

J" '. "l'"

/

,

I

'.

.

~~ \

/

I C/ \

_.

~

- - -- (" ': ~- -

.

-/.;--.

I ./

~,~

'

'(

/

..

\

I

\ O hiperblica

,.

(."" / .-'"

I

I"'-"""'(~""""

-/-

.'

Ya que A , B ,

Y e son funciones de

~

y ~1' (pero no de u). la clasificacin de una

ecuacin puede variar de un punto a otro punto. Es fcil \'er que ]a ecuacin de calor es

p arab lica, la e cu acin d e o nd a es h ip erb lica. y la ec ua ci n de p oten cial es elp tica .

L a clasificacin de una ecuacin determ ina c~acterfsticas im portantes de la so1ucin y

tam bin el m to do d e so lu ci n n um rica.

'.

E l m to cJ o d e Je fe re nc ia d e " ap ab l.e s n o s ie m pre tra ba ja . P or e je m plo la ,e cu ac i n.

.. .. . .

1

.

.

.'

.

/-

e

J ~

/

.-''''L

-

-~

(7

)

-::

e

t :

\

.

'/u'~""\.l':1 .

,

.

82

u

82 U /

I


71/125

3.- SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MTODOS DE

F UN CIO NE S D E G RE EN

Id ea .- C am b ia r e l p ro ble m a o rig in al p or u n p ro ble m a lla m ad o a dju nto , q ue g en era lm e nte e s

m s s en cillo d e re so lv er y tiI

.

lu ga r a u na s olu ci n in te gr al a l p ro ble ma o ri gin al.

a;\

P roblem a original ~

Problem a adjunto ~

(Problem a de la funcin de

Green)

S olu ci n d e tip o in te gra l a l

problema original

3.1

APL ICACIN A ECUACIN DIFERENCIALES 'oRD INARIAS

E n e st a p ar te s e v er la s olu ci n a ~ a sig uie nte e cu ac i n d ife re nc ia l.

Lu=~(x)

(1 )

donde L es un operador diferencial ordinario lineal de orden n :

(L(av + pw )

=

aL v + pL w)

dO dn-I

L = a o(x )--;- + a(x )-

d

11 -1+...+ a"

(x )

dx x

(2 )

L as n con dicio nes de fro ntera estn d ad as p or:

B/u)

=

Cj

j = 1 ,2 ,..., n

(3 )

donde Cj son constantes dadas, y las Gj s on c om b in ac io ne s lin ea le s d e u y sus

derivadas.

Com o L Y Bj s on lin ea le s e l Principio Superposicin e s v lid o. E ste p rin cip io e s b sic o

para el m to do d e fu ncion es de G reen .

Aplicando integ racin QQ.rp arte e n fo rm a re pe tid a s e tie ne :

f

v L udx = [ . . .

]1~+

r

uL * v dx

(4 )

donde

L*

e s e l o pe ra do r d ife re nc ia l fo rm al a dju nto a so cia do c on L .

Por e jemplo :

d2

d

L = ao(x)-

d

? + a ,( x) -

d

+ a ,(x )

x- x-

Matemticas I


72/125

r

vLudx =

1

(vaou"+va ,u '+va2u )dx = (vaou '+va,

u*

+ 1[-(vao) 'u '-(val) 'u+va2u]dx

f

= [v ao u l- (v ao )'u ]l~ + 1 [( vao) "u '- (v a, )'u + va2u ]d x

=[vaou'-(vao)'u+va,u]l~ + f u[(vao)"-(va,)'+va2]dx

as:

y

L

*

,-

e

)

"-

(

)

' '-

,1'

(

1

\

)

;'

(

'

", .

v

- ao v al v +a2 v - ao v + _ao - al . \ + ao -al + a 2 )v

y:

d2

,

d

L*=ao

dx 2

+ (2ao -al)

dx

+(ao"-al +a2)

Para el caso donde las Cj en (3) son cero (condiciones de frontera hom ogneas) se tiene un

o pe ra do r a dj un to

L*

por:

~

< Lu, v >=< u,

L'" v>

(5 )

donde el sm bolo: < f, g> es llam ado producto interno (punto o escalar) definido por:

< f,g > = ff(x)g (x)d x

(6 )

A s com parando (5) con (4) se tiene que L* m s co ndicion es de fron tera q ue hag an q ue

los trm inos que operan entre [ ] debido al proceso de integracin por partes

desaparezcan."

/'

Yi" 'J-

: ~/. i

.,:

d

Por e jemplo , L consiste de L = -

dx

e n e l in te rv alo O : : : ; ; x :::;;1

,

ju nto c on la s c on dic io ne s

de frontera: u(O )

=

3u(1)

:

B(u) =u(O) - 3u(1) = O

< Lu, v >=

u' vdx = (uv)1

~

-

u v' d x

/

M ate m tica s I

.)

/

( .( )

t )

tt}

-::


73/125


74/125

~c -

-

2

I

-

~~ k

k

-

2

1

-

Wk(X)

:

k

w

(

x

)

-

k

-

(1

k

1

"

)

t + -x-

k> O

M ate m tic as I

x

(2 )

f


75/125

W

k

(

X

)

k

7 T

cree

/~. :30

~

x

Estas dos tll l1\ 'I '\ \" '"

satisfacen

[

\\, (x)dx = 1

7:

'

Si permitin\l \s

"

)

,x ' . se btien e la fu ncin delta; fu nc-;

';pulso:

o ( X )

= lim W

k

( x)

k a:>

actuando en ,-

Esta defini,'"

,1,'1;1lmcindelta no tiene matemticamentr'

-,'_fJtidoya que

lim

.a

k- +

In tr od uc ie l" h' ,'1

,,% 'i.'p to d e fu ncio ne s g en era liza da s a tral

,1

siguiente

funcional:

[g(X)h(x)dx =

F

(h )

1" /

)

A cada fUI1,''\\\ h I'ateneciente a una clase D de

f UI 1C ,, /,J ~, d om in io d e F, el lado

i zqu ie rdo Jsi~ :1 \,\

;. \ \ .lIor numr ic o , F (h )

.

