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Matemáticas III 2007 Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB120051404 de Fecha 15 de Marzo 2005] [C.T. 14PBJ0076Z]

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO

COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD

INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA

Guadalajara, Jalisco Octubre de 2007

MATEMÁTICAS III


SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO

MATEMÁTICAS II

DRECTORIO SECRETARIO DE EDUCACIÓN JALISCO

LIC. MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ ESPINOSA

COORDINADOR DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA

LIC. EDUARDO DÍAZ BECERRA

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR MTRO. JOSE MANUEL BARCELÓ MORENO

DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD

INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA MTRA. DIMNA SILVIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ

Academia: Navarro Fierros Laura Esmeralda

López Ayala Raymundo

Aguilar Martínez Jacobo

Pérez Cisneros Porfirio

Elizalde Camino Salvador

Castro Franco Jaime

Gil Coronado Luis


1.1. Coordenadas cartesianas de un punto. 1.1.1 Ejes coordenados

-Parejas ordenadas de números. -Elementos -Igualdad de parejas COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO

Rene Descartes .filósofo, matemático francés se le considera el iniciador de la Geometría analítica al formalizar el estudio del álgebra en problemas geométricos. El concepto de coordenada cartesiana no fue obra del propio Descartes, sino del Alemán Gottfrie Wilhelm Leibniz {1640-1716}. Este sistema consiste en dos rectas Ó eje perpendiculares entre si, uno horizontal {X} y otro vertical {Y}. Se especifican unidades de longitud en los ejes, los números que figuran en el eje X a la derecha del origen ó del 0 son positivos, e izquierda negativos. Los que figuran en el eje Y {encima del origen} son positivos y por debajo negativos. PAREJAS ORDENADAS DE NUMEROS Es un agrupamiento de elementos tomados de dos en dos y siguiendo un orden preestablecido. Cuya formula es A x B. Ejemplo: Se toma cada uno de los elementos del primer conjunto y se toma cada uno de los elementos del segundo conjunto, así vamos obteniendo una igualdad de parejas ordenadas. A x B Grupo A {a ,b, c} Grupo B{3,4} Entonces =(a,3)(a,4),(b,3)(b,4),(c,3)(c,4) PUNTOS EN UN PLANO La posición de un punto (P) puede especificarse mediante dos números (o pareja ordenada) que dan las distancias a dos ejes, la horizontal X llamada coordenada X; o abscisa, o eje de las X u horizontal. Y la vertical o eje de las ordenadas ; eje de las Y o vertical. Ejemplo: Encontrar las siguientes parejas ordenadas:

+ Y

X -

+ X

- Y


A (2,3), B (-2,1), C(-2,-3), D(3,-2) EJES CARTESIANOS RECTANGULARES. Al sistema de coordenadas cartesianas, se le llama rectangulares, ya que los ejes (horizontal y vertical) al cortarse van formando ángulos rectos ejemplo anterior. 1.1.2 LUGARES GEOMETRICOS -Concepto de lugar geométrico. Se entiende como un conjunto de puntos cuya posición está determinada por una ecuación ó un conjunto de ecuaciones ( las rectas y las figuras geométricas pueden considerarse como lugares geométricos). “La trayectoria que describe un punto al moverse de acuerdo con una cierta ecuación. -Concepto del lugar geométrico. En el análisis de una ecuación, al hablar de simetría siempre no estaremos refiriendo a que la curva es o no simétrica con respecto a cada uno de los ejes coordenados o al origen. Para esto basta saber que los términos que contengan (X) y (Y) tengan exponente par si esto sucede la curva es simétrica con respecto a los ejes y su origen. -Intersecciones con los ejes. Se refiere a, si la curva correspondiente a la ecuación corta o no, cada uno de los e ejes., y si los corta se debe de determinar las coordenadas de dichos puntos. 1.2 CONCÉPTOS BÁSICOS SOBRE SEGMENTOS RECTAS Y PÓLIGONOS. 1.2.1-SEGMENTOS RECTILINEOS Un segmento rectilíneo es el espacio en línea recta que une a 2 puntos. . SEGMENTOS DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS. Segmentos dirigidos es la longitud donde inicia el segmento y el punto donde termina; ejemplo en AB principia en el punto A y termina en el punto B siguiendo este orden el segmento dirigido es igual a la diferencia entre las coordenadas del punto A y del punto B.

Y

X

A (2,3)

B (-2,1)

D (3,-2)

C (-2,-3)


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Es la distancia existente entre dos puntos considerados.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO Un segmento se puede dividir en n partes las cuales al ser sumadas nos dara la distancia del segmento original. Ejemplo: Considere el segmento de línea recta dirigido AB y considere un punto C contenido dentro de dicho segmento, entonces los segmentos AC y CB dividen el segmento AB en dos partes. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA La razón es el cociente de la distancia que hay del principio del segmento al punto que lo divide, al punto donde termina el segmento. Es decir: sea el segmento AB entonces la razón es r = (AC/CB) 1.2.2. RECTAS ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTA Cualquier recta que no este horizontal ó vertical esta inclinada; esta inclinación se da como medida del ángulo que forma la recta con la horizontal.

Y

y2

y1

X

x1 x2

y2 - y1

x2 - x1

d

d2 = (x2 - x1)

2 – (y2 - y1)

2

d = (x2 - x1)2 – (y2 - y1)

2

A partir del teorema de Pitágoras


Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta y el extremo positivo del eje x, a partir de este, girando en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El ángulo de inclinación se mide en cualquier sistema de medidas angulares, el más común es en grados, minutos y segundos., también se usa la unidad llamada radian. La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación m = tg α. Matemáticamente:

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia.)

Dados 2 puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. Dos rectas son paralelas si y solo sí sus pendientes son iguales y tienen el mismo ángulo de inclinación. PERPENDICULARIDAD. Dos rectas son perpendiculares sí y solo sí sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

α

Y

X

http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%94


Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "suba hacia la izquierda", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente es infinita.

