Matemtica en Contexto V

Manual de referencia

Desarrollado por CORD Adaptado para el Instituto Politcnico Loyola-

Iniciativa Empresarial para la Educacin Tcnica Repblica Dominicana

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Copyright 2009 by CORD Waco, Texas USA Program Director and Chief Implementation Specialist: Agustn Navarra, Ph.D. Authors (at CORD): John Chamberlain, Leno S. Pedrotti, and Agustn Navarra Technical Editors (Spanish language): Gladys G. Navarra and Agustn Navarra Production, art work and formatting: Mark Whitney and Kathy Kral COPYING AND DISTRIBUTION OF THIS MATERIAL ARE STRICTLY PROHIBITED BY LAW! Ownership of this instructional material is protected by international copyright laws. The text of this publication, or any part thereof, may not be copied, reproduced or transmitted in any form or by any means whatsoeverelectronic or mechanical, including photocopying, recording, storage in an information retrieval system, or otherwisewithout the express prior written permission of the publisher. Violators may be prosecuted to the full extent provided by law. Published and distributed by CORD COMMUNICATIONS, Inc. 601 Lake Air Drive, Suite E Waco, Texas 76710 USA 254-776-1822 ISBN 978-1-57837-596-7 Neither CORD nor CORD COMMUNICATIONS, Inc., assumes any liabilities with respect to the use of, or for damages resulting from the use of, any information, apparatus, method, or process described in this publication.

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NDICE Unidad 1: Repaso de Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones ...........................................................1

Captulo 1: Problemas cuya solucin requiere ecuaciones ......................................................... 2Captulo 2: Problemas cuya solucin requiere sistemas ecuaciones ........................................ 10Captulo 3: Problemas cuya solucin requiere funciones cuadrticas del tipo

f(x) = ax2 + bx + c ............................................................................................................... 22

Unidad 2: Inecuaciones ..................................................................................................................29Captulo 1: Problemas cuya solucin requiere inecuaciones .................................................... 30

Unidad 3: Funciones exponenciales y logartmicas .......................................................................51Captulo 1: Funciones exponenciales ....................................................................................... 52Captulo 2: Funciones logartmicas .......................................................................................... 67

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Unidad 1: Repaso de Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

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Captulo 1: Problemas cuya solucin requiere ecuaciones

Objetivos Traducir un problema en una ecuacin Reconocer las partes de una ecuacin, trabajar con ellas y resolver la misma Verificar las soluciones de la ecuacin y del problema Graficar la ecuacin y hallar en dicho grfico la pendiente y la ordenada al origen o

intercepto

ACTIVIDADES Actividad 1.1 Relacin entre la altura y el volumen de un cilindro

Materiales Lata de caf de una libra

Regla

Calibrador Vernier

Cilindro graduado de 500 ml

Calculadora

Enunciado del

problema En esta actividad examinamos la relacin lineal entre el volumen (V) y la altura (h) de una lata cilndrica, y representamos los datos de volumen contra altura en un grfico.

(Nota: La frmula para el volumen de un cilindro es V = r2h. Para un cilindro dado, el rea de una seccin transversal [A = r2]es constante, de modo que V = Ah es una ecuacin lineal con dos variables, V y h.

Procedimiento a. Mide el dimetro interior de una lata de caf de una libra. Calcula

el radio y anota este valor en una hoja. Calcula el rea de la base de la lata de caf y antala en dicha hoja.

b. Mide 100 ml de agua en el cilindro y chalo en la lata. Asegrate que la lata est nivelada. Para verificar si lo est, mide la altura del agua en ella en tres posiciones diferentes alrededor del borde interior de la misma. Si las tres medidas son iguales, la lata est nivelada. Mide la altura del

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agua en la lata y registra esta altura y el volumen de agua agregado en tu carpeta.

c. Repite el paso b agregando 100 ml de agua, cuatro veces ms para que hagan un total de 500 ml de agua. Asegrate de registrar la altura del agua y el volumen total de agua en la lata despus de cada adicin de agua. Cuando hayas terminado, tienes que tener 5 pares de valores para V y h en tu tabla de datos.

Clculos Realiza un grfico del volumen (en el eje vertical) contra la altura (en

el eje horizontal).

a. Es lineal la relacin entre volumen y altura?

b. Es lineal el volumen de la ecuacin = r2h si r es constante? c. Pasa por el origen la lnea del grfico si la extiendes? Tendra que pasar? Qu significa el punto de la lnea en el origen? Preprate para defender tus respuestas.

Actividad 1.2 Peso y volumen del agua

Materiales Dinammetro de 5000 g de capacidad Cilindro graduado de 500 ml

Cuerda

Vaso de precipitado de 1000 ml

Calculadora

Enunciado del

problema Si la temperatura es constante, la relacin entre el peso y el volumen de una cantidad dada de lquido es una ecuacin lineal, tal como peso = (una constante) (volumen). En esta actividad estudiaremos esta relacin pesando diferentes volmenes de agua y despus calculando la constante en el grfico.

Procedimiento a. Ata una cuerda alrededor de la parte superior del cilindro

graduado de manera que forme un nudo seguro. Pesa el cilindro graduado con el dinammetro y registra este peso en una hoja.

b. Llena el vaso de precipitado hasta la mitad de agua. c. Vierte unos 100 ml de agua en el cilindro graduado y pesa el agua y el cilindro con el dinammetro. Registra el volumen de agua y el peso en una hoja.

d. Repite el paso c cuatro veces ms hasta que hayas agregado 500 ml al cilindro graduado.

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Clculos a. Realiza un grfico del peso (en el eje vertical) contra el volumen

de agua en el cilindro graduado (en el eje horizontal). b. Dibuja una lnea continua uniendo los puntos de tu grfico. Es el grfico una lnea recta? Si algn punto no est en la lnea recta, verifica tu trazado para estar seguro que el punto est correctamente trazado.

c. Elige dos puntos, uno al lado del otro. Sustrae el peso ms pequeo del ms grande. sta es la diferencia de los pesos. Identifica esta diferencia como p. d. Para los mismos dos puntos, sustrae el volumen ms pequeo del volumen ms grande. sta es la diferencia de los volmenes. Identifica esta diferencia como v. e. Divide la diferencia de los pesos p por la diferencia de los volmenes v. sta es la pendiente de la recta del grfico y es el valor de m en la forma explcita de una ecuacin lineal, y = mx +b. f. En el grfico cul es el valor del peso cuando el valor del volumen del agua en el cilindro graduado es cero? Compara este valor con el peso del cilindro graduado vaco. Este valor es la ordenada al origen del grfico y corresponde al valor b en la forma explcita de una ecuacin lineal: y = mx + b. g. Escribe una ecuacin lineal en forma explcita que muestre la relacin, establecida por tus datos, entre el peso y el volumen de cantidades de agua. Tu ecuacin tiene que incluir el valor de la constante m y de la constante b.

Actividad 1.3 Sistema de coordenadas para la sala de clases

Materiales Cinta mtrica Tiza o gis Escuadra Plomada Calculadora

Enunciado

del problema En esta actividad, haremos un sistema de coordenadas del aula y lo usaremos para situar diferentes objetos en el mismo.

Procedimiento a. Localiza y marca el punto medio del borde inferior de las paredes

del frente y de atrs de la sala de clases. Marca la lnea (con tiza) entre estos dos puntos. Esta lnea representar el eje de las ordenadas.

b. Localiza y marca el punto medio del borde inferior de las dos paredes laterales de la sala de clases. Marca la lnea (con tiza) entre estos dos puntos. Usa la escuadra para asegurarte de que la lnea sea perpendicular

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al eje de las ordenadas ya marcado. Si no lo es, ajusta los extremos de la lnea para hacer que sean perpendiculares. Luego marca la lnea. Esta lnea representar el eje de las abscisas. Ambos ejes y el suelo de la sala de clase forman un plano de coordenadas cartesianas.

c. Marca los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas del modo que quieras. Una vez hayas hecho esto, identifica los segmentos de cada eje para cada cuadrante como + o , asegurndote de que los dos segmentos de los ejes que bordean el cuadrante I sean +.

d. Mide la distancia perpendicular desde el eje de las abscisas y desde el eje de las ordenadas hasta cada una de las posiciones descritas a continuacin. Usa el signo apropiado para cada valor. Convierte las distancias medidas en pies y pulgadas a fracciones decimales en pies. Para cada posicin, escribe el par de distancias en una hoja de papel, como un par ordenado. Las posiciones a ubicar son las siguientes:

Cada uno de los cuatro rincones de la sala de clases Cada una de las cuatro esquinas (o patas) del escritorio del profesor

donde hace contacto con el suelo Los puntos de abajo de ambos lados de la puerta de la sala de clases

(cerrada) Los puntos de abajo de ambos extremos del pizarrn (usa una plomada

si la necesitas)

e. Ahora haz un dibujo a escala del suelo y ubica en el mismo, los pares ordenados. Traza el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas. Elige una unidad de medida que te permita situar todos los puntos en una hoja. Representa los pares ordenados que mediste en el paso c. Identifica cada uno de los puntos.

f. Determina la ecuacin de la recta que se extiende entre la esquina del escritorio del profesor, ms cercana a la puerta de la sala de clase y el lado de la puerta ms cercano a dicho escritorio. (Ayuda: Para que te sea ms fcil determinar la ecuacin, determina primero la ordenada al origen y la pendiente de la recta.)

EJERCICIOS Ejercicio 1.1 Observa cada pareja de ecuaciones que estn a continuacin. Para

cada pareja explica si representan o no la misma ecuacin. Es decir, ha cambiado el significado de la ecuacin o solamente fue simplificada?

a. 3y = 12z + 9 y = 4z + 3 b. 7t + 3t = 450 t = 45

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c. 8 + 7z = 16 z = 10 d. 3n 5 = 2n + 3 5n = 2 e. 2 (k + 3) = 10 k + 3 = 5

Ejercicio 1.2 Los novillos que pesan de 800 a 900 libras comen en promedio 22.3 libras de pasto por da. Estos novillos tienen que ganar peso a un promedio de 2.7 libras por da.

a. Escribe una ecuacin en forma explcita para averiguar la cantidad de das en que un novillo, en este rango de peso, ganara P libras de peso. b. Escribe otra ecuacin en forma explcita para expresar la cantidad de das necesarios para que un novillo, en este rango de peso, consuma F libras de pasto.

c. Como las dos ecuaciones anteriores se refieren a la cantidad de das, puedes igualarlas entre s para obtener una nueva ecuacin. Haz esto y obtn una ecuacin que relacione las libras de pasto consumidas (F) con las libras de peso ganadas (P). Despeja la variable libras de pasto consumidas.

d. Usa la ecuacin del punto anterior para calcular el consumo de pasto necesario para que el novillo gane 50 libras.