E l d ~n 1iI1 io,k ",

U . con siste

~e funcione~_suaves4lle dl '1" .: /1

r~te-eILrllnfinito.

P or d efin i,'\\'\1

1 ) es el co nju nto d e to das la s fu nc i(\1 1\', "d II}I~ a _~ ob re

~-~_.~ ,~----

Matemticas I

,


76/125

-

00 < X < oo. las cuales son infinitam ente diferenciables y que son iguales a cero fuera de

un intervalo finito.

A lgunos ejem plos de funcionales son:

[,

g(x)h(x)dx

=

[h(x)dx

(6 )

a la funcin g(x) se le denom ina la funcin escaln H eaviside& funcin escaln unitario

de finida por:

H(X-S)=t

x > S

(7 )

XP> S

H (X - ~)

1

x

~

(la c u l e s u na fu nc i n o rd in aria e n e l se ntid o c l sic o).

J i ~ . ; ( L c {-

t, ,rf.

I

Ah or a s up n ga se q ue

F

(h) esta

dada c om o s ig ue :

1

;

-

I

s-t.;: .:

()c}

"ti'

r-'"

--:.

[g(x)h(x)dx =

h(O) (8)

En este caso no existe una funcin ordinaria g(x) tal que (8) se satisfaga para todas las

funciones h en D . A s g(x) es una funcin generalizada, definida por su accin sobre la

funcin h. N o tie ne s en tid o h ab la r d e lo s v alo re s d e u na fu nc i n g en era liz ad a.

A la funcin generalizada definida por (8) se le-conoce com o la funcin im pulso o delta,

8(x)

.

Matemticas I

-

i


77/125

As:

"

[

(x)h(x)dx

=

h(O)

(9 )

E sta d efin ic i n d e la fu nc i n d elta e s rig uro sa . A s c on sid era nd o la s s ec ue nc ia s W k (X ):

lim

[

Wk(x)h(x)dx

=

h(O)

k-+oo

Ct)

(10)

N ota: E s el lm ite de la integral, no la integral del lm ite.

N ota: C ondicin suficiente (pero no necesaria) para que se satisfaga la siguiente igualdad,

E~

r

fk(x)dx

=

r

E~ fk(x)dx

son que: lim fk (x)dx converge a F (x) , uniform em ente en a:$ x :$ b

k->",

E > O, no im portando que tan pequeo, 3 una N tal que

. Esto es que dada

o

F(x)- E< fk(x) < F(x)+ E en a:$ x:$ b

\ik>N.

"

Por ejem plo considerando la eco ( 2);

[

k

I

X

k 2

lim wk(x)h(x)dx

=

lim -

1

h(x)dx

=

lim - h(~)-

=

h(O)

k->'"

'"

k->", 2

k k->'" 2 k

"-

u tilizan do el teorem a d e

v alo r m ed io d e in te gra le s

As: W k (x) definida por (2) es una secuencia .

El uso de (10) algunas veces no es sim ple, por esta razn generalmente se utiliza la

s ig uie nte d ef in ic i n (l a c ua l a plic a a c ie rta s s ec ue nc ia s d elta ).

S i w (x) es una funcin no negativa satisfaciendo

[,

w(x)dx = 1 , e nto nc es k w(k x) =wk (x )

e s u na s ec ue nc ia d elta .

U na p ro pie da d d e la fu nc i n d elta e s la p ro pie da d d e d es pla za mie nto :

M atem ticas I


78/125

[:xc

8(x - ~)h(x)dx = h(~)

(1 1 )

.- /

U sa nd o la d efin ic i n d e fu nc io na l d ad a p or (5 ) se tie ne :

[:xc

g '(x ) h (x )d x

= g(X )h(X (: [,

g(x) h'(x)dx = - fg(x)h'(x)dx

"'"

(12)

(y a q ue h(x) = O fu era d e u n in te rv alo fin ito ).

As si : g(x)=8(x-~), entonces 8'(x-~) est definida por:

fe o

8 '(x -~)h(x)dx

= -

[" ,

8(x -~)h'(x)dx = ~h'(~)

./

. . . .. (13) ~

Repit iendo este proceso :

8(n)(x

-~) est definida por:

[

8(n)(x

-~)h(x)dx =

( -l) n h (n )( ~)

(14)

A hora la derivada ordinaria de H '(x - ~)l-

, a causa de la discontinuidad de H ( x - ~)

en x = ~

; sin em bargo, en el sentido de funciones generalizadas si existe H ' (x -~) ,

[,H '(x-~)h(x)dx= [H(x-~)h'(x)dx=- rh'(X )dx=h(~) (15)

(ya que h( 00)

=

O ) pero

[, 8(x - ~)h(x)dx = h(~)

Jt

:.' H (x -~) = 8(x - ~.)

. . .

"

(16)

-

l

Nota.- E sta ecuacin debe entenderse en el sentido de que si se m ultiplica por una funcin

h en D , se integra de - 00 a 00 , y se u sa e l co mp orta mien to fu ncio na l d e las fu ncion es

g ener ali za da s par a e va luar la s in te gra le s, e ntonc es e l r es ul ta do s er una igua ldad .

O tro e je mp lo e s:

x8(x) = O

(17)

ya que xh( x) E D , entonces:

[,

x8(~)h(x)dx

= Xh(X )L=o = O

(18)

M atem ticas I


79/125

\>

f\

Tar~a.

- G rafique las siguientes secuencias, y verifique que son secuencias delta:

~)

o

Ixl>

lik

a) \V ,(x)= 4kcx+2k

-lik

~ x ~ O

-4kcx+2k

O ~ x ~

lik

2k

- J - { k

J - { k

-k

Ix l ) {

M a te m t ic a s I


80/125

.