El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:

y

2 o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).

1.2.3 POLÍGONOS. Figura plana limitada por un cierto número de rectas llamadas lados del polígono. Cuyo perímetro está determinado por la línea que delimita la figura y el área. Se entiende como la superficie comprendida dentro de un perímetro.

UNIDAD II LA LINEA RECTA

2.1.1 Línea recta. La línea recta es una sucesión infinita de puntos en forma longitudinal. La ecuación que nos representa una línea recta es una ecuación de primer grado con dos variables. Una línea recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (la pendiente).

La recta como lugar geométrico Encontramos que una recta la podemos localizar en el plano cartesiano, dando las coordenadas de dos puntos de la recta.

Ecuación de una recta conociendo su pendiente y uno de sus puntos. La inclinación (pendiente “m”) de una recta es el ángulo con respecto a la dirección positiva del eje de las x. Se mide a partir del eje x, en sentido contrario a las manecillas del reloj, de 0 a 180º. y y y x x x

m = a m = 0 m = 90º


La pendiente de una recta es la tangente de la inclinación. Por ejemplo, la pendiente de una recta a es la tangente del ángulo, si la inclinación es 0 la pendiente es 0; si el ángulo agudo (menor de 90º ), la pendiente es positiva, y si es un ángulo obtuso (mayor de 90º y menor de 180º ), la pendiente es negativa. La pendiente de una recta también es llamada coeficiente angular y generalmente se representa por “m”. La pendiente de una recta se puede obtener a partir de las coordenadas de dos de sus puntos.

12

12

xx

yyTan

Cuando una recta de pendiente “m” que cruza el eje “y” a una distancia b del origen, la ecuación de la forma pendiente y uno de sus puntos (forma pendiente – intersección) será:

Siendo el punto P (x1, y1) y m la pendiente dada obtenemos la ecuación: y – y1 = m (x - x1)

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P(-3,5) y tiene una pendiente de ¾.

y – y1 = m (x - x1)

y – 5 = 3/4 (x – (-3))

y – 5 = 3/4 (x + 3) 4(y – 5) = 3(x +3)

4y – 20 = 3x + 9 0 = 3x – 4y + 9 + 20

0 = 3x – 4y + 29

Ecuación de una recta conociendo dos de sus puntos Sean los puntos de una recta P1 (x1, y1) P2 (x2, y2), por la ecuación de la recta quedara definida por:

y - y1 = y2- y1 ( x - x1) x2 – x1

y - y2 = y2- y1 ( x - x2) x2 - x1

Esto es, después de haber encontrado la pendiente se puede tomar cualquiera de los 2 puntos conocidos para obtener la ecuación de la recta. Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,2) y (5,4). Se encuentra la pendiente: m = y2 – y1 = 4 – 2 = 2 = 1 x2 – x1 5 – 3 2 Se sustituye en cualquiera de las dos fórmulas:


y – y1 = m (x - x1)

y – 2 = 1 (x - 3)

y – 2 = x – 3 0 = x – y – 3 + 2

0 = x – y –1

2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen

Intersección de una recta con el eje y

Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje y. Si una recta tiene una pendiente m, y su ordenada al origen b unidades de la ordenada al origen es la distancia existente entre el lugar donde se cruza la recta con el eje y al punto ( 0, 0). Utilizaremos la llamada ecuación tangencial o abreviada de la ecuación de la recta.

b m = Pendiente.

y = mx + b Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta donde b = -4 y m = 5.

y = mx + b

y = 5x – 4

2.1.4 Forma general de la ecuación de la recta.

Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y viceversa Recordando la forma general Ax+ By + C = O es mediante esta ecuación considerando que A, B, y C son constantes, mientras que la ecuación de la recta conociendo dos puntos es : m1 =y – y1 m2 = y1-y2 ------- ------- X – x1 x- x2 Considerando que m1 = m2 por lo tanto

y – y1 = y1-y2 ------- ------- X – x1 x- x2 Ejemplo si sabemos que una línea pasa por los puntos C(1, 8) y B(6,4)

(0, 0)

Ordenada al origen = b


Tendremos: y- 8 = 8-4 despejamos y tendremos -5(y-8) = 4(x-1) ------- --------- X-1 1-6 y tendremos -5y + 40 = 4x-4 y-8 = 4 despejando -5y - 4x = - 40 - 4 ------- --------- X-1 -5 multiplicamos por -1 tendremos 5y + 4x = 44

La línea recta y la ecuación general de primer grado. La línea recta es una sucesión de puntos consecutivos infinitos en la que se puede expresar mediante una ecuación líneal si sabemos por donde pasa por lo menos un punto de ella en forma de ecuación de primer grado Ax+ By + C = O 2.1.5. Forma normal de la ecuación de la recta

Obtención de la forma normal a partir de la forma general

Forma normal a una recta y distancia al origen.