Ejercicio 1.3 Una pliza de seguro contiene una clusula del 80% de coseguro. Esto significa que las primas cuestan menos de lo normal, pero se espera que el poseedor de la pliza pague parte de la prdida en caso de siniestro. Bajo este tipo de pliza, la compaa de seguros paga una fraccin de la prdida por siniestro, de acuerdo a la ecuacin siguiente:

= 0.80

FP LV

donde P es el pago hecho por la compaa de seguros en el caso de un siniestro, bajo la clusula del 80%,

F es el valor nominal de la pliza, V es el valor total de la propiedad, y L es la prdida sufrida por el poseedor de la pliza. a. Supongamos que tu casa y muebles estn valorados en RD$990 000.00, el valor nominal de la pliza es de RD$660 000.00. La pliza tiene una clusula del 80% de coseguro. Determina el valor del coeficiente de la ecuacin anterior y escribe nuevamente la misma, en forma explcita usando este coeficiente.

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b. Use la ecuacin para determinar el pago que hara la compaa de seguros frente a una peticin de RD$422 400.00 de prdida en esta propiedad.

c. Qu cantidad de esta prdida tendra que afrontar el dueo de la casa?

Ejercicio 1.4 Los Cdigos Nacionales de Proteccin para Incendios tienen pautas relativas al almacenamiento de lquidos inflamables. Est permitida una relacin de 2 galones por pie cuadrado en una bodega sin proteccin contra el fuego (extinguidor o extintor) y una resistencia al fuego de 1 hora. El tamao de la bodega no debe superar los 150 pies cuadrados.

a. Escribe una ecuacin en forma explcita para expresar la relacin entre los galones de lquido inflamable que pueden ser almacenados y el rea de la bodega.

b. Identifica las variables, los coeficientes y las constantes de la ecuacin. c. Usa la ecuacin para calcular el rea requerida para guardar un mximo de 165 galones.

d. Cuntos galones puede almacenar la bodega con las dimensiones mximas permitidas siguiendo las normas antes mencionadas.

Ejercicio 1.5 Supongamos una lnea de montaje de ventiladores grandes de aspiracin para instalaciones industriales. El montaje est diseado de manera que la polea del motor y la polea del ventilador estn a 28 pulgadas de distancia. Se debe prever un pequeo ajuste para la tensin de la correa. La polea del motor tiene un dimetro de 3 pulgadas. Basado en la velocidad requerida del ventilador y el tamao del mismo se puede modificar el tamao de la polea del ventilador. Como ayuda para determinar el tamao de la correa podemos usar la frmula siguiente:

B = 2L + 1.625 (D + d) donde B es la longitud requerida de la correa, L es la distancia entre los centros de las dos poleas, D es el dimetro de la polea del ventilador, y d es el dimetro de la polea del motor. a. Sustituye en la frmula los valores dados en el enunciado del problema y escribe nuevamente la frmula como ecuacin lineal en forma explcita. Identifica las variables, el coeficiente y la constante.

b. Prueba esta ecuacin con dimetros de la polea del ventilador de 6 y 10 pulgadas. Verifica tus resultados con la frmula original.

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Ejercicio 1.6 Los datos de rendimientos del maz tienen que ajustarse segn un cierto nivel de humedad para que puedan ser exactamente comparables. El nivel de humedad es usualmente 15.5%. La tabla siguiente lista los factores en que est dividido el peso de la cosecha para calcular el rendimiento a un nivel ajustado de humedad del 15.5%.

Factor de humedad Humedad observada Maz desgranado Maz en mazorca

0 42.43 47.48 10 52.58 63.49 20 59.15 73.96 30 67.60 88.50 40 78.87 103.16

a. Representa los factores de humedad del maz desgranado y maz en mazorca para los diferentes niveles de humedad observados. Conecta los puntos para cada conjunto de datos con una curva suave.

b. Si cualquiera de los grficos resulta lineal, determina su pendiente y su ordenada al origen.

c. Escribe la forma explcita de la ecuacin para cada recta representada.

Ejercicio 1.7 La pendiente de un cierto camino es 5.5%. a. Escribe una ecuacin de una recta que tenga una pendiente de 5.5%. (Ayuda: Expresa la pendiente como una fraccin decimal y no en porcentaje.)

b. Dibuja un grfico de tu ecuacin. c. Usa tu ecuacin para encontrar cunto puede cambiar la elevacin sobre una distancia de 1000 pies de un camino que tenga una pendiente de 5.5%.

Ejercicio 1.8 Un agente de polica frecuentemente tiene que investigar la escena de un accidente automovilstico. Midiendo el largo de las marcas de frenado, puede hacer un clculo razonable de la velocidad del auto antes de que empezara a frenar. A continuacin vemos una tabla promedio de distancias de frenado para un automvil con buenas llantas en pavimento seco.

Velocidad (mph) Distancia de frenado (pies) 20 1930 3840 7050 11060 15670 21580 276

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a. Un grfico con estos datos puede hacer ms fcil la traduccin de las marcas de frenado en velocidades estimadas. Elige una escala para tus ejes y haz un grfico con estos datos.

b. Es lineal este grfico? Dibuja una lnea o una curva que coincida con los datos. Tiene que pasar tu lnea (o curva) por el origen? Explcalo.

c. Supongamos que mediste una marca de 90 pies. Usa tu grfico para estimar la velocidad a que viajaba el auto en el momento en que empez a frenar.

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Captulo 2: Problemas cuya solucin requiere sistemas ecuaciones

Objetivos Identificar en problemas reales las variables y los coeficientes que generan ecuaciones Resolver esos problemas cuando los mismos requieren la solucin conjunta de ms de

una ecuacin

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 1.1: Uso de un sistema de dos ecuaciones para calcular las ganancias

Jos, el hermano menor de Cristbal, piensa poner un puesto de venta de limonada. Debido a que Cristbal ha tenido algo de experiencia con lgebra y sabe aproximadamente cuanto pagara un cliente por un vaso de 6 onzas de limonada, ayuda a Jos a tener una idea de cuntas tazas tendr que vender para obtener alguna ganancia.

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Cristbal calcula el costo de instalar el negocio de la siguiente manera. El costo de iniciar el puesto de limonada es RD$120.00. Cada vaso de limonada le costar a Jos RD$6.00. Por tanto, el costo total de la limonada es: Costo = (6 pesos cantidad de vasos) + 120 p = 6 n + 120

Donde p representa pesos y n cantidad de vasos. Debido a que cada vaso de limonada se vender a 10 pesos, el dinero obtenido (ingreso) sera el siguiente:

Ingreso = 10 pesos cantidad de vasos vendidos p = 10 n Cuando las dos ecuaciones: p = 6 n + 120 y p = 10 n, se grafican en el mismo conjunto de ejes, obtenemos el siguiente grfico:

Ahora examina las dos rectas graficadas y responde las siguientes preguntas:

a. Por qu el grfico de ingreso pasa por el punto (0, 0)? b. Cules seran algunos de los costos para iniciar el puesto?

c. Si Jos vende 20 tazas, cuanto ganar o perder?

d. Si Jos vende 40 tazas, cuanto ganar o perder?

e. Cuntas tazas se deben vender para obtener ganancia?

f. Cules son las coordenadas del punto de no ganar ni perder? g. Cmo se veran los dos grficos si el costo fuera de 10 pesos por vaso?

h. En este caso cul sera el punto de no ganar ni perder?

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Ejemplo 1.2: Uso de sistemas de ecuaciones para determinar produccin

La Compaa Juguetiny ensambla carros y triciclos. Los carros requieren 4 ruedas cada uno, y los triciclos 3. Si la Compaa Juguetiny tiene 1200 ruedas disponibles y debe fabricar un total de 375 vehculos (entre carros y triciclos), cuntos se pueden producir de cada uno?

Debido a que cada carro, w, requiere 4 ruedas, cada triciclo, t, requiere 3 ruedas y el nmero total de ruedas es 1200, puedes representar esto algebraicamente como sigue:

4w + 3t = 1200 siendo w = el nmero de carros (incgnita) 4w = el nmero de ruedas en w carros t = el nmero de triciclos (incgnita) 3t = el nmero de ruedas en t triciclos El hecho que el nmero total de carros, w, y triciclos, t, sea de 375 tambin se puede modelar mediante la ecuacin:

w + t = 375 Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones:

[Ecuacin I] 4w + 3t = 1200 (nmero total de ruedas) [Ecuacin II] w + t = 375 (nmero total de vehculos) Se pueden resolver estas ecuaciones para determinar w y t, multiplicando la Ecuacin II por 3 y restando la ecuacin resultante de la Ecuacin I:

[Ecuacin I] 4w + 3t = 1200 permanence igual 4w + 3t = 1200 [Ecuacin II] w + t = 375 multiplica por 3 3w + 3t = 1125 restando las dos ecuaciones w + 0 = 75 La respuesta es w igual a 75, por lo tanto el nmero de carros que se pueden producir es de 75.

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Puedes sustituir este valor por w en la Ecuacin II para hallar el valor correspondiente de t: [Ecuacin II] w + t = 375 75 + t = 375 t = 300 Ahora verifica tus resultados. Es verdad que 75 carros y 300 triciclos son un total de 375 vehculos? Es verdad tambin que 75 carros y 300 triciclos requeriran un total de 1200 ruedas? Siempre verifica tu solucin.

ACTIVIDADES Actividad 1.4: Separacin de una mezcla

Materiales Caja de tornillos pequeos, por ejemplo, 10-32 34"

Caja de tuercas pequeas, por ejemplo, 10-32 Vaso de papel, con capacidad de 8 onzas (aproximadamente) Balanzas (o dinammetros) provistas de resortes en la plataforma, capacidad de 3 kg, con una precisin de 25 g

Enunciado del

problema El empaquetado de artculos se puede hacer por peso o por cantidad. Supongamos que tenemos una mezcla de dos artculos diferentes, artculo A y artculo B. Sabemos la cantidad total y el peso total de la mezcla, pero no sabemos cuntos hay de cada uno. Sin embargo, si conocemos el peso de un artculo A y de un artculo B, se puede determinar cuntos hay de cada uno en la mezcla. En esta actividad simularemos los dos artculos de una mezcla usando tuercas y tornillos.

Procedimiento a. Primero necesitas determinar el peso de una tuerca y el peso de un tornillo. El dinammetro quizs no es muy exacto para pesar slo una tuerca o un tornillo. Por eso, cuenta y pesa 20 tuercas, divide el peso por 20 y registra el peso de una tuerca (N) en tu carpeta. De manera similar, pesa 20 tornillos para determinar el peso de un tornillo (B) y regstralo en tu carpeta.

b. En esta actividad trabajars con otro grupo. Pon un nmero al azar de tuercas y de tornillos en un vaso. No intentes poner un nmero igual de cada uno. Lo que s necesitas saber es el nmero total de objetos en el mismo.

c. Entrega tu vaso de tuercas y tornillos a otro grupo, como te indique tu profesor.

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d. Tambin debieras recibir un vaso con tuercas y tornillos de otro grupo. Deben decirte el nmero total de artculos en l. Registra este nmero total T en tu hoja de datos. NO saques todava las tuercas y tornillos. e. Usando los dinammetros, determina el peso total del vaso con sus tuercas y tornillos. Registra este peso total W en tu carpeta. Pon el vaso a un lado por un momento mientras haces los siguientes clculos.