Wk(Xj

i/2k

*

*

I

*

*

I

I

)

-]k

-~ k -~ k

(

]k

..

2) D erivar la siguiente form ula:

J

H(x - s)dx

=

(x - ;)H(x - s) + constante. . . .. (19)

3) M ostrar que: 8(x - q = 8(s - x) . En forma ms general mostrar que si: f(S) es una

funcin m onol nica (creciente decreciente) de

s'

la cual desaparece para S = x ,

entonces:

8(f(s)) = 8(s - x) / f'(x)1

(20)

M TODO DE FUNCIONES DE GREEN

E n esta seccin verem os el desarrollo del m todo de funciones de G reen para la solucin

de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden. n con condiciones de frontera que

c on si ste n d e c omb in ac io ne s lin ea le s d e la s v ar ia ble s d ep en die nte s y s us d eriv ad as .

E je mplo 1 .- R g ime n p er man en te , 1 d ime ns i n:

d2~p

~

- =

--q(x)

dx

2

kA.

~p(O) = ~p(1) = O

(21)

donde: q(x) es el gasto unidad de longitud (Se extrae o se inyecta fluido com o funcin de

x) .

~p =

p - p(x)

M atem ticas I


81/125

/ E l punto de inicio en la solucin de. (21) por el m todo de funciones de G reen es utilizar la

ecuacin:

f

vLudx = [ . . .

t

+ fuL * vdx

reem plazando v por G (la funcin de Green) y la variable x por ~. se t iene:

G Lllp d~ = [ . . . t

+ llp L

*

G d~

(22)

llevando a cabo la integracin por partes con

se t iene:

)

..t.'

L =

de / d ~- Y

Lllp

= -

kA

q(x) = ~(x) ,

G~d~=(Gllpl-llPG l;{ +

llpG~~dl; (23)

S e h a u tilizad o lo s sub nd ices

~

en G p ara in dicar d iferen ciac i n co n re sp ecto a ~ , ya que

G es tam bin funcin de la cantidad fija x.

/ U tiliz an do las co nd ic io nes de fro nte ra e n (2 3):

G ( ~,x )~ (~ )d~ = G ( l,x )llp '( l) - ~ p (1 )G s (l,x )

-G(O,x)~p'(O)+llp(O)Gs(O,x)+

~p(~)L*gd~ ...,. (24)

A hora se puede escoger G de tal form a que (24) nos sum inistre la solucin, al problem a

original (21), lo que se requiere es que:

L*G::::8(~-x)"

de tal form a que el ltim o trm ino sea IIp(x) .

Observando los trm inos de frontera, el lero y el 3eroson no deseados ya que ~p'(O ) y

~p'(l) no son conocidos. Estos trm inos pueden elim inarse requiriendo que:

G (O ,x) = G(l,x) = O

as, si la fu nci n d e O reen satisfa ce el sigu ien te p ro blem a d e v alo res a la fro ntera :

LO O

= G,,(~.x) = 8(~ - x)

. . .. .

(25-a )

,(

. .

/

"

,

\~ ( (-

\

'

,

'

~

'1

.'

\~

(,

M atem ticas I

v


82/125

G (O , x )

=

G (l, x)

= o

(25 - b)

entonces la solucin de (21) es dada por:

~P(x) =

G(c;,x)~(S)dS (26)

-

-

-

A ho ra in te gra nd o (2 5-a ) u tiliz an do (1 6) c on x fija :

\

'cJ(G-X)"

G.=H(~-x)+A

' '

o

'

:'

I'~

- ~ '

-

donde A es una constante. Integrando de nuevo la ecuacin (19):

c\

-

r

-'

-

G = U; - x)H(~ - x)

+ As

+ B

(27)

u tiliz ando las c ond ic iones de fr on te ra

(25-b):

G(O,x)

= O= O+ O+ B => B = O (28)

G(l,x)=O=(1-x)+A+B (29)

:. B=O,

A=x-l

y

G(s-x)=(s-x)H(s-x)+(x-l}:;

'

(30)

G(~,x)

IC,c

x

O

s

As G(~,x) es la distribucin de presiones com o una funcin de s, debida no a una

distribucin de gastos ~(x) siendo a una fuente puntual 8(s-x) actuando en el punto

~=x .

M atem ticas I


83/125

La ecuacin (30) se puede escribir com o:

{

(x -IX ;;

G (

S'

x)

=

(s - 1)x,

s::O;x

( 3 1 )

,

? '(

'1

.

:2:x

se puede observar que G es simtrica, es decir G(s,x) =

G(x,s)

.

E sta ca rac terstica se

debe a que el adjunto del operador es el operador mismo. (L*)

=

L,

B* j =

Bj , j =

1,2 .

A s la so lu ci n (6 ) rep rese nta la su pe rp osic i n d e las d istrib ucio ne s d e p resio ne s d eb id as a

fuentes puntuales .

G e s fre cu en te me nte lla ma da la fu nc i n in flu en cia .

D eb e n ota rse q ue la su perp osic i n en (2 6) e s u na c on se cu en cia d e la lin erid ad d el o pe rad or

L,

[L = d / dx2, B 1(~p) = O = ~p(O ) = B2(L\p) = ~p(l)].

En el caso en que las condiciones de frontera no sean hom ogneas el procedim iento se

m antiene igual. A s G sigue estando dada por (30). L a n ica d iferencia es que los trm inos

de frontera no desaparecen. Por ejemplo si: ~p(1)

= e =

constante entonces en (4) se

tiene:

~P(1)G Jl,x)=CG:;(S,X(~1 =C[I+(x-l)L =Cx ... (32)

(sabiendo que O < x < 1 , S =

1 ~

H( S

-

x)

=

1 ) . El caso de utilizar (31); x::O;S

~

G:;(s,x)

= x .

y (26) cam bia a:

~p(x)

=

C x +

G(~, x)~(~)d~

(33)

As. G satisface:

L * G (s, x)

= 8 (s - x)

(34)

m s cond ic iones de f ron te ra hom ogneas.