Una recta queda determinada si se conocen la longitud de una perpendicular a ella, trazada desde el origen (0,0), y el ángulo que forma la perpendicular “y” a eje de las “x”. La ecuación de la forma normal es: xCosw + y Senw – d = 0 Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta para los valores: d = 5, w = 30º. xCosw + y Senw – d = 0 xCos30º + y Sen30º – 5 = 0

0.866x + 0.5y – 5 = 0

Distancia entre rectas paralelas. Dos rectas son paralelas cuando difieren solamente en el término independiente. Ax + By + C = 0 Ax + By + C’ = 0 Para calcular la distancia entre ambas se aplica la siguiente fórmula:

d = |C’ – C| √(A2 + B2) Ejemplo: Determina la distancia entre las rectas: a) 2x – 6y + 12 = 0, b) 4x – 12y + 9 = 0


Primero se simplifican a su mínima expresión: a) x – 3y + 6 = 0 (se dividió entre 2), b) x – 3y + 9/4 = 0 (se dividió entre 4) Como ambas solo difieren del término independiente, se aplica la formula:

d = |C’ – C| √(A2 + B2)

d = |6 – 9/4| = |15/4| = |15/4| √(12 + (-3)2) √(1 + 9) √10

d = 1.18

2.1.6. Distancia entre un punto y una recta.

Distancia dirigida de un punto a una recta. Si se tiene un punto cualquiera P (x, y) fuera de una recta, y se quiere calcular la distancia entre el punto y la recta, se aplica la siguiente fórmula:

d = |Ax1 + By1 + C| √(A2 + B2) Ejemplo: Determina la distancia del punto P(6,5) a la recta 2x + 3y + 6 = 0.

d = |Ax1 + By1 + C| √(A2 + B2)

d = |2(6) + 3(5) + 6| = |12 + 15 + 6|

√(22 + 32) √(4 + 9) d = | 33 | = 9.15 √13

d = 9.15

2.2. Ecuaciones de rectas notables en un triangulo

Ecuaciones de las rectas perpendiculares a otras.

Hay que recordar que dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son reciprocas y de signo contrario.

y

x


m1= -1 / m2 m = y2 – y1 x2 – x1 Ejemplo: Demuestre que las siguientes líneas son perpendiculares entre sí. L1: P1(-1,3); P2(2,-1) L2: P1(1,2); P2(-3,-1)

m1 = y2 – y1 x2 – x1

m2 = y2 – y1 x2 – x1

m1 = -1 – 3 / (2 – (-1)) = -4/3

m1 = -4/3

m2 = – 1 – 2 / (–3 – 1) = -3 / -4

m2 = ¾

Como ambas pendientes son reciprocas y de signo contrario, las líneas son perpendiculares. Ángulo entre dos rectas arbitrarias. El ángulo entre dos rectas, es aquel que tiene como vértice el punto de intersección y cuyos lados son los segmentos de recta que tienen sentido positivo(o sea, hacia arriba). L1 y L2 x

utilizaremos la siguiente fórmula:

m2 – m1 1+ m2 m1

Ejemplo: Halla el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = 1, m2 = √3 ≈ 1.7320

m2 – m1 1+ m2 m1

1.732 – 1 = 0.732 = 0.732 =

1+ (1.732)(1) 1 + 1.732 2.732

–1 0.2679


1

2

Definiremos a continuación las rectas notables de un triángulo: Medianas de un triángulo es la recta que van desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Alturas De un triangulo es la recta que se traza desde un vértice y es perpendicular al lado opuesto de éste. Mediatriz de un lado de un triángulo es la recta perpendicular a éste y lo divide en dos segmentos iguales. Bisectrices de un ángulo interno de un triángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

1 = 2 2.2.1 Medianas Aplicaciomes de las medianas, cálculo del baricentro de un Triángulo

En un triángulo cualquiera se cumple que sus medianas se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad, que esta situado de los vértices a ½ de la distancia de cada de cada uno de ellos al punto medio de su lado opuesto.


Se puede demostrar que: La abscisa del baricentro de un triángulo es un tercio de la suma de las abscisas de un vértice; análogamente, su ordenada también es un tercio de la suma de las ordenadas de su vértice. Si A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) son las coordenadas de los vértices de un triángulo, entonces los de su centro de gravedad o baricentro P(x, y) están dadas por.

3

321 xxxx

;

3

321 yyyy

Demostración: Si en la figura Q, R y S son los puntos

medios de los segmentos de recta 32PP ,

31PP y 21PP , respectivamente, entonces el

punto G(x, y) es el baricentro del triángulo P1P2P3 De acuerdo a la figura:

21

21 rGQ

GP

Entonces, aplicando las formulas del punto de división podemos hallar las expresiones para determinar los valores de las coordenadas del Baricentro G(x, y). Consideremos la mediana P1Q luego:

r

rxrx

x

1

2

321

En donde r =2; por lo tanto: 21

22 32

1

xxx

x

De donde resulta: Análogamente

r

ryry

y

1

2

321

En donde r = 2; por lo tanto 21

22 32

1

yyy

y

Es decir: Lo que queríamos demostrar; luego

3,

3

321321 yyyxxxy

3

321 xxxx

3

321 yyyy

y

x

S

Q

R

P2(x2, y2)

P3(x3, y3)

P1(x1, y1)

G(x, y)

0


Ejemplo: Encuentra las coordenadas del baricentro o centro de gravedad del triángulo cuyos vértices son: A(-3, -4), B(1, 6) y C(8, -1) Solución:

3

321 xxxx

= 2

3

6

3

39

3

813

Las coordenadas del baricentro son: G(2, 1/3)

3

1

3

65

3

164

3

321

yyy

y

2.2.2 Altura de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera. Una altura del triángulo es una recta que pasa por un vértice y que es perpendicular al lado opuesto y a su recta sostén.

En la figura, las tres alturas son (AA"), (BB") y (CC"). Según el contexto, también se puede llamar alturas los segmentos [AA"], [BB"] y [CC"], y sus longitudes reciben la misma apelación.

El uso más común de la altura (como longitud) es la siguiente: el área de un triángulo es h·b/2, donde b es una base o sea la longitud de un lado, y h la altura correpondiente. En la figura, puede ser BC·AA"/2, AB·CC"/2 o AC·BB"/2.

Está fórmula se demuestra dibujando un rectángulo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base y la misma altura.

Las tres alturas se cortan en un mismo punto, llamado ortocentro del triángulo (H en él gráfico). En efecto, las alturas son las mediatrices del triángulo A'B'C' que se construye trazando paralelas a los lados por los vértices opuestos. El ortocentro del triángulo ABC es el circuncentro del triángulo A'B'C'.