Clculos a. Expresa lo que sabes y lo que no sabes acera de las tuercas y tornillos en forma de ecuacin. No sabes cuntas tuercas ni cuntos tornillos hay en el vaso. Supongamos que x es el nmero de tuercas e y el nmero de tornillos que hay en el vaso.

Sabemos el nmero total de tuercas y tornillos. Escribe una ecuacin del nmero total de tuercas y tornillos, usa x (el nmero de tuercas) e y (el nmero de tornillos).

Sabes el peso total de las tuercas y tornillos (mas el del vaso, que aqu no lo vamos a considerar). Tambin sabes cunto pesa cada tuerca (N) y cada tornillo (B). Escribe una ecuacin del peso total de las tuercas y tornillos, si hay x tuercas e y tornillos.

b. Del paso anterior tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas: x (el nmero de tuercas) e y (el nmero de tornillos). Resuelve estas dos ecuaciones y determina los valores de x e y que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. En otras palabras, usa la cantidad total y el peso total para hallar el nmero de tuercas y tornillos. Verifica tu respuesta sustituyndola en tus ecuaciones.

c. Examina tu respuesta del Paso b. Sabes que debes tener nmeros enteros de tuercas y tornillos, no valores fraccionarios. Dio tu respuesta matemtica un resultado en nmeros enteros? Si no, qu valores de x e y en nmeros enteros escogeras como las cantidades reales de tuercas y tornillos?

d. Ahora cuenta las tuercas y tornillos y compralas con tu respuesta de x e y. Si el nmero real de tuercas y tornillos es diferente a lo que calculaste, trata de explicar por qu. Harn los valores reales de x e y que tus ecuaciones sean verdaderas (o casi verdaderas)?

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EJERCICIOS Ejercicio 1.9: Volvamos al ejemplo 1.1 donde hablamos del puesto de venta de

limonada. Supongamos que un amigo de Jos viene y dice: podras ganar ms dinero si cobraras 15 pesos por vaso. Si Jos hace esto, entonces la ecuacin del ingreso cambiara a p = 15 n. a. Cul es la solucin de este nuevo sistema de ecuaciones? Qu significa la nueva solucin? (En otras palabras, si Jos aumenta el precio de venta, qu efecto tiene en la relacin ingreso/costo?)

Ejercicio 1.10: Jos no vende tanta limonada como haba esperado. Cristbal sugiere

que para mejorar sus ventas, debe usar un vaso ms grande. Esto hace que el costo de Jos suba a 10 pesos por vaso, ya que los vasos cuestan menos y necesitan ms limonada para llenarse. (Cobra 15 pesos por vaso).

a. Cul es la solucin de este nuevo sistema de ecuaciones? Qu significa la nueva solucin? (En otras palabras, si Jos aumenta su costo para hacer un producto ms atractivo, qu efecto tiene en la relacin ingreso/costo?)

b. Fjate en el impacto que cada uno de los cambios de Jos tuvo en la solucin de las ecuaciones de ingreso y costo. Cul de las tres situaciones piensas que le dio mejores resultados a Jos? Explica.

Ejercicio 1.11: (Desafo para valientes)

Veamos una situacin diferente, pero con la misma idea bsica del puesto de limonada de Jos. Supongamos que un pequeo negocio produce dispositivos mecnicos a medida a un precio de RD$15 cada uno. El dueo puede hacer slo algunos de estos dispositivos mecnicos en forma especial, pero ve que es muy caro. Si pudiera hacer en mayores cantidades, el gasto sera bajo debido a los descuentos al por mayor de los materiales industriales. Sin embargo, hacer grandes cantidades de dispositivos mecnicos, tambin es caro porque el dueo debe contratar a ms personas y trabajar ms horas extra. El dueo sabe que las siguientes dos ecuaciones se aplican: una para el ingreso y otra para los gastos.

Ingreso: p1 = 15 n Costo: p2 = 0.25 n2 20 n + 515 a. Haz los grficos de estas dos ecuaciones. Nota que la ecuacin del costo no es una lnea recta, sino una parbola. En este caso hay dos puntos de interseccin y por lo tanto habr dos soluciones para este sistema de ecuaciones. Halla las soluciones de este sistema de ecuaciones (las coordenadas x, y de las intersecciones de las dos ecuaciones graficadas).

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b. Cul es el significado de los puntos de interseccin de estas dos ecuaciones?

c. Examina los tres grupos de valores de n: 1) n menor que el primer punto de interseccin, 2) n entre el primer y el segundo punto de interseccin y 3) n mayor que el segundo punto de interseccin. Qu puedes decir acerca de la relacin entre el ingreso y el costo en cada una de estas regiones? En qu regin debe tratar de situarse el dueo del negocio?

Ejercicio 1.12: Guillermo y Laura deciden cortar cspedes durante el verano para

ganar algn dinero extra. Cada uno calcula sus gastos de inicio, gastos operativos y el ingreso por hora. Guillermo y Laura escriben las ecuaciones siguientes de ingresos totales (y) despus de trabajar x horas. Guillermo: y = 65 x 825 Laura: y = 65 x 750 a. Grafica las ecuaciones anteriores en un slo grfico, con valores de x de 0 a 20 horas.

b. Antes de que Guillermo y Laura corten su primer csped, calcula cul sera su ingreso total? Explica.

c. Despus de trabajar 20 horas, cul es el ingreso total de cada uno? d. Si Guillermo y Laura trabajan el mismo nmero de horas, cundo seran iguales sus ingresos totales? Explica.

Ejercicio 1.13: Un granjero tiene 2500 tareas de tierra. El granjero necesita plantar

dos tipos de granos: el grano A que se vende a RD$6900 por tarea y el grano B que se vende a RD$8400 por tarea. El granjero quiere recibir RD$18 750 000 por la venta de los granos. Por lo tanto el granjero necesita determinar cuntas tareas de cada uno debe plantar.

a. Sea x el nmero de tareas del grano A (que se vende a $6900 por tarea) e y la cantidad de tarea del grano B (que se vende a $8400 por tarea). Escribe una ecuacin que iguale las ventas de x tarea del grano A ms y tareas del grano B con las ventas totales deseadas de $18 750 000. b. Escribe una ecuacin de la cantidad total de tareas sembradas, si el granjero usa las 2500 tareas de tierra disponibles.

c. Resuelve este sistema de dos ecuaciones para hallar el nmero de tareas de cada tipo de grano que el granjero debe plantar para obtener el monto de ventas deseado.

d. Verifica tu resultado sustituyendo los valores x e y en tus ecuaciones.

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Ejercicio 1.14: Cristina compra ropa para una boutique de su propiedad. Est a cargo de la compra de trajes nuevos para la seccin de ropa de hombres. El presupuesto de compra es $600 000. Cristina decide incorporar al inventario dos tipos diferentes de trajes. Un tipo lleva la etiqueta de un diseador y cuesta $12 000 cada uno. El otro tipo lleva la etiqueta de un traje comn y cuesta $7500 cada uno. Cristina sabe, de acuerdo a su experiencia previa, que los clientes comprarn trajes comunes aproximadamente el 60% de las veces y trajes de diseadores aproximadamente el 40% de las veces.

a. Sea x el nmero de trajes comunes e y el nmero de trajes de diseadores. Escribe una ecuacin que iguale el presupuesto de compra de $600 000 con el costo de compra de x trajes comunes e y trajes de diseadores.

b. Para obedecer al tipo de demanda, el 60% de la compra debe ser trajes comunes y el 40% debe ser trajes de diseadores. Escribe esto en trminos de una proporcin que relacione x e y con 60% y 40%. Resuelve la proporcin y encuentra el valor de y.

c. Resuelve este sistema de dos ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

d. Cuntos trajes de cada tipo debe comprar Cristina para estar dentro del presupuesto y satisfacer la demanda? e. Verifica tu resultado sustituyendo los valores de x e y en tus ecuaciones.

Ejercicio 1.15: Un jet lleva suficiente combustible para 8 horas de vuelo, a una velocidad

de crucero de 220 millas por hora. El avin va hacia el oeste, con viento de cola a 15 millas por hora. El piloto necesita hallar la distancia mxima que puede volar hacia el oeste y tener suficiente combustible para volver. a. La limitacin principal es la cantidad de combustible. Consideremos las variables siguientes: tiempo to de vuelo hacia el oeste y tiempo te de vuelo hacia el este. Escribe una ecuacin que muestre estos tiempos de vuelo, to y te, que sumados den 8 horas.

b. El vuelo hacia el oeste con viento de cola, ser a una velocidad de 220 + 15 millas por hora, es decir, 235 millas por hora. La distancia viajada durante el vuelo hacia el oeste ser la velocidad de viaje por el tiempo de vuelo hacia el oeste, to. Escribe el producto que da por resultado la distancia viajada durante el vuelo hacia el oeste.

c. El vuelo hacia el este, con viento en contra, ser a una velocidad de 220 15 millas por hora, es decir 205 millas por hora. La distancia viajada durante el vuelo hacia el este ser la velocidad de viaje por el tiempo de vuelo hacia el este, te. Escribe el producto que da por resultado la distancia viajada durante el vuelo hacia el este.

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d. Por supuesto, la distancia del viaje hacia el oeste debe ser igual a la distancia del viaje de retorno hacia el este. Iguala los productos de las Partes b y c para obtener una segunda ecuacin con to y te.

e. Resuelve este sistema de ecuaciones para hallar los valores de to y te que satisfagan ambas ecuaciones. Verifica tus resultados sustituyndolos en tus ecuaciones originales.

f. Usa el producto de la Parte b para hallar hasta dnde se puede viajar hacia el oeste y todava tener suficiente combustible para volver a casa.

Ejercicio 1.16: Tu compaa de camiones necesita mover 21 toneladas de grava.

Tienes 8 conductores calificados y dos tipos de camiones. Un tipo puede llevar 5 toneladas, el otro tipo puede llevar 3. Un requisito del seguro especifica que los camiones de 5 toneladas deben tener dos conductores en la cabina durante su operacin. Los camiones de 3 toneladas pueden ser operados por slo un conductor. Sea x el nmero de camiones de 5 toneladas que usars e y el nmero de camiones de 3 toneladas. Puedes escribir dos ecuaciones que describan estas condiciones. Debido a que tienes slo 8 conductores, escribe la ecuacin siguiente: 2x + y = 8. Sabes las cargas que cada camin puede llevar. Y ya que quieres llevar un total de 21 toneladas, puedes escribir una segunda ecuacin: 5x + 3y = 21 Usando el mtodo de determinantes, determina el par x e y que satisfar ambas ecuaciones. O sea, determina cuntos camiones de cada tamao se deben usar para mover la grava en un viaje, usando todos los conductores disponibles.