Tarea. - Veri ficar d if er enci ando d ir ec tam en te que :

~p(x)

=

G~d~

=

(x -1)

r

s~(s)ds

i

(s -1)~(s)ds

M atem ticas I


84/125

s atisfa ce e l p ro ble m a d e v alo re s a la fro nte ra (2 1).

U tiliz ar la re gla d e L eib ni tz :

I(x)

=

r'l

,)

f(~ , x )d ~

(x

entonces:

dI

t

( x)

er

[ ]

db, da

-= -d~+f b(x),x --f(a(x),x)-

dx

(x )

ex dx dx

siem pre que f y of/ex son funciones continuas de am bos argum entos y que a(x) y b(x)

diferenciables.

E je mplo 2 .- C o ns id r es e e l s ig ui en te p ro bl ema :

u"+3u'+2u =


85/125

con la s condic iones de f ronte ra :

G(O,X)

=

(38)

6G(l, x) - 2Gi;(l, x) + G :(0, x)

=

(39)

y la solucin de (35), de (36) est dada por:

u(x)

=

-aG(l, x) +

1

G(C;,x)$(C;)dL;

. . . o. (40)

Ahora, recordando que (

~ - x)

= 0\7'

~

=1-

, es conveniente dividir el intervalo en 2 partes:

O~L;


86/125

si se requiere que G (s, x) s ea u na fu nc i n c on tin ua d e S en S = x , o sea:

G(X-,X)=G(X',X)

(45)

(N o es siem pre necesario que la funcin de G reen sea continua), entonces el

2ndo

y 3er

trm inos de (44) deben ser nulos, as:

+

X

G ~

'1

I

=1

. . . . . (46)

Ix '

la cu al e s la co nd ici n d e salto en la p en dien te.

substituyendo (41) en las condiciones (45) y (46):

-

G

,

-f '"

A + Be' = C + D e'

(47)

"

-

~ (1 .

.\l

\,.1::..:

LJ

(

f . , \t ': :/Aex

- 2Be"x + Ce' + 2D e"' = 1

y

'\ 1

(48)

reso lv ien do las e cua cio nes (42 ), (43 ), (4 7)

Y

(4 8) se tie ne :

A+B=O

(1 )

6(Ce + D e") - 2(Cc + 2D e") + A + 2B =

O

.

.

A + 2B + 4eC + 2De2

= O

(Il)

A + B e

x

- C - D ex

= O

(III)

CeX + 2D e"' - Ae' - 2Be"' = 1

(IV)

de (II) x

eX-2 y (3) x 2:

A (2 +

eX-2)

+ B(2e' + 2e'-") + C ( -2 + 4e'-' )

= O

(V )

de (3) x 2e' y (4) :

A (2e' - e') + B(2e"' - 2e"') + C (-2e' + e') = 1

. . . . . (V I)

M atem ticas I


87/125

de (VI)

:

A-C=e-x,

A=C+e- '

. . . .. (V II)

de (I):

B = - A = -C - e

- x

(VIII)

u sa ndo ( V II )

Y

(V III) e n (V ):

(C +

e-x )(2 +

eX-2)

- (C +

e- x

)(2e' + 2e

\-2)

+ C( -2 +

4eX-I)

= O

d e d on de :

2e-x +e-2 -2-2e-2 +C[-e'-2 -2e' +4e'-I]=0

2e-x -e-2 -2+CeX [-e-2 -2+4e-I]=0

-2-e-2 +2e-x -2e2-x -e-x +22-2G-

1

'.

=-

~ r

..,

r

r

(66)

evaluando G. en r+ de (62 b) con S = r. y en r- de (62 a) con S = r se obtiene:

1

1 A J 'o ( Ir )

- l C J'o (Ir) -lD Y'o (Ir) = --

r

(67)

Re so lv ie ndo l as e cuac ione s ( 63 ). (64)

Y

(6 7) se tien e:

-1

[

Jo(lr)Yo(lre)-Jo(1re)Yo(lr)

]

A

=;:-

Jo(lre)[ Jo(lr)Y~(lr)-Jo(lr)Yo(lr)

]

(68)

-1

[

Jo(lr)Y()(lre)

]

=;:-

Jo(lre)[ Jo(lr)Y~(lr)-Jo(lr)Yo(lr)]

(69)

- 1

[

J o

(Ir)

]

=;:-

J~(lre)Yo(lr)-Jo(1r)Y~(lr)

(70)

Estas expresiones pueden ser sim plificadas tom ando en cuenta que: J

11

(p) y y

o

(p )

sa tis fa ce n la e cu ac i n d e B es se l:

pJ~ + J~ + pJ

o = O

(71)

p

Y~ + Y~ + p

Yo =

O

(72)

M atem ticas I


93/125

de las cuales: p(J1~YOY~J0)+(YnJ()-JjYo)=0

o

d

dP[P(YoJo-JoYI))]=O

=> p(Yo J~ - J

oY ~

)

= c on st an te '\j

P

(73)

E l v alo r d e es ta c on sta nte e s o bte nid o e va lu an do e l la do iz qu ie rd o, u sa nd o (5 7)

-

( 60 ), e l

valo r d e la con stante es

-2/n,

as:

'1

lr ( Y o ( Ir) J ( )( Ir) - J

[)

(Ir) Y o

( Ir)] = - -=-

n

(74)

U sando (74) se pueden sim plificar A , e y D . Y s e obtiene:

[

]

nJ

o

(le;)

J o (l re )Y o ( Ir) - J o (lr )Y o (lr e)

2J

o

(Ir.)