2.2.3 Ecuación de la mediatriz de un segmento de recta: Determina la ecuación de la mediatriz del segmento de recta cuyos puntos extremos son A (2, – 6) y B (8, 2). Solución La mediatriz de un segmento de recta es una recta que pasa por un punto medio de dicho segmento y es perpendicular a él. Por consiguiente, encontremos

primero el punto medio de AB , después su pendiente, y por ultimo, la ecuación de la mediatriz.

2;

2

2121 yyxxPm

52

82

mx 2

2

26

my

El punto medio de AB es Pm (5, -2).

La pendiente del segmento AB

12

12

xx

yym

12

12

xx

yymAB

O

Y

B (8, 2)

X

M

A (2, - 6)


3

4

6

8

6

62

28

)6(2

ABm

3

4ABm

De cuerdo con el valor de la pendiente de AB obtenido, se tiene que el de la mediatriz es

4

3mm .con esta pendiente y el punto P (5,-2), encontremos la ecuación de la mediatriz:

0743

015843

15384

)5(3)2(4

)5(4

32

)5(4

3)2(

11

yx

yx

xy

xy

xy

xy

xxmyy

La ecuación de la mediatriz es

2.2.4 Ecuación de la bisectriz de un Ángulo La formula de la distancia de un punto cartesiano a una recta nos permite encontrar la ecuación de las bisectrices de los ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan. Sean L1 y L2 dos rectas no paralelas entre si, de ecuaciones A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C1 = 0, respectivamente. Asimismo, sean las rectas b1 y b2 las bisectrices de los ángulos que se forman al cortarse L1 y L2 como se indica en la figura. Veamos primero como hallar la ecuación de la bisectriz b1 de la figura: Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta b1, entonces, de acuerdo con la definición de la bisectriz de un ángulo, la magnitud de la distancia no dirigida de dicho punto a la recta L1 (d1) es igual a la distancia no dirigida a la recta L2 (d2) es decir.

21 dd

De acuerdo con la figura, el P(x, y) esta situado arriba de la recta L2 , por lo que la distancia d2 es positiva y se encuentra por debajo L1, por lo que d1 es negativa, es decir.

12 dd O 21 dd

Por lo anterior, tenemos que la ecuación de la bisectriz b1 es:

3x+4y-7=0

L2

L2

L1

L1

b1

b2

O

X

Y

Y

d1

d2

d3

d4


2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

BA

CBA

BA

CyBxA

Como ya lo hemos visto, el signo radical 22 BA es el mismo del coeficiente de y, es

decir, el signo de B. A continuación veamos cómo determinar la ecuación de la bisectriz b2. De acuerdo con la figura y con la definición de la bisectriz, tenemos que

21 dd , ya que

el punto P(x, y) esta situado por encima de las rectas L1 y L2,por lo que ambas distancias son positivas, por lo tanto, la ecuación de bisectriz b2 es:

2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

BA

CBA

BA

CyBxA

Ejemplo: Determina la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo y la del obtuso formados por las rectas L1: 3x – y + 3 = 0 y L2: x – y + 1 = 0. Solución: De acuerdo con la figura el punto P(x, y) esta debajo de L1, por consiguiente, d1 es negativa y esta arriba de L2; por lo tanto, d1 es positiva.

2222

13

33

31

13 yxyx

10

33

10

13 yxyx

Multipliquemos a continuación ambos miembros de la ecuación anterior por 10 , de

donde resulta.


0444

0444

03313

3313

33131

3310

1013

10

10

yx

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior entre 4 resulta:

b1: x – y +1 =0

Para determinar la ecuación de la bisectriz b2 observa que el punto (x, y) esta arriba de L1 y de L2; por lo tanto: d3 = d4

0222

01333

1333

10

13

10

33

31

13

13

132222

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior entre 2 resulta: Observa que se verifica el teorema geométrico siguiente: Teorema: La bisectriz de los ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares entre si. Es decir, las rectas de las bisectrices b1 y b2 son perpendiculares entre si, o sea, el producto de sus pendientes es igual a -1

CIRCUNFERENCIA

3.1 Caracterización geométrica 3.1.1 LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita. Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo del plano: el centro.

b2: x + y +1 =0


Se denomina radio a cualquier segmento que une el centro, con un punto de la circunferencia, así en la siguiente figura se muestra una circunferencia de centro C y radio r=CP

r

C

P

3.1.2 ELEMENTOS ASOCIADOS CON UNA CIRCUNFERENCIA. El círculo es la superficie limitada por la circunferencia

Circunferencia

Angulo Central es el formato por dos radios

AnguloCentral

M N

C

r1r2

Arco: Es una porción de circunferencia, cuya representación es con el símbolo

M N

C

M N es un arco

Semicircunferencia : Es un arco igual a la mitad de la circunferencia

A BC

A B es Semicircunferencia

Cuerda: Es el segmento que uno a dos puntos de la circunferencia.


M N

C

cuerda

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

Cdiametro

A B

Cdi

amet

ro

P

Q

El diámetro equivale a dos radios __ __ ___ AB = AC + CB Secante: Se denomina secante de una circunferencia a cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

C

M Nm n

secante

En la siguiente figura nótese la diferencia entre cuerda y secante.

C

cuerda

M N

secante

C

M N

Tangente a una circunferencia: es cualquier recta que toca la circunferencia en un solo punto.

C

Q

R

P

QR es tangente a lacircunferencia en P


Normal: Se denomina normal a una circunferencia a la perpendicular a la tangente en el punto de contacto.

C

Q

R

P

TPT es normal a lacircunferencia en el punto P

3.1.3 FORMAS DE TRAZO A PARTIR DE LA DEFINICION.

Dada su definición, para el trazo de la circunferencia pueden presentarse los siguientes casos. 1) Trazo de una circunferencia sin dimensión determinada. 2) Trazo de una circunferencia dada una dimensión o elemento.