Ejercicio 1.17: Una compaa de telfonos celulares ofrece dos planes de uso. El plan

econmico te cobra un arancel mensual de RD$600, ms 30 minutos de llamadas libres y te cobra 15 pesos por minuto despus de los 30 minutos. El plan de lujo te cobra un arancel mensual de $1500, 7 pesos por minuto, pero no te da minutos libres. Determinemos cul es el mejor plan.

a. El costo (CE) del plan econmico se puede escribir en trminos de la cantidad de minutos (m) de la siguiente manera: CE = $15 (m 30) + $600

Simplifica los trminos de esta ecuacin. Vuelve a escribirla en la forma explcita de las ecuaciones lineales (y = mx + b). b. Escribe una ecuacin del costo (CL) del plan de lujo en trminos de la cantidad de minutos (m). c. Grafica estas dos ecuaciones, usando la cantidad de minutos (m) en el eje horizontal y el costo (C) en el eje vertical.

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d. Interpreta el grfico para hallar el nmero de minutos en el que los dos planes cuestan lo mismo.

e. Explica cmo puedes usar el grfico para decidir cul plan es mejor para ti.

Ejercicio 1.18: Roberto necesita 3 litros de una solucin salina al 8%. Tiene una

solucin al 5% y una solucin al 9% en la pieza de abastecimiento del laboratorio. Decide mezclar la solucin l mismo. Sea x la cantidad de litros de la solucin al 5% que Roberto usar e y el nmero de litros de la solucin al 9%.

a. Escribe una ecuacin que de el nmero total de litros que Roberto debiera mezclar (3 litros) como la suma de x litros de solucin al 5% e y litros de solucin al 9%.

b. Puedes obtener una segunda ecuacin con x e y usando los porcentajes por las cantidades. Reescribe la expresin que est a continuacin usando las variables x e y y las concentraciones adecuadas. (Ayuda: No te olvides de expresar los porcentajes en valores decimales.)

(Concentracin de A)(cantidad de A) + (concentracin de B)(cantidad de B) = (concentracin de la mezcla)(cantidad de la mezcla)

c. Usa el mtodo de sustitucin para resolver el sistema de ecuaciones. Cuntos litros de solucin al 5% y al 9% debiera mezclar Roberto para obtener 3 litros de solucin al 8%?

d. Verifica tus respuestas sustituyendo los resultados de x e y en tus ecuaciones.

Ejercicio 1.19: Supn que quieres comprar un refrigerador y tienes dos marcas para

escoger. La marca A cuesta RD$18 000 y gasta RD$2100 por ao en electricidad. La marca B cuesta RD$27 000 pero gasta slo $1650 por ao en electricidad.

a. Escribe una ecuacin para obtener el costo total (TA) como la suma del costo de compra de la marca A y el costo de la electricidad por x aos de uso. De manera similar escribe una ecuacin que de (TB) para un refrigerador de marca B.

b. Haz de cuenta que los dominios de ambas ecuaciones son de 0 ao a 15 aos (por qu no 70 aos?). Dibuja un grfico de estas dos ecuaciones.

c. Durante la vida (o sea el dominio) de estos refrigeradores, sern los costos totales iguales en algn momento? Si la respuesta es afirmativa, cundo?

d. Cul de los refrigeradores es ms barato? O sea, cul refrigerador tiene un costo total ms bajo en un perodo de vida de 15 aos?

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Ejercicio 1.20: Fahrenheit y Celsius son dos escalas diferentes para medir la temperatura. Las dos escalas pueden ser relacionadas mediante una ecuacin lineal: F = aC + b siendo F = la temperatura en grados Fahrenheit C = la temperatura en grados Celsius a y b = las variables que se van a determinar

Se relacionan las dos escalas por el hecho que el agua se congela a 32F o 0C. De manera similar, el agua hierve a 212F o 100C. a. Sustituye el par de temperaturas a las que se congela el agua en la ecuacin anterior para obtener una ecuacin con incgnitas a y b. b. De manera similar, sustituye el par de temperaturas a las que hierve el agua en la ecuacin anterior para obtener una segunda ecuacin con incgnitas a y b. c. Resuelve este par de ecuaciones para determinar los valores de a y b que las satisfacen.

d. Vuelve a escribir la ecuacin dada con los valores de a y b, y verifica la ecuacin resultante para C = 0 y C = 100.

Ejercicio 1.21: Diana trabaja en control de calidad. Debido a un error en la

documentacin de un lote de lingotes de metal, no se conoce la composicin exacta de los mismos. Diana sabe que los lingotes son de una aleacin de cobre-aluminio pero no sabe cunto aluminio o cunto cobre hay en cada uno de ellos. Cada lingote tiene un volumen de 1000 cm3 y un peso de 7000 g. La densidad del cobre es 8.96 g/cm3 y la del aluminio es 2.70 g/cm3. Sea x el volumen de cobre e y el volumen de aluminio en cada lingote. a. Escribe una ecuacin que iguale el volumen total (cm3) del lingote con la suma del volumen de cobre (x) y el volumen de aluminio (y).

b. Escribe la ecuacin que iguala el peso total del lingote con la suma del peso de cobre ms el peso de aluminio. (Ayuda: El peso de cada metal es igual a la densidad del metal por su volumen.)

c. Resuelve este sistema de ecuaciones mediante el mtodo de sustitucin.

d. Verifica tus respuestas sustituyendo los resultados de x e y en el par de ecuaciones.

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Ejercicio 1.22: Supn que necesitas calibrar un termopar nuevo. Para hacer esto debes poder relacionar el voltaje del termopar con la temperatura medida. Sabes que el voltaje de ste debe ser aproximadamente lineal entre 0C y 100C. (O sea, debes poder escribir una ecuacin de calibracin de la forma y = mx + b). Por lo tanto, para una temperatura T, el termopar debe producir un voltaje V segn una ecuacin de calibracin como la siguiente.

T = V m + b donde m y b son constantes que se van a determinar. Un par de medidas con tu termopar nuevo muestran que cuando T = 0C, V = 1.56 milivoltios y cuando T = 100C, V = 4.76 milivoltios. a. Sustituye cada par de medidas de temperatura y de voltaje en la ecuacin anterior para obtener un par de ecuaciones con incgnitas m y b.

b. Usando el mtodo de determinantes, determina los valores de m y b que satisfarn ambas ecuaciones. Verifica los resultados sustituyndolos en las dos ecuaciones.

c. Escribe la ecuacin de calibracin correcta con los valores de m y b que determinaste.

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Captulo 3: Problemas cuya solucin requiere funciones cuadrticas del tipo f(x) = ax2 + bx + c

Objetivos Resolver problemas del mundo real utilizando ecuaciones cuadrticas. Resolver ecuaciones cuadrticas mediante grficos, factorizacin y la frmula cuadrtica.

ACTIVIDADES Actividad 1.5: Construccin de un canaln

Materiales Pedazo de cartulina de 9" 24"

Regla

Enunciado del Problema

Necesitas construir un canaln (o canaleta) para la lluvia a partir de un pedazo rectangular de una plancha de metal que tiene 12 pulgadas

de ancho (simulado en esta actividad por un pedazo de cartulina). Para formar la canaleta (o sea, generar un colector con forma de U), haz un doblez de tamao x, a 90 en cada uno de los dos extremos de la plancha.

Para lograr una buena capacidad de desage, el canaln debe tener una rea de seccin transversal de por lo menos 15 pulgadas cuadradas. Cunto del ancho de 12 pulgadas debes doblar? (Nota: Si no usas una cartulina que tenga 12 pulgadas de ancho, tu profesor te dar otros valores en cuanto a los dobleces.)

Procedimiento a. Usando tu regla, pon

marcas a intervalos de 1 pulgada a lo largo de los costados del pedazo de cartulina de 12 pulgadas. Dibuja una lnea entre cada par de marcas, de modo que tengas 11 lneas paralelas, como vemos aqu.

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b. Haz un pliegue de 90 a lo largo del par exterior de lneas para hacer un canal cuyos lados sean de 1 pulgada. Haz un boceto de la seccin transversal del canal. Registra la altura de los lados, el ancho

de la base y el rea de la seccin transversal en una tabla como la que vemos aqu. Acurdate de incluir las unidades de medida adecuadas.

c. Alisa los pliegues hechos en el paso previo. Repite el Paso b para cada uno de los otros pares de lneas, para hacer canaletas cuyos lados tengan 2 pulgadas, 3 pulgadas y as sucesivamente.

TABLA

Lado (h) Ancho (a) rea (S)

Clculos a. Examina la tabla. Cul de los pliegues hara un canal que tuviese como mnimo 15 pulgadas cuadradas de seccin transversal?

b. Dibuja un grfico con tus medidas usando el tamao del pliegue (la altura de un lado) a lo largo del eje horizontal (eje x) y el rea de seccin transversal a lo largo del eje vertical (eje y). c. Identifica la porcin del grfico que generar un canal con un mnimo de 15 pulgadas cuadradas de seccin transversal.

d. Escribe una expresin para el rea de seccin transversal del canal (S), basndote en el ancho del mismo y la altura h del pliegue a 90. Reestructura esa expresin, si es necesario, para que est en la forma normal de una ecuacin cuadrtica.

e. Lo que se quiere hallar es el valor de h que generar un rea S = 15. Usa la frmula cuadrtica (o algunos otros medios) para determinar los valores de h que verificarn la ecuacin al sustituir S por su valor de 15 en la ecuacin cuadrtica.

f. Qu valor de h hace mxima al rea de seccin transversal? (Ayuda: Usa el grfico para ayudarte a contestar esta pregunta.)

g. Sera diferente el grfico si hubieras escogido representar el ancho del canal, a (en lugar de la altura, h), versus el rea de la seccin transversal? Explica. (Puedes dibujar este grfico tambin.)

Actividad de refuerzo 4.2:

Longitud y perodo del pndulo (Actividad 1.3 del Manual de Referencia de Matemtica en Contexto II)

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EJERCICIOS Ejercicio 1.23: Queremos determinar la potencia de una lmpara de 12 V de un

automvil midiendo su resistencia. La produccin de energa de una lmpara se relaciona con su resistencia mediante la formula

P = VR

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Donde: P = potencia de la lmpara (en watts) V = voltaje (por ejemplo 12 volts) y R = resistencia de la lmpara (en ohms). a. Es esta una funcin cuadrtica? Identifica las variables dependiente e independiente.

b. Usa la frmula para determinar la cantidad de watts de lmparas cuya resistencia sea de 2.6 ohmios, 6.0 ohmios y 13.1 ohmios. Redondea los resultados al watt ms cercano.

c. Expresa los resultados de la Parte b como pares ordenados.

Ejercicio 1.24: Identifica cules de las ecuaciones siguientes son ecuaciones cuadrticas y cuales no. Explica el porqu.

a. y = 12x 7 b. y = 3x2 15x + 2 c. y2 = 25 x2 d. y2 = x3 + 17x + 17 e. x2 + y2 = 5 f. y2 = 2x g. y + x = 4x

Ejercicio 1.25: Con una plancha metlica quieres

construir un tanque cilndrico para almacenar soya. La frmula del rea de la superficie exterior de un cilindro circular recto sin fondo es A = r2 + 2rh, siendo A el rea de la superficie exterior, r el radio del cilindro y h la altura del cilindro.

a. La plancha metlica disponible es de 12 pies de ancho y 40 pies de largo. Cul es el rea total de esta plancha?

b. Como la plancha tiene 12 pies de ancho, el cilindro tendr 12 pies de alto (o sea, h = 12 pies). Usando la frmula del cilindro (antes

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mencionada) y el rea de la plancha metlica, escribe una ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0, donde x represente el radio desconocido del tanque cilndrico.

c. Usa la frmula obtenida para determinar el radio del tanque si se usa toda la plancha metlica. DESAFO ADICIONAL: fsicamente hablando, qu hay de incorrecto en la respuesta a la Parte c? Cmo puedes superar ese problema en tu ecuacin? (Ayuda: Quedarn restos al cortar un pedazo redondo para la parte superior?)