O:S;e;:S;r

(75)

G(e;.r)

=

[ )

nJ o(lr)

J

o

(lre )Yo (le;) - J

o

(l e; ) Y o ( Ir .)

2J

o

(1re

)

r :S;

e;

:S;

re

siem pre que 1 re no coincida con una raz de la funcin Bessel

e nto nc es la [u nc i n d e G re en

J

.

Jo . Si Jo (I re) = O ,

E je mplo 4 .- C o ns id re se e l s ig uie nte e je mplo ; f lu jo e sta cio na rio , c oo rd en ad as lin ea le s.

p"+p = $(x),

p(O)

=

p(n)

= O

(76)

Integ rando por partes :

r

GLPde; = r

G(P"+p)dc;

=(Gp'-G;P)

1:

+

r

P(G ;; + G)d e;

=G(n,x)p'(n)-G(O.x)p'(O)+

r

PL*Gde;

(77)

M a t e m t ic a s I

a


94/125


95/125

o

+

o

== v(:-)

(86)

Si ahora en lugar de requerir que G satisfaga el sistem a (78). se requiere que:

"

(87)

o o .

o'

L *G == G

=;

+ G

==

6(;; -

x)

+

F

. G(O .x)

==

G

(n.x) ==

O

donde F se escoge tal que: v(~)

==

sen e; sea ortogonal con: o(~

-

x) + F. U na form a

general de F es: F == a v(x) v(~) . donde a se escoge tal que la condicin de ortogonalidad

se a sa tisfe ch a~ a s:

r

v( e;)[o( e ;- x) + a v(x)v( e;)]d e;

== v(x)

[1

+ a

r

v 1 (e ;) d e;]

==

O

(88)

SI :

l

a= -

r

v

2

( ~)d C;

(89)

ya que en este ejem plo: v(C ;)

==

sen S

.

d e tal form a qu e:

a = -2/n

.,'

-'-

~..'--

A hora el problem a original (76) es de la m ism a form a que el problem a (78), y ya que "1

solucin de (78) porque 0(< ;- x) no es ortogonal a la solucin hom ognea v(~) =

sen e; , se

puede esperar que

fJ

solucin a (76) a m enos que (x)ea ortogonal a v(x)

==

sen x.

A s p ara q ue n ue stro p ro ble m a o rig in al e ste b ie n e sta ble cid o m a te m tic am e nte s e re qu ie re

lim ita r < j> (x ).ta l q ue

r

(x)senx dx == O

(90)

D e 8 7. se tien e:

2

G "

+ G = o(e;-

x)

-

-

sen x sen e; ==

f(S)

1t

(* )

Soluciones de la ecuacin hom ognea son: sen S

y cos So Suponiendo que la solucin de

(*) tiene la form a:

G ( S )

==

VI (C;) sen C;+ Ve (~) cos ~ . o . . .

(**)

donde VI (~) , V

2

(e; ) son desconoc idos.

S i se re qu ie re a de m s q ue :

M atem ticas I


96/125

dV1 .

dv ,

-sen e

~

--=-cos c: = O

d~ - d~

-

(i )

substituyendo (**) en (*) usando (i). se tiene:

dv

I

d( sen ~) dv, d( cos c:)

- +-=- - =f(~)

d


97/125

U sando (**) se tiene:

.2 sen\:

G (~ . x)

=

cos x sen ~ -

n

sen x

2

+ constante:, sen ~

1 (sen2c '

)

co s

~

sen x +

n

sen x cos


98/125


99/125

2 1-N \J- 0

C om entario.- En este ejem plo slo hubo una solucin no trivial al sistem a hom ogneo

L *G = O, G(O,x) = G (n,x) = O . v(-;) = sen -;. Si hubieran 2 soluciones linealm ente

independientes, v lee;) y v 2(e;)

. entoncesse hubierarequeridoque:

L *G =

b( S

- x ) + a IVI

(x) V I

(e;) + a 2

v

2

(x) V

2

(e;)

( l 0 0 )

con a I

ya

2

satisfaciendo:

r

v ,( :~;) [8(

~ - x) + a IV1

(x) V

I

( e ; )

+ a : v

:

(x )

v:

(

~

*

~ = O

. . . . . (101)

j

= 1.2

.~ T area.-

1 .- C on sid re se e l p ro blem a:

u"+ p(x)u = ~(x)

u (O ) = u(n)

= O

tom ando com o el operador L , el s iguiente :

~

Lu = u" = ~(x)

- p(x)u

o bte ne r la fu nc i n d e G re en y la s olu ci n a l p ro ble m a o rig in al. Qu e c om e nta rio s se p ue de n

hacer?

2 .- E n co ntr ar la s olu ci n a l p ro ble ma. y la r es tri cc i n,

Lu = u"= ~(x)

ur(O)

=

ur(l)

= O

---':

\

/1

I

-

,.

/

~

,

'

-

.~

") .

-

jI

.

,( f

~

,',

-

- . - ' \

.>

j'

I

,

~,

f

r/

0'"

Matemticas

"


100/125

2 ~ - /" -- 1

)\J - 00

3 .2 A p licac in a ecuac iones d if er encia le s parcia le s

Intro du ccin .- C on sid rese la ecu aci n diferen cial p arcial lin eal de 2~ ord en :

L u =Au,., + 2 8 u,., + C u\\ + Du, -+-Eu \ -+-F u =

(1 )

donde las variables independientes x, y pueden intercambiarse a x, t . Adems, A , . .. ,

F, ~ s on f un cio ne s d ad as d e, x y y.

L as c on dic io ne s d e fr on te ra lin ea le s s on d e la fo rm a:

8(u)

=

a u + P Un = f

(2 )

au

donde Un ~

an

en la direccin norm al hacia afuera de la frontera. Las condiciones a , p

y f pueden variar a lo largo de la frontera.