1.- Trazo para el primer caso. Pasos: a) Se abre el compás de tal manera que la abertura corresponderá al radio, es decir a la mitad de la circunferencia que se desea trazar. b) Se ubica el centro C, donde se posiciona el punto giratorio del compás y se traza en forma indistinta sea a la derecha, sea a la izquierda .

2.- Trazo para el segundo caso. Se pueden presentar algunas variantes.

a) Cuando se requiere trazar una circunferencia de determinada longitud. Dado que la razón entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro es la misma en en cualquier circunferencia, este número constante se representa por la letra griega π (pi), de donde se tiene que:

πPerimetrodiametro

=

πP

d=

Y como el díametro es el doble del radio, tendremos entonces que πP

2r=


donde P es el perimetro, d el diámetro y el r el radio. El valor de π con una aproximación de ocho decimales, es π = 3.14159265 J:H. Lambert demostró en 1761 que π es un numero irracional y en 1782 F. Lindemann probó que es un número trascendente. El número π es uno de los mas importantes en las matemáticas. Si requerimos trazar una circunferencia de 30 cm por ejemplo, procedemos a

calcular el diámetro o el radio , por lo que consideramos que πP

2r=

despejando P = 2πr

donde 2πP

r= sustituyendo valores

2(3.14159565)30cm

r= 6.2831853

30cmr=

r = 4.774, con lo cual podemos trazar la circunferencia de acuerdo con el caso 1, con la diferencia que en este caso conocemos la dimensión del radio. r = 4.774cm

b) Cuando se requiere el trazo de una circunferencia de un área determinada de un círculo.

El área de un círculo es igual a la mitad del producto de la circunferencia por el radio.

S1 =1/2 Cr donde S = superficie del círculo C = circunferencia r = radio O lo que es lo mismo:

S2 = π r2 por lo que si S1 = S2 S = ½ C r = π r2

Si se requiere trazar una circunferencia que comprenda un área de 16 cm cuadrados no podemos utilizar la fórmula de S1 = ½ c r ya que desconocemos la longitud de la circunferencia y la del radio, por lo que podremos utilizar la fórmula S2 = π r2 . De donde despejando:

S2

π= r2

S

π= r

sustituyendo valores

16cm

3.14159265= r


= r5.0929

; por lo tanto r =2.2567 cms aproximadamente con lo que teniendo el valor del radio podemos trazar la circunferencia de acuerdo al caso 1.

A partir del dato conocido del radio podemos calcular la longitud de la circunferencia de área de 16 cm2

Por lo que utilizaremos la fórmula S= 12 Cr , de donde obtenemos

2 S = C r, despejando C; S2C=r , en donde sustituyendo valores

(16cm22 32cm2

C= C=2.2565cm 2.2565cm

)

C = 14.799 cm aprox.

Comprobando estos resultados por medio de la fórmula S = π r2 . S = (3.14159565) (2.2567)2 S = (3.14159265)(5.0926)

S = 16cm2

3.2 Ecuaciones ordinarias de la circunferencia 3.2.1 Circunferencia con centro en el origen Dado que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan del centro, entonces, para cualquier punto que pertenezca a la circunferencia se cumple que la distancia al centro de ésta es igual al radio. Considerar una circunferencia de radio r y centro en el origen en el sistema de coordenadas. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia, tenemos; Partiendo de la siguiente ecuación;

2

12

2

12 )()( yyxxd

La distancia de P(x,y) a O(0,0) es;

22 )0()0( yxd

Donde r=d, tenemos;

22 yxr ó 222 ryx

O

r P(x,y)

X

Y


Siendo esta ecuación valida para cualquier puntote la circunferencia.

Obtención de la ecuación conociendo el radio La ecuación de la circunferencia de centro en el origen, se puede obtener

conociendo solamente su radio. Ejemplo: obtener la ecuación de la circunferencia si el radio =10.

De 222 ryx , sustituyendo r, tenemos;

222 )10( yx , por tanto; 10022 yx

Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación Sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia, se puede obtener el radio

conociendo este punto; 22 yxr .

Ejemplo: Sea P(5,5), obtener r;

07.7252555 22 r

3.2.2 Circunferencia con centro fuera del origen Ahora consideremos una circunferencia cuyo centro no coincida en el origen, es decir, C(h,k) y radio igual a r. Sea (x,y) un punto que pertenezca a dicha circunferencia, entonces, la distancia de C a P es igual a r. Reutilizando la siguiente ecuación;

2

12

2

12 )()( yyxxd

La ecuación se transforma en;

22 )()( kyhxr

Lo cual se cumple para todo punto de la circunferencia, entonces la ecuación de la circunferencia con centro C(h,k) y radio r es:

222 )()( rkyhx

Obtención de la ecuación a partir del centro y el radio

La ecuación de la circunferencia, se puede obtener conociendo el centro y su radio.

Ejemplo: obtener la ecuación de la circunferencia de C(-2,3) y r= 6 .

Sustituyendo en la sig. ecuación;

O

r P(x,y)

X

Y

C(h,k)


De 222 ryx , sustituyendo r, tenemos;

222 )()( rkyhx

222 )6()3())2(( yx

6)3()2( 22 yx

Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación

El radio se puede obtener conociendo el punto, P(x,y) y el centro C(h,k), con ;

22 )()( kyhxr .