Ejercicio 1.26: Un granjero posee un campo

y normalmente ara un rectngulo de 80 pies por 120 pies. Este ao el granjero quiere extender el rea arada en un 20%, extendiendo el ancho y el largo en una cantidad igual, como se ve en el dibujo. a. Escribe una expresin que permita determinar el rea que se piensa arar de ahora en adelante. (Ayuda: Haz que x sea el ancho y el largo a adicionar en ambos sentidos.)

b. Compara esta expresin con el rea del nuevo sector a ser arado, o sea, el rea original ms 20% del rea original. Combina y simplifica los trminos para obtener una ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0. c. Despeja x en la ecuacin cuadrtica. Cunto ms ancho y ms largo debe ser la parcela de campo arado para obtener un 20% de aumento en el rea?

Ejercicio 1.27: La dosis recomendada de un medicamento se determina conociendo el

peso del cuerpo del paciente. La frmula para determinar la dosificacin de este medicamento es

D = 0.1 p2 + 5 p Siendo: D la dosificacin en miligramos (mg) y p el peso del cuerpo del paciente en kilogramos. Si slo te quedan 1800 mg de medicina, cul es el peso mximo de un paciente que puedes tratar?

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Ejercicio 1.28: Supongamos que eres un ingeniero de seguridad de una compaa qumica industrial y ests diseando un rea de decantacin para los desechos qumicos. Se localiza en un lote rectangular que tiene 200 yardas de largo y 75 yardas de ancho.

El rea de decantacin debe tener 10,000 yardas cuadradas. Habr una zona de seguridad de ancho uniforme alrededor del permetro del rea de decantacin, como se ve en el dibujo.

a. Sea a el ancho de la zona de seguridad. Escribe expresiones para el largo y el ancho del rea de decantacin interior, en trminos de a y del largo y ancho total.

b. Escribe una ecuacin para el rea de la regin de decantacin, usando el rea especificada de 10,000 yardas cuadradas y el producto del largo y ancho de la Parte a. c. Multiplica y simplifica los trminos de la ecuacin para llegar a una ecuacin cuadrtica en la forma ax2 + bx + c = 0. d. Identifica a, b y c. Despus usa la frmula cuadrtica para determinar el ancho (a) de la zona de seguridad que verifica la ecuacin.

Ejercicio 1.29: Te han contratado para seleccionar la decoracin de la pared de la

antesala del nuevo teatro de la escuela. La pared tiene 32 pies de largo y el techo est a 20 pies de alto. Se quiere que la decoracin est separada 2 pies del techo, del suelo y de cada una de las esquinas laterales. Tambin quieren que la decoracin tenga las dimensiones del largo y alto segn la proporcin del Rectngulo Dorado. El Rectngulo Dorado tiene dimensiones de largo (L) y alto (H) que satisfacen la frmula siguiente.

L HL

LH

+ = a. Usando la proporcin anterior, determina una ecuacin cuadrtica. Sustituye los valores ya sea para la distancia vertical mxima disponible o la distancia horizontal mxima disponible. Organiza la ecuacin resultante en la forma ax2 + bx + c = 0, donde x represente la dimensin desconocida de la decoracin de la pared.

b. Resuelve la ecuacin cuadrtica para obtener la dimensin desconocida. Determina si hay bastante espacio para una decoracin que satisfaga la razn del Rectngulo Dorado.

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Ejercicio 1.30: Quieres seleccionar un pedazo de hierroen ngulo para una cierta aplicacin, cuya rea de seccin transversal no supere los 60 cm2, ya que en caso contrario el hierro pesar demasiado. El largo vertical es de 16 cm y el largo horizontal es de 10 cm, como se ve en eldibujo. Necesitas hallar el ancho del material (x) que satisfar estas condiciones.

a. Nota que en el dibujo hemos trazado una lnea punteada que divide la seccin transversal del hierro en dos rectngulos. Ambos rectngulos tienen un ancho de x. Determina el largo de estos dos rectngulos y escribe una ecuacin para el rea de cada rectngulo. b. Combina las dos ecuaciones para obtener el rea de la seccin transversal total del hierro. Compara esta ecuacin global con el rea de 60 cm2 y ponla en la forma cuadrtica estndar. c. Resuelve la ecuacin cuadrtica y halla los valores de x que la hacen verdadera. Interpreta los resultados para hallar el ancho del hierro en ngulo que satisface las condiciones dadas en el problema.

Ejercicio 1.31: Supongamos que una viga de

24 pies de largo tiene apoyos en ambos extremos, como mostramos en el dibujo. La viga lleva una carga que tiene un peso especfico lineal de 42 libraspie. En tal caso, el momento flector M, en cualquier posicin (x) a lo largo de la viga se define como sigue:

M = 12 W L x 12 W x2 Siendo: M = el momento flector en la posicin x, en pieslibras W = el peso especfico lineal de la carga distribuida

uniformemente, en libraspie L = el largo de la viga, en pies x = la posicin desde un extremo de la viga, en pies a. Sustituye los valores del largo y del peso especfico de la viga en la ecuacin dada. En qu posicin(es) x, el momento flector ser igual a cero? (Ayuda: Haz M = 0 y despeja la ecuacin cuadrtica.)

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b. En qu posicin(es) el momento flector ser igual a 2500 pieslibras? (Ayuda: Remplaza M por esta cantidad y resuelve la ecuacin cuadrtica para obtener x.) c. En qu posicin x, el momento flector ser mximo? Cul es el momento flector mximo? (Ayuda: Dibuja un grfico del momento flector M como una funcin de x.)

Ejercicio 1.32: A continuacin vemos grficos de varias relaciones cuadrticas (de segundo grado). Une con una lnea (en lpiz) cada frmula de la lista siguiente con el grfico correspondiente ms abajo.

1) y = x2 4

2) y = (x + 1)2 + 2

3) y = x2

4) y = (x 1)2 a.

b.

c.

d.

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Unidad 2: Inecuaciones

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Captulo 1: Problemas cuya solucin requiere inecuaciones

Objetivos Resolver inecuaciones lineales en una variable, graficar la ecuacin correspondiente,

hallar la pendiente y la ordenada al origen a partir del grfico, e interpretar grficamente (puntos en un sistema coordenado) sus soluciones para tomar decisiones.

Resolver inecuaciones que involucran valores absolutos, graficar la ecuacin correspondiente, hallar la pendiente y la ordenada al origen a partir del grfico, e interpretar grficamente (puntos en un sistema coordenado) sus soluciones para tomar decisiones.

Resolver inecuaciones lineales en dos variables, graficar la ecuacin correspondiente, hallar la pendiente y la ordenada al origen a partir del grfico, e interpretar grficamente (puntos en un sistema coordenado) sus soluciones para tomar decisiones.

Trabajar con inecuaciones combinadas. Verificar que la forma grfica, la forma escrita y la notacin funcional son diferentes

expresiones del mismo fenmeno.

Resolver problemas del mundo real expresados en trmino de inecuaciones y problemas de programacin lineal.

Verificar las respuestas analticas a los problemas mediante comprobaciones grficas (y viceversa) para asegurarse de que las mismas sean razonables.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 2.1: El trabajo y las inecuaciones

Hay muchos problemas del mundo real que involucran expresiones desiguales. Estas expresiones desiguales son las que usan palabras tales como mayor que, menor que, o como mximo. En trminos matemticos, este tipo de proposiciones se representa mediante inecuaciones. Hay textos que hablan de desigualdades y otros de inecuaciones, para nosotros sern equivalentes. Veamos el problema siguiente:

Como mximo, cuntos pedazos de 112 pies podemos cortar de una tabla de madera de 14 pies de largo?

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Cmo expresaras este problema matemticamente? Sera correcto escribir 1.5 p = 14, donde p representa cantidad de pedazos? O sera mejor escribir 1.5 p 14, dnde el smbolo significa igual o menor que 14? Qu piensas?

Ejemplo 2.2: Uso de inecuaciones para comparar cargas

La Compaa Mat-Con entrega una carga de ladrillos que mide 5 pies por 6 pies por 4 pies. Cul es el volumen, en pies cbicos, de la carga?

La Compaa Superior entrega una carga de ladrillos que mide 6 pies por 8 pies por 4 pies. Cul es el volumen, en pies cbicos, de esta carga?

Identifica cul de los cinco smbolos describe la relacin entre los volmenes de las dos cargas:

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Carga de Mat-Con , , =, ,?

< >

Carga Superior

Si cada compaa volvi con otros 8 pies cbicos de ladrillos, cul sera la relacin?

Carga de Mat-Con + 8 pies3 , , =, ,?

< >

Carga Superior + 8 pies3

Si una cantidad a (carga de la empresa Mat-Con) es menor que otra cantidad b (carga de la empresa Superior), y si se suma la misma cantidad a cada una, la cantidad nueva a es todava menor que la cantidad nueva b. Usando smbolos, esto se escribe como:

Si a < b, luego a + c < b + c Lo mismo se aplica a la resta de cantidades:

Si a < b, luego a c < b c Esta propiedad de las inecuaciones proporciona una pista para la solucin de proposiciones algebraicas que incluyen las relaciones . Cuando se pide resolver la inecuacin

x + 3 < 9 estamos pidiendo hallar los valores de x que, cuando son sumados a tres, dan una cantidad que es menor que nueve. El balancn en desequilibrio mostrado a continuacin representa esta situacin.

x + 3 < 9 (x + 3) 3 < 9 3

x < 6

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Ejemplo 2.3: Uso de inecuaciones para comparar velocidades

En la figura siguiente vemos un grfico de distancia versus tiempo de un automvil que viaja a una velocidad de 55 millas por hora.

a. Identifica la regin del grfico en la cual la velocidad est limitada, o sea, la regin del grfico donde d < 55t, es decir, d es menor que 55t para cualquier par ordenado (t, d). b. Identifica la regin del grfico en la cual la velocidad es riesgosa, o sea, la regin del grfico donde d > 55t, es decir, d es mayor que 55t para cualquier par ordenado (t, d).