Si:

{

< O ~

82

- A C = O

~

>

O

~

o pe ra do r e lp tic o

o pe ra do r p ar ab lic o

operador hiperbl ico

U n e je mp lo d el tip o e lp tic o s on la s e cu ac io ne s d e P ois so n y H elm h oltz :

)

a2

C2

~p

L u =

\ 7 -~ p = ~ =

,

~p + ,-

ax- ay.-

(3 )

?

)

L u = \7 -u +k -u =~

(4 )

respect i vamente.

L a ecuac in (3) r ep re senta e l f lu jo b id im ens iona l perm anen te (cuando ~ =

O ).

Para el caso del tipo parablico se tiene la ecuacin de difusin:

1

L ~ p = -~ Pt- ~p ,,= ~( x,t)

TJ

.

(5 )

donde:

,

r. . .-.

1

.

. : .. . .

--:;~'

-

u

~(x, t)

=

k"q(.

t)

~

gasto

v o l u m e t r i c o

/ v ol.

d e r oc a

Matemticas I


101/125

D el tip o h ip erb lic o s e tie ne la e cu ac i n d e o nd a ( un id im e ns io na l) :

L u = cCu" - un = $( x. t)

(6 )

donde u(x,t) es el desplazam iento, cC es la tensin dividida por la m asa por unidad de

lo ng itu d y $ (x ,t) e s la fu er za la te ra l a plic ad a p or u nid ad d e lo ng itu d d iv id id a p or la te ns i n.

T are a.- C la sifica r la s sig uien tes e cu acio ne s d ifere nc iale s p arc iale s. S i so n d e tip o m ix to ,

espec if icar l as regiones y las c las if icaciones correspondientes .

- O :

1 ,

-(rU),+k-U=O

r

I

rU

n + U r + k2rU

= O

(32)

~\t

~ .

1

~~ t

.

,

J

d - y dy ,

J

""f

Nota: La e",uaClOn x' -

d

J + - + (x- - v-)y

= O es la ecuacin diferencial de Bessel

\ ~

X - dx

" "

.

\~ .~ ~

de orden v.

v

,/ --

r~

.

~

Introduciendo el cam bio de variables:

p = kr. se reduce la ecuacin

(32)

a la ecua cin de

B e ss el d e o rd en c ero , c on s olu cio ne s:


110/125

F un cio ne s B es se l d el P rim e r T ip o

J

I

(r)

Funciones Besse de] Segundo Tipo

Y"

(r)

YI

(r)

linealm ente independientes Jo

(p )

Y Yo (p ) .

c

9

La funcin Bessel del prim er tipo de orden cero Jo es regular en r = O Y p or lo tanto no nos

conduce a la singularidad de la funcin delta deseada. La funcin B essel del 2

nd o

tipo y

orden cero Y o tiene un corportam iento singular conform e r~O , ya que en esta regin:

2 kr

Y (k r)

= -In -

1t

2

( 3 3 )

A s. en form a tentativa:

u = A Yo(kr)

(34)

La constante A . se obtiene integrando (31) en una regin circular de radio infinitesim al E

centrada en el punto x

, y :

H(V2U + k"U)dcr

=

Hdcr

=

1

. . . . . .

(35)

A plic an do e l te orem a d e d iv erg en cia d e G au ss

,

e l c ua l d ic e:

~


111/125

,

O Y -

XJ < S U =

BeW2tr

: : : }

.....

(40)

Estas 2 partes de la solucin se relacionan integrando (39) en T desde t' a t

+

. A s se

tiene:

1

'

1 .

- -

Ae".t'l

+ - 8e"'t'l

=

e-""

11 11

(41 )

- el,")'lA,J~"~~

,'/

A

,..

-

-

Com o U

=

O para l' > t : :::>U para l' > t ::::>A = O

t"

'.

F'

/.1

'

-- b

.

A

-i"x-w2(t-:I~

y: U =11 H (t-T)e

In vir tie nd o (4 2) se o btie ne:

S,

-

'-,'

r..

'-'

(

~

:'

IJ

'"\

: -,'

;

(42)

(- -

~," :''0 .

..J~

""",

'"/'

, ,

,t,}

c.,a.

-

j"

r

-

) -:. r: '---{

'-

1}

1',

- -

,

"

: ,,,-'?

'"'

J

~

'-~

;

" 'J '

I

(1'

G,

~, I

-:-:

J n

, ,

(

J.C(,

~ }


112/125

H(t -1 )

f

'

,\\1:-\)-\\-11-:)1]

U =

r e d V,'

2r r

j-f

H

(

-(;

-xl'

[ ~ Il ( 1 - t i ]

U -

t - 1 e

-

14rr(t-1 )/r

/

A,.'

/'

/

-

so lu cin fun da men ta l para e l p rob lem a

de difusin.

r

(43)

1

f

( .

M todo de la Funcin de Green para el Operador de Laplace ( = O => ecuacin de

Laplace).

Considerando la ecuacin de Poisson: V1u

= . la funcin de G reen debe satisfacer:

L

*

G = G

c;c; + G I]l] .= 8 (

~

- x, r - y)

(44)

t'

'~0k

'.

~

y de la ecuacin (14) (ecuacin (9 se tiene:

-;

F 'i

SS

GA-dcr

=

f

(G u - u G )ds + u( x. v)

R 'f' e

11 11

.

(45)

{

U

= f en la frontera y

como

u

es d escono cida en la frontera s e requ iere que

'\


113/125

L*

g

=vcu=u

+" =0

::

::=:: ::::il1]

(-+8)

Si

In r

G

= O en e =>

(J

= --

::

2n

(-(9)

en C .

A s g debe satisfacer el problem a (48)-(49).

~,-t .i1 ::: b

8

)12 d

lJ

Ejem plo 1.- Considrese el caso en que la regin consIste del medio plano 11 > O .

( R gim e n p er m an en te )

,.:,

---

O

v'1

-

~

l

>0

-(()

'). .