Ejemplo: Encontrar el radio con centro C(0,1) y que pasa por el punto(-1,-2);

16.3)12()01( 22 r

3.3. Ecuación general de la circunferencia

3.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general Así como la recta tiene una forma general de su ecuación, la circunferencia también puede representarse por medio de una expresión general, la cual se deduce de la siguiente manera: Considerando una circunferencia de centro C(h,k) y radio r, entonces, su ecuación es;

222 )()( rkyhx

Desarrollando los binomios :

22222 22 rkykyhxhx

Igualando a cero y ordenando términos;

22222 22 rkykyhxhx

Igualando a cero y ordenando términos;

22222 22 rkhkyhxyx

Hagamos:

;2hD ;2kE ;222 rkhF

Así que, la forma general de la ecuación de una circunferencia es;

022 FEyDxyx

3.3.2. Conversión de forma general a la forma ordinaria La forma general de la circunferencia;


022 FEyDxyx

puede desarrollarse a su forma ordinaria, para ello ordenamos los términos;

;)()( 22 FEyyDxx

Completando los cuadrados y sumando en ambos miembros (44

22 ED ),

obtenemos;

;4

4)

4()

4(

2222

22 FEDE

EyyD

Dxx

donde;

;4

4)

2()

2(

2222 FEDE

yD

x

por lo tanto;

hD

2

; kE

2

; ;4

4222 FEDr

obteniendo la ecuación ordinaria;

222 )()( rkyhx

En la ecuación general de la forma siguiente se pueden considerar tres casos posibles;

;4

4)

2()

2(

2222 FEDE

yD

x

a) Si ;0422 FED representa una circunferencia de centro en el punto

)2

,2

(ED

y su radio igual a .42/1 22 FED

b) Si ;0422 FED se dice con frecuencia, que representa una circunferencia de

radio cero.

c) ;0422 FED se dice que representa un círculo imaginario.

3.4 Circunferencia que pasas por tres puntos

3.4.1 Condiciones geométricas y analiticas para determinar una circunferencia En la ecuación ordinaria de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2 hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera semejante, en la ecuación general, x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, hay tres constantes arbitrarias independientes, D, E y F. Como la ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de las dos formas, la ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tres constantes. Esto requiere de tres ecuaciones independientes, que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por tanto, analíticamente, la


ecuación de una circunferencia se determina completamente por tres condiciones independientes. Geométricamente, una circunferencia queda, también, perfectamente determinado por tres condiciones independientes; así, por ejemplo, queda determinado por tres cualesquiera de sus puntos. 3.4.2. Obtención de la ecuación dados tres puntos Ejemplo 1: Determinar la ecuación, el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(-1, 1), B(3, 5) y C(5, -3).

Solución Supongamos que la ecuación buscada es, en la forma general,

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, - - - - - - - - - - (1) en donde las constantes D, E y F deben ser determinadas. Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (1). De acuerdo con esto, tenemos las tres ecuaciones siguientes correspondiendo a los puntos dados:

(-1, 1): 1 + 1 – D + E + F = 0 (3, 5): 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 (5, -3): 25 + 9 +5D – 3E + F = 0

Que puede escribirse más abreviadamente así

D – E – F = 2 3D + 5E + F = -34 5D – 3E + F = -34

El sistema se puede resolver usando el método por determinantes, de la siguiente manera:


Determinante 3x3

Sistema de Ecuaciones ( 3 x 3 )

Ecuación 1 D 1 + E -1 + F -1 = 2

Ecuación 2 D 1 + E 5 + F 1 = -34

Ecuación 3 D 5 + E -3 + F 1 = -34

Calculo de Determinante

1 -1 -1 1 -1

Δ = 1 5 1 1 5 = 32

5 -3 1 5 -3

Calculo de Determinante Δ D

2 -1 -1 2 -1

Δ D = -34 5 1 -34 5 = -256 D = -8

-34 -3 1 -34 -3

Calculo de Determinante Δ E

1 2 -1 1 2

Δ E = 1 -34 1 1 -34 = -128 E = -4

5 -34 1 5 -34

Calculo de Determinante Δ F

1 -1 2 1 -1

Δ F = 1 5 -34 1 5 = -192 F = -6

5 -3 -34 5 -3

La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da D = -8, E =-4, F = -6, de manera que sustituyendo estos valores en (1), obtenemos x2 + y2 – 8 x – 4y – 6= 0, que es la ecuación de la circunferencia buscada. El centro y el radio se obtienen reduciendo la última ecuación a la forma ordinaria Ejemplo 2: Un círculo es tangente a la recta 2x – y + 1 = 0 en el punto (2,5), y el centro está sobre la recta x + y = 9. Hallar la ecuación de la circunferencia. La recta que pasa por (2,5) y que es perpendicular a la recta 2x – y + 1 = 0 pasa por el centro del círculo. La ecuación de esta recta es y – y = m (x – x)


y – 5 = - ½ (x – 2) 2(y – 5) = x – 2 2y – 10 = - x + 2 x + 2y = 12. Por eso, la solución del sistema x + 2y = 12 x + y = 9 da las coordenadas del centro. De acuerdo con ello, el centro está en (6,3). La distancia de este punto a (2,5) es √ 20. Por tanto, la ecuación de la circunferencia es (x – 6)2 + (y – 3)2 = 20. Ejemplo 3: Un triángulo tiene sus lados sobre las rectas x + 2y – 5= 0, 2x – y – 10 = 0 y 2x + y + 2 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo. Con referencia a la figura, indicamos el punto reintersección de las bisectrices de los ángulos A y B por P (x’, y’). Las distancias de los lados del triángulo a P se indican por d1, d2 y d3. Las distancias d1 y d2 son positivas, pero d3 es negativa. Así, d1 = d2 y d2 = - d3. Escribimos ahora (2x’ + y’ + 2) / √5 = (2x’ – y’ – 10) / - √5 o bien, x’ = 2 (2x’ – y’ – 10) / - √5 = (x’ + 2y’ – 5) / √5 o bien, x’ – 3y’ = 5. Suprimiendo las comillas se obtiene x = 2 y x – 3y = 5, las cuales son las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos A y B. La solución de este par de ecuaciones es x = 2 y y = - 1. Por tanto, el punto (2, -1) es el centro de la circunferencia inscrita. El radio es la distancia de (2,-1) a cada uno de los tres lados, la cual es √5. Por eso, la ecuación deseada es (x – 2) + (y + 1) = 5.