Ejemplo 2.4: Inecuaciones en la venta de automviles

Un distribuidor de automviles obtiene una ganancia de RD$ 17,500 por cada auto familiar vendido y RD$ 21,000 por cada auto deportivo vendido. En funcin de un convenio con la fbrica, el distribuidor tiene que vender por lo menos 3 autos familiares por cada auto deportivo. Para lograr el punto de equilibrio, o sea no perder dinero, el distribuidor debe producir una ganancia de por lo menos RD$ 105,000 por semana. Sea F el nmero de autos familiares vendidos en una semana y D el nmero de autos deportivos vendidos. a. Escribe una inecuacin para indicar la relacin autos familiares/autos deportivos (acuerdo con la fbrica).

b. Escribe una inecuacin para indicar la mezcla de ventas para obtener una ganancia de por lo menos RD$ 105,000

c. Haz un grfico para representar las inecuaciones de las partes a. y b. d. En una determinada semana, el distribuidor vendi tres autos deportivos y siete autos familiares. Satisfacen estas cifras de ventas el acuerdo firmado con la fbrica? Est el punto en la regin sombreada del grfico correspondiente?

e. En una determinada semana, el distribuidor vendi un auto deportivo y cuatro autos familiares. Satisfacen estas cifras de ventas el acuerdo firmado con la fbrica? Est el punto en la regin sombreada del grfico correspondiente?

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f. Identifica por lo menos tres combinaciones de autos familiares y autos deportivos vendidos que satisfagan ambos requisitos (el acuerdo con la fbrica y la ganancia total).

g. En una semana determinada, el distribuidor vendi ocho autos familiares, cuntos autos deportivos deber vender para cumplir el acuerdo con la fbrica?

h. Cul es la menor cantidad total de autos que el comerciante puede vender en una semana para satisfacer ambos requisitos?

i. Cmo hiciste para ir desde una ecuacin hacia una inecuacin? Qu informacin obtienes en cada caso?

j. Utilizando la resolucin grfica, conversa con tu maestro sobre el uso y la utilidad de la programacin lineal y de los sistemas de optimizacin de problemas.

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ACTIVIDADES Actividad 2.1: Veamos quien es ms alto

Materiales Cinta de medir, de acero o tela con escala graduada (cm o pulgadas)

Calculadora con funciones estadsticas

Enunciado del Problema

Vamos a graficar las estaturas de los estudiantes de la clase en una recta numrica. Luego haremos comparaciones entre inecuaciones basadas en las medidas del grupo y en la distribucin de las medidas de la clase.

Procedimiento Usando la cinta de medir, determina la estatura de cada miembro de tu

grupo. Registra en tu cuaderno las medidas, al centmetro ms cercano. (Preferiras ms bien registrar tus medidas usando fracciones de pulgada? Por qu?)

Clculos a. Dibuja una recta numrica que incluya todas las medidas de las

estaturas de tu grupo. Grafica las medidas de las estaturas en tu recta numrica y pon el nombre de cada miembro sobre cada punto. A continuacin mostramos un ejemplo usando centmetros, pero puedes tambin usar pulgadas. Si dos miembros tienen la misma estatura, apila los puntos y sus nombres unos sobre otros.

b. Luego, usando las relaciones de desigualdad, escribe una expresin de desigualdad que relacione varios pares de estaturas. Usa la medida de cada miembro de tu grupo por lo menos una vez. Por ejemplo, usando la recta numrica y los datos de ms arriba, podras escribir Isabel > Judy. c. Selecciona tres estaturas y escribe una inecuacin combinada menor que, usando las tres medidas. Selecciona otras tres medidas y escribe una inecuacin combinada mayor que. Por ejemplo, si usas Juan, Patricio y Roberto, podras escribir Roberto < Juan < Patricio.

d. Muestra tus inecuaciones a la clase. e. Tu maestro dibujar una recta numrica en el pizarrn donde todos los grupos pueden registrar sus resultados. Un miembro de tu grupo debe pasar al frente y agregar los datos a la recta numrica de la clase.

f. Determina cuntos estudiantes representaran el 80% de toda la clase. En otras palabras, para una clase con n miembros, calcula 0.8n. Luego escribe una inecuacin que describa un rango de estaturas que incluya por

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lo menos un 80% de los estudiantes de tu clase. Por ejemplo, 152 cm < Estatura < 166 cm, o Estatura 164 cm. Compara tu respuesta con la del resto de la clase.

g. Cmo piensas que se puede usar tu respuesta al Paso f para predecir las estaturas de otros estudiantes del mismo grupo de edades en tu escuela? Explica.

Desafo

Adicional Calcula la media ( x ) y la desviacin estndar () de las medidas de las estaturas de la clase. Puedes hacer esto con una calculadora cientfica usando las teclas estadsticas o mediante un programa como Excel en una computadora. Tambin puedes trabajar directamente con las frmulas. Recuerdas que ya vimos esto en un curso anterior?

Si las estaturas tienen una distribucin normal (piensas que es as?), sabes que el intervalo para dos desviaciones estndar hacia ambos lados del valor de la media incluir aproximadamente el 95% de las estaturas de los estudiantes. Es decir, el 95% de las estaturas debe estar entre x 2 y ( x ) + 2. Escribe una inecuacin que defina los lmites de las estaturas del 95% de los estudiantes que tienen tu misma edad, basndote en los datos de tu clase.

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Actividad 2.2: Calidad de un producto

Materiales 20 tornillos y tuercas de mquinas grandes, por ejemplo 14" 20 1"

Calibrador Vernier Calibrador o tornillo micrmetro Calculadora

Enunciado del

Problema La mayora de los productos que se usan tanto a nivel industrial como tambin en el hogar, incluye caractersticas tcnicas en cuanto a dimensiones. Pero como normalmente no es posible obtener productos exactamente iguales se definen lo que llamamos tolerancias en sus caractersticas tcnicas. Por ejemplo, conocemos el espesor ideal de un tornillo, pero siempre se permite algo de variacin o variabilidad sin que se vea afectada la funcionalidad del producto. Esto da un rango de espesores aceptables. En esta actividad medirs las dimensiones de una muestra de tornillos y luego, basado en tus medidas, escribirs inecuaciones para mostrar cmo se relacionan con las tolerancias y las caractersticas tcnicas.

Procedimiento a. Procrate 20 tornillos

idnticos para medirlos. Conviene que sea como el de la ilustracin adjunta. Medirs la longitud de cada tornillo con el calibrador Vernier y el ancho de la cabeza del tornillo con el calibrador micrmetro.

Quizs vas a necesitar un repaso de cmo usar estas herramientas.

b. Usa el calibrador micrmetro para medir y registrar el ancho de la cabeza de cada uno de los 20 tornillos. Registra los resultados en una tabla como la que mostramos aqu.

c. Usa el calibrador Vernier para medir y registrar la longitud de cada uno de los 20 tornillos. Anota los resultados en la tabla.

Tabla de Datos Ancho de la cabeza del

tornillo (pulgadas) Longitud

(cm)

Clculos a. Dibuja un histograma o un grfico de columnas con las medidas del ancho de la cabeza y de la longitud de los tornillos. Determina la amplitud del intervalo de clase, ajustando el ancho de cada celdilla de

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manera que los datos entren en aproximadamente 6 a 8 celdillas. Por ejemplo, supongamos que el rango de medidas es de 0.032 pulgada, o sea, que va desde 0.760'' hasta 0.792''. Por lo tanto el ancho de cada celdilla podra ser de 0.0328 = 0.004. El histograma puede parecerse al que mostramos a continuacin.

b. Usa tu calculadora para determinar la media de las medidas del ancho de la cabeza y de la longitud de los tornillos. Puedes usar tu calculadora o trabajar con la frmula mostrada a continuacin. Registra la media de cada conjunto de datos en una tabla de datos.

Media = x = ( )n

xxx n+++ 21 c. Determina ahora la desviacin estndar de las medidas del ancho de la cabeza y de la longitud de los tornillos. Puedes usar tu calculadora o trabajar con la frmula mostrada a continuacin. Registra las desviaciones estndar en una tabla de datos.

Desviacin estndar, s = ( )

nxx

2

d. Usa tus datos para escribir tres inecuaciones de la distribucin de los valores medidos:

1. Una relacin mayor que. Por ejemplo,

Ancho de la cabeza del tornillo > 0.759 pulgadas 2. Una relacin menor que. Por ejemplo,

Ancho de la cabeza del tornillo < 0.793 pulgadas 3. Una relacin de inecuacin combinada. Por ejemplo,

0.759 pulgadas < Ancho de la cabeza del tornillo < 0.793 pulgadas e. Si trabajaras en el Departamento de Control de Calidad de una empresa, tendras que establecer las tolerancias para un proceso de produccin (como puede ser el proceso de produccin de tornillos). Para eso, debes comenzar tomando una muestra del producto en condiciones ideales de produccin. Para determinar la tolerancia recomendada para la mquina o proceso, podras informar la media ms o menos dos desviaciones estndar: x 2s. Con los valores que obtuviste para la x y

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la s y de la muestra que tomaste, informa la tolerancia para el ancho de la cabeza del tornillo y para la longitud de los tornillos.

f. Escribe esa tolerancia obtenida como una relacin de desigualdad o inecuacin combinada para: 1. el ancho de la cabeza y 2. la longitud de un tornillo. Muestra tus inecuaciones combinadas en los ejes horizontales de tus grficos.

g. Hay alguna de las medidas que tomaste fuera de la tolerancia que escribiste en el Paso f? h. Compara tus inecuaciones con las de los otros grupos en la clase. Hay alguna de las medidas obtenidas por los otros grupos fuera de los intervalos de tolerancia (o sea, fuera de las inecuaciones combinadas)?

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EJERCICIOS EJERCICIO 2.1: Las oraciones o proposiciones siguientes contienen desigualdades.

Escrbelas nuevamente como expresiones matemticas con el signo de desigualdad adecuado.

a. Guillermo es ms alto que Santiago, pero no tan alto como Samuel. b. Este auto costar por lo menos RD$ 367,500. c. Lo mximo que puedo gastar en un traje nuevo es RD$ 5,600. d. Felipe tiene la misma edad que Janet, pero es mayor que Ricardo. e. El nivel del agua nunca llegar a la cima de la represa. f. Se cancelar el viaje a menos que por lo menos 12 personas se inscriban para ir.

EJERCICIO 2.2: Une con una lnea cada inecuacin de la izquierda con la recta numrica correspondiente de la derecha. (Ayuda: no es necesario usar todas las rectas numricas mostradas.)

a. n 0 b. n > 0 c. n = 0 d. n < 5

e. n 5 f. 5 < n

g. 0 n 5

EJERCICIO 2.3: Las longitudes en centmetros de peces incluidos en una muestra, proveniente de un lago en dos momentos diferentes (por ejemplo, abril y junio de un cierto ao) son las siguientes:

Peces en muestra de abril = Conjunto A = {20 , 22.5 , 25.4 , 30.5 , 33} Peces en muestra de junio = Conjunto B = {27.9 , 25.4 , 30.5 , 27.9 , 38.1}

a. Cul es la unin de los conjuntos A y B, o sea, A B?

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b. Cul es la interseccin de los conjuntos A y B, o sea, A B? c. Si la longitud de un pez en la muestra de abril (conjunto A) se representa por f, escribe una proposicin de desigualdad que indique el rango o recorrido de medidas de f. d. De manera similar, escribe una proposicin de desigualdad para g, el rango o recorrido de medidas de las longitudes de los peces de la muestra de junio (conjunto B). e. Muestra tus inecuaciones en una recta numrica e indica la interseccin entre ellas.