. \}Lo~dJ

"t

~

,

-j~~

''':.1..~to

,('Ium~rrJco

/

u n, da d d e : r ea

tr-=-t

;

,,()

a..................

\

"

"

,'PI\.\-j

~

-k"hcF'C.Y)

..-1

i

\

\

6

--

~~

l n e st e C .1 S0 la c on "I II CC ID n d el s s re m :

)

~

1 1 1. .1 ;e n eS 1 . .' 5

lri\ J

.

~ (O n~ ls te d e f "Iu nto s c on

~

~ t) I} ld en JJ Js ( \. -\

)

r

I

f

1

.,

.

'

l,

"

e

~

_1

-

~ 1

.

e

=

J1 -+ J

,(

;

Adems: L * G

=

8 (~ -x . 1 1-Y ) .

I

)) -:. ::;-;::

""

,f' {'

G = O en 11= O

"

As:

~ " ,, ,, ,' '' '

T

~

~( "

- 'i)z -t ('f -

~f -

G-c.'

U -1-

C1

:'

'----

I I '

,.,;-

G = - I n [ ( ~ -

X)2

+ (1 1- Yi] - - In[( ~ -

X)2

+ (1 1+

y) 2

J

4n 4n

~. /

(59)

...

: -

G

v

U(:;,~:"y)

el:, ~:x,\ I

)(1

=- -1 1

y,

'~..

-',

(1

:.',

,

Esto se hace para sim ular una frontera con G = O en 11= O . (g e s negativa) .

L a ecuaci n (59 ) satisface las co ndicio nes requ eridas:

~-

"

G n

:

-Ij~

~:()

Adems: G il = -G

~I~=o

. as la solucin de la ecuacin (46) est dada por:

1,

{

(

7'

-

j

~) ,

J

't- -'

i

~c

...-

M =- G.6P3 - ~PG3

N ::- G 6P\..

- 6P (;1

t

-)\,

)\ Ci.'

l

vi

-'

,.

"

q


114/125

c_--

-

/""l)i.

"y '

I ..

.~

r

1 ~\r-

.

--:-

\

"

..

'--

"

".:

._.~

~-;'~

j

t.:

1

~

>"

\,Ir

I

--./

C-r

~

'"

'1

Q 2

' 0 ' ,-

J. C

',e'

- -

k

I-~

N ota: R ecu erdese que: W

k

(x )

=

k

"

e s u na sec ue ncia d elta, en es te ca so k = l/y .

T e ( 1 +

'x.)

El ejem plo anterior considera condiciones D irichlet de frontera (u = f en C) .

C o ns id r es e e l s ig uie nte e je mp lo c on c on dic io ne s N ew m an n d e f ro nte ra . la d er iv ad a n or ma l

dada en C.

Ejemplo 2

o::

"Considrese:

tj: , j, /}

.0


115/125

la cul hace sentido fsico. ya que si

p" = O en e ~ no hay flujo a tra\'s de C

. as si p"#

p(t) la generacin neta

ffR

~ da

deb e ser cero ,

Integrando la ecuacin para la funcin de G reen: L *G =

.

y usando el teorem a de la

d ivergenc ia se tiene :

'-,

"

ff

v2G da =

f

G ds =

ff

S da

= l

Re"',

R

-

.

"

---.---

~ L'\r' ~';1'-, -..' r ~ ;---,-

-

-,,--'./' .'

...

J

t

c.....

pero G I1 = O en C ~ cofi radiccin, As la funcin de G reen ordinaria no existe.

D e la f rm u la d e in te gra ci n p or p arte s:

0-

.

,

ffR

G~da=-fc pGl1ds+

ffR

pvcGda

(6 U

{ (t

l

,...l < 1

t

;

1"

~

""'1

~.

A s la funcin de G reen generalizada se requiere que satisfaga:

JN- ('

.

("

1-

,L) l..

L

*

G

= G; ;

+ G

'1'1

= Se~ - X . r -

y) + F

(62)

f

.:t" /""

'/'

L

s ele cc io na nd o F a de cu ad am e nte s e p ue de re so lv er la c on tra dic ci n, A lte rn ativ am e nte p ar a

resolver la contradiccinse puede mantener b(

~

- x, n-y) sobre R y cam 9iar. G I1 en C..

.yO"

debe ser una con stante adecuad a tal q ue la contradiccin se resuelv a, y la soluden est

d ad a p or:

p(x,y)=k+

ff R

G~da

(63)

donde k es una constante arbitraria.

T area.- C onsidrese el problem a del ejem plo l con la cond icin de frontera d e N eu mann :

~Pn = h(~) en r = O . M ostrar que bajo ciertas restricciones adicionales la solucin est

dada por:

r ;

i

~p(x,y)=-

211t

f.:

In [(~ -x )2 + yc]h (~ )d~

r

I

,.1,

-

--

1

,(

~ \. -~ ~ / ./

r

~--~

+

411t

J: f.:

In( [(~-x)2 + (r _y )2 ] [ (~ -X )" + (r + y )2 ]} j> ('~ 'T J )d< ;dT J'

In teg rand o V 2~ p = $ so bre la re gi n, m ostra r q ue la s restricc io ne s a dic io nale s so n:

l


116/125

J t ~ d a = O

r:

hdC;

= o

.:',p~O

confonne r ~ 00

En los ejem plos anteriores se han considerado condiciones N eum ann y O irichlet.

C onsiderem os aho ra la con dicin d e fro ntera m ixta: a p + p

p " = f

"'"

(64)

en e con a, p y f dadas.