3.5 CIRCUNFERENCIA Y OTRAS SECCIONES CONICAS

Principales Elementos de un Cono


Una superficie cónica es la generada por una recta generatriz que gira alrededor de una recta fija, denominada eje, apoyada en un punto, V, común, llamado vértice; siguiendo una trayectoria curva, una circunferencia de giro, denominada directriz, que, en el caso que se estudia aquí, es plana y no contiene al vértice. La recta generatriz se mueve con un movimiento extremadamente pausado que las posiciones infinitamente próximas de dos generatrices pertenecen a un plano constantemente tangente a la superficie curva. Al apoyarse en un punto, V, colineal del eje, la generatriz forma un ángulo α con ella, denominado ángulo del cono, y queda dividida en dos semirrectas que giran por ambos lados describiendo dos hojas o ramas, de la misma superficie, una hoja superior y otra inferior.

En Geometría Plana o geometría de la regla y el compás, las curvas cónicas son las determinadas por secciones planas a una superficie cónica que cumplen las condiciones siguientes:

1. El plano secante no ha de pasar por el vértice V, o punto fijo de la cónica; de hacerlo, no se produciría curva alguna, las secciones serían un punto (cuando corta al cono perpendicularmente al eje), una recta (cuando es tangente a una generatriz), dos rectas (cuando corta al cono oblicuamente al eje), etc. Estos elementos geométricos así obtenidos se denominan Cónicas Degeneradas.

2. Que el plano secante no sea perpendicular al eje de la superficie del cono, pues,

en este caso, la sección sería una circunferencia; todos los puntos comunes, del plano y del cono, serían equidistantes de 0, punto de intersección del plano con el eje.

3.5.1 Cortes en un cono para obtener Circunferencias y Elipses


Cada una de las figuras geométricas que discutiremos en este curso puede obtenerse como la intersección de un cono circular recto de dos mantos (hojas) con un plano. Por esta razón se llaman Secciones Cónicas, Curvas Cónicas o simplemente Cónicas.

Características de las Curvas Cónicas La naturaleza de las curvas cónicas dependen de la posición del plano secante. Así, si el plano secante es perpendicular al eje y corta a todas las generatrices, se obtiene una sección Circunferencia, considerada como un caso particular de curva cónica, y, más concretamente, de la elipse. (Fig.1-A)

Considerando α como ángulo del cono, constante y fijo, o ángulo que forman las generatrices con el eje; y β el ángulo de oblicuidad del plano secante respecto del mismo eje, se podrán establecer los casos de curvas cónicas determinadas por secciones planas:

a) Cuando α<β y β=90º, la sección es una Circunferencia. (Fig. 1) b) Cuando α<β y β≠90º, la sección es una Elipse; por lo que queda demostrada la

información anterior en el sentido de que la circunferencia es un caso particular de la elipse, cuando el ángulo β, aún siendo menor que el α, sea igual o diferente de 90º. (Fig. 2)

c) Cuando α=β, el plano es paralelo a una generatriz, y la sección es Parábola. (Fig. 3)


Si el plano secante, sin ser perpendicular al eje, corta a la totalidad de las generatrices del cono, se obtendrá una sección Elipse. (Fig. 2-A)

3.5.2 Cortes en un cono para obtener una Parábola Si el plano secante es paralelo a una sola de las generatrices, la sección obtenida es una sección Parábola, y tendrá un punto impropio. (Fig. 3-A)

3.5.3 Cortes en un cono para obtener una Hipérbola Finalmente, cuando el plano resulta paralelo a dos generatrices (considerado el cono como determinado por dos hojas), la curva con dos ramos que se obtiene es una sección Hipérbola y tendrá dos puntos impropios. (Fig. 4-A) Cuando α>β, el plano es paralelo a dos generatrices y la sección es Hipérbola. (Fig. 4)


Cónicas Degeneradas Al hablar de curvas cónicas determinadas mediante secciones planas a una superficie cónica, se exigió como condición a cumplir por los planos secantes el que no contuvieran el vértice del cono. Pues bien, cuando no se respeta ésta, las secciones producidas se denominan Cónicas Degeneradas; pudiéndose dar los casos siguientes:

1. Cuando el plano secante contiene al eje de la superficie cónica, la sección plana lo componen dos rectas concurrentes en el vértice del cono.

2. Cuando el plano secante es tangente a la superficie cónica y contiene al vértice, posee una generatriz común.

3. Cuando el plano secante es perpendicular u oblicuo al eje por el vértice la sección en ambos casos es un punto, o dos rectas imaginarias con un punto impropio, el mismo vértice.

Si la superficie cortada es cilíndrica, y los planos son tangentes, secantes o exteriores, las cónicas degeneradas serán:

a) Una o dos rectas confundidas en una sola. b) Dos rectas paralelas c) Dos rectas imaginarias con un punto impropio común.

3.5.4 Elipse 3.5.5 Elipse con centro dentro del origen


Existen al menos tres maneras equivalentes de definir las elipses:

Definición 1: una elipse es una sección cónica en la que la inclinación del plano es mayor que el ángulo de conicidad.

Definición 2: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F y F' dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia FF'. Un punto M pertenece a la elipse de focos F y F' si:

donde a es el semieje mayor de la elipse.

Definición 3: en un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Otras propiedades

La excentricidad de una elipse es ε = c/a.

El área interior a la elipse es π·a·b La circunferencia es una elipse en la que a = b.