EJERCICIO 2.4: Ahora vamos a suponer que obtienes una tercera muestra de

longitudes de peces (conjunto C) en agosto de ese mismo ao. Los conjuntos de longitudes de peces son ahora los siguientes:

Peces en muestra de abril = Conjunto A = {20 , 22.5 , 25.4 , 30.5 , 33} Peces en muestra de junio = Conjunto B = {27.9 , 25.4 , 30.5 , 27.9 , 38.1} Peces en muestra de agosto = Conjunto C = {20 , 27.8 , 30.4 , 17.9 , 35.6} a. Halla la unin de los conjuntos A y B con el Conjunto C, o sea, (A B) C. b. Halla la unin de los conjuntos B y C, o sea, B C. c. Halla la unin del conjunto A con la unin de los conjuntos B y C, o sea, A (B C). d. Compara tu respuesta de c. con el resultado de la a. Piensas que la igualdad siguiente es una proposicin verdadera para cualquier conjunto A, B y C?

A B C = (A B) C = A (B C) c. De la misma manera, determina si la igualdad siguiente es verdadera o falsa para cualquier conjunto A, B y C.

A B C = (A B) C = A (B C)

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EJERCICIO 2.5: Francisco trata de determinar su nota semestral en Matemtica. Hasta el momento ha tenido 3 pruebas durante el semestre y necesita rendir el examen del 40% al final del semestre. El maestro dice que el examen del 40% representar dos notas, o sea, ser computado dos veces al calcular la nota semestral del curso. Las tres notas de Francisco en las pruebas pasadas son 77, 80 y 70 (suponemos escala de calificacin de 0 a 100). Su promedio de notas semestral necesita ser de por lo menos 80 para continuar recibiendo ayuda financiera escolar.

a. Escribe una frmula que el maestro pueda usar para determinar el promedio semestral de notas de Francisco, si en el examen del 40% obtiene una nota que llamaremos E.

b. Escribe una proposicin de desigualdad respecto al promedio semestral de notas que describa la necesidad de Francisco de obtener un promedio de por lo menos 80.

c. Combina los resultados de las Partes a y b para obtener una inecuacin que indique la nota que Francisco necesita sacar en el examen del 40% para mantener la ayuda financiera.

d. Resuelve la inecuacin de la parte c. y escribe el resultado en forma de proposicin escrita.

EJERCICIO 2.6: Vamos a suponer que t eres el dueo de una compaa de diseo de

espacios verdes y han contratado los servicios de tu empresa para desmalezar un campo que tiene un rea de 150,000 yardas cuadradas. La empresa dispone en estos momentos de dos cortadoras de malezas, pero como este trabajo es grande y necesita ser hecho en un da (8 horas), necesitas alquilar cortadoras adicionales. Por supuesto que slo quieres alquilar las cortadoras que vayas a necesitar. Cada cortadora puede cortar la maleza a razn de 2500 yardas cuadradas por hora.

a. Determina cuntas yardas cuadradas puede cortar cada cortadora en 8 horas.

b. Escribe una expresin matemtica del rea que puede ser cortada (en ocho horas) por tus dos cortadoras y por n cortadoras adicionales arrendadas.

c. Escribe una expresin de desigualdad que relacione los resultados de la Parte b con el rea a cortar.

d. Resuelve tu inecuacin para determinar cuntas cortadoras debes alquilar para terminar el trabajo en ocho horas.

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EJERCICIO 2.7: Santiago tiene 2800 acres de tierra en los que puede plantar dos tipos diferentes de semillas. l necesita tu ayuda para determinar cunto plantar de cada uno de los dos tipos de semillas. La semilla tipo A deja ganancias de RD$ 8,400 por acre, mientras que la semilla tipo B deja ganancias de RD$ 9,450 por acre. De acuerdo a sugerencias de agencias de proteccin del medio ambiente, no puedes plantar ms de 2000 acres de la semilla A y ms de 1200 acres de la semilla B. Sea x el nmero de acres plantados con la semilla A e y el nmero de acres plantados con la semilla B.

a. Escribe una inecuacin del nmero total de acres que se puede plantar plantando x acres con la semilla A e y acres con la semilla B. b. Escribe una inecuacin del nmero total de acres que se pueden plantar de cada tipo de semilla.

c. Como Santiago quiere saber cules sern sus ganancias por la venta de estas semillas, escribe una ecuacin de la cantidad de ganancias (G) obtenida de la venta de x acres A e y acres de B. d. Construye un grfico cartesiano de acres de A versus acres de B. Grafica todas las inecuaciones y sombrea el rea que contiene los puntos que satisfacen todas las condiciones dadas por tus inecuaciones de las Partes a y b. En otras palabras, sombrea la interseccin de todas las regiones definidas por tus inecuaciones.

e. Usa las tcnicas de programacin lineal para determinar la mezcla adecuada de semillas A y B que satisfagan las condiciones de las inecuaciones y calcula el mximo de ganancias (fjate en la Parte c).

EJERCICIO 2.8: Eres representante de una agencia de viajes y te han pedido que organices un viaje para un grupo juvenil de una iglesia. El grupo de jvenes ha juntado RD$ 192,500 para gastar en el viaje. Tu agencia cobra RD$ 8,750 por organizar el viaje y el costo por persona es de RD$ 17,500.

a. Escribe una expresin de desigualdad que muestre la relacin entre el costo mximo del viaje y los costos que la agencia va a cobrar.

b. Resuelve la inecuacin para hallar el nmero mximo de jvenes que puede ir al viaje, sabiendo que el costo total es RD$ 192,500.

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EJERCICIO 2.9: Tu tienda de computadoras vende dos tipos diferentes de computadoras. La ganancia por venta de cada modelo Xantum es de RD$ 8,750, mientras que la ganancia por la venta del modelo Yazir (con ms capacidad) es de RD$ 12,250. Los gastos mensuales de tu tienda son RD$ 70,000. Si denotamos a x como la cantidad de computadoras modelo Xantum vendidas en un mes y a y como la cantidad de computadoras modelo Yazir vendidas en un mes:

a. Escribe una expresin que muestre la ganancia por la venta de x computadoras modelo Xantum e y computadoras modelo Yazir durante un mes dado.

b. En momentos de crisis, lo que t quieres es que las ganancias por las ventas de estos dos modelos sea por lo menos igual a tus gastos mensuales. Usa el resultado de la Parte a para escribir una inecuacin que describa esta situacin.

c. Expresa la inecuacin de la Parte b en forma explcita y dibuja un grfico de la misma.

d. Usa tu grfico para identificar tres combinaciones de ventas de computadoras modelo Xantum y modelo Yazir que te permitiran pagar tus gastos mensuales.

e. Usa tu grfico para listar tres combinaciones de ventas de computadoras modelo Xantum y modelo Yazir que no te permitiran pagar tus gastos.

EJERCICIO 2.10: Una tienda de ropa quiere reabastecer la seccin ropa de hombres con

dos tipos de trajes. El traje tipo X cuesta RD$ 3,500 cada uno y el traje tipo Y cuesta RD$ 4,550 cada uno. La tienda necesita tener en inventario por lo menos RD$98,000 en trajes para competir con otras tiendas (para no perder ventas por falta de stock). El presupuesto de compra de la tienda es de RD$140,000. Sea x el nmero de trajes tipo X de RD$ 3,500 e y el nmero de trajes tipo Y de RD$ 4,550. a. Escribe una expresin del costo de compra de x trajes tipo X e y trajes tipo Y.

b. Escribe una inecuacin que muestre la relacin entre la mnima cantidad que se debe gastar y el costo de los trajes comprados.

c. Escribe una inecuacin que muestre la relacin entre la cantidad mxima que se debe gastar y el costo de los trajes comprados.

d. Haz un grfico de las inecuaciones de las Partes a y b en un sistema de ejes coordenados.

e. Halla la regin que satisface ambas inecuaciones y sombrea la misma. Menciona una combinacin de compras x e y que no exceda el presupuesto mximo, pero que proporciona ms que el inventario mnimo.

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EJERCICIO 2.11: Una frmula qumica exige una solucin con un nivel de pH de 6.3 y una tolerancia de 0.4. a. Usa el signo de valor absoluto y escribe una inecuacin de los valores de pH permitidos.

b. Aplica el significado de la expresin del valor absoluto de la Parte a para obtener dos inecuaciones. c. Para cada una de las inecuaciones de la Parte b, menciona dos valores de pH que satisfagan la misma.

EJERCICIO 2.12: Un tcnico de laboratorio debe clasificar

muestras de roca segn su cantidad de minerales. Las muestras del Grupo I tienen un contenido mineral de menos del 2.5%. Las muestras del Grupo II tienen un contenido mineral entre el 2.5% y el 7.0%. Y las muestras del Grupo III tienen un contendio mineral mayor que el 7.0%. La tabla muestra los resultados de la pruebas de laboratorio en relacin al contenido mineral de varias muestras de rocas.

a. Escribe expresiones de desigualdad que muestren el porcentaje de contenido mineral de cada uno de los tres grupos de rocas.

Resultados de la Prueba de Laboratorio

Muestra Contenido de mineral

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0.3% 4.8% 2.4% 10.0% 12.1% 5.9% 15.7% 7.4% 2.5% 7.0%

b. Identifica cules muestras de la tabla pertenecen al Grupo I, cules pertenecen al Grupo II y cules pertenecen al Grupo III.

EJERCICIO 2.13: La especificacin del dimetro D de una barra de metal perteneciente

a un cierto motor es de 2.775" 0.025". a. Escribe una inecuacin compuesta que indique los valores aceptables del dimetro D de la barra.

b. Usa la inecuacin combinada para hallar las dimensiones aceptables del radio R de la barra de metal.

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EJERCICIO 2.14: Un tcnico que trabaja en una planta automotriz est probando la potencia de frenado de nuevos modelos de automviles. Una frmula utilizada para estimar la distancia de frenado en asfalto seco es d = 0.039v2, siendo d la distancia de frenado expresada en pies y v la velocidad del vehculo en millas por hora. Se lleva a cabo una prueba de frenado a tres velocidades diferentes. Un automvil no pasa la prueba de frenado si su distancia de frenado excede la distancia estimada mediante la frmula, cualquiera sea la velocidad a la que se realiza la prueba.

a. Escribe una inecuacin que muestre la distancia de frenado que debe lograr un auto para pasar la prueba, a una velocidad dada.

b. Se conduce la prueba de frenado a velocidades de 30 millas por hora, 45 millas por hora y 60 millas por hora. Escribe una proposicin que especifique los requisitos para pasar la prueba completa de frenado. (Ayuda: usa el conector lgico adecuado, O Y.)

c. Dibuja un grfico de la inecuacin de la Parte a para velocidades de hasta 60 millas por hora. Muestra la regin que indica una situacin aceptable de frenado.