U sa nd o (6 4) e n:

HR

G ~ da

=

fe

(Gun - uG "

)d s + u (x , y )

(65)

e n n ue stro c as o:

(

f -ap

\

(

f

) (

aG :-PG n

)

p n - pG n = G

P

)

-

pG

n = G

~

-

P

p (66)

pero p en e es desconocida, as se requiere que:

aG+pG n =0 en e

(67)

C on G determ inada, la solucin de (65 ),(66) y (6 7): es :

p(x,y)=-

fe

~f ds+

H R

G~da

(68)

La ecuacin (67) es vlida si

a*O

y

p

*

O en C. En la solucin (68),

G J

a.

Gf

re em pla za --

p

para la porcin en e en la cual P = O. a:; O .

E je m plo 3 .- C on sid r es e e l m is mo p ro ble m a d el e je m plo c on la c on dic i n:

~tlPn+atlp=f(c;) en r==O

(69)

?

v - tlp

= ~(x, y) , a == constante.

'4.,"~'~..'~

,

c:/)' F Z A : ; r

;~ l ',

~

j

e Pn

G

n

+ a .G = O

en

r=O

(70)

fG,,) J,~

+-

f-'x,J.

... . )

r

r d P

"-l'

-

J

G Ti

~

e

i

f..--

p (

en

-

~

t

~

(.

)

l-

f:-c..

1,

-

.'-1 0."\

l

Gf>-

~ .l'

cG

(l~i~

P

)

F .J

(. -:

G

1

p

I ~ '1

'{

( ~ \ -+-

'- \ b .

-

(f

-


117/125


118/125

-

G

+/V=

O

~

-

-G:''+G=O

e n 1 1= =O

(80)

~': '~~(=G,~;+2~V)

' ; 0 ' 'e n '1 1 > - 'P r ( 7 5 ),

y y a~ ue y2U

==

O, p ara r > O , por lo

tanto - G1~ + 2V = O a travs del m edio plano (11 ;::::O ). (considerando tam bin (80. L o

m ismo sucede con las com binaciones: -

G2'1

+ G : - G1'l + G:, ,...

As:

G = 2f Vd l1

G 2 = fGdTJ

=

2 f fVdTJdTJ

G3

=

fG2dl1

=

2

fJ f

Vdl1drdl1

(81)

"."-"; ,-

a';;GAlzil:cf~_lt;;.lfta~~~.".,~. l . .

-'

.,,,,,,,

-'

t 1f'''''V''f'I''l

~

(82)

donde G o

y V son conocidos. D iferenciando (82)

G~ =G o~ +2aV +2a2 fV dTJ+.2;)(.~H \Jc\

(

{

=Go~ +2aV +a(G-G o)

'~

C Ol1slder , ,"do ( 82 )

(83)

A s s e tie ne la e cu ac i n d if ere nc ia l d e p rim e r o rd en :

G 'l

-aG = Go~ +2aV -aGo (84)

ya que los trm inos en el lado derecho son conocidos, la solucin es: ::

G

=

ea ~

r

(G o~' + 2aV - aG o )e-a'l'dT J'

(85)

donde los argum entos de

Go~"

v, Go son funciones de

(

'""

n"

x

V

)

"= '

~ .

l' "..

.

,.

Escogiendo a ~ 00 , para que G se comporte adecuadam ente conform e 11~ 00 , una

s im plic ac i n a dic io na l e s p os ib le , p or m ed io d e in te gra ci n p or p ar te s:

~


119/125

'1]

r1

G

=

eUI](Ge-Cll])l",

+

1,

(ex GO + 2(1 V -

exGO)e

'1lIldr'

G =Go +

ex

ea ~

+

r

I n~ (e x- x) 2 + (r '+ y) 2e -( f~ 'd r r

1t

o

(86)

E ie mp lo 4 .- C onsid rese la ecu aci n de P oisso n

V2p = ~ en un cuadrante, con ~p = ~

en Tl

=

O Y

,1

Pn= h(r) en S = O .

1

I

Cr

/J,

}/,

}'-

L\Pn=h(1']).~

r

J- ~

V:L\Pn

=

q,

V2 G

=

5 (e ; -

x , 1 ']-

y)

-x,y

@

0

x. y

-x,-y O

o

~

Ox.-~.

,

\p=f(e;). G =O

.

-

,

--'

L a so lu ci n e st d ad a p or:

,,--~p(x,

y)

=

fe

~p.Gnds-

fe

G ~ Pnds +

HR

G~d(J

=

r

fGnds -

r

Ghdr + r r

G ~ds dr

"

I

; i~

-: - J '

'1

.

-

= -

r

f( s)G

~

(s,O; x, y)d; - r

G(O, r; x, y)h( r) dTl

.

::;:: U +~

(-

> ' 3 )

- "i';I -~ )

I

+

r

rG(S'Tl;X,Y)~(S,r)d


120/125

M to do d e F un cio ne s d e G re en p ara el O perad or d e D i fu si n

C on sid era nd o la e cu ac i n d e d if us i n e n u na d im e ns i n:

~nt

L~ p =

.=L. ...

-

~p " = ~

T]

(89)

t,

:

-

U tilizan do integ raci n p or p artes se tien e:

-1:o '- G

ff. G ifda'"

Ir

[(P

G ,

- Gp)i +

~~

GjJ~d; +

Jf ,

p L

*

G da

(90)

1

-

* G

=

- - G . - G --

=

O(S -

X , T - t)

11' "

-

i a-; '_v..

I

;"

:,-'

I

,

1

-'

.

on:

( 9 1 )

Ejemplo

.-

C ons idrese un m edio sem i- in fin ito con :

t. donde t es el tiem po donde se

b usc a la so lu ci n.

r

n=-1

n= j

~

,,-

->~O~l')=h(l ')

.

v--.

dr


121/125

-

,

J

T 1

I

ffR

G1xfa = 1,

(-~pG.- + G~p

--lon

d

r

-

r

(

t> ;

G)

,.0

dp

f:

(

~

G )

,. ,

dp t>p(x. t)

P,.I;=o

y

Documents

Matematicas Primer Sem Guevara