Propiedades notables


Las propiedades de la elipse como herramienta para la anamorfosis

Las propiedades de la elipse como herramienta para la anamorfosis Según se explicó precedentemente, la elipse posee un «eje mayor» trazo AB y un «eje menor» trazo CD; la mitad de cada de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

La «elipse» goza de propiedades notables asociadas a cada uno de sus componentes, como se puede visualizar en Analogía de Michelson y Morley.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».

El punto puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

La longitud desde al punto sumada a la longitud desde a ese mismo punto , es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor» trazo AB.

A las rectas correspondientes a los trazos y , se las llama «radios vectores».

Los dos «focos» equidistan del centro . El área de la elipse es:

Anamorfosis de un círculo en una elipse


Este es un circulo, en donde el plano cartesiano no se encuentra deformado

Este círculo esta aplastado quedando como elipse, el eje de las Y se ha contraído y el de las X se ha dilatado

La desfiguración de la circunferencia (con su aplastamiento distorsiona el plano cartesiano asociado a aquella), se denomina anamorfosis, que corresponde a una perspectiva muy especial. El término anamorfosis se toma del griego que significa "trasformar".

En el caso del círculo el plano cartesiano está compuesto por varios cuadraditos, en cambio cuando el círculo se aplasta – transformándolo en una elipse – esos cuadrados se deforman quedando más contraído por el eje de las Y, y simultáneamente dilatados por el eje de las X, según se visualiza en la imagen .

3.5.5 Elipse con centro fuera del origen

El centro ( h, k) se sustituye en la formula al igual que se hizo en la circunferencia Hipérbola Una hipérbola es un tipo de sección cónica. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. se obtiene al sacar las pendientes absisas, y sumar todos sus angulos iguales tales como los catetos y la hipotenusa

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas


3.5.6 Hipérbola con centro en el origen Ecuación con centro (0,0)

3.5.7 Hipérbola con centro fuera del origen Ecuación con centro arbitrario

Siendo (h,k) el centro Parábola

4.1 Caracterización geométrica

4.1.1 La parábola como lugar geométrico

La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana que se puede ajustar, en relación a un sistema de coordenadas ortonormales, con la relación

o con la aplicación de una transformación que represente un giro a dicha relación.


4.1.2 Elementos asociados con una parábola Se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de uno fijo, llamado foco (F), y de una recta cualquiera, llamada directriz (D). 4.1.3 Formas de trazo a partir de la definición de una parábola i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD. ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.

fig. 1.1.

Observaciones:

i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.

ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola. 4.2 Ecuaciones ordinarias de la Parábola

4.2.1 Ecuación canónica La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas. Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es:

También suele utilizarse a en lugar de p, siendo 2p la distancia de la directriz al foco F. Esta distancia se denomina parámetro de la directriz y su valor coincide con el de la ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje.


4.2.2 Parábola con vértice fuera del origen En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) fuera delmorigen se tiene que su ecuación canónica (o principal) es:

La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es paralelo al eje y. Además, el signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola: si 4p es positivo (mayor que cero), entonces la apertura es en dirección en que crece el respectivo eje.

4.3 Ecuación general Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y:

en donde

Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está ubicado el foco (eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda

Tangente de la parábola

Sea hallar la tangente a la parábola

en uno de sus puntos de coordenadas (x1, y1). Derivando respecto a x los dos miembros de la fórmula resulta: 2yy' = 2p Despejando y´: y' = p / y;y'1 = p / y1 La ecuación de la tangente será: y − y1 = p / y1(x − x1) y quitando denominadores:

Haciendo la trasposición de términos:

Por tanto, la ecuación de la tangente es:

Es importante mencionar que una conclusión como la anterior la podemos obtener utilizando únicamente geometría analítica. Ya que si consideramos la ecuación y = ax2 entonces un punto de ella es (x1,ax12) por lo que la recta y − ax12 = m(x − x1) es la ecuación de una recta secante a la parábola, si buscamos las condiciones adecuadas substituyendo la segunda ecuación en la primera, y buscamos que la recta secante se


intercepte una sola vez con la parábola encontraremos que el valor de la pendiente corresponde al de la derivada. Se comprueba que desde el punto de vista meramente formal, para hallar la ecuación de la tangente basta escribir la ecuación de la parábola en la forma y·y = px + px, y reemplazar en ella una y por y1 y una x por x1 Ecuaciones Analíticas de la Parábola En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)

fig. 1.2.

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 1.2 ) entonces, .

Pero, y

Luego,


Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los

binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,

(1) TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)

i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 1.4) viene dada por : y2=2px.

ii. ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 1.3.) es: x2 = 2py

fig. 1.3.


fig. 1.4.

Observaciones:

i. En la fig. 1.3. Aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.

Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par.

ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 1.4. Corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus


lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.

Traslación de Ejes En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:

ó

Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se

obtiene .

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 1.5.).

fig.1.5.

Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los


cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coordenadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema.

Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:

x = x’ + h (1) y = y’ + k (2)

llamadas: ECUACIONES DE TRASLACIÓN DE EJES, y que pueden deducirse fácilmente de la fig. 1.6.

fig.1.6.

Observación:

La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.

Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecuaciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.

Si se toma como referencia los ejes x’ e y’, hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo sistema.


Las ecuaciones , permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parábola, como lo afirma el siguiente teorema:

Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma general)

i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en y por directriz la recta:

(fig.1.7.) viene dada por:

(1)

fig.1.7.

ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en y por directriz la recta:

(fig. 1.8.) viene dada por:

(2)


fig. 1.8.

Demostración:

Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego hacer

e

Observación:

Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma:

(3)

(4)

En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cuadrado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya variable aparece lineal. Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa una parábola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).

Valores máximos y mínimos de una parábola

Se ha visto en la sección precedente que la ecuación (1) puede

escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0).


Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva.

fig.1.9. (a) fig. 1.9. (b)

Si como en la fig. 1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la curva) es llamado el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa.

Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 1.9.(b)), el vértice V es llamado el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.

Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.

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