EJERCICIO 2.15: Susana es electricista. El cable que usa en un cierto trabajo de

construccin viene en bobinas de 100 pies. Para un cierto trabajo en una obra en construccin, ella necesita longitudes de 1412 pies y de 12 pies.

a. Escribe una expresin para indicar la longitud de cable usado si ella necesita hacer un trabajo que lleva una cierta cantidad x de cable de longitud 1412 pies. b. De manera similar escribe una expresin para indicar la longitud de cable usado si ella necesita hacer un trabajo que lleva una cierta cantidad y de cable de longitud 12 pies.

c. Escribe una inecuacin que muestre que la cantidad de cable a ser usado no debe superar los 100 pies que hay en una bobina.

d. Dibuja un grfico que muestre los valores de x e y que satisfacen la inecuacin.

e. Identifica cinco pares ordenados (x, y) que satisfagan la inecuacin y que den la cantidad ms pequea posible de desecho o prdida de cable.

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EJERCICIO 2.16: Brenda trabaja en la seccin de mquinas de un taller que fabrica piezas de metal segn especificaciones de los clientes. Un cliente ha solicitado una barra de un cierto metal cuyas medidas especificadas son: longitud de 15.00 cm y ancho de 2.00 cm. Segn la especificacin dada por el cliente y en funcin del uso que se le dar a esa barra, la longitud L y el ancho A de la misma pueden variar en 0.01 cm. Esta variacin se llama tolerancia de las dimensiones. a. Escribe una inecuacin para indicar los lmites de las dimensiones aceptables de dicha barra de metal.

b. Si una barra producida tiene una longitud mide 14.997 cm, y un ancho de 1.993 cm, es aceptable? Por qu?

c. Si una barra producida mide 15.097 cm, y un ancho de 1.993 cm, es aceptable? Por qu?

d. Si una barra producida tiene una longitud mide 14.997 cm, y un ancho de 2.033 cm, es aceptable? Por qu?

e. Si una barra producida tiene una longitud mide 15.07 cm, y un ancho de 2.33 cm, es aceptable? Por qu?

EJERCICIO 2.17: Considera la inecuacin combinada 3 < (2x 3) 5.

a. Para la inecuacin de la izquierda 3 < 2x 3, cules son los valores que la hacen verdadera? Es decir, qu valores satisfacen esa inecuacin? Llamemos a esos valores el Conjunto A.

b. Para la inecuacin de la derecha, 2x 3 5, cules son los valores que la hacen verdadera? Es decir, qu valores satisfacen esa inecuacin? Llamemos a esos valores el Conjunto B.

c. Cules son los valores que satisfacen la inecuacin combinada? d. Representa grficamente (en una recta numrica) las respuestas a las partes a., b. y c. e. Representa mediante notacin de conjuntos (diagramas de Venn) las respuestas a las partes a., b. y c.. f. El conjunto de soluciones de la inecuacin combinada, es la interseccin o la unin de los Conjuntos A y B?

g. El valor de x = 2, satisface totalmente o parcialmente la inecuacin combinada? Muestra tu trabajo.

h. El valor de x = 6, satisface totalmente o parcialmente la inecuacin combinada? Muestra tu trabajo.

i. El valor de x = 3, satisface totalmente o parcialmente la inecuacin combinada? Muestra tu trabajo.

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EJERCICIO 2.18: Considera la inecuacin combinada 3 > (2x 3) 5. a. Para la inecuacin de la izquierda 3 > 2x 3, cules son los valores que la hacen verdadera? Es decir, qu valores satisfacen esa inecuacin? Llamemos a esos valores el Conjunto A.

b. Para la inecuacin de la derecha, 2x 3 5, cules son los valores que la hacen verdadera? Es decir, qu valores satisfacen esa inecuacin? Llamemos a esos valores el Conjunto B.

c. Cules son los valores que satisfacen la inecuacin combinada? d. Representa grficamente (en una recta numrica) las respuestas a las partes a., b. y c. e. Representa mediante notacin de conjuntos (diagramas de Venn) las respuestas a las partes a., b. y c.. f. El conjunto de soluciones de la inecuacin combinada, es la interseccin o la unin de los Conjuntos A y B? Existe un conjunto solucin?

e. El valor de x = 2, satisface totalmente o parcialmente la inecuacin combinada? Muestra tu trabajo.

h. El valor de x = 6, satisface totalmente o parcialmente la inecuacin combinada? Muestra tu trabajo.

i. El valor de x = 0, satisface totalmente o parcialmente la inecuacin combinada? Muestra tu trabajo.

EJERCICIO 2.19: El dimetro especificado de una varilla de aluminio anodizado para

hacer barandales de un edificio expuesto a la atmsfera salina de la cercana del mar es de 1.00 cm. La tolerancia es 0.001 cm.

a. Escribe una inecuacin que permita calcular las dimensiones aceptables de esa varilla de aluminio, utilizando la nomenclatura de valor absoluto.

b. Cmo escribiras eso mismo mediante una inecuacin combinada, o sea, si no usaras la nomenclatura de valor absoluto?

c. Un dimetro de 1.002, es aceptable? Por qu? d. Un dimetro de 0.989, es aceptable? Por qu?

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EJERCICIO 2.20: La tienda de bicicletas Pedaleando por el pas gana RD$ 3,500 por cada modelo Andino vendido y RD$ 1,750 por cada modelo Alpino vendido. Llamaremos x a la cantidad de bicicletas modelo Andino e y a la cantidad de bicicletas modelo Alpino. Los gastos fijos del negocio ascienden a RD$ 52,500 por mes. El dueo de la tienda, en funcin de la situacin crtica actual, est buscando la manera de por lo menos mantenerse en el negocio, es decir, no est pretendiendo ampliar el negocio ni expandir a corto plazo su capacidad de produccin. Eso podra venir despus que pase la situacin crtica. Por eso, l quiere saber lo siguiente: cuntas bicicletas (por lo menos) debe vender por mes de cada modelo para no perder? a. Escribe una expresin de desigualdad que muestre que el ingreso por ventas debe superar, por lo menos, los RD$ 52,500. Desde el punto de vista prctico comercial, puede la inecuacin contener tambin el signo igual (=)?

b. Cmo representaras grficamente esa inecuacin? Qu parte o regin del grfico debiera estar sombreada para indicar pares ordenadas que satisfagan esa inecuacin?

c. Puede considerarse la parte sombreada como el conjunto de soluciones posibles de esa inecuacin? Por qu?

d. La recta que representa la ecuacin, forma parte del conjunto de pares ordenados que satisfaran la inecuacin? Por qu?

e. En la vida prctica de esta fbrica de bicicletas, hay alguna restriccin para los valores que las variables x e y pueden asumir? Ayudas: 1) el par ordenado (x, y) = (20, -10) es matemticamente posible, pero qu estara indicando en la realidad? Explica.

f. Para las siguientes situaciones de ventas combinadas (x, y): (7, 12), (10, 10), (15, 0), (0, 29), (20, 20), localiza grficamente esos pares ordenados y explica cuales de esas situaciones permiten mantenerse en el negocio.

EJERCICIO 2.21: Sigamos con el ejemplo anterior. Vamos a suponer que la crisis grave

ya pas y que el dueo de la tienda quiere ahora comenzar un proceso de maximizacin de ganancias. Sabemos que la tienda de bicicletas gana RD$ 3,500 por cada modelo Andino vendido y RD$ 1,750 por cada modelo Alpino vendido y que los gastos fijos del negocio ascienden a RD$ 52,500 por mes.

a. Escribe una expresin matemtica que indique la funcin de beneficios de la tienda. Llamaremos x a la cantidad de bicicletas modelo Andino e y a la cantidad de bicicletas modelo Alpino. A esta funcin la llamaremos funcin objetivo (recuerda que el objetivo del dueo ahora es maximizar su beneficio).

b. Suponemos que la capacidad de produccin mensual es de hasta 20 bicicletas Modelo Andino y de hasta 30 bicicletas Modelo Alpino.

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Adems, por razones de personal, materiales y equipamiento, la tienda no puede producir mensualmente ms de 40 bicicletas en total. Representa analtica y grficamente (mediante inecuaciones) estas restricciones de produccin.

c. Sabemos que sera imposible producir bicicletas negativas. Cmo representaras analtica y grficamente (mediante inecuaciones) esta restriccin?

d. Podras representar las inecuaciones de las partes b. y c. en un solo grfico? Cul sera la regin sombreada? Muestra tu trabajo.

e. Cmo relacionas la funcin objetivo (parte a.) con la regin obtenida en la parte d.? Buscar el punto donde la tienda obtiene el mayor beneficio posible. Explica. Tu maestro te ayudar en esto, ya que esto pertenece al concepto de programacin lineal.

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Unidad 3: Funciones exponenciales y logartmicas

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Captulo 1: Funciones exponenciales

Objetivos Identificar fenmenos de la vida real que pueden solucionarse mediante ecuaciones y

funciones exponenciales.

Representar grficamente esos fenmenos e interpretar esa grfica para llegar a conclusiones y tomar decisiones.

Comparar y verificar las respuestas analticas a problemas reales con las representaciones grficas (y viceversa) para asegurarse de que las decisiones sean razonablemente tomadas.

Ejemplos para entrar en calor Ejemplo 1.1: Ancdota del rbol genealgico

El siguiente es un ejemplo del rbol genealgico de Smith-Cole. Cada uno de nosotros tambin puede crear nuestro rbol. Aunque no conozcamos o recordemos todos los nombres de nuestros antepasados, es fcil armar nuestro rbol genealgico propio.

Fuente: http://www.smartdraw.com/examples/genogram/flory_ancestral_chart.htm)

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Consideramos solamente padres y madres, es decir, sin considerar hermanos o hermanas de los padres (tos). Si nos fijamos bien en el rbol genealgico presentado ms arriba, podemos decir que puedes comenzar el proceso e ir hacia arriba (padre/madre). A su vez, el padre y la madre tienen (cada uno) su padre y su madre, y as sucesivamente.

Ahora t puedes practicar y hacer tu propio rbol genealgico. La pregunta que te haras en estos momentos es qu tiene que ver un rbol genealgico con las funciones exponenciales? La respuesta es muy fcil.

Hablemos un poco del rbol. Podemos determinar niveles en la construccin del rbol comenzando contigo (llamaramos a este nivel cero).

Los primeros antepasados tuyos (o sea tus padres) estn en el nivel uno. Los padres de tus padres estn en el segundo nivel. Los padres de los padres de tus padres estn en un tercer nivel. Y as sucesivamente.

Por ello, si te preguntamos:

a. Cuntas personas hay en el primer nivel o nivel uno? La respuesta es 2 (tus padres).

b. Cuntas personas hay en el segundo nivel? La respuesta es 4 (tus abuelos = los padres de tus padres).

c. Cuntas personas hay en el tercer nivel? La respuesta es 8 (tus bisabuelos = los padres de los padres de tus padres). Y as sucesivamente.

Ahora puedes responder a la pregunta: cuntas personas hay en el cuarto nivel (los padres de los padres de los padres de tus padres = tatarabuelos)? Veamos esto en una tabla (para visualizar mejor el fenmeno).

Nivel Cantidad de personas 0 1 (t) 1 2 2 4 3 8 4 16

Volvamos a repetir el proceso. En el nivel 0 ests t (una person